Posplošene koordinate in posplošene sile. Posplošene koordinate in posplošene sile Kako je videti delo sil v posplošenih koordinatah

Analitična mehanika. Razvrstitev povezav. Primeri. Možna gibanja.

Povezava– to je razmerje med koordinatami in hitrostmi točk sistema, predstavljeno v obliki enakosti ali neenakosti.

Razvrstitev:

Geometrijski– nalaga omejitve samo na koordinate sistemskih točk (hitrosti niso vključene)

Kinematična– v enačbe vstopijo hitrosti. Če se lahko znebite hitrosti, potem je povezava integrirana.

Holonomske povezave– geometrijske in integrabilne diferencialne povezave.

Povezava se imenuje držati(uvedene ali omejitve ostanejo v katerem koli položaju sistema) in neomejeno, ki nimajo te lastnosti (iz takih povezav, kot pravijo, se lahko sistem "osvobodi"

Možna selitev

Kakršna koli duševna

Infinitezimalno

Dovoljeno premikanje sistemskih točk

V tem trenutku

Povezave, vsiljene sistemu.

Dejansko gibanje– odvisno od sil, časa, povezav, začetnih pogojev.

Možno premikanje je odvisno samo od povezav.

Pri stacionarnih povezavah je dejansko gibanje eno od možnih.

Idealne povezave. Načelo možnih gibov.

Idealno se imenujejo povezave, pri katerih je vsota elementarnih del vseh njihovih reakcij na morebitni premik enaka 0.

Načelo možnih gibov.

Za ravnotežje mehanskega sistema z idealnimi stacionarnimi povezavami je nujno in zadostno, da je vsota elementarnega dela vseh aktivnih sil na morebitni premik enaka 0. V tem primeru mora biti za zadostnost začetna hitrost enaka na nič. Potrebno stanje => Zadostno => ravnotežje.

Generalizirane koordinate. Število prostostnih stopenj sistema. Posplošene sile, metode za njihov izračun. Pogoji ravnotežja za sistem s holonomskimi omejitvami, izraženi s posplošenimi silami.

Generalizirane koordinate– neodvisni parameter, ki v celoti določa položaj sistema in preko katerega se lahko izrazijo vse kartezične koordinate točk v sistemu.

Število prostostnih stopinj je določeno s številom posplošenih koordinat

Število med seboj neodvisnih skalarnih veličin, ki enolično določajo položaj mehanskega sistema v prostoru, imenujemo število prostostnih stopenj.

Posplošene koordinate mehanskega sistema so vse geometrijske količine, neodvisne druga od druge, ki enolično določajo položaj sistema v prostoru.

Q i = δA j /δq j ali δA j = Q i ⋅ δq j .

Splošna sila- to je sila, ki opravi enako delo pri morebitnem premiku vzdolž svoje posplošene koordinate kot vse sile, ki delujejo na sistem pri ustreznem premiku točk njihove uporabe.

Da bi našli posplošeno silo, podamo možen premik vzdolž njene posplošene koordinate, druge koordinate pa pustimo nespremenjene. Nato poiščemo delo vseh sil, ki delujejo na sistem, in ga delimo z možnim premikom.

Načelo možnih premikov v smislu posplošenih sil.

Ker je v ravnovesju vsota elementarnega dela na kateri koli možni premik ( bA=bq j , ki niso odvisni drug od drugega, potem mora za to veljati: Q 1 =0; Q2 =0; Q K =0

Opredelitev posplošenih sil

Za sistem z eno prostostno stopnjo posplošena sila, ki ustreza posplošeni koordinati q, se imenuje količina, določena s formulo

kjer d q– majhen prirastek posplošene koordinate; – vsota elementarnih del sil sistema na njegovo možno gibanje.

Spomnimo se, da je možno premikanje sistema definirano kot premikanje sistema v neskončno blizu lege, ki jo omogočajo povezave v danem trenutku (za več podrobnosti glej Dodatek 1).

Znano je, da je vsota dela reakcijskih sil idealnih vezi na morebitni premik sistema enaka nič. Zato je treba za sistem z idealnimi povezavami v izrazu upoštevati le delo aktivnih sil sistema. Če povezave niso idealne, se njihove reakcijske sile, na primer sile trenja, običajno štejejo za aktivne sile (glejte spodaj za navodila na diagramu na sliki 1.5). To vključuje elementarno delo aktivnih sil in elementarno delo momentov aktivnih parov sil. Zapišimo formule za določitev teh del. Recimo sila ( F kx, F ky, F kz), ki se uporablja na točki TO, katerega radij vektor je ( x k, y k, z k), in možni premik – ​​(d xk, d y k, d z k). Elementarno delo sile na možni premik je enako skalarnemu produktu, ki v analitični obliki ustreza izrazu

d A( ) = F do d r v cos(), (1.3a)

in v koordinatni obliki – izraz

d A( ) = F kx d x k + F ky d y k + F kz d z k. (1.3b)

Če nekaj sil s trenutkom M naneseno na rotirajoče telo, katerega kotna koordinata je j, možni premik pa je dj, potem je elementarno delo momenta M o možnem premiku dj se določi s formulo

d A(M) = ± M d j. (1,3 v)

Tukaj znak (+) ustreza primeru, ko trenutek M in možno gibanje dj sovpadata v smeri; znak (–), ko sta v nasprotni smeri.

