Formule za krivuljično gibanje v krogu. Premočrtno in krivočrtno gibanje

Glede na obliko trajektorije delimo gibanje na premočrtno in krivočrtno. IN resnični svet najpogosteje imamo opravka s krivuljnim gibanjem, ko je trajektorija kriva črta. Primeri takšnega gibanja so tir telesa, vrženega pod kotom na obzorje, gibanje Zemlje okoli Sonca, gibanje planetov, konec urinega kazalca na številčnici itd.

Slika 1. Trajektorija in premik med ukrivljenim gibanjem

Opredelitev

Krivočrtno gibanje je gibanje, katerega trajektorija je ukrivljena črta (na primer krog, elipsa, hiperbola, parabola). Pri gibanju vzdolž krivulje je vektor premika $\overrightarrow(s)$ usmerjen vzdolž tetive (slika 1), l pa je dolžina trajektorije. Trenutna hitrost telesa (to je hitrost telesa na dani točki trajektorije) je usmerjena tangencialno na točko trajektorije, kjer je v tem trenutku obstaja gibljivo telo (slika 2).

Slika 2. Trenutna hitrost med ukrivljenim gibanjem

Vendar je bolj priročno naslednji pristop. To gibanje lahko predstavimo kot kombinacijo več gibov vzdolž krožnih lokov (glej sliko 4.). Takšnih predelnih sten bo manj kot v prejšnjem primeru, poleg tega je gibanje po krogu krivočrtno.

Slika 4. Particioniranje krivočrtno gibanje za gibanje po krožnih lokih

Zaključek

Da bi opisali krivočrtno gibanje, se morate naučiti opisati gibanje v krogu, nato pa poljubno gibanje predstaviti v obliki sklopov gibov vzdolž krožnih lokov.

Naloga preučevanja krivočrtnega gibanja materialne točke je sestaviti kinematična enačba, ki opisuje to gibanje in omogoča, glede na dano začetni pogoji določiti vse značilnosti tega gibanja.

6. Krivočrtno gibanje. Kotni premik, kotna hitrost in pospešek telesa. Pot in premik pri krivočrtnem gibanju telesa.

Krivočrtno gibanje– to je gibanje, katerega trajektorija je kriva črta (na primer krog, elipsa, hiperbola, parabola). Primer krivočrtnega gibanja je gibanje planetov, konec urinega kazalca vzdolž številčnice itd. Na splošno krivuljasta hitrost spremembe velikosti in smeri.

Krivočrtno gibanje materialne točke velja za enakomerno gibanje, če je modul hitrost konstantno (npr. enakomerno gibanje v krogu), enakomerno pospešeno pa če modul in smer hitrost spremembe (na primer gibanje telesa, vrženega pod kotom na vodoravno).

riž. 1.19. Trajektorija in vektor gibanja pri krivočrtnem gibanju.

Pri premikanju po ovinkasti poti vektor premika usmerjen vzdolž tetive (sl. 1.19) in l- dolžina trajektorije . Trenutna hitrost telesa (to je hitrost telesa na dani točki tirnice) je usmerjena tangencialno na točko tirnice, kjer se trenutno nahaja premikajoče se telo (slika 1.20).

riž. 1.20. Trenutna hitrost med ukrivljenim gibanjem.

Krivočrtno gibanje je vedno pospešeno gibanje. To je pospešek med ukrivljenim gibanjem je vedno prisoten, tudi če se modul hitrosti ne spreminja, ampak se spreminja samo smer hitrosti. Sprememba hitrosti na časovno enoto je tangencialni pospešek :

oz

kje v τ ,v 0 – vrednosti hitrosti v trenutku t 0 +Δt in t 0 oz.

Tangencialni pospešek na dani točki trajektorije smer sovpada s smerjo hitrosti gibanja telesa ali ji nasproti.

Normalni pospešek je sprememba hitrosti v smeri na enoto časa:

Normalni pospešek usmerjen vzdolž radija ukrivljenosti trajektorije (proti osi vrtenja). Normalni pospešek je pravokoten na smer hitrosti.

Centripetalni pospešek- To normalno pospeševanje z enakomernim gibanjem v krogu.

Skupni pospešek pri enakomernem krivočrtnem gibanju telesa je enako:

Gibanje telesa po ukrivljeni poti lahko približno predstavimo kot gibanje vzdolž lokov določenih krogov (slika 1.21).

riž. 1.21. Gibanje telesa med krivuljnim gibanjem.

Krivočrtno gibanje

Krivočrtna gibanja– gibanja, katerih trajektorije niso ravne, ampak ukrivljene črte. Planeti in rečne vode se gibljejo po ukrivljenih trajektorijah.

