Video lekcija "Krog. Konstrukcije s šestilom in ravnilom

Krog je zaprta ukrivljena črta, katere vsaka točka se nahaja na enaki razdalji od ene točke O, imenovane središče.

Imenuje se ravne črte, ki povezujejo katero koli točko kroga z njenim središčem polmeri R.

Imenuje se premica AB, ki povezuje dve točki kroga in poteka skozi njegovo središče O premer D.

Deli krogov se imenujejo loki.

Črta CD, ki povezuje dve točki na krogu, se imenuje akord.

Premica MN, ki ima s krogom samo eno skupno točko, se imenuje tangenta.

Imenuje se del kroga, ki ga omejujeta tetiva CD in lok segmentu.

Imenuje se del kroga, omejen z dvema polmeroma in lokom sektorju.

Imenujeta se dve medsebojno pravokotni vodoravni in navpični črti, ki se sekata v središču kroga krožne osi.

Kot, ki ga tvorita dva polmera KOA, se imenuje osrednji kotiček.

dva medsebojno pravokotni polmer naredite kot 90 0 in omejite 1/4 kroga.

Narišemo krog z vodoravnimi in navpičnimi osmi, ki ga razdelijo na 4 enake dele. Narisani s šestilom ali kvadratom pri 45 0, dve medsebojno pravokotni črti razdelita krog na 8 enakih delov.

Delitev kroga na 3 in 6 enakih delov (množnikov 3 s tri)

Če želite krog razdeliti na 3, 6 in večkratnik, narišemo krog danega polmera in ustrezne osi. Delitev se lahko začne od točke presečišča vodoravne ali navpične osi s krogom. Navedeni polmer kroga se zaporedoma odloži 6-krat. Nato so dobljene točke na krogu zaporedno povezane z ravnimi črtami in tvorijo pravilen vpisan šesterokotnik. Če povežemo točke skozi eno, dobimo enakostranični trikotnik, krog pa razdelimo na tri enake dele.

Konstrukcija pravilnega peterokotnika se izvede na naslednji način. Narišemo dve medsebojno pravokotni osi kroga, enaki premeru kroga. Desno polovico vodoravnega premera razdelite na polovico z lokom R1. Iz dobljene točke "a" na sredini tega segmenta s polmerom R2 narišemo lok kroga, dokler se ne seka z vodoravnim premerom v točki "b". Polmer R3 iz točke "1" narišite lok kroga do presečišča z danim krogom (točka 5) in dobite stran pravilnega petkotnika. Razdalja "b-O" daje stran pravilnega desetkotnika.

Razdelitev kroga na N-to število enakih delov (gradnja pravilnega mnogokotnika z N stranicami)

Izvaja se na naslednji način. Narišemo vodoravne in navpične medsebojno pravokotne osi kroga. Od zgornje točke "1" kroga potegnemo ravno črto pod poljubnim kotom na navpično os. Na njem odložimo enake segmente poljubne dolžine, katerih število je enako številu delov, na katere razdelimo dani krog, na primer 9. Konec zadnjega segmenta povežemo s spodnjo točko navpičnega premera . S koncev segmentov, ki smo jih odložili do presečišča z navpičnim premerom, potegnemo črte, vzporedne z dobljeno, in tako razdelimo navpični premer danega kroga na dano število delov. S polmerom, ki je enak premeru kroga, iz spodnje točke navpične osi narišemo lok MN, dokler se ne seka z nadaljevanjem vodoravne osi kroga. Iz točk M in N potegnemo žarke skozi sode (ali lihe) delitvene točke navpičnega premera, dokler se ne sekajo s krogom. Nastali segmenti kroga bodo želeni, ker točke 1, 2, …. 9 krog razdelite na 9 (N) enakih delov.

Imenuje se stavek, ki pojasnjuje pomen določenega izraza ali imena opredelitev. Z definicijami smo se že srečali, na primer z definicijo kota, sosednjih kotov, enakokrakega trikotnika itd. Dajmo definicijo še ene geometrijske figure - kroga.

Opredelitev

Ta točka se imenuje središče kroga, in segment, ki povezuje središče s katero koli točko kroga, je polmer kroga(slika 77). Iz definicije kroga sledi, da imajo vsi polmeri enako dolžino.

riž. 77

Odsek, ki povezuje dve točki na krogu, se imenuje njegova tetiva. Tetiva, ki poteka skozi središče kroga, se imenuje njegova premer.

