Kako najti simetralo pravokotnice. Circumcircle

V prejšnji lekciji smo si ogledali lastnosti simetrale kota, zaprtega v trikotnik in prostega. Trikotnik ima tri kote in za vsakega od njih so ohranjene obravnavane lastnosti simetrale.

Izrek:

Simetrale AA 1, BB 1, СС 1 trikotnika se sekajo v eni točki O (slika 1).

riž. 1. Ponazoritev izreka

Dokaz:

Najprej si oglejmo simetrali BB 1 in CC 1. Sekajo se, presečišče O obstaja. Da bi to dokazali, predpostavimo nasprotno: naj se dani simetrali ne sekata, v tem primeru sta vzporedni. Potem je premica BC sekanta in vsota kotov je , To je v nasprotju z dejstvom, da je v celotnem trikotniku vsota kotov .

Torej, točka O presečišča dveh simetral obstaja. Razmislimo o njegovih lastnostih:

Točka O leži na simetrali kota, kar pomeni, da je enako oddaljena od njegovih stranic BA in BC. Če je OK pravokotna na BC, OL pravokotna na BA, potem sta dolžini teh navpičnic enaki - . Tudi točka O leži na simetrali kota in je enako oddaljena od njegovih stranic CB in CA, navpičnici OM in OK sta enaki.

Dobili smo naslednje enakosti:

, to pomeni, da so vse tri navpičnice, spuščene iz točke O na stranice trikotnika, med seboj enake.

Zanima nas enakost navpičnic OL in OM. Ta enakost pravi, da je točka O enako oddaljena od stranic kota, iz česar sledi, da leži na njegovi simetrali AA 1.

Tako smo dokazali, da se vse tri simetrale trikotnika sekajo v eni točki.

Poleg tega je trikotnik sestavljen iz treh segmentov, kar pomeni, da moramo upoštevati lastnosti posameznega segmenta.

Podan je odsek AB. Vsak segment ima razpolovišče in skozenj lahko narišemo navpičnico - označimo jo kot p. Torej je p simetrala pravokotnice.

riž. 2. Ponazoritev izreka

Vsaka točka, ki leži na simetrali pravokotnice, je enako oddaljena od koncev odseka.

Dokažite to (slika 2).

Dokaz:

Razmislite o trikotnikih in . Pravokotni in enaki sta, ker imata skupni krak OM, kraka AO in OB pa sta po pogoju enaka, torej imamo dva pravokotni trikotnik, enako na dveh krakih. Iz tega sledi, da sta tudi hipotenuzi trikotnikov enaki, kar je bilo treba dokazati.

Obratni izrek drži.

Vsaka točka, ki je enako oddaljena od koncev odseka, leži na simetrali, ki je pravokotna na ta odsek.

Dani so daljsek AB, njegova simetrala p in točka M, ki je enako oddaljena od koncev dolga. Dokažite, da točka M leži na simetrali navpičnici na odsek (slika 3).

riž. 3. Ponazoritev izreka

Dokaz:

Razmislite o trikotniku. Je enakokrak, glede na stanje. Razmislite o mediani trikotnika: točka O je sredina baze AB, OM je mediana. Glede na premoženje enakokraki trikotnik, je mediana, narisana na njeno osnovo, hkrati višina in simetrala. Iz tega sledi, da. Toda tudi premica p je pravokotna na AB. Vemo, da je v točki O možno potegniti eno samo navpično na odsek AB, kar pomeni, da premici OM in p sovpadata, iz tega sledi, da točka M pripada premici p, kar smo morali dokazati.

Neposredno in nasprotje izreka lahko posplošimo.

Točka leži na pravokotni simetrali odseka, če in samo če je enako oddaljena od koncev tega odseka.

Torej, ponovimo, da so v trikotniku trije segmenti in lastnost simetrale pravokotnice velja za vsakega od njih.

Izrek:

Simetrali pravokotnice trikotnika se sekata v eni točki.

Podan je trikotnik. Navpičnice na njegove stranice: P 1 na stranico BC, P 2 na stranico AC, P 3 na stranico AB.

Dokaži, da se navpičnice P 1, P 2 in P 3 sekajo v točki O (slika 4).

riž. 4. Ponazoritev izreka

Dokaz:

Oglejmo si dve pravokotni simetrali P 2 in P 3, sekata se, presečišče O obstaja. Dokažimo to dejstvo s protislovjem - naj bosta navpičnici P 2 in P 3 vzporedni. Potem je kot obrnjen, kar je v nasprotju z dejstvom, da je vsota treh kotov trikotnika . Torej, obstaja točka O presečišča dveh od treh pravokotnih simetral. Lastnosti točke O: leži na simetrali na stranico AB, kar pomeni, da je enako oddaljena od koncev odseka AB: . Prav tako leži na pravokotni simetrali na stran AC, kar pomeni . Dobili smo naslednje enakosti.

