Kako določiti pričakovanja partnerja. Matematično pričakovanje zvezne naključne spremenljivke

- število dečkov med 10 novorojenčki.

Povsem jasno je, da to število ni vnaprej znano in v naslednjih desetih rojenih otrocih so lahko:

Ali fantje - ena in edina naštetih možnosti.

In, da ostanete v formi, malo telesne vzgoje:

- skok v daljino (v nekaterih enotah).

Tega niti mojster športa ne zna predvideti :)

Vendar, kakšne so vaše hipoteze?

2) Zvezna naključna spremenljivka - traja Vsištevilske vrednosti iz nekega končnega ali neskončnega obsega.

Opomba : v izobraževalni literaturi sta priljubljeni okrajšavi DSV in NSV

Najprej analizirajmo diskretno naključno spremenljivko, nato pa - neprekinjeno.

Porazdelitveni zakon diskretne naključne spremenljivke

- to je skladnost med možnimi vrednostmi te količine in njihovimi verjetnostmi. Najpogosteje je zakon zapisan v tabeli:

Izraz je precej pogost vrstica distribucija, vendar v nekaterih situacijah zveni dvoumno, zato se bom držal "zakona".

In zdaj zelo pomembna točka: od naključne spremenljivke nujno bo sprejel ena od vrednot, potem se oblikujejo ustrezni dogodki polna skupina in vsota verjetnosti njihovega pojava je enaka ena:

ali, če je napisano prepognjeno:

Tako ima na primer zakon porazdelitve verjetnosti točk na kocki naslednjo obliko:

Brez komentarja.

Morda imate vtis, da lahko diskretna naključna spremenljivka prevzame samo "dobre" celoštevilske vrednosti. Razblinimo iluzijo – lahko so karkoli:

Primer 1

Nekatere igre imajo naslednji zakon porazdelitve izplačil:

…verjetno že dolgo sanjate o takšnih nalogah :) Naj vam izdam skrivnost - tudi jaz. Še posebej po končanem delu na teorija polja.

Odločitev: ker lahko naključna spremenljivka sprejme samo eno od treh vrednosti, nastanejo ustrezni dogodki polna skupina, kar pomeni, da je vsota njihovih verjetnosti enaka ena:

Razkrivamo "partizana":

– torej je verjetnost dobitka konvencionalnih enot 0,4.

Nadzor: kaj morate zagotoviti.

Odgovori:

Ni neobičajno, ko je treba distribucijski zakon sestaviti neodvisno. Za to uporabo klasična definicija verjetnosti, izreki množenja/seštevanja za verjetnosti dogodkov in drugi čipi tervera:

Primer 2

V škatli je 50 loterijskih vstopnic, od katerih je 12 zmagovalnih, 2 od njih dobita po 1000 rubljev, ostale pa po 100 rubljev. Sestavite zakon porazdelitve naključne spremenljivke - velikosti dobitka, če je iz škatle naključno izžreban en listek.

Odločitev: kot ste opazili, je običajno vstaviti vrednosti naključne spremenljivke naraščajočem vrstnem redu. Zato začnemo z najmanjšimi dobitki, in sicer z rublji.

Skupaj je takih vstopnic 50 - 12 = 38 in glede na klasična definicija:
je verjetnost, da naključno izžreban listek ne bo zmagal.

Ostali primeri so preprosti. Verjetnost zmage v rubljih je:

Preverjanje: - in to je še posebej prijeten trenutek takih nalog!

Odgovori: zahtevani zakon o razdelitvi izplačil:

Naslednja naloga za samostojno odločitev:

Primer 3

Verjetnost, da bo strelec zadel tarčo, je . Naredite porazdelitveni zakon za naključno spremenljivko - število zadetkov po 2 strelih.

... sem vedela, da ga pogrešaš :) Se spomnimo izreki o množenju in seštevanju. Rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Distribucijski zakon v celoti opisuje naključno spremenljivko, vendar je v praksi koristno (in včasih bolj uporabno) poznati le nekatere od njih. numerične značilnosti .

Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke

Preprosto povedano, to povprečna pričakovana vrednost s ponovnim testiranjem. Naj naključna spremenljivka zavzame vrednosti z verjetnostjo oz. Potem je matematično pričakovanje te naključne spremenljivke enako vsota del vse njegove vrednosti z ustreznimi verjetnostmi:

ali v zloženi obliki:

Izračunajmo na primer matematično pričakovanje naključne spremenljivke – števila točk, ki so padle na kocki:

Zdaj pa se spomnimo naše hipotetične igre:

Postavlja se vprašanje: ali je sploh donosno igrati to igro? ... kdo ima vtise? Torej ne morete reči "naključno"! Toda na to vprašanje je mogoče zlahka odgovoriti z izračunom matematičnega pričakovanja, v bistvu - Povprečna teža možnosti za zmago:

Tako je matematično pričakovanje te igre izguba.

Ne verjemite vtisom - zaupajte številkam!

Da, tukaj lahko zmagaš 10 ali celo 20-30-krat zapored, a na dolgi rok bomo neizogibno uničeni. In ne bi vam svetoval, da igrate takšne igre :) No, morda samo za zabavo.

Iz vsega navedenega sledi, da matematično pričakovanje NI NAKLJUČNA vrednost.

Ustvarjalna naloga za samostojno raziskovanje:

Primer 4

Gospod X igra evropsko ruleto po naslednjem sistemu: stalno stavi 100 rubljev na rdečo. Sestavite zakon porazdelitve naključne spremenljivke – njenega izplačila. Izračunajte matematično pričakovanje dobitkov in ga zaokrožite na kopejke. Koliko povprečje ali igralec izgubi za vsakih sto stav?

Referenca : Evropska ruleta vsebuje 18 rdečih, 18 črnih in 1 zeleni sektor (»ničlo«). V primeru, da izpade "rdeča", se igralcu izplača dvojna stava, sicer gre v prihodek igralnice.

Obstaja veliko drugih sistemov rulete, za katere lahko ustvarite lastne verjetnostne tabele. Toda to je v primeru, ko ne potrebujemo nobenih distribucijskih zakonov in tabel, ker je zagotovo ugotovljeno, da bo matematično pričakovanje igralca popolnoma enako. Spreminja se samo od sistema do sistema

Vsaka posamezna vrednost je popolnoma določena s svojo distribucijsko funkcijo. Tudi za reševanje praktičnih problemov je dovolj poznati več numeričnih značilnosti, zaradi katerih je mogoče predstaviti glavne značilnosti naključne spremenljivke v jedrnati obliki.

Te količine so predvsem pričakovana vrednost in disperzija .

Pričakovana vrednost- povprečna vrednost naključne spremenljivke v teoriji verjetnosti. Označeno kot .

Najenostavneje, matematično pričakovanje naključne spremenljivke X(w), najdemo kot integralLebesgue glede na verjetnostno mero R original verjetnostni prostor

Matematično pričakovanje vrednosti lahko najdete tudi kot Lebesguev integral od X z verjetnostno porazdelitvijo R X količine X:

kjer je množica vseh možnih vrednosti X.

Matematično pričakovanje funkcij od naključne spremenljivke X poteka prek distribucije R X. Na primer, če X- naključna spremenljivka z vrednostmi v in f(x)- nedvoumno Borelfunkcijo X , potem:

če F(x)- distribucijska funkcija X, potem je matematično pričakovanje predstavljivo integralLebesgue - Stieltjes (ali Riemann - Stieltjes):

medtem ko je integrabilnost X v kakšnem smislu ( * ) ustreza končnosti integrala

V posebnih primerih, če X ima diskretno porazdelitev z verjetnimi vrednostmi x k, k=1, 2, . , in verjetnosti , torej

če X ima absolutno zvezno porazdelitev z gostoto verjetnosti p(x), potem

v tem primeru je obstoj matematičnega pričakovanja enakovreden absolutni konvergenci ustrezne vrste ali integrala.

