Figure s centralno simetrijo. Simetrija besed in številk

SIMETRIJA PROSTORSKIH LIK

Po mnenju slavnega nemškega matematika G. Weyla (1885-1955) je "simetrija ideja, s pomočjo katere je človek stoletja poskušal razumeti in ustvariti red, lepoto in popolnost."
Lepe slike simetrijo izkazujejo umetniška dela: arhitektura, slikarstvo, kiparstvo itd.
Pojem simetrije likov na ravnini smo obravnavali pri predmetu planimetrije. Predvsem sta bila opredeljena koncepta centralne in osne simetrije. Za prostorske figure pojem simetrije je definiran na podoben način.
Najprej si poglejmo centralno simetrijo.
simetrično glede na točko O poklical središče simetrije, če je O središče odseka AA." Točka O velja za simetrično sama sebi.
Transformacija prostora, v kateri je vsaki točki A pridružena točka A, ki ji je simetrična (glede na dano točko O), se imenuje centralna simetrija. Točka O se imenuje središče simetrije.
Imenujeta se dve figuri Ф in Ф". središčno simetrična, če obstaja simetrična transformacija, ki popelje enega od njiju v drugega.
Slika F se imenuje središčno simetrična, če je sama sebi središčno simetrična.
Na primer, paralelepiped je središčno simetričen glede na presečišče svojih diagonal. Žoga in krogla sta središčno simetrični glede na svoja središča.
Od pravilnih poliedrov so središčno simetrični kocka, oktaeder, ikozaeder in dodekaeder. Tetraeder ni središčno simetrična figura.
Razmislimo o nekaterih lastnostih centralne simetrije.
Lastnost 1.Če O 1, O 2 sta središči simetrije lika F, nato točka O 3, simetričen O 1 glede na O 2 je tudi središče simetrije te figure.
Dokaz. Naj bo A točka v prostoru, A 2 – točko, ki je nanjo simetrična glede na O 2, A 1 – točka simetrična na A 2 glede na O 1 in A 3 – simetrična točka A 1 glede na O 2 (slika 1).

Nato trikotniki O 2 O 1 A 1 in O 2 O 3 A 3 , O 2 O 1 A 2 in O 2 O 3 A sta enaka. Torej A in A 3 simetrično glede na O 3 . Tako je simetrija glede O 3 je kompozicija simetrij glede na O 2, O 1 in O 2 . Posledično se s to simetrijo lik F spremeni vase, tj. O 3 je središče simetrije figure F.

Posledica.Katera koli figura nima središča simetrije ali ima eno središče simetrije ali ima neskončno veliko središč simetrije

Dejansko, če O 1, O 2 sta središči simetrije lika F, nato točka O 3, simetričen O 1 glede na O 2 je tudi središče simetrije te figure. Prav tako točka O 4 simetričen O 2 glede na O 3 je tudi središče simetrije lika Ф, itd. Tako ima v tem primeru lik Ф neskončno veliko centrov simetrije.

Oglejmo si zdaj koncept osna simetrija.
Točki A in A" v prostoru imenujemo simetrična glede na ravno črto a, poklical simetrična os, če naravnost a poteka skozi sredino segmenta AA" in je pravokoten na ta segment. Vsaka točka ravne črte a velja za simetričnega samemu sebi.
Transformacija prostora, v kateri je vsaka točka A povezana s točko A, ki ji je simetrična (glede na dano premico a), poklicali osna simetrija. Naravnost a v tem primeru se imenuje simetrična os.
Dve figuri se imenujeta simetrična glede na ravno črto a, če transformacija simetrije glede te premice eno od njih pretvori v drugo.
Slika F v prostoru se imenuje simetrična glede na ravno a, če je simetrična sama sebi.
Na primer, pravokotni paralelepiped je simetričen glede na ravno črto, ki poteka skozi središča nasprotnih ploskev. Neposredno krožni valj simetrična glede na svojo os, sta krogla in krogla simetrični glede na vse premice, ki potekajo skozi njuna središča itd.
Kocka ima tri simetrijske osi, ki gredo skozi središča nasprotnih ploskev, in šest simetrijskih osi, ki potekajo skozi središča nasprotnih robov.
Tetraeder ima tri simetrične osi, ki potekajo skozi središča nasprotnih robov.
Oktaeder ima tri simetrijske osi, ki potekajo skozi nasprotna oglišča, in šest simetrijskih osi, ki potekajo skozi središča nasprotnih robov.
Ikozaeder in dodekaeder imata po petnajst simetrijskih osi, ki potekajo skozi središča nasprotnih robov.
Nepremičnina 3.čea 1 , a 2 – simetrične osi figure Ф, nato premicaa 3, simetrično a 1 sorodnik a 2 je tudi simetrijska os tega lika.

Dokaz je podoben dokazu lastnosti 1.