Na sliki 78 sta odseka AB in EF tetivi kroga, odsek CD je premer kroga. Očitno je premer kroga dvakrat večji od polmera. Središče kroga je središče katerega koli premera.

riž. 78

Vsaki dve točki na krogu ga razdelita na dva dela. Vsak od teh delov se imenuje lok kroga. Na sliki 79 sta ALB in AMB loka, omejena s točkama A in B.

riž. 79

Če želite na risbi upodobiti krog, uporabite kompas(slika 80).

riž. 80

Za risanje kroga na tleh lahko uporabite vrv (slika 81).

riž. 81

Del ravnine, ki je omejen s krogom, imenujemo krog (slika 82).

riž. 82

Konstrukcije s šestilom in ravnilom

Ukvarjali smo se že z geometrijskimi konstrukcijami: risali smo ravne črte, odlagali enake segmente danim, risali kote, trikotnike in druge figure. Hkrati smo uporabljali merilno ravnilo, šestilo, kotomer, risalni kvadrat.

Izkazalo se je, da je veliko konstrukcij mogoče narediti samo s šestilom in ravnilo brez delitev lestvice. Zato v geometriji posebej ločimo tiste naloge za konstrukcijo, ki jih rešujemo samo s tema dvema orodjem.

Kaj je mogoče storiti z njimi? Jasno je, da ravnilo omogoča, da narišemo poljubno črto, pa tudi da sestavimo črto, ki poteka skozi dve dani točki. S kompasom lahko narišete krog poljubnega polmera, pa tudi krog s središčem v dani točki in polmerom, enakim danemu segmentu. Z izvajanjem teh preprostih operacij lahko rešimo številne zanimive gradbene probleme:

zgraditi kot, enak danemu;
skozi dano točko potegnite črto, pravokotno na dano premico;
ta segment razdelite na polovico in druge naloge.

Začnimo s preprosto nalogo.

Naloga

Na danem žarku od njegovega začetka odložite segment, ki je enak danemu.

Odločitev

Upodobimo figure, podane v pogoju problema: žarek OS in odsek AB (slika 83, a). Nato s šestilom zgradimo krog polmera AB s središčem O (slika 83, b). Ta krog bo sekal žarek OS v neki točki D. Odsek OD je zahtevani.

riž. 83

Primeri gradbenih nalog

Konstruiranje kota, enakega danemu

Naloga

Od danega žarka odstavimo kot, ki je enak danemu.

Odločitev

Ta kot z ogliščem A in žarkom OM sta prikazana na sliki 84. Konstruirati je treba kot, enak kotu A, tako da ena od njegovih stranic sovpada z žarkom OM.

riž. 84

Narišimo krog poljubnega polmera s središčem v točki A danega kota. Ta krog seka stranice vogala v točkah B in C (slika 85, a). Nato narišemo krog enakega polmera s središčem na začetku danega žarka OM. Seka žarek v točki D (slika 85, b). Po tem zgradimo krog s središčem D, katerega polmer je enak BC. Krogi s središčema O in D se sekata v dveh točkah. Eno od teh točk označimo s črko E. Dokažimo, da je kot MOE zahtevani.

riž. 85

Razmislite o trikotniku ABC in ODE. Odseka AB in AC sta polmera kroga s središčem A, segmenta OD in OE pa polmera kroga s središčem O (glej sliko 85, b). Ker imajo ti krogi po konstrukciji enake polmere, potem je AB = OD, AC = OE. Tudi po konstrukciji je BC = DE.

Zato je Δ ABC = Δ ODE na treh straneh. Zato je ∠DOE = ∠BAC, torej konstruirani kot MOE je enak podanemu kotu A.

Enako konstrukcijo lahko izvedemo na tleh, če namesto kompasa uporabimo vrv.

Sestavljanje simetrale kota

Naloga

Konstruiraj simetralo danega kota.

Odločitev

Ta kot BAC je prikazan na sliki 86. Narišimo krog poljubnega polmera s središčem v točki A. Sekal bo stranice kota v točkah B in C.

riž. 86

Nato narišemo dva kroga enakega polmera BC s središči v točkah B in C (na sliki so prikazani samo deli teh krogov). Sekata se na dveh točkah, od katerih vsaj ena leži znotraj vogala. Označimo ga s črko E. Dokažimo, da je žarek AE simetrala danega kota BAC.

Razmislite o trikotniku ACE in ABE. Na treh straneh so enaki. Dejansko je AE skupna stran; AC in AB sta enaka polmeru istega kroga; CE = BE po konstrukciji.

Iz enakosti trikotnikov ACE in ABE sledi, da je ∠CAE = ∠BAE, torej žarek AE je simetrala danega kota BAC.

