Zakaj živimo v tridimenzionalnem prostoru? Tridimenzionalni prostor: vektorji, koordinate Kje se uporablja tridimenzionalni prostor?

Začenja projekt »Vprašanje znanstveniku«, v okviru katerega bodo strokovnjaki odgovarjali na zanimiva, naivna ali praktična vprašanja. Kandidat fizikalnih in matematičnih znanosti Ilya Shchurov v tej številki govori o 4D in o tem, ali je mogoče vstopiti v četrto dimenzijo.

Kaj je štiridimenzionalni prostor (»4D«)?

Ilja Ščurov

Kandidat fizikalnih in matematičnih znanosti, izredni profesor Oddelka za višjo matematiko Nacionalne raziskovalne univerze Višja ekonomska šola

Začnimo z najpreprostejšim geometrijskim predmetom - točko. Točka je nič-dimenzionalna. Nima ne dolžine, ne širine, ne višine.

Zdaj premaknimo točko vzdolž ravne črte za nekaj razdalje. Recimo, da je naša točka konica svinčnika; ko smo ga premaknili, je narisal črto. Odsek ima dolžino in nima več dimenzij - je enodimenzionalen. Segment "živi" na ravni črti; ravna črta je enodimenzionalen prostor.

Zdaj pa vzemimo segment in ga poskusimo premakniti, kot pred točko. (Lahko si predstavljate, da je naš segment osnova širokega in zelo tankega čopiča.) Če gremo čez črto in se premaknemo pravokotno, bomo dobili pravokotnik. Pravokotnik ima dve dimenziji - širino in višino. Pravokotnik leži v določeni ravnini. Ravnina je dvodimenzionalni prostor (2D), na njej lahko uvedete dvodimenzionalni koordinatni sistem - vsaka točka bo ustrezala paru številk. (Na primer kartezični koordinatni sistem na tabli ali zemljepisna širina in dolžina na zemljevidu.)

Če premaknete pravokotnik v smeri, ki je pravokotna na ravnino, v kateri leži, dobite "opeko" (pravokotni paralelepiped) - tridimenzionalni predmet, ki ima dolžino, širino in višino; nahaja se v tridimenzionalnem prostoru – istem, v katerem živiva ti in jaz. Zato imamo dobro predstavo o tem, kako izgledajo tridimenzionalni predmeti. A če bi živeli v dvodimenzionalnem prostoru – na letalu – bi morali kar malo napeti svojo domišljijo, da bi si predstavljali, kako bi lahko premaknili pravokotnik, da bi prišel iz ravnine, v kateri živimo.

Prav tako si težko predstavljamo štiridimenzionalni prostor, čeprav ga je matematično zelo enostavno opisati. Tridimenzionalni prostor je prostor, v katerem je položaj točke podan s tremi števili (npr. položaj letala je podan z dolžino, širino in nadmorsko višino). V štiridimenzionalnem prostoru točka ustreza štirim koordinatnim številom. "Štiridimenzionalno opeko" dobimo s premikanjem navadne opeke vzdolž neke smeri, ki ne leži v našem tridimenzionalnem prostoru; ima štiri dimenzije.

Pravzaprav se vsak dan srečujemo s štiridimenzionalnim prostorom: na primer, ko določamo datum, ne navedemo samo kraja srečanja (lahko ga določimo s tremi številkami), temveč tudi uro (lahko ga določimo z eno številko - na primer število sekund, ki so pretekle od določenega datuma). Če pogledate pravo opeko, nima le dolžine, širine in višine, ampak tudi razteg v času – od trenutka nastanka do trenutka uničenja.

Fizik bo rekel, da ne živimo samo v prostoru, ampak v prostoru-času; matematik bo dodal, da je štiridimenzionalna. Torej je četrta dimenzija bližje, kot se zdi.

Naloge:

Navedite še kakšen primer implementacije štiridimenzionalnega prostora v resničnem življenju.

Določite, kaj je petdimenzionalni prostor (5D). Kako naj bi bil videti 5D film?

Odgovore pošljite po elektronski pošti: [e-pošta zaščitena]

Iz šolskega tečaja algebre in geometrije poznamo koncept tridimenzionalnega prostora. Če pogledate, je sam izraz "tridimenzionalni prostor" definiran kot koordinatni sistem s tremi dimenzijami (to vsi vedo). Pravzaprav je vsak tridimenzionalni predmet mogoče opisati z uporabo dolžine, širine in višine v klasičnem smislu. Vendar pa poglejmo malo globlje, kot pravijo.

Kaj je tridimenzionalni prostor

Kot je že postalo jasno, razumevanje tridimenzionalnega prostora in predmetov, ki lahko obstajajo v njem, določajo trije osnovni pojmi. Res je, da so to v primeru točke natanko tri vrednosti, v primeru ravnih, ukrivljenih, lomljenih črt ali volumetričnih objektov pa je lahko ustreznih koordinat več.

V tem primeru je vse odvisno od vrste objekta in uporabljenega koordinatnega sistema. Danes je najpogostejši (klasični) kartezični sistem, ki ga včasih imenujemo tudi pravokotni. O njem in nekaterih drugih sortah bomo razpravljali malo kasneje.

Med drugim je tu treba razlikovati med abstraktnimi pojmi (tako rekoč brezobličnimi), kot so točke, črte ali ravnine, in liki, ki imajo končne dimenzije ali celo prostornino. Za vsako od teh definicij obstajajo tudi enačbe, ki opisujejo njihov možen položaj v tridimenzionalnem prostoru. Vendar zdaj ne gre za to.

Koncept točke v tridimenzionalnem prostoru

Najprej definirajmo, kaj točka v tridimenzionalnem prostoru predstavlja. Na splošno se lahko imenuje določena osnovna enota, ki določa katero koli ravno ali tridimenzionalno figuro, ravno črto, segment, vektor, ravnino itd.