Lastnina 4.Če sta dve sekajoči se pravokotni črti v prostoru simetrični osi dane figure F, potem bo premica, ki poteka skozi točko presečišča in je pravokotna na ravnino teh črt, tudi simetrijska os figure F.
Dokaz. Upoštevajte koordinatne osi O x, O l, O z. Simetrija glede na os O x x, l, z) do točke figure Ф s koordinatami ( x, –y, –z). Podobno simetrija glede na os O l prevaja točko figure F s koordinatami ( x, –l, –z) do točke figure Ф s koordinatami (– x, –y, z) . Tako sestava teh simetrij prevaja točko figure Ф s koordinatami ( x, y, z) do točke figure Ф s koordinatami (– x, –y, z). Zato je os O z je simetrijska os figure F.

Posledica.Nobena figura v prostoru ne more imeti sodega (različnega od nič) števila simetrijskih osi.
Dejansko popravimo neko simetrično os a. če b– simetrijska os, se ne seka a ali ga ne seka pod pravim kotom, potem zanj obstaja druga simetrijska os b', simetrično glede na a. Če je simetrijska os b križi a pod pravim kotom, potem je zanj še ena simetrijska os b', ki poteka skozi presečišče in pravokotno na ravnino črt a in b. Zato poleg osi simetrije a mogoče celo oz neskončno število simetrične osi. Tako je skupno sodo (različno od nič) število simetrijskih osi nemogoče.
Poleg zgoraj definiranih simetrijskih osi upoštevamo tudi simetrična os n-th red, n 2 .
Naravnost a klical simetrična os n-th red lik Ф, če pri vrtenju lika Ф okrog ravne črte a pod kotom je številka F združena sama s seboj.

