Območje različnih figur. Kakšna je površina figure? Varstvo osebnih podatkov

Območje geometrijske figure- numerična značilnost geometrijske figure, ki prikazuje velikost te figure (del površine, omejen z zaprto konturo te figure). Velikost površine je izražena s številom kvadratnih enot, ki jih vsebuje.

Formule ploščine trikotnika

Formula za površino trikotnika glede na stranico in višino
Območje trikotnika enaka polovici zmnožka dolžine stranice trikotnika in dolžine nadmorske višine, narisane na to stran
Formula za ploščino trikotnika, ki temelji na treh straneh in polmeru opisanega kroga
Formula za območje trikotnika, ki temelji na treh straneh in polmeru včrtanega kroga
Območje trikotnika je enak zmnožku polobsega trikotnika in polmera včrtanega kroga.

Formule kvadratne površine

Formula za površino kvadrata glede na dolžino stranice
Kvadratno območje enaka kvadratu dolžine njegove stranice.
Formula za površino kvadrata vzdolž diagonalne dolžine
Kvadratno območje enaka polovici kvadrata dolžine njegove diagonale.
S= 1 2
2

Formula za površino pravokotnika

Območje pravokotnika

Formule ploščine paralelograma

Formula za površino paralelograma glede na stransko dolžino in višino
Območje paralelograma
Formula za površino paralelograma, ki temelji na dveh stranicah in kotu med njima
Območje paralelograma je enak produktu dolžin njegovih stranic, pomnoženih s sinusom kota med njima.
a b sin α

Formule za območje romba

Formula za območje romba glede na stransko dolžino in višino
Območje romba enak zmnožku dolžine njegove stranice in dolžine višine, spuščene na to stran.
Formula za območje romba glede na stransko dolžino in kot
Območje romba je enak zmnožku kvadrata dolžine njegove stranice in sinusa kota med stranicama romba.
Formula za območje romba, ki temelji na dolžinah njegovih diagonal
Območje romba enaka polovici produkta dolžin njegovih diagonal.

Formule ploščine trapeza

Heronova formula za trapez
Kjer je S območje trapeza,
- dolžine osnov trapeza,
- dolžine stranic trapeza,

Kako najti območje figure?

Poznavanje in sposobnost izračunavanja površin različnih figur ni potrebno le za reševanje preprostih geometrijskih problemov. Brez tega znanja ne morete storiti pri pripravi ali preverjanju ocen za popravila prostorov, izračunu količine potrebnega potrošnega materiala. Ugotovimo torej, kako najti območja različnih oblik.

Del ravnine, ki je v zaprti konturi, se imenuje območje te ravnine. Ploščina je izražena s številom kvadratnih enot, ki jih vsebuje.

Za izračun površine osnovnih geometrijskih oblik morate uporabiti pravilno formulo.

Območje trikotnika

Oznake:

Če so h, a znani, se površina zahtevanega trikotnika določi kot zmnožek dolžine stranice in višine trikotnika, spuščenega na to stran, deljeno na polovico: S=(a h)/2
Če so znani a, b, c, se zahtevana površina izračuna s Heronovo formulo: kvadratni koren, vzet iz produkta polovice obsega trikotnika in treh razlik polovice obsega in vsake stranice trikotnika: S = √ (p (p - a) (p - b)·(p - c)).
Če so znani a, b, γ, potem je površina trikotnika določena kot polovica produkta 2 strani, pomnožena z vrednostjo sinusa kota med tema stranicama: S=(a b sin γ)/2
Če so a, b, c, R znani, potem zahtevano ploščino določimo tako, da zmnožek dolžin vseh stranic trikotnika delimo s štirimi polmeri kroga, ki ga opisuje: S=(a b c)/4R
Če sta p, r znana, se zahtevana površina trikotnika določi tako, da se polovica oboda pomnoži s polmerom vanj vpisanega kroga: S=p·r

Kvadratno območje

Oznake:

Če je stran znana, potem je površina dane figure določena kot kvadrat dolžine njene stranice: S=a 2
Če je d znan, potem je površina kvadrata določena kot polovica kvadrata dolžine njegove diagonale: S=d 2 /2

Območje pravokotnika

Oznake:

S - določeno območje,
a, b - dolžine stranic pravokotnika.

