Če sta 2 vzporedni. Vzporednice, znaki in pogoji za vzporednice

Znaki vzporednosti dveh premic

Izrek 1. Če se dve premici sekata s sekanto:

prekrižani koti so enaki, oz

ustrezna kota enaka oz

vsota enostranskih kotov je 180°, torej

črte so vzporedne(slika 1).

Dokaz. Omejili smo se na dokazovanje primera 1.

Naj bosta premici a in b navzkrižni in kota AB enaka. Na primer, ∠ 4 = ∠ 6. Dokažimo, da je a || b.

Recimo, da premici a in b nista vzporedni. Nato se sekata v neki točki M in zato bo eden od kotov 4 ali 6 zunanji kot trikotnika ABM. Za določnost naj bo ∠ 4 zunanji kot trikotnika ABM, ∠ 6 pa notranji. Iz izreka o zunanjem kotu trikotnika sledi, da je ∠ 4 večji od ∠ 6, to pa je v nasprotju s pogojem, kar pomeni, da se premici a in 6 ne moreta sekat, torej sta vzporedni.

Posledica 1. Dve različni premici v ravnini, pravokotni na isto premico, sta vzporedni(slika 2).

Komentiraj. Način, kako smo pravkar dokazali primer 1 izreka 1, se imenuje metoda dokaza s protislovjem ali redukcija na absurd. Ta metoda je dobila svoje prvo ime, ker je na začetku argumenta podana predpostavka, ki je v nasprotju (nasprotju) s tem, kar je treba dokazati. Imenuje se privedba do absurda zaradi dejstva, da z razmišljanjem na podlagi postavljene predpostavke pridemo do absurdnega zaključka (do absurda). Prejem takega sklepa nas prisili, da zavrnemo prvotno predpostavko in sprejmemo tisto, ki jo je bilo treba dokazati.

Naloga 1. Konstruirajte premico, ki poteka skozi dano točko M in je vzporedna z dano premico a, ne pa skozi točko M.

rešitev. Skozi točko M narišemo premico p pravokotno na premico a (slika 3).

Nato skozi točko M narišemo premico b pravokotno na premico p. Premica b je vzporedna s premico a glede na posledico izreka 1.

Iz obravnavanega problema sledi pomemben sklep:
skozi točko, ki ne leži na dani premici, je vedno mogoče narisati premico, ki je vzporedna z dano.

Glavna lastnost vzporednih črt je naslednja.

Aksiom vzporednih premic. Skozi dano točko, ki ne leži na dani premici, teče samo ena premica, vzporedna z dano premico.

Oglejmo si nekaj lastnosti vzporednih premic, ki izhajajo iz tega aksioma.

1) Če premica seka eno od dveh vzporednih premic, potem seka tudi drugo (slika 4).

2) Če sta dve različni premici vzporedni s tretjo premico, potem sta vzporedni (slika 5).

Prav tako velja naslednji izrek.

Izrek 2. Če dve vzporedni premici seka prečnica, velja:

navzkrižni koti so enaki;

ustrezna kota sta enaka;

vsota enostranskih kotov je 180°.

Posledica 2. Če je premica pravokotna na eno od dveh vzporednih premic, je pravokotna tudi na drugo(glej sliko 2).

Komentiraj. Izrek 2 se imenuje inverz izreka 1. Zaključek izreka 1 je pogoj izreka 2. In pogoj izreka 1 je sklep izreka 2. Vsak izrek nima inverza, to je, če je dani izrek res, potem je inverzni izrek lahko napačen.

Razložimo to na primeru izreka o navpičnih kotih. Ta izrek je mogoče formulirati na naslednji način: če sta dva kota navpična, potem sta enaka. Obratni izrek bi bil: če sta dva kota enaka, potem sta navpična. In to seveda ne drži. Ni nujno, da sta dva enaka kota navpična.

Primer 1. Dve vzporedni črti seka tretja. Znano je, da je razlika med dvema notranjima enostranskima kotoma 30°. Poišči te kote.

rešitev. Naj slika 6 izpolnjuje pogoj.

