Kako najti tangento 45 stopinj.

Tabele vrednosti sinusov (sin), kosinusov (cos), tangensov (tg), kotangensov (ctg) so močno in uporabno orodje, ki pomaga pri reševanju številnih problemov, tako teoretičnih kot uporabnih. V tem članku bomo podali tabelo osnovnih trigonometričnih funkcij (sinusov, kosinusov, tangensov in kotangensov) za kote 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 stopinj (0, π 6, π 3, π 2,... ., 2 π radiana). Prikazane bodo tudi ločene Bradisove tabele za sinuse in kosinuse, tangente in kotangense z razlago, kako jih uporabiti za iskanje vrednosti osnovnih trigonometričnih funkcij.

Tabela osnovnih trigonometričnih funkcij za kote 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 stopinj

Na podlagi definicij sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa lahko najdete vrednosti teh funkcij za kota 0 in 90 stopinj

sin 0 = 0, cos 0 = 1, t g 0 = 0, ničelni kotangens ni definiran,

sin 90° = 1, cos 90° = 0, c t g 90° = 0, tangens devetdeset stopinj ni definiran.

Vrednosti sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov v tečaju geometrije so opredeljene kot razmerje strani pravokotnega trikotnika, katerega koti so 30, 60 in 90 stopinj ter tudi 45, 45 in 90 stopinj.

Definiranje trigonometričnih funkcij za ostri kot v pravokotnem trikotniku

Sinus- razmerje med nasprotno stranico in hipotenuzo.

Kosinus- razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo.

Tangenta- razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.

Kotangens- razmerje med sosednjo stranjo in nasprotno stranjo.

V skladu z definicijami se najdejo vrednosti funkcij:

sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 , sin 45 ° = 2 2 , cos 45 ° = 2 2 , t g 45 ° = 1 , c t g 45 ° = 1, sin 60° = 3 2, cos 45° = 1 2, tg 45° = 3, c tg 45° = 3 3.

Postavimo te vrednosti v tabelo in jo imenujemo tabela osnovnih vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa.

Tabela osnovnih vrednosti sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov

Ena od pomembnih lastnosti trigonometričnih funkcij je periodičnost. Na podlagi te lastnosti je to tabelo mogoče razširiti z uporabo redukcijskih formul. Spodaj predstavljamo razširjeno tabelo vrednosti glavnih trigonometričnih funkcij za kote 0, 30, 60, ... , 120, 135, 150, 180, ... , 360 stopinj (0, π 6, π 3 , π 2, ... , 2 π radianov).

Tabela sinusov, kosinusov, tangensov in kotangensov

Periodičnost sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa vam omogoča, da to tabelo razširite na poljubno velike vrednosti kotov. Vrednosti, zbrane v tabeli, se najpogosteje uporabljajo pri reševanju problemov, zato je priporočljivo, da si jih zapomnite.

Kako uporabljati tabelo osnovnih vrednosti trigonometričnih funkcij

Načelo uporabe tabele vrednosti sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov je jasno na intuitivni ravni. Presečišče vrstice in stolpca poda vrednost funkcije za določen kot.

Primer. Kako uporabljati tabelo sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov

Ugotoviti moramo, čemu je enak sin 7 π 6

V tabeli najdemo stolpec, katerega vrednost zadnje celice je 7 π 6 radianov – enako kot 210 stopinj. Nato izberemo izraz tabele, v kateri so predstavljene vrednosti sinusov. Na presečišču vrstice in stolpca najdemo želeno vrednost:

sin 7 π 6 = - 1 2

mize Bradis

Bradisova tabela omogoča izračun vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa ali kotangensa z natančnostjo 4 decimalnih mest brez uporabe računalniške tehnologije. To je neke vrste zamenjava za inženirski kalkulator.

Referenca

Vladimir Modestovič Bradis (1890 - 1975) - sovjetski matematik-učitelj, od leta 1954 dopisni član Akademije pedagoških znanosti ZSSR. Tabele štirimestnih logaritmov in naravnih trigonometričnih količin, ki jih je razvil Bradis, so bile prvič objavljene leta 1921.

Najprej predstavljamo Bradisovo tabelo za sinuse in kosinuse. Omogoča vam, da precej natančno izračunate približne vrednosti teh funkcij za kote, ki vsebujejo celo število stopinj in minut. Skrajni levi stolpec tabele predstavlja stopinje, zgornja vrstica pa minute. Upoštevajte, da so vse vrednosti kotov Bradisove tabele večkratniki šestih minut.

Bradisova tabela za sinuse in kosinuse

Za iskanje vrednosti sinusov in kosinusov kotov, ki niso predstavljeni v tabeli, je treba uporabiti popravke.

