Materialna točka se giblje po zakonu iskanja hitrosti. Fizični pomen izpeljanke

− Učitelj Dumbadze V.A.
iz šole 162 okrožja Kirov v Sankt Peterburgu.

Naša skupina VKontakte
Mobilne aplikacije:

(Kje x t- čas v sekundah, merjen od začetka gibanja). Poiščite njegovo hitrost (v m/s) v trenutku t= 9 s.

pri t= 9 s imamo:

Zakaj smo iz prvotne enačbe izpustili številko 17?

poiščite odvod izvorne funkcije.

v izpeljanki ni števila 17

Zakaj najti izpeljanko?

Hitrost je odvod koordinate glede na čas.

Problem vas prosi, da poiščete hitrost

x- oddaljenost od referenčne točke v metrih, t- čas v sekundah, merjen od začetka gibanja). Poiščite njegovo hitrost v (m/s) v trenutku t= 6 s.

Poiščimo zakon spremembe hitrosti:

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16, ne 20

zapomni si postopek

Od kdaj ima seštevanje prednost pred odštevanjem?

Množenje ima prednost pred seštevanjem in odštevanjem. Ne pozabite na otroke šolski primer: 2 + 2 · 2. Naj vas spomnim, da se tukaj ne izkaže 8, kot nekateri mislijo, ampak 6.

Niste razumeli odgovora gosta.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

Torej je vse pravilno, izračunajte sami.

2) množenje/deljenje (odvisno od vrstnega reda v enačbi; tisto, kar pride prej, se najprej reši);

3) seštevanje/odštevanje (podobno odvisno od vrstnega reda v primeru).

Množenje = deljenje, seštevanje = odštevanje =>

Ne 54 - (36+2), ampak 54-36+2 = 54+2-36 = 20

Najprej zate - Sergej Batkovič. Drugič, ali ste razumeli, kaj ste želeli povedati in komu? Nisem te razumel.

Materialna točka se giblje premočrtno po zakonu (kjer je x oddaljenost od referenčne točke v metrih, t čas v sekundah, merjen od začetka gibanja). Poiščite njegovo hitrost v (m/s) v času s.

Poiščimo zakon spremembe hitrosti: m/s. Ko imamo:

Lekcija na temo: "Pravila razlikovanja", 11. razred

Oddelki: Matematika

Vrsta lekcije: posploševanje in sistematizacija znanja.

Cilji lekcije:

izobraževalni:
- posplošiti in sistematizirati gradivo na temo iskanja derivata;
- utrditi pravila razlikovanja;
- študentom razkrijejo politehnični in aplikativni pomen teme;
razvoj:
- izvaja nadzor nad usvajanjem znanja in spretnosti;
- razvijati in izpopolnjevati sposobnost uporabe znanja v spremenjeni situaciji;
- razvijati kulturo govora in sposobnost sklepanja in posploševanja;
izobraževalni:
- razvijati kognitivni proces;
- Študentom vzbuditi natančnost pri oblikovanju in odločnosti.

Oprema:

grafoskop, platno;
karte;
računalniki;
miza;
diferencirane naloge v obliki multimedijskih predstavitev.

I. Preverjanje domače naloge.

1. Poslušajte poročila učencev o primerih uporabe izpeljank.

2. Upoštevajte primere uporabe izpeljank v fiziki, kemiji, tehniki in na drugih področjih, ki jih predlagajo študenti.

II. Posodabljanje znanja.

Učiteljica:

Določite odvod funkcije.
Katero operacijo imenujemo diferenciacija?
Katera pravila diferenciacije se uporabljajo pri izračunu derivata? (Zaželeni učenci vabljeni k tabli).
- izpeljanka vsote;
- izpeljanka dela;
- derivat, ki vsebuje konstanten faktor;
- derivat kvocienta;
- derivat kompleksne funkcije;
Navedite primere uporabni problemi, kar vodi do koncepta derivata.

Vrsta posebnih problemov z različnih področij znanosti.

Naloga št. 1. Telo se giblje premočrtno po zakonu x(t). Zapišite formulo za iskanje hitrosti in pospeška telesa v času t.

