Kvadratni koren. Obsežen vodnik (2019)

Še naprej preučujemo temo " reševanje enačb" Z linearnimi enačbami smo se že seznanili in prehajamo na seznanjanje kvadratne enačbe.

Najprej si bomo ogledali, kaj je kvadratna enačba in kako jo zapišemo splošni pogled, in bomo dali povezane definicije. Nato bomo s primeri podrobno preučili, kako se rešujejo nepopolni problemi. kvadratne enačbe. Pojdimo k rešitvi popolne enačbe, dobimo korensko formulo, se seznanimo z diskriminanto kvadratne enačbe in obravnavamo rešitve tipični primeri. Za konec poglejmo še povezave med koreni in koeficienti.

Navigacija po straneh.

Kaj je kvadratna enačba? Njihove vrste

Najprej morate jasno razumeti, kaj je kvadratna enačba. Zato je logično, da pogovor o kvadratnih enačbah začnemo z definicijo kvadratne enačbe, pa tudi s sorodnimi definicijami. Po tem lahko razmislite o glavnih vrstah kvadratnih enačb: zmanjšanih in nereduciranih, pa tudi popolnih in nepopolnih enačb.

Definicija in primeri kvadratnih enačb

Opredelitev.

Kvadratna enačba je enačba oblike a x 2 +b x+c=0, kjer je x spremenljivka, a, b in c so nekatera števila, a ni nič.

Takoj povejmo, da se kvadratne enačbe pogosto imenujejo enačbe druge stopnje. To je posledica dejstva, da je kvadratna enačba algebrska enačba druge stopnje.

Navedena definicija nam omogoča podati primere kvadratnih enačb. Torej 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 itd. To so kvadratne enačbe.

Opredelitev.

Številke a, b in c se imenujejo koeficienti kvadratne enačbe a·x 2 +b·x+c=0 in koeficient a se imenuje prvi ali najvišji ali koeficient pri x 2, b je drugi koeficient ali koeficient pri x in c je prosti člen .

Na primer, vzemimo kvadratno enačbo v obliki 5 x 2 −2 x −3=0, pri čemer je vodilni koeficient 5, drugi koeficient je enak −2, prosti člen pa je enak −3. Upoštevajte, da ko sta koeficienta b in/ali c negativna, kot v pravkar navedenem primeru, potem kratka oblika pisanje kvadratne enačbe oblike 5 x 2 −2 x−3=0 in ne 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Omeniti velja, da ko sta koeficienta a in/ali b enaka 1 ali −1, potem običajno nista eksplicitno prisotna v kvadratni enačbi, kar je posledica posebnosti zapisovanja le-teh. Na primer, v kvadratni enačbi y 2 −y+3=0 je vodilni koeficient ena, koeficient pri y pa je enak −1.

Reducirane in nereducirane kvadratne enačbe

Glede na vrednost vodilnega koeficienta ločimo reducirane in nereducirane kvadratne enačbe. Navedimo ustrezne definicije.

Opredelitev.

Imenuje se kvadratna enačba, v kateri je vodilni koeficient 1 dana kvadratna enačba. IN drugače kvadratna enačba je nedotaknjen.

Glede na ta definicija, kvadratne enačbe x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 itd. – podan, v vsakem od njih prvi koeficient enako ena. A 5 x 2 −x−1=0 itd. - nereducirane kvadratne enačbe, katerih vodilni koeficienti so različni od 1.

Iz katere koli nereducirane kvadratne enačbe, tako da obe strani delite z vodilnim koeficientom, lahko preidete na reducirano enačbo. To dejanje je ekvivalentna transformacija, kar pomeni, da ima tako dobljena reducirana kvadratna enačba enake korene kot izvirna nereducirana kvadratna enačba ali pa nima nobenih korenin.

Oglejmo si primer, kako poteka prehod iz nereducirane kvadratne enačbe v reducirano.

Primer.

Iz enačbe 3 x 2 +12 x−7=0 pojdite na ustrezno zmanjšano kvadratno enačbo.

rešitev.

Le oba dela moramo razdeliti izvirna enačba z vodilnim faktorjem 3 je različen od nič, tako da lahko izvedemo to dejanje. Imamo (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, kar je enako, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 in potem (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, od koder je . Tako smo dobili pomanjšano kvadratno enačbo, ki je enaka prvotni.

odgovor:

Popolne in nepopolne kvadratne enačbe

Definicija kvadratne enačbe vsebuje pogoj a≠0. Ta pogoj je nujen, da je enačba a x 2 + b x + c = 0 kvadratna, saj ko je a = 0, dejansko postane linearna enačba oblike b x + c = 0.

Kar zadeva koeficienta b in c, sta lahko enaka nič, tako posamično kot skupaj. V teh primerih se kvadratna enačba imenuje nepopolna.

Opredelitev.

Kvadratna enačba a x 2 +b x+c=0 se imenuje nepopolna, če je vsaj eden od koeficientov b, c enako nič.