Jasno je, da je simetrijska os 2. reda preprosto simetrijska os.
Na primer v pravilnem n- ogljikova piramida, premica, ki poteka skozi vrh in središče baze, je simetrijska os n-th red.
Ugotovimo, katere simetrijske osi imajo pravilni poliedri.
Kocka ima tri simetrijske osi 4. reda, ki potekajo skozi središča nasprotnih ploskev, štiri simetrijske osi 3. reda, ki potekajo skozi nasprotna oglišča, in šest simetrijskih osi 2. reda, ki potekajo skozi središča nasprotnih robov.
Tetraeder ima tri simetrične osi drugega reda, ki potekajo skozi središča nasprotnih robov.
Ikozaeder ima šest simetrijskih osi 5. reda, ki potekajo skozi nasprotna oglišča; deset simetrijskih osi 3. reda, ki potekajo skozi središča nasprotnih ploskev, in petnajst simetrijskih osi 2. reda, ki potekajo skozi središča nasprotnih robov.
Dodekaeder ima šest simetrijskih osi 5. reda, ki potekajo skozi središča nasprotnih ploskev; deset simetrijskih osi 3. reda, ki potekajo skozi nasprotna oglišča, in petnajst simetrijskih osi 2. reda, ki potekajo skozi središča nasprotnih robov.
Razmislimo o konceptu zrcalna simetrija.
Točki A in A" v prostoru imenujemo simetrična glede na ravnino, ali z drugimi besedami, zrcalno simetrično, če ta ravnina poteka skozi sredino segmenta AA" in je pravokotna nanj. Vsaka točka ravnine velja za simetrično sama sebi.
Transformacija prostora, v kateri je vsaki točki A pridružena točka A, ki ji je simetrična (glede na dano ravnino), se imenuje zrcalna simetrija. Letalo se imenuje simetrijsko ravnino.
Dve figuri se imenujeta zrcalno simetrično glede na ravnino, če transformacija simetrije glede na to ravnino pretvori enega od njih v drugega.
Slika F v prostoru se imenuje zrcalno simetrično, če je sama sebi zrcalno simetrična.
Na primer, pravokotni paralelepiped je zrcalno simetričen glede na ravnino, ki poteka skozi simetrijsko os in je vzporedna z enim od parov nasprotnih ploskev. Valj je zrcalno simetričen glede na katero koli ravnino, ki poteka skozi njegovo os itd.
Med pravilnimi poliedri imata kocka in oktaeder po devet simetrijskih ravnin. Tetraeder ima šest simetrijskih ravnin. Ikozaeder in dodekaeder imata po petnajst simetrijskih ravnin, ki potekajo skozi pare nasprotnih robov.
Lastnina 5. Kompozicija dveh zrcalnih simetrij glede na vzporedne ravnine je vzporedni prenos na vektor, ki je pravokoten na ti ravnini in je po velikosti enak dvakratni razdalji med tema ravninama.
Posledica. Vzporedni transport si lahko predstavljamo kot sestavo dveh zrcalnih simetrij.
Lastnina 6. Kompozicija dveh zrcalnih simetrij glede ravnin, ki se premo sekata, je rotacija okoli te premice za kot, ki je enak dvakratnemu diedrskemu kotu med tema ravninama. Zlasti je osna simetrija sestava dveh zrcalnih simetrij glede na pravokotne ravnine.
Posledica. Rotacijo si lahko predstavljamo kot sestavo dveh zrcalnih simetrij.
Lastnina 7. Centralno simetrijo lahko predstavimo kot sestavo treh zrcalnih simetrij.
Dokažimo to lastnost s koordinatno metodo. Naj točka A v prostoru ima koordinate ( x, y, z). Zrcalna simetrija glede na koordinatno ravnino spremeni predznak ustrezne koordinate. Na primer, zrcalna simetrija glede ravnine O xy prevede točko s koordinatami ( x, y, z) do točke s koordinatami ( x, y, –z). Sestava treh zrcalnih simetrij glede na koordinatne ravnine prevaja točko s koordinatami ( x, y, z) do točke s koordinatami (– x, –y, –z), ki je središčno simetrična na prvotno točko A.
Gibi, ki figuro F spreminjajo vase, tvorijo skupino glede na kompozicijo. Imenuje se simetrična skupina F številke
Poiščimo vrstni red simetrijske skupine kocke.
Jasno je, da vsako gibanje, ki prenese kocko vase, pusti središče kocke na mestu, središča ploskev prenese v središča ploskev, središča robov v središča robov in oglišča v oglišča.
Tako je za določitev gibanja kocke dovolj, da določite, kje poteka središče ploskve, sredina roba te ploskve in vrh roba.
Razmislimo o razdelitvi kocke na tetraedre, od katerih so oglišča vsakega središče kocke, središče ploskve, sredina roba te ploskve in oglišče roba. Takšnih tetraedrov je 48. Ker je gibanje popolnoma odvisno od tega, v kateri od tetraedrov se dani tetraeder prevede, bo vrstni red skupine simetrij kocke enak 48.
Na podoben način najdemo vrstni red simetrijskih skupin tetraedra, oktaedra, ikozaedra in dodekaedra.
Poiščimo simetrično skupino enotski krog S 1 . Ta skupina je označena z O(2). Je neskončna topološka skupina. Predstavljajmo si enotski krog kot skupino kompleksna števila modulo enak ena. Obstaja naravni epimorfizem p:O(2) --> S 1 , ki povezuje element u iz skupine O(2) z elementom u(1) v S 1 . Jedro tega preslikave je skupina Z 2 , ki ga ustvari simetrija enotskega kroga glede na os Ox. Zato O(2)/Z 2S 1 . Poleg tega, če zanemarimo skupinsko strukturo, potem obstaja O(2) homeomorfizem in neposredni izdelek S 1 in Z 2.
Podobno simetrična skupina dvodimenzionalne krogle S 2 je označena z O(3) in zanj obstaja izomorfizem O(3)/O(2) S 2 .
Igrajo se simetrične skupine n-dimenzionalnih krogel pomembno vlogo v sodobnih vejah topologije: teorija mnogoterosti, teorija vlaknatih prostorov itd.
Ena najbolj presenetljivih manifestacij simetrije v naravi so kristali. Lastnosti kristalov so določene z značilnostmi njihove geometrijske strukture, zlasti s simetrično razporeditvijo atomov v kristalni mreži. Zunanje oblike kristalov so posledica njihove notranje simetrije.
Prve, še nejasne domneve, da so atomi v kristalih razporejeni v pravilni, pravilni, simetrični razporeditvi, so bile izražene v delih različnih naravoslovcev že v času, ko je bil sam pojem atoma nejasen in ni bilo eksperimentalnih dokazov. atomska zgradba snovi. Simetrična zunanja oblika kristalov je nehote nakazala idejo, da mora biti notranja struktura kristalov simetrična in pravilna. Zakoni simetrije zunanje oblike kristalov so bili popolnoma uveljavljeni v sredi 19 stoletja in do konca tega stoletja so bili zakoni simetrije, ki so jim podvržene atomske strukture v kristalih, jasno in natančno izpeljani.
Ustanovitelj matematične teorije strukture kristalov je izjemen ruski matematik in kristalograf - Evgraf Stepanovič Fedorov (1853-1919). Matematika, kemija, geologija, mineralogija, petrografija, rudarstvo - E.S. Fedorov je pomembno prispeval k vsakemu od teh področij. Leta 1890 je strogo matematično izpeljal vse mogoče geometrijske zakonitosti kombinacije elementov simetrije v kristalnih strukturah, z drugimi besedami, simetrija razporeditve delcev znotraj kristalov. Izkazalo se je, da je število takih zakonov omejeno. Fedorov je pokazal, da obstaja 230 prostorskih simetričnih skupin, ki so bile kasneje poimenovane Fedorov v čast znanstveniku. To je bil ogromen napor, vložen 10 let pred odprtjem rentgenski žarki, 27 let, preden z njimi dokazali obstoj kristalna mreža. Obstoj 230 Fedorovljevih skupin je ena najpomembnejših geometrijskih zakonitosti sodobne strukturne kristalografije. "Ogromna znanstveni podvig E.S. Fedorov, ki mu je uspelo spraviti celoten naravni "kaos" neštetih kristalnih formacij v eno samo geometrijsko shemo, še vedno vzbuja občudovanje. To odkritje je podobno odkritju periodni sistem DI. Mendelejeva. »Kraljestvo kristalov« je neomajen spomenik in končni vrh klasične fedorovske kristalografije,« je dejal akademik A.V.