Lastnosti matematičnega pričakovanja naključne spremenljivke.

• Matematično pričakovanje konstantne vrednosti je enako tej vrednosti:

C- konstantna;

• M=C.M[X]

• Matematično pričakovanje vsote naključno vzetih vrednosti je enako vsoti njihovih matematičnih pričakovanj:

• Matematično pričakovanje produkta neodvisnih naključnih spremenljivk = produkt njihovih matematičnih pričakovanj:

M=M[X]+M[Y]

če X in Y neodvisen.

če serija konvergira:

Algoritem za izračun matematičnega pričakovanja.

Lastnosti diskretnih naključnih spremenljivk: vse njihove vrednosti je mogoče preštevilčiti z naravnimi številkami; enači vsako vrednost z neničelno verjetnostjo.

1. Pomnožite pare po vrsti: x i na pi.

2. Dodajte izdelek vsakega para x i p i.

Na primer, za n = 4 :

Porazdelitvena funkcija diskretne naključne spremenljivke stopničasto se nenadoma poveča na tistih točkah, katerih verjetnosti imajo pozitiven predznak.

primer: Poiščite matematično pričakovanje po formuli.

Matematično pričakovanje je verjetnostna porazdelitev naključne spremenljivke

Matematično pričakovanje, definicija, matematično pričakovanje diskretnih in zveznih slučajnih spremenljivk, selektivno, pogojno pričakovanje, izračun, lastnosti, naloge, ocena pričakovanja, varianca, porazdelitvena funkcija, formule, primeri izračuna

Razširite vsebino

Strni vsebino

Matematično pričakovanje je definicija

Eden najpomembnejših konceptov v matematični statistiki in teoriji verjetnosti, ki opisuje porazdelitev vrednosti ali verjetnosti naključne spremenljivke. Običajno izraženo kot tehtano povprečje vseh možnih parametrov naključne spremenljivke. Široko se uporablja v tehnični analizi, preučevanju številskih serij, preučevanju neprekinjenih in dolgotrajnih procesov. Pomemben je pri ocenjevanju tveganj, napovedovanju kazalnikov cen pri trgovanju na finančnih trgih in se uporablja pri razvoju strategij in metod igralne taktike v teoriji iger na srečo.

Matematično pričakovanje je srednja vrednost naključne spremenljivke, se verjetnostna porazdelitev naključne spremenljivke obravnava v teoriji verjetnosti.

Matematično pričakovanje je merilo srednje vrednosti naključne spremenljivke v teoriji verjetnosti. Matematično pričakovanje naključne spremenljivke x označeno M(x).

Matematično pričakovanje je

Matematično pričakovanje je v teoriji verjetnosti tehtano povprečje vseh možnih vrednosti, ki jih ta naključna spremenljivka lahko sprejme.

Matematično pričakovanje je vsota produktov vseh možnih vrednosti naključne spremenljivke z verjetnostmi teh vrednosti.

Matematično pričakovanje je povprečna korist od določene odločitve, pod pogojem, da je takšno odločitev mogoče obravnavati v okviru teorije velikega števila in velike razdalje.

Matematično pričakovanje je v teoriji iger na srečo znesek dobitkov, ki jih lahko igralec v povprečju zasluži ali izgubi za vsako stavo. V jeziku hazarderjev se to včasih imenuje "gamer's edge" (če je pozitiven za igralca) ali "house edge" (če je negativen za igralca).

Matematično pričakovanje je Odstotek dobička na zmago, pomnožen s povprečnim dobičkom minus verjetnost izgube, pomnožen s povprečno izgubo.

Matematično pričakovanje naključne spremenljivke v matematični teoriji

Ena od pomembnih numeričnih značilnosti naključne spremenljivke je matematično pričakovanje. Uvedimo koncept sistema naključnih spremenljivk. Razmislite o nizu naključnih spremenljivk, ki so rezultati istega naključnega poskusa. Če je ena od možnih vrednosti sistema, potem dogodek ustreza določeni verjetnosti, ki zadovoljuje Kolmogorove aksiome. Funkcija, definirana za vse možne vrednosti naključnih spremenljivk, se imenuje zakon skupne porazdelitve. Ta funkcija vam omogoča izračun verjetnosti vseh dogodkov iz. Zlasti skupni zakon porazdelitve naključnih spremenljivk in , ki zavzemajo vrednosti iz množice in , je podan z verjetnostmi.

Izraz "pričakovanje" je uvedel Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) in izvira iz koncepta "pričakovane vrednosti izplačila", ki se je prvič pojavil v 17. stoletju v teoriji iger na srečo v delih Blaisa Pascala in Christiana Huygensa. . Vendar pa je prvo celovito teoretično razumevanje in oceno tega koncepta podal Pafnuty Lvovich Chebyshev (sredi 19. stoletja).

Porazdelitveni zakon naključnih številskih spremenljivk (porazdelitvena funkcija in porazdelitveni niz ali gostota verjetnosti) v celoti opisuje obnašanje naključne spremenljivke. Toda pri številnih težavah je dovolj poznati nekatere numerične značilnosti preučevane količine (na primer njeno povprečno vrednost in možno odstopanje od nje), da bi odgovorili na zastavljeno vprašanje. Glavne numerične značilnosti naključnih spremenljivk so matematično pričakovanje, varianca, način in mediana.

Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke je vsota produktov njenih možnih vrednosti in njihovih ustreznih verjetnosti. Včasih se matematično pričakovanje imenuje tehtano povprečje, saj je približno enako aritmetični sredini opazovanih vrednosti naključne spremenljivke v velikem številu poskusov. Iz definicije matematičnega pričakovanja izhaja, da njegova vrednost ni manjša od najmanjše možne vrednosti naključne spremenljivke in ne večja od največje. Matematično pričakovanje naključne spremenljivke je nenaključna (konstantna) spremenljivka.

Matematično pričakovanje ima preprost fizikalni pomen: če enoto mase postavimo na ravno črto, postavimo maso na nekaj točk (za diskretno porazdelitev) ali jo »razmažemo« z določeno gostoto (za absolutno zvezno porazdelitev), potem bo točka, ki ustreza matematičnemu pričakovanju, koordinatna ravnina "težišče".

Povprečna vrednost naključne spremenljivke je določeno število, ki je tako rekoč njen »predstavnik« in jo nadomešča v grobih približnih izračunih. Ko rečemo: »povprečni čas delovanja svetilke je 100 ur« ali »povprečna točka udarca je premaknjena glede na cilj za 2 m v desno«, s tem nakažemo določeno numerično karakteristiko naključne spremenljivke, ki opisuje njeno mesto na numerični osi, tj. opis položaja.

Od značilnosti položaja v teoriji verjetnosti ima najpomembnejšo vlogo matematično pričakovanje naključne spremenljivke, ki se včasih imenuje preprosto povprečna vrednost naključne spremenljivke.

Razmislite o naključni spremenljivki X, ki ima možne vrednosti x1, x2, …, xn z verjetnostmi p1, p2, …, pn. Položaj vrednosti naključne spremenljivke na osi x moramo označiti z določeno številko, pri čemer upoštevamo dejstvo, da imajo te vrednosti različne verjetnosti. V ta namen je naravno uporabiti tako imenovano "uteženo povprečje" vrednosti xi, in vsako vrednost xi med povprečenjem je treba upoštevati z "utežjo", sorazmerno z verjetnostjo te vrednosti. Tako bomo izračunali povprečje naključne spremenljivke X, ki jih bomo označili M|X|:

To tehtano povprečje se imenuje matematično pričakovanje naključne spremenljivke. Tako smo v obravnavo uvedli enega najpomembnejših konceptov teorije verjetnosti - koncept matematičnega pričakovanja. Matematično pričakovanje naključne spremenljivke je vsota zmnožkov vseh možnih vrednosti naključne spremenljivke in verjetnosti teh vrednosti.

