Pravokotna simetrala v pravokotnem trikotniku. Okoli trikotnika obkrožen krog. Krogu včrtan trikotnik

Dokazi izrekov o lastnostih opisanega kroga trikotnika

Simetrala navpično na daljico

Definicija 1. Simetrala pravokotna na odsek imenovana ravna črta, ki je pravokotna na ta segment in poteka skozi njegovo sredino (slika 1).

1. izrek. Vsaka točka simetrale pravokotnice na odsek se nahaja na enaki razdalji od koncev ta segment.

Dokaz . Oglejmo si poljubno točko D, ki leži na simetrali pravokotnici na odsek AB (slika 2), in dokažimo, da sta trikotnika ADC in BDC enaka.

Dejansko so ti trikotniki pravokotni trikotniki, v katerih sta kraka AC in BC enaka, krak DC pa je skupen. Enakost trikotnikov ADC in BDC pomeni enakost segmentov AD in DB. Izrek 1 je dokazan.

Izrek 2 (konverzija k izreku 1). Če je točka enako oddaljena od koncev odseka, potem leži na simetrali, ki je pravokotna na ta odsek.

Dokaz . Dokažimo izrek 2 s protislovjem. V ta namen predpostavimo, da je neka točka E na enaki razdalji od koncev odseka, vendar ne leži na simetrali, ki je pravokotna na ta odsek. To predpostavko pripeljemo do protislovja. Oglejmo si najprej primer, ko ležita točki E in A na nasprotnih straneh simetrale pravokotnice (slika 3). V tem primeru odsek EA seka pravokotno simetralo v neki točki, ki jo bomo označili s črko D.

Dokažimo, da je odsek AE daljši od odseka EB. res,

V primeru, ko ležita točki E in A na nasprotnih straneh simetrale pravokotnice, imamo torej protislovje.

Oglejmo si zdaj primer, ko točki E in A ležita na isti strani simetrale pravokotnice (slika 4). Dokažimo, da je odsek EB daljši od odseka AE. res,

Nastalo protislovje dopolnjuje dokaz izreka 2

Okoli trikotnika obkrožen krog

Definicija 2. Okoli trikotnika obkrožen krog, se imenuje krog, ki poteka skozi vsa tri oglišča trikotnika (slika 5). V tem primeru se imenuje trikotnik trikotnik vpisan v krog oz včrtan trikotnik.

Lastnosti okroglega kroga trikotnika. Sinusni izrek

Slika	risanje	Lastnina
Simetrale pravokotnice na stranice trikotnika		sekata v eni točki .

Center okrog ostrokotnega trikotnika opisana krožnica		Center opisan o ostrokoten znotraj trikotnik.
Center okrog pravokotnega trikotnika opisan krog		Opisano središče približno pravokotne sredina hipotenuze .
Center okrog topega trikotnika opisan krog		Center opisan o topokoten trikotnik krog leži zunaj trikotnik.
		,
kvadrat trikotnik		S= 2R 2 greh A greh B greh C ,
Cirkumradius		Za vsak trikotnik velja enakost:

Simetrale pravokotnice na stranice trikotnika

Vse pravokotne simetrale , narisane na stranice poljubnega trikotnika, sekata v eni točki .

Okoli trikotnika obkrožen krog

Vsak trikotnik je lahko obkrožen s krogom . Središče okrog trikotnika opisanega kroga je točka, v kateri se sekajo vse pravokotnice, narisane na stranice trikotnika.

Središče okroglega kroga ostrokotnega trikotnika

Center opisan o ostrokoten trikotnik krog leži znotraj trikotnik.

Središče obremenjenega kroga pravokotnega trikotnika

Opisano središče približno pravokotne trikotnik krog je sredina hipotenuze .

Središče okroglega kroga tupokotnega trikotnika

Center opisan o topokoten trikotnik krog leži zunaj trikotnik.

Za vsak trikotnik veljajo naslednje enakosti (sinusni izrek):

kjer so a, b, c stranice trikotnika, A, B, C so koti trikotnika, R je polmer opisanega kroga.

Območje trikotnika

Za vsak trikotnik velja enakost:

S= 2R 2 greh A greh B greh C ,

kjer so A, B, C koti trikotnika, S je površina trikotnika, R je polmer obkroženega kroga.

Cirkumradius

Za vsak trikotnik velja enakost:

kjer so a, b, c stranice trikotnika, S je površina trikotnika, R je polmer obkroženega kroga.