Naloga št. 2. Polmer kroga R se spreminja po zakonu R = 4 + 2t 2. Določite hitrost spreminjanja njegove površine V trenutek t = 2 s. Polmer kroga se meri v centimetrih. Odgovor: 603 cm 2 /s.

Naloga št. 3. Materialna točka z maso 5 kg se giblje premočrtno po zakonu

S(t) = 2t+ , kje S— razdalja v metrih, t– čas v sekundah. Poiščite silo, ki trenutno deluje na točko t = 4 s.

odgovor: n.

Naloga št. 4. Vztrajnik, ki ga drži zavora, se vrti zadaj t s pod kotom 3t - 0,1t 2 (rad). Najdi:

a) kotna hitrost vrtenja vztrajnika v trenutku t = 7 Z;
b) v katerem trenutku se bo vztrajnik ustavil.

odgovor: a) 2,86; b) 150 s.

Primeri uporabe izpeljank lahko vključujejo tudi težave pri iskanju: specifično toplotno kapaciteto snov danega telesa, linearna gostota in kinetična energija telesa itd.

III. Opravljanje diferenciranih nalog.

Tisti, ki želite opraviti naloge stopnje “A”, se usedete za računalnik in rešite test s programiranim odgovorom. ( Aplikacija. )

1. Poiščite vrednost odvoda funkcije v točki x 0 = 3.

2. Poiščite vrednost odvoda funkcije y = xe x v točki x 0 = 1.

1) 2e;
2) e;
3) 1 + e;
4) 2 + e.

3. Rešite enačbo f / (x) = 0, če je f (x) = (3x 2 + 1)(3x 2 – 1).

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. Izračunajte f/(1), če je f(x) = (x 2 + 1)(x 3 – x).

5. Poiščite vrednost odvoda funkcije f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) v točki t0 = 1.

6. Točka se giblje premočrtno po zakonu: S(t) = t 3 – 3t 2. Izberite formulo, ki podaja hitrost gibanja te točke v času t.

1) t 2 – 2t;
2) 3t 2 – 3t;
3) 3t 2 – 6t;
4) t 3 + 6t.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Uporaba derivatov v fiziki, tehniki, biologiji, življenju

Predstavitev za lekcijo

Pozor! Predogledi diapozitivov so samo informativni in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če te zanima to delo, prenesite polno različico.

Vrsta lekcije: integrirano.

Cilj lekcije: preučiti nekatere vidike uporabe derivatov v različna področja fizika, kemija, biologija.

Naloge:širjenje obzorij in kognitivna dejavnostštudenti, razvoj logično razmišljanje in sposobnost uporabe svojega znanja.

Tehnična podpora: interaktivno tablo; računalnik in disk.

I. Organizacijski trenutek

II. Postavitev cilja lekcije

– Rad bi izvedel lekcijo pod geslom Alekseja Nikolajeviča Krilova, sovjetskega matematika in ladjedelnika: "Teorija brez prakse je mrtva ali neuporabna, praksa brez teorije je nemogoča ali škodljiva."

– Ponovimo osnovne pojme in odgovorimo na vprašanja:

– Povejte mi osnovno definicijo derivata?
– Kaj veš o izpeljanki (lastnosti, izreki)?
– Ali poznate kakšne primere problemov z uporabo izpeljank v fiziki, matematiki in biologiji?

Upoštevanje osnovne definicije derivata in njegove utemeljitve (odgovor na prvo vprašanje):

Izpeljanka – eden temeljnih konceptov matematike. Sposobnost reševanja problemov z uporabo izpeljank zahteva dobro znanje teoretično gradivo, sposobnost izvajanja raziskav v različnih situacijah.

Zato bomo danes v lekciji utrdili in sistematizirali pridobljeno znanje, razmislili in ovrednotili delo vsake skupine ter na primeru nekaterih problemov pokazali, kako rešiti druge probleme z izpeljavo in nestandardne naloge z uporabo derivatov.

III. Razlaga nove snovi

1. Trenutna moč je odvod dela glede na čas:

W = lim ΔA/Δt ΔA – zamenjava službe.