Da bi lahko določili posplošeno silo s formulo (1.3), je treba izraziti možna gibanja teles in točk v z majhnim prirastkom posplošene koordinate d q, z uporabo odvisnosti (1)…(7) adj. 1.

Opredelitev posplošene sile Q, ki ustreza izbrani generalizirani koordinati q, je priporočljivo, da to storite v naslednjem vrstnem redu.

· Na načrtovalni diagram narišite vse aktivne sile sistema.

· Majhno povečajte generalizirano koordinato d q> 0; na računskem diagramu pokaži ustrezne možne pomike vseh točk, na katere delujejo sile, in možne kotne pomike vseh teles, na katera delujejo momenti parov sil.

· Sestavite izraz za elementarno delo vseh aktivnih sil sistema na ta gibanja, izrazite možna gibanja v skozi d q.

· Določite posplošeno silo z uporabo formule (1.3).

Primer 1.4 (glej pogoj k sliki 1.1).

Določimo posplošeno silo, ki ustreza posplošeni koordinati s(slika 1.4).

Na sistem delujejo aktivne sile: p- teža tovora; G– teža bobna in navor M.

Groba nagnjena ravnina je za obremenitev A nepopolna povezava. Sila drsnega trenja F tr, ki deluje na obremenitev A iz te povezave je enako F tr = f N.

Za določitev moči n normalni pritisk tovora na ravnino med gibanjem, uporabljamo D'Alembertov princip: če na vsako točko sistema poleg aktivnih aktivnih sil in reakcijskih sil povezav deluje pogojna vztrajnostna sila, potem nastali niz sile bodo uravnotežene in dinamične enačbe lahko dobimo obliko enačb statičnega ravnotežja. Po znani metodi uporabe tega principa bomo prikazali vse sile, ki delujejo na breme A(slika 1.5), – in , kjer je natezna sila kabla.

riž. 1.4 Sl. 1.5

Prištejmo še vztrajnostno silo, kjer je pospešek bremena. Enačba d'Alembertovega principa v projekciji na os l izgleda kot N–Pcos a = 0.

Od tod N = Pcos a. Silo drsnega trenja lahko zdaj določimo s formulo F tr = f P cos a.

Dajmo posplošeno koordinato s majhen prirast d s> 0. V tem primeru se bo obremenitev (slika 1.4) premaknila po nagnjeni ravnini na razdaljo d s, boben pa se bo obrnil v nasprotni smeri urnega kazalca za kot dj.

Z uporabo formul, kot sta (1.3a) in (1.3c), sestavimo izraz za vsoto elementarnih navornih del M, moč p in F tr:

Izrazimo dj v tej enačbi skozi d s: Potem

definiramo posplošeno silo s formulo (1.3)

Upoštevajmo prej zapisano formulo za F tr in končno bomo dobili

Če v istem primeru za posplošeno koordinato vzamemo kot j, potem posplošeno silo Qj izraženo s formulo

1.4.2. Določitev generaliziranih sistemskih sil
z dvema prostostnima stopnjama

Če ima sistem n prostostnih stopenj, je njegov položaj določen n generalizirane koordinate. Vsaka koordinata qi(jaz = 1,2,…,n) ustreza njegovi posplošeni sili Qi, ki je določena s formulo

kjer je vsota elementarnih del aktivnih sil na jaz-to možno gibanje sistema, ko d q i > 0, preostale generalizirane koordinate pa so nespremenjene.

Pri določanju je treba upoštevati navodila za določanje posplošenih sil po formuli (1.3).

Priporočljivo je določiti posplošene sile sistema z dvema prostostnima stopnjama v naslednjem vrstnem redu.

· Na konstrukcijskem diagramu prikaži vse aktivne sile sistema.

· Določite prvo posplošeno silo V1. Da bi to naredili, dajte sistemu prvi možni premik, ko d q 1 > 0 in d q 2 =q 1 možna gibanja vseh teles in točk sistema; sestaviti - izraz elementarnega dela sil sistema na prvi možni premik; možna gibanja v izražena skozi d q 1; najti V1 po formuli (1.4), ob jaz = 1.

· Določite drugo posplošeno silo 2. vprašanje. Če želite to narediti, dajte sistemu drugi možni premik, ko d q 2 > 0 in d q 1 = 0; pokažite ustrezen d na načrtovalnem diagramu q 2 možna gibanja vseh teles in točk sistema; sestaviti - izraz elementarnega dela sistemskih sil na drugi možni premik; možna gibanja v izražena skozi d q 2; najti 2. vprašanje po formuli (1.4), ob jaz = 2.

Primer 1.5 (glej pogoj k sliki 1.2)

Določimo V1 in 2. vprašanje, ki ustreza generaliziranim koordinatam xD in xA(slika 1.6, A).

Na sistem delujejo tri aktivne sile: P A = 2P, P B = P D = P.