Dokazi izrekov o lastnostih opisanega kroga trikotnika

Izrek 3. Vse simetrale, narisane na stranice poljubnega trikotnika, se sekajo v eni točki.

Dokaz . Oglejmo si simetrali, narisani na stranicama AC in AB trikotnika ABC, in njuno presečišče označimo s črko O (slika 6).

Ker točka O leži na simetrali navpičnici na odsek AC, potem na podlagi izreka 1 enakost velja.

Pravokotna simetrala (sredinska pravokotna oz mediatrix) - ravna črta, ki je pravokotna na dani segment in poteka skozi njegovo sredino.

Lastnosti

p_a=\tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2), p_b=\tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2), p_c=\tfrac(2cS)( a^2-b^2+c^2),

kjer spodnji indeks označuje stranico, na katero je narisana navpičnica,

S

je površina trikotnika, prav tako se predpostavlja, da so stranice povezane z neenakostmi

a\geqslant b\geqslant c.

p_a\geq p_b

p_c\geq p_b.

Z drugimi besedami, najmanjša pravokotna simetrala trikotnika pripada srednjemu segmentu.

Napišite oceno o članku "Pravokotna simetrala"

Opombe

Odlomek, ki označuje simetralo pravokotnice

Kutuzov je nehal žvečiti in presenečeno strmel v Wolzogena, kot da ne bi razumel, kaj mu govorijo. Wolzogen, ko je opazil navdušenje des alten Herrna, je [stari gospod (Nemec)] rekel z nasmehom:
– Nisem se imel za upravičenega skrivati pred vašim gospostvom, kar sem videl... Čete so v popolnem neredu...
- Ali si videl? Si videl?.. – je zavpil Kutuzov, se namrščil, hitro vstal in stopil proti Wolzogenu. »Kako si ... kako si drzneš!..« je kričal, grozeče kretnje z rokovanjem in davljenjem. - Kako si drznete, dragi gospod, to reči meni? Nič ne veš. Povejte generalu Barclayu od mene, da so njegove informacije napačne in da pravi potek bitke poznam jaz, vrhovni poveljnik, bolje kot on.
Wolzogen je hotel ugovarjati, a ga je Kutuzov prekinil.
- Sovražnik je odbit na levem in poražen na desnem boku. Če niste dobro videli, dragi gospod, potem si ne dovolite reči, česar ne veste. Prosim, pojdite k generalu Barclayu in mu naslednji dan sporočite moj absolutni namen, da napadem sovražnika,« je ostro rekel Kutuzov. Vsi so molčali in slišalo se je le težko dihanje zadihanega starega generala. "Povsod so jih odbili, za kar se zahvaljujem Bogu in naši hrabri vojski." Sovražnik je poražen in jutri ga bomo pregnali iz svete ruske zemlje,« je rekel Kutuzov in se prekrižal; in nenadoma zajokala od solz, ki so pritekle. Wolzogen je skomignil z rameni in stisnil ustnice ter se tiho oddaljil vstran in se spraševal uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [pri tej tiraniji starega gospoda. (nemščina) ]
"Da, tukaj je, moj junak," je rekel Kutuzov debelušnemu, čednemu, črnolasemu generalu, ki je takrat vstopal v gomilo. To je bil Raevsky, ki je ves dan preživel na glavni točki Borodinskega polja.
Rajevski je poročal, da so čete trdno na svojih mestih in da si Francozi ne upajo več napadati. Ko ga je Kutuzov poslušal, je rekel v francoščini:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous retirer? [Ne mislite torej, kot drugi, da bi se morali umakniti?]

Dati idejo o novem razredu problemov - konstruirati geometrijske figure z uporabo kompasa in ravnila brez delitve lestvice.

Predstavite koncept GMT.

Definiraj simetralo pravokotnice, nauči se jo sestaviti in dokaži izrek o simetrali pravokotnice ter njen inverz.

Z uporabo računalniškega sistema za risanje "Compass-3D" izvedite geometrijske konstrukcije, ki jih je priporočljivo izvajati v tečaju geometrije s šestilom in ravnilom.

Izročki (Priloga št. 1)

Problemi, ki vključujejo konstrukcijo s kompasi in ravnilom brez delitev, se najpogosteje rešujejo po določeni shemi:

JAZ. Analiza: Shematsko narišite želeno figuro in vzpostavite povezave med podatki naloge in zahtevanimi elementi.

