Koordinate in vektorji. Obsežen vodnik (2020)

Abscisna in ordinatna os se imenujeta koordinate vektor. Koordinate vektorjev so običajno navedene v obrazcu (x, y), sam vektor pa kot: =(x, y).

Formula za določanje vektorskih koordinat za dvodimenzionalne probleme.

V primeru dvodimenzionalnega problema je vektor z znano koordinate točk A(x 1;y 1) in B(x 2 ; l 2 ) se lahko izračuna:

= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Formula za določanje vektorskih koordinat za prostorske probleme.

V primeru prostorskega problema vektor z znanim koordinate točk A (x 1; y 1;z 1 ) in B (x 2 ; l 2 ; z 2 ) se lahko izračuna po formuli:

= (x 2 - x 1 ; l 2 - l 1 ; z 2 - z 1 ).

Koordinate zagotavljajo izčrpen opis vektorja, saj je mogoče s pomočjo koordinat sestaviti sam vektor. Poznavanje koordinat je enostavno izračunati in vektorska dolžina. (Lastnost 3 spodaj).

Lastnosti vektorskih koordinat.

1. Kateri koli enaki vektorji v enem samem koordinatnem sistemu imajo enake koordinate.

2. Koordinate kolinearni vektorji sorazmerno. Pod pogojem, da nobeden od vektorjev ni nič.

3. Kvadrat dolžine katerega koli vektorja je enak vsoti njegovih kvadratov koordinate.

4.Med operacijo vektorsko množenje na realno število vsaka njegova koordinata je pomnožena s tem številom.

5. Pri seštevanju vektorjev izračunamo vsoto pripadajočih vektorske koordinate.

6. Skalarni produkt dveh vektorjev je enaka vsoti zmnožkov njunih ustreznih koordinat.

12. Dolžina vektorja, dolžina odseka, kot med vektorji, pogoj pravokotnosti vektorjev.

Vektor – To je usmerjen segment, ki povezuje dve točki v prostoru ali ravnini. Vektorje običajno označujemo z malimi črkami ali z začetno in končno točko. Običajno je na vrhu pomišljaj.

Na primer vektor, usmerjen iz točke A do točke B, se lahko določi a ,

Ničelni vektor 0 ali 0 - To je vektor, katerega začetna in končna točka sovpadata, tj. A = B. Od tod, 0 = – 0 .

Dolžina vektorja (modul)a je dolžina segmenta, ki ga predstavlja AB, označeno z |a | . Zlasti | 0 | = 0.

Vektorji se imenujejo kolinearni, če njihovi usmerjeni segmenti ležijo na vzporednih premicah. Kolinearni vektorji a in b so določeni a || b .

Imenujejo se trije ali več vektorjev komplanaren, če ležijo v isti ravnini.

Vektorski dodatek. Ker so vektorji usmeril segmentov, potem lahko izvedemo njihovo dodajanje geometrijsko. (Algebraično seštevanje vektorjev je opisano spodaj, v odstavku “Enotski ortogonalni vektorji”). Pretvarjajmo se, da

a = AB in b = CD,

potem vektor __ __

a + b = AB+ CD

je rezultat dveh operacij:

a)vzporedni prenos enega od vektorjev tako, da njegova začetna točka sovpada s končno točko drugega vektorja;

b)geometrijski dodatek, tj. konstruiranje nastalega vektorja, ki poteka od začetne točke fiksnega vektorja do končne točke prenesenega vektorja.

Odštevanje vektorjev. Ta operacija je reducirana na prejšnjo z zamenjavo subtrahendnega vektorja z nasprotnim: a – b =a + (– b ) .

Zakoni seštevanja.

JAZ. a + b = b + a (Prehodni zakon).

II. (a + b ) + c = a + (b + c ) (Kombinativno pravo).

III. a + 0 = a .

IV. a + (– a ) = 0 .

Zakoni za množenje vektorja s številom.

JAZ. 1 · a = a , 0 · a = 0 , m· 0 = 0 , (– 1) · a = – a .

II. ma = a m,| ma | = | m | · | a | .

III. m(na ) = (mn)a . (Kom b et al

zakon množenja s številom).