Za samo točko so značilne tri glavne koordinate. Zanje se v pravokotnem sistemu uporabljajo posebna vodila, imenovana osi X, Y in Z, pri čemer prvi dve osi služita za izražanje vodoravnega položaja objekta, tretja pa se nanaša na navpično nastavitev koordinat. Seveda so za udobje izražanja položaja predmeta glede na ničelne koordinate v sistemu sprejete pozitivne in negativne vrednosti. Vendar pa danes lahko najdete druge sisteme.

Vrste koordinatnih sistemov

Kot smo že omenili, je danes glavni pravokotni koordinatni sistem, ki ga je ustvaril Descartes. Vendar pa nekatere tehnike za določanje lokacije predmeta v tridimenzionalnem prostoru uporabljajo tudi nekatere druge različice.

Najbolj znana sta cilindrični in sferični sistem. Razlika od klasičnega je v tem, da je pri določanju istih treh količin, ki določajo lokacijo točke v tridimenzionalnem prostoru, ena od vrednosti kotna. Z drugimi besedami, takšni sistemi uporabljajo krog, ki ustreza kotu 360 stopinj. Od tod posebna dodelitev koordinat, vključno z elementi, kot so polmer, kot in generatrisa. Za koordinate v tridimenzionalnem prostoru (sistemu) tega tipa veljajo nekoliko drugačne zakonitosti. Njihovo nalogo v tem primeru nadzira pravilo desne roke: če palec in kazalec poravnate z osjo X oziroma Y, bodo preostali prsti v ukrivljenem položaju kazali v smeri osi Z.

Koncept ravne črte v tridimenzionalnem prostoru

Zdaj pa nekaj besed o tem, kaj je ravna črta v tridimenzionalnem prostoru. Na podlagi osnovnega koncepta ravne črte je to nekakšna neskončna črta, narisana skozi točko ali dve, ne da bi šteli številne točke, ki se nahajajo v zaporedju, ki ne spremeni neposrednega prehoda črte skozi njih.

Če gledate črto, narisano skozi dve točki v tridimenzionalnem prostoru, boste morali upoštevati tri koordinate obeh točk. Enako velja za segmente in vektorje. Slednji določajo osnovo tridimenzionalnega prostora in njegove razsežnosti.

Definicija vektorjev in osnova tridimenzionalnega prostora

Upoštevajte, da so to lahko le trije vektorji, vendar lahko določite poljubno število trojčkov vektorjev. Dimenzijo prostora določa število linearno neodvisnih vektorjev (v našem primeru trije). In prostor, v katerem je končno število takih vektorjev, se imenuje končnodimenzionalen.

Odvisni in neodvisni vektorji

Kar zadeva definicijo odvisnih in neodvisnih vektorjev, se linearno neodvisni vektorji štejejo za projekcije (na primer vektorji osi X projicirani na os Y).

Kot je že jasno, je vsak četrti vektor odvisen (teorija linearnih prostorov). Toda trije neodvisni vektorji v tridimenzionalnem prostoru ne smejo ležati v isti ravnini. Poleg tega, če so neodvisni vektorji definirani v tridimenzionalnem prostoru, ne morejo biti tako rekoč eno nadaljevanje drugega. Kot je že jasno, je v primeru s tremi dimenzijami, ki jih obravnavamo, po splošni teoriji možno konstruirati izključno samo trojčke linearno neodvisnih vektorjev v določenem koordinatnem sistemu (ne glede na vrsto).

Letalo v tridimenzionalnem prostoru

Če upoštevamo koncept ravnine, ne da bi se spuščali v matematične definicije, za enostavnejše razumevanje tega izraza lahko tak predmet štejemo izključno za dvodimenzionalnega. Z drugimi besedami, to je neskončna zbirka točk, katerih ena od koordinat je konstantna.

Na primer, ravnino lahko imenujemo poljubno število točk z različnimi koordinatami vzdolž osi X in Y, vendar enake koordinate vzdolž osi Z. V vsakem primeru ena od tridimenzionalnih koordinat ostane nespremenjena. Vendar je to tako rekoč splošen primer. V nekaterih situacijah lahko tridimenzionalni prostor seka ravnina vzdolž vseh osi.

Ali obstaja več kot tri dimenzije?

Vprašanje, koliko dimenzij lahko obstaja, je zelo zanimivo. Menijo, da s klasičnega vidika ne živimo v tridimenzionalnem prostoru, temveč v štiridimenzionalnem. Takšen prostor poleg vsem poznane dolžine, širine in višine vključuje tudi čas obstoja predmeta, čas in prostor pa sta med seboj precej močno povezana. To je dokazal Einstein v svoji teoriji relativnosti, čeprav se ta bolj nanaša na fiziko kot na algebro in geometrijo.

Še ena zanimivost je, da so danes znanstveniki že dokazali obstoj vsaj dvanajstih dimenzij. Seveda ne bo vsakdo razumel, kaj so, saj se to bolj nanaša na neko abstraktno področje, ki je zunaj človeškega dojemanja sveta. Kljub temu dejstvo ostaja. In ni zaman, da mnogi antropologi in zgodovinarji trdijo, da bi lahko naši predniki imeli nekatere posebne razvite čutne organe, kot je tretje oko, ki je pomagalo dojemati večdimenzionalno resničnost in ne izključno tridimenzionalni prostor.

Mimogrede, danes obstaja precej mnenj o tem, da je ekstrasenzorično zaznavanje tudi ena od manifestacij zaznavanja večdimenzionalnega sveta, in za to je mogoče najti kar nekaj dokazov.

Upoštevajte, da ni vedno mogoče opisati večdimenzionalnih prostorov, ki se razlikujejo od našega štiridimenzionalnega sveta s sodobnimi osnovnimi enačbami in izreki. In znanost na tem področju sodi bolj v področje teorij in predpostavk kot v tisto, kar je mogoče jasno otipati ali tako rekoč otipati ali videti na lastne oči. Kljub temu danes nihče ne dvomi o posrednih dokazih o obstoju večdimenzionalnih svetov, v katerih lahko obstajajo štiri ali več dimenzij.

