Reševanje neenačb, kako jih rešiti. Glavne vrste neenakosti in njihove lastnosti

Neenakosti in sistemi neenakosti so ena od tem, ki jih obravnava srednja šola v algebri. Po težavnostni stopnji ni najtežja, saj ima preprosta pravila (o njih malo kasneje). Šolarji se praviloma naučijo precej enostavno reševati sisteme neenačb. To je tudi posledica dejstva, da učitelji preprosto »trenirajo« svoje učence na to temo. In tega si ne morejo pomagati, ker se to v prihodnosti preučuje z drugimi matematične količine, testira pa se tudi na OGE in Enotnem državnem izpitu. IN šolski učbeniki Tema neenakosti in sistemov neenakosti je zelo podrobno obdelana, tako da, če se boste ukvarjali s tem, je najbolje, da se zatečete k njim. Ta članek samo povzema večje gradivo in je lahko nekaj izpuščenih.

Koncept sistema neenakosti

Če se obrnete na znanstveni jezik, potem lahko definiramo koncept "sistema neenakosti". To je matematični model, ki predstavlja več neenakosti. Ta model seveda zahteva rešitev in to bo splošen odgovor za vse neenačbe sistema, predlaganega v nalogi (običajno je zapisano takole, npr.: "Rešite sistem neenačb 4 x + 1 > 2 in 30 - x > 6 ... "). Toda preden preidete na vrste in metode rešitev, morate razumeti nekaj drugega.

Sistemi neenačb in sistemi enačb

V procesu študija nova tema zelo pogosto prihaja do nesporazumov. Po eni strani je vse jasno in želite čim prej začeti reševati naloge, po drugi strani pa nekateri vidiki ostajajo v »senci« in niso popolnoma razumljeni. Prav tako se lahko nekateri elementi že pridobljenega znanja prepletajo z novimi. Zaradi tega »prekrivanja« se pogosto pojavljajo napake.

Zato se moramo, preden začnemo analizirati našo temo, spomniti na razlike med enačbami in neenačbami ter njihovimi sistemi. Da bi to naredili, moramo še enkrat razjasniti, kaj podatki predstavljajo. matematične pojme. Enačba je vedno enačba in je vedno enaka nečemu (v matematiki je ta beseda označena z znakom "="). Neenakost je model, v katerem je ena vrednost večja ali manjša od druge ali vsebuje izjavo, da nista enaki. Tako je v prvem primeru primerno govoriti o enakosti, v drugem pa, ne glede na to, kako očitno se sliši iz samega imena, o neenakosti začetnih podatkov. Sistemi enačb in neenačb se praktično ne razlikujejo med seboj, metode za njihovo reševanje pa so enake. Edina razlika je v tem, da se v prvem primeru uporabljajo enakosti, v drugem pa neenakosti.

Vrste neenakosti

Obstajata dve vrsti neenakosti: numerične in z neznano spremenljivko. Prva vrsta predstavlja podane vrednosti (števila), ki so med seboj neenake, na primer 8 > 10. Druga vrsta je neenačba, ki vsebuje neznano spremenljivko (označeno z neko črko latinska abeceda, največkrat X). To spremenljivko je treba najti. Glede na to, koliko jih je, matematični model razlikuje med neenačbami z eno (sestavljajo sistem neenačb z eno spremenljivko) ali več spremenljivkami (sestavljajo sistem neenačb z več spremenljivkami).

Zadnji dve vrsti sta glede na stopnjo konstrukcije in stopnjo zahtevnosti rešitve razdeljeni na preproste in kompleksne. Enostavne imenujemo tudi linearne neenačbe. Ti pa so razdeljeni na stroge in nestroge. Strogi posebej »pravijo«, da mora biti ena količina nujno ali manj ali več, tako da je to v čista oblika neenakost. Navedemo lahko več primerov: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 itd. Med nestroge spada tudi enakost. To pomeni, da je ena vrednost lahko večja ali enaka drugi vrednosti (znak »≥«) ali manjša ali enaka drugi vrednosti (znak »≤«). Več v linearne neenakosti ah, spremenljivka ni koren, kvadrat ali deljiva s čimer koli, zato se imenujejo "preproste". Kompleksni vključujejo neznane spremenljivke, ki jih je treba najti. več matematične operacije. Pogosto se nahajajo v kvadratu, kocki ali pod korenom, lahko so modularni, logaritemski, frakcijski itd. Ker pa je naša naloga potreba po razumevanju rešitve sistemov neenakosti, bomo govorili o sistemu linearnih neenakosti . Vendar je treba pred tem povedati nekaj besed o njihovih lastnostih.

Lastnosti neenačb

Lastnosti neenakosti vključujejo naslednje:

1. Predznak neenakosti je obrnjen, če se z operacijo spremeni vrstni red stranic (na primer, če je t 1 ≤ t 2, potem je t 2 ≥ t 1).
2. Obe strani neenakosti vam omogočata, da sami sebi dodate isto število (na primer, če je t 1 ≤ t 2, potem je t 1 + število ≤ t 2 + število).
3. Dve ali več neenačb s predznakom v isti smeri omogočata seštevanje njihove leve in desne strani (na primer, če t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, potem je t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. Obe strani neenakosti lahko pomnožimo ali delimo z isto stvarjo pozitivno število(na primer, če je t 1 ≤ t 2 in število ≤ 0, potem je število · t 1 ≥ število · t 2).
5. Dve ali več neenakosti, ki imata pozitivne člene in predznak v isti smeri, se dopuščata medsebojno množenje (na primer, če je t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 potem t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Obe strani neenakosti lahko pomnožimo ali delimo z isto stvarjo negativno število, vendar se predznak neenakosti spremeni (na primer, če je t 1 ≤ t 2 in je število ≤ 0, potem je število · t 1 ≥ število · t 2).
7. Vse neenakosti imajo lastnost tranzitivnosti (na primer, če je t 1 ≤ t 2 in t 2 ≤ t 3, potem je t 1 ≤ t 3).