Krivočrtno gibanje je vedno gibanje s pospeškom, tudi če je absolutna vrednost hitrosti konstantna. Krivočrtno gibanje z stalni pospešek vedno poteka v ravnini, v kateri se nahajajo vektorji pospeška in začetne hitrosti točke. Pri krivočrtnem gibanju s konstantnim pospeškom v ravnini xOy projekcije v x in v l njegova hitrost na osi Ox in Oj in koordinate x in l točke kadar koli t določeno s formulami

Poseben primer krivočrtnega gibanja je krožno gibanje. Krožno gibanje, tudi enakomerno, je vedno pospešeno gibanje: modul hitrosti je vedno usmerjen tangencialno na trajektorijo in nenehno spreminja smer, tako da se krožno gibanje vedno pojavi s centripetalnim pospeškom, kjer r– polmer kroga.

Vektor pospeška pri gibanju v krogu je usmerjen proti središču kroga in pravokotno na vektor hitrosti.

Pri krivočrtnem gibanju lahko pospešek predstavimo kot vsoto normalne in tangencialne komponente:

Normalni (centripetalni) pospešek je usmerjen proti središču ukrivljenosti trajektorije in označuje spremembo hitrosti v smeri:

v – trenutna vrednost hitrosti, r– polmer ukrivljenosti trajektorije v dani točki.

Tangencialni (tangencialni) pospešek je usmerjen tangencialno na trajektorijo in označuje spremembo hitrosti modulo.

Skupni pospešek, s katerim se materialna točka giblje, je enak:

Poleg centripetalnega pospeška so najpomembnejše značilnosti enakomerno gibanje vzdolž kroga sta obdobje in frekvenca revolucije.

Obdobje obtoka- to je čas, v katerem telo opravi en obrat .

Obdobje je označeno s črko T(c) in se določi s formulo:

kje t- čas obtoka, n- število vrtljajev, opravljenih v tem času.

Pogostost- to je količina, ki je numerično enaka številu opravljenih vrtljajev na enoto časa.

Frekvenca je označena z grško črko (nu) in jo ugotovimo po formuli:

Frekvenca se meri v 1/s.

Perioda in frekvenca sta medsebojno inverzni količini:

Če se telo giblje v krožnici s hitrostjo v, naredi en obrat, potem lahko razdaljo, ki jo prepotuje to telo, poiščemo tako, da pomnožimo hitrost v za čas ene revolucije:

l = vT. Po drugi strani pa je ta pot enaka obsegu kroga 2π r. zato

vT = 2π r,

kje w(s -1) - kotna hitrost.

Pri konstantni frekvenci kroženja centripetalni pospešek premosorazmeren z razdaljo od gibajočega se delca do središča vrtenja.

Kotna hitrost (w) – vrednost, enako razmerju kot rotacije polmera, na katerem se nahaja rotacijska točka, glede na časovno obdobje, v katerem se je ta rotacija zgodila:

.

Razmerje med linearno in kotno hitrostjo:

Gibanje telesa lahko štejemo za znano le, če vemo, kako se giblje posamezna točka. Najenostavnejše gibanje trdnih teles je translacijsko. Progresivno imenovano gibanje trdna, v kateri se katera koli premica, narisana v tem telesu, giblje vzporedno sama s seboj.

Kinematika proučuje gibanje, ne da bi ugotovila vzroke, ki povzročajo to gibanje. Kinematika je veja mehanike. Glavna naloga kinematike je matematična določitev položaja in značilnosti gibanja točk ali teles v času.

Osnovne kinematične količine:

- Premakni() - vektor, ki povezuje začetno in končno točko.

r – radij vektor, določa položaj MT v prostoru.

- Hitrost– razmerje med potjo in časom .

- Pot- niz točk, skozi katere je šlo telo.

- Pospešek - hitrost spremembe hitrosti, to je prvi odvod hitrosti.

2. Pospešek pri gibanju po krivulji: normalni in tangencialni pospešek. Ravno vrtenje. Kotna hitrost, pospešek.

Krivočrtno gibanje je gibanje, katerega trajektorija je kriva črta. Primer krivočrtnega gibanja je gibanje planetov, konec urinega kazalca vzdolž številčnice itd.

Krivočrtno gibanje– to je vedno pospešeno gibanje. To pomeni, da je pospešek med krivuljnim gibanjem vedno prisoten, tudi če se modul hitrosti ne spremeni, ampak se spremeni samo smer hitrosti.