Če sta a, b znana, potem je ploščina danega pravokotnika določena z zmnožkom dolžin njegovih dveh strani: S=a b
Če dolžine strani niso znane, je treba območje pravokotnika razdeliti na trikotnike. V tem primeru je površina pravokotnika določena kot vsota površin njegovih sestavnih trikotnikov.

Območje paralelograma

Oznake:

S je zahtevano območje,
a, b - stranske dolžine,
h je dolžina višine danega paralelograma,
d1, d2 - dolžini dveh diagonal,
α je kot med stranicama,
γ je kot med diagonalama.

Če sta a, h znana, potem zahtevano površino določimo z množenjem dolžine stranice in višine, spuščene na to stran: S=a h
Če so znani a, b, α, se površina paralelograma določi tako, da se dolžine strani paralelograma pomnožijo s sinusom kota med tema stranicama: S=a b sin α
Če so znani d 1 , d 2 , γ, potem je površina paralelograma določena kot polovica produkta dolžin diagonal in sinusa kota med temi diagonalami: S=(d 1 d 2 sinγ) /2

Območje romba

Oznake:

S je zahtevano območje,
a - stranska dolžina,
h - dolžina višine,
α je manjši kot med stranicama,
d1, d2 - dolžini dveh diagonal.

Če sta a, h znana, se površina romba določi tako, da se dolžina stranice pomnoži z dolžino višine, ki je spuščena na to stran: S=a h
Če sta a, α znana, se površina romba določi tako, da se kvadrat dolžine stranice pomnoži s sinusom kota med stranicama: S=a 2 sin α
Če sta d 1 in d 2 znana, se zahtevana površina določi kot polovica produkta dolžin diagonal romba: S=(d 1 d 2)/2

Območje trapeza

Oznake:

Če so a, b, c, d znani, potem je zahtevana površina določena s formulo: S= (a+b) /2 *√.
Ob znanih a, b, h se zahtevana ploščina določi kot zmnožek polovične vsote osnov in višine trapeza: S=(a+b)/2 h

Območje konveksnega štirikotnika

Oznake:

Če so znani d 1 , d 2 , α, potem je površina konveksnega štirikotnika določena kot polovica produkta diagonal štirikotnika, pomnoženega s sinusom kota med temi diagonalami: S=(d 1 · d 2 · sin α)/2
Pri znanih p, r je ploščina konveksnega štirikotnika določena kot zmnožek poloboda štirikotnika in polmera kroga, vpisanega v ta štirikotnik: S=p r
Če so znani a, b, c, d, θ, potem je ploščina konveksnega štirikotnika določena kot kvadratni koren produkta razlike v polobodju in dolžine vsake stranice minus produkt dolžine vseh stranic in kvadrat kosinusa polovice vsote dveh nasprotnih kotov: S 2 = (p - a )(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos 2 ((α+ β)/2)

Območje kroga

Oznake:

Če je r znan, se zahtevana površina določi kot produkt števila π in kvadrata polmera: S=π r 2

Če je d znan, potem je površina kroga določena kot produkt števila π s kvadratom premera, deljeno s štiri: S=(π d 2)/4

Območje kompleksne figure

Kompleksne je mogoče razčleniti na preproste geometrijske oblike. Območje kompleksne figure je opredeljeno kot vsota ali razlika njenih sestavnih površin. Razmislite na primer o prstanu.

Oznaka:

S - območje obroča,
R, r - polmeri zunanjega in notranjega kroga,
D, d sta premera zunanjega oziroma notranjega kroga.

Da bi našli površino obroča, morate površino odšteti od površine večjega kroga manjši krog. S = S1-S2 = πR 2 -πr 2 = π (R 2 -r 2).

Torej, če sta znana R in r, potem je površina obroča določena kot razlika v kvadratih polmerov zunanjega in notranjega kroga, pomnožena s pi: S=π(R 2 -r 2).

Če sta D in d znana, potem je površina obroča določena kot četrtina razlike v kvadratih premerov zunanjega in notranjega kroga, pomnožena s pi: S = (1/4) (D 2 -d 2) π.