Zdaj, ko smo preučili osnovna načela teorije, povezane z neenakostmi, lahko nadaljujemo neposredno z obravnavo pravil za reševanje njihovih sistemov.

Reševanje sistemov neenačb. Splošne informacije. Rešitve

Kot že omenjeno, so rešitve vrednosti spremenljivke, ki so primerne za vse neenakosti danega sistema. Reševanje sistemov neenačb je izvajanje matematičnih operacij, ki na koncu pripeljejo do rešitve celotnega sistema ali pa dokažejo, da ta nima rešitev. V tem primeru pravijo, da se spremenljivka nanaša na prazen številski niz (zapisan na naslednji način: črka, ki označuje spremenljivko∈ (znak »pripada«) ø (znak »prazna množica«), na primer x ∈ ø (beri: »Spremenljivka »x« pripada prazni množici«). Obstaja več načinov za reševanje sistemov neenačb: grafična, algebraična, substitucijska metoda. Omeniti velja, da so med njimi matematičnih modelov, ki imajo več neznanih spremenljivk. V primeru, da je samo ena, je primerna intervalna metoda.

Grafična metoda

Omogoča reševanje sistema neenačb z več neznanimi količinami (od dveh in več). Zahvaljujoč tej metodi je mogoče sistem linearnih neenačb rešiti zelo enostavno in hitro, zato je to najpogostejša metoda. To je razloženo z dejstvom, da risanje grafa zmanjša količino zapisovanja matematičnih operacij. Še posebej prijetno postane malo oddahniti od peresa, vzeti svinčnik z ravnilom in začeti nadaljnja dejanja z njihovo pomočjo, ko je bilo opravljenega veliko dela in želite malo raznolikosti. Vendar ta metoda nekaterim ni všeč, ker se morajo odtrgati od naloge in zamenjati svojo miselna dejavnost za risanje. Vendar je to zelo učinkovita metoda.

Za rešitev sistema neenačb z uporabo grafična metoda, je potrebno vse člene vsake neenačbe prenesti na njihovo levo stran. Predznaka bosta obrnjena, na desno je treba napisati ničlo, nato pa je treba vsako neenakost napisati posebej. Posledično bodo funkcije pridobljene iz neenakosti. Po tem lahko vzamete svinčnik in ravnilo: zdaj morate narisati graf vsake pridobljene funkcije. Celoten niz števil, ki bo v intervalu njihovega presečišča, bo rešitev sistema neenačb.

Algebrski način

Omogoča reševanje sistema neenačb z dvema neznanima spremenljivkama. Prav tako morajo biti neenakosti z istim znakom neenakosti (t.j. vsebovati morajo bodisi samo znak »večje kot« ali samo znak »manj kot« itd.) Ta metoda je kljub svojim omejitvam tudi bolj kompleksna. Nanaša se v dveh fazah.

Prvi vključuje dejanja, s katerimi se znebimo ene od neznanih spremenljivk. Najprej ga morate izbrati, nato pa preveriti prisotnost številk pred to spremenljivko. Če jih ni (potem bo spremenljivka videti kot ena črka), potem ne spreminjamo ničesar, če pa so (vrsta spremenljivke bo na primer 5y ali 12y), potem je potrebno narediti se prepričajte, da je v vsaki neenačbi število pred izbrano spremenljivko enako. Če želite to narediti, morate vsak člen neenačb pomnožiti s skupnim faktorjem, na primer, če je v prvi neenačbi zapisano 3y, v drugi pa 5y, potem morate vse člene prve neenačbe pomnožiti s 5. , drugo pa za 3. Rezultat je 15y oziroma 15y.

Druga stopnja rešitve. Levo stran vsake neenakosti je treba prenesti na njihovo desno stran, spremeniti znak vsakega izraza v nasprotno in na desno napisati nič. Nato pride zabavni del: znebiti se izbrane spremenljivke (sicer znane kot »zmanjšanje«) ob dodajanju neenakosti. Posledica tega je neenakost z eno spremenljivko, ki jo je treba rešiti. Po tem bi morali narediti isto stvar, le z drugo neznano spremenljivko. Dobljeni rezultati bodo rešitev sistema.

Metoda zamenjave

Omogoča reševanje sistema neenačb, če je mogoče uvesti novo spremenljivko. Običajno se ta metoda uporablja, ko se neznana spremenljivka v enem členu neenakosti dvigne na četrto potenco, v drugem členu pa se kvadrira. Tako je ta metoda namenjena zmanjšanju stopnje neenakosti v sistemu. Vzorčna neenačba x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 je rešena na ta način. Uvede se nova spremenljivka, na primer t. Zapišejo: "Naj je t = x 2," potem je model prepisan v novi obliki. V našem primeru dobimo t 2 - t - 1 ≤0. To neenakost je treba rešiti z intervalno metodo (več o tem malo kasneje), nato nazaj k spremenljivki X, nato storite enako z drugo neenakostjo. Prejeti odgovori bodo rešitev sistema.

Intervalna metoda

To je najpreprostejši način reševanja sistemov neenačb, hkrati pa je univerzalen in razširjen. Uporablja se v srednjih in celo višjih šolah. Njegovo bistvo je v tem, da učenec išče intervale neenakosti na številski premici, ki je narisana v zvezku (to ni graf, ampak navadna premica s števili). Kjer se intervali neenačb sekajo, se najde rešitev sistema. Če želite uporabiti intervalno metodo, morate slediti tem korakom:

1. Vsi členi vsake neenačbe se prenesejo na levo stran, pri čemer se predznak spremeni v nasprotno (na desni je zapisana ničla).
2. Neenačbe so izpisane posebej in za vsako od njih je določena rešitev.
3. Najdena so presečišča neenačb na številski premici. Vse številke, ki se nahajajo na teh križiščih, bodo rešitev.