POGLAVJE III.
VZPOREDNO NEPOSREDNO

§ 38. ODVISNOST MED KOTI,
TAVRIJO GA DVE VZPOREDNI ČRTI IN SEKUNDARNA.

Vemo, da sta premici vzporedni, če sta pri sekanju tretje premice pripadajoča kota enaka ali sta navzkrižno ležeča notranja ali zunanja kota enaka ali je vsota notranjih ali vsota zunanjih enostraničnih kotov enaka 2 d. Dokažimo, da veljajo tudi obratni izreki, in sicer:

Če dve vzporedni črti križa tretja, potem:

1) ustrezni koti so enaki;
2) notranji navzkrižni koti so enaki;
3) zunanji navzkrižni koti so enaki;
4) vsota notranjih enostranskih kotov je enaka 2 d ;
5) vsota zunanjih enostranskih kotov je enaka 2 d .

Dokažimo na primer, da če dve vzporedni premici seka tretja premica, sta ustrezna kota enaka.

Naj sta premici AB in CD vzporedni, MN njuna sekansa (slika 202.) Dokažimo, da sta ustrezna kota 1 in 2 med seboj enaka.

Predpostavimo, da / 1 in / 2 nista enaka. Nato v točki O lahko konstruiramo / IOC, ustrezne in enake / 2 (risba 203).

Ampak če / MOQ = / 2, potem bo premica OK vzporedna s CD (§ 35).

Ugotovili smo, da sta skozi točko O narisani premici AB in OK, vzporedni s premico CD. Vendar to ne more biti (§ 37).

Prišli smo do protislovja, ker smo domnevali, da / 1 in / 2 nista enaka. Zato je naša predpostavka napačna in / 1 mora biti enako / 2, tj. ustrezna kota sta enaka.

Ugotovimo razmerja med preostalimi koti. Naj sta premici AB in CD vzporedni, MN pa njun sekans (slika 204).

Pravkar smo dokazali, da sta v tem primeru ustrezna kota enaka. Predpostavimo, da imata katera koli dva po 119°. Izračunajmo velikost vsakega od ostalih šestih kotov. Na podlagi lastnosti sosednjih in navpičnih kotov ugotovimo, da bodo imeli štirje od osmih kotov po 119°, ostali pa po 61°.

Izkazalo se je, da sta notranji in zunanji navzkrižni kot v parih enaka, vsota notranjih ali zunanjih enostranskih kotov pa je enaka 180° (ali 2 d).

Enako se bo zgodilo za vsako drugo vrednost enakih ustreznih kotov.

Posledica 1. Če je vsaka od dveh premic AB in CD vzporedna z isto tretjo premico MN, potem sta prvi dve premici med seboj vzporedni (risba 205).

Pravzaprav z risanjem sekante EF (slika 206) dobimo:
A) / 1 = / 3, saj je AB || MN; b) / 2 = / 3, saj CO || MN.

pomeni, / 1 = / 2, in to sta kota, ki ustrezata premicama AB in CD ter sekanti EF, torej sta premici AB in CD vzporedni.

Posledica 2. Če je premica pravokotna na eno od dveh vzporednih premic, je pravokotna tudi na drugo (risba 207).

Dejansko, če je EF _|_ AB, potem / 1 = d; če je AB || CD, torej / 1 = / 2.

torej / 2 = d tj. EF _|_ CD .

1) Če sta premici, ko se sekata s prečnico, ležeči koti enaki, sta premici vzporedni.

2) Če sta pri sekanju dveh premic s prečnico ustrezna kota enaka, sta premici vzporedni.

3) Če je pri dveh premicah, ki se sekata s prečnico, vsota enostranskih kotov enaka 180°, sta premici vzporedni.

3. Skozi točko, ki ne leži na dani premici, teče samo ena premica, vzporedna z dano premico.

4 Če premica seka eno od dveh vzporednih premic, potem seka tudi drugo.