Literatura
1. Hadamard J. Elementarna geometrija. del II. Stereometrija. – 3. izd. – M.: Uchpedgiz, 1958.
2. Weil G. Simetrija. – M.: Nauka, 1968.
3. Wigner E. Študije o simetriji. – M.: Mir, 1971.
4. Gardner M. Ta desni, levi svet. – M.: Mir, 1967.
5. Gilde V. Zrcalni svet. – M.: Mir, 1982.
6. Kompaneets A.S. Simetrija v mikro- in makrokozmosu. – M.: Nauka, 1978.
7. Paramonova I.M. Simetrija v matematiki. – M.: MTsNMO, 2000.
8. Perepelkin D.I. Tečaj elementarne geometrije. del II. Geometrija v prostoru. – M.-L.: Državna založba. tehnično-teoretični književnost, 1949.
9. Sonin A.S. Razumevanje popolnosti (simetrija, asimetrija, disimetrija, antisimetrija). – M.: Znanje, 1987.
10. Tarasov L.V. Ta neverjetno simetričen svet. – M.: Izobraževanje, 1982.
11. Vzorci simetrije. – M.: Mir, 1980.
12. Šafranovski I.I. Simetrija v naravi. – 2. izd. – L.; 1985.
13. Shubnikov A.V., Koptsik V.A. Simetrija v znanosti in umetnosti. – M.: Nauka, 1972.

"Točka simetrije" - Takšna figura ima centralno simetrijo. Simetrija vrtenja. Vse trdne snovi sestavljen iz kristalov. Točko O imenujemo središče simetrije. Simetrija v naravi. Primeri simetrije ravninskih likov. Paralelogram ima samo središčno simetrijo. Ravna prizma ima zrcalno simetrijo. Primeri zgornjih vrst simetrije.

“Centralna simetrija v geometriji” - Katera točka se spremeni vase med centralno simetrijo. Narišite trikotnik simetričen trikotniku OAB. Ali ima paralelogram središče simetrije? Lastnosti. Katere točke imenujemo simetrične glede na točko. Nariši trikotnik A'B'C', simetričen trikotnik ABC. Ravne črte s centralno simetrijo se preoblikujejo same v sebe.

“Centralna simetrija” - Lastnosti centralne simetrije. Simetrija v umetnosti. Primeri simetrije v arhitekturi. Centralna simetrija je gibanje (izometrija). V TRIDIMENZIONALNEM PROSTORU Centralna simetrija v tridimenzionalni prostor imenovana tudi sferična simetrija. Vrste simetrije cvetov in rastlin.

"Simetrija glede točke in črte" - Pomisli! Simetrija figure glede na točko. Naloge. Naloga Konstruirajte točko C1 simetrično na točko C glede na premico a. AO = OA1. 4. Pogovor o simetriji v naravi. Osna in centralna simetrija. Simetrija vklopljena koordinatna ravnina. Katera od teh črk ima središče simetrije? Kateri od teh likov ima simetrijsko os?

“Osna in centralna simetrija” - Ali imata središče simetrije: AO = BO, AB a Točka C je simetrična sama sebi glede na premico a. Točki A in M ​​pravimo simetrični glede na točko O, če je točka O sredina segmenta AM. Centralna simetrija. Osna simetrija. Premica a se imenuje simetrijska os figure. Odsek, žarek, par sekajočih se premic, kvadrat?

"Osna in centralna simetrija" - 1) Koliko simetrijskih osi ima lik? 7) Poiščite predmet, ki ima osno in centralno simetrijo. Simetrija rastlin. Geometrijski okraski. Simetrija v živalskem svetu. 4) Poiščite figure, ki imajo središče simetrije in osno simetrijo. Simetrija v arhitekturi. 2) Poiščite lik, ki nima centralne simetrije.

Skupaj je 11 predstavitev

Homotetičnost in podobnost.Homotetija je transformacija, pri kateri vsaka točka M (ravnina ali prostor) je dodeljen točki M", ki leži na OM (slika 5.16) in razmerje OM":OM= λ enako za vse točke razen O. Fiksna točka O imenovano središče homotetije. Odnos OM": OM velja za pozitivno, če M" in M ležati na eni strani O, negativno - po različne strani. številka X imenovan koeficient homotetije. pri X< 0 homotetijo imenujemo inverzna. priλ = - 1 homotetija se spremeni v simetrijsko transformacijo glede točke O. S homotetijo ravna črta preide v ravno črto, ohrani se vzporednost ravnih črt in ravnin, ohranijo se koti (linearni in diedrski), vsaka figura gre vanjo podobno (slika 5.17).