2. Če se telo vrti okoli osi, potem je rotacijski kot funkcija časa t
Potem kotna hitrost je enako:

W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δ t → 0

3. Jakost toka je izpeljanka Ι = lim Δg/Δt = g′, kje g– pozitivni električni naboj, ki se skozi čas prenaša skozi prerez prevodnika Δt.

4. Naj ΔQ– količina toplote, ki je potrebna za spremembo temperature Δtčas, torej lim ΔQ/Δt = Q′ = C – specifična toplota.

5. Problem o hitrosti kemijske reakcije

m(t) – m(t0) – količino snovi, ki s časom reagira t0 do t

V= lim Δm/Δt = m Δt → 0

6. Naj bo m masa radioaktivna snov. Stopnja radioaktivnega razpada: V = lim Δm/Δt = m׳(t) Δt→0

V diferencirani obliki ima zakon radioaktivnega razpada obliko: dN/dt = – λN, kje n– število jeder, ki niso razpadla t.

Z integracijo tega izraza dobimo: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = const pri t = 0število radioaktivnih jeder N = N0, od tukaj imamo: ln N0 = konst, torej

n N = – λt + ln N0.

S potenciranjem tega izraza dobimo:

– zakon radioaktivnega razpada, kjer št– število jeder naenkrat t0 = 0, N– število jeder, ki v času niso razpadla t.

7. Glede na Newtonovo enačbo prenosa toplote je stopnja toplotnega toka dQ/dt je premosorazmeren s površino okna S in temperaturno razliko ΔT med notranjim in zunanjim steklom ter obratno sorazmeren z njegovo debelino d:

dQ/dt =A S/d ΔT

8. Pojav difuzije je proces vzpostavljanja ravnotežne porazdelitve

V fazah koncentracije. Difuzija gre na stran in izravnava koncentracije.

m = D Δc/Δx c – koncentracija
m = D c׳x x – koordiniraj, D – difuzijski koeficient

9. Znano je bilo, da električno polje vzbuja bodisi električni naboji, ali magnetno polje, ki ima en sam vir - električni tok. James Clark Maxwell je uvedel eno spremembo zakonov elektromagnetizma, odkritih pred njim: magnetno polje nastane tudi, ko se spremeni električno polje. Na videz majhna sprememba je imela ogromne posledice: pojavil se je popolnoma nov fizični objekt, čeprav le na konici peresa - elektromagnetno valovanje. Maxwell je za razliko od Faradaya, ki je mislil, da je njegov obstoj mogoč, mojstrsko izpeljal enačbo za električno polje:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = const t

Sprememba električnega polja povzroči pojav magnetno polje na kateri koli točki v prostoru, z drugimi besedami, hitrost spremembe električnega polja določa velikost magnetnega polja. Pod velikim električni udar– večje magnetno polje.

IV. Utrjevanje naučenega

– Ti in jaz sva preučevala derivat in njegove lastnosti. rad bi bral filozofska izjava Gilbert: »Vsak človek ima določen pogled. Ko se to obzorje zoži na infinitezimalno, se spremeni v točko. Potem človek reče, da je to njegovo stališče.”
Poskusimo izmeriti stališče o uporabi derivata!

Zaplet "Leaf"(uporaba derivata v biologiji, fiziki, življenju)

Razmislite o padcu kot neenakomerno gibanje odvisno od časa.

Torej: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

(Teoretični pregled: mehanski občutek izpeljanka).

1. Reševanje problemov

Težave rešite sami.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

Zapišimo Portonov II zakon in ga ob upoštevanju mehanskega pomena odvoda prepišemo v obliki: F = mV′ F = mS″

Zaplet "Volkovi, Gophers"

Vrnimo se k enačbam: Upoštevajte diferencialne enačbe eksponentne rasti in upadanja: F = ma F = mV’ F = mS"
Reševanje številnih problemov iz fizike, tehnične biologije in družbene vede se zmanjšajo na problem iskanja funkcij f"(x) = kf(x), ki izpolnjuje diferencialno enačbo, kjer k = konst .