II. Gradnja: Po predvidenem načrtu se gradi s šestilom in ravnilom.

III. Dokaz: Dokaži, da konstruirana figura izpolnjuje pogoje problema.

IV. Študij: Izvedite študijo, da ugotovite, ali ima težava rešitev za kateri koli podatek, in če da, koliko rešitev obstaja (ni izvedena pri vseh težavah).

Tukaj je nekaj primerov osnovnih konstrukcijskih nalog, ki jih bomo upoštevali:

1. Odložite segment, ki je enak danemu (preučeno prej).

2. Konstrukcija simetrale pravokotnice na segment:

zgraditi sredino danega segmenta;
zgraditi premico, ki poteka skozi dano točko in je pravokotna na dano premico (točka lahko leži na dani premici ali ne).

3. Konstrukcija simetrale kota.

4. Konstruiranje kota, ki je enak danemu.

Pravokotna simetrala daljice.

Definicija: pravokotna simetrala na odsek je premica, ki poteka skozi sredino odseka in je pravokotna nanj.

Naloga: "Konstruiraj pravokotno simetralo na segment." Predstavitev

O - srednji AB

Opis konstrukcije ( diapozitiv številka 4):

Žarek a; A – začetek žarka

Obseg (A; r =m)

Obkroži a = B; AB = m

Krog 1 (A; r 1 > m/2)

2. krog (B; r 1)

Obkroži 1 Obkroži 2 =

MN; MN AB =0, (MN = L)

kjer je MN AB, O – sredina AB

III. Dokaz(diapozitiv št. 5, 6)

1. Razmislite o AMN in BNM:

AM = MB=BN=AN=r 2, torej AM = BN, AN = BM MN – skupna stranica

(slika 3)

Zato je AMN = BNM (na 3 straneh),

Zato

1= 2 (po definiciji enako)

3= 4 (po definiciji enako)

2. MAN in NBM sta enakokraka (po definiciji) ->

1 = 4 in 3 = 2 (glede na enakokrakost)

3. Iz točk 1 in 2 -> 1 = 3 torej je MO simetrala enakokrake AMB

4. Tako smo dokazali, da je MN simetrala pravokotnica na daljseko AB

IV. Študij

Ta problem ima edinstveno rešitev, saj vsak odsek ima samo eno razpolovišče in skozi dano točko lahko narišemo eno samo premico, pravokotno na dano.

Definicija: Geometrična množica točk (GMT) je množica točk, ki imajo določeno lastnost. (priloga št. 2)

GMT, ki jih poznate:

Simetrala odseka je množica točk, ki so enako oddaljene od koncev odseka.
Simetrala kota - niz točk, ki so enako oddaljene od stranic kota

Torej, dokažimo izrek:

Izrek: "Vsaka točka pravokotne simetrale na odsek je enako oddaljena od koncev tega odseka."

(slika 4)

Dano: AB; MO – simetrala pravokotnice

Dokaži: AM = VM

Dokaz:

1. MO – simetrala navpičnice (po pogoju) -> O – razpolovišče odseka AB, MOAB

2. Razmislite o AMO in VMO - pravokotni

MO – splošna lega

AO = VO (O – sredina AB) -> AMO = VMO (na 2 krakih) -> AM = VM (po definiciji enakih trikotnikov, kot ustreznih stranic)

Q.E.D

Domača naloga: "Dokaži obratni izrek temu"

Izrek: "Vsaka točka, ki je enako oddaljena od koncev odseka, leži na simetrali, ki je pravokotna na ta odsek."

(slika 5)

Dano: AB; MA=MV

Dokaži: Točka M leži na simetrali pravokotnice

Dokaz:

to. MO je pravokotna simetrala, ki vsebuje vse točke, enako oddaljene od koncev odseka.

Lastnost pravokotnih simetral na stranice trikotnika

Sekata se v eni točki in ta točka je središče okoli trikotnika opisanega kroga, ki ga bomo obravnavali v osmem razredu.

Delavnica

Materialno tehnična oprema:

Distribucija: 29.574 KB

OS: Windows 9x/2000/XP

Spletna stran: http://www.ascon.ru

Zdaj pa prenesimo konstrukcijo v grafično okolje računalnika (diapozitiv št. 7)

Predhodno pridobljeno znanje in veščine je treba uporabiti pri konkretni nalogi. Videli boste, da vam gradnja ne bo vzela nič več časa kot gradnja v zvezku. Med drugim je zanimivo videti, kako računalniško okolje izvaja človeške ukaze za sestavo ravninskih likov. Tukaj je priloga št. 3, ki podrobno opisuje vaše korake gradnje. Naložite program in odprite novo risbo ( diapozitiv številka 8, 9).