Velja tudi obratno. Homotetijo lahko definiramo kot afino transformacijo, pri kateri premice, ki povezujejo ustrezne točke, potekajo skozi eno točko - središče homotetije. Homotetija se uporablja za povečavo slik (projekcijska svetilka, kino).

Centralna in zrcalna simetrija.Simetrija (in v širšem smislu) - lastnina geometrijski lik F, ki označuje določeno pravilnost njegove oblike, njeno nespremenljivost pod vplivom gibov in refleksij. Lik Φ ima simetrijo (simetrično), če obstajajo neidentične ortogonalne transformacije, ki to figuro jemljejo vase. Celota vsega ortogonalne transformacije, ki združuje lik Φ sam s seboj, je skupina tega lika. Torej, ravna figura (slika 5.18) s točko M, preoblikovanje-

gledanje vase v ogledalu odboj, simetričen glede na ravno os AB. Tu je skupina simetrije sestavljena iz dveh elementov - točke M pretvorjen v M".

Če je lik Φ na ravnini takšen, da se vrti glede na katero koli točko O na kot 360°/n, kjer je n > 2 celo število, ga prevedemo vase, potem ima lik F simetrijo n-tega reda glede na točko O - središče simetrije. Primer takih figur so pravilni poligoni, na primer v obliki zvezde (slika 5.19), ki ima simetrijo osmega reda glede na svoje središče. Simetrična skupina tukaj je tako imenovana ciklična skupina n-tega reda. Krog ima simetrijo neskončnega reda (saj je združljiv sam s seboj z rotacijo za kateri koli kot).

Najenostavnejše vrste prostorske simetrije so centralna simetrija (inverzija). V tem primeru glede na točko O lik F se združi sam s seboj po zaporednih odbojih od treh med seboj pravokotnih ravnin, tj. O - sredina segmenta, ki povezuje simetrične točke F. Torej, za kocko (sl. 5.20) točka O je središče simetrije. Točke M in M" kocka

Življenje ljudi je polno simetrije. Je priročno, lepo in ni treba izumljati novih standardov. Toda kaj v resnici je in ali je v naravi tako lepo, kot se splošno verjame?

Simetrija

Že od antičnih časov so si ljudje prizadevali urediti svet okoli sebe. Zato nekatere stvari veljajo za lepe, nekatere pa ne tako zelo. Z estetskega vidika veljata za atraktivna zlati in srebrni rez, seveda tudi simetrija. Ta izraz ima Grško poreklo in dobesedno pomeni "sorazmernost". seveda govorimo o ne le o naključju na tej podlagi, ampak tudi na nekaterih drugih. V splošnem smislu je simetrija lastnost predmeta, ko je zaradi določenih tvorb rezultat enak prvotnim podatkom. To se dogaja tako v življenju kot v nežive narave, kot tudi v predmetih, ki jih je izdelal človek.

Prvič, izraz "simetrija" se uporablja v geometriji, vendar najde uporabo v mnogih znanstvenih področij, njegov pomen pa na splošno ostaja nespremenjen. Ta pojav se pojavlja precej pogosto in velja za zanimivega, saj se razlikuje več njegovih vrst in elementov. Zanimiva je tudi uporaba simetrije, saj je ne najdemo samo v naravi, temveč tudi v vzorcih na tkaninah, obrobah zgradb in številnih drugih umetnih predmetih. Ta pojav je vredno razmisliti podrobneje, saj je izjemno fascinanten.

Uporaba izraza na drugih znanstvenih področjih

V nadaljevanju bomo simetrijo obravnavali z geometrijskega vidika, vendar je vredno omeniti, da dana beseda uporabljajo ne samo tukaj. Biologija, virologija, kemija, fizika, kristalografija - vse to je nepopoln seznam področij, na katerih se ta pojav preučuje z različnih zornih kotov in v različni pogoji. Na primer, razvrstitev je odvisna od tega, na katero znanost se ta izraz nanaša. Tako se delitev na tipe zelo razlikuje, čeprav nekatere osnovne morda vseskozi ostajajo nespremenjene.

Razvrstitev

Obstaja več glavnih vrst simetrije, od katerih so tri najpogostejše:

Poleg tega se v geometriji razlikujejo tudi naslednje vrste, ki so veliko manj pogoste, a nič manj zanimive:

• drsna;
• rotacijski;
• točka;
• progresivno;
• vijak;
• fraktal;
• itd.

V biologiji se vse vrste imenujejo nekoliko drugače, čeprav so lahko v bistvu enake. Razdelitev v določene skupine se pojavi na podlagi prisotnosti ali odsotnosti, pa tudi količine določenih elementov, kot so središča, ravnine in simetrične osi. Treba jih je obravnavati ločeno in podrobneje.