Katero metodo naj uporabim?

Očitno tista, ki se zdi najlažja in najbolj priročna, vendar obstajajo primeri, ko naloge zahtevajo določena metoda. Najpogosteje pravijo, da morate rešiti z uporabo grafa ali intervalne metode. Algebraična metoda in substitucija se uporabljata izjemno redko ali pa sploh ne, saj sta precej zapleteni in zmedeni, poleg tega pa se bolj uporabljata za reševanje sistemov enačb kot neenakosti, zato se raje zateci k risanju grafov in intervalov. Prinašajo jasnost, ki ne more drugega kot prispevati k učinkovitemu in hitremu izvajanju matematičnih operacij.

Če kaj ne gre

Med študijem določene teme v algebri se seveda lahko pojavijo težave z njenim razumevanjem. In to je normalno, saj so naši možgani zasnovani tako, da kompleksne snovi ne morejo razumeti naenkrat. Pogosto morate ponovno prebrati odstavek, poiskati pomoč učitelja ali vaditi reševanje problema. tipične naloge. V našem primeru izgledajo na primer takole: "Rešite sistem neenačb 3 x + 1 ≥ 0 in 2 x - 1 > 3." Tako osebna želja, pomoč zunanjih sodelavcev in praksa pomagajo pri razumevanju katere koli zapletene teme.

Reševalec?

Tudi reševalna knjiga je zelo primerna, vendar ne za prepisovanje domačih nalog, ampak za samopomoč. V njih lahko najdete sisteme neenačb z rešitvijo, si jih ogledate (kot predloge), poskusite natančno razumeti, kako se je avtor rešitve spopadel z nalogo, in nato poskusite enako narediti sami.

Sklepi

Algebra je eden najtežjih predmetov v šoli. No, kaj lahko narediš? Matematika je že od nekdaj taka: za nekatere je lahka, za druge težka. Toda v vsakem primeru je treba spomniti, da splošno izobraževalni program Zgrajena je tako, da jo lahko obvlada vsak učenec. Poleg tega je treba upoštevati ogromno pomočniki Nekateri od njih so bili omenjeni zgoraj.

Kaj morate vedeti o ikonah neenakosti? Neenakosti z ikono več (> ), oz manj (< ) se imenujejo stroga. Z ikonami večji ali enak (≥ ), manj kot ali enako (≤ ) se imenujejo ni stroga. Ikona ni enako (≠ ) stoji ločeno, vendar morate tudi s to ikono ves čas reševati primere. In odločili se bomo.)

Sama ikona nima velikega vpliva na postopek rešitve. Toda na koncu odločitve, pri izbiri končnega odgovora, se pomen ikone pojavi v polni moči! To bomo videli spodaj na primerih. Tam je nekaj šal ...

Neenakosti, tako kot enakosti, obstajajo zvesti in nezvesti. Tukaj je vse preprosto, brez trikov. Recimo 5 > 2 je prava neenakost. 5 < 2 - nepravilno.

Ta pripravek deluje pri neenakosti kakršne koli in preprosto do groze.) Samo pravilno morate izvesti dve (samo dve!) osnovni dejanji. Ta dejanja so znana vsem. Ampak značilno je, da so napake pri teh dejanjih glavna napaka pri reševanju neenačb, ja... Zato je treba ta dejanja ponavljati. Ta dejanja se imenujejo takole:

Identične transformacije neenačb.

Identične transformacije neenačb so zelo podobne identičnim transformacijam enačb. Pravzaprav je to glavni problem. Razlike vam gredo čez glavo in ... evo vas.) Zato bom te razlike še posebej izpostavil. Torej, prva identična transformacija neenakosti:

1. Enako število ali izraz lahko prištejemo (odštejemo) obema stranema neenakosti. katera koli. To ne bo spremenilo znaka neenakosti.

V praksi se to pravilo uporablja kot prenos izrazov z leve strani neenakosti na desno (in obratno) s spremembo predznaka. S spremembo predznaka člena, ne neenačbe! Pravilo ena proti ena je enako pravilu za enačbe. Tukaj so naslednji transformacije identitete v neenačbah bistveno razlikuje od tistih v enačbah. Zato jih označujem z rdečo:

2. Obe strani neenakosti lahko pomnožimo (delimo) z isto stvarjopozitivnoštevilo. Za katero kolipozitivno ne bo spremenila.

3. Obe strani neenakosti lahko pomnožimo (delimo) z isto stvarjonegativnoštevilo. Za katero kolinegativnoštevilo. Znak neenakosti iz tegase bo spremenilo v nasprotno.

Saj se spomniš (upam...), da se enačba lahko pomnoži/deli s čimer koli. In za poljubno število in za izraz z X. Če le ne bi bila nula. Zaradi tega enačba ni niti vroča niti hladna.) Ne spremeni se. Toda neenakosti so bolj občutljive na množenje/deljenje.

Dober primer za dolg spomin. Zapišimo neenakost vprašljivo:

5 > 2

Pomnožite obe strani s +3, dobimo:

15 > 6

Kakšni ugovori? Ni ugovorov.) In če pomnožimo obe strani prvotne neenakosti z -3, dobimo:

15 > -6

In to je čista laž.) Popolna laž! Zavajanje ljudstva! Toda takoj, ko spremenite znak neenakosti v nasprotno, se vse postavi na svoje mesto:

15 < -6

Ne prisegam le na laži in prevare.) "Pozabil sem spremeniti enačaj ..."- To domov napaka pri reševanju neenačb. To je trivialno in preprosto pravilo toliko ljudi je bilo poškodovanih! Kar so pozabili ...) Torej prisežem. Mogoče se spomnim ...)

