Odvod kompleksne funkcije x x. Kompleksni derivati

Podani so primeri izračuna odvodov z uporabo formule za odvod kompleksne funkcije.

Poglej tudi: Dokaz formule za odvod kompleksne funkcije

Osnovne formule

Tukaj podajamo primere izračuna odvodov naslednjih funkcij:
; ; ; ; .

Če je funkcija lahko predstavljena kot kompleksna funkcija v naslednji obliki:
,
potem je njegov derivat določen s formulo:
.
V spodnjih primerih bomo to formulo zapisali na naslednji način:
.
Kje .
Tukaj indeksi ali , ki se nahajajo pod znakom izpeljanke, označujejo spremenljivke, po katerih se izvaja diferenciacija.

Običajno so v tabelah odvodov podani odvodi funkcij iz spremenljivke x. Vendar je x formalni parameter. Spremenljivko x lahko nadomestimo s katero koli drugo spremenljivko. Zato pri razlikovanju funkcije od spremenljivke preprosto spremenimo v tabeli odvodov spremenljivko x v spremenljivko u.

Preprosti primeri

Primer 1

Poiščite odvod kompleksne funkcije
.

Zapišimo dano funkcijo v enakovredni obliki:
.
V tabeli izpeljank najdemo:
;
.

Po formuli za odvod kompleksne funkcije imamo:
.
Tukaj.

Primer 2

Poiščite izpeljanko
.

Konstanto 5 vzamemo iz predznaka za odvod in iz tabele odvodov ugotovimo:
.

.
Tukaj.

Primer 3

Poiščite izpeljanko
.

Izvzamemo konstanto -1 za predznak izpeljanke in iz tabele izpeljank najdemo:
;
Iz tabele derivatov najdemo:
.

Uporabimo formulo za odvod kompleksne funkcije:
.
Tukaj.

Bolj zapleteni primeri

V zahtevnejših primerih pravilo za razlikovanje kompleksne funkcije uporabimo večkrat. V tem primeru izračunamo izpeljanko s konca. To pomeni, da funkcijo razdelimo na sestavne dele in z uporabo poiščemo izpeljanke najpreprostejših delov tabela izpeljank. Uporabljamo tudi pravila za razlikovanje vsot, produkti in ulomki. Nato naredimo zamenjave in uporabimo formulo za odvod kompleksne funkcije.

Primer 4

Poiščite izpeljanko
.

Izberimo najenostavnejši del formule in poiščimo njegovo izpeljanko. .

.
Tukaj smo uporabili zapis
.

Z dobljenimi rezultati najdemo odvod naslednjega dela prvotne funkcije. Uporabimo pravilo za razlikovanje vsote:
.

Še enkrat uporabimo pravilo diferenciacije kompleksnih funkcij.

.
Tukaj.

Primer 5

Poiščite odvod funkcije
.

Izberimo najenostavnejši del formule in iz tabele izpeljank poiščimo njen odvod. .

Uporabimo pravilo diferenciacije kompleksnih funkcij.
.
Tukaj
.

Na podlagi dobljenih rezultatov ločimo naslednji del.
.
Tukaj
.

Razlikujmo naslednji del.

.
Tukaj
.

Zdaj poiščemo odvod želene funkcije.

.
Tukaj
.

Funkcije kompleksnega tipa ne ustrezajo vedno definiciji kompleksne funkcije. Če obstaja funkcija v obliki y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, potem je ni mogoče šteti za kompleksno, za razliko od y = sin 2 x.

Ta članek bo prikazal koncept kompleksne funkcije in njeno identifikacijo. Delajmo s formulami za iskanje odvoda s primeri rešitev v zaključku. Uporaba tabele odvodov in diferenciacijskih pravil bistveno skrajša čas iskanja odvoda.

Osnovne definicije

Kompleksna funkcija je tista, katere argument je tudi funkcija.

Označeno je tako: f (g (x)). Imamo, da se funkcija g (x) šteje za argument f (g (x)).