Opredelitev V1. Sistemu dajmo prvo možno gibanje, ko d xD> 0, d x A = 0 (slika 1.6, A). Hkrati pa obremenitev D xD, blok B se bo vrtel v nasprotni smeri urnega kazalca za kot dj B, os cilindra A bo ostal negiben, valj A se bo vrtel okoli osi A pod kotom dj A v smeri urinega kazalca. Sestavimo vsoto dela na navedenih gibih:

opredelimo

Določimo 2. vprašanje. Dajmo sistemu drugo možno gibanje, ko d x D = 0, d xA> 0 (slika 1.6, b). V tem primeru gre za os cilindra A se bo premaknil navpično navzdol za razdaljo d xA, valj A se bo vrtel okoli osi A v smeri urinega kazalca do kota dj A, blok B in tovor D bo ostal negiben. Sestavimo vsoto dela na navedenih gibih:

opredelimo

Primer 1.6 (glej pogoj k sliki 1.3)

Določimo V1 in 2. vprašanje, ki ustreza posplošenim koordinatam j, s(slika 1.7, A). Na sistem delujejo štiri aktivne sile: teža palice p, teža kroglice, elastična sila vzmeti in .

Upoštevajmo to. Modul elastičnih sil je določen s formulo (a).

Upoštevajte, da je točka uporabe sile F 2 je negibna, zato je delo te sile na morebitni premik sistema enako nič, v izrazu posplošenih sil je sila F 2 ne bo šel noter.

Opredelitev V1. Dajmo sistemu prvi možni premik, ko dj > 0, d s = 0 (slika 1.7, A). V tem primeru palica AB se bo vrtel okoli osi z v nasprotni smeri urnega kazalca za kot dj, možni premiki žogice D in center E palice so usmerjene pravokotno na segment AD, se dolžina vzmeti ne bo spremenila. Postavimo ga v koordinatno obliko [glej. formula (1.3b)]:

(Upoštevajte, da je torej delo, ki ga ta sila opravi pri prvem možnem premiku, enako nič).

Izrazimo premike d x E in d xD preko dj. Da bi to naredili, najprej napišemo

Nato v skladu s formulo (7) adj. 1 bomo našli

Če nadomestimo najdene vrednosti v , dobimo

S formulo (1.4) ob upoštevanju, da , določimo

Opredelitev 2. vprašanje. Dajmo sistemu drugo možno gibanje, ko dj = 0, d s> 0 (slika 1.7, b). V tem primeru palica AB bo ostal negiben, žoga pa M se bo premaknil vzdolž palice za razdaljo d s. Sestavimo vsoto dela na navedenih gibih:

opredelimo

zamenjava vrednosti sile F 1 iz formule (a) dobimo

1.5. Izražanje kinetične energije sistema
v posplošenih koordinatah

Kinetična energija sistema je enaka vsoti kinetičnih energij njegovih teles in točk (priloga 2). Dobiti za T Izraz (1.2) naj izraža hitrosti vseh teles in točk sistema preko posplošenih hitrosti z uporabo kinematičnih metod. V tem primeru velja, da je sistem v poljubnem položaju, vse njegove posplošene hitrosti se štejejo za pozitivne, tj. usmerjene proti naraščajočim posplošenim koordinatam.

Primer 1. 7 (glej pogoj k sliki 1.1)

Določimo kinetično energijo sistema (slika 1.8), pri čemer razdaljo vzamemo kot posplošeno koordinato s,

T = T A + T B.

Po formulah (2) in (3) pril. 2 imamo: .

Zamenjava teh podatkov v T in ob upoštevanju tega dobimo

Primer 1.8(glej pogoj k sliki 1.2)

Določimo kinetično energijo sistema na sl. 1.9, pri čemer kot posplošene koordinate vzamemo količine xD in xA,

T = T A + T B + T D.

Po formulah (2), (3), (4) adj. 2 bomo zapisali

Izrazimo se V A, V D, w B in w A skozi:

Pri določanju w A se upošteva, da je točka O(slika 1.9) – trenutno središče vrtljajev valjev A in V k = V D(glej ustrezna pojasnila za primer 2 priloga 2).

Zamenjava dobljenih rezultatov v T in glede na to

opredelimo

Primer 1.9(glej pogoj k sliki 1.3)

Določimo kinetično energijo sistema na sl. 1.10, pri čemer j in kot posplošene koordinate s,

T = T AB + T D.

Po formulah (1) in (3) pril. 2 imamo

Izrazimo w AB in V D prek in:

kje je prenosna hitrost žogice D, je njegov modul določen s formulo

Usmerjen pravokotno na segment AD v smeri naraščanja kota j; – relativna hitrost žoge, njen modul je določen s formulo, usmerjeno proti naraščajočim koordinatam s. Upoštevajte, da je torej pravokoten

Zamenjava teh rezultatov v T in glede na to

1.6. Sestavljanje diferencialnih enačb
gibanje mehanskih sistemov

Za pridobitev zahtevanih enačb je treba v Lagrangeove enačbe (1.1) nadomestiti predhodno najden izraz za kinetično energijo sistema v posplošenih koordinatah in posplošenih silah Q 1 , Q 2 , … , Qn.

