Glede na porazdelitev diskretne naključne spremenljivke poiščite. Zakon porazdelitve naključnih spremenljivk

X; pomen F(5); verjetnost, da naključna spremenljivka X bo vzel vrednosti iz segmenta. Konstruirajte porazdelitveni poligon.

1. Porazdelitvena funkcija F(x) diskretne naključne spremenljivke je znana X:

Postavite zakon porazdelitve naključne spremenljivke X v obliki tabele.

1. Podan je zakon porazdelitve naključne spremenljivke X:

1. Verjetnost, da ima trgovina certifikate kakovosti za celotno ponudbo izdelkov, je 0,7. Komisija je preverila razpoložljivost certifikatov v štirih trgovinah na tem območju. Pripravite razdelitveni zakon, izračunajte matematično pričakovanje in disperzijo števila trgovin, v katerih pri inšpekcijskem nadzoru niso bili najdeni certifikati kakovosti.

1. Za določitev povprečnega časa gorenja električnih sijalk v seriji 350 enakih škatel je bila za testiranje vzeta ena električna luč iz vsake škatle. Spodaj ocenite verjetnost, da se povprečni čas gorenja izbranih električnih sijalk razlikuje od povprečnega časa gorenja celotne serije v absolutni vrednosti za manj kot 7 ur, če je znano, da je standardna deviacija časa gorenja električnih sijalk v vsaka škatla je manj kot 9 ur.

1. Na telefonski centrali pride do nepravilne povezave z verjetnostjo 0,002. Poiščite verjetnost, da bo med 500 povezavami prišlo do naslednjega:

Poiščite porazdelitveno funkcijo naključne spremenljivke X. Zgradite grafe funkcij in . Izračunajte matematično pričakovanje, varianco, način in mediano naključne spremenljivke X.

1. Avtomatski stroj izdeluje valje. Menijo, da je njihov premer normalno porazdeljena naključna spremenljivka s srednjo vrednostjo 10 mm. Kolikšen je standardni odklon, če je z verjetnostjo 0,99 premer v območju od 9,7 mm do 10,3 mm.

Vzorec A: 6 9 7 6 4 4

Vzorec B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Možnost 17.

1. Med 35 deli je 7 nestandardnih. Poiščite verjetnost, da se bosta dva naključno vzeta dela izkazala za standardna.

1. Vržene so tri kocke. Poiščite verjetnost, da je vsota točk na izpuščenih straneh večkratnik 9.

1. Beseda "AVANTURA" je sestavljena iz kartic, na vsaki je napisana ena črka. Karte se premešajo in jemljejo eno za drugo brez vrnitve. Poiščite verjetnost, da črke, odvzete po vrstnem redu, tvorijo besedo: a) AVANTURA; b) UJETNIK.

1. Žara vsebuje 6 črnih in 5 belih kroglic. Naključno je izžrebanih 5 kroglic. Poiščite verjetnost, da so med njimi:
1. 2 beli kroglici;
2. manj kot 2 beli žogi;
3. vsaj eno črno kroglo.

1. A v enem testu je enaka 0,4. Poiščite verjetnosti naslednjih dogodkov:
1. dogodek A pojavi se 3-krat v nizu 7 neodvisnih poskusov;
2. dogodek A se bo pojavilo najmanj 220 in največ 235-krat v nizu 400 poskusov.

1. Tovarna je v bazo poslala 5000 kakovostnih izdelkov. Verjetnost poškodbe posameznega izdelka med prevozom je 0,002. Poiščite verjetnost, da se med potovanjem ne poškodujejo več kot 3 izdelki.

1. V prvi žari so 4 bele in 9 črnih kroglic, v drugi žari pa 7 belih in 3 črne kroglice. Iz prve žare so naključno izžrebane 3 kroglice, iz druge žare pa 4. Poiščite verjetnost, da so vse izžrebane kroglice enake barve.

1. Podan je zakon porazdelitve naključne spremenljivke X:

Izračunajte njegovo matematično pričakovanje in varianco.

1. V škatli je 10 svinčnikov. Naključno izžrebani 4 svinčniki. Naključna vrednost X– število modrih svinčnikov med izbranimi. Poiščite zakon njegove porazdelitve, začetni in osrednji trenutek 2. in 3. reda.

1. Služba tehničnega nadzora pregleda 475 izdelkov za napake. Verjetnost, da je izdelek pokvarjen, je 0,05. Z verjetnostjo 0,95 poiščite meje, znotraj katerih bo vsebovano število izdelkov z napako med testiranimi.

1. Na telefonski centrali pride do nepravilne povezave z verjetnostjo 0,003. Poiščite verjetnost, da se bo med 1000 povezavami zgodilo naslednje:
1. vsaj 4 nepravilne povezave;
2. več kot dve nepravilni povezavi.

1. Slučajna spremenljivka je podana s funkcijo gostote porazdelitve:

Poiščite porazdelitveno funkcijo naključne spremenljivke X. Zgradite grafe funkcij in . Izračunajte matematično pričakovanje, varianco, način in mediano naključne spremenljivke X.