Definicija 2

Če obstaja funkcija f in je kotangensna funkcija, potem je g(x) = ln x funkcija naravnega logaritma. Ugotovimo, da bo kompleksna funkcija f (g (x)) zapisana kot arctg(lnx). Ali funkcija f, ki je funkcija, dvignjena na 4. potenco, kjer g (x) = x 2 + 2 x - 3 velja za celotno racionalno funkcijo, dobimo, da je f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Očitno je g(x) lahko kompleksen. Iz primera y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 je razvidno, da ima vrednost g kubični koren ulomka. Ta izraz lahko označimo kot y = f (f 1 (f 2 (x))). Od koder imamo, da je f sinusna funkcija in f 1 funkcija, ki se nahaja pod kvadratnim korenom, je f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 ulomljena racionalna funkcija.

Definicija 3

Stopnja ugnezdenosti je določena s poljubnim naravnim številom in je zapisana kot y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Definicija 4

Koncept sestave funkcij se nanaša na število ugnezdenih funkcij glede na pogoje problema. Za rešitev uporabite formulo za iskanje odvoda kompleksne funkcije oblike

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Primeri

Poiščite odvod kompleksne funkcije oblike y = (2 x + 1) 2.

rešitev

Pogoj kaže, da je f funkcija kvadriranja, g(x) = 2 x + 1 pa velja za linearno funkcijo.

Uporabimo izpeljano formulo za kompleksno funkcijo in zapišimo:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Poiskati je treba odvod s poenostavljeno izvirno obliko funkcije. Dobimo:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Od tu imamo to

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Rezultati so bili enaki.

Pri reševanju tovrstnih problemov je pomembno razumeti, kje se bo nahajala funkcija oblike f in g (x).

Primer 2

Poiskati bi morali odvode kompleksnih funkcij oblike y = sin 2 x in y = sin x 2.

rešitev

Prvi zapis funkcije pravi, da je f funkcija kvadriranja in g(x) funkcija sinusa. Potem to razumemo

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Drugi vnos kaže, da je f sinusna funkcija, g(x) = x 2 pa potenčno funkcijo. Iz tega sledi, da produkt kompleksne funkcije zapišemo kot

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Formula za izpeljanko y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) bo zapisana kot y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x) ))) )) · . . . fn "(x)

Primer 3

Poiščite odvod funkcije y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

rešitev

Ta primer prikazuje težave pri pisanju in določanju lokacije funkcij. Potem je y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) kjer je f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) funkcija sinusa, funkcija dviga do 3 stopnje, funkcija z logaritmom in osnovo e, arktangens in linearna funkcija.

Iz formule za definiranje kompleksne funkcije imamo to

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Dobimo, kar moramo najti

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) kot odvod sinusa po tabeli odvodov, nato f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) kot odvod potenčne funkcije, potem f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) kot logaritemski odvod, potem f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) kot odvod arktangensa, potem je f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Pri iskanju odvoda f 4 (x) = 2 x odstranite 2 iz znaka odvoda z uporabo formule za odvod potenčne funkcije z eksponentom, ki je enak 1, nato pa f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Združimo vmesne rezultate in dobimo to

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analiza takšnih funkcij spominja na lutke. Pravil diferenciacije ni mogoče vedno eksplicitno uporabiti z uporabo izpeljane tabele. Pogosto morate uporabiti formulo za iskanje derivatov kompleksnih funkcij.

Obstaja nekaj razlik med kompleksnim videzom in kompleksnimi funkcijami. Z jasno sposobnostjo razlikovanja tega bo iskanje derivatov še posebej enostavno.