Pri iskanju delnih odvodov T z uporabo posplošenih koordinat in posplošenih hitrosti je treba upoštevati, da spremenljivke q 1 , q 2 , … , q n; veljajo za neodvisne drug od drugega. To pomeni, da pri definiranju delnega odvoda T za eno od teh spremenljivk vse druge spremenljivke v izrazu za T je treba obravnavati kot konstante.

Pri izvajanju operacije je treba vse spremenljivke, vključene v spremenljivko, časovno razlikovati.

Poudarjamo, da so Lagrangeove enačbe zapisane za vsako posplošeno koordinato qi (jaz = 1, 2,…n) sistemi.

V analitični mehaniki poleg koncepta sile kot vektorske količine, ki označuje vpliv drugih materialnih teles na dano telo, uporabljajo koncept posplošena sila. Za določitev posplošena moč Oglejmo si virtualno delo sil, ki delujejo na točke sistema.

Če mehanski sistem s holonomskimi zadrževalnimi silami deluje nanj h ima povezave s =3n-h stopnje svobode , potem se določi položaj tega sistema ( i = s)

generalizirane koordinate in (2.11) : Glede na (2.13), (2.14) virtualni premik k – th točk

(2.13)

(2.14)

Zamenjava (2.14): v formulo za navidezno delo sil

(2.24), dobimo

Skalarna količina = (2.26)

klical posplošena sila, ustrezno jaz th generalizirana koordinata.

Splošna silaustreza i-posplošena koordinata je količina, ki je enaka množitelju za variacijo dane posplošene koordinate v izrazu navideznega dela sil, ki delujejo na mehanski sistem.

Virtualno delo določeno iz

¾ določene aktivne sile neodvisne od omejitev in

¾ reakcije sklopitve (če sklopitve niso idealne, je za rešitev problema potrebno dodatno nastaviti fizično odvisnost T j od n j, ( T j ¾ to so praviloma torne sile ali momenti upora kotalnega trenja, ki jih lahko določimo).

Na splošno posplošena sila je funkcija posplošenih koordinat, hitrosti sistemskih točk in časa. Iz definicije izhaja, da posplošena sila¾ je skalarna količina, ki je odvisna od posplošenih koordinat, izbranih za dani mehanski sistem. To pomeni, da ko se nabor posplošenih koordinat, ki določajo položaj danega sistema, spremeni, se posplošene sile.

Primer 2.10. Za disk s polmerom r in masa m, ki se kotali brez drsenja po nagnjeni ravnini (slika 2.9), lahko vzamemo kot posplošeno koordinato:

¾ oz q = s¾ premikanje središča mase diska,

¾bodisi q= j ¾ kota vrtenja diska. Če zanemarimo kotalni upor, potem:

¾ v prvem primeru posplošena sila volja

riž. 2.9 Q s = mg sina, a

¾ v drugem primeru ¾ Q j = mg r cosa.

Posplošena koordinata določa tudi mersko enoto ustreznega posplošena moč. Iz izraza (2.25)

(2.27)

sledi, da merska enota posplošena moč enaka enoti dela, deljeni z enoto generalizirane koordinate.

Če kot posplošena koordinata q sprejeti q = s¾ premikanje katere koli točke, nato merska enota posplošena moč Q s ¾ bo [Newton] ,

Če kot a q= j ¾ vzame se kot vrtenja (v radianih) telesa, nato pa merska enota posplošena moč Q j 2 bo [ newton´ meter].

Zapišimo vsoto elementarnih del sil, ki delujejo na točke sistema na možni premik sistema:

Naj ima holonomni sistem prostostne stopnje in s tem določena njegova lega v prostoru generalizirane koordinate
.

Zamenjava (225) v (226) in sprememba vrstnega reda seštevanja po indeksih in , dobimo

. (226")

kje je skalarna količina

klical posplošena sila, povezana s posplošeno koordinato . Z uporabo dobro znanega izraza za skalarni produkt dveh vektorjev lahko preneseno silo predstavimo tudi kot

– projekcije sile na koordinatne osi;
– koordinate točke delovanja sile.

Razsežnost posplošene sile v skladu z (226") je odvisna od razsežnosti na naslednji način , ki sovpada z dimenzijo :

, (228)

to pomeni, da je dimenzija posplošene sile enaka dimenziji dela sile (energije) ali momenta sile, deljenem z dimenzijo posplošene koordinate, ki ji je posplošena sila pripisana. Iz tega sledi, da ima posplošena sila lahko dimenzijo sile ali momenta sile.

Izračun posplošene sile

1. Posplošeno silo lahko izračunamo s formulo (227), ki jo definira, tj.

2. Posplošene sile lahko izračunamo kot koeficiente za ustrezne variacije posplošenih koordinat v izrazu za elementarno delo (226"), tj.

3. Najprimernejša metoda za izračun posplošenih sil, ki jo dobimo iz (226 ""), je, če sistemu damo takšno možno gibanje, da se spremeni le ena posplošena koordinata, druge pa se ne spremenijo. Torej če
, in ostalo
, potem iz (179") imamo

.