Osnovni elementi

Pojav ima določene značilnosti, od katerih je ena nujno prisotna. Med tako imenovane osnovne elemente spadajo ravnine, središča in simetrijske osi. V skladu z njihovo prisotnostjo, odsotnostjo in količino se določi vrsta.

Središče simetrije je točka znotraj figure ali kristala, v kateri se stekajo črte, ki v parih povezujejo vse stranice vzporedno druga z drugo. Seveda ne obstaja vedno. Če obstajajo stranice, na katerih ni vzporednega para, potem takšne točke ni mogoče najti, ker ne obstaja. Glede na definicijo je očitno, da je središče simetrije tisto, skozi katero se lahko figura zrcali vase. Primer bi bil na primer krog in točka v njegovi sredini. Ta element je običajno označen kot C.

Ravnina simetrije je seveda namišljena, vendar je ravno ona tista, ki deli figuro na dva dela, ki sta drug drugemu enaka. Lahko gre skozi eno ali več stranic, je z njo vzporedna ali jih deli. Za isto figuro lahko obstaja več ravnin hkrati. Ti elementi so običajno označeni kot P.

Morda pa je najpogostejši tisto, kar se imenuje "simetrična os". To je pogost pojav, ki ga lahko vidimo tako v geometriji kot v naravi. In to je vredno ločene obravnave.

Osi

Pogosto je element, glede na katerega lahko figuro imenujemo simetrična

Primeri vključujejo enakokrake in V prvem primeru bo navpična os simetrija, na obeh straneh katere so enake ploskve, v drugi pa bodo črte sekale vsak kot in sovpadale z vsemi simetralami, medianami in nadmorskimi višinami. Navadni trikotniki tega nimajo.

Mimogrede, celota vseh zgornjih elementov v kristalografiji in stereometriji se imenuje stopnja simetrije. Ta indikator je odvisen od števila osi, ravnin in središč.

Primeri v geometriji

Običajno lahko celoten sklop predmetov preučevanja matematikov razdelimo na figure, ki imajo os simetrije, in tiste, ki je nimajo. Vsi krogi, ovali in tudi nekateri posebni primeri samodejno spadajo v prvo kategorijo, ostali pa v drugo skupino.

Tako kot v primeru, ko smo govorili o simetrični osi trikotnika, tudi za štirikotnik ta element ne obstaja vedno. Za kvadrat, pravokotnik, romb ali paralelogram je, za nepravilno figuro pa ne. Za krog je simetrijska os množica ravnih črt, ki potekajo skozi njegovo središče.

Poleg tega je zanimivo razmisliti volumetrične številke s tega vidika. Poleg vsega še vsaj ena simetrična os pravilni poligoni in krogla bo imela nekaj stožcev, pa tudi piramide, paralelograme in nekatere druge. Vsak primer je treba obravnavati posebej.

Primeri v naravi

V življenju se imenuje dvostransko, najpogosteje se pojavlja
pogosto. Vsaka oseba in številne živali so primer tega. Aksialni se imenuje radialni in je veliko manj pogost, običajno v flora. Pa vendar obstajajo. Na primer, vredno je razmisliti o tem, koliko simetrijskih osi ima zvezda in ali jih sploh ima? Seveda govorimo o morskem življenju in ne o predmetu preučevanja astronomov. In pravilen odgovor bi bil: odvisno od števila žarkov zvezde, na primer pet, če je peterokraka.

Poleg tega je radialna simetrija opažena pri številnih rožah: marjeticah, koruznicah, sončnicah itd. Primeri ogromno, so dobesedno povsod naokoli.

aritmija

Ta izraz v prvi vrsti najbolj spominja na medicino in kardiologijo, vendar ima na začetku nekoliko drugačen pomen. V tem primeru bo sinonim "asimetrija", to je odsotnost ali kršitev pravilnosti v eni ali drugi obliki. Najdemo ga lahko kot naključje, včasih pa lahko postane čudovita tehnika, na primer v oblačilih ali arhitekturi. Navsezadnje je veliko simetričnih zgradb, a tista znamenita je rahlo nagnjena, in čeprav ni edina, je najbolj znan primer. Ve se, da se je to zgodilo po naključju, a to ima svoj čar.

Poleg tega je očitno, da tudi obrazi in telesa ljudi in živali niso popolnoma simetrični. Obstajajo celo študije, ki kažejo, da so "pravilni" obrazi ocenjeni kot brez življenja ali preprosto neprivlačni. Kljub temu sta dojemanje simetrije in ta pojav sam po sebi neverjetni in še ne povsem raziskani, zato pa izjemno zanimivi.

Opredelitev simetrije;

• Opredelitev simetrije;

• Centralna simetrija;

• osna simetrija;

• Simetrija glede na ravnino;

• Rotacijska simetrija;

• Zrcalna simetrija;

• Simetrija podobnosti;

• Simetrija rastlin;

• Živalska simetrija;

• Simetrija v arhitekturi;

• Ali je človek simetrično bitje?