IV. (m+n) a = ma + na , (DISTRIBUCIJSKI

m(a + b ) = ma +mb . zakon množenja s številom).

Točkovni produkt vektorjev. __ __

Kot med vektorji, ki niso nič AB in CD– to je kot, ki ga tvorita vektorja, ko se prenašata vzporedno, dokler se točke ne poravnata A in C. Točkovni produkt vektorjeva in b se imenuje število, ki je enako zmnožek njunih dolžin in kosinusa kota med njima:

Če je eden od vektorjev enak nič, potem je njihov skalarni produkt v skladu z definicijo enak nič:

(a, 0 ) = ( 0 , b ) = 0 .

Če oba vektorja nista nič, se kosinus kota med njima izračuna po formuli:

Skalarni produkt ( a , a ), enako | a | 2, imenovano skalarni kvadrat. Dolžina vektorja a in njegov skalarni kvadrat sta povezana z:

Pikčasti produkt dveh vektorjev:

- pozitivno, če je kot med vektorji začinjeno;

- negativno,če je kot med vektorji Top.

Skalarni produkt dveh neničelnih vektorjev je takrat enak nič in le takrat, ko je kot med njima ravni, tj. ko so ti vektorji pravokotni (ortogonalni):

Lastnosti skalarnega produkta. Za vse vektorje a, b, c in poljubno število m veljajo naslednje relacije:

JAZ. (a, b ) = (b, a ) . (prehodni zakon)

II. (ma, b ) = m(a, b ) .

III.(a+b,c ) = (a, c ) + (b, c ). (Distributivni zakon)

Enotski ortogonalni vektorji. V katerem koli pravokotnem koordinatnem sistemu lahko vnesete enota po paru pravokotni vektorjijaz , j in k povezana s koordinatnimi osemi: jaz – z osjo X, j – z osjo Y in k – z osjo Z. Po tej definiciji:

(jaz ,j ) = (jaz , k ) = (j , k ) = 0,

| jaz | =| j | =| k | = 1.

Kateri koli vektor a lahko izrazimo s temi vektorji na edinstven način: a = xi+ lj+ zk . Druga oblika zapisa: a = (x, y, z). Tukaj x, l, z - koordinate vektor a v tem koordinatnem sistemu. V skladu z zadnjo relacijo in lastnostmi enotskih ortogonalnih vektorjev jaz, j , k Skalarni produkt dveh vektorjev lahko izrazimo različno.

Pustiti a = (x, y, z); b = (u, v, š). Potem ( a, b ) = xu + yv + zw.

Skalarni produkt dveh vektorjev je enak vsoti produktov ustreznih koordinat.

Dolžina vektorja (modul) a = (x, l, z ) je enako:

Poleg tega imamo zdaj možnost dirigirati algebrski operacije na vektorjih, in sicer seštevanje in odštevanje vektorjev, se lahko izvajajo z uporabo koordinat:

a+ b = (x + u, y + v, z + w) ;

a – b = (x–u, y– v, z–w) .

Navzkrižni produkt vektorjev. Vektorska umetnina [a, b ] vektorjia inb (v tem vrstnem redu) imenujemo vektor:

Obstaja še ena formula za dolžino vektorja [ a, b ] :

| [ a, b ] | = | a | | b | greh( a, b ) ,

tj. dolžina ( modul ) vektorski produkt vektorjeva inb je enak produktu dolžin (modulov) teh vektorjev in sinusa kota med njima. Z drugimi besedami: dolžina (modul) vektorja[ a, b ] numerično enaka površini paralelograma, zgrajenega na vektorjih a inb .

Lastnosti vektorskega produkta.

JAZ. Vektor [ a, b ] pravokotno (ortogonalno) oba vektorja a in b .

(Dokažite, prosim!).

II.[ a, b ] = – [b, a ] .

III. [ ma, b ] = m[a, b ] .

IV. [ a+b,c ] = [ a, c ] + [ b, c ] .

V. [ a, [ b, c ] ] = b (a , c ) – c (a, b ) .

VI. [ [ a, b ] , c ] = b (a , c ) – a (b, c ) .

Potreben in zadosten pogoj za kolinearnost vektorji a = (x, y, z) In b = (u, v, š) :

Potreben in zadosten pogoj za komplanarnost vektorji a = (x, y, z), b = (u, v, š) In c = (p, q, r) :

PRIMER Vektorji so podani: a = (1, 2, 3) in b = (– 2 , 0 ,4).