1. Naključno spremenljivko podaja porazdelitvena funkcija:

1. Po vzorcu A reši naslednje težave:
1. ustvarite variacijsko serijo;

· povprečje vzorca;

· varianca vzorca;

Način in mediana;

Vzorec A: 0 0 2 2 1 4

1. izračunajte numerične značilnosti variacijske serije:

· povprečje vzorca;

· varianca vzorca;

standardni odklon vzorca;

· način in mediana;

Vzorec B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Možnost 18.

1. Med 10 srečkami sta 2 dobitni. Poiščite verjetnost, da bo od petih naključno izbranih srečk ena dobitna.

1. Vržene so tri kocke. Poiščite verjetnost, da je vsota vrženih točk večja od 15.

1. Beseda »PERIMETER« je sestavljena iz kartic, na vsaki je napisana ena črka. Karte se premešajo in jemljejo eno za drugo, ne da bi se vrnile. Ugotovite verjetnost, da iz izločenih črk sestoji beseda: a) OBOD; b) METER.

1. Žara vsebuje 5 črnih in 7 belih kroglic. Naključno je izžrebanih 5 kroglic. Poiščite verjetnost, da so med njimi:
1. 4 bele kroglice;
2. manj kot 2 beli žogi;
3. vsaj eno črno kroglo.

1. Verjetnost, da se zgodi dogodek A v enem poskusu je enako 0,55. Poiščite verjetnosti naslednjih dogodkov:
1. dogodek A se bo pojavil 3-krat v seriji 5 izzivov;
2. dogodek A se bo pojavil najmanj 130 in največ 200-krat v nizu 300 poskusov.

1. Verjetnost, da se pločevinka konzerve razbije, je 0,0005. Poiščite verjetnost, da bo med 2000 pločevinkami dve puščalo.

1. V prvi žari so 4 bele in 8 črnih kroglic, v drugi žari pa 7 belih in 4 črne kroglice. Dve žogi sta naključno izžrebani iz prve žare in tri krogle so naključno izžrebane iz druge žare. Poiščite verjetnost, da so vse izvlečene kroglice enake barve.

1. Med deli, ki prispejo v montažo, je 0,1 % okvarjenih s prvega stroja, 0,2 % z drugega, 0,25 % s tretjega in 0,5 % s četrtega. Razmerja produktivnosti stroja so 4:3:2:1. Naključno vzeti del se je izkazal za standardnega. Poiščite verjetnost, da je bil del narejen na prvem stroju.

1. Podan je zakon porazdelitve naključne spremenljivke X:

Izračunajte njegovo matematično pričakovanje in varianco.

1. Električar ima tri žarnice, od katerih ima vsaka napako z verjetnostjo 0,1.Žarnice privijemo v grlo in prižgemo tok. Ko je tok vklopljen, okvarjena žarnica takoj pregori in jo nadomesti druga. Poiščite zakon porazdelitve, matematično pričakovanje in disperzijo števila preizkušenih žarnic.

1. Verjetnost zadetka tarče je 0,3 za vsakega od 900 neodvisnih strelov. S pomočjo Čebiševljeve neenakosti ocenite verjetnost, da bo tarča zadeta vsaj 240-krat in največ 300-krat.

1. Na telefonski centrali pride do nepravilne povezave z verjetnostjo 0,002. Poiščite verjetnost, da bo med 800 povezavami prišlo do naslednjega:
1. vsaj tri nepravilne povezave;
2. več kot štiri nepravilne povezave.

1. Slučajna spremenljivka je podana s funkcijo gostote porazdelitve:

Poišči porazdelitveno funkcijo naključne spremenljivke X. Nariši grafe funkcij in . Izračunajte matematično pričakovanje, varianco, način in mediano naključne spremenljivke X.

1. Naključno spremenljivko podaja porazdelitvena funkcija:

1. Po vzorcu A reši naslednje težave:
1. ustvarite variacijsko serijo;
2. izračunati relativne in akumulirane frekvence;
3. sestaviti empirično porazdelitveno funkcijo in jo narisati;
4. izračunajte numerične značilnosti variacijske serije:

· povprečje vzorca;

· varianca vzorca;

standardni odklon vzorca;

· način in mediana;

Vzorec A: 4 7 6 3 3 4

1. Z vzorcem B rešite naslednje naloge:
1. ustvarite združeno variacijsko serijo;
2. zgraditi histogram in frekvenčni poligon;
3. izračunajte numerične značilnosti variacijske serije:

· povprečje vzorca;

· varianca vzorca;

standardni odklon vzorca;

· način in mediana;

Vzorec B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Možnost 19.

1. Na delovišču dela 16 žensk in 5 moških. 3 osebe so bile naključno izbrane z njihovimi osebnimi številkami. Poiščite verjetnost, da bodo vsi izbrani moški.

