Poenostavitev trigonometričnih enačb. Identitetne transformacije trigonometričnih izrazov

Video lekcija "Poenostavitev trigonometričnih izrazov" je zasnovana tako, da razvija spretnosti študentov pri reševanju trigonometričnih problemov z uporabo osnovnih trigonometričnih identitet. Med video lekcijo so obravnavane vrste trigonometričnih identitet, primeri reševanja problemov z njihovo uporabo. Z uporabo vizualnih pripomočkov učitelj lažje doseže cilje lekcije. Živahna predstavitev gradiva prispeva k zapomnitvi pomembnih točk. Uporaba animacijskih učinkov in glasovne igre vam omogoča, da popolnoma nadomestite učitelja na stopnji razlage gradiva. Tako lahko učitelj z uporabo tega vizualnega pripomočka pri pouku matematike poveča učinkovitost poučevanja.

Na začetku video lekcije je napovedana njena tema. Nato se spomnimo trigonometričnih identitet, ki smo jih preučevali prej. Na zaslonu so prikazane enakosti sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, kjer je t≠π/2+πk za kϵZ, ctg t=cos t/sin t, velja za t≠πk, kjer je kϵZ, tan t · ctg t=1, pri t≠πk/2, kjer je kϵZ, imenovane osnovne trigonometrične identitete. Opozoriti je treba, da se te identitete pogosto uporabljajo pri reševanju problemov, kjer je treba dokazati enakost ali poenostaviti izraz.

Nadalje so obravnavani primeri uporabe teh identitet pri reševanju problemov. Najprej je predlagano, da razmislimo o reševanju problemov poenostavljanja izrazov. V primeru 1 je potrebno poenostaviti izraz cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Za rešitev primera je skupni faktor cos 2 t najprej v oklepaju. Kot rezultat takšne transformacije v oklepaju dobimo izraz 1-cos 2 t, katerega vrednost iz osnovne identitete trigonometrije je enaka sin 2 t. Po transformaciji izraza je očitno, da lahko iz oklepaja vzamemo še en skupni faktor sin 2 t, po katerem izraz dobi obliko sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). Iz iste osnovne identitete izpeljemo vrednost izraza v oklepaju, ki je enaka 1. Kot rezultat poenostavitve dobimo cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

V primeru 2 je treba poenostaviti tudi izraz cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint). Ker je cena izraza v števcih obeh ulomkov, jo lahko označimo kot skupni faktor. Nato se ulomki v oklepajih reducirajo na skupni imenovalec z množenjem (1- sint)(1+ sint). Po zmanjšanju podobnih členov ostane 2 v števcu, 1 - sin 2 t pa v imenovalcu. Na desni strani zaslona se prikliče osnovna trigonometrična identiteta sin 2 t+cos 2 t=1. Z njim poiščemo imenovalec ulomka cos 2 t. Po zmanjšanju ulomka dobimo poenostavljeno obliko izraza stroški / (1- sint) + stroški / (1 + sint) \u003d 2 / stroški.

V nadaljevanju obravnavamo primere dokazovanja identitet, v katerih uporabimo pridobljeno znanje o osnovnih identitetah trigonometrije. V primeru 3 je potrebno dokazati istovetnost (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Desna stran zaslona prikazuje tri identitete, ki bodo potrebne za dokaz - tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin t in tg t=sin t/cos t z omejitvami. Za dokaz identitete se najprej odprejo oklepaji, nato pa se oblikuje produkt, ki odraža izraz glavne trigonometrične identitete tg t·ctg t=1. Nato se po identiteti iz definicije kotangensa transformira ctg 2 t. Kot rezultat transformacij dobimo izraz 1-cos 2 t. Z uporabo osnovne identitete poiščemo vrednost izraza. Tako je dokazano, da (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

V primeru 4 morate poiskati vrednost izraza tg 2 t+ctg 2 t, če je tg t+ctg t=6. Za ovrednotenje izraza najprej kvadriramo desno in levo stran enačbe (tg t+ctg t) 2 =6 2. Na desni strani zaslona je prikazana skrajšana formula za množenje. Po odprtju oklepajev na levi strani izraza nastane vsota tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t, za transformacijo katere lahko uporabimo eno od trigonometričnih identitet tg t ctg t=1, katerega oblika se prikliče na desni strani zaslona. Po transformaciji dobimo enakost tg 2 t+ctg 2 t=34. Leva stran enačbe sovpada s pogojem naloge, zato je odgovor 34. Naloga je rešena.

Video lekcijo "Poenostavitev trigonometričnih izrazov" priporočamo za uporabo pri tradicionalni šolski lekciji matematike. Gradivo bo koristno tudi učitelju, ki izvaja učenje na daljavo. Da bi oblikovali veščino reševanja trigonometričnih problemov.

INTERPRETACIJA BESEDILA:

"Poenostavitev trigonometričnih izrazov".

Enakopravnost

1)sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus na kvadrat te plus kosinus na kvadrat te je enako ena)

2) tgt =, pri t ≠ + πk, kϵZ (tangens te je enak razmerju med sinusom te in kosinusom te, ko te ni enak pi za dva plus pi ka, ka pripada zet)

3) ctgt = , pri t ≠ πk, kϵZ (kotangens te je enak razmerju med kosinusom te in sinusom te, kadar te ni enak vrhu ka, ki pripada z).

4)tgt ∙ ctgt = 1 za t ≠ , kϵZ

imenujemo osnovne trigonometrične identitete.

Pogosto se uporabljajo za poenostavljanje in dokazovanje trigonometričnih izrazov.

Razmislite o primerih uporabe teh formul pri poenostavljanju trigonometričnih izrazov.

PRIMER 1. Poenostavite izraz: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (izraz a kosinus na kvadrat te minus kosinus četrte stopnje te plus sinus četrte stopnje te).

Odločitev. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1 = sin 2 t

(odvzamemo skupni faktor kosinus kvadrat te, v oklepaju dobimo razliko med enoto in kvadratom kosinusa te, ki je po prvi istovetnosti enak kvadratu sinusa te. Dobimo vsoto sinusa četrtega stopnja te zmnožka kosinusa kvadrata te in sinusa kvadrata te Izven oklepaja iznesemo skupni faktor sinus kvadrat te, v oklepaju dobimo vsoto kvadratov kosinusa in sinusa, ki glede na osnovno trigonometrijo identiteta, je enaka 1. Kot rezultat dobimo kvadrat sinusa te).

PRIMER 2. Poenostavimo izraz: + .

