Študija funkcije y 4x x 2. Težave iz zbirke Kuznetsova L

Reševalec Kuznecov.
III Karte

Naloga 7. Izvedite popolno študijo funkcije in sestavite njen graf.

        Preden začnete prenašati svoje možnosti, poskusite rešiti težavo v skladu s spodnjim primerom za možnost 3. Nekatere možnosti so arhivirane v formatu .rar

        7.3 Izvedite popolno študijo funkcije in jo narišite

rešitev.

        1) Obseg definicije:         ali        , to je        .
.
Tako:         .

        2) Ni presečišč z osjo Ox. Enačba         res nima rešitev.
Ni presečišč z osjo Oy, saj        .

        3) Funkcija ni niti soda niti liha. Glede ordinatne osi ni simetrije. Prav tako ni simetrije glede izvora. Ker
.
Vidimo, da         in        .

        4) Funkcija je zvezna v domeni definicije
.

; .

; .
Posledično je točka         točka diskontinuitete druge vrste (neskončna diskontinuiteta).

5) Navpične asimptote:       

Poiščimo poševno asimptoto        . Tukaj

;
.
Posledično imamo vodoravno asimptoto: y=0. Poševnih asimptot ni.

        6) Poiščimo prvo izpeljanko. Prva izpeljanka:
.
In zato
.
Poiščimo stacionarne točke, kjer je odvod enak nič, tj
.

        7) Poiščimo drugo izpeljanko. Drugi derivat:
.
In to je enostavno preveriti, saj

Kako preučiti funkcijo in zgraditi njen graf?

Zdi se, da začenjam razumeti duhovno pronicljivi obraz voditelja svetovnega proletariata, avtorja zbranih del v 55 zvezkih ... Dolga pot se je začela z osnovnimi informacijami o funkcije in grafi, zdaj pa se delo na delovno intenzivni temi konča z logičnim rezultatom - člankom o popolni študiji funkcije. Dolgo pričakovana naloga je oblikovana takole:

Preučite funkcijo z metodami diferencialnega računa in zgradite njen graf na podlagi rezultatov študije

Ali na kratko: preučite funkcijo in zgradite graf.

Zakaj raziskovati? V preprostih primerih nam ne bo težko razumeti osnovnih funkcij, narisati graf, dobljen z uporabo elementarne geometrijske transformacije in tako naprej. Vendar lastnosti in grafični prikazi kompleksnejših funkcij še zdaleč niso očitni, zato je potrebna cela študija.

Glavni koraki rešitve so povzeti v referenčnem gradivu Shema študije funkcij, to je vaš vodnik po razdelku. Tebani potrebujejo razlago teme po korakih, nekateri bralci ne vedo, kje začeti ali kako organizirati svoje raziskovanje, napredne študente pa morda zanima le nekaj točk. Toda kdorkoli ste, dragi obiskovalec, predlagani povzetek z napotki na različne lekcije vas bo hitro orientiral in vodil v smeri, ki vas zanima. Roboti točijo solze =) Priročnik je bil oblikovan kot pdf datoteka in je zasedel pravo mesto na strani Matematične formule in tabele.

Navajen sem razčleniti raziskavo funkcije na 5-6 točk:

6) Dodatne točke in graf glede na rezultate raziskave.

Kar zadeva končno dejanje, mislim, da je vsem vse jasno - zelo bo razočaranje, če bo v nekaj sekundah prečrtano in naloga vrnjena v popravek. PRAVILNA IN NATANČNA RISBA je glavni rezultat rešitve! Verjetno bo »prikril« analitične napake, napačen in/ali nepreviden urnik pa bo povzročil težave tudi pri odlično izvedeni študiji.

Treba je opozoriti, da se lahko v drugih virih število raziskovalnih točk, vrstni red njihovega izvajanja in slog oblikovanja bistveno razlikujejo od sheme, ki sem jo predlagal, vendar je v večini primerov povsem dovolj. Najenostavnejša različica problema je sestavljena iz samo 2-3 stopenj in je formulirana nekako takole: "raziščite funkcijo z uporabo derivata in zgradite graf" ali "raziščite funkcijo z uporabo 1. in 2. derivata, zgradite graf."

Seveda, če vaš priročnik podrobno opisuje drug algoritem ali vaš učitelj strogo zahteva, da se držite njegovih predavanj, potem boste morali nekaj prilagoditi rešitev. Nič težje kot zamenjati vilice motorne žage z žlico.

