Izpeljava osnovnega zakona dinamike rotacijskega gibanja. Preverjanje osnovnega zakona dinamike rotacijskega gibanja togega telesa Osnovni zakon rotacijskega gibanja togega telesa

Moment sile glede na fiksno točkoO je vektorska fizikalna količina, definirana z vektorskim produktom radijskega vektorja potegnjeno iz točkeO točnoA application of force, sila (Slika 1.4.1):

(1.4.1)

Tukaj – psevdovektor, njegova smer sovpada s smerjo gibanja desnega propelerja, ko se vrti iz Za .

Modul momenta sile

Kje
– kot med in ,
– najkrajša razdalja med linijo delovanja sile in točko O–moč ramen.

Moment sile okoli nepremične osi z
, enaka projekciji na to os vektorja moment sile, določen glede na poljubno točkoO podana osz (slika 1.4.1).

Delo, opravljeno pri vrtenju telesa, je enako zmnožku momenta delujoče sile in rotacijskega kota:

.

Po drugi strani gre to delo za povečanje njegove kinetične energije:

, Ampak

, Zato

, oz
.

Glede na to
, dobimo

. (1.4.2)

dobil osnovna enačba za dinamiko rotacijskega gibanja togega telesa glede na nepremično os: moment zunanjih sil, ki delujejo na telo, je enak produktu vztrajnostnega momenta telesa in kotnega pospeška.

Lahko se pokaže, da če os vrtenja sovpada z glavno vztrajnostno osjo, ki poteka skozi središče mase, potem velja vektorska enakost:

,

Kje jaz– glavni vztrajnostni moment telesa (vztrajnostni moment glede na glavno os).

1.5 Kotni moment in zakon njegovega ohranjanja

trenutek impulza materialna točkaA glede na fiksno točko O je vektorska fizikalna količina, definirana z vektorskim produktom:

(1.5.1)

Kje – radius vektor, narisan iz točke O točno A;
– gibalna količina materialne točke (slika 1.5.1).
– psevdovektor, njegova smer sovpada s smerjo translacijskega gibanja desnega propelerja, ko se vrti iz Za .

,

Kje
– kot med vektorji in ,– vektorska roka glede na točko O.

Moment impulza glede na fiksno os z imenujemo skalarna količina
, ki je enaka projekciji na to os vektorja vrtilne količine, določenega glede na poljubno točkoO ta os. Zagonska vrednost
ni odvisen od položaja točke O na osi z.

Ko se absolutno togo telo vrti okoli fiksne osi z vsaka posamezna točka telesa se giblje v krožnici stalnega polmera z neko hitrostjo . Hitrost in zagon
pravokotno na ta polmer, tj. polmer je krak vektorja
. Zato lahko zapišemo, da je vrtilna količina posameznega delca

in je usmerjen vzdolž osi v smeri, ki jo določa pravilo desnega vijaka.

Gibalna količina togega telesa glede na os je vsota vrtilnih količin posameznih delcev:

.

Uporaba formule
, dobimo

, tj.
. (1.5.2)

Tako je kotna količina togega telesa glede na os enaka produktu vztrajnostnega momenta telesa glede na isto os in kotne hitrosti.

Diferencirajmo enačbo (1.5.2) glede na čas:

, tj.
. (1.5.3)

Ta izraz je druga oblika osnovna enačba (zakon) dinamike rotacijskega gibanja togega telesa glede na nepremično os: časovni odvod gibalne količine mehanskega sistema (trdnega telesa) glede na os je enak glavnemu momentu vseh zunanjih sil, ki delujejo na ta sistem glede na isto os.

Lahko se pokaže, da obstaja vektorska enakost
.

V zaprtem sistemu moment zunanjih sil
in
, kje

. (1.5.4)

Izraz (1.5.4) je zakon o ohranitvi kotne količine : Kotna količina zaprtozančnega sistema se ohrani.

Primerjajmo osnovne količine in enačbe, ki določajo vrtenje telesa okoli nepremične osi in njegovo translacijsko gibanje (tabela 1.5.1).

Tabela 1.5.1

Osnovni pojmi.

Trenutek moči glede na vrtilno os - to je vektorski produkt vektorja radija in sile.

Moment sile je vektor , katere smer je določena s pravilom gimlet (desni vijak) v odvisnosti od smeri sile, ki deluje na telo. Moment sile je usmerjen vzdolž osi vrtenja in nima določene točke uporabe.

Številčna vrednost tega vektorja je določena s formulo:

M=r×F× sina(1.15),

kje - kot med vektorjem radija in smerjo sile.

Če je a=0 oz str, trenutek moči M=0, tj. sila, ki poteka skozi vrtilno os ali sovpada z njo, ne povzroči vrtenja.

Največji modul navora nastane, če sila deluje pod kotom a=p/2 (M > 0) oz a=3p/2 (M< 0).

Uporaba koncepta finančnega vzvoda d- to je pravokotnik, spuščen iz središča vrtenja na linijo delovanja sile), formula za moment sile ima obliko:

Kje (1.16)

Pravilo momentov sil(pogoj ravnovesja telesa s fiksno vrtilno osjo):

Da je telo s fiksno vrtilno osjo v ravnotežju, mora biti algebraična vsota momentov sil, ki delujejo na to telo, enaka nič.

S M i =0(1.17)

Enota SI za moment sile je [N×m]

Pri rotacijskem gibanju je vztrajnost telesa odvisna ne le od njegove mase, temveč tudi od njegove porazdelitve v prostoru glede na vrtilno os.