Človeška formula

Človek je tolikokrat večji od atoma, kolikor je manjši od zvezde:

Iz tega sledi
To je formula, ki določa človekovo mesto v vesolju. V skladu z njo velikost človeka predstavlja povprečno sorazmernost zvezde in atoma.

Lekcijo bi rad zaključil z besedami Lobačevskega: "Ni enega področja matematike, ne glede na to, kako abstraktno je, ki nekega dne ne bo uporabno za pojave resničnega sveta."

V. Rešitev števil iz zbirke:

Samostojno reševanje problemov na tabli, skupinska analiza rešitev problemov:

№ 1 Poiščite hitrost gibanja materialna točka na koncu 3. sekunde, če je gibanje točke podano z enačbo s = t^2 –11t + 30.

№ 2 Točka se giblje premočrtno po zakonu s = 6t – t^2. V katerem trenutku bo njegova hitrost enako nič?

№ 3 Dve telesi se gibata premočrtno: eno po zakonu s = t^3 – t^2 – 27t, drugo po zakonu s = t^2 + 1. Določite trenutek, ko se hitrosti teh teles izkažeta za enaki. .

№ 4 Za avtomobil, ki se premika s hitrostjo 30 m/s, je zavorna pot določena s formulo s(t) = 30t-16t^2, kjer je s(t) razdalja v metrih, t je zavorni čas v sekundah. . Koliko časa traja zaviranje, dokler se avto popolnoma ne ustavi? Koliko bo avto prevozil od začetka zaviranja do popolne ustavitve?

№5 Telo z maso 8 kg se giblje premočrtno po zakonu s = 2t^2+ 3t – 1. Poišči kinetična energija telo (mv^2/2) 3 sekunde po začetku gibanja.

rešitev: Poiščimo hitrost gibanja telesa v katerem koli trenutku:
V = ds / dt = 4t + 3
Izračunajmo hitrost telesa v času t = 3:
V t=3 = 4 * 3 + 3=15 (m/s).
Določimo kinetično energijo telesa v času t = 3:
mv2/2 = 8 – 15^2 /2 = 900 (J).

№6 Poiščite kinetično energijo telesa 4 s po začetku gibanja, če je njegova masa 25 kg in ima zakon gibanja obliko s = 3t^2- 1.

№7 Telo z maso 30 kg se giblje premočrtno po zakonu s = 4t^2 + t. Dokaži, da gibanje telesa poteka pod vplivom stalne sile.
rešitev: Imamo s’ = 8t + 1, s” = 8. Zato je a(t) = 8 (m/s^2), tj. pri danem zakonu gibanja se telo giblje z stalni pospešek 8 m/s^2. Nadalje, ker je masa telesa konstantna (30 kg), potem je po drugem Newtonovem zakonu sila, ki deluje na telo F = ma = 30 * 8 = 240 (H), prav tako konstantna vrednost.

№8 Telo z maso 3 kg se giblje premočrtno po zakonu s(t) = t^3 – 3t^2 + 2. Poiščite silo, ki deluje na telo v času t = 4s.

№9 Materialna točka se giblje po zakonu s = 2t^3 – 6t^2 + 4t. Poiščite njegov pospešek na koncu 3. sekunde.

VI. Uporaba odvoda v matematiki:

Odvod v matematiki kaže številski izraz stopnja spremembe količine, ki se nahaja na isti točki pod vplivom različnih pogojev.

Izpeljanka formule sega v 15. stoletje. Veliki italijanski matematik Tartagli, ki razmišlja in razvija vprašanje, koliko je domet izstrelka odvisen od naklona pištole, ga uporablja v svojih delih.

Izvedeno formulo pogosto najdemo v delih znanih matematikov 17. stoletja. Uporabljala sta ga Newton in Leibniz.

Slavni znanstvenik Galileo Galilei posveča celotno razpravo o vlogi derivatov v matematiki. Nato so izpeljanko in različne predstavitve z njeno uporabo začeli najti v delih Descartesa, francoskega matematika Robervala in Angleža Gregoryja. Velik prispevek Umovi, kot so L'Hopital, Bernoulli, Langrange in drugi, so prispevali k preučevanju derivata.