Še posebej pozorni bodo opazili, da neenakosti ni mogoče pomnožiti z izrazom z X. Spoštovanje do tistih, ki so pozorni!) Zakaj ne? Odgovor je preprost. Predznaka tega izraza z X ne poznamo. Lahko je pozitiven, negativen ... Zato ne vemo, kateri znak neenačbe postaviti za množenjem. Naj ga spremenim ali ne? Neznano. Seveda je to omejitev (prepoved množenja/deljenja neenakosti z izrazom z x) možno zaobiti. Če ga res potrebujete. Toda to je tema za druge lekcije.

To so vse identične transformacije neenakosti. Naj vas še enkrat spomnim, da delajo za katerikoli neenakosti Zdaj lahko preidete na določene vrste.

Linearne neenakosti. Rešitev, primeri.

Linearne neenačbe so neenačbe, pri katerih je x na prvi potenci in ni deljenja z x. Tip:

x+3 > 5x-5

Kako se te neenakosti rešujejo? Zelo enostavno jih je rešiti! Namreč: s pomočjo zmanjšamo najbolj zmedeno linearno neenakost naravnost do odgovora. To je rešitev. Izpostavil bom glavne točke sklepa. Da bi se izognili neumnim napakam.)

Rešimo to neenakost:

x+3 > 5x-5

Rešujemo jo na povsem enak način kot linearno enačbo. Z edino razliko:

Skrbno spremljamo znak neenakosti!

Prvi korak je najpogostejši. Z X-ji - v levo, brez X-jev - v desno ... To je prva enaka transformacija, preprosta in brez težav.) Samo ne pozabite spremeniti predznakov prenesenih izrazov.

Znak neenakosti ostane:

x-5x > -5-3

Tukaj so podobni.

Znak neenakosti ostane:

4x > -8

Ostaja še uporaba zadnje enake transformacije: delite obe strani z -4.

Razdeli po negativnoštevilo.

Znak neenakosti se bo spremenil v nasprotno:

X < 2

To je odgovor.

Tako se rešujejo vse linearne neenačbe.

Pozor! Točka 2 je narisana belo, tj. nepobarvan. Notri prazno. To pomeni, da ni vključena v odgovor! Namenoma sem jo narisal tako zdravo. Takšna točka (prazna, ni zdrava!)) se v matematiki imenuje preluknjana točka.

Preostale številke na osi lahko označimo, ni pa nujno. Tuja števila, ki niso povezana z našo neenakostjo, so lahko zmedena, ja ... Zapomniti si morate le, da števila naraščajo v smeri puščice, tj. številke 3, 4, 5 itd. so na desno so dvojke, števila pa 1, 0, -1 itd. - na levo.

Neenakost x < 2 - stroga. X je strogo manjši od dveh. Če ste v dvomih, je preverjanje preprosto. Dvomljivo število nadomestimo v neenakost in pomislimo: "Dva je manj kot dva, seveda!" Tako je prav. Neenakost 2 < 2 nepravilno. Dvojka kot odgovor ni dobra.

Je ena v redu? Vsekakor. Manj ... In ničla je dobra, pa -17 in 0,34 ... Ja, vse številke, ki so manjše od dve, so dobre! In celo 1,9999.... Vsaj malo, a manj!

Označimo torej vsa ta števila na številski osi. kako Tukaj so možnosti. Prva možnost je senčenje. Z miško se pomaknemo čez sliko (ali se dotaknemo slike na tablici) in vidimo, da je območje vseh x-ov, ki izpolnjujejo pogoj x, zasenčeno < 2 . To je to.

Oglejmo si drugo možnost z uporabo drugega primera:

X ≥ -0,5

Nariši os in označi število -0,5. takole:

Opazite razliko?) No, ja, težko je ne opaziti ... Ta pika je črna! Prebarvano. To pomeni -0,5 je vključeno v odgovor. Tukaj, mimogrede, lahko preverjanje koga zmede. Zamenjajmo:

-0,5 ≥ -0,5

Kako to? -0,5 ni več kot -0,5! Obstaja še več ikon ...

V redu je. V šibki neenakosti je primerno vse, kar ustreza ikoni. IN enako dobro, in več dobro. Zato je v odgovor vključeno -0,5.

Torej, na osi smo označili -0,5; ostane še, da označimo vsa števila, ki so večja od -0,5. Tokrat označujem območje primernih vrednosti x lok(iz besede lok), namesto senčenja. Kazalec premaknemo nad risbo in vidimo ta lok.

Med senčenjem in rokami ni posebne razlike. Naredi, kot pravi učitelj. Če ni učitelja, narišite loke. V več težke naloge senčenje je manj očitno. Lahko se zmedeš.

Tako se na osi narišejo linearne neenačbe. Pojdimo naprej naslednjo funkcijo neenakosti

Pisanje odgovora za neenačbe.

Enačbe so bile dobre.) Poiskali smo x in zapisali odgovor, na primer: x=3. Obstajata dve obliki zapisa odgovorov v neenačbe. Ena je v obliki končne neenakosti. dobro za enostavni primeri. Na primer:

X< 2.

To je popoln odgovor.

Včasih morate zapisati isto stvar, vendar v drugačni obliki, v številčnih intervalih. Potem začne posnetek izgledati zelo znanstveno):

x ∈ (-∞; 2)

Pod ikono ∈ beseda je skrita "pripada"

Vpis se glasi takole: x pripada intervalu od minus neskončnosti do dva ne vključuje. Čisto logično. X je lahko poljubno število od vseh možne številke od minus neskončnosti do dve. Dvojnega X-a ne more biti, kar nam pove beseda "brez".