Za vztrajnost med vrtenjem je značilen vztrajnostni moment telesa glede na os vrtenja. J.

Vztrajnostni moment materialna točka glede na vrtilno os je vrednost, ki je enaka zmnožku mase točke s kvadratom njene oddaljenosti od vrtilne osi:

J i = m i × r i 2(1.18)

Vztrajnostni moment telesa glede na os je vsota vztrajnostnih momentov materialnih točk, ki sestavljajo telo:

J=S m i × r i 2(1.19)

Vztrajnostni moment telesa je odvisen od njegove mase in oblike ter od izbire vrtilne osi. Za določitev vztrajnostnega momenta telesa glede na določeno os se uporablja Steiner-Huygensov izrek:

J=J 0 +m× d 2(1.20),

Kje J 0– vztrajnostni moment okoli vzporedne osi, ki poteka skozi središče mase telesa, d– razdalja med dvema vzporednima osema . Vztrajnostni moment v SI se meri v [kg × m 2 ]

Vztrajnostni moment med rotacijskim gibanjem človeškega telesa se določi eksperimentalno in približno izračuna po formulah za valj, okroglo palico ali kroglo.

Vztrajnostni moment osebe glede na navpično os vrtenja, ki poteka skozi središče mase (središče mase človeškega telesa se nahaja v sagitalni ravnini nekoliko pred drugim sakralnim vretencem), odvisno od položaj osebe, ima naslednje vrednosti: ko stoji pri pozornosti - 1,2 kg × m 2; z "arabesko" pozo - 8 kg × m 2; v vodoravnem položaju - 17 kg × m 2.

Delajte v rotacijskem gibanju nastane, ko se telo vrti pod vplivom zunanjih sil.

Elementarno delo sile pri rotacijskem gibanju je enako zmnožku momenta sile in elementarnega rotacijskega kota telesa:

dA i =M i × dj(1.21)

Če na telo deluje več sil, potem je osnovno delo rezultante vseh uporabljenih sil določeno s formulo:

dA=M×dj(1.22),

Kje M– skupni moment vseh zunanjih sil, ki delujejo na telo.

Kinetična energija rotacijskega telesaW do odvisno od vztrajnostnega momenta telesa in kotne hitrosti njegovega vrtenja:

Kot impulza (kotni moment) – količina, ki je številčno enaka zmnožku gibalne količine telesa in polmera vrtenja.

L=p×r=m×V×r(1.24).

Po ustreznih transformacijah lahko formulo za določitev vrtilne količine zapišete v obliki:

(1.25).

Kotna količina je vektor, katerega smer je določena s pravilom desnega vijaka. Enota SI za kotno količino je [kg×m 2 /s]

Osnovni zakoni dinamike rotacijskega gibanja.

Osnovna enačba za dinamiko rotacijskega gibanja:

Kotni pospešek telesa, ki se vrti, je neposredno sorazmeren s skupnim momentom vseh zunanjih sil in obratno sorazmeren z vztrajnostnim momentom telesa.

(1.26).

Ta enačba igra enako vlogo pri opisovanju rotacijskega gibanja kot drugi Newtonov zakon za translacijsko gibanje. Iz enačbe je razvidno, da je pod delovanjem zunanjih sil večji kotni pospešek, manjši je vztrajnostni moment telesa.

Drugi Newtonov zakon za dinamiko rotacijskega gibanja lahko zapišemo v drugi obliki:

(1.27),

tiste. prvi odvod vrtilne količine telesa glede na čas je enak skupnemu momentu vseh zunanjih sil, ki delujejo na dano telo.

Zakon ohranitve vrtilne količine telesa:

Če je skupni moment vseh zunanjih sil, ki delujejo na telo, enak nič, tj.

S M i =0, Potem dL/dt=0 (1.28).

To pomeni bodisi (1.29).

Ta izjava je bistvo zakona o ohranitvi kotne količine telesa, ki je formuliran na naslednji način:

Kotna količina telesa ostane konstantna, če je skupni moment zunanjih sil, ki delujejo na rotirajoče telo, enak nič.

Ta zakon ne velja le za absolutno togo telo. Primer je umetnostni drsalec, ki izvaja rotacijo okoli navpične osi. S pritiskom na roke drsalec zmanjša vztrajnostni moment in poveča kotno hitrost. Da bi upočasnil vrtenje, nasprotno široko razširi roke; Posledično se poveča vztrajnostni moment in zmanjša kotna hitrost vrtenja.

Na koncu predstavljamo primerjalno tabelo glavnih količin in zakonov, ki označujejo dinamiko translacijskih in rotacijskih gibanj.

Tabela 1.4.

Gibanje naprej	Rotacijsko gibanje
Fizična količina	Formula	Fizična količina	Formula
Utež	m	Vztrajnostni moment	J=m×r 2
Sila	F	Trenutek moči	M=F×r, če
Telesni impulz (količina gibanja)	p=m×V	Moment telesa	L=m×V×r; D=Jך
Kinetična energija		Kinetična energija
Mehansko delo	dA=FdS	Mehansko delo	dA=Mdj
Osnovna enačba dinamike translacijskega gibanja		Osnovna enačba za dinamiko rotacijskega gibanja	,
Zakon o ohranitvi gibalne količine telesa	oz če	Zakon o ohranitvi kotne količine telesa	oz SJ i w i =konst,če

Centrifugiranje.