Sprememba hitrosti na časovno enoto – to je tangencialni pospešek:

Kjer so 𝛖 τ , 𝛖 0 vrednosti hitrosti v času t 0 + Δt oziroma t 0. Tangencialni pospešek na dani točki trajektorije smer sovpada s smerjo hitrosti gibanja telesa ali ji nasproti.

Normalni pospešek je sprememba hitrosti v smeri na enoto časa:

Normalni pospešek usmerjen vzdolž radija ukrivljenosti trajektorije (proti osi vrtenja). Normalni pospešek je pravokoten na smer hitrosti.

Polni pospešek pri enakomerno spremenljivem krivočrtnem gibanju telesa je enako:

-kotna hitrost kaže, za kakšen kot se zasuka točka med enakomernim gibanjem po krožnici na časovno enoto. Enota SI je rad/s.

Ravno vrtenje je rotacija vseh vektorjev hitrosti točk telesa v eni ravnini.

3. Povezava med vektorjema hitrosti in kotne hitrosti materialne točke. Normalni, tangencialni in polni pospešek.

Tangencialni (tangencialni) pospešek– to je komponenta vektorja pospeška, usmerjena vzdolž tangente na tirnico v dani točki tirnice gibanja. Tangencialni pospešek označuje spremembo hitrosti po modulu med krivuljnim gibanjem.

Normalni (centripetalni) pospešek je komponenta vektorja pospeška, usmerjenega vzdolž normale na tirnico gibanja v dani točki na tirnici telesa. To pomeni, da je normalni vektor pospeška pravokoten na linearno hitrost gibanja (glej sliko 1.10). Normalni pospešek označuje spremembo hitrosti v smeri in je označen s črko n. Vektor normalnega pospeška je usmerjen vzdolž polmera ukrivljenosti trajektorije.

Polni pospešek pri krivočrtnem gibanju je sestavljen iz tangencialnega in normalnega pospeška po pravilu dodajanja vektorjev in je določen s formulo.

Dobro veste, da se gibanje glede na obliko trajektorije deli na premočrtno in ukrivljeno. Z pravokotno gibanje kako delati smo se naučili v prejšnjih lekcijah, in sicer rešiti glavni problem mehanike za to vrsto gibanja.

Jasno pa je, da imamo v resničnem svetu najpogosteje opravka s krivuljnim gibanjem, ko je trajektorija kriva črta. Primeri takšnega gibanja so tir telesa, vrženega pod kotom na obzorje, gibanje Zemlje okoli Sonca in celo tir gibanja vaših oči, ki zdaj sledijo tej noti.

Vprašanje, kako rešiti glavna naloga mehaniki v primeru krivočrtnega gibanja in ta lekcija bo posvečena.

Najprej se odločimo, kaj temeljne razlike ali ima krivočrtno gibanje (slika 1) relativno glede na premočrtno gibanje in do česa te razlike vodijo.

riž. 1. Trajektorija krivuljnega gibanja

Pogovorimo se o tem, kako je primerno opisati gibanje telesa med krivuljnim gibanjem.

Gibanje lahko razdelimo na ločene odseke, v vsakem od njih pa se lahko šteje za premočrtno gibanje (slika 2).

riž. 2. Razdelitev krivočrtnega gibanja na odseke premočrtnega gibanja

Vendar pa je naslednji pristop bolj priročen. To gibanje si bomo predstavljali kot kombinacijo več gibov po krožnih lokih (slika 3). Upoštevajte, da je takšnih predelnih sten manj kot v prejšnjem primeru, poleg tega je gibanje po krogu krivuljasto. Poleg tega so primeri gibanja v krogu v naravi zelo pogosti. Iz tega lahko sklepamo:

Da bi opisali krivočrtno gibanje, se morate naučiti opisati gibanje v krogu, nato pa poljubno gibanje predstaviti v obliki sklopov gibov vzdolž krožnih lokov.

riž. 3. Razdelitev krivočrtnega gibanja na gibanje vzdolž krožnih lokov

Torej, začnimo preučevanje krivuljnega gibanja s preučevanjem enakomernega gibanja v krogu. Ugotovimo, kakšne so temeljne razlike med krivuljnim in premočrtnim gibanjem. Za začetek se spomnimo, da smo v devetem razredu preučevali dejstvo, da je hitrost telesa pri gibanju v krožnici usmerjena tangentno na trajektorijo (slika 4). Mimogrede, to dejstvo lahko opazujete eksperimentalno, če opazujete, kako se premikajo iskre pri uporabi brusnega kamna.