5. Če sta dve premici vzporedni s tretjo premico, potem sta vzporedni.

Lastnosti vzporednih premic

1) Če dve vzporedni premici seka prečnica, sta sečna kota enaka.

2) Če dve vzporedni premici seka prečnica, sta ustrezna kota enaka.

3) Če dve vzporedni premici seka prečnica, je vsota enostranskih kotov 180°.

7. Če je premica pravokotna na eno od dveh vzporednih premic, je pravokotna tudi na drugo.

8. Reševanje sistema dveh enačb z dvema Takšen par števil imenujemo neznanka X in pri , ki, ko jih nadomestimo v ta sistem, spremenijo vsako svojo enačbo v pravilno numerično enakost.

9.Rešite sistem enačb- pomeni najti vse njegove rešitve ali ugotoviti, da jih ni.

1. Metode za reševanje sistema enačb:

a) zamenjava

b) seštevanje;

c) grafično.

10. Vsota kotov trikotnika je 180°.

11.Zunanji kot trikotnika je kot, ki meji na neki kot tega trikotnika.

Zunanji kot trikotnika je enak vsoti dveh kotov trikotnika, ki mu ne ležita.

12. V vsakem trikotniku so ali vsi koti ostri, ali pa sta dva kota ostra, tretji pa je topi ali ravni.

13 Če so vsi trije koti trikotnika ostri, se trikotnik imenuje ostrokoten.

14.Če je eden od kotov trikotnika top, se trikotnik imenuje topokoten.

15. Če je eden od kotov trikotnika pravi, se imenuje trikotnik pravokotne.

16. Stran pravokotnega trikotnika, ki leži nasproti pravega kota, se imenuje hipotenuza, drugi dve strani pa sta noge.

17. V trikotniku: 1) večji kot leži nasproti večji stranici; 2) nazaj, večja stranica leži nasproti večjega kota.

18. V pravokotnem trikotniku je hipotenuza daljša od katete.

19. Če sta dva kota trikotnika enaka, potem je trikotnik enakokrak (znak enakokrakega trikotnika).

20. Vsaka stranica trikotnika je manjša od vsote drugih dveh stranic.

21 Vsota dveh ostrih kotov pravokotnega trikotnika je 90°.

22. Krak pravokotnega trikotnika, ki leži nasproti kota 30°, je enak polovici hipotenuze.

Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov: 1) na dveh straneh; 2) vzdolž hipotenuze in ostrega kota; 3) vzdolž hipotenuze in noge; 4) vzdolž noge in ostrega kota

Dolžina navpičnice, ki poteka iz točke na premico, se imenuje razdalja od te točke do premice.

V tem članku bomo govorili o vzporednih premicah, podali definicije ter opisali znake in pogoje vzporednosti. Za večjo preglednost teoretične snovi bomo uporabili ilustracije in rešitve tipičnih primerov.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Vzporedne premice na ravnini– dve premici na ravnini, ki nimata skupnih točk.

Definicija 2

Vzporedne črte v tridimenzionalnem prostoru– dve premici v tridimenzionalnem prostoru, ki ležita v isti ravnini in nimata skupnih točk.

Upoštevati je treba, da je za določanje vzporednih premic v prostoru izjemno pomembno pojasnilo »leži v isti ravnini«: dve premici v tridimenzionalnem prostoru, ki nimata skupnih točk in ne ležita v isti ravnini, nista vzporedni. , vendar se križajo.

Za označevanje vzporednih črt je običajno uporabiti simbol ∥. To pomeni, da če sta dani premici a in b vzporedni, je treba ta pogoj na kratko zapisati takole: a ‖ b. Verbalno vzporednost premic označimo takole: premici a in b sta vzporedni ali premica a je vzporedna s premico b ali premica b vzporedna s premico a.

Oblikujmo izjavo, ki igra pomembno vlogo v obravnavani temi.

Aksiom

Skozi točko, ki ne pripada dani premici, poteka edina premica, ki je vzporedna z dano premico. Te trditve ni mogoče dokazati na podlagi znanih aksiomov planimetrije.