Po vrsti

Opredelitev.

Popolna kvadratna enačba je enačba, v kateri so vsi koeficienti različni od nič.

Takšna imena niso bila dana po naključju. To bo razvidno iz naslednjih razprav.

Če je koeficient b enak nič, ima kvadratna enačba obliko a·x 2 +0·x+c=0 in je enakovredna enačbi a·x 2 +c=0. Če je c=0, kar pomeni, da ima kvadratna enačba obliko a·x 2 +b·x+0=0, jo lahko prepišemo kot a·x 2 +b·x=0. In z b=0 in c=0 dobimo kvadratno enačbo a·x 2 =0. Dobljene enačbe se od popolne kvadratne enačbe razlikujejo po tem, da njihove leve strani ne vsebujejo niti člena s spremenljivko x, niti prostega člena ali obojega. Od tod tudi njihovo ime - nepopolne kvadratne enačbe.

Tako sta enačbi x 2 +x+1=0 in −2 x 2 −5 x+0,2=0 primera popolnih kvadratnih enačb in x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 so nepopolne kvadratne enačbe.

Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

Iz podatkov v prejšnjem odstavku izhaja, da obstaja tri vrste nepopolnih kvadratnih enačb:

• a·x 2 =0, temu ustrezata koeficienta b=0 in c=0;
• a x 2 +c=0, ko je b=0;
• in a·x 2 +b·x=0, ko je c=0.

Poglejmo po vrstnem redu, kako se rešujejo nepopolne kvadratne enačbe vsake od teh vrst.

a x 2 =0

Začnimo z reševanjem nepopolnih kvadratnih enačb, v katerih sta koeficienta b in c enaka nič, torej z enačbami oblike a x 2 =0. Enačba a·x 2 =0 je enakovredna enačbi x 2 =0, ki jo dobimo iz izvirnika tako, da oba dela delimo z ničelnim številom a. Očitno je koren enačbe x 2 =0 nič, saj je 0 2 =0. Ta enačba nima drugih korenov, kar je razloženo z dejstvom, da za vsako neničelno število p velja neenakost p 2 >0, kar pomeni, da za p≠0 enakost p 2 =0 nikoli ni dosežena.

Torej ima nepopolna kvadratna enačba a·x 2 =0 en sam koren x=0.

Kot primer podajamo rešitev nepopolne kvadratne enačbe −4 x 2 =0. Enakovredna je enačbi x 2 =0, njen edini koren je x=0, zato ima izvirna enačba en sam koren nič.

Kratko rešitev v tem primeru lahko zapišemo takole:
−4 x 2 =0,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Zdaj pa poglejmo, kako se rešujejo nepopolne kvadratne enačbe, v katerih je koeficient b enak nič in c≠0, torej enačbe oblike a x 2 +c=0. Vemo, da premikanje izraza z ene strani enačbe na drugo z nasprotno znamenje, kot tudi deljenje obeh strani enačbe s številom, ki ni nič, dobimo enakovredno enačbo. Zato lahko izvedemo naslednje ekvivalentne transformacije nepopolna kvadratna enačba a x 2 +c=0 :

• premakniti iz v desna stran, ki daje enačbo a x 2 =−c,
• in delimo obe strani z a, dobimo .

Nastala enačba nam omogoča, da sklepamo o njenih koreninah. Odvisno od vrednosti a in c je lahko vrednost izraza negativna (na primer, če a=1 in c=2, potem ) ali pozitivna (na primer, če a=−2 in c=6, potem ), ni enako nič , saj po pogoju c≠0. Oglejmo si primere ločeno.

Če , potem enačba nima korenin. Ta trditev izhaja iz dejstva, da je kvadrat poljubnega števila nenegativno število. Iz tega sledi, da ko , potem za nobeno število p enakost ne more veljati.

Če je , potem je situacija s koreninami enačbe drugačna. V tem primeru, če se spomnimo približno , potem postane koren enačbe takoj očiten; to je število, saj . Zlahka je uganiti, da je število dejansko tudi koren enačbe, . Ta enačba nima drugih korenin, kar je mogoče pokazati na primer s protislovjem. Naredimo to.

Označimo korenine pravkar napovedane enačbe kot x 1 in −x 1 . Recimo, da ima enačba še en koren x 2, ki se razlikuje od navedenih korenov x 1 in −x 1. Znano je, da zamenjava njenih korenin v enačbi namesto x spremeni enačbo v pravilno numerično enakost. Za x 1 in −x 1 velja , za x 2 pa . Lastnosti številskih enačb nam omogočajo, da izvedemo odštevanje pravilnih številskih enačb po členih, tako da z odštevanjem ustreznih delov enačb dobimo x 1 2 −x 2 2 =0. Lastnosti operacij s števili nam omogočajo, da nastalo enakost prepišemo kot (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Vemo, da je produkt dveh števil enak nič, če in samo če je vsaj eno od njiju enako nič. Zato iz dobljene enakosti sledi, da je x 1 −x 2 =0 in/ali x 1 +x 2 =0, kar je enako, x 2 =x 1 in/ali x 2 =−x 1. Tako smo prišli do protislovja, saj smo na začetku rekli, da je koren enačbe x 2 drugačen od x 1 in −x 1. To dokazuje, da enačba nima korenin razen in .

Povzemimo informacije v tem odstavku. Nepopolna kvadratna enačba a x 2 +c=0 je enakovredna enačbi, ki

• nima korenin, če,
• ima dva korena in , če .

Oglejmo si primere reševanja nepopolnih kvadratnih enačb oblike a·x 2 +c=0.

Začnimo s kvadratno enačbo 9 x 2 +7=0. Ko premaknemo prosti člen na desno stran enačbe, bo imel obliko 9 x 2 =−7. Če obe strani dobljene enačbe delimo z 9, dobimo . Ker ima desna stran negativno število, ta enačba nima korenin, torej izvirna nepopolna kvadratna enačba 9 x 2 +7 = 0 nima korenin.

Rešimo še eno nepopolno kvadratno enačbo −x 2 +9=0. Devet premaknemo na desno stran: −x 2 =−9. Zdaj obe strani delimo z −1, dobimo x 2 =9. Na desni strani je pozitivno število, iz česar sklepamo, da oz. Nato zapišemo končni odgovor: nepopolna kvadratna enačba −x 2 +9=0 ima dva korena x=3 ali x=−3.

a x 2 +b x=0

Ukvarjamo se še z rešitvijo zadnje vrste nepopolnih kvadratnih enačb za c=0. Nepopolne kvadratne enačbe oblike a x 2 + b x = 0 vam omogočajo reševanje metoda faktorizacije. Očitno lahko, ki se nahaja na levi strani enačbe, za kar je dovolj, da skupni faktor x vzamemo iz oklepaja. To nam omogoča prehod iz prvotne nepopolne kvadratne enačbe v ekvivalentno enačbo oblike x·(a·x+b)=0. In ta enačba je enakovredna nizu dveh enačb x=0 in a·x+b=0, od katerih je slednja linearna in ima koren x=−b/a.

Torej ima nepopolna kvadratna enačba a·x 2 +b·x=0 dva korena x=0 in x=−b/a.

Za utrjevanje gradiva bomo analizirali rešitev določenega primera.

Primer.

Reši enačbo.

rešitev.

Če x vzamemo iz oklepajev, dobimo enačbo. Enakovredno je dvema enačbama x=0 in . Rešujemo, kar imamo linearna enačba: , in izvajanje deljenja mešano število na navadni ulomek, najdemo. Zato sta korena prvotne enačbe x=0 in .

Po prejemu potrebne prakse odločitve podobne enačbe lahko na kratko zapišemo:

odgovor:

x=0 , .

Diskriminanta, formula za korenine kvadratne enačbe

Za reševanje kvadratnih enačb obstaja korenska formula. Zapišimo formula za korenine kvadratne enačbe: , Kje D=b 2 −4 a c- tako imenovani diskriminanta kvadratne enačbe. Vnos v bistvu pomeni, da.

Koristno je vedeti, kako je bila izpeljana korenska formula in kako se uporablja pri iskanju korenov kvadratnih enačb. Ugotovimo to.

Izpeljava formule za korene kvadratne enačbe

Rešiti moramo kvadratno enačbo a·x 2 +b·x+c=0. Izvedimo nekaj enakovrednih transformacij:

• Obe strani te enačbe lahko delimo z ničelnim številom a, kar ima za posledico naslednjo kvadratno enačbo.
• zdaj izberite celoten kvadrat na levi strani: . Po tem bo enačba dobila obliko.
• Na tej stopnji je možno prenesti zadnja dva člena na desno stran z nasprotnim predznakom, imamo .
• In transformirajmo tudi izraz na desni strani: .

Kot rezultat pridemo do enačbe, ki je enakovredna izvirni kvadratni enačbi a·x 2 +b·x+c=0.

Enačbe podobne oblike smo že reševali v prejšnjih odstavkih, ko smo pregledovali. To nam omogoča, da potegnemo naslednje zaključke glede korenin enačbe:

• če , potem enačba nima veljavne rešitve;
• če , potem ima enačba obliko , torej , iz katere je viden njen edini koren;
• če , potem ali , kar je enako ali , kar pomeni, da ima enačba dva korena.

Tako je prisotnost ali odsotnost korenin enačbe in s tem izvirne kvadratne enačbe odvisna od predznaka izraza na desni strani. Predznak tega izraza pa določa predznak števca, saj je imenovalec 4·a 2 vedno pozitiven, to je predznak izraza b 2 −4·a·c. Ta izraz b 2 −4 a c je bil imenovan diskriminanta kvadratne enačbe in označen s črko D. Od tu je jasno bistvo diskriminante - na podlagi njene vrednosti in predznaka sklepajo, ali ima kvadratna enačba prave korenine, in če jih ima, kakšno je njihovo število - ena ali dve.