Ločevanje nehomogenih sistemov, sestavljenih iz delcev različnih gostot, se lahko izvede pod vplivom gravitacije in Arhimedove sile (sila vzgona). Če obstaja vodna suspenzija delcev različnih gostot, potem nanje deluje skupna sila

F r =F t – F A =r 1 ×V×g - r×V×g, tj.

F r =(r 1 - r)× V ×g(1.30)

kjer je V prostornina delca, r 1 in r– oziroma gostoto snovi delca in vode. Če se gostoti med seboj nekoliko razlikujejo, je nastala sila majhna in separacija (odlaganje) poteka precej počasi. Zato se uporablja prisilno ločevanje delcev zaradi vrtenja izločenega medija.

Centrifugiranje je proces ločevanja (ločevanja) heterogenih sistemov, mešanic ali suspenzij, sestavljenih iz delcev različnih mas, ki se pojavljajo pod vplivom centrifugalne vztrajnostne sile.

Osnova centrifuge je rotor z gnezdi za epruvete, nameščen v zaprtem ohišju, ki ga poganja elektromotor. Ko se rotor centrifuge vrti z dovolj visoko hitrostjo, se suspendirani delci različnih mas pod vplivom centrifugalne vztrajnostne sile porazdelijo v plasti na različnih globinah, najtežje pa se odložijo na dno epruvete.

Lahko se pokaže, da je sila, pod vplivom katere pride do ločitve, določena s formulo:

(1.31)

Kje w- kotna hitrost vrtenja centrifuge, r– oddaljenost od vrtilne osi. Večja kot je razlika v gostotah ločenih delcev in tekočine, večji je učinek centrifugiranja, bistveno pa je odvisen tudi od kotne hitrosti vrtenja.

Ultracentrifuge, ki delujejo pri hitrosti rotorja približno 10 5 –10 6 vrtljajev na minuto, lahko ločijo delce, manjše od 100 nm, suspendirane ali raztopljene v tekočini. Našli so široko uporabo v biomedicinskih raziskavah.

Ultracentrifugiranje se lahko uporablja za ločevanje celic na organele in makromolekule. Najprej se usedejo (sediment) večji deli (jedra, citoskelet). Z nadaljnjim povečevanjem hitrosti centrifugiranja se zaporedno usedajo manjši delci - najprej mitohondriji, lizosomi, nato mikrosomi in na koncu ribosomi in velike makromolekule. Med centrifugiranjem se različne frakcije usedajo z različnimi hitrostmi in tvorijo ločene trakove v epruveti, ki jih je mogoče izolirati in pregledati. Frakcionirani celični izvlečki (sistemi brez celic) se pogosto uporabljajo za preučevanje znotrajceličnih procesov, na primer za preučevanje biosinteze beljakovin in dešifriranje genetske kode.

Za sterilizacijo ročnikov v zobozdravstvu se uporablja oljni sterilizator s centrifugo za odstranjevanje odvečnega olja.

Centrifugiranje se lahko uporablja za usedanje delcev, suspendiranih v urinu; ločevanje oblikovanih elementov iz krvne plazme; ločevanje biopolimerov, virusov in subceličnih struktur; nadzor nad čistostjo zdravila.

Naloge za samokontrolo znanja.

1. vaja . Vprašanja za samokontrolo.

Kakšna je razlika med enakomernim krožnim gibanjem in enakomernim linearnim gibanjem? Pod kakšnim pogojem se bo telo gibalo enakomerno po krožnici?

Pojasnite, zakaj prihaja do enakomernega gibanja v krožnici s pospeškom.

Ali lahko pride do krivočrtnega gibanja brez pospeška?

Pod katerim pogojem je moment sile enak nič? ima največjo vrednost?

Navedite meje uporabnosti zakona o ohranitvi gibalne količine in vrtilne količine.

Navedite značilnosti ločevanja pod vplivom gravitacije.

Zakaj je mogoče ločiti beljakovine z različnimi molekulskimi masami s centrifugiranjem, vendar je metoda frakcijske destilacije nesprejemljiva?

Naloga 2 . Testi za samokontrolo.

Vpiši manjkajočo besedo:

Sprememba predznaka kotne hitrosti pomeni spremembo_ _ _ _ _ rotacijskega gibanja.

Sprememba predznaka kotnega pospeška označuje spremembo_ _ rotacijskega gibanja

Kotna hitrost je enaka _ _ _ _ _odvodu rotacijskega kota vektorja radija glede na čas.

Kotni pospešek je enak _ _ _ _ _ _odvodu rotacijskega kota vektorja radija glede na čas.

Moment sile je enak_ _ _ _ _, če smer sile, ki deluje na telo, sovpada z osjo vrtenja.

Poiščite pravilen odgovor:

Moment sile je odvisen samo od točke delovanja sile.

Vztrajnostni moment telesa je odvisen samo od mase telesa.

Enakomerno krožno gibanje poteka brez pospeška.

A. Pravilno. B. Napačno.

Vse zgornje količine so skalarne, razen

A. moment sile;

B. mehansko delo;

C. potencialna energija;

D. vztrajnostni moment.

Vektorske količine so

A. kotna hitrost;

B. kotni pospešek;

C. moment sile;

D. vrtilna količina.

odgovori: 1 – smeri; 2 – značaj; 3 – prvi; 4 – drugi; 5 – nič; 6 – B; 7 – B; 8 – B; 9 – A; 10 – A, B, C, D.

Naloga 3. Ugotovite razmerje med merskimi enotami :

linearna hitrost cm/min in m/s;

kotni pospešek rad/min 2 in rad/s 2 ;

moment sile kN×cm in N×m;

telesni impulz g×cm/s in kg×m/s;

vztrajnostni moment g×cm 2 in kg×m 2.