Komentar

Ali je dani kot s šestilom in ravnilo mogoče razdeliti na dva enaka kota? Jasno je, da je mogoče - za to morate narisati simetralo tega kota.

Ta kot lahko razdelimo tudi na štiri enake kote. Če želite to narediti, ga morate razdeliti na polovico in nato vsako polovico ponovno razdeliti na polovico.

Ali je mogoče dati kot razdeliti na tri enake kote s šestilom in ravnilo? Ta naloga, imenovana težave s trisekcijo kota, že več stoletij pritegne pozornost matematikov. Šele v 19. stoletju je bilo dokazano, da je taka konstrukcija nemogoča za poljuben kot.

Konstrukcija pravokotnih črt

Naloga

Podano črto in točko na njej. Konstruiraj premico, ki poteka skozi dano točko in je pravokotna na dano premico.

Odločitev

Dana premica a in podana točka M, ki pripada tej premici, sta prikazani na sliki 87.

riž. 87

Na žarkih premice a, ki izhajajo iz točke M, odložimo enaka segmenta MA in MB. Nato zgradimo dva kroga s središčema A in B polmera AB. Sekata se v dveh točkah: P in Q.

Narišimo premico skozi točko M in eno od teh točk, na primer premico MP (glej sliko 87), in dokažemo, da je ta premica želena, torej da je pravokotna na dano premico a .

Ker je mediana PM enakokrakega trikotnika PAB tudi višina, potem je PM ⊥ a.

Konstrukcija sredine segmenta

Naloga

Konstruirajte sredino tega segmenta.

Odločitev

Naj bo AB dani segment. Sestavimo dva kroga s središčema A in B polmera AB. Sekata se v točkah P in Q. Nariši premico PQ. Točka O presečišča te premice s segmentom AB je želena sredina segmenta AB.

Dejansko sta trikotnika APQ in BPQ enaka na treh straneh, torej ∠1 = ∠2 (slika 89).

riž. 89

Posledično je odsek RO simetrala enakokrakega trikotnika ARV in zato mediana, to je točka O, središče odseka AB.

Naloge

143. Kateri od segmentov, prikazanih na sliki 90, so: a) tetive kroga; b) premeri kroga; c) polmer kroga?

riž. 90

144. Odseka AB in CD sta premera kroga. Dokaži, da sta: a) tetivi BD in AC enaki; b) akordi AD in BC sta enaki; c) ∠BAD = ∠BCD.

145. Odsek MK je premer kroga s središčem O, MR in RK pa sta enaki tetivi tega kroga. Poiščite ∠POM.

146. Odseka AB in CD sta premera kroga s središčem O. Poiščite obseg trikotnika AOD, če je znano, da je CB = 13 cm, AB = 16 cm.

147. Točki A in B sta označeni na krogu s središčem O, tako da je kot AOB pravi. Odsek BC je premer kroga. Dokaži, da sta tetivi AB in AC enaki.

148. Dve točki A in B sta podani na ravni črti. Na nadaljevanju žarka BA odložite segment BC, tako da je BC \u003d 2AB.

149. Dane so premica a, točka B, ki ne leži na njej, in odsek PQ. Konstruiraj točko M na premici a, tako da je BM = PQ. Ali ima problem vedno rešitev?

150. Dani krog, točka A, ki ne leži na njej, in odsek PQ. Konstruiraj točko M na krogu tako, da je AM = PQ. Ali ima problem vedno rešitev?

151. Podana sta ostri kot BAC in žarek XY. Konstruiraj kot YXZ tako, da je ∠YXZ = 2∠BAC.

152. Podan je top kot AOB. Konstruiraj žarek OX tako, da sta kota XOA in XOB enaka topa kota.

153. Dani sta premica a in točka M, ki ne ležita na njej. Konstruiraj premico, ki poteka skozi točko M in je pravokotna na premico a.

Odločitev

Konstruirajmo krog s središčem v dani točki M, ki v dveh točkah seka dano premico a, ki ju označimo s črkama A in B (slika 91). Nato zgradimo dve krogi s središčema A in B, ki potekata skozi točko M. Ti krogi se sekata v točki M in še v eni točki, ki jo označimo s črko N. Narišimo premico MN in dokažemo, da je ta premica želena ena, to je pravokotna na ravno črto a.

riž. 91

Dejansko sta trikotnika AMN in BMN enaka v treh straneh, torej ∠1 = ∠2. Iz tega sledi, da je odsek MC (C je presečišče premici a in MN) simetrala enakokrakega trikotnika AMB in s tem višina. Tako je MN ⊥ AB, torej MN ⊥ a.