Kazalo označuje, da je vsota elementarnih del izračunana na možnem premiku, med katerim se spreminja (variira) samo koordinata . Če je spremenljiva koordinata , To

. (227")

Ravnotežni pogoji za sistem sil v smislu posplošenih sil

Pogoji ravnotežja sistema izhajajo iz načela možnih gibanj. Veljajo za sisteme, za katere velja to načelo: za ravnotežje mehanskega sistema, podvrženega holonomskim, stacionarnim, idealnim in nesproščajočim omejitvam, je v trenutku, ko so hitrosti vseh točk sistema enake nič, nujno in zadostno, da so vse posplošene sile enake nič

. (228")

3.6.7. Splošna enačba dinamike

Splošna enačba dinamike za sistem s poljubnimi povezavami (kombinirano d'Alembert-Lagrangeovo načelo oz splošna enačba mehanike):

, (229)

Kje – aktivna sila, ki deluje na -ta točka sistema; – reakcijska trdnost vezi;
– vztrajnostna sila točke; – možno gibanje.

V primeru ravnovesja sistema, ko vse vztrajnostne sile točk sistema izginejo, se spremeni v princip možnih premikov. Običajno se uporablja za sisteme z idealnimi povezavami, za katere je izpolnjen pogoj

V tem primeru ima (229) eno od oblik:

,

,

. (230)

torej po splošni enačbi dinamike je v vsakem trenutku gibanja sistema z idealnimi povezavami vsota elementarnih del vseh aktivnih sil in vztrajnostnih sil točk sistema enaka nič pri kateremkoli možnem dovoljenem gibanju sistema po povezavah.

Splošni enačbi dinamike je mogoče dati druge, enakovredne oblike. Če razširimo skalarni produkt vektorjev, ga lahko izrazimo kot

Kje
– koordinate -ta točka sistema. Ob upoštevanju, da so projekcije vztrajnostnih sil na koordinatne osi preko projekcij pospeškov na te osi izražene z razmerji

,

splošni enačbi dinamike je mogoče dati obliko

V tej obliki se imenuje splošna enačba dinamike v analitični obliki.

Pri uporabi splošne enačbe dinamike je treba znati izračunati osnovno delo vztrajnostnih sil sistema na možnih premikih. Če želite to narediti, uporabite ustrezne formule za osnovno delo, dobljeno za običajne sile. Oglejmo si njihovo uporabo na vztrajnostne sile togega telesa v posameznih primerih njegovega gibanja.

Med gibanjem naprej. V tem primeru ima telo tri prostostne stopnje in se lahko zaradi naloženih omejitev giblje le translacijsko. Možni gibi telesa, ki omogočajo povezave, so tudi translacijski.

Vztrajnostne sile pri translacijskem gibanju se reducirajo na rezultanto
. Za vsoto elementarnih del vztrajnostnih sil na možno translatorno gibanje telesa dobimo

Kje
– možno gibanje težišča mase in poljubne točke telesa, saj je translacijsko možno gibanje vseh točk telesa enako: enaki so tudi pospeški, tj.
.

Ko se togo telo vrti okoli nepremične osi. Telo ima v tem primeru eno stopnjo svobode. Lahko se vrti okoli fiksne osi
. Možno gibanje, ki ga omogočajo prekrivajoče se povezave, je tudi rotacija telesa za elementarni kot
okoli fiksne osi.

Vztrajnostne sile zmanjšane na točko na osi vrtenja se reducirajo na glavni vektor in bistvo
. Glavni vektor vztrajnostnih sil deluje na fiksno točko, njegovo osnovno delo na morebitni premik pa je nič. Za glavni moment vztrajnostnih sil bo neničelno elementarno delo opravljeno samo s projekcijo na os vrtenja
. Tako imamo za vsoto dela vztrajnostnih sil na obravnavani možni premik

,

če je kot
sporočite v smeri puščice loka kotnega pospeška .

V ravnem gibanju. V tem primeru omejitve, ki veljajo za togo telo, omogočajo le možno ravninsko gibanje. V splošnem primeru je sestavljen iz translacijskega možnega gibanja skupaj s polom, za katerega izberemo masno središče, in rotacije za elementarni kot
okoli osi
, ki poteka skozi središče mase in je pravokotna na ravnino, vzporedno s katero se telo lahko giblje v ravnini.

Ker se lahko vztrajnostne sile v ravninskem gibanju togega telesa reducirajo na glavni vektor in bistvo
(če za redukcijsko središče izberemo masno središče), potem se vsota elementarnega dela vztrajnostnih sil na ravninski možni premik reducira na elementarno delo vektorja vztrajnostne sile
o možnem gibanju središča mase in elementarnem delu glavnega vztrajnostnega momenta na elementarno rotacijsko gibanje okoli osi
, ki poteka skozi središče mase. V tem primeru se neničelno elementarno delo lahko izvede le s projekcijo glavnega momenta vztrajnostnih sil na os
, tj.
. Tako imamo v obravnavanem primeru

če je rotacija za elementarni kot
usmerite v ločno puščico na .

Seveda je treba pri izračunu te posplošene sile potencialno energijo določiti kot funkcijo posplošenih koordinat

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Opombe.

najprej Pri izračunu posplošenih reakcijskih sil idealne povezave niso upoštevane.

drugič Razsežnost posplošene sile je odvisna od razsežnosti posplošene koordinate. Torej, če je dimenzija [ q] – meter, nato dimenzija

[Q]= Nm/m = Newton, če [ q] – radian, potem je [Q] = Nm; Če [ q] = m 2, potem [Q] = H/m itd.