Naj se proizvaja n neodvisni poskusi, v vsakem od katerih vrednost X prevzame določeno vrednost. Recimo vrednost x1 pojavil m1 krat, vrednost x2 pojavil m2časi, splošni pomen xi se je pojavilo mikrat. Izračunajmo aritmetično sredino opazovanih vrednosti X, ki v nasprotju z matematičnim pričakovanjem M|X| bomo označili M*|X|:

S povečanjem števila poskusov n frekvence pi se bo približala (konvergirala v verjetnosti) ustreznim verjetnostim. Zato je aritmetična sredina opazovanih vrednosti naključne spremenljivke M|X| z večanjem števila poskusov se bo približal (verjetnostno konvergiral) svojemu matematičnemu pričakovanju. Zgoraj oblikovana povezava med aritmetično sredino in matematičnim pričakovanjem je vsebina ene od oblik zakona velikih števil.

Vemo že, da vse oblike zakona velikih števil navajajo dejstvo, da so določena povprečja stabilna v velikem številu poskusov. Tu govorimo o stabilnosti aritmetične sredine iz niza opazovanj iste vrednosti. Pri majhnem številu poskusov je aritmetična sredina njihovih rezultatov naključna; z zadostnim povečanjem števila poskusov postane "skoraj ni naključno" in se stabilizira, približuje konstantni vrednosti - matematično pričakovanje.

Lastnost stabilnosti povprečij za veliko število poskusov je enostavno eksperimentalno preveriti. Na primer, tehtanje katerega koli telesa v laboratoriju na natančnih tehtnicah, kot rezultat tehtanja dobimo vsakokrat novo vrednost; da zmanjšamo napako opazovanja, telo večkrat stehtamo in uporabimo aritmetično sredino dobljenih vrednosti. Lahko vidimo, da se z nadaljnjim povečevanjem števila poskusov (tehtanj) aritmetična sredina vedno manj odziva na to povečanje, pri dovolj velikem številu poskusov pa se praktično ne spreminja več.

Opozoriti je treba, da najpomembnejša značilnost položaja naključne spremenljivke - matematično pričakovanje - ne obstaja za vse naključne spremenljivke. Možno je narediti primere takšnih naključnih spremenljivk, za katere matematično pričakovanje ne obstaja, saj ustrezna vsota ali integral odstopa. Vendar za prakso takšni primeri niso pomembnega pomena. Običajno imajo naključne spremenljivke, s katerimi imamo opravka, omejen obseg možnih vrednosti in seveda pričakovanje.

Poleg najpomembnejše značilnosti položaja naključne spremenljivke - matematičnega pričakovanja, se v praksi včasih uporabljajo tudi druge značilnosti položaja, zlasti način in mediana naključne spremenljivke.

Modus naključne spremenljivke je njena najverjetnejša vrednost. Izraz "najverjetnejša vrednost", strogo gledano, velja samo za diskontinuirane količine; za zvezno količino je način vrednost, pri kateri je gostota verjetnosti največja. Slike prikazujejo način za diskontinuirane oziroma zvezne naključne spremenljivke.

Če ima poligon porazdelitve (krivulja porazdelitve) več kot en maksimum, pravimo, da je porazdelitev "polimodalna".

Včasih obstajajo porazdelitve, ki na sredini nimajo maksimuma, ampak minimum. Takšne porazdelitve imenujemo "antimodalne".

V splošnem primeru način in matematično pričakovanje naključne spremenljivke ne sovpadata. V določenem primeru, ko je porazdelitev simetrična in modalna (tj. ima modus) in obstaja matematično pričakovanje, potem sovpada z modusom in središčem simetrije porazdelitve.

Pogosto se uporablja še ena značilnost položaja - tako imenovana mediana naključne spremenljivke. Ta lastnost se običajno uporablja le za zvezne naključne spremenljivke, čeprav jo je mogoče formalno definirati tudi za diskontinuirano spremenljivko. Geometrično je mediana abscisa točke, v kateri se območje, ki ga omejuje porazdelitvena krivulja, razpolovi.

V primeru simetrične modalne porazdelitve mediana sovpada s povprečjem in modo.

Matematično pričakovanje je povprečna vrednost naključne spremenljivke - numerična značilnost verjetnostne porazdelitve naključne spremenljivke. Na najbolj splošen način, matematično pričakovanje naključne spremenljivke X(w) je definiran kot Lebesgueov integral glede na verjetnostno mero R v prvotnem verjetnostnem prostoru:

Matematično pričakovanje je mogoče izračunati tudi kot Lebesgueov integral X z verjetnostno porazdelitvijo px količine X:

Na naraven način je mogoče definirati koncept naključne spremenljivke z neskončnim matematičnim pričakovanjem. Tipičen primer so povratni časi v nekaterih naključnih sprehodih.

S pomočjo matematičnega pričakovanja se določijo številne numerične in funkcionalne značilnosti porazdelitve (kot matematično pričakovanje ustreznih funkcij naključne spremenljivke), na primer tvorna funkcija, značilna funkcija, trenutki katerega koli reda, zlasti disperzija. , kovarianca.

Matematično pričakovanje je značilnost lokacije vrednosti naključne spremenljivke (povprečna vrednost njene porazdelitve). V tej vlogi matematično pričakovanje služi kot "tipični" porazdelitveni parameter in njegova vloga je podobna vlogi statičnega momenta - koordinate težišča porazdelitve mase - v mehaniki. Od ostalih lokacijskih karakteristik, s pomočjo katerih se porazdelitev opisuje na splošno - median, modusov, se matematično pričakovanje razlikuje po večji vrednosti, ki jo imata in pripadajoča sipana karakteristika - disperzija - v mejnih izrekih teorije verjetnosti. Z največjo popolnostjo razkrivata pomen matematičnega pričakovanja zakon velikih števil (neenakost Čebiševa) in okrepljeni zakon velikih števil.

Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke

Naj obstaja neka naključna spremenljivka, ki lahko zavzame eno od več številskih vrednosti (na primer, število točk v metu kocke je lahko 1, 2, 3, 4, 5 ali 6). Pogosto se v praksi za tako vrednost pojavi vprašanje: kakšno vrednost ima "v povprečju" pri velikem številu testov? Kakšen bo naš povprečni donos (ali izguba) iz vsake od tveganih transakcij?

Recimo, da je nekakšna loterija. Želimo razumeti, ali je donosno ali ne sodelovati pri tem (ali celo sodelovati večkrat, redno). Recimo, da zmaga vsaka četrta vstopnica, nagrada bo 300 rubljev, cena katere koli vstopnice pa 100 rubljev. Z neskončnim številom udeležb se to zgodi. V treh četrtinah primerov bomo izgubili, vsake tri izgube bodo stale 300 rubljev. V vsakem četrtem primeru bomo osvojili 200 rubljev. (nagrada minus stroški), to je za štiri udeležbe izgubimo povprečno 100 rubljev, za eno - povprečno 25 rubljev. Skupaj bo povprečna stopnja naše ruševine 25 rubljev na vozovnico.

Vržemo kocko. Če ne gre za goljufanje (brez premikanja težišča ipd.), koliko točk bomo imeli potem v povprečju naenkrat? Ker je vsaka možnost enako verjetna, vzamemo neumno aritmetično sredino in dobimo 3,5. Ker je to POVPREČJE, ni treba biti ogorčen, da noben met ne bo dal 3,5 točke - no, ta kocka nima ploskve s tako številko!

Zdaj pa povzemimo naše primere:

Oglejmo si zgornjo sliko. Na levi je tabela porazdelitve naključne spremenljivke. Vrednost X lahko zavzame eno od n možnih vrednosti (podanih v zgornji vrstici). Drugih vrednot ne more biti. Pod vsako možno vrednostjo je spodaj podpisana njena verjetnost. Na desni je formula, kjer se M(X) imenuje matematično pričakovanje. Pomen te vrednosti je, da se bo pri velikem številu poskusov (z velikim vzorcem) povprečna vrednost nagibala prav k temu matematičnemu pričakovanju.