V primeru, ko govorimo o prostoru, velja izrek:

1. izrek

Skozi vsako točko v prostoru, ki ne pripada dani premici, bo potekala ena sama premica, vzporedna z dano.

Ta izrek je enostavno dokazati na podlagi zgornjega aksioma (program geometrije za 10.–11. razred).

Kriterij vzporednosti je zadosten pogoj, katerega izpolnjevanje zagotavlja vzporednost premic. Z drugimi besedami, izpolnitev tega pogoja zadostuje za potrditev dejstva vzporednosti.

Predvsem obstajajo potrebni in zadostni pogoji za vzporednost premic na ravnini in v prostoru. Naj pojasnimo: nujno pomeni pogoj, katerega izpolnitev je nujna za vzporedne premice; če ni izpolnjeno, premice niso vzporedne.

Če povzamemo, nujen in zadosten pogoj za vzporednost premic je pogoj, katerega upoštevanje je potrebno in zadostno, da so premice med seboj vzporedne. Po eni strani je to znak vzporednosti, po drugi strani pa lastnost vzporednih črt.

Preden podamo natančno formulacijo nujnega in zadostnega pogoja, si opomnimo še nekaj dodatnih pojmov.

Definicija 3

Sekantna črta– premica, ki seka vsako od dveh danih nesovpadajočih premic.

Prečnica, ki seka dve ravni črti, tvori osem nerazvitih kotov. Za oblikovanje potrebnega in zadostnega pogoja bomo uporabili takšne vrste kotov, kot so prekrižani, ustrezni in enostranski. Predstavimo jih na sliki:

2. izrek

Če sta dve premici v ravnini sekani s prečnico, je za vzporednost danih premic nujno in zadostno, da sta seka kota enaka ali da sta pripadajoča kota enaka ali da je vsota enostranskih kotov enaka 180 stopinj.

Grafično ponazorimo nujni in zadostni pogoj za vzporednost premic na ravnini:

Dokaz teh pogojev je prisoten v programu geometrije za 7. - 9. razred.

Na splošno veljajo ti pogoji tudi za tridimenzionalni prostor, pod pogojem, da dve premici in sekanta pripadata isti ravnini.

Naj navedemo še nekaj izrekov, ki se pogosto uporabljajo za dokazovanje dejstva, da so premice vzporedne.

Izrek 3

Na ravnini sta dve premici, vzporedni s tretjo, med seboj vzporedni. Ta lastnost je dokazana na podlagi zgoraj navedenega aksioma vzporednosti.

Izrek 4

V tridimenzionalnem prostoru sta dve premici, vzporedni s tretjo, vzporedni druga z drugo.

Dokaz znaka se preučuje v učnem načrtu geometrije za 10. razred.

Naj ponazorimo te izreke:

Naj navedemo še en par izrekov, ki dokazujejo vzporednost premic.

Izrek 5

Na ravnini sta dve premici, pravokotni na tretjo, med seboj vzporedni.

Formulirajmo podobno stvar za tridimenzionalni prostor.

Izrek 6

V tridimenzionalnem prostoru sta dve premici, pravokotni na tretjo, med seboj vzporedni.

Naj ponazorimo:

Vsi zgornji izreki, znaki in pogoji omogočajo priročno dokazovanje vzporednosti črt z metodami geometrije. To pomeni, da lahko za dokaz vzporednosti črt pokažemo, da so ustrezni koti enaki, ali dokažemo dejstvo, da sta dve dani črti pravokotni na tretjo itd. Vendar upoštevajte, da je pogosto bolj priročno uporabiti koordinatno metodo za dokazovanje vzporednosti črt na ravnini ali v tridimenzionalnem prostoru.

Vzporednost daljic v pravokotnem koordinatnem sistemu

V danem pravokotnem koordinatnem sistemu je premica določena z enačbo premice na ravnini ene od možnih vrst. Podobno premica, definirana v pravokotnem koordinatnem sistemu v tridimenzionalnem prostoru, ustreza nekaterim enačbam za premico v prostoru.