Oglejmo si gibanje telesa vzdolž krožnega loka (slika 5).

riž. 5. Hitrost telesa pri gibanju v krogu

Upoštevajte, da je v tem primeru modul hitrosti telesa v točki enak modulu hitrost telesa v točki:

Vendar pa vektor ni enaka vektorju. Torej imamo vektor razlike hitrosti (slika 6):

riž. 6. Vektor razlike hitrosti

Poleg tega se je čez nekaj časa zgodila sprememba hitrosti. Tako dobimo znano kombinacijo:

To ni nič drugega kot sprememba hitrosti v določenem časovnem obdobju ali pospešek telesa. Iz tega je mogoče narediti zelo pomemben zaključek:

Gibanje po ovinkasti poti je pospešeno. Narava tega pospeška je stalna sprememba smeri vektorja hitrosti.

Še enkrat poudarimo, da tudi če rečemo, da se telo giblje enakomerno po krožnici, to pomeni, da se modul hitrosti telesa ne spreminja. Vendar je takšno gibanje vedno pospešeno, saj se smer hitrosti spreminja.

V devetem razredu ste se učili, čemu je ta pospešek enak in kako je usmerjen (slika 7). Centripetalni pospešek je vedno usmerjen proti središču kroga, po katerem se telo giblje.

riž. 7. Centripetalni pospešek

Modul centripetalnega pospeška lahko izračunamo po formuli:

Preidimo k opisu enakomernega gibanja telesa v krožnici. Dogovorimo se, da se bo hitrost, ki ste jo uporabili pri opisu translacijskega gibanja, zdaj imenovala linearna hitrost. In pod linearno hitrostjo bomo razumeli trenutno hitrost na točki poti rotirajočega telesa.

riž. 8. Gibanje točk diska

Razmislite o disku, ki se vrti v smeri urinega kazalca za določenost. Na njegovem polmeru označimo dve točki in (slika 8). Poglejmo njihovo gibanje. Sčasoma se bodo te točke premaknile vzdolž lokov kroga in postale točke in. Očitno je, da se je točka premaknila bolj kot točka. Iz tega lahko sklepamo, da čim dlje je točka od osi vrtenja, večja je linearna hitrost gibanja

Če pa natančno pogledate točke in , lahko rečemo, da je kot, za katerega so se obrnile glede na os vrtenja, ostal nespremenjen. Kotne karakteristike bomo uporabili za opis gibanja v krožnici. Upoštevajte, da lahko za opis krožnega gibanja uporabimo kotiček lastnosti.

Začnimo obravnavati gibanje v krogu od samega začetka preprost primer– enakomerno gibanje po krogu. Spomni se te uniforme gibanje naprej je gibanje, pri katerem se telo enako giblje v poljubnih enakih časovnih intervalih. Po analogiji lahko podamo definicijo enakomernega gibanja v krožnici.

Enakomerno krožno gibanje je gibanje, pri katerem se telo v poljubnih enakih časovnih intervalih vrti za enake kote.

Podobno kot koncept linearne hitrosti je uveden koncept kotne hitrosti.

Kotna hitrost enakomernega gibanja ( klical fizikalna količina, ki je enak razmerju med kotom, za katerega se je telo obrnilo, in časom, v katerem je prišlo do tega vrtenja.

V fiziki se najpogosteje uporablja radianska mera kota. Na primer, kot b je enak radianom. Kotna hitrost se meri v radianih na sekundo:

Poiščimo povezavo med kotno hitrostjo vrtenja točke in linearno hitrostjo te točke.

riž. 9. Razmerje med kotno in linearno hitrostjo

Ko se vrti, gre točka skozi lok dolžine , ki se obrne pod kotom . Iz definicije radianske mere kota lahko zapišemo:

Razdelimo levo in desno stran enakosti s časovnim obdobjem, v katerem je bilo gibanje izvedeno, nato pa uporabimo definicijo kotne in linearne hitrosti:

Upoštevajte, da dlje kot je točka od osi vrtenja, večja je njena linearna hitrost. In točke, ki se nahajajo na sami osi vrtenja, so nepremične. Primer tega je vrtiljak: bližje kot si središču vrtiljaka, lažje se na njem obdržiš.

Ta odvisnost linearne in kotne hitrosti se uporablja v geostacionarni sateliti(sateliti, ki so vedno nad isto točko zemeljsko površje). Zahvaljujoč takim satelitom lahko sprejemamo televizijske signale.

Spomnimo se, da smo prej predstavili pojma periode in frekvence vrtenja.

Obdobje vrtenja je čas enega polnega obrata. Obdobje vrtenja je označeno s črko in merjeno v SI sekundah:

Vrtilna frekvenca je fizikalna količina, ki je enaka številu vrtljajev, ki jih telo naredi na časovno enoto.