Vrnimo se k enačbi in jo prepišemo z uporabo diskriminantnega zapisa: . In sklepamo:

• če D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• če je D=0, ima ta enačba en sam koren;
• končno, če je D>0, ima enačba dva korena ali, kar lahko prepišemo v obliki ali in po razširitvi in ​​redukciji ulomkov na skupni imenovalec prejmemo.

Tako smo izpeljali formule za korenine kvadratne enačbe, ki imajo obliko , kjer je diskriminanta D izračunana po formuli D=b 2 −4·a·c.

Z njihovo pomočjo, s pozitivno diskriminanto, lahko izračunate oboje prave korenine kvadratna enačba. Ko je diskriminant enak nič, dajeta obe formuli enako vrednost korena, ki ustreza edina rešitev kvadratna enačba. In kdaj negativna diskriminacija ko poskušamo uporabiti formulo za korenine kvadratne enačbe, se soočimo z ekstrakcijo kvadratnega korena iz negativno število, ki nas popelje onstran in šolski kurikulum. Z negativno diskriminanto kvadratna enačba nima pravih korenin, ima pa par kompleksen konjugat korenine, ki jih lahko najdemo z istimi korenskimi formulami, ki smo jih dobili.

Algoritem za reševanje kvadratnih enačb z uporabo korenskih formul

V praksi lahko pri reševanju kvadratnih enačb takoj uporabite korensko formulo za izračun njihovih vrednosti. Toda to je bolj povezano z iskanjem kompleksnih korenin.

Vendar pa v šolski tečaj navadno algebra govorimo o ne o kompleksnih, ampak o realnih korenih kvadratne enačbe. V tem primeru je priporočljivo, preden uporabite formule za korenine kvadratne enačbe, da najprej poiščete diskriminanco, se prepričate, da je nenegativna (sicer lahko sklepamo, da enačba nima pravih korenin), in šele nato izračunajte vrednosti korenin.

Zgornje sklepanje nam omogoča pisanje algoritem za reševanje kvadratne enačbe. Če želite rešiti kvadratno enačbo a x 2 +b x+c=0, morate:

• z diskriminantno formulo D=b 2 −4·a·c izračunaj njeno vrednost;
• sklepati, da kvadratna enačba nima realnih korenin, če je diskriminanta negativna;
• izračunajte edini koren enačbe po formuli, če je D=0;
• poiščite dva realna korena kvadratne enačbe z uporabo korenske formule, če je diskriminanta pozitivna.

Tukaj samo opazimo, da če je diskriminanta enaka nič, lahko uporabite tudi formulo, ki bo dala enako vrednost kot .

Lahko preidete na primere uporabe algoritma za reševanje kvadratnih enačb.

Primeri reševanja kvadratnih enačb

Razmislimo o rešitvah treh kvadratnih enačb s pozitivnimi, negativnimi in enako nič diskriminator. Ko bomo obravnavali njihovo rešitev, bo po analogiji mogoče rešiti katero koli drugo kvadratno enačbo. Začnimo.

Primer.

Poiščite korenine enačbe x 2 +2·x−6=0.

rešitev.

V tem primeru imamo naslednje koeficiente kvadratne enačbe: a=1, b=2 in c=−6. V skladu z algoritmom morate najprej izračunati diskriminanto; vstavimo navedene a, b in c v diskriminantno formulo, ki jo imamo D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Ker je 28>0, kar pomeni, da je diskriminanta večja od nič, ima kvadratna enačba dva realna korena. Poiščimo jih s korensko formulo, ki jo dobimo, tukaj lahko dobljene izraze poenostavite tako, da premikanje množitelja preko znaka korena sledi zmanjšanje frakcije:

odgovor:

Pojdimo k naslednjemu značilnemu primeru.

Primer.

Rešite kvadratno enačbo −4 x 2 +28 x−49=0 .

rešitev.

Začnemo z iskanjem diskriminatorja: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Zato ima ta kvadratna enačba en sam koren, ki ga najdemo kot , to je

odgovor:

x=3,5.

Ostaja še razmisliti o reševanju kvadratnih enačb z negativno diskriminanto.

Primer.

Rešite enačbo 5·y 2 +6·y+2=0.

rešitev.

Tukaj so koeficienti kvadratne enačbe: a=5, b=6 in c=2. Te vrednosti nadomestimo v diskriminantno formulo, ki jo imamo D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminanta je negativna, zato ta kvadratna enačba nima pravih korenin.

Če morate navesti kompleksne korenine, potem uporabimo dobro znano formulo za korenine kvadratne enačbe in izvedemo operacije s kompleksnimi števili:

odgovor:

pravih korenin ni, kompleksne korenine so: .

Še enkrat opozorimo, da če je diskriminant kvadratne enačbe negativen, potem v šoli običajno takoj zapišejo odgovor, v katerem navedejo, da ni pravih korenin, kompleksnih korenin pa ni.

