Konstrukcija pravokotnih projekcij. Pridobivanje aksonometričnih projekcij

8.1. Frontalne dimetrične projekcije krogov. Če je vklopljen aksonometrična slikaželite nekaj predmetov. na primer, krogi (slika 64) ostanejo nepopačeni, nato se uporabi čelna dimetrična projekcija. Konstrukcija čelne dimetrične projekcije dela s cilindrično luknjo, katere dva pogleda sta prikazana na sliki 64, a, se izvede na naslednji način:

1. Z osi x, y, z narišite tanke črte, da označite zunanjo obliko dela (slika 64, b).
2. Poiščite sredino luknje na sprednji strani. Skozi njo narišemo os luknje vzporedno z osjo y in nanjo položimo polovico debeline dela. Dobimo sredino luknje, ki se nahaja na hrbtni strani.
3. Iz dobljenih točk, kot iz središč, se narišejo krogi, katerih premer je enak premeru luknje (slika 64, c).
4. Odstranite odvečne črte in sledite vidnemu obrisu dela (slika 64, d).

riž. 64. Konstrukcija čelne dimetrične projekcije

Vgraditi delovni zvezekčelna dimetrična projekcija dela, prikazanega na sliki 64, a. Usmerite os y v drugo smer. Povečajte velikost slike približno dvakrat.

8.2. Izometrične projekcije krogov. Izometrična projekcija kroga (slika 65) je krivulja, imenovana elipsa. Elipse je težko sestaviti. V risarski praksi se namesto njih pogosto gradijo ovali. Oval je zaprta krivulja, obrobljena z loki krogov. Oval je priročno sestaviti tako, da ga vgradimo v romb, ki je izometrična projekcija kvadrata.

riž. 65. Slika v izometrični projekciji krogov, včrtanih v kocko

Konstrukcija ovala, vpisanega v romb, se izvede v naslednjem zaporedju.

Najprej je zgrajen romb s stranico, ki je enaka premeru prikazanega kroga (slika 66, a). Če želite to narediti, pojdite skozi točko O izometrične osi x in y. Na njih so položeni segmenti iz točke O, enaka polmeru upodobljen krog. Skozi točke a, b, c in d narišite ravne črte, vzporedne z osemi; dobite romb.

riž. 66. Konstruiranje ovala

Velika os ovala se nahaja na veliki diagonali romba.

Po tem je v romb vpisan oval. Da bi to naredili, se loki narišejo iz vrhov tupih kotov (točki A in B). Njihov polmer R je enak oddaljenosti od vrha tupi kot(točki A in B) do točk c, d oziroma a, b (slika 66, b).

Skozi točke B in a, B in b so narisane premice. Na presečišču ravnih črt Ba in Bb z večjo diagonalo romba najdemo točki C in D (slika 66, a). Te točke bodo središča majhnih lokov. Njihov polmer R1 je enak Ca (ali Db). Loki tega polmera gladko povezujejo velike loke ovala.

Pregledali smo konstrukcijo ovala, ki leži v ravnini, pravokotni na os z (oval 1 na sliki 65). Konstruirani so tudi ovali, ki se nahajajo v ravninah, pravokotnih na os y (oval 2) in os x (oval 3). Samo za oval 2 se konstrukcija izvaja na oseh x in z (slika 67, a), za oval 3 - na oseh y in z (slika 67, b). Poglejmo, kako se proučevani konstrukti uporabljajo v praksi.

riž. 67. Konstrukcija ovalov: a leži v ravnini, pravokotni na os y; b - leži v ravnini, pravokotni na os x

riž. 68. Konstrukcija izometrične projekcije dela s cilindrično luknjo

8.3. Metoda za konstruiranje aksonometričnih projekcij predmetov, ki imajo okrogle površine . Slika 68a prikazuje izometrično projekcijo deske. Treba je upodobiti cilindrično luknjo, izvrtano pravokotno na sprednji rob. Gradnja je narejena takole:

1. Poiščite sredino luknje na sprednji strani. Določite smer izometričnih osi, da sestavite romb (glej sliko 65). Iz najdenega središča narišemo osi (slika 68, a) in na njih položimo segmente, ki so enaki polmeru kroga.
2. Gradijo romb. Pospremijo ga ven velika diagonala(Slika 68, b).
3. Opišite velike loke. Poiščite središča za majhne loke (slika 68.c).
4. Iz najdenih središč se narišejo majhni loki.