Zapišimo potrebne in zadostne pogoje za vzporednost premic v pravokotnem koordinatnem sistemu glede na vrsto enačbe, ki opisuje dane premice.

Začnimo s pogojem vzporednosti premic na ravnini. Temelji na definicijah smernega vektorja premice in normalnega vektorja premice na ravnini.

Izrek 7

Da sta dve neskladni premici vzporedni na ravnini, je nujno in zadostno, da sta smerna vektorja danih premic kolinearna, normalna vektorja danih premic kolinearna ali da je smerni vektor ene premice pravokoten na normalni vektor druge premice.

Očitno postane, da pogoj vzporednosti premic na ravnini temelji na pogoju kolinearnosti vektorjev oziroma na pogoju pravokotnosti dveh vektorjev. To je, če sta a → = (a x , a y) in b → = (b x , b y) smerna vektorja premic a in b ;

in n b → = (n b x , n b y) sta normalna vektorja premic a in b, potem zgornji nujni in zadostni pogoj zapišemo takole: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y ali n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y ali a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , kjer je t neko realno število. Koordinate vodil ali ravnih vektorjev so določene z danimi enačbami ravnih črt. Oglejmo si glavne primere.

1. Premica a v pravokotnem koordinatnem sistemu je določena s splošno enačbo premice: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; premica b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Potem bodo normalni vektorji danih premic imeli koordinate (A 1, B 1) oziroma (A 2, B 2). Pogoj vzporednosti zapišemo takole:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Premica a je opisana z enačbo premice z naklonom oblike y = k 1 x + b 1 . Premica b - y = k 2 x + b 2. Takrat bodo normalni vektorji danih premic imeli koordinate (k 1, - 1) oziroma (k 2, - 1), pogoj vzporednosti pa bomo zapisali takole:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Torej, če so vzporedne premice na ravnini v pravokotnem koordinatnem sistemu podane z enačbami s kotnimi koeficienti, bodo kotni koeficienti danih premic enaki. In nasprotna trditev velja: če so nesovpadajoče premice na ravnini v pravokotnem koordinatnem sistemu določene z enačbami premice z enakimi kotnimi koeficienti, potem so te dane premice vzporedne.

1. Premici a in b v pravokotnem koordinatnem sistemu sta podani s kanoničnimi enačbami premice na ravnini: x - x 1 a x = y - y 1 a y in x - x 2 b x = y - y 2 b y ali s parametričnimi enačbami premica na ravnini: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y in x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Potem bodo smerni vektorji danih premic: a x, a y oziroma b x, b y, pogoj vzporednosti pa bomo zapisali takole:

a x = t b x a y = t b y

Poglejmo si primere.

Primer 1

Podani sta dve premici: 2 x - 3 y + 1 = 0 in x 1 2 + y 5 = 1. Ugotoviti je treba, ali sta vzporedni.

rešitev

Zapišimo enačbo ravne črte v segmentih v obliki splošne enačbe:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vidimo, da je n a → = (2, - 3) normalni vektor premice 2 x - 3 y + 1 = 0 in n b → = 2, 1 5 normalni vektor premice x 1 2 + y 5 = 1.

Nastali vektorji niso kolinearni, ker ni take vrednosti tat, da bi bila enakost resnična:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Tako nujni in zadostni pogoj za vzporednost premic na ravnini ni izpolnjen, kar pomeni, da dani premici nista vzporedni.

odgovor: dani premici nista vzporedni.

Primer 2

Podani sta premici y = 2 x + 1 in x 1 = y - 4 2. Ali sta vzporedna?

rešitev

Pretvorimo kanonično enačbo premice x 1 = y - 4 2 v enačbo premice z naklonom:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vidimo, da enačbi premic y = 2 x + 1 in y = 2 x + 4 nista enaki (če bi bilo drugače, bi premice sovpadale) in da sta kotna koeficienta premic enaka, kar pomeni, da dane premice so vzporedne.