Preverimo funkcijo za sodo/liho:

Temu sledi predloga odgovora:
, kar pomeni, da ta funkcija ni soda ali liha.

Ker je funkcija zvezna na , ni navpičnih asimptot.

Tudi poševnih asimptot ni.

Opomba : Opomnim vas, da višje red rasti, kot , zato je končna meja točno " plus neskončnost."

Ugotovimo, kako se funkcija obnaša v neskončnosti:

Z drugimi besedami, če gremo v desno, potem gre graf neskončno daleč navzgor, če gremo v levo, gre neskončno daleč navzdol. Da, pri enem vnosu sta tudi dve omejitvi. Če imate težave z dešifriranjem znakov, obiščite lekcijo o infinitezimalne funkcije.

Torej funkcija ni omejeno od zgoraj in ni omejeno od spodaj. Glede na to, da nimamo prelomnih točk, postane jasno obseg delovanja: – tudi poljubno realno število.

UPORABNA TEHNIČNA TEHNIKA

Vsaka stopnja naloge prinaša nove informacije o grafu funkcije, zato je med rešitvijo priročno uporabiti nekakšno POSTAVITEV. Na osnutek narišimo kartezični koordinatni sistem. Kaj je že zagotovo znano? Prvič, graf nima asimptot, zato ni treba risati ravnih črt. Drugič, vemo, kako se funkcija obnaša v neskončnosti. Glede na analizo potegnemo prvi približek:

Upoštevajte, da zaradi kontinuiteta in dejstvo, da mora graf vsaj enkrat prečkati os. Ali pa je morda več presečišč?

3) Ničle funkcije in intervali konstantnega predznaka.

Najprej poiščemo presečišče grafa z ordinatno osjo. Enostavno je. Treba je izračunati vrednost funkcije pri:

En in pol nad morsko gladino.

Za iskanje presečišč z osjo (ničle funkcije) moramo rešiti enačbo in tu nas čaka neprijetno presenečenje:

Na koncu se skriva prost član, kar precej oteži nalogo.

Takšna enačba ima vsaj eno realno korenino, največkrat pa je ta korenina iracionalna. V najslabši pravljici nas čakajo trije prašički. Enačba je rešljiva s pomočjo t.i Cardano formule, vendar je poškodba papirja primerljiva s skoraj celotno študijo. V zvezi s tem je pametneje poskusiti izbrati vsaj enega, ustno ali v osnutku. cela korenina. Preverimo, ali so te številke:
- ni primeren;
- Tukaj je!

Sreča tukaj. V primeru neuspeha lahko preizkusite tudi , in če te številke ne ustrezajo, se bojim, da je zelo malo možnosti za donosno rešitev enačbe. Takrat je bolje, da raziskovalno točko popolnoma preskočite - morda bo kaj bolj jasno v zadnjem koraku, ko se bodo prebile dodatne točke. In če je koren (-e) očitno "slab", potem je bolje skromno molčati o intervalih konstantnosti znakov in risati bolj previdno.

Vendar imamo lep koren, zato delimo polinom brez ostanka:

Algoritem za deljenje polinoma s polinomom je podrobno obravnavan v prvem primeru lekcije Kompleksne omejitve.

Kot rezultat, leva stran prvotne enačbe razpade v produkt:

In zdaj malo o zdravem načinu življenja. To seveda razumem kvadratne enačbe je treba rešiti vsak dan, a danes bomo naredili izjemo: enačbo ima dve pravi korenini.

Najdene vrednosti narišemo na številsko premico in intervalna metoda Določimo znake funkcije:


og Tako, na intervalih urnik se nahaja
pod osjo x in v intervalih – nad to osjo.

Ugotovitve nam omogočajo, da izboljšamo našo postavitev, drugi približek grafa pa je videti takole:

Upoštevajte, da mora imeti funkcija vsaj en maksimum na intervalu in vsaj en minimum na intervalu. Vendar še ne vemo, kolikokrat, kje in kdaj se bo urnik vrtel. Mimogrede, funkcija jih ima lahko neskončno veliko skrajnosti.

4) Naraščanje, padanje in ekstremi funkcije.

Poiščimo kritične točke:

Ta enačba ima dva realna korena. Postavimo jih na številsko premico in določimo znake odvoda:


Zato se funkcija poveča za in se zmanjša za.
Takrat funkcija doseže svoj maksimum: .
Na točki funkcija doseže minimum: .

Ugotovljena dejstva postavljajo našo predlogo v dokaj tog okvir:

Ni treba posebej poudarjati, da je diferencialni račun močna stvar. Naj končno razumemo obliko grafa:

5) Konveksnost, konkavnost in prevojne točke.

Poiščimo kritične točke drugega odvoda:

Opredelimo znake:


Graf funkcije je konveksen na in konkaven na . Izračunajmo ordinato prevojne točke: .

Skoraj vse je postalo jasno.

6) Še vedno je treba poiskati dodatne točke, ki vam bodo pomagale natančneje sestaviti graf in izvesti samotestiranje. V tem primeru jih je malo, vendar jih ne bomo zanemarili:

Naredimo risbo:

Prevojna točka je označena z zeleno, dodatne točke so označene s križci. Graf kubične funkcije je simetričen glede na svojo prevojno točko, ki se vedno nahaja strogo na sredini med maksimumom in minimumom.

Ko je naloga napredovala, sem priskrbel tri hipotetične vmesne risbe. V praksi je dovolj, da narišemo koordinatni sistem, označimo najdene točke in po vsaki točki raziskovanja v mislih ocenimo, kako bi lahko izgledal graf funkcije. Študentom z dobro stopnjo priprave ne bo težko opraviti takšne analize samo v svojih glavah, ne da bi vključili osnutek.

Če želite to rešiti sami:

Primer 2

Raziščite funkcijo in zgradite graf.

Tukaj je vse hitreje in bolj zabavno, približen primer končnega dizajna na koncu lekcije.

Študija frakcijskih racionalnih funkcij razkriva številne skrivnosti:

Primer 3

Uporabite metode diferencialnega računa za preučevanje funkcije in na podlagi rezultatov študije sestavite njen graf.

rešitev: prva stopnja študije se ne razlikuje po nič posebnem, z izjemo luknje v območju definicije:

1) Funkcija je definirana in zvezna na celotni številski premici razen točke, domena: .

, kar pomeni, da ta funkcija ni soda ali liha.

Očitno je, da je funkcija neperiodična.

Graf funkcije predstavlja dve zvezni veji, ki se nahajata v levi in ​​desni polravnini - to je morda najpomembnejši zaključek 1. točke.

2) Asimptote, obnašanje funkcije v neskončnosti.

a) Z uporabo enostranskih limitov preučimo obnašanje funkcije blizu sumljive točke, kjer bi morala biti jasno navpična asimptota:

Dejansko funkcije vzdržijo neskončna vrzel na točki
in premica (os) je navpična asimptota grafične umetnosti.

b) Preverimo, ali obstajajo poševne asimptote:

Da, naravnost je poševna asimptota grafika, če.

Limitov nima smisla analizirati, saj je že jasno, da funkcija zajema svojo poševno asimptoto ni omejeno od zgoraj in ni omejeno od spodaj.

Druga raziskovalna točka je prinesla veliko pomembnih informacij o funkciji. Naredimo grobo skico:

Sklep št. 1 se nanaša na intervale konstantnega predznaka. Pri "minus neskončnosti" se graf funkcije jasno nahaja pod osjo x, pri "plus neskončnosti" pa nad to osjo. Poleg tega so nam enostranske meje povedale, da je tako levo kot desno od točke funkcija tudi večja od nič. Upoštevajte, da mora graf v levi polravnini vsaj enkrat prečkati os x. V desni polravnini ne sme biti ničel funkcije.

Sklep št. 2 je, da funkcija narašča na in levo od točke (gre »od spodaj navzgor«). Desno od te točke se funkcija zmanjša (gre "od zgoraj navzdol"). Desna veja grafa mora vsekakor imeti vsaj en minimum. Na levi strani ekstremi niso zagotovljeni.

Sklep št. 3 zagotavlja zanesljivo informacijo o konkavnosti grafa v bližini točke. O konveksnosti/konkavnosti v neskončnosti še ne moremo povedati ničesar, saj lahko premico proti svoji asimptoti pritisnemo tako od zgoraj kot od spodaj. Na splošno obstaja analitični način, da to ugotovimo že zdaj, vendar bo oblika grafa postala jasnejša pozneje.