Naloga 4. Naloge medicinske in biološke vsebine.

Naloga št. 1. Zakaj med fazo letenja pri skoku športnik ne more uporabiti nobenih gibov, da bi spremenil trajektorijo težišča telesa? Ali športnikove mišice opravljajo delo, ko se spremeni položaj delov telesa v prostoru?

odgovor:Športnik lahko z gibanjem v prostem letu po paraboli spreminja le lokacijo telesa in njegovih posameznih delov glede na njegovo težišče, ki je v tem primeru središče vrtenja. Športnik opravlja delo za spremembo kinetične energije vrtenja telesa.

Naloga št. 2. Kolikšno povprečno moč razvije človek pri hoji, če traja korak 0,5 s? Upoštevajte, da se delo porabi za pospeševanje in upočasnjevanje spodnjih okončin. Kotno gibanje nog je približno Dj=30 o. Vztrajnostni moment spodnje okončine je 1,7 kg × m 2. Gibanje nog je treba obravnavati kot enakomerno izmenično rotacijsko.

rešitev:

1) Zapišimo kratko stanje problema: Dt= 0,5s; DJ=30 0 =p/ 6; jaz=1,7 kg × m 2

2) Določite delo v enem koraku (desna in leva noga): A= 2×Iw 2 / 2=Iw 2.

Uporaba formule za povprečno kotno hitrost w av =Dj/Dt, dobimo: w= 2w av = 2×Dj/Dt; N=A/Dt= 4×I×(Dj) 2 /(Dt) 3

3) Zamenjajte številske vrednosti: N=4× 1,7× (3,14) 2 /(0,5 3 × 36)=14,9(W)

Odgovor: 14,9 W.

Naloga št. 3. Kakšna je vloga gibanja rok pri hoji?

Odgovori: Gibanje nog, ki se premikajo v dveh vzporednih ravninah, ki se nahajajo na določeni razdalji drug od drugega, ustvarja moment sile, ki teži k vrtenju človeškega telesa okoli navpične osi. Človek zamahne z rokami "proti" gibanju nog in s tem ustvari moment sile nasprotnega znaka.

Naloga št. 4. Eno od področij za izboljšanje svedrov, ki se uporabljajo v zobozdravstvu, je povečanje hitrosti vrtenja svedra. Hitrost vrtenja konice bora v nožnih vrtalnikih je 1500 vrtljajev na minuto, v stacionarnih električnih vrtalnikih - 4000 vrtljajev na minuto, v turbinskih vrtalnikih - že doseže 300.000 vrtljajev na minuto. Zakaj se razvijajo nove modifikacije svedrov z velikim številom vrtljajev na enoto časa?

Odgovor: Dentin je nekaj tisočkrat bolj občutljiv za bolečino kot koža: na 1 mm kože sta 1-2 bolečinski točki, na 1 mm sekalnega dentina pa do 30.000 bolečinskih točk. Povečanje števila vrtljajev po mnenju fiziologov zmanjša bolečino pri zdravljenju kariozne votline.

Z naloga 5 . Izpolnite tabele:

Tabela št. 1. Potegnite analogijo med linearno in kotno karakteristiko rotacijskega gibanja in navedite razmerje med njima.

Tabela št. 2.

Naloga 6. Izpolnite okvirno akcijsko kartico:

Poglavje 2. Osnove biomehanike.

Vprašanja.

Ročice in sklepi v človeškem mišično-skeletnem sistemu. Koncept svobodnih stopenj.

Vrste mišične kontrakcije. Osnovne fizikalne količine, ki opisujejo mišične kontrakcije.

Načela motorične regulacije pri človeku.

Metode in instrumenti za merjenje biomehanskih karakteristik.

2.1. Ročice in sklepi v človeškem mišično-skeletnem sistemu.

Anatomija in fiziologija človeškega mišično-skeletnega sistema imata naslednje značilnosti, ki jih je treba upoštevati pri biomehanskih izračunih: gibanje telesa ne določajo samo mišične sile, temveč tudi zunanje reakcijske sile, gravitacija, vztrajnostne sile in elastične sile. in trenje; zgradba lokomotornega sistema omogoča izključno rotacijske gibe. Z analizo kinematičnih verig lahko translacijske gibe reduciramo na rotacijske gibe v sklepih; gibe nadzira zelo zapleten kibernetski mehanizem, tako da prihaja do nenehnih sprememb pospeška.

Človeški mišično-skeletni sistem je sestavljen iz medsebojno zgibnih skeletnih kosti, na katere so na določenih mestih pritrjene mišice. Kosti okostja delujejo kot vzvodi, ki imajo oporišče v sklepih in jih poganja vlečna sila, ki nastane zaradi krčenja mišic. Razlikovati tri vrste vzvoda:

1) Ročica, na katero deluje sila F in uporna sila R nanesena na nasprotnih straneh oporne točke. Primer takega vzvoda je lobanja, gledana v sagitalni ravnini.

2) Ročica, ki ima aktivno silo F in uporna sila R deluje na eni strani oporne točke in sila F deluje na konec vzvoda in sila R- bližje oporišču. Ta vzvod daje dobiček v moči in izgubo v razdalji, tj. je vzvod moči. Primer je delovanje stopalnega loka pri dvigovanju na polprste, vzvode maksilofacialne regije (slika 2.1). Gibanje žvečilnega aparata je zelo zapleteno. Pri zapiranju ust se spodnja čeljust dvigne iz položaja največjega spuščanja v položaj popolnega zaprtja zob z zobmi zgornje čeljusti z gibanjem mišic, ki dvignejo spodnjo čeljust. Te mišice delujejo na spodnjo čeljust kot vzvod druge vrste z oporiščem v sklepu (poveča moč žvečenja).