In kje v odgovoru je to jasno "brez"? To dejstvo je navedeno v odgovoru krog oklepaj takoj za dvema. Če bi bila oba vključena, bi bil nosilec kvadrat. Tukaj je:]. Naslednji primer uporablja takšen oklepaj.

Zapišimo odgovor: x ≥ -0,5 v intervalih:

x ∈ [-0,5; +∞)

bere: x pripada intervalu od minus 0,5, vključno z do plus neskončnosti.

Neskončnosti ni mogoče nikoli vklopiti. To ni številka, je simbol. Zato je v takih zapisih neskončnost vedno poleg oklepaja.

Ta oblika zapisa je primerna za kompleksne odgovore, sestavljene iz več presledkov. Ampak – samo za končne odgovore. Pri vmesnih rezultatih, kjer se pričakuje nadaljnja rešitev, je bolje uporabiti običajno obliko, v obliki preprosta neenakost. To bomo obravnavali v ustreznih temah.

Priljubljene naloge z neenačbami.

Same linearne neenakosti so preproste. Zato naloge pogosto postanejo težje. Treba je bilo torej razmišljati. To, če tega niste vajeni, ni zelo prijetno.) Je pa koristno. Pokazal bom primere takih nalog. Ni za vas, da se jih učite, to je nepotrebno. In da ne bi bilo strah ob srečanju s takimi primeri. Samo malo pomislite - in preprosto je!)

1. Poiščite poljubni dve rešitvi neenačbe 3x - 3< 0

Če ni povsem jasno, kaj storiti, se spomnite glavnega pravila matematike:

Če ne veste, kaj potrebujete, naredite, kar lahko!)

X < 1

In kaj? Nič posebnega. Kaj nas sprašujejo? Prosimo, da poiščemo dve določeni števili, ki sta rešitev neenačbe. Tisti. ustreza odgovoru. Dva katerikolištevilke. Pravzaprav je to zmedeno.) Primernih je nekaj 0 in 0,5. Par -3 in -8. Da ti pari neskončen niz! Kateri odgovor je pravilen?!

Odgovorim: vse! Kateri koli par števil, od katerih je vsako manj kot ena, bo pravilen odgovor. Napišite katero želite. Gremo dalje.

2. Reši neenačbo:

4x - 3 ≠ 0

Naloge v tej obliki so redke. Toda kot pomožne neenakosti se pri iskanju ODZ, na primer, ali pri iskanju domene definicije funkcije, pojavljajo ves čas. Tako linearno neenačbo je mogoče rešiti kot navadno linearno enačbo. Samo povsod razen znaka "=" ( enako) postavite znak " ≠ " (ni enako). Tako pristopite k odgovoru z znakom neenakosti:

X ≠ 0,75

V več zapleteni primeri, je bolje narediti stvari drugače. Iz enakosti naredite neenakost. takole:

4x - 3 = 0

Mirno jo reši, kot je naučeno, in dobiš odgovor:

x = 0,75

Glavna stvar je, da čisto na koncu, ko zapisujete končni odgovor, ne pozabite, da smo našli x, kar daje enakost. In potrebujemo - neenakost. Zato tega X pravzaprav ne potrebujemo.) In zapisati ga moramo s pravilnim simbolom:

X ≠ 0,75

Ta pristop povzroči manj napak. Tisti, ki avtomatsko rešujejo enačbe. In za tiste, ki ne rešujejo enačb, neenakosti pravzaprav ne koristijo ...) Še en primer priljubljene naloge:

3. Poišči najmanjšo celoštevilsko rešitev neenačbe:

3(x - 1) < 5x + 9

Najprej preprosto rešimo neenačbo. Odpremo oklepaje, jih premaknemo, prinesemo podobne ... Dobimo:

X > - 6

Ali ni šlo tako!? Ste sledili znakom!? In za znaki članov, in za znakom neenakosti ...

Pomislimo še enkrat. Najti moramo točno določeno število, ki ustreza tako odgovoru kot pogoju "najmanjše celo število".Če se vam ne posveti takoj, lahko preprosto vzamete katero koli številko in jo ugotovite. Dva na minus šest? Vsekakor! Ali obstaja primerna manjša številka? seveda Na primer, nič je večja od -6. In še manj? Potrebujemo najmanjšo možno stvar! Minus tri je več kot minus šest! Lahko že ujamete vzorec in nehate neumno iti skozi številke, kajne?)

Vzemimo številko bližje -6. Na primer -5. Odgovor je izpolnjen, -5 > - 6. Ali je mogoče najti drugo število, ki je manjše od -5, vendar večje od -6? Lahko na primer -5,5... Stop! Rečeno nam je cela rešitev! Ne vrti -5,5! Kaj pa minus šest? Uh-uh! Neenakost je stroga, minus 6 nikakor ni manjše od minus 6!

Zato je pravilen odgovor -5.

Upajmo, da z izbiro vrednosti iz splošna rešitev vse je jasno. Še en primer:

4. Rešite neenačbo:

7 < 3x+1 < 13

Vau! Ta izraz se imenuje trojna neenakost. Strogo gledano je to skrajšana oblika sistema neenakosti. Ampak takšne trojne neenačbe je treba še reševati v nekaterih nalogah ... Rešuje se tudi brez sistemov. Po enakih enakih transformacijah.

To neenakost moramo poenostaviti, prenesti na čisti X. Ampak ... Kaj bi bilo treba kam preseliti?! Tukaj je čas, da se spomnimo, da je premikanje levo in desno kratka oblika prva transformacija identitete.

A polna oblika zveni takole: Poljubno število ali izraz lahko dodamo/odštejemo obema stranema enačbe (neenakost).

Tukaj so trije deli. Tako bomo uporabili enake transformacije za vse tri dele!

Torej, znebimo se tistega v srednjem delu neenakosti. Od celotnega sredinskega dela odštejmo eno. Da se neenačba ne spremeni, od preostalih dveh delov odštejemo enega. takole:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

To je bolje, kajne?) Vse, kar ostane, je, da vse tri dele razdelite na tri:

2 < X < 4

To je to. To je odgovor. X je lahko poljubno število od dve (brez) do štiri (brez). Tudi ta odgovor je zapisan v intervalih; taki vnosi bodo v kvadratnih neenačbah. Tam so najpogostejša stvar.

Na koncu lekcije bom ponovil najpomembnejše. Uspeh pri reševanju linearnih neenačb je odvisen od sposobnosti transformacije in poenostavitve linearnih enačb. Če hkrati pazi na znak neenakosti, ne bo nobenih težav. To ti želim. Brez težav.)

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Na primer, neenakost je izraz \(x>5\).

Vrste neenakosti:

Če sta \(a\) in \(b\) števili ali , se imenuje neenakost številčno. Pravzaprav gre samo za primerjavo dveh številk. Takšne neenakosti delimo na zvest in nezvest.

Na primer:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) je nepravilna številska neenakost, ker je \(17+3=20\) in \(20\) manjše od \(115\) (in ni večje ali enako) .

Če sta \(a\) in \(b\) izraza, ki vsebujeta spremenljivko, potem imamo neenakost s spremenljivko. Takšne neenakosti so glede na vsebino razdeljene na vrste:

Kakšna je rešitev neenakosti?

Če namesto spremenljivke v neenačbo nadomestite število, se bo ta spremenila v številsko.

Če podana vrednost za x spremeni prvotno neenakost v pravo numerično, potem se pokliče rešitev neenakosti. Če ne, potem ta vrednost ni rešitev. In tako to reši neenakost– najti morate vse njegove rešitve (ali pokazati, da jih ni).

na primerče nadomestimo število \(7\) v linearno neenačbo \(x+6>10\), dobimo pravilno številsko neenakost: \(13>10\). In če nadomestimo \(2\), bo prišlo do nepravilne številske neenakosti \(8>10\). To pomeni, da je \(7\) rešitev prvotne neenakosti, vendar \(2\) ni.

Vendar ima neenakost \(x+6>10\) druge rešitve. Dejansko bomo dobili pravilne številske neenakosti, ko zamenjamo \(5\), in \(12\), in \(138\) ... In kako lahko najdemo vse možne rešitve? Za to uporabljajo Za naš primer imamo:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

To pomeni, da nam bo ustrezala katera koli številka, večja od štiri. Zdaj morate zapisati odgovor. Rešitve neenačb običajno zapišemo številčno in jih na številski osi dodatno označimo s senčenjem. Za naš primer imamo:

odgovor: \(x\in(4;+\infty)\)

Kdaj se spremeni predznak neenakosti?

V neenakosti obstaja ena velika past, v katero se učenci zelo radi ujamejo:

Pri množenju (ali deljenju) neenakosti z negativnim številom se obrne (»več« z »manj«, »več ali enako« z »manj kot ali enako« in tako naprej)

Zakaj se to dogaja? Da bi to razumeli, si oglejmo transformacije številčna neenakost\(3>1\). Res je, tri so res večje od ena. Najprej ga poskusimo pomnožiti s poljubnim pozitivnim številom, na primer z dvema:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Kot lahko vidimo, po množenju neenakost ostane resnična. In ne glede na to, s katerim pozitivnim številom pomnožimo, bomo vedno dobili pravilno neenakost. Zdaj pa poskusimo pomnožiti z negativnim številom, na primer minus tri:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Rezultat je napačna neenakost, ker je minus devet manj kot minus tri! To pomeni, da bi neenakost postala resnična (in je bila torej pretvorba množenja z negativom "legalna"), morate obrniti primerjalni znak, takole: \(−9<− 3\).
Z delitvijo bo šlo na enak način, lahko preverite sami.

Zgoraj zapisano pravilo velja za vse vrste neenačb, ne samo za numerične.

odgovor: \(x\in(-1;\infty)\)

Neenakosti in invalidnost

Neenakosti, tako kot enačbe, imajo lahko omejitve na , to je na vrednosti x. Skladno s tem je treba iz nabora rešitev izločiti tiste vrednosti, ki so po DZ nesprejemljive.

primer: Rešite neenačbo \(\sqrt(x+1)<3\)

rešitev: Jasno je, da mora biti radikalni izraz manjši od \(9\), da bi bila leva stran manjša od \(3\) (navsezadnje iz \(9\) samo \(3\)). Dobimo:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Vsi? Nam bo ustrezala katera koli vrednost x, manjša od \(8\)? ne! Kajti če vzamemo na primer vrednost \(-5\), za katero se zdi, da ustreza zahtevi, to ne bo rešitev prvotne neenakosti, saj nas bo vodila do izračuna korena negativnega števila.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Zato moramo upoštevati tudi omejitve glede vrednosti X – ne more biti tako, da bi bilo pod korenom negativno število. Tako imamo drugo zahtevo za x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

In da je x končna rešitev, mora izpolnjevati obe zahtevi hkrati: biti mora manjši od \(8\) (da je rešitev) in večji od \(-1\) (da je načeloma dopusten). Če ga narišemo na številsko premico, dobimo končni odgovor:

odgovor: \(\levo[-1;8\desno)\)

Za začetek malo poezije, da začutite problem, ki ga intervalna metoda rešuje. Recimo, da moramo rešiti naslednjo neenačbo:

(x − 5)(x + 3) > 0

Kakšne so možnosti? Prva stvar, ki pride na misel večini študentov, so pravila "plus na plus daje plus" in "minus na minus daje plus." Zato je dovolj, da upoštevamo primer, ko sta oba oklepaja pozitivna: x − 5 > 0 in x + 3 > 0. Potem upoštevamo tudi primer, ko sta oba oklepaja negativna: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Naprednejši učenci si bodo (morda) zapomnili, da je na levi kvadratna funkcija, katere graf je parabola. Poleg tega ta parabola seka os OX v točkah x = 5 in x = −3. Za nadaljnje delo morate odpreti oklepaje. Imamo:

x 2 − 2x − 15 > 0

Zdaj je jasno, da so veje parabole usmerjene navzgor, ker koeficient a = 1 > 0. Poskusimo narisati diagram te parabole:

Funkcija je večja od nič, kjer prehaja nad os OX. V našem primeru sta to intervala (−∞ −3) in (5; +∞) - to je odgovor.