Narišite geometrijske objekte, navedene v nalogi naloge: žarek A začenši na točki A in segment je enak m– poljubna dolžina ( diapozitiv številka 10).

Z zavihkom vnesite oznako žarka, segmenta, začetka žarka na risbi "Orodja" besedilo.

Konstruirajte krog s polmerom, ki je enak segmentu m s središčem na točki v dani točki A (diapozitiv številka 11).

m s središčem v točki A ( diapozitiv št. 12, 13).

Konstruirajte krog s polmerom, ki je enak segmentu, večjemu od 1/2 mČe želite to narediti, v kontekstnem meniju RMB izberite element " Med 2 točkama" (diapozitiv št. 14, 15, 16).

Skozi presečišča krožnic M in N narišite ravno črto ( diapozitiv št. 17,18).

Rabljene knjige:

Ugrinovich N.D. "Informatika. Osnovni tečaj” 7. razred. - M.: BINOM - 2008 - 175 str.
Ugrinovich N.D. "Delavnica o računalništvu in informacijski tehnologiji." Vadnica. – M.: BINOM, 2004-2006. -
Ugrinovich N.D. “Poučevanje predmeta “Informatika in IKT” v razredih osnovne in srednje šole 8-11 M .: Laboratorij znanja BINOM, 2008. - 180 str.
Ugrinovich N.D. Računalniška delavnica na CD-ROM-u. – M.: BINOM, 2004-2006.
Boguslavsky A.A., Tretyak T.M. Farafonov A.A. “Kompas - 3D v 5.11-8.0 Delavnica za začetnike” - M.: SOLON - PRESS, 2006 - 272 str.
Atanasjan L.S., Butuzov V.F., Kadomcev S.B., et al. »Geometrija 7-9. Učbenik za srednje šole” – M: Vzgoja 2006 – 384 str.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., et al. »Študij geometrije 7-9 razredov. Metodološka priporočila za učbenik" - M: Izobraževanje 1997 - 255 str.
Afanasjeva T.L., Tapilina L.A. "Učni načrti na podlagi učbenika za 8. razred Atanasjana L.S." - Volgograd “Učitelj” 2010, 166 str.

Priloga št. 1

Načrt za reševanje problemov, ki vključujejo konstrukcijo s šestilom in ravnilom.

Analiza.
Gradnja.
Dokaz.
Študij.

Razlaga

Pri analizi se shematsko izriše želena slika in vzpostavi povezava med podatki naloge in zahtevanimi elementi.
Po predvidenem načrtu se gradnja izvaja s pomočjo šestila in ravnila.
Dokažejo, da konstruirana figura izpolnjuje pogoje problema.
Izvedejo študijo: ali ima problem rešitev za kateri koli podatek, in če da, koliko rešitev?

Primeri elementarnih konstrukcijskih problemov

Odložite segment, ki je enak danemu.
Konstruirajte pravokotno simetralo na odsek.
Konstruirajte razpolovišče odseka.
Konstruirajte premico, ki poteka skozi dano točko, pravokotno na dano premico (točka lahko leži na dani premici ali ne).
Sestavi simetralo kota.
Sestavi kot, ki je enak danemu.

Priloga št. 2

Geometrično mesto točk (GLP) je množica točk, ki imajo določeno lastnost.

Primeri GMT:

Simetrala odseka je množica točk, ki so enako oddaljene od koncev odseka.
Krog je množica točk, ki so enako oddaljene od dane točke – središča kroga.
Simetrala kota je množica točk, ki so enako oddaljene od stranic kota.

Vsaka točka navpične simetrale odseka je enako oddaljena od koncev tega odseka.

V prejšnji lekciji smo si ogledali lastnosti simetrale kota, zaprtega v trikotnik in prostega. Trikotnik ima tri kote in za vsakega od njih so ohranjene obravnavane lastnosti simetrale.