154. Podan je trikotnik ABC. Konstruiraj: a) simetralo AK; b) mediana VM; c) višina CH trikotnika. 155. S šestilom in ravnilom sestavi kot, ki je enak: a) 45°; b) 22°30".

Odgovori na naloge

152. Navodilo. Najprej zgradimo simetralo kota AOB.

§ 1 Krog. Osnovni koncepti

V matematiki obstajajo stavki, ki pojasnjujejo pomen določenega imena ali izraza. Takšni stavki se imenujejo definicije.

Opredelimo pojem kroga. Krog je geometrijski lik, sestavljen iz vseh točk ravnine, ki se nahajajo na določeni razdalji od dane točke.

Ta točka, poimenujmo jo točka O, se imenuje središče kroga.

Odsek, ki povezuje središče s katero koli točko kroga, se imenuje polmer kroga. Takih segmentov je veliko, na primer OA, OB, OS. Vsi bodo imeli enako dolžino.

Odsek, ki povezuje dve točki na krogu, se imenuje tetiva. MN je tetiva kroga.

Tetiva, ki poteka skozi središče kroga, se imenuje premer. AB je premer kroga. Premer je sestavljen iz dveh polmerov, kar pomeni, da je dolžina premera dvakrat večja od polmera. Središče kroga je središče katerega koli premera.

Vsaki dve točki na krogu ga razdelita na dva dela. Ti deli se imenujejo loki kroga.

ANB in ​​AMB sta krožna loka.

Del ravnine, ki je omejen s krogom, se imenuje krog.

Za upodobitev kroga na risbi se uporablja kompas. Krog lahko narišemo tudi na tleh. Če želite to narediti, samo uporabite vrv. En konec vrvi pritrdite na kolček, zaboden v tla, z drugim koncem pa opišite krog.

§ 2 Konstrukcije s šestilom in ravnilom

V geometriji je mogoče številne konstrukcije izvesti samo s šestilom in ravnilom brez delitev lestvice.

Z uporabo samo ravnila lahko narišete poljubno črto, pa tudi poljubno črto, ki poteka skozi dano točko, ali črto, ki poteka skozi dve dani točki.

Kompas vam omogoča, da narišete krog poljubnega polmera, tudi krog s središčem v dani točki in polmerom, enakim danemu segmentu.

Vsako od teh orodij ločeno omogoča izdelavo najpreprostejših konstrukcij, vendar s pomočjo teh dveh orodij lahko že izvajate bolj zapletene operacije, npr.

reševanje gradbenih problemov kot npr

Konstruiraj kot, enak danemu,

Sestavi trikotnik z danimi stranicami,

Segment razdelite na polovico

Skozi dano točko narišite črto, pravokotno na dano premico, itd.

Razmislimo o težavi.

Naloga: Na danem žarku od njegovega začetka odložite segment, ki je enak danemu.

Podan žarek OS in segment AB. Treba je zgraditi odsek OD, enak segmentu AB.

S pomočjo kompasa zgradimo krog polmera, ki je enak dolžini odseka AB, s središčem v točki O. Ta krog bo sekal dani žarek OS v neki točki D. Odsek OD je želeni odsek.

Seznam uporabljene literature:

1. Geometrija. 7-9 razredi: uč. za splošno izobraževanje organizacije / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev in drugi - M .: Izobraževanje, 2013. - 383 str.: ilustr.
2. Gavrilova N.F. Pourochnye razvoj v geometriji 7. razred. - M.: "WAKO", 2004. - 288s. - (Za pomoč šolskemu učitelju).
3. Belitskaya O.V. Geometrija. 7. razred. 1. del. Testi. - Saratov: Licej, 2014. - 64 str.

Pri izdelavi ali obdelavi lesenih delov je v nekaterih primerih potrebno določiti, kje se nahaja njihovo geometrijsko središče. Če ima del kvadratno ali pravokotno obliko, potem to ni težko narediti. Dovolj je, da nasprotne vogale povežemo z diagonalami, ki se hkrati sekajo točno v središču naše figure.
Za izdelke, ki imajo obliko kroga, ta rešitev ne bo delovala, ker nimajo vogalov in zato diagonal. V tem primeru je potreben kakšen drug pristop, ki temelji na drugih načelih.

In obstajajo in v številnih različicah. Nekateri od njih so precej zapleteni in zahtevajo več orodij, drugi pa so enostavni za izvedbo in za njihovo izvedbo ne potrebujejo celega nabora naprav.
Zdaj si bomo ogledali enega najlažjih načinov, kako najti središče kroga samo z navadnim ravnilom in svinčnikom.

Zaporedje iskanja središča kroga: