Opredelitev žoge. Matematika

Žoga je telo, sestavljeno iz vseh točk v prostoru, ki se od dane točke nahajajo na razdalji, ki ni večja od dane. To točko imenujemo središče krogle, to razdaljo pa polmer krogle. Mejo krogle imenujemo sferična površina ali krogla. Točke krogle so vse točke krogle, ki so oddaljene od središča na razdalji, ki je enaka polmeru. Vsak segment, ki povezuje središče krogle s točko na sferični površini, se imenuje tudi polmer. Odsek, ki poteka skozi središče krogle in povezuje dve točki na sferični površini, se imenuje premer. Konci katerega koli premera se imenujejo diametralno nasprotne točke krogle.

Krogla je vrtilno telo, tako kot stožec in valj. Žogo dobimo tako, da polkrog zavrtimo okoli svojega premera kot osi.

Površino krogle je mogoče najti s formulami:

kjer je r polmer krogle, d je premer krogle.

Prostornino žoge najdemo po formuli:

V = 4 / 3 πr 3,

kjer je r polmer krogle.

Izrek. Vsak prerez krogle z ravnino je krog. Središče tega kroga je osnova navpičnice, ki poteka iz središča krogle na sečno ravnino.

Na podlagi tega izreka velja, da če kroglo s središčem O in polmerom R seka ravnina α, dobi prečni prerez krog s polmerom r s središčem K. Polmer preseka krogle z ravnino je mogoče najti po formuli

Iz formule je razvidno, da ravnini, ki sta enako oddaljeni od središča, sekata kroglo v enakih krogih. Polmer preseka je večji, čim bližje je rezalna ravnina središču krogle, to je manjša je razdalja OK. Največji polmer ima presek z ravnino, ki poteka skozi središče krogle. Polmer tega kroga je enak polmeru krogle.

Ravnina, ki poteka skozi središče žoge, se imenuje središčna ravnina. Odsek krogle z diametralno ravnino imenujemo veliki krog, odsek krogle pa veliki krog, odsek krogle pa veliki krog.

Izrek. Vsaka diametralna ravnina krogle je njena simetrijska ravnina. Središče žoge je njeno središče simetrije.

Ravnina, ki poteka skozi točko A sferične površine in je pravokotna na polmer, narisan na točko A, se imenuje tangentna ravnina. Točka A se imenuje tangentna točka.

Izrek. Tangentna ravnina ima s kroglico samo eno skupno točko – stičišče.

Premica, ki poteka skozi točko A sferične ploskve pravokotno na polmer, narisan na to točko, se imenuje tangenta.

Izrek. Skozi poljubno točko sferične površine poteka neskončno število tangent in vse ležijo v tangentni ravnini krogle.

Sferični segment je del krogle, ki ga odseka ravnina. Krožnica ABC je osnova sferičnega segmenta. Pravokotni odsek MN, ki ga vlečemo iz središča N kroga ABC do presečišča s kroglično ploskvijo, je višina krogelnega odseka. Točka M je vrh sferičnega segmenta.

Površina sferičnega segmenta se lahko izračuna po formuli:

Prostornino sferičnega segmenta lahko najdete po formuli:

V = πh 2 (R – 1/3h),

kjer je R polmer velikega kroga, h je višina sferičnega segmenta.

Sferični sektor dobimo iz sferičnega segmenta in stožca na naslednji način. Če je sferični segment manjši od poloble, potem sferični segment dopolnjuje stožec, katerega vrh je v središču krogle, osnova pa je osnova segmenta. Če je segment večji od poloble, se navedeni stožec odstrani iz njega.

Sferični sektor je del krogle, ki ga omejujejo ukrivljena ploskev sferičnega segmenta (na naši sliki je to AMCB) in stožčasta ploskev (na naši sliki je to OABC), katere osnova je osnova krogle. segment (ABC), vrh pa je središče kroglice O.

Prostornina sferičnega sektorja se določi po formuli:

V = 2/3 πR 2 H.

Sferična plast je del krogle, ki je zaprt med dvema vzporednima ravninama (ravnini ABC in DEF na sliki), ki sekata sferično površino. Ukrivljeno površino sferične plasti imenujemo sferični pas (cona). Krogi ABC in DEF sta osnovi sferičnega pasu. Razdalja NK med osnovama sferičnega pasu je njegova višina.

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

Krogla in krogla sta najprej geometrijski figuri, in če je krogla geometrijsko telo, potem je krogla površina krogle. Te številke so bile zanimive pred več tisoč leti pr.

Kasneje, ko so odkrili, da je Zemlja krogla, nebo pa nebesna krogla, se je razvila nova fascinantna smer v geometriji - geometrija na krogli ali sferična geometrija. Da bi lahko govorili o velikosti in prostornini žoge, jo morate najprej definirati.