Zakaj toliko besed? Za nadzor naslednjih raziskovalnih točk in izogibanje napakam! Nadaljnji izračuni ne smejo biti v nasprotju s sprejetimi sklepi.

3) Točke presečišča grafa s koordinatnimi osemi, intervali konstantnega predznaka funkcije.

Graf funkcije ne seka osi.

Z intervalno metodo določimo znake:

, Če ;
, Če .

Rezultati te točke so popolnoma skladni s sklepom št. 1. Po vsaki stopnji si oglejte osnutek, v mislih preverite raziskavo in dokončajte graf funkcije.

V obravnavanem primeru je števec člen za členom razdeljen z imenovalcem, kar je zelo ugodno za razlikovanje:

Pravzaprav je bilo to že storjeno pri iskanju asimptot.

- kritična točka.

Opredelimo znake:

poveča za in se zmanjša za

Na točki funkcija doseže minimum: .

Tudi s sklepom št. 2 ni bilo odstopanj in smo najverjetneje na pravi poti.

To pomeni, da je graf funkcije konkaven na celotnem definicijskem področju.

Odlično - in ni vam treba ničesar narisati.

Prevojnih točk ni.

Konkavnost je skladna s sklepom št. 3, poleg tega kaže, da se v neskončnosti (tam in tam) nahaja graf funkcije višji njena poševna asimptota.

6) Nalogo bomo vestno pripeli z dodatnimi točkami. Tu se bomo morali potruditi, saj iz raziskave poznamo le dve točki.

In slika, ki si jo je verjetno marsikdo zamislil že davno nazaj:

Med izvajanjem naloge morate skrbno zagotoviti, da med fazami raziskave ni nasprotij, včasih pa je situacija nujna ali celo obupno slepa ulica. Analitika se "ne sešteva" - to je vse. V tem primeru priporočam nujno tehniko: poiščemo čim več točk, ki pripadajo grafu (kolikor imamo potrpljenja), in jih označimo na koordinatni ravnini. Grafična analiza najdenih vrednosti vam bo v večini primerov povedala, kje je resnica in kje laž. Poleg tega je mogoče graf vnaprej zgraditi z uporabo nekega programa, na primer v Excelu (seveda to zahteva spretnosti).

Primer 4

Uporabite metode diferencialnega računa za preučevanje funkcije in izdelavo njenega grafa.

To je primer, ki ga morate rešiti sami. V njem je samokontrola okrepljena s pariteto funkcije - graf je simetričen glede na os, in če je v vaši raziskavi nekaj, kar je v nasprotju s tem dejstvom, poiščite napako.

Sodo ali liho funkcijo lahko preučujemo le pri , nato pa uporabimo simetrijo grafa. Ta rešitev je optimalna, vendar po mojem mnenju izgleda zelo nenavadno. Osebno pogledam celotno številsko premico, vendar še vedno najdem dodatne točke samo na desni:

Primer 5

Izvedite popolno študijo funkcije in sestavite njen graf.

rešitev: stvari so postale težke:

1) Funkcija je definirana in zvezna na celotni številski premici: .

To pomeni, da je ta funkcija liha, njen graf je simetričen glede na izvor.

Očitno je, da je funkcija neperiodična.

2) Asimptote, obnašanje funkcije v neskončnosti.

Ker je funkcija zvezna na , ni navpičnih asimptot

Za funkcijo, ki vsebuje eksponent, je tipično ločiti preučevanje »plus« in »minus neskončnosti« pa nam življenje olajša simetrija grafa - ali je asimptota na levi in ​​desni strani ali pa je ni. Zato lahko obe neskončni meji zapišemo pod en vnos. Med raztopino, ki jo uporabljamo L'Hopitalovo pravilo:

Premica (os) je vodoravna asimptota grafa pri .

Upoštevajte, kako sem se premeteno izognil celotnemu algoritmu za iskanje poševne asimptote: meja je povsem zakonita in pojasnjuje obnašanje funkcije v neskončnosti, horizontalna asimptota pa je bila odkrita "kot da bi istočasno."

Iz kontinuitete naprej in obstoja horizontalne asimptote sledi, da funkcija omejeno zgoraj in omejeno spodaj.

3) Točke presečišča grafa s koordinatnimi osemi, intervali konstantnega predznaka.

Tukaj tudi skrajšamo rešitev:
Graf poteka skozi izhodišče.

Drugih presečišč s koordinatnimi osemi ni. Poleg tega so intervali konstantnosti predznaka očitni in osi ni treba risati: , kar pomeni, da je predznak funkcije odvisen samo od "x":
, Če ;
, Če .

4) Naraščanje, padanje, ekstremi funkcije.


– kritične točke.

Točke so simetrične glede na ničlo, kot bi moralo biti.

Določimo znake izpeljanke:


Funkcija na intervalu narašča in na intervalih pada

Takrat funkcija doseže svoj maksimum: .

Zaradi lastnine (nenavadnost funkcije) minimuma ni treba izračunati:

Ker funkcija pada v intervalu, potem se očitno graf nahaja na "minus neskončnosti" Spodaj njegovo asimptoto. V intervalu se funkcija tudi zmanjšuje, vendar je tukaj ravno nasprotno - po prehodu skozi najvišjo točko se premica približa osi od zgoraj.

Iz zgoraj navedenega tudi sledi, da je graf funkcije konveksen v “minus neskončnosti” in konkaven v “plus neskončnosti”.

Po tej točki študije je bil narisan obseg funkcijskih vrednosti:

Če imate kakršne koli nerazumevanja katere koli točke, vas še enkrat pozivam, da narišete koordinatne osi v svoj zvezek in s svinčnikom v rokah ponovno analizirate vsak zaključek naloge.

5) Konveksnost, konkavnost, pregibi grafa.

– kritične točke.

Simetrija točk je ohranjena in najverjetneje se ne motimo.

Opredelimo znake:


Graf funkcije je konveksen na in konkavno naprej .

Potrjena je bila konveksnost/konkavnost v skrajnih intervalih.

Na vseh kritičnih točkah so na grafu prepogibi. Poiščimo ordinate prevojnih točk in ponovno zmanjšajmo število izračunov z uporabo lihosti funkcije:

Če problem zahteva popolno študijo funkcije f (x) = x 2 4 x 2 - 1 s konstrukcijo njenega grafa, bomo to načelo podrobno preučili.

Če želite rešiti problem te vrste, morate uporabiti lastnosti in grafe osnovnih elementarnih funkcij. Raziskovalni algoritem vključuje naslednje korake:

Iskanje domene definicije

Ker raziskave potekajo na področju definicije funkcije, je treba začeti s tem korakom.

Primer 1

Navedeni primer vključuje iskanje ničel imenovalca, da bi jih izločili iz ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Kot rezultat lahko dobite korenine, logaritme itd. Nato lahko ODZ iščemo za koren sode stopnje tipa g (x) 4 z neenačbo g (x) ≥ 0, za logaritem log a g (x) z neenačbo g (x) > 0.

Preučevanje meja ODZ in iskanje navpičnih asimptot

Na mejah funkcije so navpične asimptote, ko so enostranske meje na takih točkah neskončne.

Primer 2

Na primer, upoštevajte mejne točke, ki so enake x = ± 1 2.

Potem je treba preučiti funkcijo, da najdemo enostransko mejo. Potem dobimo, da: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

To kaže, da so enostranske meje neskončne, kar pomeni, da so ravne črte x = ± 1 2 navpične asimptote grafa.

Preučevanje funkcije in ali je soda ali liha

Ko je pogoj y (- x) = y (x) izpolnjen, se funkcija šteje za sodo. To nakazuje, da se graf nahaja simetrično glede na Oy. Ko je pogoj y (- x) = - y (x) izpolnjen, se funkcija šteje za liho. To pomeni, da je simetrija relativna glede na izvor koordinat. Če vsaj ena neenakost ni izpolnjena, dobimo funkcijo splošne oblike.

Enakost y (- x) = y (x) pomeni, da je funkcija soda. Pri gradnji je treba upoštevati, da bo glede na Oy obstajala simetrija.

Za rešitev neenačbe se uporabljajo intervali naraščanja in padanja s pogoji f " (x) ≥ 0 oziroma f " (x) ≤ 0.

Definicija 1

Stacionarne točke- to so točke, ki spremenijo izpeljanko na nič.

Kritične točke- to so notranje točke iz domene definicije, kjer je odvod funkcije enak nič ali ne obstaja.

Pri odločanju je treba upoštevati naslednje opombe:

• za obstoječe intervale naraščajočih in padajočih neenačb oblike f " (x) > 0 kritične točke niso vključene v rešitev;
• točke, v katerih je funkcija definirana brez končnega odvoda, morajo biti vključene v intervale naraščanja in padanja (npr. y = x 3, kjer točka x = 0 naredi funkcijo definirano, odvod ima pri tem neskončno vrednost točka, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 je vključen v naraščajoči interval);
• Da bi se izognili nesoglasjem, je priporočljivo uporabljati matematično literaturo, ki jo priporoča ministrstvo za šolstvo.

Vključitev kritičnih točk v intervale naraščanja in padanja, če zadoščajo domeni definicije funkcije.

Definicija 2

Za določanje intervalov naraščanja in padanja funkcije, je treba najti:

• derivat;
• kritične točke;
• razdeli domeno definicije na intervale s pomočjo kritičnih točk;
• določite predznak odvoda na vsakem od intervalov, kjer je + povečanje in - zmanjšanje.

Primer 3

Poiščite odvod na področju definicije f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

rešitev

Za rešitev potrebujete:

• poiščite stacionarne točke, ta primer ima x = 0;
• poiščite ničle imenovalca, primer vzame vrednost nič pri x = ± 1 2.

Na številsko os postavimo točke, da določimo odvod na vsakem intervalu. Če želite to narediti, je dovolj, da vzamete katero koli točko iz intervala in izvedete izračun. Če je rezultat pozitiven, na grafu prikažemo +, kar pomeni, da funkcija narašča, in -, da pada.

Na primer, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, kar pomeni, da ima prvi interval na levi predznak +. Razmislite o številski premici.

odgovor:

• funkcija narašča na intervalu - ∞; - 1 2 in (- 1 2 ; 0 ] ;
• pride do zmanjšanja intervala [ 0 ; 1 2) in 1 2 ; + ∞ .

V diagramu sta s + in - prikazani pozitivnost in negativnost funkcije, puščice pa kažejo zmanjšanje in povečanje.

Ekstremne točke funkcije so točke, kjer je funkcija definirana in skozi katere odvod spreminja predznak.

Primer 4

Če upoštevamo primer, kjer je x = 0, potem je vrednost funkcije v njem enaka f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Ko se predznak odvoda spremeni iz + v - in gre skozi točko x = 0, se točka s koordinatami (0; 0) šteje za največjo točko. Ko se predznak spremeni iz - v +, dobimo minimalno točko.

Konveksnost in konkavnost določimo z reševanjem neenačb oblike f "" (x) ≥ 0 in f "" (x) ≤ 0. Manj pogosto se uporablja ime konveksnost navzdol namesto konkavnost in konveksnost navzgor namesto konveksnost.

Definicija 3

Za določanje intervalov konkavnosti in konveksnosti potrebno:

• poiščite drugo izpeljanko;
• poiščite ničle funkcije drugega odvoda;
• razdelite definicijsko območje na intervale s pojavnimi točkami;
• določi predznak intervala.

Primer 5

Poiščite drugi odvod iz domene definicije.

rešitev

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Poiščemo ničle števca in imenovalca, pri čemer imamo v našem primeru, da so ničle imenovalca x = ± 1 2

Zdaj morate narisati točke na številski premici in določiti predznak drugega odvoda iz vsakega intervala. To razumemo

odgovor:

• funkcija je konveksna iz intervala - 1 2 ; 12 ;
• funkcija je konkavna iz intervalov - ∞ ; - 1 2 in 1 2; + ∞ .

Definicija 4

Prevojna točka– to je točka oblike x 0 ; f (x 0) . Ko ima tangento na graf funkcije, ko gre skozi x 0, funkcija spremeni predznak v nasprotni.

Z drugimi besedami, to je točka, skozi katero poteka drugi odvod in spreminja predznak, v samih točkah pa je enak nič ali pa ne obstaja. Vse točke veljajo za domeno funkcije.

V primeru je bilo razvidno, da prevojnih točk ni, saj drugi odvod med prehodom skozi točke x = ± 1 2 spremeni predznak. Ti pa niso vključeni v obseg opredelitve.

Iskanje vodoravnih in poševnih asimptot

Ko definirate funkcijo v neskončnosti, morate iskati vodoravne in poševne asimptote.