Izrek:

Simetrale AA 1, BB 1, СС 1 trikotnika se sekajo v eni točki O (slika 1).

riž. 1. Ponazoritev izreka

Dokaz:

Najprej si oglejmo simetrali BB 1 in CC 1. Sekajo se, presečišče O obstaja. Da bi to dokazali, predpostavimo nasprotno: naj se dani simetrali ne sekata, v tem primeru sta vzporedni. Potem je premica BC sekanta in vsota kotov je , To je v nasprotju z dejstvom, da je v celotnem trikotniku vsota kotov .

Torej, točka O presečišča dveh simetral obstaja. Razmislimo o njegovih lastnostih:

Točka O leži na simetrali kota, kar pomeni, da je enako oddaljena od njegovih stranic BA in BC. Če je OK pravokotna na BC, OL pravokotna na BA, potem sta dolžini teh navpičnic enaki - . Tudi točka O leži na simetrali kota in je enako oddaljena od njegovih stranic CB in CA, navpičnici OM in OK sta enaki.

Dobili smo naslednje enakosti:

, to pomeni, da so vse tri navpičnice, spuščene iz točke O na stranice trikotnika, med seboj enake.

Zanima nas enakost navpičnic OL in OM. Ta enakost pravi, da je točka O enako oddaljena od stranic kota, iz česar sledi, da leži na njegovi simetrali AA 1.

Tako smo dokazali, da se vse tri simetrale trikotnika sekajo v eni točki.

Poleg tega je trikotnik sestavljen iz treh segmentov, kar pomeni, da moramo upoštevati lastnosti posameznega segmenta.

Podan je odsek AB. Vsak segment ima razpolovišče in skozenj lahko narišemo navpičnico - označimo jo kot p. Torej je p simetrala pravokotnice.

riž. 2. Ponazoritev izreka

Vsaka točka, ki leži na simetrali pravokotnice, je enako oddaljena od koncev odseka.

Dokažite to (slika 2).

Dokaz:

Razmislite o trikotnikih in . Pravokotna in enaka sta, ker imata skupni krak OM, kraka AO in OB pa sta po pogoju enaka, torej imamo dva pravokotna trikotnika, enaka v dveh krakih. Iz tega sledi, da sta tudi hipotenuzi trikotnikov enaki, kar je bilo treba dokazati.

Obratni izrek drži.

Vsaka točka, ki je enako oddaljena od koncev odseka, leži na simetrali, ki je pravokotna na ta odsek.

Dani so odsek AB, njegova pravokotnica p in točka M, ki je enako oddaljena od koncev odseka. Dokažite, da točka M leži na simetrali navpičnici na odsek (slika 3).

riž. 3. Ponazoritev izreka

Dokaz:

Razmislite o trikotniku. Je enakokrak, glede na stanje. Razmislite o mediani trikotnika: točka O je sredina baze AB, OM je mediana. Glede na lastnost enakokrakega trikotnika je mediana, potegnjena na njegovo osnovo, hkrati višina in simetrala. Sledi, da . Toda tudi premica p je pravokotna na AB. Vemo, da je v točki O možno potegniti eno samo pravokotno na odsek AB, kar pomeni, da premici OM in p sovpadata, iz tega sledi, da točka M pripada premici p, kar smo morali dokazati.

Direktni in obratni izrek je mogoče posplošiti.

Točka leži na pravokotni simetrali odseka, če in samo če je enako oddaljena od koncev tega odseka.

Torej, ponovimo, da so v trikotniku trije segmenti in lastnost simetrale pravokotnice velja za vsakega od njih.

Izrek:

Simetrali pravokotnice trikotnika se sekata v eni točki.

Podan je trikotnik. Navpičnice na njegove stranice: P 1 na stranico BC, P 2 na stranico AC, P 3 na stranico AB.

Dokaži, da se navpičnice P 1, P 2 in P 3 sekajo v točki O (slika 4).

riž. 4. Ponazoritev izreka

Dokaz:

Oglejmo si simetrali P 2 in P 3, ki se sekata, presečišče O obstaja. Dokažimo to dejstvo s protislovjem - naj bosta navpičnici P 2 in P 3 vzporedni. Potem je kot obrnjen, kar je v nasprotju z dejstvom, da je vsota treh kotov trikotnika . Torej, obstaja točka O presečišča dveh od treh pravokotnih simetral. Lastnosti točke O: leži na simetrali navpičnici na stranico AB, kar pomeni, da je enako oddaljena od koncev daljice AB: . Prav tako leži na pravokotni simetrali na stran AC, kar pomeni . Dobili smo naslednje enakosti.