Zdaj predstavljamo Bradisovo tabelo za tangente in kotangense. Vsebuje vrednosti tangentov kotov od 0 do 76 stopinj in kotangensov kotov od 14 do 90 stopinj.

Bradisova tabela za tangens in kotangens

Kako uporabljati Bradis tabele

Razmislite o Bradisovi tabeli za sinuse in kosinuse. Vse, kar je povezano s sinusi, je na vrhu in levo. Če potrebujemo kosinuse, poglejmo desno stran na dnu tabele.

Če želite najti vrednosti sinusa kota, morate najti presečišče vrstice, ki vsebuje zahtevano število stopinj v skrajni levi celici, in stolpca, ki vsebuje zahtevano število minut v zgornji celici.

Če točne vrednosti kota ni v Bradisovi tabeli, se zatečemo k popravkom. Popravki za eno, dve in tri minute so podani v skrajno desnih stolpcih tabele. Za iskanje vrednosti sinusa kota, ki ga ni v tabeli, poiščemo vrednost, ki mu je najbližja. Nato dodamo ali odvzamemo popravek, ki ustreza razliki med koti.

Če iščemo sinus kota, ki je večji od 90 stopinj, moramo najprej uporabiti redukcijske formule in šele nato Bradisovo tabelo.

Primer. Kako uporabljati tabelo Bradis

Recimo, da moramo najti sinus kota 17 ° 44 ". S tabelo ugotovimo, čemu je enak sinus 17 ° 42 ", in njegovi vrednosti dodamo popravek dveh minut:

17°44" - 17°42" = 2" (potreben popravek) sin 17°44" = 0. 3040 + 0 . 0006 = 0. 3046

Načelo dela s kosinusi, tangenti in kotangensi je podobno. Vendar je pomembno zapomniti znak sprememb.

Pomembno!

Pri izračunu vrednosti sinusov ima popravek pozitiven predznak, pri izračunu kosinusov pa je treba popravek vzeti z negativnim predznakom.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Osnovne trigonometrične funkcije vključujejo: sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans in kosekans. Na podlagi tega je tangens kota v trigonometriji definiran kot trigonometrična funkcija, ki izraža razmerje med sinusom tega kota in kosinusom istega kota. Če je treba določiti tangens ostrega kota v pravokotnem trikotniku, ga je mogoče izračunati geometrijsko, saj bo tangenta v tem primeru enaka razmerju med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo pravokotnega trikotnika. Sam izraz "tangenta" je izposojen iz latinskega jezika, njegov dobesedni prevod pomeni "dotikanje". Tangenta je označena z latinskimi črkami. Tangens kota x bo označen kot "tg x", čeprav zahodni matematiki tradicionalno označujejo tangens z okrajšavo angleške besede: tangens kota x je tam označen kot "tan x".

Kolikšen je tangens 30 stopinj?

Na podlagi dejstva, da je tangens kota enak razmerju med sinusom kota in kosinusom istega kota, lahko dobimo tangens kota 30 stopinj tako, da vrednost sinusa kota delimo z 30 stopinj za vrednost kosinusa istega kota. Tangens bo enak 0,5774.

Kaj je tangens 60 stopinj?

Tangens kota 60 stopinj se izračuna na podoben način: če sinus kota 60 stopinj delimo s kosinusom istega kota, dobimo število 1,7321, kar je tangens 60 stopinj.

Kaj je tangens 45 stopinj?

Ker je vrednost sinusa kota 45 stopinj enaka vrednosti kosinusa istega kota, vrednost tangensa kota 45 stopinj, dobljena z deljenjem sinusa s kosinusom, daje eno (tangens je enako 1).

Kaj je tangens 90 stopinj?

Tangensa kota 90 stopinj je nemogoče izračunati, saj je kosinus kota 90 stopinj enak nič, eno od osnovnih pravil deljenja pa je pravilo, da »ne moreš deliti z nič«, medtem ko je tangento v tem primeru dobimo tako, da sinus delimo s kosinusom, to je na nič. Vrednost tangente 90 stopinj ni določena.

Kaj je tangens 120 stopinj?

Podobno lahko z izračunom tangensa kota 120 stopinj dobite število -1,7321 (negativno), ki bo tangens kota 120 stopinj.

Kaj je tangenta 0 stopinj?

Ker je sinus kota 0 stopinj enak nič, kosinus istega kota pa 1, dobimo tangens tako, da nič delimo z ena, kar da 0. Tangens 0 stopinj je torej enako 0.

Kaj je tangens 135 stopinj?

Tangens 135 stopinj je enak -1 (minus ena) z uporabo podobnega računa.