2. Vrženi so štirje kovanci. Poiščite verjetnost, da bosta samo dva kovanca imela »grb«.

3. Beseda PSIHOLOGIJA je sestavljena iz kartic, na vsaki je napisana ena črka. Karte se premešajo in jemljejo eno za drugo brez vrnitve. Ugotovite verjetnost, da izločene črke tvorijo besedo: a) PSIHOLOGIJA; b) OSEBJE.

4. Žara vsebuje 6 črnih in 7 belih kroglic. Naključno je izžrebanih 5 kroglic. Poiščite verjetnost, da so med njimi:

a. 3 bele kroglice;

b. manj kot 3 bele kroglice;

c. vsaj eno belo kroglo.

5. Verjetnost, da se zgodi dogodek A v enem poskusu je enako 0,5. Poiščite verjetnosti naslednjih dogodkov:

a. dogodek A pojavi se 3-krat v nizu 5 neodvisnih poskusov;

b. dogodek A se bo pojavil vsaj 30 in ne več kot 40-krat v nizu 50 poskusov.

6. Obstaja 100 strojev enake moči, ki delujejo neodvisno drug od drugega v enakem načinu, pri katerem je njihov pogon vklopljen 0,8 delovne ure. Kakšna je verjetnost, da bo v danem trenutku vklopljenih od 70 do 86 strojev?

7. V prvi žari so 4 bele in 7 črnih kroglic, v drugi žari pa 8 belih in 3 črne kroglice. Iz prve žare so naključno izžrebane 4 kroglice, iz druge pa 1 žoga. Poiščite verjetnost, da so med izvlečenimi kroglicami samo 4 črne kroglice.

8. Avtosalon dnevno sprejema avtomobile treh znamk v količinah: "Moskvich" - 40%; "Oka" - 20%; "Volga" - 40% vseh uvoženih avtomobilov. Med avtomobili Moskvich jih ima 0,5 % protivlomno napravo, Oka – 0,01 %, Volga – 0,1 %. Poiščite verjetnost, da ima avto, odpeljan na pregled, protivlomno napravo.

9. Številke in so izbrane naključno na segmentu. Poiščite verjetnost, da ta števila izpolnjujejo neenakosti.

10. Podan je zakon porazdelitve naključne spremenljivke X:

Poiščite porazdelitveno funkcijo naključne spremenljivke X; pomen F(2); verjetnost, da naključna spremenljivka X bo vzel vrednosti iz intervala. Konstruirajte porazdelitveni poligon.

Kot je znano, naključna spremenljivka se imenuje spremenljiva količina, ki lahko zavzame določene vrednosti, odvisno od primera. Naključne spremenljivke so označene z velikimi črkami latinice (X, Y, Z), njihove vrednosti pa z ustreznimi malimi črkami (x, y, z). Naključne spremenljivke delimo na diskontinuirane (diskretne) in zvezne.

Diskretna naključna spremenljivka je naključna spremenljivka, ki sprejme le končen ali neskončen (štet) niz vrednosti z določenimi verjetnostmi, ki niso nič.

Porazdelitveni zakon diskretne naključne spremenljivke je funkcija, ki povezuje vrednosti naključne spremenljivke z njihovimi ustreznimi verjetnostmi. Distribucijski zakon je mogoče določiti na enega od naslednjih načinov.

1 . Zakon porazdelitve lahko podamo s tabelo:

kjer je λ>0, k = 0, 1, 2, ….

V) z uporabo porazdelitvene funkcije F(x) , ki za vsako vrednost x določa verjetnost, da bo naključna spremenljivka X zavzela vrednost, manjšo od x, tj. F(x) = P(X< x).

Lastnosti funkcije F(x)

3 . Porazdelitveni zakon lahko podamo grafično – porazdelitveni poligon (poligon) (glej problem 3).

Upoštevajte, da za rešitev nekaterih problemov ni potrebno poznati distribucijskega zakona. V nekaterih primerih je dovolj poznati eno ali več številk, ki odražajo najpomembnejše značilnosti distribucijskega zakona. To je lahko število, ki ima pomen »povprečne vrednosti« naključne spremenljivke, ali število, ki kaže povprečno velikost odstopanja naključne spremenljivke od njene srednje vrednosti. Števila te vrste imenujemo numerične značilnosti naključne spremenljivke.

Osnovne numerične značilnosti diskretne slučajne spremenljivke :

• Matematično pričakovanje (povprečna vrednost) diskretne naključne spremenljivke M(X)=Σ x i p i.
  Za binomsko porazdelitev M(X)=np, za Poissonovo porazdelitev M(X)=λ
• Razpršenost diskretna naključna spremenljivka D(X)=M2 oz D(X) = M(X 2)− 2. Razlika X–M(X) se imenuje odstopanje naključne spremenljivke od njenega matematičnega pričakovanja.
  Za binomsko porazdelitev D(X)=npq, za Poissonovo porazdelitev D(X)=λ
• Standardni odklon (standardni odklon) σ(X)=√D(X).