(izraz je vsota dveh ulomkov v števcu prvega kosinusa te v imenovalcu ena minus sinus te, v števcu drugega kosinusa te v imenovalcu drugega plus sinus te).

(Skupni faktor kosinus te vzamemo iz oklepajev, v oklepajih pa ga pripeljemo na skupni imenovalec, ki je zmnožek ena minus sinus te z ena plus sinus te.

V števcu dobimo: ena plus sinus te plus ena minus sinus te, damo podobne, števec je enak dvema po prinašanju podobnih.

V imenovalcu lahko uporabimo skrajšano formulo množenja (razlika kvadratov) in dobimo razliko med enoto in kvadratom sinusa te, ki po osnovni trigonometrični istovetnosti

je enak kvadratu kosinusa te. Po zmanjšanju s kosinusom te dobimo končni odgovor: dva deljeno s kosinusom te).

Razmislite o primerih uporabe teh formul pri dokazovanju trigonometričnih izrazov.

PRIMER 3. Dokažite istovetnost (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (zmnožek razlike med kvadratoma tangensa te in sinusa te ter kvadrata kotangensa od te je enako kvadratu sinusa te).

Dokaz.

Transformirajmo levo stran enakosti:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = greh 2 t

(Odprimo oklepaje, iz prej pridobljene relacije je znano, da je zmnožek kvadratov tangensa te in kotangensa te enak ena. Spomnimo se, da je kotangens te enak razmerju kosinusa te te na sinus od te, kar pomeni, da je kvadrat kotangensa razmerje med kvadratom kosinusa od te in kvadratom sinusa od te.

Po zmanjšanju za sinus kvadrat te dobimo razliko med enoto in kosinusom kvadrata te, ki je enak sinusu kvadrata te). Q.E.D.

PRIMER 4. Poiščite vrednost izraza tg 2 t + ctg 2 t, če je tgt + ctgt = 6.

(vsota kvadratov tangensa te in kotangensa te, če je vsota tangensa in kotangensa šest).

Odločitev. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Kvadrirajmo oba dela prvotne enakosti:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (kvadrat vsote tangensa te in kotangensa te je šest na kvadrat). Spomnimo se skrajšane formule množenja: Kvadrat vsote dveh količin je enak kvadratu prve plus dvakratni produkt prve in druge plus kvadrat druge. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Dobimo tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .

Ker je produkt tangensa te in kotangensa te enak ena, potem je tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (vsota kvadratov tangensa te in kotangensa te in dva je šestintrideset),

Voronkova Olga Ivanovna

MBOU "Srednja šola

št. 18"

Engels, regija Saratov.

Učiteljica matematike.

"Trigonometrični izrazi in njihove transformacije"

Uvod ……………………………………………………………………………...3

Poglavje 1 Razvrstitev nalog za uporabo transformacij trigonometričnih izrazov ……………………………………………………...5

1.1. Računske naloge vrednosti trigonometričnih izrazov……….5

1.2.Naloge za poenostavitev trigonometričnih izrazov .... 7

1.3. Naloge za pretvorbo številskih trigonometričnih izrazov ... ..7

1.4 Mešane naloge…………………………………………………….....9

2. poglavje

2.1 Tematsko ponavljanje v 10. razredu…………………………………………...11

Test 1………………………………………………………………………………..12

Test 2…………………………………………………………………………………..13

Test 3…………………………………………………………………………………..14

2.2 Končno ponavljanje v 11. razredu……………………………………………...15

Preizkus 1…………………………………………………………………………………..17

Test 2…………………………………………………………………………………..17

Test 3…………………………………………………………………………………..18

Zaključek.………………………………………………………………………..19

Seznam uporabljene literature…………………………………………..…….20

Uvod.

V današnjih razmerah je najpomembnejše vprašanje: "Kako pomagati odpraviti nekatere vrzeli v znanju študentov in jih opozoriti na morebitne napake pri izpitu?" Za rešitev tega vprašanja je treba od učencev doseči ne formalno asimilacijo programskega gradiva, temveč njegovo globoko in zavestno razumevanje, razvoj hitrosti ustnih izračunov in transformacij ter razvoj spretnosti za reševanje najpreprostejših nalog. težave »v glavi«. Študente je treba prepričati, da je mogoče računati na resničen uspeh le ob prisotnosti aktivnega položaja pri študiju matematike, ob upoštevanju pridobivanja praktičnih veščin in njihove uporabe. Treba je izkoristiti vsako priložnost za pripravo na izpit, vključno z izbirnimi predmeti v 10.–11. razredu, za redno analizo zapletenih nalog z učenci in izbiro najbolj racionalnega načina za njihovo reševanje v učilnici in dodatnih razredih.pozitiven rezultat vpodročje reševanja tipičnih problemov lahko dosežejo učitelji matematike z ustvarjanjemdobro osnovno usposabljanje študentov, iskati nove načine pri reševanju problemov, ki so se odprli pred nami, aktivno eksperimentirati, uporabljati sodobne pedagoške tehnologije, metode, tehnike, ki ustvarjajo ugodne pogoje za učinkovito samouresničevanje in samoodločanje študentov v nove družbene razmere.

Trigonometrija je sestavni del šolskega tečaja matematike. Dobro znanje in močne veščine trigonometrije so dokaz zadostne stopnje matematične kulture, nepogrešljiv pogoj za uspešen študij matematike, fizike in številnih tehničnih področij. disciplinah.

Ustreznost dela. Pomemben del maturantov kaže iz leta v leto zelo slabo pripravljenost na tem pomembnem delu matematike, kar dokazujejo rezultati preteklih let (odstotek zaključenih v 2011-48,41%, 2012-51,05%), saj analiza uspešnosti enotni državni izpit je pokazal, da učenci delajo veliko napak pri izpolnjevanju nalog iz tega oddelka ali pa se teh nalog sploh ne lotijo. V enem Vprašanja državnega izpita iz trigonometrije se nahajajo v skoraj treh vrstah nalog. To je reševanje najpreprostejših trigonometričnih enačb v nalogi B5 in delo s trigonometričnimi izrazi v nalogi B7 ter študij trigonometričnih funkcij v nalogi B14, pa tudi naloge B12, v katerih so formule, ki opisujejo fizikalne pojave in vsebujejo trigonometrične funkcije. . In to je le del nalog B! Obstajajo pa tudi najljubše trigonometrične enačbe z izbiro korenin C1 in "ne zelo priljubljene" geometrijske naloge C2 in C4.