Vrnimo se k isti igralni kocki. Matematično pričakovanje števila točk v metu je 3,5 (če ne verjamete, izračunajte sami po formuli). Recimo, da si ga nekajkrat vrgel. Izpadla sta 4 in 6. V povprečju se je izkazalo 5, torej daleč od 3,5. Ponovno so ga vrgli, izpadla je 3, torej v povprečju (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Nekako daleč od matematičnega pričakovanja. Sedaj pa naredite nor eksperiment - kocko zavrtite 1000-krat! In če povprečje ni točno 3,5, potem bo blizu tega.

Izračunajmo matematično pričakovanje za zgoraj opisano loterijo. Tabela bo videti takole:

Potem bo matematično pričakovanje, kot smo ugotovili zgoraj:

Druga stvar je, da je tudi "na prstih", brez formule bi težko, če bi bilo več možnosti. No, recimo, da je bilo 75 % izgubljenih listkov, 20 % zmagovalnih listkov in 5 % zmagovalnih listkov.

Zdaj pa nekaj lastnosti matematičnega pričakovanja.

To je enostavno dokazati:

Konstantni množitelj lahko vzamemo iz predznaka pričakovanja, to je:

To je poseben primer lastnosti linearnosti matematičnega pričakovanja.

Druga posledica linearnosti matematičnega pričakovanja:

to pomeni, da je matematično pričakovanje vsote naključnih spremenljivk enako vsoti matematičnih pričakovanj naključnih spremenljivk.

Naj sta X, Y neodvisni naključni spremenljivki, potem:

To je tudi enostavno dokazati) XY sama je naključna spremenljivka, medtem ko bi začetne vrednosti lahko sprejele n in m vrednosti, torej XY lahko sprejme vrednosti nm. Verjetnost vsake od vrednosti se izračuna na podlagi dejstva, da se verjetnosti neodvisnih dogodkov pomnožijo. Kot rezultat dobimo tole:

Matematično pričakovanje zvezne naključne spremenljivke

Zvezne naključne spremenljivke imajo tako značilnost, kot je gostota porazdelitve (gostota verjetnosti). Pravzaprav je značilna situacija, da naključna spremenljivka pogosteje vzame nekatere vrednosti iz množice realnih števil, nekatere - manj pogosto. Na primer, upoštevajte ta grafikon:

Tukaj X- pravzaprav naključna spremenljivka, f(x)- gostota porazdelitve. Sodeč po tem grafu je med poskusi vrednost X bo pogosto številka blizu ničle. možnosti za preseganje 3 ali biti manj -3 bolj čisto teoretično.

Naj na primer obstaja enotna porazdelitev:

To je povsem skladno z intuitivnim razumevanjem. Recimo, če dobimo veliko naključnih realnih števil z enakomerno porazdelitvijo, vsak segment |0; 1| , potem bi morala biti aritmetična sredina približno 0,5.

Lastnosti matematičnega pričakovanja - linearnost itd., ki veljajo za diskretne naključne spremenljivke, veljajo tudi tukaj.

Razmerje matematičnega pričakovanja z drugimi statističnimi indikatorji

V statistični analizi poleg matematičnega pričakovanja obstaja sistem medsebojno odvisnih kazalnikov, ki odražajo homogenost pojavov in stabilnost procesov. Indikatorji variacije pogosto nimajo samostojnega pomena in se uporabljajo za nadaljnjo analizo podatkov. Izjema je koeficient variacije, ki označuje homogenost podatkov, kar je dragocena statistična značilnost.

Stopnjo variabilnosti oziroma stabilnosti procesov v statistični znanosti lahko merimo z več indikatorji.

Najpomembnejši indikator, ki označuje variabilnost naključne spremenljivke, je Razpršenost, ki je najtesneje in neposredno povezana z matematičnim pričakovanjem. Ta parameter se aktivno uporablja v drugih vrstah statistične analize (testiranje hipotez, analiza vzročno-posledičnih razmerij itd.). Tako kot povprečni linearni odklon tudi varianca odraža obseg, v katerem se podatki širijo okoli povprečja.

Jezik znakov je koristno prevesti v jezik besed. Izkazalo se je, da je varianca povprečni kvadrat odstopanj. To pomeni, da se najprej izračuna povprečna vrednost, nato se razlika med vsako izvirno in povprečno vrednostjo vzame, kvadrira, sešteje in nato deli s številom vrednosti v tej populaciji. Razlika med posamezno vrednostjo in srednjo vrednostjo odraža mero odstopanja. Kvadrira se, da se zagotovi, da vsa odstopanja postanejo izključno pozitivna števila in da se prepreči medsebojno izničenje pozitivnih in negativnih odstopanj, ko se seštejejo. Nato glede na kvadrat odstopanja preprosto izračunamo aritmetično sredino. Povprečje - kvadrat - odstopanja. Odstopanja so kvadrirana in upoštevano je povprečje. Odgovor na čarobno besedo "razpršitev" so samo tri besede.

Vendar pa se disperzija v svoji čisti obliki, kot je na primer aritmetična sredina ali indeks, ne uporablja. Je bolj pomožni in vmesni indikator, ki se uporablja za druge vrste statističnih analiz. Niti normalne merske enote nima. Sodeč po formuli je to kvadrat prvotne podatkovne enote.

Izmerimo naključno spremenljivko n krat, na primer desetkrat izmerimo hitrost vetra in želimo najti povprečno vrednost. Kako je srednja vrednost povezana s porazdelitveno funkcijo?

Ali pa bomo kocko metali velikokrat. Število točk, ki bo padlo na kocko med vsakim metom, je naključna spremenljivka in ima lahko poljubne naravne vrednosti od 1 do 6. n nagiba se k zelo specifičnemu številu – matematičnemu pričakovanju Mx. V tem primeru je Mx = 3,5.

Kako je nastala ta vrednost? Spustiti noter n poskusi n1 ko pade 1 točka, n2 krat - 2 točki in tako naprej. Nato število izidov, pri katerih je padla ena točka:

Podobno velja za izide, ko so izpadle 2, 3, 4, 5 in 6 točk.

Predpostavimo zdaj, da poznamo zakon porazdelitve naključne spremenljivke x, to pomeni, da vemo, da lahko naključna spremenljivka x zavzame vrednosti x1, x2, ..., xk z verjetnostmi p1, p2, ... , pak.

Matematično pričakovanje Mx naključne spremenljivke x je:

Matematično pričakovanje ni vedno razumna ocena neke naključne spremenljivke. Torej je za oceno povprečne plače bolj smiselno uporabiti koncept mediane, to je takšne vrednosti, da je število ljudi, ki prejemajo manj od povprečne plače in več, enako.

Verjetnost p1, da je naključna spremenljivka x manjša od x1/2, in verjetnost p2, da je naključna spremenljivka x večja od x1/2, sta enaki in enaki 1/2. Mediana ni enolično določena za vse porazdelitve.

Standardno ali standardno odstopanje v statistiki se imenuje stopnja odstopanja opazovalnih podatkov ali nizov od POVPREČNE vrednosti. Označeno s črkama s ali s. Majhno standardno odstopanje pomeni, da so podatki združeni okoli povprečja, veliko standardno odstopanje pa pomeni, da so začetni podatki daleč od tega. Standardni odklon je enak kvadratnemu korenu količine, imenovane varianca. Je povprečje vsote kvadratov razlik začetnih podatkov, ki odstopajo od povprečja. Standardni odklon naključne spremenljivke je kvadratni koren variance:

Primer. V preskusnih pogojih pri streljanju na tarčo izračunajte varianco in standardni odklon naključne spremenljivke:

Različica- nihanje, variabilnost vrednosti atributa v enotah populacije. Ločene številčne vrednosti lastnosti, ki se pojavljajo v proučevani populaciji, se imenujejo različice vrednosti. Zaradi nezadostnosti povprečne vrednosti za popolno karakterizacijo populacije je treba povprečne vrednosti dopolniti s kazalniki, ki omogočajo oceno tipičnosti teh povprečij z merjenjem nihanja (variacije) preučevane lastnosti. Koeficient variacije se izračuna po formuli:

Variacija razpona(R) je razlika med najvišjo in najmanjšo vrednostjo lastnosti v proučevani populaciji. Ta indikator daje najbolj splošno predstavo o nihanju preučevane lastnosti, saj prikazuje razliko le med skrajnimi vrednostmi možnosti. Odvisnost od skrajnih vrednosti atributa daje obsegu variacije nestabilen, naključen značaj.