Frekvenca je označena s črko in merjena v recipročnih sekundah:

Povezana sta z razmerjem:

Obstaja povezava med kotno hitrostjo in frekvenco vrtenja telesa. Če se tega spomnimo polni obrat je enaka , zlahka vidimo, da je kotna hitrost:

Če te izraze zamenjamo v razmerje med kotno in linearno hitrostjo, lahko dobimo odvisnost linearne hitrosti od periode ali frekvence:

Zapišimo še povezavo med centripetalnim pospeškom in temi količinami:

Tako poznamo razmerje med vsemi značilnostmi enakomernega krožnega gibanja.

Naj povzamemo. V tej lekciji smo začeli opisovati krivuljno gibanje. Razumeli smo, kako lahko krivočrtno gibanje povežemo s krožnim gibanjem. Krožno gibanje je vedno pospešeno, prisotnost pospeška pa določa dejstvo, da hitrost vedno spreminja svojo smer. Ta pospešek se imenuje centripetalni. Na koncu smo se spomnili še nekaterih značilnosti krožnega gibanja ( linearna hitrost, kotna hitrost, periodo in vrtilno frekvenco) in našel razmerja med njimi.

Reference

1. G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovcev, N.N. Sotski. Fizika 10. - M .: Izobraževanje, 2008.
2. A.P. Rimkevič. Fizika. Problematika 10-11. - M .: Bustard, 2006.
3. O.Ya. Savčenko. Težave s fiziko. - M.: Nauka, 1988.
4. A.V. Periškin, V.V. Krauklis. Tečaj fizike. T. 1. - M.: Država. učiteljica izd. min. izobraževanje RSFSR, 1957.

1. Аyp.ru ().
2. Wikipedia ().

domača naloga

Ko smo rešili težave za to lekcijo, se lahko pripravite na vprašanja 1 GIA in vprašanja A1, A2 Enotnega državnega izpita.

1. Naloge 92, 94, 98, 106, 110 - sob. težave A.P. Rimkevič, ur. 10
2. Izračunaj kotno hitrost minutnega, sekundnega in urnega kazalca ure. Izračunajte centripetalni pospešek, ki deluje na konici teh puščic, če je polmer vsake en meter.

Koncepta hitrosti in pospeška se seveda posploši na primer materialne točke, ki se giblje vzdolž krivuljasta trajektorija. Položaj gibljive točke na trajektoriji je določen z vektorjem radija r potegnjeno do te točke iz neke fiksne točke O, na primer izhodišče koordinat (slika 1.2). Naj v trenutku t materialna točka je na položaju M s polmernim vektorjem r = r (t). Kasneje kratek čas D t, se bo premaknil na položaj M 1 s polmerom - vektorjem r 1 = r (t+ D t). Polmer - vektor materialne točke bo prejel prirastek, določen z geometrijsko razliko D r = r 1 - r . Povprečna hitrost skozi čas D t se imenuje količina

Smer povprečna hitrost V Sre tekme z vektorsko smerjo D r .

Povprečna omejitev hitrosti pri D t® 0, tj. odvod radija - vektorja r po času

(1.9)

klical res oz instant hitrost materialne točke. Vektor V usmeril tangencialno na trajektorijo premikajoče se točke.

Pospešek A imenujemo vektor, ki je enak prvemu odvodu vektorja hitrosti V ali drugi odvod radij - vektorja r po času:

(1.10)

(1.11)

Opozorimo na naslednjo formalno analogijo med hitrostjo in pospeškom. Iz poljubne fiksne točke O 1 bomo izrisali vektor hitrosti V gibljive točke v vseh možnih časih (slika 1.3).

Konec vektorja V klical točka hitrosti. Geometrijsko mesto točk hitrosti je krivulja, imenovana hodograf hitrosti. Ko materialna točka opisuje trajektorijo, se ustrezna hitrostna točka premika po hodografu.

riž. 1.2 se razlikuje od sl. 1.3 samo z zapisom. Radij – vektor r nadomesti z vektorjem hitrosti V , materialna točka - do hitrostne točke, trajektorija - do hodografa. Matematične operacije na vektorju r pri iskanju hitrosti in nad vektorjem V ko jih najdemo, so pospeški popolnoma enaki.

Hitrost V usmerjen vzdolž tangencialne trajektorije. zato pospeševanjea bo usmerjen tangencialno na hodograf hitrosti. Lahko se reče, da pospešek je hitrost gibanja točke hitrosti po hodografu. torej