Začetna raven

Opisani krog. Vizualni vodnik (2019)

Prvo vprašanje, ki se lahko pojavi, je: kaj je opisano – okoli česa?

No, pravzaprav se včasih zgodi okoli česar koli, a mi bomo govorili o krogu, ki je opisan okoli (včasih rečejo tudi "približno") trikotnika. kaj je to

In samo predstavljajte si, zgodi se neverjetno dejstvo:

Zakaj je to dejstvo presenetljivo?

Toda trikotniki so različni!

In za vsakega obstaja krog, ki ga bo šel skozi skozi vse tri vrhove, to je opisani krog.

Dokaz za to neverjetno dejstvo lahko najdete v naslednjih ravneh teorije, vendar tukaj samo ugotavljamo, da če vzamemo na primer štirikotnik, potem ne bo za vsakogar krog, ki poteka skozi štiri oglišča. Na primer, paralelogram je odličen štirikotnik, vendar noben krog ne poteka skozi vsa njegova štiri oglišča!

In obstaja samo za pravokotnik:

Izvolite, in vsak trikotnik ima vedno svoj opisani krog! In vedno je zelo enostavno najti središče tega kroga.

Ali veš kaj je to pravokotna simetrala?

Zdaj pa poglejmo, kaj se zgodi, če na stranice trikotnika upoštevamo kar tri pravokotne simetrale.

Izkazalo se je (in prav to je treba dokazati, čeprav ne bomo), da vse tri navpičnice se sekajo v eni točki. Poglejte sliko – vse tri pravokotne simetrale se sekajo v eni točki.

Ali menite, da je središče opisane krožnice vedno znotraj trikotnika? Predstavljajte si - ne vedno!

Ampak če ostrokoten, nato - znotraj:

Kaj storiti s pravokotnim trikotnikom?

In z dodatnim bonusom:

Ker govorimo o polmeru opisanega kroga: čemu je enak poljuben trikotnik? In na to vprašanje obstaja odgovor: t.i.

namreč:

In seveda,

1. Eksistenca in središče kroga

Tu se pojavi vprašanje: ali tak krog obstaja za vsak trikotnik? Izkazalo se je, da da, za vse. In poleg tega bomo zdaj oblikovali izrek, ki odgovarja tudi na vprašanje, kje se nahaja središče opisanega kroga.

Poglej, takole:

Bodimo pogumni in dokažimo ta izrek. Če ste že prebrali temo "" in razumeli, zakaj se tri simetrale sekajo v eni točki, vam bo lažje, če pa je niste prebrali, ne skrbite: zdaj bomo to ugotovili.

Dokaz bomo izvedli s konceptom geometrijskega mesta točk (GLP).

No, na primer, ali je množica kroglic "geometrično mesto" okroglih predmetov? Ne, seveda, ker obstajajo okrogle ... lubenice. Je skupek ljudi, »geometrijsko mesto«, ki lahko govori? Tudi ne, ker obstajajo dojenčki, ki ne znajo govoriti. V življenju je na splošno težko najti primer resnične "geometrijske lokacije točk". Pri geometriji je lažje. Tukaj je na primer točno to, kar potrebujemo:

Tu je množica pravokotna simetrala, lastnost " " pa je "biti enako oddaljen (točka) od koncev segmenta."

Naj preverimo? Torej se morate prepričati o dveh stvareh:

Vsaka točka, ki je enako oddaljena od koncev segmenta, se nahaja na simetrali, ki je pravokotna nanj.

Povežimo c in c. Potem je premica srednjica in višina b. To pomeni - enakokraki - pazili smo, da je vsaka točka, ki leži na simetrali pravokotnice, enako oddaljena od točk in.

Vzemimo sredino in povežimo in. Rezultat je mediana. Toda po pogoju ni enakokraka samo mediana, ampak tudi višina, to je pravokotna simetrala. To pomeni, da točka natančno leži na simetrali pravokotnice.

Vse! Dejstvo smo v celoti preverili Simetrala odseka je geometrijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od koncev odseka.

Vse lepo in prav, a smo pozabili na opisani krog? Sploh ne, le pripravili smo si »odskočno desko za napad«.

Razmislite o trikotniku. Narišimo dve bisektoralni navpičnici in, recimo, na segmente in. Sekala se bosta na neki točki, ki jo bomo poimenovali.