Poskusimo problem rešiti drugače. Najprej preverimo, ali dani premici sovpadata. Uporabimo katero koli točko na premici y = 2 x + 1, na primer (0, 1), koordinate te točke ne ustrezajo enačbi premice x 1 = y - 4 2, kar pomeni, da premice ne sovpadajo.

Naslednji korak je ugotoviti, ali je pogoj vzporednosti danih premic izpolnjen.

Normalni vektor premice y = 2 x + 1 je vektor n a → = (2 , - 1) , smerni vektor druge dane premice pa je b → = (1 , 2) . Skalarni produkt teh vektorjev je enak nič:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Vektorja sta torej pravokotna: to nam dokazuje izpolnjevanje nujnega in zadostnega pogoja za vzporednost prvotnih premic. Tisti. dani premici sta vzporedni.

odgovor: te črte so vzporedne.

Za dokaz vzporednosti premic v pravokotnem koordinatnem sistemu tridimenzionalnega prostora uporabimo naslednji nujni in zadostni pogoj.

Izrek 8

Da sta dve neskladni premici v tridimenzionalnem prostoru vzporedni, je nujno in zadostno, da sta smerna vektorja teh premic kolinearna.

Tisti. glede na enačbe premic v tridimenzionalnem prostoru odgovor na vprašanje, ali so vzporedne ali ne, najdemo z določitvijo koordinat smernih vektorjev danih premic ter preverjanjem pogoja njihove kolinearnosti. Z drugimi besedami, če sta a → = (a x, a y, a z) in b → = (b x, b y, b z) smerni vektorji premic a oziroma b, potem, da bi bili vzporedni, obstoj takega realnega števila t je potrebno, tako da velja enakost:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Primer 3

Podani sta premici x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 in x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Treba je dokazati vzporednost teh premic.

rešitev

Pogoji problema so podani s kanoničnimi enačbami ene premice v prostoru in parametričnimi enačbami druge premice v prostoru. Vodilni vektorji a → in b → dani premici imata koordinate: (1, 0, - 3) in (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , potem je a → = 1 2 · b → .

Posledično je izpolnjen nujen in zadosten pogoj za vzporednost premic v prostoru.

odgovor: vzporednost danih premic je dokazana.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

ustreznih kotov: 1 in 5, 4 in 8, 2 in 6, 3 in 7;

notranji navzkrižni koti: 3 in 5, 4 in 6;

zunanji navzkrižni koti: 1 in 7, 2 in 8;

notranji enostranski koti: 3 in 6, 4 in 5;

zunanji enostranski vogali: 1 in 8, 2 in 7.

Torej, ∠ 2 = ∠ 4 in ∠ 8 = ∠ 6, vendar glede na to, kar je bilo dokazano, ∠ 4 = ∠ 6.

Zato je ∠ 2 = ∠ 8.

3. Ustrezni koti 2 in 6 sta enaka, saj je ∠ 2 = ∠ 4 in ∠ 4 = ∠ 6. Prepričajmo se tudi, da so ostali ustrezni koti enaki.

4. vsota notranji enostranski koti 3 in 6 bosta 2d, ker je vsota sosednji vogali 3 in 4 je enako 2d = 180 0, ∠ 4 pa lahko nadomestimo z enakim ∠ 6. Prepričamo se tudi, da vsota kotov 4 in 5 je enako 2d.

5. vsota zunanji enostranski vogali bo 2d, ker sta ta kota enaka notranji enostranski koti kot vogali navpično.

Iz zgornje dokazane utemeljitve dobimo nasprotni izreki.

Ko na presečišču dveh premic s poljubno tretjo premico dobimo, da:

1. Notranji navzkrižni koti so enaki;

ali 2. Zunanji navzkrižni koti so enaki;

ali 3. Ustrezna kota sta enaka;

ali 4. Vsota notranjih enostranskih kotov je 2d = 180 0;

ali 5. Vsota zunanjih enostranskih je 2d = 180 0 ,

potem sta prvi dve črti vzporedni.