Zaključek

Na splošno smo zelo na kratko pregledali osnovne pojme v zvezi s tridimenzionalnim prostorom in osnovne definicije. Seveda obstaja veliko posebnih primerov, povezanih z različnimi koordinatnimi sistemi. Poleg tega smo se trudili, da ne bi šli v matematično džunglo, da bi razložili osnovne pojme samo zato, da bi bilo vprašanje v zvezi z njimi jasno vsakemu študentu (tako rekoč razlaga "na prste").

Kljub temu se zdi, da je že iz tako enostavnih interpretacij mogoče sklepati o matematični plati vseh komponent, vključenih v osnovni šolski tečaj algebre in geometrije.

V katerem prosimo naše znanstvenike, da odgovorijo na povsem preprosta, na prvi pogled, a kontroverzna vprašanja bralcev. Za vas smo izbrali najbolj zanimive odgovore strokovnjakov PostNauka.

Vsakdo pozna kratico 3D, kar pomeni "tridimenzionalno" (črka D je iz besede dimenzija). Na primer, ko v kinu izbiramo film z oznako 3D, zagotovo vemo: za ogled bomo morali nositi posebna očala, vendar slika ne bo ravna, ampak tridimenzionalna. Kaj je 4D? Ali "štiridimenzionalni prostor" v resnici obstaja? In ali je mogoče vstopiti v »četrto dimenzijo«?

Da bi odgovorili na ta vprašanja, začnimo z najpreprostejšim geometrijskim predmetom - točko. Točka je nič-dimenzionalna. Nima ne dolžine, ne širine, ne višine.

// 8-celično-enostavno

Zdaj premaknimo točko vzdolž ravne črte za nekaj razdalje. Recimo, da je naša točka konica svinčnika; ko smo ga premaknili, je narisal črto. Odsek ima dolžino in nima drugih dimenzij: je enodimenzionalen. Segment "živi" na ravni črti; ravna črta je enodimenzionalen prostor.

Zdaj pa vzemimo segment in ga poskusimo premakniti tako, kot smo prej premaknili točko. Lahko si predstavljate, da je naš segment osnova široke in zelo tanke krtače. Če gremo čez črto in se premaknemo pravokotno, dobimo pravokotnik. Pravokotnik ima dve dimenziji - širino in višino. Pravokotnik leži v določeni ravnini. Ravnina je dvodimenzionalni prostor (2D), na njej lahko uvedete dvodimenzionalni koordinatni sistem - vsaka točka bo ustrezala paru številk. (Na primer kartezični koordinatni sistem na tabli ali zemljepisna širina in dolžina na zemljevidu.)

Če premaknete pravokotnik v smeri, ki je pravokotna na ravnino, v kateri leži, dobite "opeko" (pravokotni paralelepiped) - tridimenzionalni predmet, ki ima dolžino, širino in višino; nahaja se v tridimenzionalnem prostoru, v kakršnem živiva ti in jaz. Zato imamo dobro predstavo o tem, kako izgledajo tridimenzionalni predmeti. A če bi živeli v dvodimenzionalnem prostoru – na letalu – bi morali kar malo napeti svojo domišljijo, da bi si predstavljali, kako bi lahko premaknili pravokotnik, da bi prišel iz ravnine, v kateri živimo.

Pravzaprav se s štiridimenzionalnim prostorom srečujemo vsak dan: na primer, ko določamo datum, ne navedemo le kraja srečanja (lahko ga določimo s tremi številkami), temveč tudi uro (lahko ga določimo z eno samo številko). , na primer število sekund, ki so pretekle od določenega datuma). Če pogledate pravo opeko, nima le dolžine, širine in višine, ampak tudi razteg v času – od trenutka nastanka do trenutka uničenja.

Fizik bo rekel, da ne živimo samo v prostoru, ampak v prostoru-času; matematik bo dodal, da je štiridimenzionalna. Torej je četrta dimenzija bližje, kot se zdi.

Tridimenzionalni prostor – ima tri homogene dimenzije: višino, širino in dolžino. To je geometrijski model našega materialnega sveta.

Da bi razumeli naravo fizičnega prostora, moramo najprej odgovoriti na vprašanje o izvoru njegove razsežnosti. Zato je vrednost dimenzije, kot lahko vidimo, najpomembnejša značilnost fizičnega prostora.

Razsežnost prostora

Razsežnost je najsplošnejša merljiva lastnost prostora-časa. Trenutno fizikalna teorija, ki trdi, da zagotavlja prostorsko-časovni opis realnosti, jemlje vrednost dimenzije kot začetni postulat. Koncept števila razsežnosti oziroma razsežnost prostora je eden najbolj temeljnih pojmov v matematiki in fiziki.

Sodobna fizika se je približala odgovoru na metafizično vprašanje, ki si ga je v delih zastavil avstrijski fizik in filozof Ernst Mach: »Zakaj je prostor tridimenzionalen?« Menijo, da je dejstvo tridimenzionalnosti prostora povezano s temeljnimi lastnostmi materialnega sveta.

Razvoj procesa iz točke generira prostor, tj. kraj, kjer naj poteka izvajanje razvojnega programa. "Ustvarjeni prostor" je za nas oblika vesolja ali oblika materije v vesolju.

Tako so mislili v starih časih...

Že Ptolomej je pisal na temo razsežnosti prostora, kjer je trdil, da v naravi ne morejo obstajati več kot tri prostorske razsežnosti. Drugi grški mislec Aristotel je v svoji knjigi »O nebesih« zapisal, da samo prisotnost treh dimenzij zagotavlja popolnost in popolnost sveta. Ena dimenzija, je razmišljal Aristotel, tvori črto. Če liniji dodamo še eno dimenzijo, dobimo površino. Dodajanje druge dimenzije površini tvori volumetrično telo.

Izkazalo se je, da »ni več mogoče iti čez meje volumetričnega telesa na nekaj drugega, saj se vsaka sprememba pojavi zaradi neke pomanjkljivosti, tukaj pa je ni. Zgornja linija Aristotelove misli trpi zaradi ene pomembne slabosti: ostaja nejasno, zakaj ima ravno tridimenzionalno volumetrično telo popolnost in popolnost. Nekoč je Galileo upravičeno zasmehoval mnenje, da je »število »3« popolno število in da je obdarjeno s sposobnostjo, da daje popolnost vsemu, kar ima trojstvo«.

Kako se določi dimenzija prostora?

Vesolje je neskončno razširjeno v vse smeri. Vendar se lahko meri samo v treh neodvisnih smereh: dolžina, širina in višina; Te smeri imenujemo dimenzije prostora in pravimo, da ima naš prostor tri dimenzije, da je tridimenzionalen. Še več, »v tem primeru imenujemo neodvisna smer premica, ki leži pravokotno na drugo. Takšne linije, tj. ležeči hkrati pod pravim kotom drug na drugega in ne vzporedni drug z drugim, naša geometrija pozna samo tri. To pomeni, da je dimenzionalnost našega prostora določena s številom možnih črt v njem, ki ležijo pravokotno druga na drugo. Na črti ne more biti druge črte - to je enodimenzionalen prostor. Na površini sta možni 2 pravokotnici - to je dvodimenzionalen prostor. V "prostoru" so tri pravokotnice - to je tridimenzionalni prostor."

Zakaj je prostor tridimenzionalen?

Redka v zemeljskih razmerah ima izkušnja materializacije ljudi pogosto fizični učinek na očividce ...

Toda v idejah o prostoru in času je še vedno veliko nejasnega, kar povzroča nenehne razprave med znanstveniki. Zakaj ima naš prostor tri dimenzije? Ali lahko obstajajo večdimenzionalni svetovi? Ali je možno, da materialni predmeti obstajajo zunaj prostora in časa?

Trditev, da ima fizični prostor tri razsežnosti, je enako objektivna kot na primer izjava, da obstajajo tri agregatna stanja snovi: trdno, tekoče in plinasto; opisuje temeljno dejstvo objektivnega sveta. I. Kant je poudaril, da razlog za tridimenzionalnost našega prostora še ni znan. P. Ehrenfest in J. Withrow sta pokazala, da če bi bilo število dimenzij vesolja več kot tri, bi bil obstoj planetarnih sistemov nemogoč - samo v tridimenzionalnem svetu lahko obstajajo stabilne orbite planetov v planetarnih sistemih. To pomeni, da je tridimenzionalni red snovi edini stabilen red.

Toda tridimenzionalnosti prostora ne moremo trditi kot nekakšno absolutno nujnost. Je fizikalno dejstvo kot vsako drugo in je posledično predmet enake vrste razlage.

Vprašanje, zakaj je naš prostor tridimenzionalen, je mogoče rešiti bodisi s stališča teleologije, ki temelji na neznanstveni trditvi, da je »tridimenzionalni svet najpopolnejši od vseh možnih svetov«, bodisi s pozicij znanstvenega materializma, tj. temelji na osnovnih fizikalnih zakonih.

Mnenje sodobnikov

Sodobna fizika pravi, da je značilnost tridimenzionalnosti ta, da in samo ona omogoča oblikovanje neprekinjenih vzročnih zakonov fizične realnosti. Toda »sodobni koncepti ne odražajo pravega stanja fizične slike sveta. Dandanes znanstveniki prostor obravnavajo kot določeno strukturo, sestavljeno iz številnih ravni, ki so tudi negotove. In zato ni naključje, da sodobna znanost ne zna odgovoriti na vprašanje, zakaj je naš prostor, v katerem živimo in ga opazujemo, tridimenzionalen.«

Teorija povezanega prostora

V vzporednih svetovih se dogodki odvijajo po svoje, lahko...

»Poskusi iskanja odgovora na to vprašanje, ki ostaja le v okvirih matematike, so obsojeni na neuspeh. Odgovor se morda skriva v novem, premalo raziskanem področju fizike." Poskusimo najti odgovor na to vprašanje na podlagi obravnavanih določb fizike povezanih prostorov.

Po teoriji povezanih prostorov se razvoj objekta odvija v treh stopnjah, pri čemer se vsaka stopnja razvija v določeni smeri, tj. po svoji razvojni osi.

Na prvi stopnji poteka razvoj objekta po prvotno izbrani smeri, tj. ima eno razvojno os. Na drugi stopnji se sistem, ki je nastal na prvi stopnji, zavrti za 90°, tj. smer prostorske osi se spremeni, razvoj sistema pa začne potekati po drugi izbrani smeri, pravokotni na prvotno. Na tretji stopnji se razvoj sistema ponovno zavrti za 90° in se začne razvijati po tretji izbrani smeri, pravokotno na prvi dve. Posledično se oblikujejo tri sfere prostora, ugnezdene druga v drugo, od katerih vsaka ustreza eni od osi razvoja. Poleg tega so vsi ti trije prostori s fizičnim procesom povezani v eno samo stabilno tvorbo.

In ker se ta proces izvaja na vseh velikih ravneh našega sveta, so vsi sistemi, vključno s samimi koordinatami, zgrajeni na triadičnem (trikoordinatnem) principu. Iz tega sledi, da se kot posledica prehoda treh razvojnih stopenj procesa naravno oblikuje tridimenzionalni prostor, ki ga kot posledica fizikalnega procesa razvoja oblikujejo tri koordinatne osi treh medsebojno pravokotnih smeri razvoja!

Ta inteligentna bitja so nastala na samem začetku obstoja vesolja ...

Ni zaman, da je Pitagora, ki bi očitno lahko imel to znanje, lastnik izraza: "Vse stvari so sestavljene iz treh." O tem govori tudi N.K. Roerich: »Simbol Trojice je zelo starodaven in ga najdemo po vsem svetu, zato ga ni mogoče omejiti na nobeno sekto, organizacijo, vero ali tradicijo, pa tudi na osebne ali skupinske interese, saj predstavlja evolucijo zavesti. v vseh njegovih fazah ... Izkazalo se je, da je znamenje Trojice razširjeno po vsem svetu ... Če sestavimo vse odtise istega znamenja, potem se bo morda izkazalo, da je najbolj razširjeno in najstarejše med človeški simboli. Nihče ne more trditi, da to znamenje pripada samo enemu verovanju ali temelji na eni folklori.”

Ni zaman, da so že v starih časih naš svet predstavljali kot troedino božanstvo (trije zlito v eno): nekaj enega, celega in nedeljivega, ki po svojem svetem pomenu močno presega svoje prvotne vrednosti.

Zasledili smo prostorsko specializacijo (razporeditev po koordinatnih smereh vesolja) znotraj enega samega sistema, vendar lahko vidimo povsem enako porazdelitev v kateri koli družbi od atomov do galaksij. Te tri vrste prostora niso nič drugega kot tri koordinatna stanja geometrijskega prostora.

Koliko razsežnosti ima prostor sveta, v katerem živimo?

Kakšno vprašanje! Seveda bo navaden človek rekel tri in imel prav. Obstaja pa tudi posebna vrsta ljudi, ki imajo pridobljeno sposobnost dvoma v očitne stvari. Ti ljudje se imenujejo "učenjaki", ker so tega posebej poučeni. Zanje naše vprašanje ni tako preprosto: merjenje prostora je izmuzljiva stvar, ne morejo se jih preprosto prešteti s kazanjem s prstom: ena, dve, tri. Njihovo število je nemogoče izmeriti z nobeno napravo, kot je ravnilo ali ampermeter: prostor ima 2,97 plus ali minus 0,04 dimenzije. O tem vprašanju moramo globlje razmišljati in iskati posredne metode. Takšna iskanja so se izkazala za plodna: sodobna fizika meni, da je število dimenzij resničnega sveta tesno povezano z najglobljimi lastnostmi materije. Toda pot do teh idej se je začela z revizijo naših vsakdanjih izkušenj.

Običajno pravijo, da ima svet, tako kot vsako telo, tri dimenzije, ki ustrezajo trem različnim smerem, recimo "višina", "širina" in "globina". Zdi se jasno, da je "globina", prikazana na risalni ravnini, zmanjšana na "višino" in "širino" in je v nekem smislu kombinacija njunih. Jasno je tudi, da so v realnem tridimenzionalnem prostoru vse možne smeri reducirane na neke tri vnaprej izbrane. Toda kaj pomeni "zmanjšati", "so kombinacija"? Kje bosta ta »širina« in »globina«, če se ne znajdemo v pravokotni sobi, ampak v breztežnosti nekje med Venero in Marsom? Končno, kdo lahko zagotovi, da je "višina", recimo v Moskvi in New Yorku, enaka "dimenzija"?

Težava je v tem, da že poznamo odgovor na problem, ki ga poskušamo rešiti, kar pa ni vedno koristno. Zdaj, ko bi se le lahko znašli v svetu, katerega število dimenzij ni vnaprej znano, in jih iskali eno za drugo Ali pa se vsaj tako odpovedali obstoječemu znanju o resničnosti, da bi pogledali njene prvotne lastnosti na povsem nov način.

Orodje za matematiko Cobblestone

Leta 1915 je francoski matematik Henri Lebesgue ugotovil, kako določiti število dimenzij prostora brez uporabe konceptov višine, širine in globine. Da bi razumeli njegovo idejo, samo natančno poglejte tlakovane tlakovce. Z lahkoto najdete mesta, kjer se kamni združijo v tri in štiri. Ulico lahko tlakujete s kvadratnimi ploščicami, ki bodo v dveh ali štirih mejile ena na drugo; če vzamete enake trikotne ploščice, bodo sosednje v skupinah po dve ali šest. Toda noben mojster ne more tlakovati ulice tako, da se tlakovci povsod mejijo drug na drugega samo po dvoje. To je tako očitno, da je smešno trditi drugače.

Matematiki se od običajnih ljudi razlikujejo prav po tem, da opazijo možnost takšnih absurdnih predpostavk in znajo iz njih potegniti sklepe. V našem primeru je Lebesgue razmišljal takole: površina pločnika je seveda dvodimenzionalna. Hkrati so na njej neizogibne točke, kjer se stekajo vsaj trije tlakovci. Poskusimo to ugotovitev posplošiti: recimo, da je dimenzija nekega območja enaka N, če se pri polaganju ploščic ni mogoče izogniti stikom N + 1 ali več “tlakovcev”. Zdaj bo tridimenzionalnost prostora potrdil vsak zidar: navsezadnje bodo pri polaganju debele stene z več plastmi zagotovo obstajale točke, kjer se bodo dotikale vsaj štiri opeke!

Vendar se na prvi pogled zdi, da je mogoče najti, kot temu pravijo matematiki, »protiprimer« Lebesguejevi definiciji dimenzije. To je deska, pri kateri se talne deske dotikajo natanko dve naenkrat. Zakaj ne tlakovati? Zato je tudi Lebesgue zahteval, da so "tlakovci", ki se uporabljajo pri določanju dimenzije, majhni. To je pomembna ideja in k njej se bomo na koncu še vrnili – z nepričakovane perspektive. In zdaj je jasno, da pogoj majhnosti "tlakovcev" rešuje Lebesgueovo definicijo: recimo, kratka parketa se bodo za razliko od dolgih parketov na nekaterih točkah nujno dotikala v treh. To pomeni, da tri dimenzije prostora niso le zmožnost poljubne izbire nekih treh »različnih« smeri v njem. Tri dimenzije so prava omejitev naših zmožnosti, kar lahko občutimo, če se malo poigramo s kockami ali kockami.