Zdaj pa pozor!

Točka leži na simetrali pravokotnice;
točka leži na simetrali pravokotnice.
In to pomeni, in.

Iz tega sledi več stvari:

Prvič, točka mora ležati na tretji simetrali, pravokotni na segment.

To pomeni, da mora skozi točko potekati tudi simetrala pravokotnice in vse tri simetrale se sekajo v eni točki.

Drugič: če narišemo krog s središčem v točki in polmerom, potem bo tudi ta krog potekal skozi točko in točko, torej bo opisan krog. To pomeni, da že obstaja, da je presečišče treh pravokotnih simetral središče opisanega kroga za vsak trikotnik.

In zadnja stvar: o edinstvenosti. Jasno (skoraj) je, da je točko mogoče dobiti na edinstven način, zato je krog edinstven. No, "skoraj" bomo pustili za vaš razmislek. Torej smo dokazali izrek. Lahko zavpijete "Hura!"

Kaj pa, če je v nalogi "poiščite polmer opisanega kroga"? Ali obratno, radij je podan, vendar morate najti nekaj drugega? Ali obstaja formula, ki povezuje polmer opisanega kroga z drugimi elementi trikotnika?

Prosimo, upoštevajte: sinusni izrek pravi, da da bi našli polmer opisanega kroga, potrebujete eno stran (poljubno!) in njej nasprotni kot. To je vse!

3. Središče kroga - znotraj ali zunaj

Zdaj se postavlja vprašanje: ali lahko leži središče opisanega kroga zunaj trikotnika?
Odgovor: kolikor je mogoče. Poleg tega se to vedno zgodi v tupokotnem trikotniku.

In na splošno:

KROŽNI KROG. NA KRATKO O GLAVNEM

1. Okoli trikotnika opisan krog

To je krog, ki poteka skozi vsa tri oglišča tega trikotnika.

2. Eksistenca in središče kroga

Pa je tema končana. Če berete te vrstice, pomeni, da ste zelo kul.

Ker le 5% ljudi zmore nekaj obvladati samih. In če preberete do konca, potem ste v teh 5%!

Zdaj pa najpomembnejše.

Razumeli ste teorijo o tej temi. In ponavljam, to ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.

Težava je v tem, da to morda ni dovolj ...

za kaj?

Za uspešen zaključek Enotni državni izpit, za sprejem na fakulteto na proračun in, kar je NAJPOMEMBNEJE, za življenje.

Ne bom vas prepričeval v nič, samo eno stvar bom rekel ...

Ljudje, ki so prejeli dobra izobrazba, zaslužijo veliko več kot tisti, ki tega niso prejeli. To je statistika.

Ampak to ni glavna stvar.

Glavno, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker se pred njimi odpre veliko več priložnosti in življenje postane svetlejše? ne vem ...

Ampak pomislite sami ...

Kaj je potrebno, da smo prepričani, da smo boljši od drugih na Enotnem državnem izpitu in na koncu ... srečnejši?

PRIDOBITE SE Z REŠEVANJEM PROBLEMOV NA TO TEMO.

Med izpitom ne boste zahtevali teorije.

Potrebovali boste reševanje težav s časom.

In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali preprosto ne boste imeli časa.

To je kot v športu – večkrat moraš ponoviti, da zagotovo zmagaš.

Poiščite zbirko kjerkoli želite, nujno z rešitvami, podrobna analiza in odločaj se, odločaj se!

Uporabite lahko naše naloge (neobvezno) in jih seveda priporočamo.

Če želite bolje uporabljati naše naloge, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.

kako Obstajata dve možnosti:

Odklenite vse skrite naloge v tem članku - 299 rubljev.
Odkleni dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 členih učbenika - 499 rubljev.

Da, v našem učbeniku imamo 99 takih členov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih se lahko odpre takoj.

Dostop do vseh skritih nalog je zagotovljen za CELOTNO življenjsko dobo spletnega mesta.

In za zaključek...

Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne ustavite se pri teoriji.

"Razumem" in "znam rešiti" sta popolnoma različni veščini. Potrebujete oboje.

Poiščite težave in jih rešite!

Navodila

Skozi presečišča krogov narišite ravno črto. Dobili ste simetralo pravokotnice na dani odsek.

Naj nam bo dana točka in premica. Od te točke je potrebno narisati pravokotno iglo na točko. Narišite krog s polmerom (polmer mora biti od točke do premice, tako da lahko krog seka premico v dveh točkah). Zdaj imate dve točki na premici. Te točke tvorijo segment črte. Konstruirajte pravokotno simetralo na odsek, konci so nastale točke, v skladu z zgoraj obravnavanim algoritmom. Navpičnica mora potekati skozi začetno točko.

Konstrukcija ravnih črt - osnova tehnična risba. Dandanes se to vedno bolj izvaja s pomočjo grafičnih urejevalnikov, ki oblikovalcu omogočajo velike priložnosti. Nekatera načela gradnje pa ostajajo enaka kot pri klasičnem risanju - z uporabo svinčnika in ravnila.

Potrebovali boste

- list papirja;
- svinčnik;
- ravnilo;
- računalnik s programom AutoCAD.

Navodila

Začnite s klasično gradnjo. Določite ravnino, v kateri boste zgradili črto. Naj bo to ravnina lista papirja. Glede na pogoje problema uredite . Lahko so poljubne, možno pa je, da je podan koordinatni sistem. Postavite naključne pike, kjer vam je najbolj všeč. Označite ju z A in B. Povežite ju z ravnilom. Po aksiomu je vedno mogoče narisati ravno črto skozi dve točki in samo eno.

Nariši koordinatni sistem. Naj vam bodo podane točke A (x1; y1). Če jih želite narediti, jih morate narisati vzdolž osi x prava številka in skozi označeno točko narišite ravno črto, vzporedno z osjo y. Nato narišite vrednost, ki je enaka y1, vzdolž ustrezne osi. Iz označene točke narišite pravokotnico, dokler se ne preseka z. Njihovo presečišče bo točka A. Na enak način poiščite točko B, katere koordinate lahko označimo kot (x2; y2). Povežite obe točki.

V AutoCAD-u je lahko ravno črto konstruirano z uporabo več . Funkcija "by" je običajno privzeto nameščena. V zgornjem meniju poiščite zavihek »Domov«. Pred seboj boste videli ploščo Risanje. Poiščite gumb s sliko ravne črte in kliknite nanj.

AutoCAD omogoča tudi določitev koordinat obeh. V spodnjo ukazno vrstico vnesite (_xline). Pritisnite Enter. Vnesite koordinate prve točke in prav tako pritisnite enter. Na enak način določite drugo točko. Določite ga lahko tudi tako, da kliknete miško in postavite kazalec na želeno točko na zaslonu.

V AutoCAD-u lahko zgradite ravno črto ne le z dvema točkama, temveč tudi s kotom naklona. V kontekstnem meniju Risanje izberite Črta in nato možnost Kot. Začetno točko lahko nastavite s klikom miške ali z , kot v prejšnji metodi. Nato nastavite velikost kota in pritisnite enter. Privzeto bo ravna črta nameščena pod želenim kotom glede na vodoravno ravnino.

Video na temo

Na kompleksni risbi (diagram) pravokotnost naravnost in letalo določena s temeljnimi določbami: če ena stran pravi kot vzporedno letalo projekcije, potem se na to ravnino brez popačenja projicira pravi kot; če je premica pravokotna na dve sekajoči se premici letalo, je pravokotna na to letalo.

Potrebovali boste

Svinčnik, ravnilo, kotomer, trikotnik.

Navodila

Primer: narišite pravokotnico skozi točko M na letalo Za risanje pravokotnice na letalo, v tem ležita dve sekajoči se črti letalo, in zgradite premico, pravokotno nanje. Čelna in vodoravna sta izbrani kot ti dve sekajoči se črti. letalo.

Čelna f(f₁f₂) je premica, ki leži v letalo in vzporedno s čelnim letalo projekcije P₂. To pomeni, da je f₂ njegova naravna vrednost in je f₁ vedno vzporeden z x₁₂. Iz točke A₂ narišite h₂ vzporedno z x₁₂ in dobite točko 1₂ na B₂C₂.

Z uporabo projekcijske komunikacijske linije usmerite 1₁ na B1C₁. Povežite z A₁ - to je h₁ - naravna vrednost horizontale. Iz točke B₁ potegnite f₁‖x₁₂, pri A₁C₁ dobite točko 2₁. S pomočjo projekcijske povezovalne črte poiščite točko 2₂ na A₂C₂. Povežite se s točko B₂ - to bo f₂ - naravna velikost sprednje strani.

Konstruirane naravne horizontale h₁ in fronte f₂ projekcij, pravokotnih na letalo. Iz točke M₂ nariši njeno čelno projekcijo a₂ pod kotom 90

Slovar izrazov planimetrije- Tu so zbrane definicije pojmov iz planimetrije. Sklici na izraze v tem glosarju (na tej strani) so v poševnem tisku. # A B C D E E E F G H I K L M N O P R S ... Wikipedia

Kolinearne točke

Konkurenčno neposredno- Tu so zbrane definicije pojmov iz planimetrije. Sklici na izraze v tem glosarju (na tej strani) so v poševnem tisku. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Apolonijin krog- Tu so zbrane definicije pojmov iz planimetrije. Sklici na izraze v tem glosarju (na tej strani) so v poševnem tisku. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Preoblikovanje ravnine- Tu so zbrane definicije pojmov iz planimetrije. Sklici na izraze v tem glosarju (na tej strani) so v poševnem tisku. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Ceviana- Tu so zbrane definicije pojmov iz planimetrije. Sklici na izraze v tem glosarju (na tej strani) so v poševnem tisku. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Slovar planimetrije- Ta stran je glosar. Glej tudi glavni članek: Planimetrija Tu so zbrane definicije pojmov iz planimetrije. Povezave do izrazov v tem slovarju (na tej strani) so v poševnem tisku... Wikipedia

Apolonijev problem- Apolonijeva naloga je, da s pomočjo šestila in ravnila sestavi krog, ki se dotika treh danih krogov. Po legendi je problem oblikoval Apolonij iz Perge okoli leta 220 pr. e. v knjigi "Dotik", ki je bila izgubljena ... Wikipedia

Voronojev diagram - naključni niz točke na ravnini Voronojev diagram končne množice točk S na ravnini predstavlja razdelitev ravnine tako, da ... Wikipedia

Pravokotna simetrala (sredinska pravokotna oz mediatrix) - ravna črta, ki je pravokotna na dani segment in poteka skozi njegovo sredino.

Lastnosti

p_a=\tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2), p_b=\tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2), p_c=\tfrac(2cS)( a^2-b^2+c^2),

kjer spodnji indeks označuje stranico, na katero je narisana navpičnica,

S

je površina trikotnika, prav tako se predpostavlja, da so stranice povezane z neenakostmi

a\geqslant b\geqslant c.

p_a\geq p_b

p_c\geq p_b.

Z drugimi besedami, najmanjša pravokotna simetrala trikotnika pripada srednjemu segmentu.

Napišite oceno o članku "Pravokotna simetrala"

Opombe

Odlomek, ki označuje simetralo pravokotnice

Kutuzov je nehal žvečiti in presenečeno strmel v Wolzogena, kot da ne bi razumel, kaj mu govorijo. Wolzogen, ko je opazil navdušenje des alten Herrna, je [stari gospod (Nemec)] rekel z nasmehom:
– Nisem se imel za upravičenega skrivati pred vašim gospostvom, kar sem videl... Čete so v popolnem neredu...
-Ste ga videli? Ste videli?.. – je zavpil Kutuzov, se namrščil, hitro vstal in stopil proti Wolzogenu. »Kako si ... kako si drzneš!..« je kričal, grozeče kretnje z rokovanjem in davljenjem. - Kako si drznete, dragi gospod, to reči meni? Ničesar ne veš. Povejte generalu Barclayu od mene, da so njegove informacije napačne in da pravi potek bitke poznam jaz, vrhovni poveljnik, bolje kot on.
Wolzogen je hotel ugovarjati, a ga je Kutuzov prekinil.
- Sovražnik je odbit na levem in poražen na desnem boku. Če niste dobro videli, dragi gospod, potem si ne dovolite reči, česar ne veste. Prosim, pojdite k generalu Barclayu in mu naslednji dan sporočite moj absolutni namen, da napadem sovražnika,« je ostro rekel Kutuzov. Vsi so molčali, slišal se je le eden težko dihanje zadihan stari general. "Povsod so jih odbili, za kar se zahvaljujem Bogu in naši hrabri vojski." Sovražnik je poražen in jutri ga bomo pregnali iz svete ruske zemlje,« je rekel Kutuzov in se prekrižal; in nenadoma zajokala od solz, ki so pritekle. Wolzogen je skomignil z rameni in stisnil ustnice ter se tiho oddaljil vstran in se spraševal uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [pri tej tiraniji starega gospoda. (nemščina) ]
"Da, tukaj je, moj junak," je rekel Kutuzov debelušnemu, čednemu, črnolasemu generalu, ki je takrat vstopal v gomilo. Bil je Raevsky, ki je ves dan preživel na glavni točki Borodinskega polja.
Rajevski je poročal, da so čete trdno na svojih mestih in da si Francozi ne upajo več napadati. Ko ga je Kutuzov poslušal, je rekel v francoščini:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous retirer? [Ne mislite torej, kot drugi, da bi se morali umakniti?]