Izračunajte njihov pikčasti in križni produkt ter kot

med temi vektorji.

Rešitev Z uporabo ustreznih formul (glej zgoraj) dobimo:

a). skalarni produkt:

(a, b ) = 1 · (– 2) + 2 · 0 + 3 · 4 = 10 ;

b). vektorski izdelek:

Iskanje koordinat vektorja je precej pogost pogoj za številne probleme v matematiki. Sposobnost iskanja vektorskih koordinat vam bo pomagala pri drugih, bolj zapletenih problemih s podobnimi temami. V tem članku si bomo ogledali formulo za iskanje vektorskih koordinat in več problemov.

Iskanje koordinat vektorja v ravnini

Kaj je letalo? Ravnina se šteje za dvodimenzionalni prostor, prostor z dvema dimenzijama (dimenzija x in dimenzija y). Na primer, papir je ploščat. Površina mize je ravna. Vsaka nevolumetrična figura (kvadrat, trikotnik, trapez) je tudi ravnina. Torej, če morate v izjavi o problemu najti koordinate vektorja, ki leži na ravnini, se takoj spomnimo na x in y. Koordinate takega vektorja najdete takole: Koordinate AB vektorja = (xB – xA; yB – xA). Formula kaže, da morate od koordinat končne točke odšteti koordinate začetne točke.

primer:

• Vektor CD ima začetno (5; 6) in končno (7; 8) koordinato.
• Poiščite koordinate samega vektorja.
• Z uporabo zgornje formule dobimo naslednji izraz: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Tako so koordinate vektorja CD = (2; 2).
• V skladu s tem je koordinata x enaka dve, koordinata y je prav tako dve.

Iskanje koordinat vektorja v prostoru

Kaj je prostor? Prostor je že tridimenzionalna dimenzija, kjer so podane 3 koordinate: x, y, z. Če morate najti vektor, ki leži v prostoru, se formula praktično ne spremeni. Dodana je samo ena koordinata. Če želite najti vektor, morate od končnih koordinat odšteti koordinate začetka. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

primer:

• Vektor DF ima začetni (2; 3; 1) in končni (1; 5; 2).
• Z uporabo zgornje formule dobimo: Vektorske koordinate DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Ne pozabite, da je vrednost koordinate lahko negativna, ni problema.

Kako najti vektorske koordinate na spletu?

Če iz nekega razloga ne želite sami najti koordinat, lahko uporabite spletni kalkulator. Za začetek izberite vektorsko dimenzijo. Dimenzija vektorja je odgovorna za njegove dimenzije. Dimenzija 3 pomeni, da je vektor v prostoru, dimenzija 2 pomeni, da je v ravnini. Nato vstavite koordinate točk v ustrezna polja in program vam bo sam določil koordinate vektorja. Vse je zelo preprosto.

S klikom na gumb se bo stran samodejno pomaknila navzdol in vam ponudila pravilen odgovor skupaj s koraki rešitve.

Priporočljivo je, da to temo dobro preučite, saj koncept vektorja najdemo ne samo v matematiki, ampak tudi v fiziki. Temo vektorjev preučujejo tudi študenti Fakultete za informacijsko tehnologijo, vendar na kompleksnejši ravni.

1. Definicija vektorja. Dolžina vektorja. Kolinearnost, komplanarnost vektorjev.

Vektor je usmerjen segment. Dolžina ali modul vektorja je dolžina ustreznega usmerjenega segmenta.

Vektorski modul a označeno z . Vektor a se imenuje enota, če . Vektorji se imenujejo kolinearni, če so vzporedni z isto premico. Vektorji se imenujejo koplanarni, če so vzporedni z isto ravnino.