Primer 4. Obroč drsi po palici, ki niha v navpični ravnini. M utež R(Slika 10). Palico smatramo za breztežno. Opredelimo posplošene sile.

Sl.10

rešitev. Sistem ima dve stopnji svobode. Priredimo dve posplošeni koordinati s In .

Poiščimo posplošeno silo, ki ustreza koordinati s. Tej koordinati damo prirastek, koordinato pustimo nespremenjeno in izračunamo delo edine aktivne sile R, dobimo posplošeno silo

Nato povečamo koordinato ob predpostavki s= konst. Ko se palica zasuka pod kotom, je točka uporabe sile R, prstan M, se bo preselil v . Splošna sila bo

Ker je sistem konzervativen, lahko posplošene sile najdemo tudi s pomočjo potencialne energije. Dobimo in . Izkazalo se je veliko preprostejše.

Lagrangeove ravnotežne enačbe

Po definiciji (7) posplošene sile , k = 1,2,3,…,s, Kje s– število prostostnih stopinj.

Če je sistem v ravnovesju, potem po načelu možnih premikov (1) . Tukaj so premiki, ki jih omogočajo povezave, možni premiki. Torej, ko je materialni sistem v ravnovesju, so vse njegove posplošene sile enake nič:

Q k= 0, (k=1,2,3,…, s). (10)

Te enačbe enačbe ravnotežja v posplošenih koordinatah oz Lagrangeove ravnotežne enačbe , omogoči še eno metodo za reševanje statičnih težav.

Če je sistem konzervativen, potem. To pomeni, da je v ravnotežnem položaju. To pomeni, da je v ravnotežnem položaju takšnega materialnega sistema njegova potencialna energija največja ali najmanjša, tj. funkcija П(q) ima ekstrem.

To je razvidno iz analize najenostavnejšega primera (slika 11). Potencialna energija žoge v položaju M 1 ima minimum, v položaju M 2 – največ. Opaziti je, da v položaju M 1 ravnotežje bo stabilno; noseča M 2 – nestabilen.

Slika 11

Ravnotežje se šteje za stabilno, če ima telo v tem položaju nizko hitrost ali se premakne na majhno razdaljo in se ta odstopanja v prihodnosti ne povečajo.

Lahko se dokaže (Lagrange-Dirichletov izrek), da če ima v ravnotežnem položaju konzervativnega sistema njegova potencialna energija minimum, potem je ta ravnotežni položaj stabilen.

Za konservativni sistem z eno prostostno stopnjo je pogoj za najmanjšo potencialno energijo in s tem stabilnost ravnotežnega položaja določen z drugim odvodom, njegovo vrednostjo v ravnotežnem položaju,

Primer 5. Jedro OA utež R se lahko vrti v navpični ravnini okoli osi O(Slika 12). Poiščimo in preučimo stabilnost ravnotežnih položajev.

Slika 12

rešitev. Palica ima eno prostostno stopnjo. Posplošena koordinata – kot.

Glede na spodnji, ničelni položaj, potencialna energija P = dr oz

V ravnotežnem položaju bi moralo biti . Zato imamo dva ravnotežna položaja, ki ustrezata kotoma in (položaji OA 1 in OA 2). Raziščimo njihovo stabilnost. Iskanje drugega odvoda. Seveda z ,. Ravnotežni položaj je stabilen. ob , . Drugi ravnotežni položaj je nestabilen. Rezultati so očitni.

Splošne vztrajnostne sile.

Z isto metodo (8), po kateri smo izračunali posplošene sile Q k, ki ustreza aktivnim, določenim silam, so določene tudi posplošene sile S k, ki ustreza vztrajnostnim silam točk sistema:

In odkar to

Nekaj ​​matematičnih transformacij.

očitno,

Ker je a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), potem

To pomeni, da je delni odvod hitrosti glede na

Poleg tega lahko v zadnjem členu (14) spremenite vrstni red diferenciacije:

Če nadomestimo (15) in (16) v (14) in nato (14) v (13), dobimo

Če zadnjo vsoto delimo z dve in upoštevamo, da je vsota odvodov enaka odvodu vsote, dobimo

kjer je kinetična energija sistema in je posplošena hitrost.

Lagrangeove enačbe.

Po definiciji (7) in (12) posplošene sile

Toda na podlagi splošne dinamične enačbe (3) je desna stran enačbe enaka nič. In ker vse ( k = 1,2,3,…,s) so različni od nič, potem . Če zamenjamo vrednost posplošene vztrajnostne sile (17), dobimo enačbo

Te enačbe imenujemo diferencialne enačbe gibanja v posplošenih koordinatah, Lagrangeove enačbe druge vrste ali preprosto – Lagrangeove enačbe.

Število teh enačb je enako številu prostostnih stopenj materialnega sistema.

Če je sistem konzervativen in se giblje pod vplivom potencialnih sil polja, ko so posplošene sile , lahko Lagrangeove enačbe sestavimo v obliki

Kje L = T– P se imenuje Lagrangeova funkcija (predpostavimo, da potencialna energija P ni odvisna od posplošenih hitrosti).