3) Ročica, pri kateri delujoča sila deluje bližje oporišču kot sila upora. Ta vzvod je hitrostna ročica, Ker povzroči izgubo moči, a pridobitev gibanja. Primer so kosti podlakti.

riž. 2.1. Vzvodi maksilofacialne regije in stopalnega loka.

Večina kosti okostja je pod delovanjem več mišic, ki razvijajo sile v različnih smereh. Njihovo rezultanto najdemo z geometrijskim seštevanjem po pravilu paralelograma.

Kosti mišično-skeletnega sistema so med seboj povezane v sklepih ali sklepih. Konce kosti, ki tvorijo sklep, drži skupaj sklepna ovojnica, ki jih tesno obdaja, ter vezi, pritrjene na kosti. Za zmanjšanje trenja so stične površine kosti prekrite z gladkim hrustancem, med njimi pa je tanka plast lepljive tekočine.

Prva faza biomehanske analize motoričnih procesov je določitev njihove kinematike. Na podlagi takšne analize se konstruirajo abstraktne kinematične verige, katerih gibljivost oziroma stabilnost je mogoče preveriti na podlagi geometrijskih premislekov. Obstajajo zaprte in odprte kinematične verige, ki jih tvorijo sklepi in toge povezave med njimi.

Stanje proste materialne točke v tridimenzionalnem prostoru podajajo tri neodvisne koordinate – x, y, z. Imenujemo neodvisne spremenljivke, ki označujejo stanje mehanskega sistema stopnje svobode. Pri kompleksnejših sistemih je lahko število prostostnih stopinj večje. Na splošno število stopenj svobode ne določa le števila neodvisnih spremenljivk (ki označujejo stanje mehanskega sistema), temveč tudi število neodvisnih gibov sistema.

Število stopinj svoboda je glavna mehanska značilnost sklepa, tj. opredeljuje število osi, okoli katerega je možna medsebojna rotacija zgibnih kosti. Določa ga predvsem geometrijska oblika površine kosti, ki se stikajo v sklepu.

Največje število svobodnih stopenj v sklepih je 3.

Primeri enoosnih (ploskih) sklepov v človeškem telesu so humerulnarni, suprakalkanealni in falangealni sklepi. Omogočajo le fleksijo in ekstenzijo z eno stopnjo svobode. Tako ulna s pomočjo polkrožne zareze prekriva valjasto izboklino na nadlahtnici, ki služi kot os sklepa. Gibanja v sklepu so fleksija in ekstenzija v ravnini, ki je pravokotna na os sklepa.

Zapestni sklep, v katerem prihaja do fleksije in ekstenzije ter addukcije in abdukcije, lahko uvrstimo med sklepe z dvema prostostnima stopnjama.

Sklepi s tremi prostostnimi stopnjami (prostorska artikulacija) vključujejo kolčni in skapulohumeralni sklep. Na primer, pri skapulohumeralnem sklepu se kroglasta glava nadlahtnice prilega sferični votlini štrline lopatice. Gibanja v sklepu so fleksija in ekstenzija (v sagitalni ravnini), addukcija in abdukcija (v frontalni ravnini) ter rotacija okončine okoli vzdolžne osi.

Zaprte ravne kinematične verige imajo več stopenj svobode f F, ki se izračuna po številu povezav n na naslednji način:

Situacija za kinematične verige v prostoru je bolj zapletena. Tukaj razmerje drži

(2.2)

Kje f i -število omejitev svobode jaz- th povezavo.

V katerem koli telesu lahko izberete osi, katerih smer med vrtenjem se bo ohranila brez posebnih naprav. Imajo ime osi prostega vrtenja

V tem poglavju je togo telo obravnavano kot skupek materialnih točk, ki se druga glede na drugo ne premikajo. Tako telo, ki se ne more deformirati, imenujemo absolutno trdno.

Pustimo, da se trdno telo poljubne oblike vrti pod delovanjem sile okoli nepremične osi 00 (slika 30). Nato vse njegove točke opisujejo krožnice s središči na tej osi. Jasno je, da imajo vse točke telesa enako kotno hitrost in enak kotni pospešek (v določenem času).

Razčlenimo delujočo silo na tri medsebojno pravokotne komponente: (vzporedno z osjo), (pravokotno na os in leži na premici, ki poteka skozi os) in (pravokotno. Očitno vrtenje telesa povzroča samo Komponenta, ki je tangentna na točko delovanja sile, se ne imenuje rotacijska sila. Kot je znano, delovanje sile ni odvisno samo od njegova velikost, ampak tudi od oddaljenosti točke njegovega delovanja A do osi vrtenja, tj. odvisen je od momenta vrtilne sile (navora) in polmera krožnice točka uporabe sile se imenuje:

Razčlenimo celotno telo v mislih na zelo majhne delce - elementarne mase. Čeprav deluje sila na eno točko A telesa, se njen rotacijski učinek prenese na vse delce: elementarna rotacijska sila bo uporabljena za vsako osnovno maso (glej sliko 30). Po drugem Newtonovem zakonu je

kjer je linearni pospešek, dodan osnovni masi. Če pomnožimo obe strani te enakosti s polmerom kroga, ki ga opisuje osnovna masa, in uvedemo kotni pospešek namesto linearnega (glej § 7), dobimo

Ob upoštevanju, da navor deluje na osnovno maso, in označuje

kjer je vztrajnostni moment osnovne mase (materialne točke). Posledično je vztrajnostni moment materialne točke glede na določeno vrtilno os zmnožek mase materialne točke s kvadratom njene razdalje do te osi.