Povprečno linearno odstopanje je aritmetična sredina absolutnih (modulo) odstopanj vseh vrednosti analizirane populacije od njihove povprečne vrednosti:

Matematično pričakovanje v teoriji iger na srečo

Matematično pričakovanje je povprečni znesek denarja, ki ga igralec lahko dobi ali izgubi pri določeni stavi. To je zelo pomemben koncept za igralca, ker je temeljnega pomena za oceno večine situacij v igri. Matematično pričakovanje je tudi najboljše orodje za analizo osnovnih postavitev kart in situacij v igri.

Recimo, da s prijateljem igrate na kovance in vsakič stavite enako 1 USD, ne glede na to, kaj se pojavi. Repi - zmagate, glave - izgubite. Možnosti, da pride do tails, so ena proti ena in stavite 1 $ proti 1 $. Tako je vaše matematično pričakovanje nič, ker matematično gledano ne morete vedeti, ali boste vodili ali izgubili po dveh metih ali po 200.

Vaš urni dobiček je nič. Urno izplačilo je znesek denarja, ki ga pričakujete, da boste osvojili v eni uri. V eni uri lahko vržete kovanec 500-krat, vendar ne boste zmagali ali izgubili, ker vaše možnosti niso niti pozitivne niti negativne. Če pogledate, z vidika resnega igralca tak sistem stav ni slab. Ampak to je samo izguba časa.

Predpostavimo pa, da nekdo želi staviti 2 $ proti vašim 1 $ v isti igri. Potem imate takoj pozitivno pričakovanje 50 centov od vsake stave. Zakaj 50 centov? V povprečju eno stavo dobite in drugo izgubite. Stavite prvi dolar in izgubite 1 $, stavite drugega in osvojite 2 $. Dvakrat ste stavili 1 $ in vodite za 1 $. Torej vam je vsaka vaša stava za en dolar dala 50 centov.

Če kovanec pade 500-krat v eni uri, bo vaš urni dobiček že 250 $, ker. v povprečju ste izgubili 1250-krat in osvojili 2250-krat. 500 $ minus 250 $ je enako 250 $, kar je skupni dobitek. Upoštevajte, da je pričakovana vrednost, ki je znesek, ki ga v povprečju dobite pri eni stavi, 50 centov. Z 500-kratno stavo enega dolarja ste osvojili 250 $, kar je enako 50 centom vaše stave.

Matematično pričakovanje nima nobene zveze s kratkoročnimi rezultati. Vaš nasprotnik, ki se je odločil staviti 2 $ proti vam, bi vas lahko premagal pri prvih desetih metih zapored, vendar vi s stavno prednostjo 2 proti 1, če so vsi ostali enaki, naredite 50 centov na vsako stavo 1 $ pod katerim koli okoliščine. Ni pomembno, ali dobite ali izgubite eno stavo ali več stav, vendar le pod pogojem, da imate dovolj denarja, da zlahka nadomestite stroške. Če še naprej stavite na enak način, bodo vaši dobitki v daljšem časovnem obdobju dosegli vsoto pričakovanih vrednosti v posameznih metih.

Vsakič, ko sklenete boljšo stavo (stavo, ki je dolgoročno lahko donosna), ko so kvote v vašo korist, boste zagotovo nekaj dobili, ne glede na to, ali ste izgubili ali ne v dani igri. Nasprotno, če ste sklenili stavo s slabšim izidom (stavo, ki je dolgoročno nedonosna), ko vam kvote niso naklonjene, nekaj izgubite, ne glede na to, ali ste v tej igri zmagali ali izgubili.

Z najboljšim izidom stavite, če je vaše pričakovanje pozitivno, pozitivno pa je, če so vam kvote naklonjene. Če stavite na najslabši izid, imate negativno pričakovanje, kar se zgodi, ko so kvote proti vam. Resni igralci stavijo samo z najboljšim izidom, z najslabšim - odstopijo. Kaj pomenijo kvote v vašo korist? Morda boste na koncu zmagali več, kot prinašajo dejanske kvote. Realne možnosti za zadetek repov so 1 proti 1, vendar zaradi razmerja stav dobite 2 proti 1. V tem primeru so možnosti v vašo korist. Zagotovo dobite najboljši izid s pozitivnim pričakovanjem 50 centov na stavo.

Tukaj je bolj zapleten primer matematičnega pričakovanja. Prijatelj zapiše številke od ena do pet in stavi 5 $ proti vašim 1 $, da ne boste izbrali številke. Se strinjate s tako stavo? Kakšno je pričakovanje tukaj?

V povprečju se štirikrat zmotiš. Na podlagi tega bo verjetnost, da boste uganili številko, 4 proti 1. Verjetnost je, da boste izgubili dolar v enem poskusu. Vendar zmagate 5 proti 1, z možnostjo izgube 4 proti 1. Torej so kvote v vašo korist, lahko sprejmete stavo in upate na najboljši izid. Če to stavo sklenete petkrat, boste v povprečju štirikrat izgubili 1 $ in enkrat dobili 5 $. Na podlagi tega boste za vseh pet poskusov zaslužili 1 $ s pozitivnim matematičnim pričakovanjem 20 centov na stavo.

Igralec, ki bo zmagal več, kot je stavil, kot v zgornjem primeru, lovi kvote. Nasprotno pa uniči možnosti, ko pričakuje, da bo dobil manj, kot je stavil. Stavnik ima lahko pozitivna ali negativna pričakovanja, odvisno od tega, ali ujame ali uniči kvote.

Če stavite 50 $, da dobite 10 $ z možnostjo zmage 4 proti 1, boste prejeli negativno pričakovanje 2 $, ker v povprečju boste dobili štirikrat 10 $ in enkrat izgubili 50 $, kar kaže, da bo izguba na stavo 10 $. Toda če stavite 30 $, da dobite 10 $, z enakimi kvotami za zmago 4 proti 1, potem imate v tem primeru pozitivno pričakovanje 2 $, ker spet dobite štirikrat 10 $ in enkrat izgubite 30 $, za dobiček 10 $. Ti primeri kažejo, da je prva stava slaba, druga pa dobra.

Matematično pričakovanje je središče vsake igralne situacije. Ko stavnica spodbuja ljubitelje nogometa, da stavijo 11 $ za dobitek 10 $, imajo pozitivno pričakovanje 50 centov za vsakih 10 $. Če igralnica izplača enak denar iz linije Craps Pass, potem je pozitivno pričakovanje hiše približno 1,40 USD na vsakih 100 USD; ta igra je strukturirana tako, da vsak, ki stavi na to linijo, v povprečju izgubi 50,7 % in dobi 49,3 % časa. Nedvomno prav to na videz minimalno pozitivno pričakovanje lastnikom igralnic po vsem svetu prinaša ogromne dobičke. Kot je pripomnil lastnik igralnice Vegas World Bob Stupak: "Tisočinka odstotka negativne verjetnosti na dovolj veliki razdalji bo bankrotirala najbogatejšega človeka na svetu."

Matematično pričakovanje pri igranju pokra

Igra pokra je najbolj ilustrativen in nazoren primer v smislu uporabe teorije in lastnosti matematičnega pričakovanja.