Definicija 5

Poševne asimptote so upodobljene z ravnimi črtami, podanimi z enačbo y = k x + b, kjer je k = lim x → ∞ f (x) x in b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Za k = 0 in b, ki ni enak neskončnosti, ugotovimo, da postane poševna asimptota vodoravno.

Z drugimi besedami, asimptote se štejejo za črte, ki se jim graf funkcije približuje v neskončnosti. To olajša hitro gradnjo funkcijskega grafa.

Če asimptot ni, je pa funkcija definirana na obeh neskončnostih, je treba izračunati limit funkcije na teh neskončnostih, da bi razumeli, kako se bo obnašal graf funkcije.

Primer 6

Vzemimo za primer to

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

je horizontalna asimptota. Ko preučite funkcijo, jo lahko začnete sestavljati.

Računanje vrednosti funkcije na vmesnih točkah

Da bi bil graf natančnejši, je priporočljivo najti več funkcijskih vrednosti na vmesnih točkah.

Primer 7

Iz primera, ki smo ga obravnavali, je treba najti vrednosti funkcije v točkah x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Ker je funkcija soda, dobimo, da vrednosti sovpadajo z vrednostmi v teh točkah, to pomeni, da dobimo x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Zapišimo in rešimo:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Za določitev maksimumov in minimumov funkcije, prevojnih točk in vmesnih točk je potrebno zgraditi asimptote. Za priročno označevanje so zabeleženi intervali naraščanja, padanja, konveksnosti in konkavnosti. Poglejmo spodnjo sliko.

Skozi označene točke je treba narisati črte grafa, ki vam bodo omogočile približevanje asimptotam s sledenjem puščicam.

S tem se konča celotno raziskovanje funkcije. Obstajajo primeri konstruiranja nekaterih elementarnih funkcij, za katere se uporabljajo geometrijske transformacije.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Že nekaj časa TheBat-ova vgrajena baza certifikatov za SSL ne deluje pravilno (ni jasno iz katerega razloga).

Pri pregledu objave se pojavi napaka:

Neznano potrdilo CA
Strežnik v seji ni predstavil korenskega potrdila in ustreznega korenskega potrdila ni bilo mogoče najti v imeniku.
Ta povezava ne more biti tajna. prosim
se obrnite na skrbnika strežnika.

In ponujajo vam izbiro odgovorov - DA / NE. In tako vsakič, ko odstranite pošto.

rešitev

V tem primeru morate standard implementacije S/MIME in TLS zamenjati z Microsoft CryptoAPI v nastavitvah TheBat!

Ker sem moral vse datoteke združiti v eno, sem vse doc datoteke najprej pretvoril v eno samo pdf datoteko (s programom Acrobat), nato pa jo preko spletnega pretvornika prenesel v fb2. Datoteke lahko pretvorite tudi posamično. Formati so lahko popolnoma kateri koli (vir) - doc, jpg in celo zip arhiv!

Ime strani ustreza bistvu :) Online Photoshop.

Posodobitev maj 2015

Našel sem še eno odlično stran! Še bolj priročno in funkcionalno za ustvarjanje popolnoma prilagojenega kolaža! To je spletno mesto http://www.fotor.com/ru/collage/. Uživajte za svoje zdravje. In sam ga bom uporabil.

V življenju sem naletel na problem popravila električnega štedilnika. Veliko stvari sem že naredil, veliko se naučil, s ploščicami pa sem imel nekako malo opraviti. Zamenjati je bilo potrebno kontakte na regulatorjih in gorilnikih. Pojavilo se je vprašanje - kako določiti premer gorilnika na električnem štedilniku?

Izkazalo se je, da je odgovor preprost. Ničesar vam ni treba meriti, na oko lahko preprosto določite, kakšno velikost potrebujete.

Najmanjši gorilnik- to je 145 milimetrov (14,5 centimetrov)

Srednji gorilnik- to je 180 milimetrov (18 centimetrov).

In končno, najbolj velik gorilnik- to je 225 milimetrov (22,5 centimetra).

Dovolj je, da določite velikost na oko in razumete, kakšen premer potrebujete gorilnik. Ko tega nisem vedel, so me skrbele te dimenzije, nisem vedel, kako izmeriti, po katerem robu naj krmarim itd. Zdaj sem pametna :) Upam, da sem tudi tebi pomagala!

V življenju sem se soočil s takšno težavo. Mislim, da nisem edina.