Območje popravkov

Predpostavimo, da je znotraj enega kvadrata (A) še en (B) (manjše velikosti) in moramo najti osenčeno votlino med številkama "A" in "B". Recimo, "okvir" majhnega kvadrata. Za to:

Poiščite površino slike "A" (izračunano po formuli za iskanje površine kvadrata).
Podobno najdemo območje slike "B".
Odštejte območje "B" od območja "A". In tako dobimo območje zasenčene figure.

Zdaj veste, kako najti območja različnih oblik.

Razred: 5

Po mojem mnenju naloga učitelja ni samo poučevanje, ampak razvijanje kognitivnega interesa pri učencu. Zato, kadar je le mogoče, teme učnih ur povezujem s praktičnimi nalogami.

Med lekcijo učenci pod vodstvom učitelja pripravijo načrt za reševanje problemov, da bi našli območje "kompleksne figure" (za izračun ocen popravila), utrdijo spretnosti pri reševanju problemov, da bi našli območje; Pride do razvoja pozornosti, sposobnosti raziskovalnih dejavnosti, vzgoje aktivnosti in neodvisnosti.

Delo v paru ustvarja situacijo komunikacije med tistimi, ki znanje imajo, in tistimi, ki ga pridobivajo; To delo temelji na izboljšanju kakovosti usposabljanja v predmetu. Spodbuja razvoj zanimanja za učni proces in globlje asimilacijo učnega gradiva.

Lekcija ne samo sistematizira znanje učencev, ampak tudi prispeva k razvoju ustvarjalnih in analitičnih sposobnosti. Uporaba problemov s praktično vsebino pri pouku nam omogoča, da pokažemo pomen matematičnega znanja v vsakdanjem življenju.

Cilji lekcije:

Izobraževalni:

utrjevanje znanja formul za območje pravokotnika, pravokotnega trikotnika;
analiza nalog za izračun površine "kompleksne" figure in metod za njihovo izvajanje;
samostojno opravljanje nalog za preverjanje znanja, spretnosti in spretnosti.

Izobraževalni:

razvoj metod miselne in raziskovalne dejavnosti;
razvijanje sposobnosti poslušanja in pojasnjevanja poteka odločitve.

Izobraževalni:

razvijati akademske sposobnosti študentov;
gojiti kulturo ustnega in pisnega matematičnega govora;
razvijati prijazen odnos v razredu in sposobnost skupinskega dela.

Vrsta lekcije: kombinirano.

Oprema:

Matematika: učbenik za 5. razred. Splošna izobrazba institucije / N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov et al., M.: "Mnemosyne", 2010.
Kartice za skupine študentov z oblikami za izračun površine kompleksne oblike.
Orodja za risanje.

Učni načrt:

Organiziranje časa.
Posodabljanje znanja.
a) Teoretična vprašanja (test).
b) Izjava problema.
Naučili novo snov.
a) iskanje rešitve problema;
b) rešitev problema.
Pritrjevanje materiala.
a) kolektivno reševanje problemov;
Minuta telesne vzgoje.
b) samostojno delo.
Domača naloga.
Povzetek lekcije. Odsev.

Med poukom

I. Organizacijski trenutek.

Lekcijo bomo začeli s temi poslovilnimi besedami:

Matematika, prijatelji,
Absolutno vsi ga potrebujejo.
Pridno delajte v razredu
In uspeh vas bo zagotovo čakal!

II. Posodabljanje znanja.

A) Frontalno delo s signalnimi karticami (vsak učenec ima kartice s številkami 1, 2, 3, 4; pri odgovoru na testno vprašanje učenec dvigne kartico s številko pravilnega odgovora).

1. Kvadratni centimeter je:

površina kvadrata s stranico 1 cm;
kvadrat s stranico 1 cm;
kvadrat z obsegom 1 cm.

2. Površina slike, prikazane na sliki, je enaka:

8 dm;
8 dm 2;
15 dm 2.

3. Ali drži, da imata enaka lika enak obseg in ploščino?

4. Območje pravokotnika je določeno s formulo:

S = a 2;
S = 2 (a + b);
S = a b.

5. Površina slike, prikazane na sliki, je enaka:

12 cm;
8 cm;
16 cm.

b) (Formulacija problema). Naloga. Koliko barve je potrebno za barvanje tal, ki ima naslednjo obliko (glej sliko), če porabimo 200 g barve na 1 m2?