Korenska formula za sode druge koeficiente

Formula za korenine kvadratne enačbe, kjer D=b 2 −4·a·c vam omogoča, da dobite formulo bolj kompaktne oblike, ki vam omogoča reševanje kvadratnih enačb s sodim koeficientom za x (ali preprosto z koeficient oblike 2·n, na primer, ali 14· ln5=2·7·ln5 ). Spravimo jo ven.

Recimo, da moramo rešiti kvadratno enačbo oblike a x 2 +2 n x+c=0. Poiščimo njegove korenine s formulo, ki jo poznamo. Da bi to naredili, izračunamo diskriminanco D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), nato pa uporabimo korensko formulo:

Izraz n 2 −a c označimo kot D 1 (včasih je označen z D "). Potem bo formula za korenine obravnavane kvadratne enačbe z drugim koeficientom 2 n imela obliko , kjer je D 1 =n 2 −a·c.

Lahko vidimo, da je D=4·D 1 ali D 1 =D/4. Z drugimi besedami, D 1 je četrti del diskriminante. Jasno je, da je predznak D 1 enak predznaku D . To pomeni, da je znak D 1 tudi indikator prisotnosti ali odsotnosti korenin kvadratne enačbe.

Če želite torej rešiti kvadratno enačbo z drugim koeficientom 2·n, potrebujete

• Izračunajte D 1 =n 2 −a·c ;
• Če D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Če je D 1 =0, izračunajte edini koren enačbe z uporabo formule;
• Če je D 1 >0, poiščite dva prava korena s pomočjo formule.

Razmislimo o rešitvi primera s korensko formulo, pridobljeno v tem odstavku.

Primer.

Rešite kvadratno enačbo 5 x 2 −6 x −32=0 .

rešitev.

Drugi koeficient te enačbe lahko predstavimo kot 2·(−3) . To pomeni, da lahko prepišete prvotno kvadratno enačbo v obliki 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, tukaj a=5, n=−3 in c=−32, in izračunate četrti del diskriminator: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Ker je njena vrednost pozitivna, ima enačba dva realna korena. Poiščimo jih z ustrezno korensko formulo:

Upoštevajte, da je bilo mogoče uporabiti običajno formulo za korenine kvadratne enačbe, vendar bi bilo v tem primeru treba opraviti več računskega dela.

odgovor:

Poenostavitev oblike kvadratnih enačb

Včasih, preden začnete izračunavati korenine kvadratne enačbe s pomočjo formul, ne škodi, če se vprašate: "Ali je mogoče poenostaviti obliko te enačbe?" Strinjam se, da bo v računskem smislu lažje rešiti kvadratno enačbo 11 x 2 −4 x−6=0 kot 1100 x 2 −400 x−600=0.

Običajno se poenostavitev oblike kvadratne enačbe doseže z množenjem ali deljenjem obeh strani z določenim številom. Na primer, v prejšnjem odstavku je bilo mogoče enačbo 1100 x 2 −400 x −600=0 poenostaviti tako, da obe strani delimo s 100.

Podobno transformacijo izvedemo s kvadratnimi enačbami, katerih koeficienti niso . V tem primeru običajno delimo obe strani enačbe z absolutne vrednosti njegove koeficiente. Za primer vzemimo kvadratno enačbo 12 x 2 −42 x+48=0. absolutne vrednosti njegovih koeficientov: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Če obe strani prvotne kvadratne enačbe delimo s 6, dobimo ekvivalentno kvadratno enačbo 2 x 2 −7 x+8=0.

Množenje obeh strani kvadratne enačbe se običajno izvede, da se znebimo delnih koeficientov. V tem primeru se množenje izvede z imenovalci njegovih koeficientov. Na primer, če obe strani kvadratne enačbe pomnožimo z LCM(6, 3, 1)=6, bo imela enostavnejšo obliko x 2 +4·x−18=0.

Za zaključek te točke ugotavljamo, da se skoraj vedno znebijo minusa pri najvišjem koeficientu kvadratne enačbe s spremembo predznakov vseh členov, kar ustreza množenju (ali deljenju) obeh strani z −1. Na primer, običajno gremo od kvadratne enačbe −2 x 2 −3 x+7=0 k rešitvi 2 x 2 +3 x−7=0 .

Povezava med koreni in koeficienti kvadratne enačbe

Formula za korene kvadratne enačbe izraža korene enačbe skozi njene koeficiente. Na podlagi korenske formule lahko dobite druge povezave med koreni in koeficienti.

Najbolj znane in uporabne formule iz Vietovega izreka so oblike in . Zlasti za dano kvadratno enačbo je vsota korenin enaka drugemu koeficientu z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je enak prostemu členu. Na primer, glede na obliko kvadratne enačbe 3 x 2 −7 x + 22 = 0 lahko takoj rečemo, da je vsota njenih korenin enaka 7/3, produkt korenin pa 22/3.