Primer 4

Treba je razmisliti o podaji takega primera. Če obstaja funkcija oblike y = t g 2 x + 3 t g x + 1, jo lahko obravnavamo kot kompleksno funkcijo oblike g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Očitno je treba uporabiti formulo za kompleksen derivat:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Funkcija oblike y = t g x 2 + 3 t g x + 1 se ne šteje za kompleksno, saj ima vsoto t g x 2, 3 t g x in 1. Vendar t g x 2 velja za kompleksno funkcijo, potem dobimo potenčno funkcijo v obliki g (x) = x 2 in f, ki je tangentna funkcija. Če želite to narediti, ločite po količini. To razumemo

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Pojdimo k iskanju odvoda kompleksne funkcije (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Dobimo, da je y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funkcije kompleksnega tipa lahko vključimo v kompleksne funkcije, same kompleksne funkcije pa so lahko komponente funkcij kompleksnega tipa.

Primer 5

Na primer, razmislite o kompleksni funkciji oblike y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

To funkcijo lahko predstavimo kot y = f (g (x)), kjer je vrednost f funkcija logaritma z osnovo 3, g (x) pa velja za vsoto dveh funkcij v obliki h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 in k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Očitno je y = f (h (x) + k (x)).

Razmislite o funkciji h(x). To je razmerje l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 proti m (x) = e x 2 + 3 3

Imamo, da je l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) vsota dveh funkcij n (x) = x 2 + 7 in p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , kjer je p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) je kompleksna funkcija z numeričnim koeficientom 3 in p 1 je kubna funkcija, p 2 s kosinusno funkcijo, p 3 (x) = 2 x + 1 z linearno funkcijo.

Ugotovili smo, da je m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) vsota dveh funkcij q (x) = e x 2 in r (x) = 3 3, kjer je q (x) = q 1 (q 2 (x)) je kompleksna funkcija, q 1 je funkcija z eksponento, q 2 (x) = x 2 je potenčna funkcija.

To kaže, da je h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Pri prehodu na izraz v obliki k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) je jasno, da je funkcija predstavljena v obliki kompleksa s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) z racionalnim celim številom t (x) = x 2 + 1, kjer je s 1 kvadriranje funkcije in s 2 (x) = ln x logaritemsko z osnova e.

Iz tega sledi, da bo izraz v obliki k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Potem to razumemo

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Na podlagi struktur funkcije je postalo jasno, kako in katere formule je treba uporabiti za poenostavitev izraza pri njegovem razlikovanju. Za seznanitev s tovrstnimi problemi in za koncept njihove rešitve se je treba obrniti na točko diferenciacije funkcije, torej iskanja njenega odvoda.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

če g(x) In f(u) – diferenciabilne funkcije njihovih argumentov v točkah x in u= g(x), potem je kompleksna funkcija tudi diferenciabilna v točki x in se najde po formuli

Tipična napaka pri reševanju izpeljanih problemov je mehanski prenos pravil za razlikovanje enostavnih funkcij na kompleksne funkcije. Naučimo se izogniti tej napaki.

Primer 2. Poiščite odvod funkcije

Napačna rešitev: izračunajte naravni logaritem vsakega člena v oklepajih in poiščite vsoto odvodov:

Pravilna rešitev: spet določimo, kje je "jabolko" in kje je "mleto meso". Tukaj je naravni logaritem izraza v oklepajih "jabolko", to je funkcija nad vmesnim argumentom u, izraz v oklepaju pa je "mleto meso", torej vmesni argument u z neodvisno spremenljivko x.

Nato (z uporabo formule 14 iz tabele derivatov)

V mnogih stvarnih nalogah je lahko izraz z logaritmom nekoliko bolj zapleten, zato obstaja lekcija

Primer 3. Poiščite odvod funkcije

Napačna rešitev:

Pravilna rešitev.Še enkrat določimo, kje je "jabolko" in kje "mleto meso". Tu je kosinus izraza v oklepaju (formula 7 v tabeli izpeljank) "jabolko", pripravljeno je v načinu 1, ki vpliva samo nanj, in izraz v oklepaju (izpeljanka stopnje je številka 3 v tabeli izpeljank) je »mleto meso«, pripravljeno je v načinu 2, ki vpliva samo nanj. In kot vedno, z znakom produkta povezujemo dve izpeljanki. rezultat:

Odvod kompleksne logaritemske funkcije je pogosta naloga pri testih, zato toplo priporočamo, da se udeležite lekcije “Odvod logaritemske funkcije”.