1. Narišite graf in preglejte funkcijo:

Rešitev te težave:

Trenutek sprostitve

VII. Uporaba derivata v fiziki:

Pri proučevanju določenih procesov in pojavov se pogosto pojavi naloga ugotavljanja hitrosti teh procesov. Njena rešitev vodi do koncepta derivata, ki je glavni koncept diferencialni račun.

Metoda diferencialnega računa je nastala v 17. in 18. stoletju. Imena dveh velikih matematikov - I. Newtona in G.V. - so povezana s pojavom te metode. Leibniz.

Newton je prišel do odkritja diferencialnega računa pri reševanju problemov o hitrosti gibanja materialne točke v v tem trenutkučas (trenutna hitrost).

V fiziki se odvod uporablja predvsem za izračun največjega oz najnižje vrednosti poljubne količine.

№1 Potencialna energija U polje delca, v katerem je drug, popolnoma enak delec, ima obliko: U = a/r 2 – b/r, Kje a in b- pozitivne konstante, r- razdalja med delci. Ugotovite: a) vrednost r0 ki ustreza ravnotežnemu položaju delca; b) ugotoviti, ali je to stanje stabilno; V) Fmax vrednost sile privlačnosti; d) narišite približne grafe odvisnosti U(r) in F(r).

Rešitev te težave: določiti r0 ki ustreza ravnotežnemu položaju delca, ki ga preučujemo f = U(r) do skrajnosti.

Uporaba povezave med potencialna energija polja

U in F, Potem F = – dU/dr, dobimo F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; hkrati r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; Trajnostno oz nestabilno ravnotežje določimo s predznakom drugega odvoda:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt ) 2

Razmislite o primeru, ko se pesek razlije iz napolnjene ploščadi.
Sprememba zagona v kratkem časovnem obdobju:
Δ p = (M – µ(t + Δ t))(u+ Δ u) +Δ µtu – (M – µt)u = FΔ t
Izraz Δ µtu je impulz količine peska, ki se je izlil iz ploščadi v času Δ t. Nato:
Δ p = MΔ u – µtΔ u – Δ µtΔ u = FΔ t
Deli z Δ t in se pomaknite do meje Δ t → 0
(M – µt)du/dt = F
oz a1= du/dt= F/(M – µt)

odgovor: a = FM / (M + µt) 2, a1= F/(M – µt)

VIII. Samostojno delo:

Poiščite izpeljanke funkcij:

Premica y = 2x je tangentna na funkcijo: y = x 3 + 5x 2 + 9x + 3. Poiščite absciso dotične točke.

IX. Povzetek lekcije:

– Katerim vprašanjem je bila posvečena lekcija?
– Kaj ste se naučili v lekciji?
– Katera teoretična dejstva so bila povzeta v učni uri?
– Katere obravnavane naloge so se izkazale za najtežje? Zakaj?

Reference:

Amelkin V.V., Sadovski A.P. Matematični modeli in diferencialne enačbe. – Minsk: podiplomska šola, 1982. – 272 str.
Amelkin V.V. Diferencialne enačbe v aplikacijah. M.: Znanost. Glavna redakcija fizikalne in matematične literature, 1987. – 160 str.
Erugin N.P. Knjiga za branje splošni tečaj diferencialne enačbe. – Minsk: Znanost in tehnologija, 1979. – 744 str.
.Revija "Potencial" november 2007 št. 11
“Algebra in načela analize” 11. razred S.M. Nikolski, M.K. Potapov in drugi.
"Algebra in matematična analiza" N.Ya. Vilenkin et al.
"Matematika" V.T. Lisičkin, I.L. Solovejčik, 1991

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Fizični pomen derivata. Naloge!

Fizični pomen izpeljanka. Enotni državni izpit iz matematike vključuje skupino problemov, za reševanje katerih je potrebno poznavanje in razumevanje fizičnega pomena derivata. Predvsem so problemi, kjer je podan zakon gibanja določene točke (objekta), izražen z enačbo, in je treba najti njegovo hitrost v določen trenutekčas gibanja ali čas, po katerem bo objekt pridobil določeno določeno hitrost. Naloge so zelo preproste, rešiti jih je mogoče v enem dejanju. Torej:

Naj velja zakon gibanja materialne točke x (t) vzdolž koordinatna os, kjer je x koordinata gibljive točke, t je čas.