Če seštejemo navore, ki veljajo za vse osnovne mase, ki sestavljajo telo, dobimo

kjer je navor, ki deluje na telo, tj. moment rotacijske sile je vztrajnostni moment telesa. Posledično je vztrajnostni moment telesa vsota vztrajnostnih momentov vseh materialnih točk, ki sestavljajo telo.

Zdaj lahko formulo (3) prepišemo v obliki

Formula (4) izraža osnovni zakon rotacijske dinamike (drugi Newtonov zakon za rotacijsko gibanje):

moment rotacijske sile, ki deluje na telo, je enak produktu vztrajnostnega momenta telesa in kotnega pospeška.

Iz formule (4) je razvidno, da je kotni pospešek, ki ga telesu posreduje navor, odvisen od vztrajnostnega momenta telesa; Večji kot je vztrajnostni moment, manjši je kotni pospešek. Posledično vztrajnostni moment označuje vztrajnostne lastnosti telesa med rotacijskim gibanjem, tako kot masa označuje vztrajnostne lastnosti telesa med translacijskim gibanjem. Za razliko od mase ima lahko vztrajnostni moment določenega telesa veliko vrednosti v skladu s številnimi možnimi osmi vrtenja. Zato je treba, ko govorimo o vztrajnostnem momentu togega telesa, navesti, glede na katero os se izračuna. V praksi imamo običajno opravka z vztrajnostnimi momenti glede na simetrijske osi telesa.

Iz formule (2) sledi, da je merska enota vztrajnostnega momenta kilogram-kvadratni meter

Če sta navor in vztrajnostni moment telesa, potem lahko formulo (4) predstavimo kot

Ta članek opisuje pomemben del fizike - "Kinematika in dinamika rotacijskega gibanja".

Osnovni pojmi kinematike rotacijskega gibanja

Rotacijsko gibanje materialne točke okoli fiksne osi se imenuje takšno gibanje, katerega tir je krog, ki se nahaja v ravnini, pravokotni na os, in njegovo središče leži na osi vrtenja.

Vrtilno gibanje togega telesa je gibanje, pri katerem se vse točke telesa gibljejo po koncentričnih (katerih središča ležijo na isti osi) krožnicah po pravilu za rotacijsko gibanje materialne točke.

Naj se poljubno togo telo T vrti okoli osi O, ki je pravokotna na ravnino risbe. Izberimo točko M na tem telesu. Ob vrtenju bo ta točka opisala krog s polmerom okoli osi O r.

Čez nekaj časa se bo polmer zavrtel glede na prvotni položaj za kot Δφ.

Smer desnega vijaka (v smeri urinega kazalca) je vzeta kot pozitivna smer vrtenja. Spremembo kota vrtenja skozi čas imenujemo enačba rotacijskega gibanja togega telesa:

φ = φ(t).

Če φ merimo v radianih (1 rad je kot, ki ustreza loku z dolžino, ki je enaka njegovemu polmeru), potem je dolžina krožnega loka ΔS, ki ga bo materialna točka M prešla v času Δt, enaka:

ΔS = Δφr.

Osnovni elementi kinematike enakomernega rotacijskega gibanja

Merilo gibanja materialne točke v kratkem časovnem obdobju dt služi kot elementarni rotacijski vektor dφ.

Kotna hitrost materialne točke ali telesa je fizikalna količina, ki je določena z razmerjem med vektorjem osnovne rotacije in trajanjem te rotacije. Smer vektorja lahko določimo s pravilom desnega vijaka vzdolž osi O. V skalarni obliki:

ω = dφ/dt.

če ω = dφ/dt = const, potem se takšno gibanje imenuje enakomerno rotacijsko gibanje. Z njim je kotna hitrost določena s formulo

ω = φ/t.

Po preliminarni formuli je dimenzija kotne hitrosti

[ω] = 1 rad/s.

Enakomerno rotacijsko gibanje telesa lahko opišemo z rotacijsko periodo. Vrtilna doba T je fizikalna količina, ki določa čas, v katerem telo okoli vrtilne osi naredi en polni obrat ([T] = 1 s). Če v formuli za kotno hitrost vzamemo t = T, φ = 2 π (en polni obrat polmera r), potem

ω = 2π/T,

Zato definiramo obdobje rotacije na naslednji način:

T = 2π/ω.

Število vrtljajev, ki jih telo naredi na časovno enoto, imenujemo vrtilna frekvenca ν, ki je enaka:

ν = 1/T.

Frekvenčne enote: [ν]= 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.

Če primerjamo formule za kotno hitrost in frekvenco vrtenja, dobimo izraz, ki povezuje te količine:

ω = 2πν.

Osnovni elementi kinematike neenakomernega rotacijskega gibanja

Za neenakomerno rotacijsko gibanje togega telesa ali materialne točke okoli nepremične osi je značilna njegova kotna hitrost, ki se s časom spreminja.

Vektor ε , ki označuje stopnjo spremembe kotne hitrosti, se imenuje vektor kotnega pospeška:

ε = dω/dt.