Isti oval je zgrajen na zadnjem robu, vendar je le njegov vidni del obrisan (slika 68, d).

Poglej sl. 92. Prikazuje čelno dimetrično projekcijo kocke z vpisanimi krogi v njene ploskve.

Krogi, ki se nahajajo na ravninah, pravokotnih na osi x in z, so predstavljeni z elipsami. Sprednja stran kocke, pravokotna na os y, je projicirana brez popačenja, krog, ki se nahaja na njej, pa je upodobljen brez popačenja, t.j. opisan s kompasom. Zato je čelna dimetrična projekcija primerna za upodabljanje predmetov z ukrivljenimi obrisi, kot so prikazani na sl. 93.

Konstrukcija čelne dimetrične projekcije ravnega dela z valjasto luknjo. Čelna dimetrična projekcija ravnega dela z valjasto luknjo se izvede na naslednji način.

1. Konstruirajte obris sprednje strani dela s pomočjo kompasa (slika 94, a).

2. Skozi središča kroga in loke, vzporedne z osjo y, narišemo ravne črte, na katere položimo polovico debeline dela. Dobijo se središča kroga in loki, ki se nahajajo na zadnji površini dela (slika 94, b). Iz teh središč se narišejo krog in loki, katerih polmeri morajo biti enaki polmerom kroga in lokov sprednje ploskve.

3. Narišite tangente na loka. Odstranite odvečne črte in začrtajte vidno konturo (slika 94, c).

Izometrične projekcije krogov. Kvadrat v izometrični projekciji se projicira v romb. Krogi, vpisani v kvadrate, na primer na ploskvah kocke (slika 95), so v izometrični projekciji prikazani kot elipse. V praksi elipse nadomestijo ovali, ki jih narišemo s štirimi loki krogov.

Konstrukcija ovala, vpisanega v romb.

1. Konstruirajte romb s stranico, ki je enaka premeru prikazanega kroga (slika 96, a). Da bi to naredili, izometrični osi x in y narišemo skozi točko O in na njih od točke O položimo segmente, ki so enaki polmeru prikazanega kroga. Skozi točke a, w, c in d nariši ravne črte, vzporedne z osema; dobite romb. Velika os ovala se nahaja na veliki diagonali romba.

2. V romb vstavite oval. Da bi to naredili, se iz oglišč topih kotov (točki A in B) narišejo loki s polmerom R, ki so enaki razdalji od oglišča topega kota (točki A in B) do točk a, b ali c, d, oz. Skozi točke B in a, B in b so narisane ravne črte (slika 96, b); presečišče teh črt z večjo diagonalo romba daje točki C in D, ki bosta središči manjših lokov; polmer R 1 majhnih lokov je enak Ca (Db). Loki tega polmera konjugirajo velike loke ovala. Tako je zgrajen oval, ki leži v ravnini, pravokotni na os z (oval 1 na sliki 95). Ovali, ki se nahajajo v ravninah, pravokotnih na osi x (oval 3) in y (oval 2), so zgrajeni na enak način kot oval 1, samo konstrukcija ovala 3 se izvaja na oseh y in z (slika 97, a ), in ovale 2 (glej sliko 95) - na oseh x in z (slika 97, b).

Konstruiranje izometrične projekcije dela s cilindrično luknjo.

Kako uporabiti obravnavane konstrukcije v praksi?

Podana je izometrična projekcija dela (slika 98, a). Potrebno je narisati skoznjo cilindrično luknjo, izvrtano pravokotno na sprednjo stran.

Gradnja se izvaja na naslednji način.

1. Poiščite položaj središča luknje na sprednji strani dela. Skozi najdeno središče so narisane izometrične osi. (Za določitev njihove smeri je priročno uporabiti sliko kocke na sliki 95.) Na oseh iz središča so položeni segmenti, ki so enaki polmeru prikazanega kroga (slika 98, a).