Opomba: Poglej tudi tabela vrednosti trigonometričnih funkcij drugi koti.

Sinus, kosinus, tangens kota 45 stopinj (sin 45, cos 45, tg 45)

Vrednosti tabele za sinus 45, kosinus 45 in tangens 45 stopinj označeno. Sledi razlaga načina in pravilnosti izračuna teh vrednosti za poljuben pravokotni trikotnik.

45 stopinj je π/4 radianov. Formule za vrednosti kosinusa, sinusa in tangensa pi/4 radianov so podane spodaj (čeprav so enake).
To je npr. tan π/4 = tan 45 stopnje

VREDNOSTI TRIGONOMETRIČNIH FUNKCIJ PRI α=45°

Kako samostojno izračunati vrednosti sin cos tg 45 stopinj?

Konstruirajmo in obravnavajmo pravokotni trikotnik ABC, katerega kot ∠ B = 45°. Na podlagi razmerja njegovih stranic izračunamo vrednosti trigonometričnih funkcij v pravokotnem trikotniku za kot 45 stopinj. Ker je trikotnik pravokoten, bodo vrednosti funkcij sinusa, kosinusa in tangensa enake razmerju njegovih ustreznih strani.

Ker so vrednosti funkcij sinusa, kosinusa in tangente odvisne izključno od stopinjske mere kota (ali vrednosti, izražene v radianih), bodo razmerja, ki smo jih našli, vrednosti funkcije sinusa 45, kosinusa 45 in tangenta 45 stopinj.

Glede na lastnosti pravokotnega trikotnika je kot C pravi in ​​enak 90 stopinj. Sprva smo konstruirali kot B s stopinjsko mero 45 stopinj. Poiščimo vrednost kota A. Ker je vsota kotov trikotnika 180 stopinj, torej

∠ A+ ∠ B + ∠ C = 180°
Kot C je pravi in ​​enak 90 stopinj, kot B smo sprva definirali kot 45 stopinj, torej:
∠ A = 180° - ∠ Z - ∠ B = 180° - 90° - 45° = 45°

Ker ima ta trikotnik dva medsebojno enaka kota, je trikotnik ABC enak pravokoten in hkrati enakokrak, v kateri sta obe nogi enaki drug drugemu: AC = BC.

Predpostavimo, da je dolžina stranic enaka določenemu številu AC = BC = a. Če poznamo dolžine nog, izračunamo dolžino hipotenuze.

Po Pitagorovem izreku: AB 2 = AC 2 + BC 2
Zamenjajmo dolžini AC in BC s spremenljivko a, potem dobimo:

AB 2 = a 2 + a 2 = 2a 2,

potem je AB=a √ 2.

Kot rezultat smo izrazili dolžine vseh stranic pravokotni trikotnik s kotom 45 stopinj skozi spremenljivko a.

Glede na lastnosti trigonometričnih funkcij v pravokotnem trikotniku razmerje ustreznih stranic trikotnika bo enako vrednosti ustreznih funkcij. Tako je za kot α = 45 stopinj:

sin α = BC / AB(po definiciji sinusa pravokotnega trikotnika je to razmerje nasprotnega kraka s hipotenuzo, BC - krak, AB - hipotenuza)

cos α = AC / AB(po definiciji kosinusa je to razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo, AC je krak, AB je hipotenuza)

tg α = BC / AC(podobno bo tangenta za kot α enaka razmerju med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo)

Namesto da bi označili stranice, zamenjamo vrednosti njihovih dolžin s spremenljivko a.

Na podlagi tega (glej tabelo vrednosti sin 45, cos 45, tg 45) dobimo:

Vrednosti tabele sin 45, cos 45, tg 45(to je vrednost sinus 45, kosinus 45 in tangens 45 stopinj lahko izračunamo kot razmerje ustreznih stranic danega trikotnika), zgoraj izračunane vrednosti dolžin stranic nadomestimo v formule in dobimo rezultat na spodnji sliki.

Vrednosti tabele: sinus 45, kosinus 45 in tangens 45 stopinj

Torej:

• tangens 45 stopinj je enak ena
• sinus 45 stopinj je enak kosinusu 45 stopinj in je enak korenu iz dva na pol (enako kot ena deljeno s korenom iz dva)

Kot je razvidno iz zgornjih izračunov, za izračun vrednosti ustrezne trigonometrične funkcije niso pomembne dolžine strani trikotnika, temveč njihovo razmerje, ki je vedno enako za enake kote. , ne glede na velikost posameznega trikotnika.

Sinus, kosinus in tangens π/4 radianov

V nalogah, predlaganih za reševanje v srednji šoli in na eksternem izobraževalnem preizkusu/enotnem državnem izpitu, se namesto stopinjske mere kota pogosto sreča z navedbo njegove velikosti, merjene v radianih. Mera kota, izražena v radianih, temelji na številu pi, ki izraža odvisnost obsega kroga od njegovega premera.

Za lažje razumevanje priporočam, da si zapomnite preprost princip za pretvorbo stopinj v radiane. Premer kroga pokriva lok 180 stopinj. Tako bo pi radian enak 180 stopinjam. Od koder je enostavno pretvoriti katero koli stopinjsko mero kota v radiane in obratno.

Upoštevajmo to Kot 45 stopinj, izražen v radianih, je enako (180 / 45 = 4) π/4 (pi krat štiri). Zato so vrednosti, ki smo jih našli, pravilne za enako stopinjsko mero kota, izraženo v radianih:

• tangenta π/4(pi na štiri) je enako ena
• sinus π/4(pi krat štiri) stopinj je enako kosinus π/4 stopinj in je enak korenu iz dva na pol

Tangentna tabela je ena izmed štirih najpogosteje uporabljenih trigonometričnih tabel v knjigi Bradis Table Book. Čeprav sta tangens in kotangens v bistvu izpeljanki sinusa in kosinusa, je pogosto koristno imeti že pripravljene izračunane vrednosti za tangente.

Trigonometrične funkcije in njihov pomen pri študiju geometrije

V geometriji imajo posebno vlogo trigonometrične funkcije, s pomočjo katerih ugotavljajo, kako so stranice in koti pravokotnega trikotnika med seboj povezani. Seveda pa trigonometrija ne miruje in je od Evklidovih časov močno stopila naprej in sedaj lahko te funkcije izrazimo z rešitvijo diferencialnih enačb.

Trenutno v uporabi šest zapisov za osnovne trigonometrične funkcije , in štiri od šestih funkcij, ki so zadnje v vrsti, je mogoče določiti ne le z uporabo geometrije.

Sinus (greh)

Kosinus (ker)

Tangenta (tg/tan)

Kotangens (ctg/posteljica)

Sekant (s)

Kosekans (cosec/csc) .

Razmislimo o samem pravokotnem trikotniku; oznake za njegove strani in kote v vseh referenčnih knjigah so kot običajno standardne, ne glede na to, na kateri strani leži na ravnini.

V tem trikotniku so trije koti, označeni z α, β, γ, pri čemer je γ vedno 90°. Stran, ki leži nasproti pravega kota γ, se imenuje hipotenuza, označena je s črko C. Kot α, od katerega se začnejo vsi izračuni, se nahaja nasproti strani a / BC /, ki se imenuje nasproti tega kota, in stran b / AC /, ki je v bližini, podvržen temu kotu in se imenuje sosednji.

Po evklidski teoriji, ki še vedno drži (in bo vedno veljala), bo vsota kotov takšnega trikotnika, ki je v isti ravnini, enaka 180 oziroma številu π. In vrednost katerega koli kota bo med 0 in π /2.

Nato lahko trigonometrične funkcije izrazimo z dimenzijami stranic tega trikotnika. Ker je kot α prvi tako v grški abecedi kot v našem trikotniku, začnemo spoznavanje funkcij skozi ta kot.

• Sinus α je izraženo z razmerjem noge, ki leži nasproti tega kota, s hipotenuzo našega trikotnika, to je sin α = a: c.
• Kosinus α je izražena z razmerjem kraka, ki meji na kot α, in hipotenuze c, cos α = b: c. Mimogrede, sin β = α: с, kar nam omogoča, da sprejmemo, da je sin α enak cos β in je zato sin β enak cos α.
• Tangenta α enaka kvocientu razmerja nasprotne stranice a proti sosednji stranici b : tg α = a: b.
• Kotangens kota α zato je enako ctg α = b: a.
• Sekans kota α je razmerje med hipotenuzo trikotnika in krakom, ki meji na ta kot sec α = c: b.
• Kosekans kota α je razmerje med hipotenuzo trikotnika in krakom, ki je nasproti kotu, cosecα = c: a.

Te funkcije je mogoče izraziti tudi skozi krog z določitvijo koordinatnega sistema. Postavimo koordinatni sistem s središčem v točki O. Kot, za katerega je zasukan segment OA, prikazan na risbi, bo veljal za poljuben, imenujemo ga θ.

Takrat se šteje, da je tangens tega kota θ razmerje med ordinato točke A na krožnici in njeno absciso. Če je torej ctg α = b: a in AC = sin θ, OS = cos θ, potem je tanθ = sin θ: cos θ. Podobno dobimo cos θ = cos θ: sin θ ali 1: tanθ.

Spletni kalkulator za izračun tangensa kota