Z že zapisanimi formulami lahko dobimo še vrsto drugih povezav med koreni in koeficienti kvadratne enačbe. Na primer, vsoto kvadratov korenin kvadratne enačbe lahko izrazite prek njenih koeficientov: .

Reference.

• Algebra: učbenik za 8. razred. splošno izobraževanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Izobraževanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovič A. G. Algebra. 8. razred. Ob 14. uri 1. del Učbenik za študente izobraževalne ustanove/ A. G. Mordkovič. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.

V 8. razredu se šolarji pri pouku matematike seznanijo s pojmom "radikal" ali, preprosto povedano, "koren". Takrat so se prvič srečali s problemom poenostavljanja kompleksnih radikalov. Kompleksni radikali so izrazi, v katerih je en koren pod drugim. Zato jih včasih imenujemo ugnezdeni radikali. V tem članku mentor matematike in fizike podrobno govori o kako poenostaviti kompleksen radikal.

Metode za poenostavitev kompleksnih radikalov

Poenostaviti kompleksen radikal pomeni znebiti se zunanje korenine. Najbolje je, da začnete preučevati to temo s poenostavitvijo dvojnih radikalov. Konec koncev, če se naučimo poenostaviti dvojne radikale, potem bomo lahko poenostavili tudi bolj zapletene.

Kako se znebimo zunanje korenine? Jasno je, da morate za to preoblikovati radikalni izraz in ga predstaviti v obliki popolnega kvadrata. Za to bomo uporabili dobro znano formulo "Kvadrat razlike":

Tukaj, kot lahko vidite, ima negativni člen faktor na desni. Zato pojdimo ta faktor pod korenino. Da bi to naredili, ga predstavljamo kot izdelek:

Potem in. Ostaja le, da bodite pozorni na dejstvo, da . Zdaj lahko vidimo, da imamo pod korenom kvadrat razlike:

Zdaj pa si zapomnimo to. Točno modul. To je tukaj zelo pomembno, ker je kvadratni koren pozitivno število. Potem dobimo:

No, od title="Upodobljeno s QuickLaTeX.com" height="21" width="61" style="vertical-align: -3px;">, модуль раскрывается со знаком минус. В результате в ответе получаем:!}

Tako nam je uspelo poenostaviti ta radikal. Vendar je še več zapleteni primeri, ko ni mogoče takoj uganiti, kako predstaviti radikalni izraz v obliki popolnega kvadrata. Na primer v naslednjem primeru.

Da si ne boste dolgo razbijali možganov, lahko uporabite naslednjo metodo.

Naj vas spomnim, da je naš cilj predstaviti izraz pod korenom kot popoln kvadrat. Natančneje v tem primeru v obliki kvadrata vsote:

No, kvadrat vsote razkriva znana formula, o čemer smo danes že pisali:

Torej, ideja je v resnici vzeti iracionalni del radikalnega izraza za in racionalni del za. Nato dobimo naslednji sistem enačb:

Jasno je, da. V nasprotnem primeru druga enačba sistema ni izpolnjena. Nato izrazimo koeficient iz druge enačbe:

Imenovalec tega ulomka ni enak nič, kar pomeni, da je njegov števec enak nič. Dobimo bikvadratna enačba, ki je rešen na standarden način (več podrobnosti v priloženem videu). Če ga rešimo, dobimo kar 4 korenine. Lahko vzameš katerega koli. bolj mi je všeč. Potem. Torej, končno dobimo:

Tukaj je način za poenostavitev zapletenega radikala. Obstaja še ena. Za tiste, ki se radi spominjate kompleksne formule, kar nisem. Toda zaradi popolnosti vam bom povedal tudi o njem.

Formula kompleksnih radikalov

Tako izgleda formula:

Precej strašljivo, kajne? A ne bojte se, v nekaterih primerih ga je dejansko mogoče uspešno uporabiti. Poglejmo primer:

Ustrezne vrednosti zamenjamo v formulo:

To je odgovor.

Tako sem danes v razredu govoril o tem, kako poenostaviti kompleksen radikal. Če prej niste poznali metod, o katerih smo danes razpravljali, potem se morate najverjetneje še veliko naučiti, da se boste počutili samozavestni na Enotnem državnem izpitu ali sprejemni izpit v matematiki. Ampak ne skrbi, vsega te lahko naučim. Vse potrebne informacije o mojih predavanjih so na voljo. Vso srečo!