Prosimo, upoštevajte: slika prikazuje natančno funkcijski diagram, ne njen urnik. Ker za pravi graf je treba šteti koordinate, računati pomike in druge bedarije, ki nam zaenkrat ne koristijo čisto nič.

Zakaj so te metode neučinkovite?

Torej smo obravnavali dve rešitvi iste neenakosti. Oba sta se izkazala za precej okorna. Prva odločitev se pojavi - samo premisli! — niz sistemov neenakosti. Tudi druga rešitev ni posebej enostavna: zapomniti si je treba graf parabole in še kup drugih drobnih dejstev.

Bila je zelo preprosta neenakost. Ima samo 2 množitelja. Zdaj si predstavljajte, da ne bosta 2, ampak vsaj 4 množitelji. Na primer:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Kako rešiti takšno neenakost? Pregledati vse možne kombinacije prednosti in slabosti? Da, hitreje bomo zaspali, kot našli rešitev. Risanje grafa tudi ni možnost, saj ni jasno, kako se takšna funkcija obnaša na koordinatni ravnini.

Za takšne neenakosti je potreben poseben algoritem rešitve, ki ga bomo obravnavali danes.

Kaj je intervalna metoda

Intervalna metoda je poseben algoritem, namenjen reševanju kompleksnih neenačb oblike f (x) > 0 in f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Rešimo enačbo f (x) = 0. Tako namesto neenačbe dobimo enačbo, ki jo je veliko preprosteje rešiti;
2. Vse dobljene korenine označite na koordinatni premici. Tako bo ravna črta razdeljena na več intervalov;
3. Ugotovite predznak (plus ali minus) funkcije f (x) na skrajnem desnem intervalu. Če želite to narediti, je dovolj, da v f (x) nadomestite poljubno število, ki bo desno od vseh označenih korenin;
4. Označite znake na preostalih intervalih. Če želite to narediti, se spomnite, da se znak spremeni pri prehodu skozi vsak koren.

To je to! Po tem preostane le še zapisovanje intervalov, ki nas zanimajo. Označeni so z znakom »+«, če je bila neenačba oblike f (x) > 0, ali z znakom »−«, če je bila neenačba oblike f (x)< 0.

Na prvi pogled se morda zdi, da je intervalna metoda nekakšna malenkost. Toda v praksi bo vse zelo preprosto. Le malo vadite in vse vam bo jasno. Oglejte si primere in se prepričajte sami:

Naloga. Reši neenačbo:

(x − 2)(x + 7)< 0

Delamo po intervalni metodi. 1. korak: zamenjajte neenačbo z enačbo in jo rešite:

(x − 2)(x + 7) = 0

Produkt je nič, če in samo če je vsaj eden od faktorjev enak nič:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Imamo dve korenini. Pojdimo na korak 2: označite te korenine na koordinatni črti. Imamo:

Zdaj korak 3: poiščite predznak funkcije na skrajno desnem intervalu (desno od označene točke x = 2). Če želite to narediti, morate vzeti poljubno število, ki je večje od števila x = 2. Na primer, vzemimo x = 3 (vendar nihče ne prepoveduje jemanja x = 4, x = 10 in celo x = 10.000). Dobimo:

f (x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Ugotovimo, da je f (3) = 10 > 0, zato v skrajni desni interval postavimo znak plus.

Preidimo na zadnjo točko - opaziti moramo znake na preostalih intervalih. Ne pozabimo, da se mora pri prehodu skozi vsak koren spremeniti predznak. Na primer, desno od korena x = 2 je plus (v to smo se prepričali v prejšnjem koraku), zato mora biti levo minus.

Ta minus se razteza na celoten interval (−7; 2), tako da je minus desno od korena x = −7. Zato je levo od korena x = −7 plus. Ostaja še označiti te znake na koordinatni osi. Imamo:

Vrnimo se k prvotni neenakosti, ki je imela obliko:

(x − 2)(x + 7)< 0

Torej mora biti funkcija manjša od nič. To pomeni, da nas zanima znak minus, ki se pojavi le na enem intervalu: (−7; 2). To bo odgovor.

Naloga. Reši neenačbo:

(x + 9)(x − 3)(1 − x)< 0

1. korak: nastavite levo stran na nič:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Ne pozabite: produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. Zato imamo pravico vsak posamezen oklepaj enačiti z ničlo.

2. korak: označite vse korenine na koordinatni črti:

3. korak: ugotovite znak skrajne desne vrzeli. Vzamemo poljubno število, ki je večje od x = 1. Na primer, lahko vzamemo x = 10. Imamo:

f (x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197< 0.

4. korak: postavitev preostalih znakov. Spomnimo se, da se pri prehodu skozi vsak koren spremeni predznak. Posledično bo naša slika videti takole:

To je to. Preostane le še zapis odgovora. Poglejte še enkrat prvotno neenakost:

(x + 9)(x − 3)(1 − x)< 0

To je neenakost oblike f(x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

To je odgovor.