Pogosto se pri preučevanju gibanja materialnih sistemov izkaže, da so nekatere posplošene koordinate q j niso izrecno vključene v Lagrangeovo funkcijo (ali v T in P). Takšne koordinate imenujemo ciklično. Lagrangeove enačbe, ki ustrezajo tem koordinatam, se dobijo enostavneje.

Prvi integral takih enačb je mogoče najti takoj. Imenuje se ciklični integral:

Nadaljnje študije in transformacije Lagrangeovih enačb so predmet posebnega oddelka teoretične mehanike - "Analitična mehanika".

Lagrangeove enačbe imajo številne prednosti v primerjavi z drugimi metodami proučevanja gibanja sistemov. Glavne prednosti: način sestavljanja enačb je pri vseh nalogah enak, reakcije idealnih povezav se pri reševanju nalog ne upoštevajo.

In še nekaj - s temi enačbami lahko preučujemo ne samo mehanske, ampak tudi druge fizikalne sisteme (električne, elektromagnetne, optične itd.).

Primer 6. Nadaljujmo s preučevanjem gibanja obroča M na nihajni palici (primer 4).

Posplošene koordinate so dodeljene – in s (slika 13). Generalizirane sile so opredeljene: in .

Slika 13

rešitev. Kinetična energija obroča Kjer sta a in .

Sestavimo dve Lagrangeovi enačbi

potem enačbe izgledajo takole:

Dobili smo dve nelinearni diferencialni enačbi drugega reda, katerih reševanje zahteva posebne metode.

Primer 7. Sestavimo diferencialno enačbo gibanja žarka AB, ki se kotali brez drsenja po cilindrični površini (slika 14). Dolžina žarka AB = l, utež - R.

V ravnotežnem položaju je bil žarek vodoraven in težišče Z nahajal se je na zgornji točki valja. Žarek ima eno prostostno stopnjo. Njegov položaj je določen s posplošeno koordinato - kotom (slika 76).

Slika 14

rešitev. Sistem je konzervativen. Zato bomo sestavili Lagrangeovo enačbo z uporabo potencialne energije P=mgh, izračunane glede na vodoravni položaj. Na dotični točki je trenutno središče hitrosti in (enako dolžini krožnega loka s kotom).

Zato (glej sliko 76) in .

Kinetična energija (žarek se giblje vzporedno z ravnino)

Poiščemo potrebne odvode za enačbo in

Sestavimo enačbo

ali končno,

Vprašanja za samotestiranje

Kako se imenuje možno gibanje omejenega mehanskega sistema?

Kako so povezani možni in dejanski premiki sistema?

Katere povezave imenujemo: a) stacionarne; b) idealno?

Oblikujte načelo možnih gibanj. Zapišite njegov formulacijski izraz.

Ali je možno uporabiti princip virtualnih gibanj v sistemih z neidealnimi povezavami?

Kaj so posplošene koordinate mehanskega sistema?

Kakšno je število prostostnih stopenj mehanskega sistema?

V katerem primeru so kartezične koordinate točk v sistemu odvisne ne samo od posplošenih koordinat, temveč tudi od časa?

Kako se imenujejo možna gibanja mehanskega sistema?

Ali so možna gibanja odvisna od sil, ki delujejo na sistem?

Katere povezave mehanskega sistema imenujemo idealne?

Zakaj vez, narejena s trenjem, ni idealna vez?

Kako je formuliran princip možnih gibanj?

Katere vrste lahko ima enačba dela?

Zakaj načelo možnih premikov poenostavlja izpeljavo ravnotežnih pogojev za sile, ki delujejo na omejene sisteme, sestavljene iz velikega števila teles?

Kako so sestavljene enačbe dela za sile, ki delujejo na mehanski sistem z več prostostnimi stopnjami?

Kakšno je razmerje med pogonsko in uporno silo pri preprostih strojih?

Kako je formulirano zlato pravilo mehanike?

Kako se na principu možnih gibov določijo reakcije povezav?

Katere povezave imenujemo holonomne?

Kakšno je število prostostnih stopenj mehanskega sistema?

Kakšne so posplošene koordinate sistema?

Koliko posplošenih koordinat ima neprost mehanski sistem?

Koliko svobodnih stopenj ima avtomobilski volan?

Kaj je posplošena sila?

Zapišite formulo, ki izraža skupno elementarno delo vseh sil, ki delujejo na sistem v posplošenih koordinatah.

Kako se določi dimenzija posplošene sile?

Kako se izračunajo posplošene sile v konzervativnih sistemih?

Zapišite eno od formul, ki izražajo splošno enačbo dinamike sistema z idealnimi povezavami. Kakšen je fizikalni pomen te enačbe?

Kakšna je posplošena sila aktivnih sil, ki delujejo na sistem?

Kaj je posplošena vztrajnostna sila?

Formulirajte d'Alembertov princip v posplošenih silah.

Kaj je splošna enačba dinamike?

Kako se imenuje posplošena sila, ki ustreza neki posplošeni koordinati sistema, in kakšno dimenzijo ima?

Kakšne so splošne reakcije idealnih vezi?

Izpeljite splošno enačbo dinamike v posplošenih silah.

V kakšni obliki so pogoji ravnotežja za sile, ki delujejo na mehanski sistem, dobljeni iz splošne enačbe dinamike v posplošenih silah?

Katere formule izražajo posplošene sile s projekcijami sil na nepremične osi kartezičnih koordinat?

Kako so določene generalizirane sile v primeru konzervativnih in v primeru nekonservativnih sil?

Katere povezave imenujemo geometrijske?

Podajte vektorski prikaz principa možnih premikov.

Poimenujte nujen in zadosten pogoj za ravnotežje mehanskega sistema z idealnimi stacionarnimi geometrijskimi povezavami.

Kakšno lastnost ima funkcija sile konzervativnega sistema v stanju ravnovesja?

Zapišite sistem Lagrangeovih diferencialnih enačb druge vrste.

Koliko Lagrangeovih enačb druge vrste je mogoče sestaviti za omejen mehanski sistem?

Ali je število Lagrangeovih enačb mehanskega sistema odvisno od števila teles, vključenih v sistem?

Kakšen je kinetični potencial sistema?

Za katere mehanske sisteme obstaja Lagrangeova funkcija?

S kakšnimi argumenti je funkcija vektorja hitrosti točke, ki pripada mehanskemu sistemu s stopnje svobode?

Kaj je parcialni odvod vektorja hitrosti točke v sistemu glede na neko posplošeno hitrost?

Funkcija katerih argumentov je kinetična energija sistema, ki je predmet holonomskih nestacionarnih omejitev?

Kakšno obliko imajo Lagrangeove enačbe druge vrste? Kakšno je število teh enačb za vsak mehanski sistem?

Kakšno obliko imajo Lagrangeove enačbe druge vrste v primeru, ko na sistem istočasno delujejo konzervativne in nekonzervativne sile?

Kaj je Lagrangeova funkcija ali kinetični potencial?

Kakšno obliko imajo Lagrangeove enačbe druge vrste za konzervativen sistem?

Glede na katere spremenljivke je treba izraziti kinetično energijo mehanskega sistema pri sestavljanju Lagrangeovih enačb?

Kako se določi potencialna energija mehanskega sistema pod vplivom prožnostnih sil?

Težave, ki jih je treba rešiti neodvisno

Naloga 1. S pomočjo principa možnih pomikov določite reakcije povezav kompozitnih konstrukcij. Strukturni diagrami so prikazani na sl. 15, podatki, potrebni za rešitev, pa v tabeli. 1. Na slikah so vse mere v metrih.

Tabela 1

1. možnost 2. možnost

3. možnost 4. možnost

5. možnost 6. možnost

7. možnost 8. možnost

Sl.16 Sl.17

rešitev. Preprosto je preveriti, da so v tem problemu izpolnjeni vsi pogoji za uporabo Lagrangeovega principa (sistem je v ravnovesju, povezave stacionarne, holonomne, omejene in idealne).

Osvobodimo se povezave, ki ustreza reakciji X A (slika 17). Da bi to naredili, je treba na točki A zamenjati fiksni tečaj, na primer s paličasto oporo, v tem primeru sistem prejme eno prostostno stopnjo. Kot smo že omenili, je možno gibanje sistema določeno z omejitvami, ki so mu naložene, in ni odvisno od uporabljenih sil. Zato je določanje možnih pomikov kinematični problem. Ker se v tem primeru okvir lahko premika samo v ravnini slike, so tudi njegovi možni premiki ravninski. Pri ravninskem gibanju lahko gibanje telesa obravnavamo kot vrtenje okoli trenutnega središča hitrosti. Če je trenutno središče hitrosti v neskončnosti, potem to ustreza primeru trenutnega translacijskega gibanja, ko so premiki vseh točk telesa enaki.

Da bi našli trenutno središče hitrosti, moramo poznati smeri hitrosti poljubnih dveh točk telesa. Zato je treba določitev možnih pomikov kompozitne strukture začeti z iskanjem možnih pomikov elementa, za katerega so takšne hitrosti znane. V tem primeru bi morali začeti z okvirjem CDB, od svoje točke IN je nepremično, zato je možno gibanje tega okvirja njegovo vrtenje pod kotom okoli osi, ki poteka skozi tečaj B. Sedaj, če poznamo možno gibanje točke Z(hkrati pripada obema okvirjema sistema) in možno premikanje točke A(možno premikanje točke A je njeno gibanje vzdolž osi X), poiščite trenutno središče hitrosti C 1 okvirja AES. Tako je možno premikanje okvirja AES je njegov zasuk okoli točke C 1 za kot . Povezava med kotoma in je določena s premikanjem točke C (glej sliko 17)

Iz podobnosti trikotnikov EC 1 C in BCD imamo

Kot rezultat dobimo odvisnosti:

Po principu možnih gibov

Zaporedoma izračunajmo tukaj vključena možna delovna mesta:

Q=2q – rezultanta porazdeljene obremenitve, katere točka uporabe je prikazana na sl. 79; možno delo, ki ga opravi, je enako.