Gradivo je pripravil Sergey Valerievich

Radikalni izraz je algebrski izraz, ki je pod znakom korena (kvadrat, kubik ali več visokega reda). Včasih so lahko pomeni različnih izrazov enaki, na primer 1/(√2 - 1) = √2 + 1. Poenostavitev radikalnega izraza je namenjena temu, da ga pripelje do neke kanonične oblike zapisa. Če sta dva izraza, ki sta zapisana v kanonični obliki, še vedno različna, njuni vrednosti nista enaki. V matematiki velja, da kanonična oblika pisanje radikalnih izrazov (pa tudi izrazov s koreni) je v skladu z naslednjimi pravili:

• Če je mogoče, se znebite ulomka pod znakom korena
• Znebite se izraza frakcijski indikator
• Če je mogoče, se znebite korenov v imenovalcu
• Znebite se operacije množenja koren za korenom
• Pod znakom korena morate pustiti samo tiste izraze, iz katerih je nemogoče izluščiti koren celega števila

Ta pravila je mogoče uporabiti za testne naloge. Na primer, če ste rešili nalogo, vendar se rezultat ne ujema z nobenim od danih odgovorov, zapišite rezultat v kanonični obliki. Upoštevajte, da so odgovori na testne naloge so podane v kanonični obliki, tako da lahko, če rezultat zapišete v enaki obliki, zlahka določite pravilen odgovor. Če problem zahteva "poenostavitev odgovora" ali "poenostavitev radikalnih izrazov", je treba rezultat zapisati v kanonični obliki. Poleg tega kanonična oblika olajša reševanje enačb, čeprav je nekatere enačbe lažje rešiti, če za nekaj časa pozabite na kanonični zapis.

Koraki

Znebiti se polnih kvadratov in polnih kock

Znebiti se izraza z ulomljenim eksponentom

Pretvorite izraz z delnim eksponentom v radikalni izraz. Ali pa, če je potrebno, radikalni izraz pretvorite v ulomek, vendar nikoli ne mešajte takih izrazov v isti enačbi, na primer tako: √5 + 5^(3/2). Recimo, da se odločite za delo s koreninami; Kvadratni koren iz n bomo označili kot √n, kubični koren iz n pa kot kub√n.

Znebite se ulomkov pod znakom korena

Po kanonični obliki zapisa mora biti koren ulomka predstavljen kot deljenje korenov celih števil.

Poglejte radikalni izraz.Če je ulomek, pojdite na naslednji korak.

Zamenjajte koren ulomka z razmerjem obeh korenov v skladu z naslednjo identiteto:√(a/b) = √a/√b.

• Ne uporabljajte te identitete, če je imenovalec negativen ali vključuje spremenljivko, ki je lahko negativna. V tem primeru najprej poenostavite ulomek.

1. Poenostavite popolne kvadrate (če jih imate). Na primer, √(5/4) = √5/√4 = (√5)/2.

Odprava operacije množenja korenov

Znebiti se faktorjev, ki so popolni kvadrati

Postavite radikalno število z množitelji. Faktorji so nekatera števila, ki pri množenju dajo prvotno število. Na primer, 5 in 4 sta dva faktorja števila 20. Če korena celega števila ni mogoče izluščiti iz radikalnega števila, faktorizirajte število na možne faktorje in med njimi poiščite popoln kvadrat.

• Na primer, zapišite vse faktorje števila 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9 je faktor števila 45 (9 x 5 = 45) in popoln kvadrat (9 = 3^2).

1. Vzemite množitelj, ki je popoln kvadrat, čez znak korena. 9 je popoln kvadrat, ker je 3 x 3 = 9. Znebite se 9 pod znakom korena in napišite 3 pred znakom korena; pod korenskim znakom bo 5. Če postavite številko 3 pod korenski znak, se bo pomnožilo samo s seboj in s številom 5, to je 3 x 3 x 5 = 9 x 5 = 45. Torej, 3 √ 5 je poenostavljena oblika zapisa √45.

   • √45 = √(9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

2. Poiščite popoln kvadrat v radikalnem izrazu s spremenljivko. Zapomni si: √(a^2) = |a|. Tak izraz je mogoče poenostaviti na "a", vendar le, če ima spremenljivka pozitivne vrednosti. √(a^3) je mogoče razstaviti na √a * √(a^2), ker se pri množenju enakih spremenljivk njihovi eksponenti seštejejo (a * a^2 = a^3).

   • Tako je v izrazu a^3 popoln kvadrat a^2.

3. Izločite spremenljivko, ki je popoln kvadrat zunaj predznaka korena. Znebite se a^2 pod znakom korena in napišite "a" pred znakom korena. Tako je √(a^3) = a√a.

   Navedite podobne izraze in poenostavite morebitne racionalne izraze.

Znebiti se korenin v imenovalcu (racionalizacija imenovalca)

1. V skladu s kanonično obliko naj bi imenovalec, če je mogoče, vključeval samo cela števila (ali polinom, če je prisotna spremenljivka).