2. Zgradite romb, katerega stranica je enaka premeru prikazanega kroga; narišite veliko diagonalo romba (slika 98, b).

3. Opišite velike ovalne loke; poiščite središča za majhne loke (slika 98, c).

4. Narišite majhne loke (slika 98, d).

5. Konstruirajte enak oval na hrbtni strani dela in narišite tangente na oba ovala (slika 98, e).

Odgovorite na vprašanja

1. Katere figure so upodobljene v čelni dimetrični projekciji krogov, ki se nahajajo na ravninah, pravokotnih na osi x in y?

2. Ali je krog v čelni dimetrični projekciji popačen, če je njegova ravnina pravokotna na os y?

3. Pri upodabljanju katerih delov je priročno uporabiti čelno dimetrično projekcijo?

4. Katere figure predstavljajo kroge v izometrični projekciji, ki se nahajajo na ravninah, pravokotnih na osi x, y, z?

5. Katere figure v praksi nadomeščajo elipse, ki prikazujejo kroge v izometrični projekciji?

6. Iz katerih elementov je sestavljen oval?

7. Kakšni so premeri krogov, prikazanih kot ovali, vpisani v rombove na sl. 95, če sta stranici teh rombov 40 mm?

Naloge za § 13 in 14

42. vaja

Na sl. 99 osi je narisanih za sestavo treh rombov, ki predstavljajo kvadrate v izometrični projekciji. Poglej sl. 95 in zapišite, na kateri ploskvi kocke - na zgornji, desni ali levi strani bo vsak romb, zgrajen na oseh, navedenih na sl. 99. Na katero os (x, y ali z) bo pravokotna ravnina posameznega romba?

V nekaterih primerih je bolj priročno začeti konstruirati aksonometrične projekcije s konstruiranjem osnovne figure. Zato razmislimo, kako so v aksonometriji upodobljene ravne geometrijske figure, ki se nahajajo vodoravno.

1. kvadrat prikazano na sl. 1, a in b.

Vzdolž osi X položi stran kvadrata a vzdolž osi pri- pol strani a/2 za čelno dimetrično projekcijo in stran A za izometrično projekcijo. Konci segmentov so povezani z ravnimi črtami.

riž. 1. Aksonometrične projekcije kvadrata:

2. Izdelava aksonometrične projekcije trikotnik prikazano na sl. 2, a in b.

Simetrično na točko O(izhodišče koordinatnih osi) vzdolž osi X odložite polovico stranice trikotnika A/ 2, in vzdolž osi pri- njegova višina h(za čelno dimetrično projekcijo polovična višina h/2). Dobljene točke so povezane z ravnimi segmenti.

riž. 2. Aksonometrične projekcije trikotnika:

a - čelni dimetrični; b - izometrična

3. Izdelava aksonometrične projekcije pravilni šesterokotnik prikazano na sl. 3.

os X desno in levo od točke O položite segmente enaka stranišesterokotnik. Os pri simetrično na točko O položite segmente s/2, enaka polovici razdalje med nasprotnih stranehšesterokotnik (za čelno dimetrično projekcijo so ti segmenti prepolovljeni). Od točk m in n, dobljeno na osi pri, povlecite desno in levo vzporedno z osjo X segmenti, ki so enaki polovici stranice šesterokotnika. Dobljene točke so povezane z ravnimi segmenti.

riž. 3. Aksonometrične projekcije pravilnega šesterokotnika:

a - čelni dimetrični; b - izometrična

4. Izdelava aksonometrične projekcije krog .

Frontalna dimetrična projekcija priročno za upodobitev predmetov z ukrivljenimi obrisi, podobnim tistim, prikazanim na sl. 4.

Slika 4. Čelne dimetrične projekcije delov

Na sl. 5. dano frontalni dimetrični projekcija kocke z vpisanimi krogi v njene ploskve. Krogi, ki se nahajajo na ravninah, pravokotnih na osi x in z, so predstavljeni z elipsami. Sprednja stran kocke, pravokotna na os y, je projicirana brez popačenja, krog, ki se nahaja na njej, pa je upodobljen brez popačenja, t.j. opisan s kompasom.

Slika 5. Čelne dimetrične projekcije krogov, včrtanih v ploskve kocke

Konstrukcija čelne dimetrične projekcije ravnega dela z valjasto luknjo .

Čelna dimetrična projekcija ravnega dela z valjasto luknjo se izvede na naslednji način.