Primeri reševanja problemov na temo "Zakon porazdelitve diskretne naključne spremenljivke"

Naloga 1.

Izdanih je bilo 1000 loterijskih vstopnic: 5 od njih bo dobilo 500 rubljev, 10 bo dobilo 100 rubljev, 20 bo dobilo 50 rubljev, 50 bo dobilo 10 rubljev. Določite zakon porazdelitve verjetnosti naključne spremenljivke X – dobitek na listek.

rešitev. V skladu s pogoji problema so možne naslednje vrednosti naključne spremenljivke X: 0, 10, 50, 100 in 500.

Število vstopnic brez dobitka je 1000 – (5+10+20+50) = 915, potem je P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Podobno najdemo vse druge verjetnosti: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Naj nastali zakon predstavimo v obliki tabele:

Poiščimo matematično pričakovanje vrednosti X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Naloga 3.

Napravo sestavljajo trije neodvisno delujoči elementi. Verjetnost okvare vsakega elementa v enem poskusu je 0,1. Sestavite porazdelitveni zakon za število neuspelih elementov v enem poskusu, zgradite porazdelitveni poligon. Poiščite porazdelitveno funkcijo F(x) in jo narišite. Poiščite matematično pričakovanje, varianco in standardni odklon diskretne naključne spremenljivke.

rešitev. 1. Diskretna naključna spremenljivka X = (število neuspešnih elementov v enem poskusu) ima naslednje možne vrednosti: x 1 = 0 (noben od elementov naprave ni odpovedal), x 2 = 1 (en element je odpovedal), x 3 = 2 ( dva elementa sta odpovedala) in x 4 =3 (trije odpovedani elementi).

Odpovedi elementov so neodvisne druga od druge, verjetnosti odpovedi vsakega elementa so enake, zato je uporabna Bernoullijeva formula . Glede na to, da je glede na pogoj n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, določimo verjetnosti vrednosti:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Preverite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Tako ima želeni zakon binomske porazdelitve X obliko:

Možne vrednosti x i narišemo vzdolž abscisne osi, ustrezne verjetnosti p i pa vzdolž ordinatne osi. Izdelajmo točke M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). S povezovanjem teh točk z ravnimi črtami dobimo želeni razdelilni poligon.

3. Poiščemo porazdelitveno funkcijo F(x) = Р(Х

Graf funkcije F(x)

4. Za binomsko porazdelitev X:
- matematično pričakovanje M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varianca D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standardni odklon σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

ZAKON RAZDELITVE IN ZNAČILNOSTI

NAKLJUČNE SPREMENLJIVKE

Naključne spremenljivke, njihova klasifikacija in metode opisovanja.

Naključna količina je količina, ki lahko zaradi poskusa zavzame eno ali drugo vrednost, vendar ni vnaprej znano, katero. Za naključno spremenljivko lahko torej določite le vrednosti, od katerih bo eno zagotovo sprejelo kot rezultat eksperimenta. V nadaljevanju bomo te vrednosti imenovali možne vrednosti naključne spremenljivke. Ker naključna spremenljivka kvantitativno označuje naključni rezultat eksperimenta, jo lahko štejemo za kvantitativno značilnost naključnega dogodka.

Naključne spremenljivke so običajno označene z velikimi črkami latinice, na primer X..Y..Z, njihove možne vrednosti pa z ustreznimi malimi črkami.

Obstajajo tri vrste naključnih spremenljivk:

Diskreten; Neprekinjeno; Mešano.

Diskretno je naključna spremenljivka, katere število možnih vrednosti tvori štetno množico. Po drugi strani se množica, katere elemente je mogoče oštevilčiti, imenuje števna. Beseda "diskreten" izhaja iz latinske besede discretus, kar pomeni "diskontinuiran, sestavljen iz ločenih delov".

Primer 1. Diskretna naključna spremenljivka je število okvarjenih delov X v seriji n izdelkov. Dejansko so možne vrednosti te naključne spremenljivke niz celih števil od 0 do n.

Primer 2. Diskretna naključna spremenljivka je število strelov pred prvim zadetkom v tarčo. Tukaj, tako kot v primeru 1, lahko možne vrednosti oštevilčimo, čeprav je v omejevalnem primeru možna vrednost neskončno veliko število.

Neprekinjeno je naključna spremenljivka, katere možne vrednosti nenehno zapolnjujejo določen interval numerične osi, ki se včasih imenuje interval obstoja te naključne spremenljivke. Tako je na katerem koli končnem intervalu obstoja število možnih vrednosti zvezne naključne spremenljivke neskončno veliko.

Primer 3. Zvezna naključna spremenljivka je mesečna poraba električne energije podjetja.

Primer 4. Zvezna slučajna spremenljivka je napaka pri merjenju višine z višinomerom. Naj iz principa delovanja višinomera vemo, da je napaka v območju od 0 do 2 m, zato je interval obstoja te naključne spremenljivke interval od 0 do 2 m.

Zakon porazdelitve naključnih spremenljivk.

Naključna spremenljivka se šteje za popolnoma določeno, če so njene možne vrednosti navedene na numerični osi in je določen zakon porazdelitve.

Zakon porazdelitve naključne spremenljivke je relacija, ki vzpostavlja povezavo med možnimi vrednostmi naključne spremenljivke in pripadajočimi verjetnostmi.

Za naključno spremenljivko pravimo, da je porazdeljena po danem zakonu ali podvržena danemu distribucijskemu zakonu. Številne verjetnosti, porazdelitvena funkcija, gostota verjetnosti in značilna funkcija se uporabljajo kot zakoni porazdelitve.

Distribucijski zakon daje popoln verjeten opis naključne spremenljivke. Po distribucijskem zakonu lahko pred poskusom presodimo, katere možne vrednosti naključne spremenljivke se bodo pojavljale pogosteje in katere redkeje.

Za diskretno naključno spremenljivko lahko porazdelitveni zakon podamo v obliki tabele, analitično (v obliki formule) in grafično.

Najenostavnejša oblika določanja zakona porazdelitve diskretne naključne spremenljivke je tabela (matrika), ki v naraščajočem vrstnem redu navaja vse možne vrednosti naključne spremenljivke in njihove ustrezne verjetnosti, tj.

Takšna tabela se imenuje serija porazdelitve diskretne naključne spremenljivke. 1

Dogodki X 1, X 2,..., X n, ki sestojijo iz dejstva, da bo kot rezultat testa naključna spremenljivka X prevzela vrednosti x 1, x 2,... x n, so nedosledne in edine možne (saj so v tabeli navedene vse možne vrednosti naključne spremenljivke), tj. tvorijo popolno skupino. Zato je vsota njihovih verjetnosti enaka 1. Tako je za katero koli diskretno naključno spremenljivko

(Ta enota je nekako porazdeljena med vrednosti naključne spremenljivke, od tod izraz "distribucija").

Serijo porazdelitve je mogoče grafično prikazati, če so vrednosti naključne spremenljivke narisane vzdolž abscisne osi, njihove ustrezne verjetnosti pa na ordinatni osi. Povezava dobljenih točk tvori lomljeno črto, imenovano poligon ali poligon verjetnostne porazdelitve (slika 1).

Primer Loterija vključuje: avto v vrednosti 5.000 den. enot, 4 televizorji stanejo 250 den. enot, 5 videorekorderjev v vrednosti 200 den. enote Za 7 dni se proda skupno 1000 vstopnic. enote Sestavite razdelitveni zakon za čiste dobitke, ki jih prejme udeleženec loterije, ki je kupil eno srečko.

rešitev. Možne vrednosti naključne spremenljivke X - neto dobitek na listek - so enake 0-7 = -7 denarja. enote (če listek ni zmagal), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. enote (če je na listku dobitek videorekorderja, televizorja ali avtomobila). Če upoštevamo, da je od 1000 srečk število nedobitnih 990, prikazani dobitki pa 5, 4 oziroma 1 in s klasično definicijo verjetnosti dobimo.

Podana je vrsta porazdelitve diskretne naključne spremenljivke. Poiščite manjkajočo verjetnost in narišite porazdelitveno funkcijo. Izračunajte matematično pričakovanje in varianco te količine.

Naključna spremenljivka X ima samo štiri vrednosti: -4, -3, 1 in 2. Vsako od teh vrednosti zavzame z določeno verjetnostjo. Ker mora biti vsota vseh verjetnosti enaka 1, je manjkajoča verjetnost enaka:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Sestavimo porazdelitveno funkcijo naključne spremenljivke X. Znano je, da porazdelitvena funkcija , potem:

torej

Narišimo funkcijo F(x) .

Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke je enako vsoti produktov vrednosti naključne spremenljivke in ustrezne verjetnosti, tj.

Varianco diskretne naključne spremenljivke najdemo po formuli:

UPORABA

Elementi kombinatorike Tukaj: - faktoriel števila

Ukrepi na dogodkih Dogodek je vsako dejstvo, ki se lahko zgodi ali ne zgodi kot posledica izkušnje. Združevanje dogodkov A in IN- ta dogodek Z ki je sestavljen iz pojava ali dogodka A, ali dogodki IN, ali oba dogodka hkrati. Oznaka: ; Crossing Dogodki A in IN- ta dogodek Z, ki je sestavljen iz hkratnega pojava obeh dogodkov. Oznaka: ;

Klasična definicija verjetnosti Verjetnost dogodka A je razmerje med številom poskusov , ugodno za nastanek dogodka A, na skupno število poskusov :

Formula za množenje verjetnosti Verjetnost dogodka lahko najdete s formulo: - verjetnost dogodka A, - verjetnost dogodka IN, - verjetnost dogodka IN pod pogojem, da dogodek A se je že zgodilo. Če sta dogodka A in B neodvisna (pojav enega ne vpliva na nastop drugega), je verjetnost dogodka enaka:

Formula za seštevanje verjetnosti Verjetnost dogodka je mogoče najti s formulo: Verjetnost dogodka A, Verjetnost dogodka IN, - verjetnost sočasnega pojavljanja dogodkov A in IN. Če sta dogodka A in B nekompatibilna (se ne moreta zgoditi hkrati), je verjetnost dogodka enaka:

Formula skupne verjetnosti Naj dogodek A se lahko zgodi hkrati z enim od dogodkov , , …, - recimo jim hipoteze. Znano tudi - verjetnost izvedbe jaz-ta hipoteza in - verjetnost pojava dogodka A pri izvedbi jaz-ta hipoteza. Nato verjetnost dogodka A lahko najdete po formuli:

Bernoullijeva shema Naj bo n neodvisnih testov. Verjetnost pojava (uspeha) dogodka A v vsakem od njih stalna in enaka str, verjetnost okvare (tj. dogodka, ki se ne zgodi A) q = 1 - str. Nato verjetnost pojava k uspeh v n teste je mogoče najti z uporabo Bernoullijeve formule: Najverjetneje število uspehov v Bernoullijevi shemi je to število pojavov določenega dogodka, ki ima največjo verjetnost. Najdete ga lahko po formuli:

Naključne spremenljivke diskretno zvezno (na primer število deklet v družini s 5 otroki) (na primer čas, ko kotliček pravilno deluje) Numerične značilnosti diskretnih slučajnih spremenljivk Naj bo diskretna količina podana z nizom porazdelitve: X R , , …, - vrednosti naključne spremenljivke X; , , …, so ustrezne vrednosti verjetnosti. Distribucijska funkcija Porazdelitvena funkcija naključne spremenljivke X je funkcija, definirana na celotni številski premici in enaka verjetnosti, da X bo manj X:

Vprašanja za izpit

Dogodek. Operacije na naključnih dogodkih.

Koncept verjetnosti dogodka.

Pravila za seštevanje in množenje verjetnosti. Pogojne verjetnosti.

Formula skupne verjetnosti. Bayesova formula.

Bernoullijeva shema.

Naključna spremenljivka, njena porazdelitvena funkcija in porazdelitvena vrsta.

Osnovne lastnosti porazdelitvene funkcije.

Pričakovana vrednost. Lastnosti matematičnega pričakovanja.

Razpršenost. Lastnosti disperzije.

Gostota porazdelitve verjetnosti enodimenzionalne naključne spremenljivke.

Vrste porazdelitev: enakomerna, eksponentna, normalna, binomska in Poissonova porazdelitev.

Lokalni in integralni Moivre-Laplaceov izrek.

Zakon in porazdelitvena funkcija sistema dveh naključnih spremenljivk.

Gostota porazdelitve sistema dveh slučajnih spremenljivk.

Pogojni zakoni porazdelitve, pogojno matematično pričakovanje.

Odvisne in neodvisne naključne spremenljivke. Korelacijski koeficient.

Vzorec. Obdelava vzorcev. Poligon in frekvenčni histogram. Empirična porazdelitvena funkcija.

Koncept ocenjevanja porazdelitvenih parametrov. Zahteve za ocenjevanje. Interval zaupanja. Konstrukcija intervalov za ocenjevanje matematičnega pričakovanja in standardnega odklona.

Statistične hipoteze. Merila privolitve.

Pri uporabi teorije verjetnosti so kvantitativne značilnosti eksperimenta bistvenega pomena. Količina, ki jo je mogoče kvantitativno določiti in ki lahko kot rezultat poskusa zavzame različne vrednosti, odvisno od primera, se imenuje naključna spremenljivka.

Primeri naključnih spremenljivk:

1. Kolikokrat se pojavi sodo število točk v desetih metih kocke.

2. Število zadetkov v tarčo strelca, ki izstreli serijo strelov.

3. Število drobcev eksplozivne granate.

V vsakem od navedenih primerov lahko naključna spremenljivka prevzame le izolirane vrednosti, to je vrednosti, ki jih je mogoče oštevilčiti z uporabo naravnega niza števil.

Tako naključno spremenljivko, katere možne vrednosti so posamezna izolirana števila, ki jih ta spremenljivka zavzame z določenimi verjetnostmi, imenujemo diskretna.

Število možnih vrednosti diskretne naključne spremenljivke je lahko končno ali neskončno (šteto).

Zakon porazdelitve Diskretna naključna spremenljivka je seznam njenih možnih vrednosti in njihovih ustreznih verjetnosti. Porazdelitveni zakon diskretne naključne spremenljivke lahko podamo v obliki tabele (verjetnostni porazdelitveni niz), analitično in grafično (verjetnostni porazdelitveni poligon).

Pri izvajanju poskusa je potrebno oceniti preučevano vrednost "v povprečju". Vlogo povprečne vrednosti naključne spremenljivke igra numerična karakteristika, imenovana matematično pričakovanje, ki je določen s formulo

Kje x 1 , x 2 ,.. , x n– vrednosti naključnih spremenljivk X, A str 1 ,str 2 , ... , str n– verjetnosti teh vrednosti (upoštevajte, da str 1 + str 2 +…+ str n = 1).

Primer. Streljanje se izvaja na tarčo (slika 11).

Zadetek v I daje tri točke, v II – dve točki, v III – eno točko. Število točk, doseženih v enem strelu enega strelca, ima porazdelitveni zakon oblike

Za primerjavo spretnosti strelcev je dovolj, da primerjamo povprečne vrednosti doseženih točk, tj. matematična pričakovanja M(X) In M(Y):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Drugi strelec daje v povprečju nekoliko večje število točk, t.j. pri večkratnem sprožanju bo dal boljše rezultate.

Opozorimo na lastnosti matematičnega pričakovanja:

1. Matematično pričakovanje konstantne vrednosti je enako konstanti sami:

M(C) = C.

2. Matematično pričakovanje vsote naključnih spremenljivk je enako vsoti matematičnih pričakovanj izrazov:

M =(X 1 + X 2 +…+ X n)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X n).

3. Matematično pričakovanje produkta med seboj neodvisnih naključnih spremenljivk je enako produktu matematičnih pričakovanj faktorjev

M(X 1 X 2 … X n) = M(X 1)M(X 2)… M(X n).

4. Matematična negacija binomske porazdelitve je enaka produktu števila poskusov in verjetnosti dogodka v enem poskusu (naloga 4.6).

M(X) = pr.

Da bi ocenili, kako naključna spremenljivka "v povprečju" odstopa od svojega matematičnega pričakovanja, tj. Za karakterizacijo širjenja vrednosti naključne spremenljivke v teoriji verjetnosti se uporablja koncept disperzije.

Varianca naključna spremenljivka X se imenuje matematično pričakovanje kvadrata odstopanja:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

Disperzija je numerična značilnost disperzije naključne spremenljivke. Iz definicije je razvidno, da manjša kot je disperzija naključne spremenljivke, bolj so njene možne vrednosti locirane okoli matematičnega pričakovanja, to je, bolje so vrednosti naključne spremenljivke označene z njenim matematičnim pričakovanjem. .

Iz definicije sledi, da lahko varianco izračunamo s formulo

.

Primerno je izračunati varianco z drugo formulo:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

Disperzija ima naslednje lastnosti:

1. Varianca konstante je nič:

D(C) = 0.

2. Konstantni faktor lahko vzamemo iz disperzijskega predznaka tako, da ga kvadriramo:

D(CX) = C 2 D(X).

3. Varianca vsote neodvisnih naključnih spremenljivk je enaka vsoti variance členov:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X n)

4. Varianca binomske porazdelitve je enaka zmnožku števila poskusov in verjetnosti pojava in nepojavitve dogodka v enem poskusu:

D(X) = npq.

V teoriji verjetnosti se pogosto uporablja numerična karakteristika, ki je enaka kvadratnemu korenu variance naključne spremenljivke. Ta numerična značilnost se imenuje srednji kvadratni odklon in je označena s simbolom

.

Označuje približno velikost odstopanja naključne spremenljivke od njene povprečne vrednosti in ima enako dimenzijo kot naključna spremenljivka.

4.1. Strelec izstreli tri strele v tarčo. Verjetnost zadetka tarče z vsakim strelom je 0,3.

Izdelajte porazdelitveni niz za število zadetkov.

rešitev. Število zadetkov je diskretna naključna spremenljivka X. Vsaka vrednost x n naključna spremenljivka X ustreza določeni verjetnosti p n .

Porazdelitveni zakon diskretne naključne spremenljivke v tem primeru je mogoče določiti blizu distribucije.

V tej težavi X ima vrednosti 0, 1, 2, 3. Po Bernoullijevi formuli

,

Poiščimo verjetnosti možnih vrednosti naključne spremenljivke:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Z urejanjem vrednosti naključne spremenljivke X v naraščajočem vrstnem redu dobimo distribucijske serije:

Upoštevajte, da znesek

pomeni verjetnost, da naključna spremenljivka X bo imel vsaj eno vrednost izmed možnih, zato je ta dogodek zanesljiv

.

4.2 .V žari so štiri krogle s številkami od 1 do 4. Dve krogli se vzameta ven. Naključna vrednost X– vsota krogličnih števil. Konstruirajte porazdelitveni niz naključne spremenljivke X.

rešitev. Vrednosti naključnih spremenljivk X so 3, 4, 5, 6, 7. Poiščimo ustrezne verjetnosti. Vrednost naključne spremenljivke 3 X se lahko sprejme le v primeru, ko ima ena od izbranih žog številko 1, druga pa 2. Število možnih izidov testa je enako številu kombinacij štirih (številu možnih parov žog) dveh.