Opomba o funkcijskih znakih

Praksa kaže, da največje težave pri intervalni metodi nastanejo v zadnjih dveh korakih, tj. pri postavljanju znakov. Mnogi učenci se začnejo zmedeti: katere številke vzeti in kam postaviti znake.

Da bi končno razumeli intervalno metodo, razmislite o dveh ugotovitvah, na katerih temelji:

1. Zvezna funkcija spremeni predznak samo v teh točkah kjer je enak nič. Takšne točke razdelijo koordinatno os na dele, znotraj katerih se predznak funkcije nikoli ne spremeni. Zato rešimo enačbo f (x) = 0 in najdene korenine označimo na premici. Najdene številke so "mejne" točke, ki ločujejo prednosti in slabosti.
2. Če želite izvedeti znak funkcije na katerem koli intervalu, je dovolj, da v funkcijo nadomestite poljubno število iz tega intervala. Na primer, za interval (−5; 6) imamo pravico vzeti x = −4, x = 0, x = 4 in celo x = 1,29374, če želimo. Zakaj je to pomembno? Da, saj marsikaterega dijaka začnejo glodati dvomi. Na primer, kaj če za x = −4 dobimo plus, za x = 0 pa minus? A kaj takega se ne bo nikoli zgodilo. Vse točke na istem intervalu dajejo enak predznak. Zapomni si to.

To je vse, kar morate vedeti o intervalni metodi. Seveda smo ga analizirali v najpreprostejši obliki. Obstajajo bolj zapletene neenakosti - nestroge, delne in s ponavljajočimi se koreninami. Za njih lahko uporabite tudi intervalno metodo, vendar je to tema za ločeno veliko lekcijo.

Zdaj bi rad pogledal napredno tehniko, ki dramatično poenostavlja intervalno metodo. Natančneje, poenostavitev vpliva le na tretji korak - izračun predznaka na skrajno desnem delu črte. Iz nekega razloga se te tehnike ne učijo v šolah (vsaj meni tega nihče ni razložil). Toda zaman - ker je v resnici ta algoritem zelo preprost.

Torej je znak funkcije na desnem delu številske premice. Ta kos ima obliko (a ; +∞), kjer je a največji koren enačbe f (x) = 0. Da vam ne bi padlo na pamet, si oglejmo konkreten primer:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Dobili smo 3 korenine. Naštejmo jih v naraščajočem vrstnem redu: x = −2, x = 1 in x = 7. Očitno je največji koren x = 7.

Za tiste, ki lažje sklepajo grafično, bom te korene označil na koordinatni premici. Poglejmo, kaj se zgodi:

Predznak funkcije f (x) je treba najti na skrajnem desnem intervalu, tj. na (7; +∞). Toda kot smo že omenili, lahko za določitev predznaka vzamete poljubno število iz tega intervala. Na primer, lahko vzamete x = 8, x = 150 itd. In zdaj - ista tehnika, ki je ne učijo v šolah: vzemimo neskončnost kot število. Natančneje, plus neskončnost, tj. +∞.

»Ali si okamenjen? Kako lahko neskončnost nadomestiš s funkcijo?« - boste morda vprašali. Toda pomislite: ne potrebujemo vrednosti same funkcije, potrebujemo le znak. Zato na primer vrednosti f (x) = −1 in f (x) = −938 740 576 215 pomenita isto: funkcija na tem intervalu je negativna. Zato je vse, kar se od vas zahteva, da poiščete znak, ki se pojavi v neskončnosti, in ne vrednosti funkcije.

Pravzaprav je zamenjava neskončnosti zelo preprosta. Vrnimo se k naši funkciji:

f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Predstavljajte si, da je x zelo veliko število. Milijardo ali celo trilijon. Zdaj pa poglejmo, kaj se zgodi v vsakem oklepaju.

Prvi oklepaj: (x − 1). Kaj se zgodi, če od milijarde odštejete ena? Rezultat bo število, ki se ne bo zelo razlikovalo od milijarde, in to število bo pozitivno. Podobno z drugim oklepajem: (2 + x). Če dvema prištejete milijardo, dobite milijardo in kopejk - to je pozitivna številka. Na koncu še tretji oklepaj: (7 − x). Tu bo minus milijarda, iz katere je bil "odglodan" patetičen košček v obliki sedmice. Tisti. dobljeno število se ne bo veliko razlikovalo od minus milijarde - negativno bo.

Ostaja le še najti znak celotnega dela. Ker smo imeli v prvem oklepaju plus, v zadnjem pa minus, dobimo naslednjo konstrukcijo:

(+) · (+) · (−) = (−)

Zadnji znak je minus! In ni pomembno, kakšna je vrednost same funkcije. Glavna stvar je, da je ta vrednost negativna, tj. skrajni desni interval ima znak minus. Ostane le še dokončati četrti korak intervalne metode: urediti vse znake. Imamo:

Prvotna neenakost je bila:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Zato nas zanimajo intervali, označeni z minusom. Zapišemo odgovor:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

To je ves trik, ki sem ti ga hotel povedati. Za zaključek je tu še ena neenačba, ki jo je mogoče rešiti z intervalno metodo z uporabo neskončnosti. Za vizualno skrajšanje rešitve ne bom pisal številk korakov in podrobnih komentarjev. Napisal bom samo tisto, kar morate res napisati pri reševanju resničnih problemov:

Naloga. Reši neenačbo:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Neenačbo nadomestimo z enačbo in jo rešimo:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Na koordinatni črti označimo vse tri korenine (z znaki hkrati):

Na desni strani koordinatne osi je plus, ker funkcija izgleda takole:

f (x) = x (2x + 8)(x − 3)

In če nadomestimo neskončnost (na primer milijardo), dobimo tri pozitivne oklepaje. Ker mora biti prvotni izraz večji od nič, nas zanimajo samo pozitivni elementi. Vse kar ostane je, da zapišemo odgovor:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.