Razsežnost prostora skozi oči Stirlitza

Drugo omejitev, povezano s tridimenzionalnostjo prostora, dobro občuti zapornik, zaprt v zaporniški celici (na primer Stirlitz v Müllerjevi kleti). Kako izgleda ta kamera z njegovega zornega kota? Grobe betonske stene, tesno zaklenjena jeklena vrata - z eno besedo, ena dvodimenzionalna površina brez razpok in lukenj, ki z vseh strani oklepa zaprt prostor, kjer se nahaja. Iz takšne lupine res ni kam pobegniti. Ali je možno zapreti osebo v enodimenzionalno vezje? Predstavljajte si, kako Müller na tla s kredo nariše krog okoli Stirlitza in gre domov: to niti ni šala.

Iz teh premislekov izhaja še en način za določitev števila dimenzij našega prostora. Naj to formuliramo takole: območje N-dimenzionalnega prostora je mogoče z vseh strani zapreti samo z (N-1)-dimenzionalno "površino". V dvodimenzionalnem prostoru bo "površina" enodimenzionalna kontura, v enodimenzionalnem prostoru bosta dve ničdimenzionalni točki. To definicijo si je leta 1913 izmislil nizozemski matematik Brouwer, zaslovela pa je šele osem let pozneje, ko sta jo neodvisno ponovno odkrila naš Pavel Uryson in Avstrijec Carl Menger.

Tu se naše poti ločijo od Lebesgueja, Brouwerja in njihovih kolegov. Potrebovali so novo definicijo dimenzije, da bi zgradili abstraktno matematično teorijo prostorov katere koli dimenzije do neskončnosti. To je čisto matematična konstrukcija, igra človeškega uma, ki je dovolj močan, da dojame tako nenavadne predmete, kot je neskončnodimenzionalni prostor. Matematiki se ne trudijo ugotoviti, ali stvari s takšno strukturo dejansko obstajajo: to ni njihov poklic. Nasprotno, naše zanimanje za število razsežnosti sveta, v katerem živimo, je fizično: želimo ugotoviti, koliko jih v resnici obstaja in kako občutiti njihovo število »na lastni koži«. Potrebujemo fenomene, ne čistih idej.

Značilno je, da so bili vsi navedeni primeri bolj ali manj izposojeni iz arhitekture. To področje človekove dejavnosti je najtesneje povezano s prostorom, kot se nam zdi v običajnem življenju. Za napredek v iskanju razsežnosti fizičnega sveta bo potreben dostop do drugih ravni realnosti. Človeku so dostopni zaradi sodobne tehnologije in s tem fizike.

Kaj ima s tem svetlobna hitrost?

Vrnimo se na kratko k Stirlitzu, ki je ostal v celici. Za izstop iz lupine, ki ga je zanesljivo ločevala od preostalega tridimenzionalnega sveta, je uporabil četrto dimenzijo, ki se ne boji dvodimenzionalnih ovir. Nekaj časa je namreč razmišljal in si našel primeren alibi. Z drugimi besedami, nova skrivnostna dimenzija, ki jo je izkoristil Stirlitz, je bil čas.

Težko je reči, kdo je prvi opazil analogijo med časom in dimenzijami prostora. Za to so vedeli že pred dvema stoletjema. Joseph Lagrange, eden od ustvarjalcev klasične mehanike, vede o gibanju teles, jo je primerjal z geometrijo štiridimenzionalnega sveta: njegova primerjava zveni kot citat iz sodobne knjige o splošni relativnosti.

Lagrangeov tok misli pa je lahko razumeti. V njegovem času so že poznali grafe odvisnosti spremenljivk od časa, kot so današnji kardiogrami ali grafi mesečnih temperaturnih nihanj. Takšni grafi so narisani na dvodimenzionalni ravnini: na ordinatni osi je narisana pretečena pot spremenljivke, na abscisni osi pa pretečeni čas. V tem primeru čas resnično postane le »še ena« geometrijska dimenzija. Na enak način ga lahko dodate v tridimenzionalni prostor našega sveta.

Toda ali je čas res kot prostorske dimenzije? Na ravnini z narisanim grafom sta označeni dve »smiselni« smeri. In smeri, ki ne sovpadajo z nobeno od osi, nimajo pomena, ne predstavljajo ničesar. Na navadni geometrijski dvodimenzionalni ravnini so vse smeri enake, ni določenih osi.

Čas lahko resnično štejemo za četrto koordinato le, če ga ne ločimo od drugih smeri v štiridimenzionalnem »prostoru-času«. Najti moramo način, kako "zasukati" prostor-čas, tako da se časovne in prostorske dimenzije "mešajo" in se lahko v določenem smislu transformirajo druga v drugo.

To metodo sta odkrila Albert Einstein, ki je ustvaril teorijo relativnosti, in Hermann Minkowski, ki ji je dal strogo matematično obliko. Izkoristili so dejstvo, da v naravi obstaja univerzalna hitrost svetlobna hitrost.

Vzemimo dve točki v prostoru, vsako v svojem trenutku, ali dva »dogodka« v žargonu relativnostne teorije. Če časovni interval med njima, merjen v sekundah, pomnožimo s svetlobno hitrostjo, dobimo določeno razdaljo v metrih. Predpostavili bomo, da je ta namišljeni odsek »pravokoten« na prostorsko razdaljo med dogodki, skupaj pa tvorita »krake« nekega pravokotnega trikotnika, katerega »hipotenuza« je odsek v prostoru-času, ki povezuje izbrane dogodke. Minkowski je predlagal: da bi našli kvadrat dolžine "hipotenuze" tega trikotnika, ne bomo dodali kvadrata dolžine "prostorske" noge kvadratu dolžine "časovne" noge, ampak odštej. Seveda lahko to povzroči negativen rezultat: takrat velja, da ima "hipotenuza" namišljeno dolžino! Toda kaj je smisel?