Pričakovana vrednost v pokru je povprečna korist od določene odločitve, pod pogojem, da je takšno odločitev mogoče obravnavati v okviru teorije velikih številk in velike razdalje. Uspešen poker pomeni vedno sprejemati poteze s pozitivnim matematičnim pričakovanjem.

Matematični pomen matematičnega pričakovanja pri igranju pokra je v tem, da se pri odločanju pogosto srečamo z naključnimi spremenljivkami (ne vemo, katere karte ima nasprotnik v roki, katere karte bodo prišle v naslednjih stavnih krogih). Vsako od rešitev moramo obravnavati z vidika teorije velikih števil, ki pravi, da bo pri dovolj velikem vzorcu povprečna vrednost naključne spremenljivke težila k svojemu matematičnemu pričakovanju.

Med posebnimi formulami za izračun matematičnega pričakovanja je v pokru najbolj uporabna naslednja:

Pri igranju pokra je mogoče matematično pričakovanje izračunati tako za stave kot za klice. V prvem primeru je treba upoštevati fold equity, v drugem pa lastne kvote pota. Pri ocenjevanju matematičnega pričakovanja določene poteze je treba upoštevati, da ima odstop vedno matematično pričakovanje nič. Tako bo odlaganje kart vedno bolj donosna odločitev kot katera koli negativna poteza.

Pričakovanje vam pove, kaj lahko pričakujete (dobiček ali izgubo) za vsak dolar, ki ga tvegate. Igralnice služijo denar, ker je matematično pričakovanje vseh iger, ki se v njih izvajajo, v korist igralnice. Pri dovolj dolgem nizu iger je mogoče pričakovati, da bo stranka izgubila svoj denar, saj je »verjetnost« v korist igralnice. Vendar profesionalni igralci v igralnicah omejujejo svoje igre na kratka časovna obdobja in s tem povečajo kvote v svojo korist. Enako velja za naložbe. Če so vaša pričakovanja pozitivna, lahko zaslužite več denarja s sklenitvijo številnih poslov v kratkem času. Pričakovanje je vaš odstotek dobička na zmago, pomnožen z vašim povprečnim dobičkom minus vaša verjetnost izgube, pomnožena z vašo povprečno izgubo.

Poker lahko obravnavamo tudi z vidika matematičnega pričakovanja. Lahko domnevate, da je določena poteza donosna, vendar v nekaterih primerih morda ni najboljša, ker je druga poteza bolj donosna. Recimo, da ste zadeli full house v pokru s petimi kartami. Vaš nasprotnik stavi. Veš, da bo klical, če dvigneš predračun. Tako se zdi dvigovanje najboljša taktika. Če pa povišate, bosta preostala dva igralca zagotovo odstopila. Če pa izenačite stavo, boste popolnoma prepričani, da bosta druga dva igralca za vami storila enako. Ko zvišate stavo, dobite eno enoto, s preprostim klicem pa dve. Klicanje vam torej daje višjo pozitivno pričakovano vrednost in je najboljša taktika.

Matematično pričakovanje lahko tudi poda idejo o tem, katere taktike pokra so manj donosne in katere bolj donosne. Na primer, če igrate določeno kombinacijo in mislite, da je vaša povprečna izguba 75 centov, vključno z anteji, potem morate igrati to kombinacijo, ker to je bolje kot odstop, ko je ante $1.

Drugi pomemben razlog za razumevanje pričakovane vrednosti je ta, da vam daje občutek brezskrbnosti, ne glede na to, ali stavo dobite ali ne: če dobro stavite ali prenesete pravočasno, boste vedeli, da ste naredili ali prihranili določeno količino denarja, ki ga šibkejši igralec ni mogel prihraniti. Veliko težje je odstopiti, če ste razočarani, ker ima vaš nasprotnik boljšo kombinacijo pri žrebu. Kljub temu se denar, ki ga prihranite, če ne igrate, namesto da stavite, doda vašim nočnim ali mesečnim dobitkom.

Ne pozabite le, da bi vas nasprotnik izenačil, če bi zamenjali roke, in kot boste videli v članku Fundamental Theorem of Poker, je to le ena od vaših prednosti. Morali bi se veseliti, ko se to zgodi. Lahko se celo naučite uživati ​​v izgubi kombinacije, saj veste, da bi drugi igralci na vašem mestu izgubili veliko več.

Kot je bilo razloženo v primeru igre s kovanci na začetku, je urna stopnja donosa povezana z matematičnim pričakovanjem in ta koncept je še posebej pomemben za profesionalne igralce. Ko boste igrali poker, morate v mislih oceniti, koliko lahko dobite v eni uri igre. V večini primerov se boste morali zanesti na svojo intuicijo in izkušnje, lahko pa uporabite tudi nekaj matematičnih izračunov. Na primer, če igrate draw lowball in vidite tri igralce, ki stavijo 10 $ in nato povlečejo dve karti, kar je zelo slaba taktika, lahko sami izračunate, da vsakič, ko stavijo 10 $, izgubijo približno 2 $. Vsak od njih to počne osemkrat na uro, kar pomeni, da vsi trije izgubijo približno 48 dolarjev na uro. Ste eden izmed preostalih štirih igralcev, ki so približno enakovredni, zato si morajo ti štirje igralci (in med njimi tudi vi) razdeliti 48 $, vsak pa bo zaslužil 12 $ na uro. Vaša urna postavka je v tem primeru preprosto vaš delež zneska denarja, ki ga izgubijo trije slabi igralci na uro.

V daljšem časovnem obdobju je skupni dobitek igralca vsota njegovih matematičnih pričakovanj v ločenih razdelitvah. Bolj kot igrate s pozitivnim pričakovanjem, več zmagate, in obratno, več rok igrate z negativnim pričakovanjem, več izgubite. Posledično bi morali dati prednost igri, ki lahko poveča vaša pozitivna pričakovanja ali izniči vaša negativna pričakovanja, tako da lahko povečate svoj urni dobiček.

Pozitivno matematično pričakovanje v strategiji igre

Če znate šteti karte, boste morda v prednosti pred igralnico, če vas ne bodo opazili in vrgli ven. Igralnice obožujejo pijane hazarderje in ne prenesejo štetja kart. Prednost vam bo omogočila, da večkrat zmagate kot izgubite skozi čas. Dobro upravljanje denarja z uporabo izračunov pričakovanj vam lahko pomaga izkoristiti prednost in zmanjšati izgube. Brez prednosti je bolje, da daste denar v dobrodelne namene. V igri na borzi daje prednost sistem igre, ki ustvarja več dobička kot izgube, razlike v ceni in provizije. Nobeno upravljanje denarja ne bo rešilo slabega igralnega sistema.

Pozitivno pričakovanje je definirano z vrednostjo, večjo od nič. Večje kot je to število, močnejše je statistično pričakovanje. Če je vrednost manjša od nič, bo tudi matematično pričakovanje negativno. Večji kot je modul negativne vrednosti, slabše je stanje. Če je rezultat nič, potem je pričakovanje brez dobička. Zmagate lahko le, če imate pozitivno matematično pričakovanje, razumen sistem igre. Igranje na intuicijo vodi v katastrofo.

Matematično pričakovanje in borzno trgovanje

Matematično pričakovanje je dokaj zahtevan in priljubljen statistični indikator pri borznem trgovanju na finančnih trgih. Prvič, ta parameter se uporablja za analizo uspešnosti trgovanja. Ni težko uganiti, da večja kot je ta vrednost, več razlogov je, da obravnavano trgovino štejemo za uspešno. Seveda analize dela trgovca ni mogoče izvesti samo s pomočjo tega parametra. Vendar lahko izračunana vrednost v kombinaciji z drugimi metodami ocenjevanja kakovosti dela bistveno poveča natančnost analize.

Matematično pričakovanje se pogosto izračuna v storitvah za spremljanje trgovalnih računov, kar vam omogoča hitro oceno dela, opravljenega na depozitu. Kot izjeme lahko navedemo strategije, ki uporabljajo "prekoračenje" izgubljenih poslov. Trgovec ima lahko nekaj časa srečo, zato pri njegovem delu morda sploh ne bo izgub. V tem primeru ne bo mogoče krmariti samo s pričakovanji, ker tveganja, uporabljena pri delu, ne bodo upoštevana.

Pri trgovanju na trgu se matematično pričakovanje najpogosteje uporablja pri napovedovanju donosnosti trgovalne strategije ali pri napovedovanju dohodka trgovca na podlagi statistike njegovih prejšnjih poslov.

V zvezi z upravljanjem denarja je zelo pomembno razumeti, da pri trgovanju z negativnimi pričakovanji ni sheme upravljanja denarja, ki bi lahko zagotovo prinesla visoke dobičke. Če boste še naprej igrali na borzi pod temi pogoji, boste ne glede na to, kako upravljate s svojim denarjem, izgubili celoten račun, ne glede na to, kako velik je bil na začetku.

Ta aksiom ne velja samo za igre z negativnimi pričakovanji ali trgovanja, velja tudi za igre s enakimi kvotami. Zato je edini primer, ko imate dolgoročno možnost koristi, sklepanje poslov s pozitivnim matematičnim pričakovanjem.

Razlika med negativnim in pozitivnim pričakovanjem je razlika med življenjem in smrtjo. Ni pomembno, kako pozitivno ali kako negativno je pričakovanje; pomembno je, ali je pozitiven ali negativen. Zato morate, preden razmislite o upravljanju denarja, najti igro s pozitivnim pričakovanjem.

Če te igre nimate, vas ne bo rešilo nobeno upravljanje denarja na svetu. Po drugi strani pa, če imate pozitivna pričakovanja, jih je mogoče s pravilnim upravljanjem denarja spremeniti v funkcijo eksponentne rasti. Ni pomembno, kako majhna so pozitivna pričakovanja! Z drugimi besedami, ni pomembno, kako dobičkonosen je sistem trgovanja, ki temelji na eni pogodbi. Če imate sistem, ki pridobi 10 USD na pogodbo pri eni sami trgovini (po provizijah in zdrsih), lahko uporabite tehnike upravljanja denarja, da bo bolj donosen kot sistem, ki prikazuje povprečni dobiček 1000 USD na trgovino (po odbitku provizij in zdrs).

Ni pomembno, kako dobičkonosen je bil sistem, ampak kako zanesljivo je mogoče reči, da bo sistem v prihodnosti pokazal vsaj minimalen dobiček. Zato je najpomembnejša priprava, ki jo lahko opravi trgovec, zagotoviti, da bo sistem v prihodnosti pokazal pozitivno pričakovano vrednost.

Da bi imeli v prihodnosti pozitivno pričakovano vrednost, je zelo pomembno, da ne omejite stopenj svobode svojega sistema. To se doseže ne le z odpravo ali zmanjšanjem števila parametrov, ki jih je treba optimizirati, ampak tudi z zmanjšanjem čim več sistemskih pravil. Vsak parameter, ki ga dodate, vsako pravilo, ki ga naredite, vsaka majhna sprememba, ki jo naredite v sistemu, zmanjša število stopenj svobode. V idealnem primeru želite zgraditi dokaj primitiven in preprost sistem, ki bo nenehno prinašal majhen dobiček na skoraj vseh trgih. Še enkrat, pomembno je, da razumete, da ni pomembno, kako dobičkonosen je sistem, dokler je dobičkonosen. Denar, ki ga zaslužite pri trgovanju, boste zaslužili z učinkovitim upravljanjem denarja.

Trgovalni sistem je preprosto orodje, ki vam daje pozitivno matematično pričakovanje, tako da je mogoče uporabiti upravljanje denarja. Sistemi, ki delujejo (izkazujejo vsaj minimalen dobiček) samo na enem ali nekaj trgih ali imajo različna pravila ali parametre za različne trge, najverjetneje še dolgo ne bodo delovali v realnem času. Težava večine tehnično usmerjenih trgovcev je, da porabijo preveč časa in truda za optimizacijo različnih pravil in parametrov trgovalnega sistema. To daje popolnoma nasprotne rezultate. Namesto da zapravljate energijo in računalniški čas za povečanje dobička trgovalnega sistema, svojo energijo usmerite v povečanje stopnje zanesljivosti doseganja minimalnega dobička.

Ker ve, da je upravljanje denarja le igra številk, ki zahteva uporabo pozitivnih pričakovanj, lahko trgovec preneha iskati »sveti gral« borznega trgovanja. Namesto tega lahko začne preizkušati svojo metodo trgovanja, ugotovi, kako je ta metoda logično pravilna, ali daje pozitivna pričakovanja. Preostalo delo bodo opravile pravilne metode upravljanja denarja, ki se uporabljajo za vse, tudi zelo povprečne metode trgovanja.

Vsak trgovec mora za uspeh pri svojem delu rešiti tri najpomembnejše naloge: . Zagotoviti, da število uspešnih transakcij presega neizogibne napake in napačne izračune; Nastavite svoj trgovalni sistem tako, da je priložnost za zaslužek čim pogostejša; Dosezite stabilen pozitiven rezultat svojega poslovanja.

In tukaj nam, delujočim trgovcem, lahko matematično pričakovanje dobro pomaga. Ta izraz v teoriji verjetnosti je eden ključnih. Z njim lahko podate povprečno oceno neke naključne vrednosti. Matematično pričakovanje naključne spremenljivke je kot težišče, če si vse možne verjetnosti predstavljamo kot točke z različnimi masami.

V zvezi s strategijo trgovanja se za oceno njene učinkovitosti najpogosteje uporablja matematično pričakovanje dobička (ali izgube). Ta parameter je opredeljen kot vsota zmnožkov danih ravni dobička in izgube ter verjetnosti njihovega pojava. Na primer, razvita strategija trgovanja predvideva, da bo 37% vseh operacij prineslo dobiček, preostali del - 63% - pa bo nedonosnih. Hkrati bo povprečni dohodek od uspešne transakcije 7 $, povprečna izguba pa 1,4 $. Izračunajmo matematično pričakovanje trgovanja z naslednjim sistemom:

Kaj pomeni ta številka? Pravi, da bomo po pravilih tega sistema od vsake zaključene transakcije v povprečju prejeli 1.708 dolarjev. Ker je rezultat učinkovitosti večji od nič, je tak sistem mogoče uporabiti za resnično delo. Če se kot rezultat izračuna izkaže, da je matematično pričakovanje negativno, potem to že pomeni povprečno izgubo in takšno trgovanje vodi v propad.

Znesek dobička na posel je lahko izražen tudi kot relativna vrednost v obliki %. Na primer:

– odstotek dohodka na 1 transakcijo - 5%;

– odstotek uspešnih trgovalnih operacij - 62%;

– odstotek izgube na 1 trgovino - 3%;

- odstotek neuspešnih transakcij - 38%;

To pomeni, da bo povprečna transakcija prinesla 1,96%.

Možno je razviti sistem, ki bo kljub prevladi izgubljenih poslov dal pozitiven rezultat, saj je njegov MO>0.

Vendar samo čakanje ni dovolj. Težko je zaslužiti, če sistem daje zelo malo trgovalnih signalov. V tem primeru bo njegova donosnost primerljiva z bančnimi obrestmi. Naj vsaka operacija v povprečju prinese le 0,5 dolarja, a kaj, če sistem predvideva 1000 transakcij na leto? To bo zelo resen znesek v relativno kratkem času. Iz tega logično izhaja, da je še ena značilnost dobrega trgovalnega sistema kratko obdobje držanja.

Viri in povezave

dic.academic.ru - akademski spletni slovar

mathematics.ru - izobraževalna stran o matematiki

nsu.ru – izobraževalna spletna stran Novosibirske državne univerze

webmath.ru je izobraževalni portal za študente, kandidate in šolarje.

exponenta.ru izobraževalna matematična spletna stran

ru.tradimo.com - brezplačna spletna šola trgovanja

crypto.hut2.ru - multidisciplinarni informacijski vir

poker-wiki.ru - brezplačna enciklopedija pokra

sernam.ru - Znanstvena knjižnica izbranih naravoslovnih publikacij

reshim.su - spletno mesto REŠITE naloge, kontrolne naloge

unfx.ru – Forex na UNFX: izobraževanje, trgovalni signali, upravljanje zaupanja

slovopedia.com - Veliki enciklopedični slovar

pokermansion.3dn.ru - Vaš vodnik po svetu pokra

statanaliz.info - informativni blog "Statistična analiza podatkov"

forex-trader.rf - portal Forex-Trader

megafx.ru - najnovejša analitika Forex

fx-by.com - vse za trgovca

V teoriji verjetnosti in v mnogih njenih aplikacijah so različne numerične značilnosti naključnih spremenljivk velikega pomena. Glavna sta matematično pričakovanje in varianca.

1. Matematično pričakovanje naključne spremenljivke in njene lastnosti.

Najprej razmislite o naslednjem primeru. Naj tovarna prejme serijo, sestavljeno iz n ležaji. pri čemer:

m 1 x 1,
m2- število ležajev z zunanjim premerom x 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m n- število ležajev z zunanjim premerom x n,

Tukaj m 1 +m 2 +...+m n =N. Poiščite aritmetično sredino x prim zunanji premer ležaja. očitno,
Zunanji premer naključno vzetega ležaja lahko obravnavamo kot naključno spremenljivko, ki ima vrednosti x 1, x 2, ..., x n, z ustreznimi verjetnostmi p 1 \u003d m 1 / N, p 2 \u003d m 2 /N, ..., p n = m n /N, ker verjetnost pi videz ležaja z zunanjim premerom x i je enako m i /N. Torej, aritmetična sredina x prim zunanji premer ležaja je mogoče določiti z razmerjem
Naj bo diskretna naključna spremenljivka z danim zakonom porazdelitve verjetnosti

matematično pričakovanje diskretna naključna spremenljivka se imenuje vsota produktov parov vseh možnih vrednosti naključne spremenljivke in njihovih ustreznih verjetnosti, tj. *
Predpostavimo, da nepravi integral na desni strani enačbe (40) obstaja.

Razmislite o lastnostih matematičnega pričakovanja. Pri tem se omejimo le na dokazovanje prvih dveh lastnosti, ki ju bomo izvedli za diskretne naključne spremenljivke.

1°. Matematično pričakovanje konstante C je enako tej konstanti.
Dokaz. trajno C si lahko predstavljamo kot naključno spremenljivko, ki ima lahko le eno vrednost C z verjetnostjo enako ena. torej

2°. Konstantni faktor lahko izvzamemo iz predznaka pričakovanja, tj.
Dokaz. Z uporabo relacije (39) imamo

3°. Matematično pričakovanje vsote več naključnih spremenljivk je enako vsoti matematičnih pričakovanj teh spremenljivk.:

Pričakovana vrednost- povprečna vrednost naključne spremenljivke (porazdelitev verjetnosti stacionarne naključne spremenljivke), ko se število vzorcev ali število meritev (včasih imenovano število testov) nagiba k neskončnosti.

Aritmetična sredina enodimenzionalne naključne spremenljivke končnega števila poskusov se običajno imenuje ocena pričakovanja. Ko se število poskusov stacionarnega naključnega procesa nagiba k neskončnosti, se ocena matematičnega pričakovanja nagiba k matematičnemu pričakovanju.

Matematično pričakovanje je eden temeljnih pojmov v teoriji verjetnosti).

Enciklopedični YouTube

1 / 5

✪ Matematično pričakovanje in varianca - bezbotvy

✪ Teorija verjetnosti 15: Matematično pričakovanje

✪ Matematično pričakovanje

✪ Matematično pričakovanje in varianca. Teorija

✪ Matematično pričakovanje pri trgovanju

Podnapisi

Opredelitev

Naj bo podan verjetnostni prostor (Ω , A , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathfrak (A)),\mathbb (P))) in na njem definirana naključna vrednost X (\displaystyle X). To je po definiciji X: Ω → R (\displaystyle X\dvopičje \Omega \to \mathbb (R) ) je merljiva funkcija. Če obstaja Lebesgueov integral od X (\displaystyle X) po prostoru Ω (\displaystyle \Omega ), potem se imenuje matematično pričakovanje ali povprečna (pričakovana) vrednost in se označuje M [ X ] (\displaystyle M[X]) oz E [ X ] (\displaystyle \mathbb (E) [X]).

Osnovne formule za matematično pričakovanje

M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x d F X (x) ; x ∈ R (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!x\,dF_(X)(x);x\in \mathbb (R) ).

Matematično pričakovanje diskretne porazdelitve

potem neposredno iz definicije Lebesguevega integrala izhaja, da

Matematično pričakovanje cele vrednosti

potem lahko njegovo matematično pričakovanje izrazimo v smislu generacijske funkcije zaporedja ( p i ) (\displaystyle \(p_(i)\))

kot vrednost prvega odvoda pri enoti: M [ X ] = P ′ (1) (\displaystyle M[X]=P"(1)). Če matematično pričakovanje X (\displaystyle X) neskončno torej lim s → 1 P ′ (s) = ∞ (\displaystyle \lim _(s\to 1)P"(s)=\infty ) in bomo pisali P ′ (1) = M [ X ] = ∞ (\displaystyle P"(1)=M[X]=\infty )

Zdaj pa vzemimo funkcijo generiranja Q (s) (\displaystyle Q(s)) zaporedja "repov" distribucije ( q k ) (\displaystyle \(q_(k)\))

Ta funkcija generiranja je povezana s predhodno definirano funkcijo P (s) (\displaystyle P(s)) lastnina: Q (s) = 1 − P (s) 1 − s (\displaystyle Q(s)=(\frac (1-P(s))(1-s))) pri | s |< 1 {\displaystyle |s|<1} . Iz tega v skladu s teoremom o srednji vrednosti sledi, da je matematično pričakovanje preprosto enako vrednosti te funkcije pri enoti:

Matematično pričakovanje absolutno zvezne porazdelitve

Matematično pričakovanje naključnega vektorja

Pustiti X = (X 1 , … , X n) ⊤ : Ω → R n (\displaystyle X=(X_(1),\pike ,X_(n))^(\top )\colon \Omega \to \mathbb ( R) ^(n)) je naključen vektor. Potem po definiciji

to pomeni, da je matematično pričakovanje vektorja določeno komponento za komponento.

Matematično pričakovanje transformacije naključne spremenljivke

Pustiti g: R → R (\displaystyle g\dvopičje \mathbb (R) \to \mathbb (R) ) je Borelova funkcija, tako da je naključna spremenljivka Y = g(X) (\displaystyle Y=g(X)) ima končno matematično pričakovanje. Potem je formula zanj veljavna

če X (\displaystyle X) ima diskretno porazdelitev;

če X (\displaystyle X) ima popolnoma zvezno porazdelitev.

Če distribucija P X (\displaystyle \mathbb (P) ^(X)) naključna spremenljivka X (\displaystyle X) splošna oblika, torej

V posebnem primeru, ko g (X) = X k (\displaystyle g(X)=X^(k)), pričakovana vrednost M [ g (X) ] = M [ X k ] (\displaystyle M=M) klical k (\displaystyle k)-m moment naključne spremenljivke.

Najenostavnejše lastnosti matematičnega pričakovanja

• Matematično pričakovanje števila je število samo.

• Matematično pričakovanje je linearno, tj