Cilj. Analizirajte gradivo nalog USE B7, namenjenih transformaciji trigonometričnih izrazov, in razvrstite naloge glede na obliko njihove predstavitve v testih.

Delo je sestavljeno iz dveh poglavij, uvoda in zaključka. Uvod poudarja aktualnost dela. V prvem poglavju je podana klasifikacija nalog za uporabo transformacij trigonometričnih izrazov v testnih nalogah Enotnega državnega izpita (2012).

V drugem poglavju je obravnavana organizacija ponavljanja teme "Transformacija trigonometričnih izrazov" v 10., 11. razredu in razviti testi na to temo.

Seznam literature obsega 17 virov.

Poglavje 1. Razvrstitev nalog za uporabo transformacij trigonometričnih izrazov.

Skladno s standardom srednje (popolne) izobrazbe in zahtevami glede stopnje usposobljenosti dijakov so naloge za poznavanje osnov trigonometrije vključene v šifrant zahtev.

Učenje osnov trigonometrije bo najbolj učinkovito, če:

učenci bodo pozitivno motivirani za ponavljanje predhodno preučene snovi;

v izobraževalnem procesu bo uveljavljen na študenta osredotočen pristop;

uporabljen bo sistem nalog, ki prispeva k širjenju, poglabljanju, sistematizaciji znanja študentov;

uporabljene bodo napredne pedagoške tehnologije.

Po analizi literature in internetnih virov za pripravo na izpit smo predlagali eno od možnih razvrstitev nalog B7 (KIM USE 2012-trigonometrija): naloge za računanjevrednosti trigonometričnih izrazov; naloge zapretvorba numeričnih trigonometričnih izrazov; naloge za pretvorbo literalnih trigonometričnih izrazov; mešane naloge.

1.1. Računske naloge vrednosti trigonometričnih izrazov.

Ena najpogostejših vrst preprostih trigonometričnih problemov je izračun vrednosti trigonometričnih funkcij z vrednostjo ene od njih:

a) Uporaba osnovne trigonometrične identitete in njenih posledic.

Primer 1 . Poiščite, če
in
.

Odločitev.
,
,

Ker , potem
.

Odgovori.

Primer 2 . Najti
, če
in .

Odločitev.
,
,
.

Ker , potem
.

Odgovori. .

b) Uporaba formul dvojnega kota.

Primer 3 . Najti
, če
.

Odločitev. , .

Odgovori.
.

Primer 4 . Poiščite vrednost izraza
.

Odločitev. .

Odgovori.
.

, če
in
. Odgovori. -0,2

2. Najti , če
in
. Odgovori. 0,4

, če . Odgovori. -12,88

Najti

, če
. Odgovori. -0,84

. Odgovori. 6

1.2.Naloge za poenostavitev trigonometričnih izrazov. Redukcijske formule morajo učenci dobro obvladati, saj jih bodo še naprej uporabljali pri pouku geometrije, fizike in drugih sorodnih disciplin.

Primer 5 . Poenostavite izraze
.

Odločitev. .

Odgovori.
.

Naloge za samostojno reševanje:

Poenostavite izraz
.

Najti
, če
in

Poiščite vrednost izraza
, če
.

1.3. Naloge za pretvorbo numeričnih trigonometričnih izrazov.

Pri razvijanju spretnosti in sposobnosti nalog za pretvorbo numeričnih trigonometričnih izrazov je treba pozornost nameniti poznavanju tabele vrednosti trigonometričnih funkcij, lastnosti paritete in periodičnosti trigonometričnih funkcij.

a) Uporaba natančnih vrednosti trigonometričnih funkcij za nekatere kote.

Primer 6 . Izračunaj
.

Odločitev.
.

Odgovori.
.

b) Uporaba lastnosti paritete trigonometrične funkcije.

Primer 7 . Izračunaj
.

Odločitev. .

Odgovori.

v) Uporaba lastnosti periodičnostitrigonometrične funkcije.

Primer 8 . Poiščite vrednost izraza
.

Odločitev. .

Odgovori.
.

Naloge za samostojno reševanje:

Poiščite vrednost izraza
.

2. Poišči vrednost izraza
.

3. Poiščite vrednost izraza
. Odgovori. 6

.

1.4 Mešane naloge.

Preizkusna oblika certificiranja ima zelo pomembne lastnosti, zato je pomembno biti pozoren na naloge, povezane z uporabo več trigonometričnih formul hkrati.

Primer 9 Najti
, če
.

Odločitev.
.

Odgovori.
.

Primer 10 . Najti
, če
in
.

Odločitev. .

Ker , potem
.

Odgovori.
.

Primer 11. Najti
, če .

Odločitev. , ,
,
,
,
,
.

Odgovori.

Primer 12. Izračunaj
.

Odločitev. .

Odgovori.
.

Primer 13 Poiščite vrednost izraza
, če
.

Odločitev. .

Odgovori.
.

Naloge za samostojno reševanje:

Najti
, če
.

Najti
, če
.

3. Najdi
, če .

4. Poišči vrednost izraza
, če
.

5. Poišči vrednost izraza
, če
.

Poglavje 2. Metodološki vidiki Organizacija končne ponovitve teme "Transformacija trigonometričnih izrazov."

Eno najpomembnejših vprašanj, ki prispevajo k nadaljnjemu izboljšanju akademske uspešnosti, doseganju poglobljenega in trdnega znanja med študenti, je vprašanje ponavljanja predhodno preučenega gradiva. Praksa kaže, da je v 10. razredu bolj smotrno organizirati tematsko ponavljanje; v 11. razredu - končno ponavljanje.

2.1. Tematsko ponavljanje v 10. razredu.

V procesu dela na matematični snovi postane še posebej pomembno ponavljanje vsake zaključene teme ali celotnega dela predmeta.

S tematskim ponavljanjem se znanje študentov o temi sistematizira na zadnji stopnji njenega prehoda ali po odmoru.

Za tematsko ponavljanje so dodeljene posebne lekcije, na katerih je gradivo ene posamezne teme koncentrirano in posplošeno.

Ponavljanje pri pouku poteka skozi pogovor s širokim vključevanjem učencev v ta pogovor. Zatem študenti dobijo nalogo, da ponovijo določeno temo in so opozorjeni, da bo na testih kreditno delo.

Test na temo mora vsebovati vsa glavna vprašanja. Po končanem delu se karakteristične napake analizirajo in za njihovo odpravo organizirajo ponovitve.