1. Konstruirajte obris sprednje strani dela s pomočjo kompasa (slika 6, a).

2. Skozi središča kroga in loke, vzporedne z osjo y, narišemo ravne črte, na katere položimo polovico debeline dela. Dobijo se središča kroga in loki, ki se nahajajo na zadnji površini dela (slika 6, b). Iz teh središč se narišejo krog in loki, katerih polmeri morajo biti enaki polmerom kroga in lokov sprednje ploskve.

3. Narišite tangente na loka. Odstranite odvečne črte in začrtajte vidno konturo (slika 6, c).

riž. 6. Konstrukcija čelne dimetrične projekcije dela s cilindričnimi elementi

Izometrične projekcije krogov .

Kvadrat v izometrični projekciji se projicira v romb. Krogi, vpisani v kvadrate, na primer na ploskvah kocke (slika 7), so v izometrični projekciji prikazani kot elipse. V praksi elipse nadomestijo ovali, ki jih narišemo s štirimi loki krogov.

riž. 7. Izometrične projekcije krogov, včrtanih v ploskve kocke

Konstrukcija ovala, vpisanega v romb.

1. Konstruirajte romb s stranico, ki je enaka premeru prikazanega kroga (slika 8, a). Če želite to narediti, skozi točko O risanje izometričnih osi X in y, in na njih s točke O položite segmente, ki so enaki polmeru prikazanega kroga. Skozi pike a, b, zin d narišite ravne črte, vzporedne z osemi; dobite romb. Velika os ovala se nahaja na veliki diagonali romba.

2. Oval vstavite v romb. Če želite to narediti, iz vrhov topih kotov (točk A in IN) opisujejo loke s polmerom R, enaka razdalji od vrha topega kota (točke A in IN) na točke a, b oz s, d oz. Od točke IN do točk A in b narišite ravne črte (slika 8, b); presečišče teh črt z večjo diagonalo romba daje točke Z in D, ki bodo središča majhnih lokov; polmer R 1 manjši loki je enako Sa (Db). Loki tega polmera konjugirajo velike loke ovala.

riž. 8. Konstrukcija ovala v ravnini, pravokotni na os z.

Tako je zgrajen oval, ki leži v ravnini, pravokotni na os z(oval 1 na sliki 7). Ovali, ki se nahajajo v ravninah, pravokotnih na osi X(ovalne 3) in pri(oval 2), gradimo na enak način kot oval 1, le oval 3 se gradi na oseh pri in z(Sl. 9, a) in oval 2 (glej Sl. 7) - na oseh X in z(Slika 9, b).

riž. 9. Konstrukcija ovala v ravninah, pravokotnih na osi X in pri

Konstruiranje izometrične projekcije dela s cilindrično luknjo.

Če morate na izometrični projekciji dela prikazati skoznjo cilindrično luknjo, izvrtano pravokotno na sprednjo stran, prikazano na sliki. 10, a.

Gradnja se izvaja na naslednji način.

1. Poiščite položaj središča luknje na sprednji strani dela. Skozi najdeno središče so narisane izometrične osi. (Za določitev njihove smeri je priročno uporabiti sliko kocke na sliki 7.) Na osi od središča so položeni segmenti, ki so enaki polmeru prikazanega kroga (slika 10, a).

2. Zgradite romb, katerega stranica je enaka premeru prikazanega kroga; narišite veliko diagonalo romba (slika 10, b).

3. Opišite velike ovalne loke; poiščite središča za majhne loke (slika 10, c).

4. Izvajajo se majhni loki (slika 10, d).

5. Konstruirajte enak oval na hrbtni strani dela in narišite tangente na oba ovala (slika 10, e).

riž. 10. Konstrukcija izometrične projekcije dela s cilindrično luknjo

Slika krogov v izometrični projekciji

Poglejmo, kako so krogi upodobljeni v izometrični projekciji. Da bi to naredili, narišimo kocko s krogi, vpisanimi v njenih obrazih (slika 3.16). Krogi, ki se nahajajo v ravninah, pravokotnih na osi x, y, z so v izometriji prikazane kot tri enake elipse.

riž. 3.16.