Če se telo vrti, pospešuje, tj dω/dt > 0, ima vektor smer vzdolž osi v isto smer kot ω.

Če je rotacijsko gibanje počasno - dω/dt< 0 , potem sta vektorja ε in ω nasprotno usmerjena.

Komentiraj. Ko pride do neenakomernega rotacijskega gibanja, se lahko vektor ω spremeni ne samo v velikosti, ampak tudi v smeri (ko se os vrtenja vrti).

Razmerje med količinami, ki označujejo translacijsko in rotacijsko gibanje

Znano je, da sta dolžina loka z zasučnim kotom polmera in njegova vrednost povezani z razmerjem

ΔS = Δφ r.

Nato linearna hitrost materialne točke, ki izvaja rotacijsko gibanje

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Normalni pospešek materialne točke, ki izvaja rotacijsko translacijsko gibanje, je definiran kot sledi:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Torej v skalarni obliki

a = ω 2 r.

Tangencialno pospešena materialna točka, ki izvaja rotacijsko gibanje

a = ε r.

Gibalna količina materialne točke

Vektorski produkt vektorja radija trajektorije materialne točke z maso m i in njene gibalne količine se imenuje kotna gibalna količina te točke okoli osi vrtenja. Smer vektorja lahko določimo s pravilom desnega vijaka.

Impuls materialne točke ( L i) je usmerjena pravokotno na ravnino, narisano skozi r i in υ i, in z njima tvori desno trojko vektorjev (to je, ko se premikamo od konca vektorja r i Za υ i desni vijak bo pokazal smer vektorja L jaz).

V skalarni obliki

L = m i υ i r i sin(υ i , r i).

Če upoštevamo, da sta pri gibanju v krožnici vektor radija in vektor linearne hitrosti za i-to materialno točko medsebojno pravokotna,

sin(υ i, r i) = 1.

Tako bo kotna količina materialne točke za rotacijsko gibanje prevzela obliko

L = m i υ i r i .

Moment sile, ki deluje na i-to materialno točko

Vektorski produkt polmernega vektorja, ki je narisan na točko delovanja sile, in to silo imenujemo moment sile, ki deluje na i-to materialno točko glede na vrtilno os.

V skalarni obliki

M i = r i F i sin(ri, F i).

Glede na to r i sinα = l i,M i = l i F i .

Magnituda l i, ki je enaka dolžini navpičnice, spuščene s točke vrtenja na smer delovanja sile, se imenuje krak sile F i.

Dinamika rotacijskega gibanja

Enačba za dinamiko rotacijskega gibanja je zapisana takole:

M = dL/dt.

Formulacija zakona je naslednja: hitrost spremembe vrtilne količine telesa, ki se vrti okoli fiksne osi, je enaka posledičnemu trenutku glede na to os vseh zunanjih sil, ki delujejo na telo.

Trenutek impulza in vztrajnostni moment

Znano je, da je za i-to materialno točko kotna količina v skalarni obliki podana s formulo

L i = m i υ i r i .

Če namesto linearne hitrosti njen izraz nadomestimo s kotno hitrostjo:

υ i = ωr i,

potem bo izraz za vrtilno količino dobil obliko

L i = m i r i 2 ω.

Magnituda I i = m i r i 2 se imenuje vztrajnostni moment glede na os i-te materialne točke absolutno togega telesa, ki poteka skozi njegovo središče mase. Nato zapišemo kotno količino materialne točke:

L i = I i ω.

Kotno količino absolutno togega telesa zapišemo kot vsoto kotnih količin materialnih točk, ki sestavljajo to telo:

L = Iω.

Moment sile in vztrajnostni moment

Zakon rotacijskega gibanja pravi:

M = dL/dt.

Znano je, da lahko kotno količino telesa predstavimo z vztrajnostnim momentom:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Glede na to, da je kotni pospešek določen z izrazom

ε = dω/dt,

dobimo formulo za moment sile, predstavljen preko vztrajnostnega momenta:

M = Iε.

Komentiraj. Trenutek sile velja za pozitivnega, če je kotni pospešek, ki ga povzroča, večji od nič, in obratno.

Steinerjev izrek. Zakon seštevanja vztrajnostnih momentov

Če os vrtenja telesa ne poteka skozi njegovo središče mase, lahko glede na to os najdemo njegov vztrajnostni moment z uporabo Steinerjevega izreka:
I = I 0 + ma 2,

Kje jaz 0- začetni vztrajnostni moment telesa; m- telesna masa; a- razdalja med osema.

Če je sistem, ki se vrti okoli nepremične osi, sestavljen iz n teles, potem bo skupni vztrajnostni moment te vrste sistema enak vsoti momentov njegovih komponent (zakon seštevanja vztrajnostnih momentov).

Trenutek moči

Rotacijski učinek sile je določen z njenim momentom. Moment sile okoli katere koli točke se imenuje vektorski produkt

Vektor polmera, narisan od točke do točke uporabe sile (slika 2.12). Merska enota momenta sile.

Slika 2.12

Velikost momenta sile

ali lahko pišete

kjer je krak sile (najkrajša razdalja od točke do premice delovanja sile).

Smer vektorja je določena s pravilom vektorskega produkta ali s pravilom "desnega vijaka" (vektorji in vzporedna translacija se združijo v točki O, smer vektorja je določena tako, da je z njegovega konca vidna rotacija iz vektorja k v nasprotni smeri urinega kazalca - na sliki 2.12 je vektor usmerjen pravokotno na ravnino, ki poteka "od nas" (podobno kot pravilo gimleta - translacijsko gibanje ustreza smeri vektorja, rotacijsko gibanje ustreza vrtenju od do)).

Moment sile okoli katere koli točke je enak nič, če poteka delovanje sile skozi to točko.

Projekcija vektorja na katero koli os, na primer os z, se imenuje moment sile okoli te osi. Za določitev momenta sile okoli osi najprej projiciramo silo na ravnino, pravokotno na os (slika 2.13), nato pa poiščemo moment te projekcije glede na presečišče osi z ravnino, pravokotno na os. to. Če je premica delovanja sile vzporedna z osjo ali jo seka, potem je moment sile okoli te osi enak nič.

Slika 2.13

Zagon

Momentumulse materialna točka masa, ki se premika s hitrostjo glede na katero koli referenčno točko, se imenuje vektorski produkt

Radius vektor materialne točke (slika 2.14) je njena gibalna količina.

Slika 2.14

Velikost kotne količine materialne točke

kjer je najkrajša razdalja od vektorske premice do točke.

Smer momenta impulza določimo podobno kot smer momenta sile.

Če pomnožimo izraz za L 0 in delimo z l, dobimo:

Kje je vztrajnostni moment materialne točke - analog mase pri rotacijskem gibanju.

Kotna hitrost.

Vztrajnostni moment togega telesa

Vidimo, da sta dobljeni formuli zelo podobni izrazom za gibalno količino oziroma za drugi Newtonov zakon, le da sta namesto linearne hitrosti in pospeška uporabljeni kotna hitrost in pospešek, namesto mase pa količina I=mR 2, imenovano vztrajnostni moment materialne točke .

Če telesa ne moremo šteti za materialno točko, lahko pa ga štejemo za absolutno trdno, potem lahko njegov vztrajnostni moment štejemo za vsoto vztrajnostnih momentov njegovih neskončno majhnih delov, saj so kotne hitrosti vrtenja teh delov enake. (slika 2.16). Vsota neskončno malih je integral:

Za vsako telo obstajajo osi, ki potekajo skozi njegovo vztrajnostno središče in imajo naslednjo lastnost: ko se telo vrti okoli teh osi brez zunanjih vplivov, osi vrtenja ne spremenijo svojega položaja. Takšne osi se imenujejo proste telesne osi . Dokažemo lahko, da za telo kakršne koli oblike in s katero koli porazdelitvijo gostote obstajajo tri med seboj pravokotne proste osi, imenovane glavne vztrajnostne osi telesa. Vztrajnostni momenti telesa glede na glavne osi se imenujejo glavni (intrinzični) vztrajnostni momenti telesa.

Glavni vztrajnostni momenti nekaterih teles so podani v tabeli:

Huygens-Steinerjev izrek.

Ta izraz se imenuje Huygens-Steinerjev izrek : vztrajnostni moment telesa glede na poljubno os je enak vsoti vztrajnostnega momenta telesa glede na os, ki je vzporedna z dano osjo in poteka skozi središče mase telesa, in produkta telesna masa s kvadratom razdalje med osema.

Osnovna enačba za dinamiko rotacijskega gibanja

Osnovni zakon dinamike rotacijskega gibanja lahko dobimo iz drugega Newtonovega zakona za translacijsko gibanje togega telesa

Kje F– sila, ki deluje na telo z maso m; A– linearni pospešek telesa.

Če k trdnemu telesu mase m v točki A (slika 2.15) uporabite silo F, potem bodo zaradi toge povezave med vsemi materialnimi točkami telesa vse prejele kotni pospešek ε in ustrezne linearne pospeške, kot da bi na vsako točko delovala sila F 1 ...F n. Za vsako materialno točko lahko zapišemo:

Kje torej

Kje m i- utež jaz- točke; ε – kotni pospešek; r i– njegova razdalja do vrtilne osi.

Množenje leve in desne strani enačbe z r i, dobimo

Kje - moment sile je produkt sile in njene rame.

riž. 2.15. Togo telo, ki se vrti pod vplivom sile F okoli osi "OO"

- vztrajnostni moment jaz materialna točka (analog mase pri rotacijskem gibanju).

Izraz lahko zapišemo takole:

Seštejmo levi in ​​desni del po vseh točkah telesa:

Enačba je osnovni zakon dinamike rotacijskega gibanja togega telesa. Velikost je geometrijska vsota vseh momentov sile, to je moment sile F, ki posreduje pospešek ε vsem točkam telesa. – algebraična vsota vztrajnostnih momentov vseh točk telesa. Zakon je formuliran takole: "Moment sile, ki deluje na vrteče se telo, je enak produktu vztrajnostnega momenta telesa in kotnega pospeška."

Na drugi strani

V zameno - sprememba vrtilne količine telesa.

Nato lahko osnovni zakon dinamike rotacijskega gibanja prepišemo kot:

Ali - impulz momenta sile, ki deluje na vrteče se telo, je enak spremembi njegovega vrtilnega momenta.

Zakon o ohranitvi kotne količine

Podobno kot ZSI.

Po osnovni enačbi dinamike rotacijskega gibanja je moment sile glede na os Z: . Zato je v zaprtem sistemu in zato celotna kotna količina glede na os Z vseh teles, ki so vključena v zaprt sistem, stalna količina. To izraža zakon o ohranitvi kotne količine . Ta zakon deluje samo v inercialnih referenčnih sistemih.

Naredimo analogijo med značilnostmi translacijskega in rotacijskega gibanja.