Ko se ravnina zasuka, se dolžina katerega koli odseka, narisanega na njej, ohrani. Minkowski je spoznal, da je treba upoštevati takšne "rotacije" prostora-časa, ki ohranjajo "dolžino" segmentov med dogodki, ki jih je predlagal. Tako je mogoče zagotoviti, da je svetlobna hitrost univerzalna v izdelani teoriji. Če sta dva dogodka povezana s svetlobnim signalom, je "razdalja Minkowskega" med njima enaka nič: prostorska razdalja sovpada s časovnim intervalom, pomnoženim s svetlobno hitrostjo. "Rotacija", ki jo je predlagal Minkowski, ohranja to "razdaljo" nič, ne glede na to, kako sta med "rotacijo" pomešana prostor in čas.

To ni edini razlog, zakaj ima Minkowskijeva "distanca" pravi fizični pomen, kljub njeni izjemno čudni definiciji za neusposobljenega človeka. Minkowskijeva »razdalja« ponuja način za konstruiranje »geometrije« prostora-časa, tako da so lahko prostorski in časovni intervali med dogodki enaki. Morda je ravno to glavna ideja teorije relativnosti.

Torej sta čas in prostor našega sveta med seboj tako tesno povezana, da je težko razumeti, kje se eden konča in kje se začne drugi. Skupaj tvorijo nekaj podobnega odru, na katerem igrajo predstavo "Zgodovina vesolja". Liki so delci snovi, atomi in molekule, iz katerih so sestavljene galaksije, meglice, zvezde, planeti, na nekaterih planetih celo živi inteligentni organizmi (bralec bi moral poznati vsaj en tak planet).

Einstein je na podlagi odkritij svojih predhodnikov ustvaril novo fizično sliko sveta, v kateri sta bila prostor in čas neločljiva drug od drugega, realnost pa je postala resnično štiridimenzionalna. In v tej štiridimenzionalni realnosti se je ena od dveh »temeljnih interakcij«, ki jih je znanost takrat poznala, »raztopila«: zakon univerzalne gravitacije je bil reduciran na geometrijsko strukturo štiridimenzionalnega sveta. Toda Einstein ni mogel storiti ničesar z drugo temeljno interakcijo - elektromagnetno.

Prostor-čas dobiva nove razsežnosti

Splošna teorija relativnosti je tako lepa in prepričljiva, da so takoj po tem, ko je postala znana, drugi znanstveniki poskušali slediti isti poti naprej. Ali je Einstein zmanjšal gravitacijo na geometrijo? To pomeni, da njegovim privržencem preostane geometriziranje elektromagnetnih sil!

Ker je Einstein izčrpal možnosti metrike štiridimenzionalnega prostora, so njegovi privrženci začeli poskušati nekako razširiti nabor geometrijskih objektov, iz katerih bi lahko zgradili takšno teorijo. Povsem naravno je, da so želeli povečati število dimenzij.

Toda medtem ko so se teoretiki ukvarjali z geometrizacijo elektromagnetnih sil, so odkrili še dve temeljni interakciji - tako imenovano močno in šibko. Zdaj je bilo treba združiti štiri interakcije. Hkrati se je pojavilo veliko nepričakovanih težav, za premagovanje katerih so bile izumljene nove ideje, ki so znanstvenike vedno bolj oddaljevale od vizualne fizike prejšnjega stoletja. Začeli so razmišljati o modelih svetov z več deset in celo stotinami dimenzij, prav jim je prišel tudi neskončnodimenzionalni prostor. Da bi govorili o teh iskanjih, bi morali napisati celo knjigo. Za nas je pomembno še eno vprašanje: kje so vse te nove dimenzije? Ali jih je mogoče čutiti tako, kot občutimo čas in tridimenzionalni prostor?

Predstavljajte si dolgo in zelo tanko cev – na primer prazno gasilsko cev, tisočkrat zmanjšano. Je dvodimenzionalna površina, vendar sta njeni dimenziji neenaki. Eno od njih, dolžino, zlahka opazimo - gre za »makroskopsko« meritev. Obod, "prečno" dimenzijo, je mogoče videti le pod mikroskopom. Sodobni večdimenzionalni modeli sveta so podobni tej cevi, čeprav nimajo ene, ampak štiri makroskopske dimenzije - tri prostorske in eno časovno. Preostalih dimenzij v teh modelih ni mogoče videti niti pod elektronskim mikroskopom. Da bi odkrili njihove manifestacije, fiziki uporabljajo pospeševalnike - zelo drage, a surove "mikroskope" za subatomski svet.

Medtem ko so nekateri znanstveniki izpopolnjevali to impresivno sliko in briljantno premagovali eno oviro za drugo, so drugi imeli zapleteno vprašanje:

Ali je lahko dimenzija delna?

Zakaj ne? Če želite to narediti, morate preprosto najti novo lastnost dimenzije, ki bi jo lahko povezala z necelimi števili, in geometrijske objekte, ki imajo to lastnost in imajo delno dimenzijo. Če želimo najti na primer geometrijski lik, ki ima eno in pol razsežnost, potem imamo dve poti. Lahko poskusite od dvodimenzionalne površine odšteti polovico dimenzije ali dodati polovico dimenzije enodimenzionalni črti. Če želite to narediti, najprej vadimo dodajanje ali odštevanje celotne dimenzije.

Obstaja tako znan otroški trik. Čarovnik vzame trikoten kos papirja, na njem naredi rez s škarjami, prepogne kos papirja na pol vzdolž linije reza, naredi še en rez, ga spet upogne, še zadnjič zareže in navzgor! V njegovih rokah je girlanda osmih trikotnikov, od katerih je vsak povsem podoben prvotnemu, vendar osemkrat manjše površine (in kvadratnega korena osemkrat velikosti). Morda je ta trik leta 1890 pokazal italijanski matematik Giuseppe Peano (ali pa ga je sam rad pokazal), kakorkoli, takrat je to opazil. Vzemimo popoln papir, popolne škarje in ponovimo zaporedje rezanja in zgibanja neskončno velikokrat. Potem se bodo velikosti posameznih trikotnikov, pridobljene na vsakem koraku tega procesa, nagibale k ničli, sami trikotniki pa se bodo skrčili na točke. Zato bomo iz dvodimenzionalnega trikotnika dobili enodimenzionalno črto, ne da bi pri tem izgubili en kos papirja! Če te črte ne raztegnete v girlando, ampak jo pustite tako "zmečkano", kot smo jo naredili pri rezanju, potem bo v celoti zapolnila trikotnik. Še več, pod katerim koli močnim mikroskopom pregledamo ta trikotnik in poljubno povečamo njegove delce, bo nastala slika videti popolnoma enaka nepovečani: znanstveno gledano ima Peanova krivulja enako strukturo pri vseh povečavah ali je " pomanjšana" nespremenljiva."