III. Učenje nove snovi.

Kaj moramo vedeti za rešitev zadnjega problema? (Poiščite območje tal, ki je videti kot "kompleksna figura.")

Učenci oblikujejo temo in cilje lekcije (če je potrebno, učitelj pomaga).

Razmislite o pravokotniku ABCD. V njem potegnemo črto KPMN, lomljenje pravokotnika ABCD na dva dela: ABNMPK in KPMNCD.

Kakšno je območje? ABCD? (15 cm 2)

Kakšna je površina figure? ABMNPK? (7 cm 2)

Kakšna je površina figure? KPMNCD? (8 cm 2)

Analizirajte svoje rezultate. (15= = 7 + 8)

Sklep? (Površina celotne figure je enaka vsoti ploščin njenih delov.)

S = S 1 + S 2

Kako lahko uporabimo to lastnost za rešitev našega problema? (Razdelimo kompleksno figuro na dele, poiščemo površine delov, nato površino celotne figure.)

S 1 = 7 2 = 14 (m 2)
S 2 = (7 – 4) (8 – 2 – 3) = 3 3 = 9 (m 2)
S 3 = 7 3 = 21 (m 2)
S = S 1 + S 2 + S 3 = 14 + 9 + 21 = 44 (m2)

Pobotajmo se načrt za reševanje problemov za iskanje območja "kompleksne figure":

Figuro razdelimo na preproste figure.
Iskanje območij preprostih figur.

a) 1. naloga. Koliko ploščic bo potrebnih za postavitev mesta naslednjih dimenzij:

S = S 1 + S 2
S 1 = (60 – 30) 20 = 600 (dm 2)
S 2 = 30 50 = 1500 (dm 2)
S = 600 + 1500 = 2100 (dm 2)

Ali obstaja še kakšen način za rešitev? (Preučujemo predlagane možnosti.)

Odgovor: 2100 dm 2.

Naloga 2. (skupinska odločitev na tabli in v zvezkih.) Koliko m2 linoleja potrebujemo za prenovo prostora, ki ima naslednjo obliko:

S = S 1 + S 2
S 1 = 3 2 = 6 (m 2)
S 2 = ((5 – 3) 2) : 2 = 2 (m 2)
S = 6 + 2 = 8 (m2)

Odgovor: 8 m2.

Minuta telesne vzgoje.

In zdaj, fantje, vstanite.
Hitro sta dvignila roke.
Na straneh, naprej, nazaj.
Obrnjeno desno, levo.
Tiho so se usedli in se vrnili k delu.

b) Samostojno delo (izobraževalni) .

Učenci so razdeljeni v skupine (št. 5–8 so močnejši). Vsaka skupina je popravljalna ekipa.

Naloga za ekipe: ugotovite, koliko barve potrebujete za barvanje tal, ki imajo obliko slike na kartici, če potrebujete 200 g barve na 1 m2.

To figuro sestaviš v svoj zvezek in zapišeš vse podatke ter začneš z nalogo. O rešitvi lahko razpravljate (vendar samo v svoji skupini!). Če se katera skupina hitro spopade z nalogo, dobi dodatno nalogo (po preverjanju samostojnega dela).

Naloge za skupine:

V. Domača naloga.

odstavek 18, št. 718, št. 749.

Dodatna naloga. Shema načrta poletnega vrta (Sankt Peterburg). Izračunaj njegovo ploščino.

VI. Povzetek lekcije.

Odsev. Nadaljuj stavek:

Danes sem izvedel...
Bilo je zanimivo…
Bilo je težko ...
Sedaj lahko…
Dal mi je lekcijo za življenje ...

V prejšnjem razdelku, posvečenem analizi geometrijskega pomena določenega integrala, smo prejeli številne formule za izračun površine krivolinijskega trapeza:

S (G) = ∫ a b f (x) d x za zvezno in nenegativno funkcijo y = f (x) na intervalu [ a ; b],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x za zvezno in nepozitivno funkcijo y = f (x) na intervalu [ a ; b ] .

Te formule so uporabne za reševanje relativno preprostih problemov. V resnici bomo pogosto morali delati s kompleksnejšimi figurami. V zvezi s tem bomo ta razdelek posvetili analizi algoritmov za izračun površine figur, ki so omejene s funkcijami v eksplicitni obliki, tj. na primer y = f(x) ali x = g(y).