Prvi primeri so bili na kompleksnih funkcijah, v katerih je bil vmesni argument na neodvisni spremenljivki preprosta funkcija. Toda v praktičnih nalogah je pogosto treba najti izpeljanko kompleksne funkcije, kjer je vmesni argument bodisi sam kompleksna funkcija bodisi vsebuje takšno funkcijo. Kaj storiti v takih primerih? Poiščite izpeljanke takšnih funkcij z uporabo tabel in pravil razlikovanja. Ko je izpeljanka vmesnega argumenta najdena, se preprosto nadomesti na pravo mesto v formuli. Spodaj sta dva primera, kako se to naredi.

Poleg tega je koristno vedeti naslednje. Če lahko kompleksno funkcijo predstavimo kot verigo treh funkcij

potem je treba njen derivat najti kot produkt derivatov vsake od teh funkcij:

Pri številnih domačih nalogah boste morda morali odpreti vodnike v novih oknih. Dejanja z močmi in koreninami in Operacije z ulomki .

Primer 4. Poiščite odvod funkcije

Uporabimo pravilo diferenciacije kompleksne funkcije, pri čemer ne pozabimo, da je v dobljenem produktu odvodov vmesni argument glede na neodvisno spremenljivko x ne spremeni:

Pripravimo drugi faktor produkta in uporabimo pravilo za diferenciacijo vsote:

Drugi izraz je koren, torej

Tako smo ugotovili, da vmesni argument, ki je vsota, vsebuje kompleksno funkcijo kot enega od izrazov: dvig na potenco je kompleksna funkcija in tisto, kar se dvigne na potenco, je vmesni argument glede na neodvisno spremenljivka x.

Zato ponovno uporabimo pravilo za razlikovanje kompleksne funkcije:

Stopnjo prvega faktorja pretvorimo v koren, pri diferenciranju drugega faktorja pa ne pozabimo, da je odvod konstante enak nič:

Zdaj lahko najdemo izpeljanko vmesnega argumenta, ki je potreben za izračun izpeljanke kompleksne funkcije, zahtevane v izjavi problema l:

Primer 5. Poiščite odvod funkcije

Najprej uporabimo pravilo za razlikovanje vsote:

Dobili smo vsoto odvodov dveh kompleksnih funkcij. Poiščimo prvo:

Tukaj je dvig sinusa na potenco kompleksna funkcija, sam sinus pa je vmesni argument za neodvisno spremenljivko x. Zato bomo na poti uporabili pravilo diferenciacije kompleksne funkcije vzeti faktor iz oklepaja :

Zdaj najdemo drugi člen odvodov funkcije l:

Tu je dvig kosinusa na potenco kompleksna funkcija f, sam kosinus pa je vmesni argument v neodvisni spremenljivki x. Ponovno uporabimo pravilo za razlikovanje kompleksne funkcije:

Rezultat je zahtevana izpeljanka:

Tabela odvodov nekaterih kompleksnih funkcij

Za kompleksne funkcije, ki temeljijo na pravilu diferenciacije kompleksne funkcije, ima formula za odvod enostavne funkcije drugačno obliko.

1. Odvod kompleksne potenčne funkcije, kjer u x
2. Izpeljanka korena izraza
3. Odvod eksponentne funkcije
4. Posebni primer eksponentne funkcije
5. Odvod logaritemske funkcije s poljubno pozitivno bazo A
6. Odvod kompleksne logaritemske funkcije, kjer je u– diferenciabilna funkcija argumenta x
7. Odvod sinusa
8. Odvod kosinusa
9. Odvod tangente
10. Odvod kotangensa
11. Odvod arkusina
12. Izpeljanka arkozina
13. Izpeljava arktangensa
14. Odvod ark kotangensa

Zelo enostavno zapomniti.

No, ne gremo daleč, takoj razmislimo o inverzni funkciji. Katera funkcija je inverzna eksponentni funkciji? Logaritem:

V našem primeru je osnova številka:

Takšen logaritem (to je logaritem z osnovo) imenujemo »naravni«, zanj pa uporabljamo poseben zapis: namesto tega pišemo.

Čemu je enako? Seveda, .

Izpeljanka naravnega logaritma je tudi zelo preprosta:

Primeri:

1. Poiščite odvod funkcije.
2. Kaj je odvod funkcije?

odgovori: Eksponentni in naravni logaritem sta edinstveno enostavni funkciji z vidika izpeljave. Eksponentne in logaritemske funkcije s katero koli drugo osnovo bodo imele drugačen odvod, ki ga bomo analizirali kasneje, ko bomo preučili pravila diferenciacije.

Pravila razlikovanja

Pravila česa? Spet nov mandat, spet?!...

Diferenciacija je postopek iskanja izpeljanke.

To je vse. Kako drugače lahko poimenujete ta proces z eno besedo? Ni izpeljanka... Matematiki imenujejo diferencial enak prirastek funkcije pri. Ta izraz izhaja iz latinskega differentia - razlika. Tukaj.

Pri izpeljavi vseh teh pravil bomo uporabili dve funkciji, na primer in. Potrebovali bomo tudi formule za njihove prirastke:

Skupaj je 5 pravil.

Konstanta je vzeta iz predznaka izpeljanke.

Če - neko konstantno število (konstanta), potem.

Očitno to pravilo deluje tudi za razliko: .

Dokažimo. Naj bo ali preprosteje.

Primeri.

Poiščite odvode funkcij:

1. na točki;
2. na točki;
3. na točki;
4. na točki.

rešitve:

1. (odvod je v vseh točkah enak, saj je linearna funkcija, se spomnite?);

Izpeljanka izdelka

Tukaj je vse podobno: predstavimo novo funkcijo in poiščimo njen prirastek:

Izpeljanka:

Primeri:

1. Poiščite odvode funkcij in;
2. Poiščite odvod funkcije v točki.

rešitve:

Odvod eksponentne funkcije

Zdaj je vaše znanje dovolj, da se naučite poiskati odvod poljubne eksponentne funkcije in ne samo eksponentov (ste že pozabili, kaj je to?).

Torej, kje je kakšna številka.

Odvod funkcije že poznamo, zato poskusimo reducirati našo funkcijo na novo osnovo:

Za to bomo uporabili preprosto pravilo: . Nato:

No, uspelo je. Zdaj poskusite najti izpeljanko in ne pozabite, da je ta funkcija kompleksna.

Se je zgodilo?

Evo, preverite sami:

Izkazalo se je, da je formula zelo podobna izpeljanki eksponenta: kot je bila, ostaja enaka, pojavil se je le faktor, ki je le številka, ne pa spremenljivka.

Primeri:
Poiščite odvode funkcij:

odgovori:

To je le številka, ki je brez kalkulatorja ni mogoče izračunati, torej je ni mogoče zapisati v enostavnejši obliki. Zato ga v odgovoru pustimo v tej obliki.

Upoštevajte, da je tukaj količnik dveh funkcij, zato uporabimo ustrezno pravilo diferenciacije:

V tem primeru produkt dveh funkcij:

Odvod logaritemske funkcije

Tukaj je podobno: odvod naravnega logaritma že poznate:

Torej, če želite najti poljuben logaritem z drugačno osnovo, na primer:

Ta logaritem moramo zmanjšati na osnovo. Kako spremenite osnovo logaritma? Upam, da se spomnite te formule:

Samo zdaj bomo namesto tega zapisali:

Imenovalec je preprosto konstanta (konstantno število, brez spremenljivke). Izpeljanko dobimo zelo preprosto:

Izvodov eksponentnih in logaritemskih funkcij skoraj nikoli ne najdemo v enotnem državnem izpitu, vendar jih ne bo odveč poznati.

Odvod kompleksne funkcije.

Kaj je "kompleksna funkcija"? Ne, to ni logaritem in ni arktangens. Te funkcije so lahko težko razumljive (čeprav se vam zdi logaritem težak, preberite temo "Logaritmi" in vse bo v redu), vendar z matematičnega vidika beseda "kompleksno" ne pomeni "težko".

Predstavljajte si majhen tekoči trak: dve osebi sedita in delata nekaj dejanj z nekaterimi predmeti. Prvi na primer zavije čokoladno tablico v ovoj, drugi pa jo zaveže s pentljo. Rezultat je sestavljen predmet: čokoladna ploščica, ovita in zavezana s trakom. Če želite pojesti čokoladico, morate narediti obratne korake v obratnem vrstnem redu.

Ustvarimo podoben matematični cevovod: najprej bomo našli kosinus števila in nato kvadrirali dobljeno število. Torej, dobimo številko (čokolado), jaz poiščem njen kosinus (ovitek), nato pa ti kvadriraš, kar sem jaz dobil (zavežeš s trakom). Kaj se je zgodilo? funkcija. To je primer kompleksne funkcije: ko za iskanje njene vrednosti izvedemo prvo dejanje neposredno s spremenljivko in nato drugo dejanje s tistim, kar je rezultat prvega.

Z drugimi besedami, kompleksna funkcija je funkcija, katere argument je druga funkcija: .

Za naš primer,.

Z lahkoto lahko naredimo iste korake v obratnem vrstnem redu: najprej ga kvadrirate, jaz pa nato poiščem kosinus dobljenega števila: . Zlahka je uganiti, da bo rezultat skoraj vedno drugačen. Pomembna značilnost kompleksnih funkcij: ko se spremeni vrstni red dejanj, se spremeni funkcija.

Drugi primer: (isto). .

Poklicano bo dejanje, ki ga izvedemo nazadnje "zunanjo" funkcijo, in prvo izvedeno dejanje - temu primerno "notranja" funkcija(to so neformalna imena, uporabljam jih samo za razlago snovi v preprostem jeziku).

Poskusite sami ugotoviti, katera funkcija je zunanja in katera notranja:

odgovori: Ločevanje notranjih in zunanjih funkcij je zelo podobno spreminjanju spremenljivk: na primer v funkciji

1. Katero dejanje bomo najprej izvedli? Najprej izračunajmo sinus, šele nato ga kubiramo. To pomeni, da gre za notranjo funkcijo, vendar zunanjo.
   In prvotna funkcija je njihova sestava: .
2. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .
3. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .
4. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .
5. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .

Spremenimo spremenljivke in dobimo funkcijo.

No, zdaj bomo izluščili našo čokoladico in poiskali izpeljanko. Postopek je vedno obraten: najprej iščemo odvod zunanje funkcije, nato rezultat pomnožimo z odvodom notranje funkcije. Glede na originalni primer je videti takole:

Še en primer:

Torej, končno oblikujmo uradno pravilo:

Algoritem za iskanje odvoda kompleksne funkcije:

Zdi se preprosto, kajne?

Preverimo s primeri:

rešitve:

1) Notranji: ;

Zunanji: ;

2) Notranji: ;

(Samo ne poskušajte ga zdaj odrezati! Nič ne pride izpod kosinusa, se spomnite?)

3) Notranji: ;

Zunanji: ;

Takoj je jasno, da gre za trinivojsko kompleksno funkcijo: navsezadnje je to že sama po sebi kompleksna funkcija in iz nje izluščimo tudi koren, torej izvedemo tretje dejanje (damo čokolado v ovoj in s trakom v aktovki). Vendar ni razloga za strah: to funkcijo bomo še vedno "odpakirali" v istem vrstnem redu kot običajno: od konca.