2. Množenje vektorja s številom. Lastnosti delovanja.

Če vektor pomnožimo s številom, dobimo nasprotno usmerjen vektor, ki je dvakrat daljši. Množenje vektorja s številom v koordinatni obliki se izvede tako, da se vse koordinate pomnožijo s tem številom:

Na podlagi definicije dobimo izraz za modul vektorja, pomnožen s številom:

Podobno kot pri številih lahko operacijo dodajanja vektorja samemu sebi zapišemo z množenjem s številom:

In odštevanje vektorjev je mogoče prepisati s seštevanjem in množenjem:

Na podlagi dejstva, da množenje z ne spremeni dolžine vektorja, temveč le smer, in ob upoštevanju definicije vektorja dobimo:

3. Seštevanje vektorjev, odštevanje vektorjev.

V koordinatni predstavitvi vektor vsote dobimo s seštevanjem ustreznih koordinat členov:

Za geometrijsko konstrukcijo vektorja vsote se uporabljajo različna pravila (metode), ki pa dajejo enak rezultat. Uporaba enega ali drugega pravila je utemeljena s problemom, ki ga rešujemo.

Pravilo trikotnika

Pravilo trikotnika najbolj naravno izhaja iz razumevanja vektorja kot prenosa. Jasno je, da bo rezultat zaporedne uporabe dveh prenosov na določeni točki enak kot pri uporabi enega prenosa naenkrat, kar ustreza temu pravilu. Če želite dodati dva vektorja v skladu s pravilom trikotnik oba vektorja se preneseta vzporedno sama s seboj, tako da začetek enega od njiju sovpada s koncem drugega. Potem je vsota vektorja podana s tretjo stranico nastalega trikotnika, njen začetek pa sovpada z začetkom prvega vektorja, njegov konec pa s koncem drugega vektorja.

To pravilo je mogoče neposredno in naravno posplošiti na dodajanje poljubnega števila vektorjev, ki se spremenijo v pravilo lomljene črte:

Pravilo mnogokotnika

Začetek drugega vektorja sovpada s koncem prvega, začetek tretjega s koncem drugega in tako naprej, vsota vektorjev je vektor, pri čemer začetek sovpada z začetkom prvega, in konec, ki sovpada s koncem th (to pomeni, da je upodobljen z usmerjenim segmentom, ki zapira prekinjeno črto) . Imenuje se tudi pravilo prelomljene črte.

Pravilo paralelograma

Če želite dodati dva vektorja in v skladu s pravilom paralelogram oba vektorja se preneseta vzporedno sama s seboj, tako da njuna izhodišča sovpadajo. Nato je vsota vektorja podana z diagonalo paralelograma, zgrajenega na njih, izhajajoč iz njihovega skupnega izhodišča. (Zlahka je videti, da ta diagonala sovpada s tretjo stranjo trikotnika, če uporabimo pravilo trikotnika).

Pravilo paralelograma je še posebej priročno, ko je treba prikazati vektor vsote, kot je takoj uporabljen na isti točki, na katero sta uporabljena oba izraza - to je, da prikažemo vse tri vektorje, kot da imajo skupno izhodišče.

Modul vektorske vsote

Modul vsote dveh vektorjev se lahko izračuna z uporabo kosinusni izrek:

Kje je kosinus kota med vektorjema.

Če so vektorji upodobljeni v skladu s pravilom trikotnika in je kot vzet po risbi - med stranicami trikotnika - kar ne sovpada z običajno definicijo kota med vektorji in zato s kotom v zgornjem formule, potem zadnji člen dobi znak minus, kar ustreza kosinusnemu izreku v njegovi neposredni formulaciji.

Za vsoto poljubnega števila vektorjev uporabna je podobna formula, v kateri je več členov s kosinusom: en tak člen obstaja za vsak par vektorjev iz seštete množice. Na primer, za tri vektorje je formula videti takole:

Vektorsko odštevanje

Dva vektorja in njun diferenčni vektor

Če želite dobiti razliko v koordinatni obliki, morate odšteti ustrezne koordinate vektorjev:

Da bi dobili vektor razlike, so začetki vektorjev povezani in začetek vektorja bo konec, konec pa bo konec. Če ga zapišemo z vektorskimi točkami, potem.