Tako bi lahko enodimenzionalna krivulja, ko se je neštetokrat upognila, dobila dimenzijo dve. To pomeni, da obstaja upanje, da bo manj "zmečkana" krivulja imela "dimenzijo" recimo ena in pol. Toda kako lahko najdemo način za merjenje delnih dimenzij?

Pri določanju dimenzije »tlakovca« je bilo, kot se spominja bralec, treba uporabiti dokaj majhne »tlakovce«, sicer bi bil rezultat lahko napačen. Potrebovali pa boste veliko majhnih "kaldrmovk": manjša kot je njihova velikost, več jih je. Izkazalo se je, da za določitev dimenzije ni treba preučiti, kako so "tlakovci" drug ob drugem, ampak je dovolj samo ugotoviti, kako se njihovo število povečuje, ko se velikost zmanjšuje.

Vzemimo odsek ravne črte, dolg 1 decimeter, in dve Peanovi krivulji, ki skupaj zapolnjujeta kvadrat, ki meri decimeter za decimetrom. Pokrili jih bomo z majhnimi kvadratnimi »tlakovci« s stranico dolžine 1 centimeter, 1 milimeter, 0,1 milimetra in tako naprej, do mikrona. Če izrazimo velikost "tlakovca" v decimetrih, bo segment zahteval število "tlakovcev", ki je enako njihovi velikosti na potenco minus ena, za Peanove krivulje pa je enako njihovi velikosti na potenco minus dve. Še več, segment ima vsekakor eno dimenzijo, Peanova krivulja pa, kot smo videli, dve. To ni samo naključje. Eksponent v razmerju, ki povezuje število »kaldrovcev« z njihovo velikostjo, je namreč enak (z znakom minus) dimenziji figure, ki je z njimi prekrita. Še posebej pomembno je, da je eksponent lahko ulomek. Na primer, za krivuljo, ki je vmesna v svoji "krutosti" med navadno črto in včasih gosto zapolnjenim kvadratom Peanovih krivulj, bo vrednost indikatorja večja od 1 in manjša od 2. To odpre pot, ki jo potrebujemo določite delne dimenzije.

Na ta način je bila na primer določena velikost obale Norveške, države, ki ima zelo razgibano (ali »zmečkano«, kakor želite) obalo. Seveda pa tlakovanje obale Norveške s tlakovci ni potekalo na terenu, temveč na karti iz geografskega atlasa. Rezultat (ni absolutno natančen zaradi nezmožnosti v praksi doseči neskončno majhne »kaldrmčke«) je bil 1,52 plus minus ena stotinka. Jasno je, da dimenzija ne more biti manjša od ena, saj še vedno govorimo o »enodimenzionalni« liniji, in več kot dve, saj je obala Norveške »narisana« na dvodimenzionalni površini zemeljske oble. .

Človek kot merilo vseh stvari

Frakcijske razsežnosti so super, lahko tukaj reče bralec, toda kaj imajo opraviti z vprašanjem števila razsežnosti sveta, v katerem živimo? Se lahko zgodi, da je razsežnost sveta ulomek in ne ravno enaka trem?

Primeri Peanove krivulje in norveške obale kažejo, da dobimo delno dimenzijo, če je ukrivljena črta močno "zmečkana", vdelana v neskončno majhne gube. Postopek določanja frakcijske dimenzije vključuje tudi uporabo neskončno padajočih »kaldrmovnikov«, s katerimi prekrijemo obravnavano krivuljo. Zato se frakcijska razsežnost, znanstveno gledano, lahko manifestira le »v dovolj majhnih merilih«, to pomeni, da lahko eksponent v razmerju, ki povezuje število »kaldrmov« z njihovo velikostjo, doseže svojo delno vrednost le v meji. Nasprotno, en ogromen tlakovec lahko prekrije fraktal, predmet delne dimenzije končnih dimenzij, ki se ne razlikuje od točke.

Za nas je svet, v katerem živimo, najprej obseg, v katerem nam je dostopen v vsakdanji realnosti. Kljub osupljivim dosežkom tehnologije njene značilne razsežnosti še vedno določata ostrina našega vida in razdalja naše hoje, značilna časovna obdobja s hitrostjo naše reakcije in globino našega spomina, značilne količine energije z moč interakcij, v katere vstopa naše telo z okoliškimi stvarmi. Starodavnih pri nas nismo dosti presegli in ali se za to splača truditi? Naravne in tehnološke katastrofe nekoliko razširijo obseg »naše« realnosti, ne naredijo pa jih kozmičnih. Mikrosvet je v našem vsakdanjem življenju še bolj nedostopen. Svet, ki se nam odpira, je tridimenzionalen, »gladek« in »ploščat«, popolnoma ga opisuje geometrija starih Grkov; dosežki znanosti ne bi smeli služiti toliko širitvi kot zaščiti njenih meja.

Kaj je torej odgovor ljudem, ki čakajo na odkritje skritih razsežnosti našega sveta? Žal, edina dimenzija, ki nam je na voljo in jo ima svet onkraj treh prostorskih, je čas. Je malo ali veliko, staro ali novo, čudovito ali običajno? Čas je preprosto četrta stopnja svobode in ga je mogoče uporabiti na veliko različnih načinov. Spomnimo se še enkrat istega Stirlitza, mimogrede, fizika po izobrazbi: vsak trenutek ima svoj razlog.

Andrej Sobolevski