• Simetrija besed in številk;

SIMETRIJA

• SIMETRIJA- sorazmernost, enakost v razporeditvi delov česa na nasprotnih straneh točke, ravne črte ali ravnine.

• (Razlagalni slovar Ozhegov)

• Geometrični predmet se torej šteje za simetričnega, če je z njim mogoče nekaj narediti, po čemer bo ostal nespremenjeno.

O O O klical središče simetrije figure.

• Lik naj bi bil simetričen glede na točko O, če za vsako točko slike obstaja točka, ki ji je simetrična glede na točko O spada tudi k tej figuri. Pika O klical središče simetrije figure.

krog in paralelogram središče kroga ). Urnik ne celo funkcijo

Primeri figur s centralno simetrijo so krog in paralelogram. Središče simetrije kroga je središče kroga, in središče simetrije paralelograma je presečišče njegovih diagonal. Vsaka ravna črta ima tudi središčno simetrijo ( vsaka točka na premici je njeno središče simetrije). Urnik nenavadna funkcija simetričen glede izvora.

• Primer figure, ki nima središča simetrije, je poljuben trikotnik.

A A a klical simetrična os figure.

• Lik naj bi bil simetričen glede na ravno črto A, če za vsako točko slike obstaja točka, ki ji je simetrična glede na ravno črto A spada tudi k tej figuri. Naravnost a klical simetrična os figure.

Na neobrnjen vogalu ena simetrična os simetrala kota ena simetrična os tri simetrične osi dve simetrični osi, in kvadrat je štiri simetrične osi glede na ordinato.

Na neobrnjen vogalu ena simetrična os- ravna črta, na kateri se nahaja simetrala kota. Enakokraki trikotnik ima tudi ena simetrična os, in enakostranični trikotnik je tri simetrične osi. Pravokotnik in romb, ki nista kvadrata, imata dve simetrični osi, in kvadrat je štiri simetrične osi. Krog jih ima neskončno veliko. Graf sode funkcije je simetričen, ko je sestavljen glede na ordinato.

• Obstajajo figure, ki nimajo ene simetrične osi. Takšne številke vključujejo paralelogram, razen pravokotnika, skalen trikotnik.

Točke A in A1 A A AA1 in pravokotno Ašteje simetrična sama sebi

Točke A in A1 se imenujejo simetrični glede na ravnino A(ravnina simetrije), če je ravnina A poteka skozi sredino segmenta AA1 in pravokotno na ta segment. Vsaka točka ravnine Ašteje simetrična sama sebi. Dva lika se imenujeta simetrična glede na ravnino (ali zrcalno simetrična relativna), če sta sestavljena iz parov simetričnih točk. To pomeni, da za vsako točko ene figure leži točka, ki ji je (relativno) simetrična, v drugi sliki.

Telo (ali postava) ima rotacijska simetrija, če pri obračanju kota 360º/n, kjer je n celo število popolnoma združljiv

• Telo (ali postava) ima rotacijska simetrija, če pri obračanju kota 360º/n, kjer je n celo število, blizu neke ravne črte AB (simetrijske osi) it popolnoma združljiv s prvotnim položajem.

• Radialna simetrija- oblika simetrije, ki se ohrani, ko se predmet vrti okoli določene točke ali črte. Pogosto ta točka sovpada s težiščem predmeta, to je s točko, na kateri seka neskončno število simetrijskih osi. Podobni predmeti so lahko krog, krogla, valj ali stožec.

Zrcalna simetrija zavezuje kogarkoli

Zrcalna simetrija zavezuje kogarkoli predmet in njegov odsev v ravnem zrcalu. Za eno figuro (ali telo) pravimo, da je zrcalno simetrična drugi, če skupaj tvorita zrcalno simetrično figuro (ali telo). Simetrično zrcaljene figure se kljub vsem podobnostim med seboj bistveno razlikujejo. Dve zrcalno simetrični ploščate figure Vedno jih lahko postavite enega na drugega. Vendar je za to potrebno enega od njiju (ali oba) odstraniti iz njune skupne ravnine.

Simetrija podobnosti gnezdeče lutke.

• Simetrija podobnosti so svojevrstni analogi prejšnjih simetrij z edino razliko, da so povezani z hkratno zmanjšanje ali povečanje podobnih delov figure in razdalje med njimi. Najenostavnejši primer takšne simetrije je gnezdeče lutke.

• Včasih imajo lahko figure različne vrste simetrije. Na primer, nekatere črke imajo rotacijsko in zrcalno simetrijo: IN, n, M, O, A.

• Obstaja veliko drugih vrst simetrij, ki so po naravi abstraktne. Na primer:

• Komutacijska simetrija, ki je sestavljen iz dejstva, da če se enaki delci zamenjajo, potem ne pride do sprememb;

• Merilne simetrije povezan s spremembo povečave. V neživi naravi se simetrija pojavlja predvsem v takem naravnem pojavu, kot je kristali, iz katerega so sestavljene skoraj vse trdne snovi. To je tisto, kar določa njihove lastnosti. Najbolj očiten primer lepote in popolnosti kristalov je dobro znani snežinka.