Modul vektorske razlike

Trije vektorji, kot pri seštevanju, tvorijo trikotnik in izraz za modul razlike je podoben:

kjer je kosinus kota med vektorjema

Razlika od formule za modul vsote je v znaku pred kosinusom, v tem primeru morate skrbno spremljati, kateri kot je vzet (različica formule za modul vsote s kotom med stranice trikotnika pri seštevanju po pravilu trikotnika se po obliki ne razlikujejo od te formule za modul razlike, vendar morate imeti Upoštevajte, da so tukaj vzeti različni koti: v primeru vsote je kot vzeto, ko se vektor prenese na konec vektorja; ko se išče diferenčni model, se vzame kot med vektorji, uporabljenimi na eno točko; izraz za modul vsote z uporabo istega kota kot v danem izrazu za modul razlike, se razlikuje v predznaku pred kosinusom).

Najprej moramo razumeti koncept samega vektorja. Da bi predstavili definicijo geometrijskega vektorja, se spomnimo, kaj je segment. Predstavimo naslednjo definicijo.

Definicija 1

Odsek je del črte, ki ima dve meji v obliki točk.

Odsek ima lahko 2 smeri. Za označevanje smeri bomo eno od mej odseka imenovali njen začetek, drugo mejo pa njen konec. Smer je navedena od začetka do konca segmenta.

Definicija 2

Vektor ali usmerjen segment bo segment, za katerega je znano, katera od meja segmenta se šteje za začetek in katera je njegov konec.

Oznaka: Z dvema črkama: $\overline(AB)$ – (kjer je $A$ njen začetek, $B$ pa njen konec).

Z eno malo črko: $\overline(a)$ (slika 1).

Zdaj pa neposredno predstavimo koncept vektorskih dolžin.

Definicija 3

Dolžina vektorja $\overline(a)$ bo enaka dolžini segmenta $a$.

Zapis: $|\overline(a)|$

Koncept dolžine vektorja je na primer povezan s konceptom enakosti dveh vektorjev.

Definicija 4

Dva vektorja bomo imenovali enaka, če izpolnjujeta dva pogoja: 1. sta sosmerna; 1. Njuni dolžini sta enaki (slika 2).

Za definiranje vektorjev vnesemo koordinatni sistem in v vnesenem sistemu določimo koordinate za vektor. Kot vemo, lahko vsak vektor razložimo v obliki $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, kjer sta $m$ in $n$ realni števili, $\overline (i )$ in $\overline(j)$ sta enotska vektorja na osi $Ox$ oziroma $Oy$.

Definicija 5

Raztezne koeficiente vektorja $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ bomo imenovali koordinate tega vektorja v predstavljenem koordinatnem sistemu. Matematično:

$\overline(c)=(m,n)$

Kako najti dolžino vektorja?

Če želite izpeljati formulo za izračun dolžine poljubnega vektorja glede na njegove koordinate, upoštevajte naslednjo težavo:

Primer 1

Podano: vektor $\overline(α)$ s koordinatami $(x,y)$. Poišči: dolžino tega vektorja.

Vstavimo na ravnino kartezični koordinatni sistem $xOy$. Odložimo $\overline(OA)=\overline(a)$ od izvora vpeljanega koordinatnega sistema. Konstruirajmo projekciji $OA_1$ in $OA_2$ konstruiranega vektorja na osi $Ox$ oziroma $Oy$ (slika 3).

Vektor $\overline(OA)$, ki smo ga sestavili, bo polmerni vektor za točko $A$, zato bo imel koordinate $(x,y)$, kar pomeni

$=x$, $[OA_2]=y$

Zdaj lahko enostavno najdemo zahtevano dolžino s pomočjo Pitagorovega izreka, dobimo

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

Odgovor: $\sqrt(x^2+y^2)$.

Zaključek: Da bi našli dolžino vektorja, katerega koordinate so podane, je treba najti koren kvadrata vsote teh koordinat.

Vzorčne naloge

Primer 2

Poiščite razdaljo med točkama $X$ in $Y$, ki imata naslednje koordinate: $(-1,5)$ oziroma $(7,3)$.

Katerikoli dve točki lahko enostavno povežemo s pojmom vektorja. Vzemimo na primer vektor $\overline(XY)$. Kot že vemo, lahko koordinate takega vektorja najdemo tako, da od koordinat končne točke ($Y$) odštejemo ustrezne koordinate začetne točke ($X$). To razumemo