Hitrost v določenem trenutku je odvod koordinate glede na čas. To je mehanski pomen izpeljanke.

Podobno je pospešek odvod hitrosti glede na čas:

Tako je fizični pomen derivata hitrost. To je lahko hitrost gibanja, hitrost spreminjanja procesa (na primer rast bakterij), hitrost dela (in tako naprej, uporabnih problemov je veliko).

Poleg tega morate poznati tabelo odvodov (poznati jo morate tako kot tabelo množenja) in pravila razlikovanja. Natančneje, za reševanje navedenih problemov je potrebno poznavanje prvih šestih izpeljank (glej tabelo):

x (t) = t 2 – 7t – 20

kjer je x oddaljenost od referenčne točke v metrih, t je čas v sekundah, merjen od začetka gibanja. Poiščite njegovo hitrost (v metrih na sekundo) v času t = 5 s.

Fizični pomen derivata je hitrost (hitrost gibanja, hitrost spreminjanja procesa, hitrost dela itd.)

Poiščimo zakon spremembe hitrosti: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Materialna točka se giblje premočrtno po zakonu x (t) = 6t 2 – 48t + 17, kjer je x- oddaljenost od referenčne točke v metrih, t- čas v sekundah, merjen od začetka gibanja. Poiščite njegovo hitrost (v metrih na sekundo) v času t = 9 s.

Materialna točka se giblje premočrtno po zakonu x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, kjer je x- oddaljenost od referenčne točke v metrih, t- čas v sekundah, merjen od začetka gibanja. Poiščite njegovo hitrost (v metrih na sekundo) v času t = 6 s.

Materialna točka se giblje premočrtno po zakonu

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

kje x- oddaljenost od referenčne točke v metrih, t- čas v sekundah, merjen od začetka gibanja. Poiščite njegovo hitrost (v metrih na sekundo) v času t = 3 s.

Materialna točka se giblje premočrtno po zakonu

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

kjer je x oddaljenost od referenčne točke v metrih, t je čas v sekundah, merjen od začetka gibanja. V katerem trenutku (v sekundah) je bila njegova hitrost enaka 6 m/s?

Poiščimo zakon spremembe hitrosti:

Da bi ugotovili, v katerem trenutku t je bila hitrost 3 m/s, je treba rešiti enačbo:

Materialna točka se giblje premočrtno po zakonu x (t) = t 2 – 13t + 23, kjer je x- oddaljenost od referenčne točke v metrih, t- čas v sekundah, merjen od začetka gibanja. V katerem trenutku (v sekundah) je bila njegova hitrost enaka 3 m/s?

Materialna točka se giblje premočrtno po zakonu

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

kje x- oddaljenost od referenčne točke v metrih, t- čas v sekundah, merjen od začetka gibanja. V katerem trenutku (v sekundah) je bila njegova hitrost enaka 2 m/s?

Rad bi opozoril, da se na Enotnem državnem izpitu ne bi smeli osredotočati samo na to vrsto nalog. Povsem nepričakovano lahko prinesejo probleme, ki so nasprotni predstavljenim. Ko je podan zakon o spremembi hitrosti in bo vprašanje o iskanju zakona gibanja.

Namig: v tem primeru morate najti integral funkcije hitrosti (tudi to je naloga v enem koraku). Če morate najti prevoženo razdaljo v določenem trenutku, morate v nastalo enačbo nadomestiti čas in izračunati razdaljo. Vendar bomo analizirali tudi takšne težave, ne zamudite! Vso srečo!

matematikalegko.ru

Algebra in začetki matematična analiza, 11. razred (S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin) 2009

Stran št. 094.

Učbenik:

OCR različica strani iz učbenika (besedilo strani se nahaja zgoraj):

Kot izhaja iz problemov, obravnavanih na začetku tega odstavka, so naslednje trditve resnične:

1. Če pri ravno gibanje pot s, ki jo prehodi točka, je funkcija časa t, tj. s = f(t), potem je hitrost točke odvod poti glede na čas, tj. v(t) =

To dejstvo izraža mehanski pomen izpeljanke.