   • Če je imenovalec radikalni monom, kot je [števec]/√5, pomnožite števec in imenovalec s tem korenom: ([števec] * √5)/(√5 * √5) = ([števec] * √5 )/5.
     • V primeru kockasti koren ali koren v večji meri Pomnožite števec in imenovalec s korenom z radikalnim izrazom na ustrezno potenco, da racionalizirate imenovalec. Če je na primer imenovalec kocka √5, pomnožite števec in imenovalec s kocko √(5^2).
   • Če je imenovalec izraz vsote ali razlike kvadratni koren kot je √2 + √6, pomnožite števec in imenovalec s konjugiranim izrazom, to je izrazom z nasprotno znamenje med svojimi člani. Na primer: [števec]/(√2 + √6) = ([števec] * (√2 - √6))/((√2 + √6) * (√2 - √6)). Nato uporabite formulo razlike kvadratov ((a + b)(a - b) = a^2 - b^2), da racionalizirate imenovalec: (√2 + √6)(√2 - √6) = (√2 )^2 - (√6)^2 = 2 - 6 = -4.
     • Formulo razlike kvadratov lahko uporabimo tudi za izraz v obliki 5 + √3, ker je vsako celo število kvadratni koren drugega celega števila. Na primer: 1/(5 + √3) = (5 - √3)/((5 + √3)(5 - √3)) = (5 - √3)/(5^2 - (√3) ^ 2) = (5 - √3)/(25 - 3) = (5 - √3)/22
     • To metodo je mogoče uporabiti za vsoto kvadratnih korenov, kot je √5 - √6 + √7. Če ta izraz združite v obliki (√5 - √6) + √7 in ga pomnožite z (√5 - √6) - √7, se ne boste znebili korenov, ampak boste dobili izraz v obliki a + b * √30, kjer sta " a" in "b" monoma brez korena. Nato lahko dobljeni izraz pomnožimo z njegovim konjugatom: (a + b * √30)(a - b * √30), da se znebimo korenov. To pomeni, da če lahko konjugirani izraz uporabimo enkrat, da se znebimo določenega števila korenov, potem ga lahko uporabimo tolikokrat, kot je potrebno, da se znebimo vseh korenov.
     • Ta metoda je uporabna tudi za korenine več visoke stopnje, na primer na izraz "4. koren iz 3 plus 7. koren iz 9." V tem primeru pomnožite števec in imenovalec s konjugiranim izrazom imenovalca. Toda tukaj bo konjugirani izraz nekoliko drugačen od zgoraj opisanih. O tem primeru lahko preberete v učbenikih algebre.
2. Nekaterim preproste naloge Opisanih metod ni mogoče uporabiti. V primeru nekaterih kompleksne naloge te metode je treba uporabiti več kot enkrat. Korak za korakom poenostavite dobljene izraze in nato preverite, ali je končni odgovor zapisan v kanonični obliki, merila za katero so podana na samem začetku tega članka. Če je odgovor predstavljen v kanonični obliki, je problem rešen; sicer ponovno uporabite enega od opisanih načinov.
3. Za kompleksna števila praviloma velja kanonična oblika zapisa (i = √(-1)). Tudi če kompleksno število zapisano kot i in ne kot koren, je bolje, da se znebite i-ja v imenovalcu.
4. Nekatere tukaj opisane metode vključujejo delo s kvadratnimi koreni. Splošna načela enako za kubične korenine ali koreni višjih stopenj, vendar je zanje precej težko uporabiti nekatere metode (zlasti metodo racionalizacije imenovalca). Poleg tega vprašajte svojega učitelja o pravilnem zapisu korenov (kocka√4 ali kocka√(2^2)).
5. V nekaterih razdelkih tega članka je pojem "kanonična oblika" napačno uporabljen; tisto, o čemer bi morali v resnici govoriti, je "standardna oblika" zapisa. Razlika je v tem, da kanonična oblika zahteva pisanje bodisi 1 + √2 bodisi √2 +1; standardni obrazec pomeni, da sta oba izraza (1 + √2 in √2 +1) nedvomno enaka, tudi če ju zapišemo drugače. Tukaj z "zagotovo" mislimo na aritmetiko (seštevanje je komutativno) in ne algebraične lastnosti(√2 je nenegativen koren iz x^2-2).
6. Če se vam opisani načini zdijo dvoumni ali si nasprotujejo, izvedite dosledne in nedvoumne matematične operacije ter zapišite odgovor, kot zahteva učitelj ali kot je predpisano v učbeniku.

Cilj poenostavitve kvadratnega korena je, da ga prepišemo v obliki, ki jo je lažje uporabljati pri izračunih.

Faktoriziranje števila je iskanje dveh ali več števil, ki bodo ob množenju dali prvotno število, na primer 3 x 3 = 9. Z iskanjem faktorjev lahko kvadratni koren poenostavite ali pa se ga popolnoma znebite. Na primer, √9 = √(3x3) = 3.Če je radikalno število sodo, ga delite z 2.

Če je radikalno število liho, ga poskusite deliti s 3 (če število ni deljivo s 3, ga delite s 5, 7 in tako naprej po seznamu praštevil). Radikalno število razdelite izključno na praštevila, saj je vsako število mogoče faktorizirati na praštevila. Na primer, radikala vam ni treba deliti s 4, ker je 4 deljivo z 2 in ste radikal že delili z 2. Nalogo prepišite kot koren zmnožka dveh števil.