Za lekcije tematskega ponavljanja ponujamo razvite testne naloge na temo "Pretvorba trigonometričnih izrazov".

Test #1

Test #2

Test #3

Tabela odgovorov

Test

2.2. Končno ponavljanje v 11. razredu.

Končno ponavljanje se izvaja na zadnji stopnji preučevanja glavnih vprašanj tečaja matematike in se izvaja v logični povezavi s študijem učnega gradiva za ta del ali tečaj kot celoto.

Končna ponovitev učne snovi ima naslednje cilje:

1. Aktivacija gradiva celotnega tečaja usposabljanja za razjasnitev njegove logične strukture in izgradnjo sistema znotraj predmetnih in medpredmetnih odnosov.

2. Poglobitev in, če je mogoče, razširitev znanja študentov o glavnih vprašanjih predmeta v procesu ponavljanja.

V okviru obveznega izpita iz matematike za vse diplomante postopno uvajanje USE povzroči, da učitelji sprejmejo nov pristop k pripravi in ​​izvedbi pouka, pri čemer upoštevajo potrebo po zagotovitvi, da vsi učenci obvladajo učno snov na osnovni ravni, kot tudi priložnost za motivirane študente, ki jih zanimajo visoke ocene za vpis na univerzo, dinamično napredovanje pri obvladovanju snovi na višji in visoki ravni.

V lekcijah končne ponovitve lahko razmislite o naslednjih nalogah:

Odločitev. =
= =
=
=
=
=0,5.

Določite največjo celoštevilsko vrednost, ki jo izraz lahko sprejme
.

Odločitev. Kot
lahko sprejme katero koli vrednost, ki pripada segmentu [–1; 1], potem
sprejme katero koli vrednost segmenta [–0,4; 0,4], torej . Celoštevilčna vrednost izraza je ena - število 4.

Poenostavite izraz
.

Rešitev: Uporabimo formulo za faktorizacijo vsote kubov: . Imamo

Imamo:
.

Odgovor: 1

Primer 4 Izračunaj
.

Odločitev. .

Odgovor: 0,28

Za lekcije končne ponovitve ponujamo razvite teste na temo "Pretvorba trigonometričnih izrazov".

Določite največje celo število, ki ne presega 1

Zaključek.

Po pregledu ustrezne metodološke literature na to temo lahko sklepamo, da je sposobnost in spretnost reševanja nalog, povezanih s trigonometričnimi transformacijami, pri šolskem tečaju matematike zelo pomembna.

Med opravljenim delom je bila izvedena klasifikacija nalog B7. Upoštevane so trigonometrične formule, ki so bile najpogosteje uporabljene v CMM leta 2012. Podani so primeri nalog z rešitvami. Za organizacijo ponavljanja in sistematizacije znanja pri pripravi na izpit so bili razviti diferencialni testi.

Priporočljivo je nadaljevati začeto delo, upoštevajoč reševanje najpreprostejših trigonometričnih enačb v nalogi B5, študij trigonometričnih funkcij v nalogi B14, naloga B12, v kateri so formule, ki opisujejo fizikalne pojave in vsebujejo trigonometrične funkcije.

Na koncu bi rad omenil, da je učinkovitost opravljanja izpita v veliki meri odvisna od tega, kako učinkovito je organiziran pripravljalni proces na vseh ravneh izobraževanja, z vsemi kategorijami študentov. In če uspemo pri učencih oblikovati samostojnost, odgovornost in pripravljenost za nadaljnje učenje skozi vse nadaljnje življenje, potem ne bomo le izpolnjevali ukaza države in družbe, temveč tudi dvignili lastno samozavest.

Ponavljanje učne snovi od učitelja zahteva ustvarjalno delo. Zagotoviti mora jasno povezavo med vrstami ponavljanja, izvajati globoko premišljen sistem ponavljanja. Obvladati umetnost organiziranja ponavljanja je naloga učitelja. Od njegove rešitve je v veliki meri odvisna trdnost znanja učencev.

Literatura.

Vygodsky Ya.Ya., Priročnik za osnovno matematiko. -M .: Nauka, 1970.

Naloge povečane težavnosti v algebri in začetki analize: Učbenik za 10-11 razred srednje šole / B.M. Ivlev, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnicin, S.I. Schwarzburd. – M.: Razsvetljenje, 1990.

Uporaba osnovnih trigonometričnih formul pri transformaciji izrazov (10. razred) // Festival pedagoških idej. 2012-2013.

Koryanov A.G. , Prokofjev A.A. Na izpit pripravljamo dobre dijake in odličnjake. - M .: Pedagoška univerza "Prvi september", 2012.- 103 str.

Kuznetsova E.N. Poenostavitev trigonometričnih izrazov. Reševanje trigonometričnih enačb z različnimi metodami (priprava na izpit). 11. razred. 2012-2013.

Kulanin E.D. 3000 tekmovalnih problemov iz matematike. 4. id., prav. in dodatno – M.: Rolf, 2000.

Mordkovich A.G. Metodični problemi študija trigonometrije v splošni šoli // Matematika v šoli. 2002. št. 6.

Pichurin L.F. O trigonometriji in ne le o njej: -M. Razsvetljenje, 1985

Reshetnikov N.N. Trigonometrija v šoli: -M. : Pedagoška univerza "Prvi september", 2006, lk 1.

Šabunin M.I., Prokofjev A.A. Matematika. Algebra. Začetki matematične analize Raven profila: učbenik za 10. razred - M .: BINOM. Laboratorij znanja, 2007.

Izobraževalni portal za pripravo na izpit.

Priprava na izpit iz matematike "Oh, ta trigonometrija! http://festival.1september.ru/articles/621971/

Projekt "Matematika? Enostavno!!!" http://www.resolventa.ru/

Oddelki: Matematika

Razred: 11

Lekcija 1

Tema: 11. razred (priprava na izpit)

Poenostavitev trigonometričnih izrazov.

Rešitev najenostavnejših trigonometričnih enačb. (2 uri)

Cilji:

• Sistematizirati, posplošiti, razširiti znanje in spretnosti učencev v zvezi z uporabo trigonometričnih formul in reševanjem najpreprostejših trigonometričnih enačb.

Oprema za lekcijo:

Struktura lekcije:

1. Orgmoment
2. Testiranje na prenosnikih. Razprava o rezultatih.
3. Poenostavitev trigonometričnih izrazov
4. Rešitev najenostavnejših trigonometričnih enačb
5. Samostojno delo.
6. Povzetek lekcije. Razlaga domače naloge.