Povsod srečamo simetrijo: v naravi, tehnologiji, umetnosti, znanosti. Koncept simetrije poteka vsepovsod stoletna zgodovinačloveška ustvarjalnost. Načela simetrije igrajo pomembno vlogo v fiziki in matematiki, kemiji in biologiji, tehniki in arhitekturi, slikarstvu in kiparstvu, poeziji in glasbi. Naravni zakoni so prav tako podvrženi načelom simetrije.

simetrična os.

• Številne rože imajo zanimivo lastnost: vrtijo jih lahko tako, da vsak cvetni list zavzame položaj svojega soseda, cvet pa se poravna sam s seboj. Ta cvet ima simetrična os.

• Vijačna simetrija opazimo pri razporeditvi listov na steblih večine rastlin. Listi, razporejeni kot vijak vzdolž stebla, se zdijo razprti v vse smeri in drug drugega ne blokirajo pred svetlobo, ki je izjemno potrebna za življenje rastlin.

• Dvostranska simetrija Prisotni so tudi rastlinski organi, na primer stebla mnogih kaktusov. Pogosto najdemo v botaniki radialno simetrično razporejenih cvetov.

ločnica.

• Simetrija pri živalih pomeni ujemanje velikosti, oblike in obrisa ter relativno razporeditev delov telesa, ki se nahajajo na nasprotnih straneh. ločnica.

• Glavne vrste simetrije so radialno(radialni) – imajo ga iglokožci, kolčniki, meduze itd.; oz dvostranski(dvostransko) - lahko rečemo, da je vsaka žival (naj bo to žuželka, riba ali ptica) sestavljena iz dveh polovic- desno in levo.

• Sferična simetrija pojavlja se pri radiolarijah in sončnih ribah. Vsaka ravnina, ki poteka skozi središče, deli žival na enaki polovici.

• Simetrija strukture je povezana z organizacijo njenih funkcij. Projekcija simetrijske ravnine - os stavbe - običajno določa lokacijo glavnega vhoda in začetek glavnih prometnih tokov.

• Vsaka podrobnost v simetričnem sistemu obstaja kot dvojnik vašemu obveznemu paru, ki se nahaja na drugi strani osi, in jo zaradi tega lahko obravnavamo le kot del celote.

• Najpogostejši v arhitekturi zrcalna simetrija. Podrejene so mu zgradbe starega Egipta in templji stare Grčije, amfiteatri, kopeli, bazilike in slavoloki Rimljanov, palače in cerkve renesanse ter številne strukture sodobne arhitekture.

poudarki

• Za boljši odraz simetrije so postavljene zgradbe poudarki- posebej pomembni elementi (kupole, zvoniki, šotori, glavni vhodi in stopnišča, balkoni in erkerji).

• Za oblikovanje dekoracije arhitekture se uporablja ornament - ritmično ponavljajoč se vzorec, ki temelji na simetrični sestavi njegovih elementov in je izražen s črto, barvo ali reliefom. V zgodovini se je razvilo več vrst okraskov, ki temeljijo na dveh virih - naravnih oblikah in geometrijskih likih.

• Toda arhitekt je predvsem umetnik. In zato so bili tudi najbolj "klasični" slogi pogosteje uporabljeni disimetrija– niansirano odstopanje od čiste simetrije oz asimetrija- namenoma asimetrična konstrukcija.

• Nihče ne bo dvomil, da je navzven človek zgrajen simetrično: leva roka vedno ustreza desni in obe roki sta popolnoma enaki. Toda podobnosti med našimi rokami, ušesi, očmi in drugimi deli telesa so enake kot med predmetom in njegovim odsevom v ogledalu.

desno njegov pol grobe lastnosti značilnost moškega spola. Leva polovica

To so pokazale številne meritve obraznih parametrov pri moških in ženskah desno njegov pol v primerjavi z levim ima bolj izrazite prečne dimenzije, kar daje obrazu več grobe lastnosti značilnost moškega spola. Leva polovica obrazu izrazitejših vzdolžnih dimenzij, kar daje gladke linije in ženstvenost. To dejstvo pojasnjuje prevladujočo željo žensk, da pred umetniki pozirajo z levo stranjo obraza, moških pa z desno.

Palindrom

• Palindrom(iz gr. Palindromos - tek nazaj) je predmet, v katerem je simetrija njegovih komponent določena od začetka do konca in od konca do začetka. Na primer besedna zveza ali besedilo.

• Ravno besedilo palindroma, ki se bere v skladu z običajno smerjo branja dane pisave (običajno od leve proti desni), se imenuje pokonci, vzvratno – z roverjem oz vzvratno(od desne proti levi). Nekatera števila imajo tudi simetrijo.