Žoga

Kroglica s polmerom R s središčem v točki O je v geometriji telo, ki ga tvorijo vse točke v prostoru, ki imajo skupno lastnost. Te točke se nahajajo na razdalji, ki ne presega polmera krogle, to pomeni, da zapolnijo celoten prostor, ki je manjši od polmera krogle v vseh smereh od njenega središča. Če upoštevamo samo tiste točke, ki so enako oddaljene od središča krogle, bomo upoštevali njeno površino oziroma lupino krogle.

Kako lahko dobim žogo? Iz papirja lahko izrežemo krog in ga začnemo vrteti okoli lastnega premera. To pomeni, da bo premer kroga os vrtenja. Oblikovana figura bo krogla. Zato žogico imenujemo tudi vrtilno telo. Ker se lahko oblikuje z vrtenjem ploščate figure – kroga.

Vzemimo letalo in z njim prerežemo svojo žogo. Tako kot z nožem režemo pomarančo. Košček, ki ga odrežemo od žoge, se imenuje sferični segment.

V stari Grčiji so znali ne le delati s kroglo in kroglo kot geometrijskima figurama, na primer, uporabljati ju pri gradnji, ampak so znali tudi izračunati površino krogle in prostornino krogle.

Krogla je drugo ime za površino krogle. Krogla ni telo - je površina vrtilnega telesa. Ker pa imajo tako Zemlja kot mnoga telesa sferično obliko, na primer kapljica vode, je postalo raziskovanje geometrijskih razmerij znotraj krogle zelo razširjeno.

Na primer, če dve točki krogle povežemo med seboj z ravno črto, se ta ravna črta imenuje tetiva, in če ta tetiva poteka skozi središče krogle, ki sovpada s središčem krogle, potem tetiva se imenuje premer krogle.

Če narišemo ravno črto, ki se dotika krogle samo v eni točki, potem se bo ta črta imenovala tangenta. Poleg tega bo ta tangenta na kroglo na tej točki pravokotna na polmer krogle, narisan na točko dotika.

Če tetivo podaljšamo do premice v eno ali drugo smer od krogle, potem se bo ta tetiva imenovala sekanta. Ali pa lahko rečemo drugače - sekans na kroglo vsebuje njeno tetivo.

Volumen žoge

Formula za izračun prostornine žoge je:

kjer je R polmer krogle.

Če želite najti prostornino sferičnega segmenta, uporabite formulo:

V seg =πh 2 (R-h/3), h je višina sferičnega segmenta.

Površina krogle ali krogle

Če želite izračunati površino krogle ali površino krogle (to je isto):

kjer je R polmer krogle.

Arhimed je imel zelo rad kroglo in kroglo, celo prosil je, naj mu na grobu pustijo risbo, na kateri je bila krogla vpisana v valj. Arhimed je verjel, da sta prostornina krogle in njena površina enaki dvema tretjinama prostornine in površine valja, v katerega je krogla vpisana.

Žoga (krogla)

Sferična površina. Žoga (krogla). Odseki žoge: krogih.

Arhimedov izrek. Deli žoge: sferični segment,

sferični sloj, sferični pas, sferični sektor.

Sferična površina - To mesto točk(tiste. velikoštevilo vseh točk)v prostoru, enako oddaljeni od ene točke O , ki se imenuje središče sferične ploskve (Slika 90). Radij AOi premer AB se določijo na enak način kot v krogu.

Žoga (krogla) - To telo, ki ga omejuje sferična površina. Lahko dobite žogo z vrtenjem polkroga ( ali krog ) okoli premera. Vsi ravninski odseki žoge so krogih ( Sl.90 ). Največji krog leži v odseku, ki poteka skozi sredino krogle in se imenuje velik krog. Njegov polmer je enak polmeru krogle. Katera koli dva velika kroga se sekata vzdolž premera krogle ( AB, sl.91 ).Ta premer je tudi premer sekajočih se velikih krogov. Skozi dve točki sferične površine, ki se nahajata na koncih istega premera(A in B, sl.91 ), lahko narišete nešteto velikih krogov. Skozi Zemljine pole lahko na primer narišemo neskončno število meridianov.

Prostornina krogle je eninpolkrat manjša od prostornine okrog nje opisanega valja. (Slika 92 ), A površina krogle je enkrat in pol manjša od celotne površine istega valja ( Arhimedov izrek):

Tukaj S žoga in V žoga - površino oziroma prostornino žoge;

S cyl in V cyl - celotno površino in prostornino opisanega valja.