Za poenostavitev dela se elipse nadomestijo z ovali, obrobljenimi s krožnimi loki; Narišite romb, v katerega naj se prilega oval, ki prikazuje ta krog v izometrični projekciji. Da bi to naredili, so osi narisane od točke O v štirih smereh odseki, ki so enaki polmeru prikazanega kroga (sl. 3.17, A). Preko prejetih točk a, b, c, d narišite ravne črte, da oblikujete romb. Njegove stranice so enake premeru prikazanega kroga.

riž. 3.17.

Iz oglišč topih kotov (točk A in IN) opisujejo med točkami A in b, in tudi z in d polmer loka R, enaka dolžini neposredno Va oz Bb(Sl. 3.17, b).

Točke Z in D leži na presečišču diagonale romba z ravnimi črtami Va in Bb, so središča majhnih lokov, ki konjugirajo velike.

Majhne loke opisujemo s polmerom R, enako segmentu Sa (Db).

Konstrukcija izometričnih projekcij delov

Razmislimo o konstrukciji izometrične projekcije dela, katerega dva pogleda sta prikazana na sl. 3.18, A.

Gradnja se izvaja v naslednjem vrstnem redu. Najprej narišite prvotno obliko dela - kvadrat. Nato se zgradijo ovali, ki predstavljajo lok (slika 3.18, b) in krogi (slika 3.18, c).

riž. 3.18.

Če želite to narediti, poiščite točko na navpični ravnini O, skozi katere so narisane izometrične osi X in z. Ta konstrukcija ustvari romb, v katerega je vpisana polovica ovala (slika 3.18, b). Ovali na vzporednih ravninah so zgrajeni s prenosom središč lokov na segment, enako razdalji med temi ravninami. Dvojni krogi na sl. Slika 3.18 prikazuje središča teh lokov.

Na istih oseh X in z sestavite romb s stranico, ki je enaka premeru kroga d. V romb je vpisan oval (slika 3.18, c).

Poiščite središče kroga na vodoravno postavljeni ploskvi, narišite izometrične osi, zgradite romb, v katerega je vpisan oval (slika 3.18, G).

Koncept dimetrične pravokotne projekcije

Lokacija dimetričnih projekcijskih osi in način njihove konstrukcije sta prikazana na sl. 3.19. os z nošen navpično, os X– pod kotom približno 7° glede na vodoravno in os pri z vodoravno ravnino tvori kot približno 41° (slika 3.19, A). Osi lahko sestavite s pomočjo ravnila in šestila. Če želite to narediti s točke O položen vodoravno na desno in levo v osmicah enake delitve(Sl. 3.19, b). Iz skrajnih točk se vlečejo pravokotnice. Njihova višina je enaka: za pravokotno na os X - en razdelek, za pravokotno na os pri- sedem oddelkov. Ekstremne točke navpičnici sta povezani s točko O.

riž. 3.19.

Pri risanju dimetrične projekcije, pa tudi pri konstruiranju čelne, osne dimenzije pri se zmanjša za 2-krat in vzdolž osi X in z odložen brez rezov.

Na sl. Na sliki 3.20 je prikazana dimetrična projekcija kocke z vrisanimi krožnicami v njene ploskve. Kot je razvidno iz te slike, so krogi v dimetrični projekciji upodobljeni kot elipse.

riž. 3.20.

Tehnično risanje

Tehnično risanje – To je vizualna slika, narejena po pravilih aksonometričnih projekcij ročno, z očmi. Uporablja se v primerih, ko morate hitro in jasno prikazati obliko predmeta na papirju. To je običajno potrebno pri načrtovanju, izumljanju in racionalizaciji, pa tudi pri učenju branja risb, pri uporabi tehnične risbe morate razložiti obliko dela, predstavljenega na risbi.

Pri izvedbi tehnične risbe se držijo pravil za konstruiranje aksonometričnih projekcij: osi so postavljene pod enakimi koti, dimenzije vzdolž osi so tudi zmanjšane, upoštevajo se oblika elips in zaporedje gradnje.

V članku opisano je bistvo metode vzporedno oblikovanje in njegove lastnosti. Toda kot kaže praksa, je študentom težko zaznati teoretične koncepte brez demonstracije s konkretnimi primeri.

V tem članku bomo pokazali, kako uporabiti lastnosti vzporednega načrtovanja in lastnosti, ki jih poznajo šolarji ploščate figure(trikotnik, paralelogram, trapez, krog in šestkotnik) za slike teh figur med vzporednim oblikovanjem .

1. Slika trikotnika

1) Vsak trikotnik (pravokoten, enakokrak, pravilen) je prikazan kot poljuben trikotnik na primernem mestu na sliki.

2) Če je ΔA 1 B 1 C 1 pravokoten, potem je podana slika smeri njegovih dveh višin (krakov). Poljubno sta upodobljeni višina, spuščena na hipotenuzo, in središče včrtanega kroga. Slika pravokotnice, ki je padla iz dano točko hipotenuza na kateri koli strani je odsek, ki je vzporeden z drugo stranjo.

3) Če je ΔA 1 B 1 C 1 enakokrak, potem je slika mediane B 1 D 1 slika višine in simetrale ΔA 1 B 1 C 1 . Podobi središča včrtane in opisane krožnice pripadata BD.

4) Če je ΔA 1 B 1 C 1 pravilna (enakostranična), potem središča včrtane in opisane krožnice sovpadata in ležita na presečišču median. Zato konstrukcija slike tega trikotnika ne more biti poljubna, če je na primer podano središče enega od teh krogov.

2. Slika paralelograma

Vsak dani paralelogram A 1 B 1 C 1 D 1 (vključno s pravokotnikom, kvadratom, rombom) lahko predstavimo s poljubnim paralelogramom ABCD.

Na sliki poljubnega paralelograma lahko poljubno sestavimo sliki njegovih dveh višin, izrisanih iz enega oglišča. Še več, višine, narisane iz vrha oster kot paralelogram - izvirnik, leži zunaj paralelograma, višine, narisane iz vrha tupega kota, pa ležijo znotraj njega.

1) Če je A 1 B 1 C 1 D 1 romb, potem je na sliki določen par medsebojno pravokotnih ravnih črt - to sta diagonali ABCD. Zato je mogoče poljubno sestaviti sliko samo ene višine iz danega oglišča romba na njegovo stran.

Pri upodabljanju druge višine romba upoštevajte, da osnove teh višin ležijo na ravni črti, vzporedni z diagonalo romba.

Navpičnice, narisane na stranice romba iz katere koli točke na njegovi diagonali, so upodobljene na podoben način.

2) Če je A 1 B 1 C 1 D 1 kvadrat, potem je njegova slika poljuben paralelogram ABCD. Poleg tega slik višin, simetral, kotov, pravokotnic na stranice ni mogoče sestaviti poljubno.

3. Slika trapeza

Vsak trapez A 1 B 1 C 1 D 1 (pa tudi enakokraki in pravokotnik) lahko predstavimo s poljubnim trapezom ABCD.

1) Če je A 1 B 1 C 1 D 1 - trapez splošni pogled, nato slika njegove višine in ena od navpičnic, spuščena iz osnovne točke na straneh, se lahko gradi poljubno.

2) Če je A 1 B 1 C 1 D 1 - pravokotni trapez, potem C 1 B 1 ⊥ A 1 B 1 , je podoba višine trapeza že podana na sliki, zato lahko poljubno upodobimo samo navpičnico na nagnjeno stranico.

3) Če je A 1 B 1 C 1 D 1 enakokraki trapez (obstaja simetrijska os), potem je slika višine segment, ki povezuje središča zgornje in spodnje osnove trapeza (ali vzporedno z njo ).

4. Slika kroga

Vzporedna projekcija kroga je elipsa. Središče kroga na sliki je presečišče konjugiranih premerov elipse. Dva premera kroga (elipse) imenujemo konjugirana, če vsak od njiju razpolovi vse tetive, vzporedne z drugim premerom.

4. Slika pravilnega šesterokotnika

Pravilni šestkotnik A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 upodobimo takole: najprej narišemo poljuben paralelogram BCEF in narišemo njegovi diagonali BE in CF; potem se od točke njihovega presečišča O odložijo enake segmente poljubne dolžine (vendar večje od polovice stranice BC), ki je vzporedna stranicama BC in EF. Konci konstruiranih segmentov so točki A in D.

Torej smo preučili vse možne možnosti. slike ravnih likov na ravnini z metodo vzporedne projekcije .

V naslednjem članku si bomo ogledali slika prostorske figure na letalu.