To pomeni, da najprej diferenciramo koren, nato kosinus in šele nato izraz v oklepaju. In potem vse pomnožimo.

V takih primerih je priročno oštevilčiti dejanja. Se pravi, predstavljajmo si, kaj vemo. V kakšnem vrstnem redu bomo izvajali dejanja za izračun vrednosti tega izraza? Poglejmo primer:

Kasneje ko se izvede dejanje, bolj "zunanja" bo ustrezna funkcija. Zaporedje dejanj je enako kot prej:

Tu je gnezdenje običajno 4-nivojsko. Določimo potek ukrepanja.

1. Radikalno izražanje. .

2. Koren. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Vse skupaj:

IZPELJAVKA. NA KRATKO O GLAVNEM

Odvod funkcije- razmerje med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta za neskončno majhen prirastek argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila razlikovanja:

Konstanta je vzeta iz izpeljanke:

Izpeljanka vsote:

Izpeljanka izdelka:

Izpeljanka količnika:

Odvod kompleksne funkcije:

Algoritem za iskanje odvoda kompleksne funkcije:

1. Definiramo “notranjo” funkcijo in poiščemo njen odvod.
2. Definiramo “zunanjo” funkcijo in poiščemo njen odvod.
3. Rezultate prve in druge točke pomnožimo.

V »starih« učbenikih se imenuje tudi »verižno« pravilo. Torej če y = f (u) in u = φ (x), to je

y = f (φ (x))

kompleksna - sestavljena funkcija (sestava funkcij) tedaj

Kje , po izračunu se upošteva pri u = φ (x).

Upoštevajte, da smo tukaj vzeli "različne" kompozicije iz istih funkcij, rezultat diferenciacije pa se je seveda izkazal kot odvisen od vrstnega reda "mešanja".

Pravilo verige se seveda razširi na sestave treh ali več funkcij. V tem primeru bodo tri ali več "členov" v "verigi", ki sestavlja izpeljanko. Tukaj je analogija z množenjem: "imamo" tabelo izpeljank; "tam" - tabela množenja; »pri nas« je verižno pravilo in »tam« je pravilo množenja v »stolpcu«. Pri izračunu takšnih "kompleksnih" izpeljank seveda niso uvedeni nobeni pomožni argumenti (u¸v itd.), ampak, ko so sami opazili število in zaporedje funkcij, vključenih v sestavo, so ustrezne povezave "nanizane" v navedenem vrstnem redu.

. Tukaj se z "x" za pridobitev vrednosti "y" izvede pet operacij, to je sestava petih funkcij: "zunanja" (zadnja od njih) - eksponentna - e  ; nato v obratnem vrstnem redu moč. (♦) 2 ; trigonometrični sin(); umirjeno. () 3 in končno logaritemski ln.(). Zato

Z naslednjimi primeri bomo »ubili par ptic na en mah«: vadili bomo razlikovanje kompleksnih funkcij in dodajali tabelo odvodov elementarnih funkcij. Torej:

4. Za funkcijo moči - y = x α - jo prepišemo z uporabo dobro znane "osnovne logaritemske identitete" - b=e ln b - v obliki x α = x α ln x dobimo

5. Za poljubno eksponentno funkcijo z uporabo iste tehnike, kot jo bomo imeli

6. Za poljubno logaritemsko funkcijo z uporabo dobro znane formule za prehod na novo bazo dosledno dobimo

.

7. Za diferenciranje tangensa (kotangensa) uporabimo pravilo diferenciranja količnikov:

Za pridobitev odvodov inverznih trigonometričnih funkcij uporabimo relacijo, ki jo izpolnjujeta odvoda dveh medsebojno inverznih funkcij, to sta funkciji φ (x) in f (x), ki sta povezani z relacijama:

To je razmerje

To je iz te formule za medsebojno inverzne funkcije

in
,

Naj za konec povzamemo te in nekatere druge izpeljanke, ki jih prav tako enostavno dobimo, v naslednjo tabelo.