Deli žoge. Del krogle (krogla) ), odrezana z neko ravnino ( ABC, slika 93), klical žoga(sferično ) segment. Obkroži ABC klical osnova kroglični segment. Odsek črte MN pravokotno, potegnjeno iz središča N krog ABC dokler se ne preseka s sferično površino, imenujemo višina kroglični segment. Pika M klical vrh kroglični segment.

Del krogle, zaprt med dvema vzporednima ravninama ABC in DEF sekata sferično površino (slika 93), klical sferična plast; ukrivljeno površino sferične plasti imenujemo kroglični pas(območje). Krogi ABC in DEF – razlogov kroglični pas. Razdalja N.K. med osnovami sferičnega pasu - njegov višina. Del žoge, ki ga omejuje ukrivljena površina sferičnega segmenta ( AMCB, sl.93) in stožčasto površino OABC , katere osnova je osnova segmenta ( ABC ), vrh pa je središče krogle O , poklical sferični sektor.

Ko ljudi vprašajo, kakšna je razlika med kroglo in kroglo, mnogi preprosto skomignejo z rameni, misleč, da gre pravzaprav za isto stvar (analogija s krogom in krogom). Res, ali vsi dobro poznamo geometrijo iz šolskega kurikuluma in lahko takoj odgovorimo na to vprašanje? Krogla ima nekaj razlik od žoge, ki jih morajo poznati ne le šolarji, da bi dobili dobro oceno za svoje izkazano znanje, ampak tudi mnogi drugi ljudje, na primer, katerih delo je neposredno povezano z risbami.

Opredelitev

Žoga– množica vseh točk v prostoru. Vse te točke se nahajajo od središča geometrijskega telesa na razdalji, ki ni večja od dane. Sama ta razdalja se imenuje polmer. Krogla kot geometrijsko telo je oblikovana na naslednji način: polkrog se vrti blizu njenega premera. Kar se tiče krogle, je to površina krogle (na primer zaprta krogla jo vključuje, odprta pa ne). Izračun površine ali prostornine krogle vključuje celotne geometrijske formule, ki so zelo zapletene, kljub navidezni preprostosti same geometrijske figure.

krogla, kot je navedeno zgoraj, je površina žoge, njena lupina. Vse točke v prostoru so enako oddaljene od središča krogle. Kar zadeva polmer geometrijskega telesa, se imenuje kateri koli segment, katerega ena točka je neposredno središče krogle, druga pa se lahko nahaja na kateri koli točki na površini. Lahko rečemo, da je krogla lupina krogle brez vsebine (natančnejši primeri bodo navedeni spodaj). Tako kot krogla je tudi krogla vrtilno telo. Mimogrede, mnogi se tudi sprašujejo, kakšna je razlika med krogom in krogom iz krogle in krogle. Tukaj je vse preprosto: v prvem primeru so to figure na ravnini, v drugem - v vesolju.

Primerjava

Rečeno je bilo že, da je krogla površina krogle, kar že omogoča govoriti o enem pomembnem znaku razlike. Razlika med obema geometrijskima telesoma je opazna v nekaterih drugih vidikih:

• Vse točke žoge so enako oddaljene od središča, medtem ko je telo omejeno s površino (krogla, ki je znotraj prazna). Z drugimi besedami, krogla je votla. Običajno je za lažje razumevanje naveden preprost primer z balonom in biljardno kroglo. Oba predmeta imenujemo kroglice, vendar imamo v prvem primeru opravka s kroglo, v drugem pa s polno kroglo z vsebino v notranjosti.
• Krogla ima svojo površino, vendar nima prostornine. Krogla je nasprotno: njeno prostornino je mogoče izračunati, medtem ko nima ploščine. Nekateri bodo morda rekli, da je to glavni znak razlike, vendar se pojavi le, če je treba narediti nekaj izračunov (kompleksne geometrijske formule). Glavna razlika je torej v tem, da je krogla votla, krogla pa telo z vsebino v notranjosti.
• Druga razlika je v polmeru. Na primer, polmer krogle ni le razdalja točk do središča. Polmer je lahko kateri koli segment, ki povezuje točko na krogli z njenim središčem. Vsi ti segmenti so med seboj enaki. Kar zadeva kroglo, so točke, ki ležijo v njej, odmaknjene od središča za manj kot polmer (prav zaradi krogle, ki jo omejuje).

Spletna stran Sklepi

1. Krogla je votla, krogla pa telo, napolnjeno z notranjostjo. Na primer, balon je krogla, biljardna krogla je polnopravna krogla.
2. Krogla ima površino in nima prostornine, krogla pa ima nasprotno.
3. Tretja razlika je merjenje polmera dveh geometrijskih teles.

Opredelitev.