2. Če v točki x 0 na graf funkcije y = f (jc) narišemo tangento, potem je število f"(xo) tangens kota a med to tangento in pozitivno smerjo osi Ox , tj. /"(x 0) =

Tga. Ta kot se imenuje tangentni kot.

To dejstvo izraža geometrijski pomen izpeljanka.

PRIMER 3. Poiščemo tangens naklonskega kota tangente na graf funkcije y = 0,5jc 2 - 2x + 4 v točki z absciso x = 0.

Poiščimo odvod funkcije f(x) = 0,5jc 2 - 2x + 4 v poljubni točki x z uporabo enačbe (2):

0,5 2 x - 2 = jc - 2.

Izračunajmo vrednost tega derivata v točki x = 0:

Zato je tga = -2. Graf x funkcije y = /(jc) in tangenta na njen graf v točki z absciso jc = 0 sta prikazana na sliki 95.

4.1 Naj se točka giblje premočrtno po zakonu s = t 2. Najdi:

a) časovni prirastek D£ v časovnem intervalu od t x = 1 do £ 2 - 2;

b) prirastek poti As v časovnem obdobju od t x = 1 do t 2 = 2;

V) povprečna hitrost v časovnem intervalu od t x = 1 do t 2 = 2.

4.2 V nalogi 4.1 poiščite:

b) povprečna hitrost v časovnem intervalu od t do t + At;

c) trenutna hitrost v času t;

d) trenutna hitrost v času t = 1.

4.3 Naj se točka giblje premočrtno po zakonu:

1) s = 3t + 5; 2) s = t 2 - bt.

a) prirastek poti As v časovnem obdobju od t do t + At;

Učbenik: Algebra in začetki matematične analize. 11. razred: poučna. za splošno izobraževanje ustanove: osnovne in profilne. stopnje / [S. M. Nikolski, M. K. Potapov, N. N. Rešetnikov, A. V. Ševkin]. - 8. izd. - M .: Izobraževanje, 2009. - 464 str .: ilustr.

Točka se giblje premočrtno po zakonu S = t 4 +2t (S - v metrih, t- v nekaj sekundah). Poiščite njegov povprečni pospešek v intervalu med trenutki t 1 = 5 s, t 2 = 7 s, kot tudi njegov pravi pospešek v tem trenutku t 3 = 6 s.

rešitev.

1. Poiščite hitrost točke kot odvod poti S glede na čas t, tiste.

2. Zamenjava namesto t njegovih vrednosti t 1 = 5 s in t 2 = 7 s, najdemo hitrosti:

V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 m/s; V 2 = 4 7 3 + 2 = 1374 m/s.

3. Določite prirastek hitrosti ΔV za čas Δt = 7 - 5 =2 s:

ΔV = V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 m/s.

4. Tako bo povprečni pospešek točke enak

5. Za določitev prave vrednosti pospeška točke vzamemo odvod hitrosti glede na čas:

6. Nadomeščanje t vrednost t 3 = 6 s, dobimo pospešek v tem trenutku

a av =12-6 3 =432 m/s 2 .

Krivočrtno gibanje. pri krivočrtno gibanje hitrost točke se spreminja v velikosti in smeri.

Predstavljajmo si točko M, ki se v času Δt giblje vzdolž nekega krivuljasta trajektorija, premaknjen na položaj M 1(slika 6).

Vektor prirastka (spremembe) hitrosti ΔV bo

Za da bi našli vektor ΔV, premaknite vektor V 1 na točko M in sestavite trikotnik hitrosti. Določimo vektor povprečnega pospeška:

Vektor sreda je vzporeden z vektorjem ΔV, saj delimo vektor z skalarna količina smer vektorja se ne spremeni. Pravi vektor pospeška je meja, do katere se razmerje vektorja hitrosti in ustreznega časovnega intervala Δt nagiba k nič, tj.

Ta meja se imenuje vektorski derivat.

torej pravi pospešek točke med krivuljnim gibanjem je enak vektorskemu odvodu glede na hitrost.