Izrek

Naj sta funkciji y = f 1 (x) in y = f 2 (x) definirani in zvezni na intervalu [ a ; b ] in f 1 (x) ≤ f 2 (x) za katero koli vrednost x iz [ a ; b ] . Potem bo formula za izračun površine figure G, omejene s črtami x = a, x = b, y = f 1 (x) in y = f 2 (x), videti kot S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.

Podobna formula bo veljala za območje figure, omejeno s črtami y = c, y = d, x = g 1 (y) in x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Dokaz

Poglejmo si tri primere, za katere bo formula veljavna.

V prvem primeru je ob upoštevanju lastnosti aditivnosti območja vsota območij prvotne figure G in krivolinijskega trapeza G 1 enaka površini slike G 2. To pomeni, da

Zato je S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Zadnji prehod lahko izvedemo z uporabo tretje lastnosti določenega integrala.

V drugem primeru velja enakost: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Grafična ilustracija bo videti takole:

Če sta obe funkciji nepozitivni, dobimo: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x. Grafična ilustracija bo videti takole:

Preidimo k obravnavanju splošnega primera, ko y = f 1 (x) in y = f 2 (x) sekata os O x.

Presečišča označimo kot x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Te točke delijo segment [a; b] na n delov x i-1; x i, i = 1, 2, . . . , n, kjer je α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

torej

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Zadnji prehod lahko naredimo z uporabo pete lastnosti določenega integrala.

Splošni primer ponazorimo na grafu.

Formulo S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x lahko štejemo za dokazano.

Zdaj pa preidimo na analizo primerov izračuna območja figur, ki so omejene s črtami y = f (x) in x = g (y).

Obravnavo katerega koli od primerov bomo začeli z izdelavo grafa. Slika nam bo omogočila, da kompleksne oblike predstavimo kot zvezo enostavnejših oblik. Če vam je izdelava grafov in slik na njih težka, lahko preučite razdelek o osnovnih elementarnih funkcijah, geometrijski transformaciji grafov funkcij, pa tudi o izdelavi grafov med študijem funkcije.

Primer 1

Določiti je treba površino figure, ki je omejena s parabolo y = - x 2 + 6 x - 5 in ravnimi črtami y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

rešitev

Narišimo črte na graf v kartezičnem koordinatnem sistemu.

Na segmentu [ 1 ; 4 ] se graf parabole y = - x 2 + 6 x - 5 nahaja nad premico y = - 1 3 x - 1 2. V zvezi s tem za odgovor uporabimo formulo, pridobljeno prej, kot tudi metodo izračuna določenega integrala z uporabo Newton-Leibnizove formule:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Odgovor: S(G) = 13

Poglejmo bolj zapleten primer.

Primer 2

Izračunati je treba površino figure, ki je omejena s črtami y = x + 2, y = x, x = 7.

rešitev

V tem primeru imamo samo eno ravno črto, ki je vzporedna z osjo x. To je x = 7. To od nas zahteva, da drugo mejo integracije poiščemo sami.

Zgradimo graf in nanj narišimo premice, podane v nalogi naloge.

Če imamo graf pred očmi, zlahka ugotovimo, da bo spodnja meja integracije abscisa točke presečišča grafa premice y = x in polparabole y = x + 2. Za iskanje abscise uporabimo enačbe:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Izkaže se, da je abscisa presečišča x = 2.

Opozarjamo vas na dejstvo, da se v splošnem primeru na risbi črte y = x + 2, y = x sekajo v točki (2; 2), zato se lahko takšni podrobni izračuni zdijo nepotrebni. Tako podrobno rešitev smo tukaj podali samo zato, ker v bolj zapletenih primerih rešitev morda ni tako očitna. To pomeni, da je vedno bolje izračunati koordinate presečišča premic analitično.

Na intervalu [ 2 ; 7] se graf funkcije y = x nahaja nad grafom funkcije y = x + 2. Za izračun površine uporabimo formulo:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Odgovor: S (G) = 59 6

Primer 3

Izračunati je treba površino figure, ki je omejena z grafi funkcij y = 1 x in y = - x 2 + 4 x - 2.

rešitev

Narišimo črte na graf.

Določimo meje integracije. Da bi to naredili, določimo koordinate presečišč premic z enačenjem izrazov 1 x in - x 2 + 4 x - 2. Pod pogojem, da x ni nič, postane enakost 1 x = - x 2 + 4 x - 2 enakovredna enačbi tretje stopnje - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 s celimi koeficienti. Za osvežitev spomina na algoritem za reševanje takih enačb se lahko obrnemo na poglavje "Reševanje kubičnih enačb."

Koren te enačbe je x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Če izraz - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 delimo z binomom x - 1, dobimo: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Preostale korene lahko poiščemo iz enačbe x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Našli smo interval x ∈ 1; 3 + 13 2, v kateri je lik G vsebovan nad modro in pod rdečo črto. To nam pomaga določiti območje figure:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Odgovor: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Primer 4

Izračunati je treba površino figure, ki je omejena s krivuljami y = x 3, y = - log 2 x + 1 in osjo abscise.

rešitev

Narišimo vse črte na graf. Graf funkcije y = - log 2 x + 1 dobimo iz grafa y = log 2 x, če ga postavimo simetrično glede na os x in premaknemo eno enoto navzgor. Enačba osi x je y = 0.

Označimo presečišča črt.

Kot je razvidno iz slike, se grafa funkcij y = x 3 in y = 0 sekata v točki (0; 0). To se zgodi, ker je x = 0 edini pravi koren enačbe x 3 = 0.

x = 2 je edini koren enačbe - log 2 x + 1 = 0, zato se grafa funkcij y = - log 2 x + 1 in y = 0 sekata v točki (2; 0).

x = 1 je edini koren enačbe x 3 = - log 2 x + 1 . Pri tem se grafa funkcij y = x 3 in y = - log 2 x + 1 sekata v točki (1; 1). Zadnja izjava morda ni očitna, vendar enačba x 3 = - log 2 x + 1 ne more imeti več kot enega korena, saj je funkcija y = x 3 strogo naraščajoča, funkcija y = - log 2 x + 1 pa je strogo padajoče.

Nadaljnja rešitev vključuje več možnosti.

Možnost #1

Slika G si lahko predstavljamo kot vsoto dveh krivuljnih trapezov, ki se nahajata nad osjo x, od katerih se prvi nahaja pod srednjo črto na segmentu x ∈ 0; 1, drugi pa je pod rdečo črto na segmentu x ∈ 1; 2. To pomeni, da bo ploščina enaka S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Možnost št. 2

Slika G je lahko predstavljena kot razlika dveh figur, od katerih se prva nahaja nad osjo x in pod modro črto na segmentu x ∈ 0; 2, drugi pa med rdečo in modro črto na segmentu x ∈ 1; 2. To nam omogoča, da poiščemo območje na naslednji način:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

V tem primeru boste morali za iskanje površine uporabiti formulo v obliki S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Pravzaprav lahko črte, ki omejujejo sliko, predstavimo kot funkcije argumenta y.

Rešimo enačbi y = x 3 in - log 2 x + 1 glede na x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Dobimo zahtevano območje:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Odgovor: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Primer 5

Izračunati je treba površino figure, ki je omejena s črtami y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

rešitev

Z rdečo črto narišemo črto, ki jo določa funkcija y = x. Premico y = - 1 2 x + 4 narišemo modro, premico y = 2 3 x - 3 pa črno.

Označimo presečišča.

Poiščimo presečišča grafov funkcij y = x in y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Preverite: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ni rešitev enačbe x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 je rešitev enačbe ⇒ (4; 2) presečišče i y = x in y = - 1 2 x + 4

Poiščimo presečišče grafov funkcij y = x in y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Preverite: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 je rešitev enačbe ⇒ (9 ; 3) točka a s y = x in y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Rešitve enačbe ni

Poiščimo presečišče premic y = - 1 2 x + 4 in y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) presečišče y = - 1 2 x + 4 in y = 2 3 x - 3

Metoda št. 1

Predstavljajmo si ploščino želenega lika kot vsoto ploščin posameznih figur.

Potem je območje figure:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metoda št. 2

Območje prvotne figure je mogoče predstaviti kot vsoto dveh drugih številk.

Nato rešimo enačbo črte glede na x in šele po tem uporabimo formulo za izračun površine figure.

y = x ⇒ x = y 2 rdeča črta y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 črna črta y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Območje je torej:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Kot lahko vidite, so vrednosti enake.

Odgovor: S (G) = 11 3

Rezultati

Da bi našli območje figure, ki je omejeno z danimi črtami, moramo zgraditi črte na ravnini, poiskati njihove presečišča in uporabiti formulo za iskanje območja. V tem razdelku smo preučili najpogostejše različice nalog.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Obstaja neskončno število ploščatih likov različnih oblik, pravilnih in nepravilnih. Skupna lastnost vseh figur je, da ima vsaka ploščino. Površine figur so mere dela ravnine, ki ga te figure zasedajo, izražene v določenih enotah. Ta vrednost je vedno izražena kot pozitivno število. Merska enota je površina kvadrata, katerega stranica je enaka dolžinski enoti (na primer en meter ali en centimeter). Približno površino katere koli figure je mogoče izračunati tako, da pomnožimo število enotskih kvadratov, na katere je razdeljena s površino enega kvadrata.

Druge definicije tega koncepta so naslednje:

1. Območja preprostih figur so skalarne pozitivne količine, ki izpolnjujejo pogoje:

Enake figure imajo enake površine;

Če je lik razdeljen na dele (preproste figure), potem je njegovo območje vsota površin teh figur;

Kvadrat s stranico merske enote služi kot enota za ploščino.

2. Območja figur kompleksne oblike (poligonov) so pozitivne količine z naslednjimi lastnostmi:

Enaki poligoni imajo enake velikosti površin;

Če je mnogokotnik sestavljen iz več drugih mnogokotnikov, je njegova ploščina enaka vsoti ploščin slednjih. To pravilo velja za poligone, ki se ne prekrivajo.

Kot aksiom velja, da so površine figur (poligonov) pozitivne količine.

Opredelitev območja kroga je podana ločeno kot vrednost, h kateri teži območje danega kroga, vpisanega v krog - kljub temu, da se število njegovih strani nagiba k neskončnosti.

Območja likov nepravilnih oblik (poljubnih likov) nimajo definicije, določene so le metode za njihov izračun.

Že v starih časih je bilo izračunavanje površin pomembna praktična naloga pri določanju velikosti zemljiških parcel. Pravila za izračun površin v več sto letih so oblikovali grški znanstveniki in jih kot izreke navedli v Evklidovih Elementih. Zanimivo je, da so pravila za določanje površin preprostih figur v njih enaka kot trenutno. Območja z ukrivljeno konturo so bila izračunana s prehodom do meje.

Izračun površin preprostega pravokotnika ali kvadrata), ki ga poznajo vsi iz šole, je precej preprost. Sploh si ni treba zapomniti formul za območja figur, ki vsebujejo črkovne simbole. Dovolj je, da se spomnite nekaj preprostih pravil:

2. Površina pravokotnika se izračuna tako, da se njegova dolžina pomnoži s širino. Dolžina in širina morata biti izraženi v enakih merskih enotah.

3. Izračunamo površino kompleksne figure tako, da jo razdelimo na več preprostih in dodamo nastala območja.

4. Diagonala pravokotnika ga deli na dva trikotnika, katerih ploščini sta enaki in enaki polovici njegove ploščine.

5. Površina trikotnika se izračuna kot polovica produkta njegove višine in osnove.

6. Površina kroga je enaka zmnožku kvadrata polmera in dobro znanega števila "π".

7. Izračunamo površino paralelograma kot produkt sosednjih stranic in sinusa kota, ki leži med njimi.

8. Območje romba je ½ rezultat množenja diagonal s sinusom notranjega kota.

9. Območje trapeza najdemo tako, da njegovo višino pomnožimo z dolžino srednje črte, ki je enaka aritmetični sredini baz. Druga možnost za določitev površine trapeza je množenje njegovih diagonal in sinusa kota, ki leži med njimi.

Zaradi jasnosti otroci v osnovni šoli pogosto dobijo naloge: poiščite območje figure, narisane na papirju, s pomočjo palete ali lista prozornega papirja, razdeljenega na kvadratke. Tak list papirja se položi na izmerjeno sliko, prešteje se število celih celic (površinskih enot), ki se prilegajo njenemu obrisu, nato pa število nepopolnih, ki jih razdelimo na pol.