1. Organizacijski trenutek. (2 minuti.)

Učitelj pozdravi občinstvo, napove temo lekcije, se spomni, da je bila prej dana naloga ponoviti trigonometrične formule in učence pripravi na testiranje.

2. Testiranje. (15min + 3min razprave)

Cilj je preveriti poznavanje trigonometričnih formul in sposobnost njihove uporabe. Vsak učenec ima na mizi prenosni računalnik, v katerem je možnost testiranja.

Možnosti je lahko poljubno, dal bom primer ene od njih:

I možnost.

Poenostavite izraze:

a) osnovne trigonometrične identitete

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) adicijske formule

3. sin5x - sin3x;

c) pretvarjanje zmnožka v vsoto

6. 2sin8y cos3y;

d) formule dvojnega kota

7,2sin5x cos5x;

e) formule polovičnega kota

f) formule trojnega kota

g) univerzalna zamenjava

h) znižanje stopnje

16. cos 2 (3x/7);

Učenci na prenosnem računalniku pred vsako formulo vidijo svoje odgovore.

Delo takoj preveri računalnik. Rezultati so prikazani na velikem zaslonu, ki ga lahko vidijo vsi.

Prav tako se po koncu dela na prenosnih računalnikih učencev prikažejo pravilni odgovori. Vsak učenec vidi, kje je bila storjena napaka in katere formule mora ponoviti.

3. Poenostavitev trigonometričnih izrazov. (25 min.)

Cilj je ponoviti, obdelati in utrditi uporabo osnovnih formul trigonometrije. Reševanje nalog B7 iz izpita.

Na tej stopnji je priporočljivo razdeliti razred v skupine močnih (samostojno delo z naknadnim preverjanjem) in šibkih učencev, ki delajo z učiteljem.

Naloga za močnejše študente (vnaprej pripravljena v tiskani obliki). Glavni poudarek je na formulah redukcije in dvojnega kota, glede na USE 2011.

Poenostavite izraze (za močne učence):

Vzporedno učitelj dela s šibkimi učenci, razpravlja in rešuje naloge na ekranu po nareku učencev.

Izračunajte:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

6)

Poenostavite:

Na vrsti je bila razprava o rezultatih dela močne skupine.

Na zaslonu se prikažejo odgovori, prav tako pa se s pomočjo video kamere prikaže delo 5 različnih učencev (za vsakega ena naloga).

Šibka skupina vidi stanje in način rešitve. Obstaja razprava in analiza. Z uporabo tehničnih sredstev se to zgodi hitro.

4. Rešitev najenostavnejših trigonometričnih enačb. (30 minut.)

Cilj je ponoviti, sistematizirati in posplošiti reševanje najpreprostejših trigonometričnih enačb z zapisom njihovih korenov. Rešitev problema B3.

Vsaka trigonometrična enačba, ne glede na to, kako jo rešimo, vodi do najpreprostejše.

Pri reševanju naloge naj bodo učenci pozorni na pisanje korenov enačb posameznih primerov in splošne oblike ter na izbiro korenov v zadnji enačbi.

Reši enačbe:

Zapišite najmanjši pozitivni koren odgovora.

5. Samostojno delo (10 min.)

Cilj je preizkus osvojenih veščin, prepoznavanje težav, napak in načinov njihove odprave.

Študentom so na voljo različna dela po izbiri.

Možnost za "3"

1) Poiščite vrednost izraza

2) Poenostavite izraz 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Reši enačbo

Možnost za "4"

1) Poiščite vrednost izraza

2) Reši enačbo Zapišite najmanjši pozitivni koren svojega odgovora.

Možnost za "5"

1) Poiščite tgα, če

2) Poiščite koren enačbe Zapišite najmanjši pozitivni koren svojega odgovora.

6. Povzetek lekcije (5 min.)

Učitelj povzame dejstvo, da je lekcija ponovila in utrdila trigonometrične formule, rešitve najpreprostejših trigonometričnih enačb.

Domača naloga je dodeljena (natisnjena vnaprej pripravljena) z naključnim preverjanjem v naslednji lekciji.

Reši enačbe:

9)

10) Podajte svoj odgovor kot najmanjši pozitivni koren.

Lekcija 2

Tema: 11. razred (priprava na izpit)

Metode reševanja trigonometričnih enačb. Izbira korenin. (2 uri)

Cilji:

• Posplošite in sistematizirajte znanje o reševanju trigonometričnih enačb različnih vrst.
• Spodbujati razvoj matematičnega mišljenja učencev, sposobnosti opazovanja, primerjanja, posploševanja, razvrščanja.
• Spodbujajte študente k premagovanju težav v procesu duševne dejavnosti, k samokontroli, introspekciji svojih dejavnosti.

Oprema za lekcijo: KRMu, prenosniki za vsakega študenta.

Struktura lekcije:

1. Orgmoment
2. Razprava d / s in samot. delo zadnje lekcije
3. Ponovitev metod reševanja trigonometričnih enačb.
4. Reševanje trigonometričnih enačb
5. Izbira korenin v trigonometričnih enačbah.
6. Samostojno delo.
7. Povzetek lekcije. Domača naloga.

1. Organizacijski trenutek (2 min.)

Učitelj pozdravi občinstvo, napove temo lekcije in delovni načrt.

2. a) Analiza domače naloge (5 min.)

Cilj je preveriti uspešnost. Eno delo s pomočjo video kamere je prikazano na ekranu, ostala so selektivno zbrana, da jih učitelj preveri.

b) Analiza samostojnega dela (3 min.)

Cilj je razvrstiti napake, nakazati načine za njihovo premagovanje.

Na ekranu so odgovori in rešitve, učenci so svoja dela že vnaprej izdali. Analiza poteka hitro.

3. Ponovitev metod reševanja trigonometričnih enačb (5 min.)

Cilj je spomniti se metod za reševanje trigonometričnih enačb.

Učence vprašajte, katere metode reševanja trigonometričnih enačb poznajo. Poudarite, da obstajajo tako imenovane osnovne (pogosto uporabljene) metode:

• spremenljiva zamenjava,
• faktorizacija,
• homogene enačbe,

in obstajajo uporabljene metode:

• po formulah za pretvorbo vsote v zmnožek in zmnožek v vsoto,
• z redukcijskimi formulami,
• univerzalna trigonometrična zamenjava
• uvedba pomožnega kota,
• množenje z neko trigonometrično funkcijo.

Prav tako je treba spomniti, da je eno enačbo mogoče rešiti na različne načine.

4. Reševanje trigonometričnih enačb (30 min.)

Cilj je posplošiti in utrditi znanje in spretnosti o tej temi, pripraviti se na reševanje C1 iz USE.

Zdi se mi smotrno enačbe za vsako metodo reševati skupaj z učenci.

Učenec narekuje rešitev, učitelj zapisuje na tablico, celoten postopek se prikaže na ekranu. To vam bo omogočilo hitro in učinkovito obnovitev predhodno obdelanega gradiva v vašem spominu.

Reši enačbe:

1) sprememba spremenljivke 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorizacija 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogene enačbe sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) pretvorba vsote v produkt cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) pretvorba produkta v vsoto 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) znižanje stopnje sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) univerzalna trigonometrična zamenjava sinx + 5cosx + 5 = 0.

Pri reševanju te enačbe je treba upoštevati, da uporaba te metode vodi do zožitve domene definicije, saj sinus in kosinus nadomestita tg(x/2). Zato je treba pred izpisom odgovora preveriti, ali so števila iz množice π + 2πn, n Z konji te enačbe.

8) uvedba pomožnega kota √3sinx + cosx - √2 = 0

9) množenje z neko trigonometrično funkcijo cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Izbira korenov trigonometričnih enačb (20 min.)

Ker v pogojih hude konkurence pri vpisu na univerze rešitev enega prvega dela izpita ni dovolj, bi morala biti večina študentov pozorna na naloge drugega dela (C1, C2, C3).

Zato je namen te stopnje lekcije spomniti predhodno preučenega gradiva, se pripraviti na reševanje problema C1 iz USE leta 2011.

Obstajajo trigonometrične enačbe, v katerih morate pri zapisovanju odgovora izbrati korenine. To je posledica nekaterih omejitev, na primer: imenovalec ulomka ni enak nič, izraz pod korenom sode stopnje je nenegativen, izraz pod znakom logaritma je pozitiven itd.

Takšne enačbe veljajo za enačbe povečane kompleksnosti in so v različici USE v drugem delu, in sicer C1.

Reši enačbo:

Ulomek je nič, če potem z uporabo enotskega kroga bomo izbrali korenine (glej sliko 1)

Slika 1.

dobimo x = π + 2πn, n Z

Odgovor: π + 2πn, n Z

Na zaslonu je izbor korenin prikazan na krogu v barvni sliki.

Produkt je enak nič, ko je vsaj eden od faktorjev enak nič, lok pa pri tem ne izgubi pomena. Potem

Z uporabo enotskega kroga izberite korenine (glejte sliko 2)

Oddelki: Matematika

Razred: 11

Lekcija 1

Tema: 11. razred (priprava na izpit)

Poenostavitev trigonometričnih izrazov.

Rešitev najenostavnejših trigonometričnih enačb. (2 uri)

Cilji:

• Sistematizirati, posplošiti, razširiti znanje in spretnosti učencev v zvezi z uporabo trigonometričnih formul in reševanjem najpreprostejših trigonometričnih enačb.

Oprema za lekcijo:

Struktura lekcije:

1. Orgmoment
2. Testiranje na prenosnikih. Razprava o rezultatih.
3. Poenostavitev trigonometričnih izrazov
4. Rešitev najenostavnejših trigonometričnih enačb
5. Samostojno delo.
6. Povzetek lekcije. Razlaga domače naloge.

1. Organizacijski trenutek. (2 minuti.)

Učitelj pozdravi občinstvo, napove temo lekcije, se spomni, da je bila prej dana naloga ponoviti trigonometrične formule in učence pripravi na testiranje.

2. Testiranje. (15min + 3min razprave)

Cilj je preveriti poznavanje trigonometričnih formul in sposobnost njihove uporabe. Vsak učenec ima na mizi prenosni računalnik, v katerem je možnost testiranja.

Možnosti je lahko poljubno, dal bom primer ene od njih:

I možnost.

Poenostavite izraze:

a) osnovne trigonometrične identitete

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) adicijske formule

3. sin5x - sin3x;

c) pretvarjanje zmnožka v vsoto

6. 2sin8y cos3y;

d) formule dvojnega kota

7,2sin5x cos5x;

e) formule polovičnega kota

f) formule trojnega kota

g) univerzalna zamenjava

h) znižanje stopnje

16. cos 2 (3x/7);

Učenci na prenosnem računalniku pred vsako formulo vidijo svoje odgovore.

Delo takoj preveri računalnik. Rezultati so prikazani na velikem zaslonu, ki ga lahko vidijo vsi.

Prav tako se po koncu dela na prenosnih računalnikih učencev prikažejo pravilni odgovori. Vsak učenec vidi, kje je bila storjena napaka in katere formule mora ponoviti.

3. Poenostavitev trigonometričnih izrazov. (25 min.)

Cilj je ponoviti, obdelati in utrditi uporabo osnovnih formul trigonometrije. Reševanje nalog B7 iz izpita.

Na tej stopnji je priporočljivo razdeliti razred v skupine močnih (samostojno delo z naknadnim preverjanjem) in šibkih učencev, ki delajo z učiteljem.

Naloga za močnejše študente (vnaprej pripravljena v tiskani obliki). Glavni poudarek je na formulah redukcije in dvojnega kota, glede na USE 2011.

Poenostavite izraze (za močne učence):

Vzporedno učitelj dela s šibkimi učenci, razpravlja in rešuje naloge na ekranu po nareku učencev.

Izračunajte:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

6)

Poenostavite:

Na vrsti je bila razprava o rezultatih dela močne skupine.

Na zaslonu se prikažejo odgovori, prav tako pa se s pomočjo video kamere prikaže delo 5 različnih učencev (za vsakega ena naloga).

Šibka skupina vidi stanje in način rešitve. Obstaja razprava in analiza. Z uporabo tehničnih sredstev se to zgodi hitro.

4. Rešitev najenostavnejših trigonometričnih enačb. (30 minut.)

Cilj je ponoviti, sistematizirati in posplošiti reševanje najpreprostejših trigonometričnih enačb z zapisom njihovih korenov. Rešitev problema B3.

Vsaka trigonometrična enačba, ne glede na to, kako jo rešimo, vodi do najpreprostejše.

Pri reševanju naloge naj bodo učenci pozorni na pisanje korenov enačb posameznih primerov in splošne oblike ter na izbiro korenov v zadnji enačbi.

Reši enačbe:

Zapišite najmanjši pozitivni koren odgovora.

5. Samostojno delo (10 min.)

Cilj je preizkus osvojenih veščin, prepoznavanje težav, napak in načinov njihove odprave.

Študentom so na voljo različna dela po izbiri.

Možnost za "3"

1) Poiščite vrednost izraza

2) Poenostavite izraz 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Reši enačbo

Možnost za "4"

1) Poiščite vrednost izraza

2) Reši enačbo Zapišite najmanjši pozitivni koren svojega odgovora.

Možnost za "5"

1) Poiščite tgα, če

2) Poiščite koren enačbe Zapišite najmanjši pozitivni koren svojega odgovora.

6. Povzetek lekcije (5 min.)

Učitelj povzame dejstvo, da je lekcija ponovila in utrdila trigonometrične formule, rešitve najpreprostejših trigonometričnih enačb.

Domača naloga je dodeljena (natisnjena vnaprej pripravljena) z naključnim preverjanjem v naslednji lekciji.

Reši enačbe:

9)

10) Podajte svoj odgovor kot najmanjši pozitivni koren.

Lekcija 2

Tema: 11. razred (priprava na izpit)

Metode reševanja trigonometričnih enačb. Izbira korenin. (2 uri)

Cilji:

• Posplošite in sistematizirajte znanje o reševanju trigonometričnih enačb različnih vrst.
• Spodbujati razvoj matematičnega mišljenja učencev, sposobnosti opazovanja, primerjanja, posploševanja, razvrščanja.
• Spodbujajte študente k premagovanju težav v procesu duševne dejavnosti, k samokontroli, introspekciji svojih dejavnosti.

Oprema za lekcijo: KRMu, prenosniki za vsakega študenta.

Struktura lekcije:

1. Orgmoment
2. Razprava d / s in samot. delo zadnje lekcije
3. Ponovitev metod reševanja trigonometričnih enačb.
4. Reševanje trigonometričnih enačb
5. Izbira korenin v trigonometričnih enačbah.
6. Samostojno delo.
7. Povzetek lekcije. Domača naloga.

1. Organizacijski trenutek (2 min.)

Učitelj pozdravi občinstvo, napove temo lekcije in delovni načrt.

2. a) Analiza domače naloge (5 min.)

Cilj je preveriti uspešnost. Eno delo s pomočjo video kamere je prikazano na ekranu, ostala so selektivno zbrana, da jih učitelj preveri.

b) Analiza samostojnega dela (3 min.)

Cilj je razvrstiti napake, nakazati načine za njihovo premagovanje.

Na ekranu so odgovori in rešitve, učenci so svoja dela že vnaprej izdali. Analiza poteka hitro.

3. Ponovitev metod reševanja trigonometričnih enačb (5 min.)

Cilj je spomniti se metod za reševanje trigonometričnih enačb.

Učence vprašajte, katere metode reševanja trigonometričnih enačb poznajo. Poudarite, da obstajajo tako imenovane osnovne (pogosto uporabljene) metode:

• spremenljiva zamenjava,
• faktorizacija,
• homogene enačbe,

in obstajajo uporabljene metode:

• po formulah za pretvorbo vsote v zmnožek in zmnožek v vsoto,
• z redukcijskimi formulami,
• univerzalna trigonometrična zamenjava
• uvedba pomožnega kota,
• množenje z neko trigonometrično funkcijo.

Prav tako je treba spomniti, da je eno enačbo mogoče rešiti na različne načine.

4. Reševanje trigonometričnih enačb (30 min.)

Cilj je posplošiti in utrditi znanje in spretnosti o tej temi, pripraviti se na reševanje C1 iz USE.

Zdi se mi smotrno enačbe za vsako metodo reševati skupaj z učenci.

Učenec narekuje rešitev, učitelj zapisuje na tablico, celoten postopek se prikaže na ekranu. To vam bo omogočilo hitro in učinkovito obnovitev predhodno obdelanega gradiva v vašem spominu.

Reši enačbe:

1) sprememba spremenljivke 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorizacija 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogene enačbe sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) pretvorba vsote v produkt cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) pretvorba produkta v vsoto 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) znižanje stopnje sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) univerzalna trigonometrična zamenjava sinx + 5cosx + 5 = 0.

Pri reševanju te enačbe je treba upoštevati, da uporaba te metode vodi do zožitve domene definicije, saj sinus in kosinus nadomestita tg(x/2). Zato je treba pred izpisom odgovora preveriti, ali so števila iz množice π + 2πn, n Z konji te enačbe.

8) uvedba pomožnega kota √3sinx + cosx - √2 = 0

9) množenje z neko trigonometrično funkcijo cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Izbira korenov trigonometričnih enačb (20 min.)

Ker v pogojih hude konkurence pri vpisu na univerze rešitev enega prvega dela izpita ni dovolj, bi morala biti večina študentov pozorna na naloge drugega dela (C1, C2, C3).

Zato je namen te stopnje lekcije spomniti predhodno preučenega gradiva, se pripraviti na reševanje problema C1 iz USE leta 2011.

Obstajajo trigonometrične enačbe, v katerih morate pri zapisovanju odgovora izbrati korenine. To je posledica nekaterih omejitev, na primer: imenovalec ulomka ni enak nič, izraz pod korenom sode stopnje je nenegativen, izraz pod znakom logaritma je pozitiven itd.

Takšne enačbe veljajo za enačbe povečane kompleksnosti in so v različici USE v drugem delu, in sicer C1.

Reši enačbo:

Ulomek je nič, če potem z uporabo enotskega kroga bomo izbrali korenine (glej sliko 1)

Slika 1.

dobimo x = π + 2πn, n Z

Odgovor: π + 2πn, n Z

Na zaslonu je izbor korenin prikazan na krogu v barvni sliki.

Produkt je enak nič, ko je vsaj eden od faktorjev enak nič, lok pa pri tem ne izgubi pomena. Potem

Z uporabo enotskega kroga izberite korenine (glejte sliko 2)

Slika 2.

5)

Gremo na sistem:

V prvi enačbi sistema naredimo dnevnik sprememb 2 (sinx) = y, nato dobimo enačbo , nazaj v sistem

z uporabo enotskega kroga izberemo korenine (glej sliko 5),

Slika 5

6. Samostojno delo (15 min.)

Cilj je utrditi in preveriti asimilacijo gradiva, prepoznati napake in orisati načine za njihovo odpravo.

Delo je na voljo v treh različicah, vnaprej pripravljenih v tiskani obliki, po izbiri študentov.

Enačbe je mogoče rešiti na kakršen koli način.

Možnost za "3"

Reši enačbe:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

Možnost za "4"

Reši enačbe:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

Možnost za "5"

Reši enačbe:

1) 2sinx - 3cosx = 2

2)

7. Povzetek lekcije, domača naloga (5 min.)

Učitelj povzame lekcijo, še enkrat opozori na dejstvo, da je trigonometrično enačbo mogoče rešiti na več načinov. Najboljši način za doseganje hitrega rezultata je tisti, ki se ga določen učenec najbolje nauči.

Ko se pripravljate na izpit, morate sistematično ponavljati formule in metode za reševanje enačb.

Razdelijo se domače naloge (vnaprej pripravljene v tiskani obliki) in komentirajo načini reševanja nekaterih enačb.

Reši enačbe:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2x + sin2x = 3

4) sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - sin 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

AT identične transformacije trigonometrične izraze uporabimo lahko naslednje algebraične trike: seštevanje in odštevanje enakih členov; jemanje skupnega faktorja iz oklepajev; množenje in deljenje z isto vrednostjo; uporaba formul za skrajšano množenje; izbor polnega kvadrata; faktorizacija kvadratnega trinoma; uvedba novih spremenljivk za poenostavitev transformacij.

Pri pretvarjanju trigonometričnih izrazov, ki vsebujejo ulomke, lahko uporabite lastnosti sorazmerja, redukcije ulomkov ali redukcije ulomkov na skupni imenovalec. Poleg tega lahko uporabite izbiro celega dela ulomka, tako da števec in imenovalec ulomka pomnožite z isto vrednostjo in, če je mogoče, upoštevate enakomernost števca ali imenovalca. Po potrebi lahko ulomek predstavite kot vsoto ali razliko več enostavnejših ulomkov.

Poleg tega je treba pri uporabi vseh potrebnih metod za pretvorbo trigonometričnih izrazov nenehno upoštevati obseg dovoljenih vrednosti pretvorjenih izrazov.

Poglejmo si nekaj primerov.

Primer 1

Izračunajte A = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x - π/2) cos ( 2x – 7π) /2) +
+ sin (3π/2 - x) sin (2x -5π/2)) 2

Odločitev.

Iz redukcijskih formul sledi:

sin (2x - π) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

sin (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; cos (2x - 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) \u003d -cos x; sin (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

Od koder na podlagi formul za dodajanje argumentov in osnovne trigonometrične identitete dobimo

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Odgovor: 1.

Primer 2

Pretvorite izraz M = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β – sin (α + β) sin γ + cos γ v produkt.

Odločitev.

Iz formul za seštevanje argumentov in formul za pretvorbo vsote trigonometričnih funkcij v produkt imamo po ustreznem grupiranju

М = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).

Odgovor: М = 4cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2) cos ((β + γ)/2).

Primer 3.

Pokažite, da izraz A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) vzame za vse x iz R eno in enako vrednost. Poiščite to vrednost.

Odločitev.

Predstavljamo dve metodi za rešitev tega problema. Z uporabo prve metode z izolacijo polnega kvadrata in uporabo ustreznih osnovnih trigonometričnih formul dobimo

A \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

Pri reševanju problema na drugi način upoštevajte A kot funkcijo x iz R in izračunajte njen odvod. Po transformacijah dobimo

А´ \u003d -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x - π/6) + cos (x + π/6) sin ( x + π/6)) - 2cos (x - π/6) sin (x - π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x - π/6)) - sin 2(x - π/6) =

Sin 2x - (sin (2x + π/3) + sin (2x - π/3)) =

Sin 2x - 2sin 2x cos π/3 = sin 2x - sin 2x ≡ 0.

Zato na podlagi kriterija konstantnosti funkcije, diferencibilne na intervalu, sklepamo, da

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x ∈ R.

Odgovor: A = 3/4 za x € R.

Glavne metode dokazovanja trigonometričnih identitet so:

a) redukcija leve strani identitete na desno stran z ustreznimi transformacijami;
b) zmanjšanje desne strani identitete na levo;
v) redukcija desnega in levega dela identitete na isto obliko;
G) zmanjšanje razlike med levim in desnim delom dokazovane identitete na nič.

Primer 4

Preverite, ali je cos 3x = -4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3).

Odločitev.

Če transformiramo desno stran te identitete v skladu z ustreznimi trigonometričnimi formulami, imamo

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

Desna stran identitete je zmanjšana na levo stran.

Primer 5

Dokaži, da je sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ = 2, če so α, β, γ notranji koti nekega trikotnika.

Odločitev.

Če upoštevamo, da so α, β, γ notranji koti nekega trikotnika, dobimo, da

α + β + γ = π in torej γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 (1 - cos 2α) + ½ (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 (cos 2α + cos 2β) = 2.

Prvotna enakost je dokazana.

Primer 6

Dokaži, da je za to, da je eden od kotov α, β, γ trikotnika enak 60°, nujno in zadostno, da je sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Odločitev.

Pogoj tega problema predpostavlja dokaz nujnosti in zadostnosti.

Najprej dokažemo nujnost.

Lahko se pokaže, da

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Torej, ob upoštevanju, da cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, dobimo, da če je eden od kotov α, β ali γ enak 60°, potem

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 in zato sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Dokažimo zdaj ustreznost določeno stanje.

Če je sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, potem je cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, in torej

ali cos (3α/2) = 0 ali cos (3β/2) = 0 ali cos (3γ/2) = 0.

Posledično

ali 3α/2 = π/2 + πk, tj. α = π/3 + 2πk/3,

ali 3β/2 = π/2 + πk, tj. β = π/3 + 2πk/3,

ali 3γ/2 = π/2 + πk,

tiste. γ = π/3 + 2πk/3, kjer je k ϵ Z.

Iz dejstva, da so α, β, γ koti trikotnika, imamo

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Zato je za α = π/3 + 2πk/3 ali β = π/3 + 2πk/3 oz.

γ = π/3 + 2πk/3 od vseh kϵZ ustreza le k = 0.

Od tod sledi bodisi α = π/3 = 60°, bodisi β = π/3 = 60° bodisi γ = π/3 = 60°.

Trditev je dokazana.

Imaš kakšno vprašanje? Ne veste, kako poenostaviti trigonometrične izraze?
Za pomoč mentorja - registrirajte se.
Prva lekcija je brezplačna!

spletno mesto, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva je obvezna povezava do vira.