Iz sl. 6 je jasno, da vektor pospeška med krivuljnim gibanjem je vedno usmerjen proti konkavnosti trajektorije.

Za udobje izračunov je pospešek razčlenjen na dve komponenti na trajektorijo gibanja: vzdolž tangente, imenovane tangencialni (tangencialni) pospešek A, in vzdolž normale, imenovan normalni pospešek a n (slika 7).

V tem primeru bo skupni pospešek enak

Tangencialni pospešek po smeri sovpada s hitrostjo točke ali ji je nasproten. Označuje spremembo hitrosti in je ustrezno določena s formulo

Normalni pospešek je pravokoten na smer hitrosti točke, njegova numerična vrednost pa je določena s formulo

kjer je r - polmer ukrivljenosti trajektorije v obravnavani točki.

Ker sta tangencialni in normalni pospešek medsebojno pravokotna, je vrednost skupnega pospeška določena s formulo

in njegovo smer

če , potem sta tangencialni vektor pospeška in hitrosti usmerjena v eno smer in gibanje bo pospešeno.

če , potem je tangencialni vektor pospeška usmerjen v smeri, ki je nasprotna vektorju hitrosti, in gibanje bo počasno.

Vektor normalnega pospeška je vedno usmerjen proti središču ukrivljenosti, zato ga imenujemo centripetalni.

Fizični pomen derivata. Enotni državni izpit iz matematike vključuje skupino problemov, za reševanje katerih je potrebno poznavanje in razumevanje fizičnega pomena derivata. Predvsem gre za naloge, kjer je podan zakon gibanja določene točke (objekta), izražen z enačbo, in je treba najti njegovo hitrost v določenem trenutku gibanja oziroma času, po katerem se predmet premika. bo pridobil določeno dano hitrost.Naloge so zelo preproste, rešiti jih je mogoče v enem dejanju. Torej:

Naj bo podan zakon gibanja materialne točke x (t) vzdolž koordinatne osi, kjer je x koordinata gibljive točke, t je čas.

Hitrost v določenem trenutku je odvod koordinate glede na čas. To je mehanski pomen izpeljanke.

Podobno je pospešek odvod hitrosti glede na čas:

Tako je fizični pomen derivata hitrost. To je lahko hitrost gibanja, hitrost spreminjanja procesa (na primer rast bakterij), hitrost dela (in tako naprej, uporabnih problemov je veliko).

Razmislimo o nalogah:

x (t) = t 2 – 7t – 20

kjer je x t čas v sekundah, merjen od začetka gibanja. Poiščite njegovo hitrost (v metrih na sekundo) v času t = 5 s.

Fizični pomen derivata je hitrost (hitrost gibanja, hitrost spreminjanja procesa, hitrost dela itd.)

Poiščimo zakon spremembe hitrosti: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Pri t = 5 imamo:

Odgovor: 3

Odločite se sami:

Materialna točka se giblje premočrtno po zakonu x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, kjer xt- čas v sekundah, merjen od začetka gibanja. Poiščite njegovo hitrost (v metrih na sekundo) v času t = 6 s.

Materialna točka se giblje premočrtno po zakonu

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

kje x- oddaljenost od referenčne točke v metrih,t- čas v sekundah, merjen od začetka gibanja. Poiščite njegovo hitrost (v metrih na sekundo) v času t = 3 s.

Materialna točka se giblje premočrtno po zakonu

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

kjer je x oddaljenost od referenčne točke v metrih, t je čas v sekundah, merjen od začetka gibanja. V katerem trenutku (v sekundah) je bila njegova hitrost enaka 6 m/s?

Poiščimo zakon spremembe hitrosti:

Da bi ugotovili, v katerem trenutkutje bila hitrost 3 m/s, je treba rešiti enačbo:

Odgovor: 3

Odločite se sami:

Materialna točka se giblje premočrtno po zakonu

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

kje x- oddaljenost od referenčne točke v metrih, t- čas v sekundah, merjen od začetka gibanja. V katerem trenutku (v sekundah) je bila njegova hitrost enaka 2 m/s?

S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.