Kroglo lahko opišemo kot tridimenzionalno figuro, ki nastane z vrtenjem kroga okoli njenega premera za 180° ali polkroga okoli njenega premera za 360°.

Opredelitev.

Žogo lahko opišemo kot tridimenzionalno figuro, ki nastane z vrtenjem kroga okoli njenega premera za 180° ali polkroga okoli njenega premera za 360°.

Opredelitev. Polmer krogle (krogla)(R) je razdalja od središča krogle (krogle) O na katero koli točko na krogli (površini krogle).

Opredelitev. Premer krogle (krogle).(D) je segment, ki povezuje dve točki krogle (površino krogle) in poteka skozi njeno središče.

Formula. Prostornina krogle:

Formula. Površina krogle skozi polmer ali premer:

S = 4π R 2 = π D 2

Enačba krogle

1. Enačba krogle s polmerom R in središčem v izhodišču kartezičnega koordinatnega sistema:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Enačba krogle s polmerom R in središčem v točki s koordinatami (x 0, y 0, z 0) v kartezičnem koordinatnem sistemu:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Opredelitev. Diametralno nasprotne točke poljubni dve točki na površini krogle (krogle), ki sta povezani s premerom, imenujemo.

Osnovne lastnosti krogle in krogle

1. Vse točke krogle so enako oddaljene od središča.

2. Vsak odsek krogle z ravnino je krog.

3. Vsak odsek krogle z ravnino je krog.

4. Krogla ima največjo prostornino med vsemi prostorskimi liki z enako površino.

5. Skozi poljubni dve diametralno nasprotni točki lahko narišete veliko velikih krogov za kroglo ali krogov za žogo.

6. Skozi poljubni dve točki, razen diametralno nasprotnih točk, lahko narišete le en velik krog za kroglo ali velik krog za kroglo.

7. Vsaka dva velika kroga ene krogle se sekata vzdolž premice, ki poteka skozi središče krogle, kroga pa se sekata v dveh diametralno nasprotnih točkah.

8. Če je razdalja med središči poljubnih dveh kroglic manjša od vsote njunih polmerov in večja od modula razlike njunih polmerov, potem sta takšni kroglici sekajo, v presečni ravnini pa se oblikuje krog.

Sekanta, tetiva, sekana ravnina krogle in njihove lastnosti

Opredelitev. Sekant krogle je premica, ki seka kroglo v dveh točkah. Presečišča se imenujejo piercing točke površine oziroma vstopne in izstopne točke na površini.

Opredelitev. Tetiva krogle (krogle)- to je segment, ki povezuje dve točki krogle (površina krogle).

Opredelitev. Rezalna ravnina je ravnina, ki seka sfero.

Opredelitev. Diametralna ravnina- to je sekantna ravnina, ki poteka skozi središče krogle ali krogle, odsek se oblikuje v skladu s tem velik krog in velik krog. Veliki krog in veliki krog imata središče, ki sovpada s središčem krogle (krogle).

Vsaka tetiva, ki poteka skozi središče krogle (krogle), je premer.

Tetiva je odsek sekante.

Razdalja d od središča krogle do sekante je vedno manjša od polmera krogle:

d< R

Razdalja m med rezalno ravnino in središčem krogle je vedno manjša od polmera R:

m< R

Lokacija odseka rezalne ravnine na krogli bo vedno enaka majhen krog, na žogi pa bo razdelek majhen krog. Mali krog in mali krog imata svoja središča, ki ne sovpadata s središčem krogle (krogle). Polmer r takšnega kroga je mogoče najti s formulo:

r = √R 2 - m 2,

Kjer je R polmer krogle (krogle), je m razdalja od središča krogle do rezalne ravnine.

Opredelitev. Hemisfera (hemisfera)- to je polovica krogle (krogle), ki nastane, ko jo prereže diametralna ravnina.

Tangenta, tangentna ravnina na kroglo in njune lastnosti

Opredelitev. Tangenta na kroglo je premica, ki se dotika krogle samo v eni točki.

Opredelitev. Tangentna ravnina na kroglo je ravnina, ki se krogle dotika samo v eni točki.

Tangenta (ravnina) je vedno pravokotna na polmer krogle, ki je narisana na stično točko

Razdalja od središča krogle do tangente (ravnine) je enaka polmeru krogle.

Opredelitev. Segment žoge- to je del žoge, ki je od krogle odrezan z rezalno ravnino. Osnova segmenta imenovan krog, ki je nastal na mestu odseka. Višina segmenta h je dolžina navpičnice, ki poteka od sredine osnove segmenta do površine segmenta.

Formula. Zunanja površina segmenta krogle z višino h skozi polmer krogle R:

S = 2πRh