Z uporabo klasične verjetnostne formule dobimo

prav tako

R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.

Vsota 5 se lahko pojavi v dveh primerih: 1 + 4 in 2 + 3, torej

.

X ima obliko:

Poiščite distribucijsko funkcijo F(x) naključna spremenljivka X in ga začrtaj. Izračunajte za X njegovo matematično pričakovanje in varianco.

rešitev. Porazdelitveni zakon naključne spremenljivke je mogoče določiti s porazdelitveno funkcijo

F(x) =P(X x).

Distribucijska funkcija F(x) je nepadajoča, levo zvezna funkcija, definirana na celotni številski premici, medtem ko

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Za diskretno naključno spremenljivko je ta funkcija izražena s formulo

.

Zato v tem primeru

Graf porazdelitvene funkcije F(x) je stopničasta črta (slika 12)

Pričakovana vrednostM(X) je tehtano aritmetično povprečje vrednosti X 1 , X 2 ,……X n naključna spremenljivka X s tehtnicami ρ 1, ρ 2, …… , ρ n in se imenuje srednja vrednost naključne spremenljivke X. Po formuli

M(X)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x n ρ n

M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Razpršenost označuje stopnjo razpršitve vrednosti naključne spremenljivke od njene povprečne vrednosti in je označena D(X):

D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2) –[M(X)] 2 .

Za diskretno naključno spremenljivko ima varianca obliko

ali pa se lahko izračuna s formulo

Če nadomestimo numerične podatke problema v formulo, dobimo:

M(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Dve kocki se vržeta dvakrat hkrati. Zapišite binomski zakon porazdelitve diskretne naključne spremenljivke X- število pojavitev sodega skupnega števila točk na dveh kockah.

rešitev. Predstavimo naključni dogodek

A= (dve kocki z enim metom sta dali skupno sodo število točk).

Z uporabo klasične definicije verjetnosti najdemo

R(A)= ,

Kje n - število možnih izidov testa se ugotovi glede na pravilo

množenje:

n = 6∙6 =36,

m - število ljudi, ki so naklonjeni dogodku A rezultati - enaki

m= 3∙6=18.

Tako je verjetnost uspeha v enem poskusu

ρ = P(A)= 1/2.

Problem je rešen z Bernoullijevo testno shemo. Eden od izzivov tukaj bo metanje dveh kock. Število takih testov n = 2. Naključna spremenljivka X zavzame vrednosti 0, 1, 2 z verjetnostmi

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

Zahtevana binomska porazdelitev naključne spremenljivke X lahko predstavimo kot distribucijsko serijo:

4.5 . V paketu šestih delov so štirje standardni deli. Trije deli so bili izbrani naključno. Konstruirajte verjetnostno porazdelitev diskretne naključne spremenljivke X– število standardnih delov med izbranimi in poiščite njegovo matematično pričakovanje.

rešitev. Vrednosti naključnih spremenljivk X so števila 0,1,2,3. Jasno je, da R(X=0)=0, ker sta samo dva nestandardna dela.

R(X=1) =
=1/5,

R(X= 2) =
= 3/5,

R(X=3) =
= 1/5.

Porazdelitveni zakon naključne spremenljivke X Predstavimo ga v obliki distribucijske serije:

Pričakovana vrednost

M(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Dokažite, da je matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke X- število ponovitev dogodka A V n neodvisni poskusi, pri vsakem od katerih je verjetnost, da se zgodi dogodek, enaka ρ – enako zmnožku števila poskusov z verjetnostjo pojava dogodka v enem poskusu, to je dokazati, da je matematično pričakovanje binomske porazdelitve

M(X) =n . ρ ,

in disperzija

D(X) =n.p. .

rešitev. Naključna vrednost X lahko zavzame vrednosti 0, 1, 2..., n. Verjetnost R(X= k) se najde z uporabo Bernoullijeve formule:

R(X=k)= R n(k)= ρ Za (1-ρ ) n- Za

Porazdelitveni nizi naključne spremenljivke X ima obliko:

Kje q= 1- ρ .

Za matematično pričakovanje imamo izraz:

M(X)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

V primeru enega testa, to je z n= 1 za naključno spremenljivko X 1 – število ponovitev dogodka A- porazdelitvena serija ima obliko:

M(X 1)= 0∙q + 1 ∙ str = str

D(X 1) = str – str 2 = str(1- str) = pq.

če X k – število pojavitev dogodka A v katerem testu, torej R(X Za)= ρ in

X=X 1 +X 2 +….+X n .

Od tu naprej

M(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X n)= nρ,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X n)=npq.

4.7. Oddelek za nadzor kakovosti preverja standardnost izdelkov. Verjetnost, da je izdelek standarden, je 0,9. Vsaka serija vsebuje 5 izdelkov. Poiščite matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke X- število serij, od katerih bo vsaka vsebovala 4 standardne izdelke - če je predmet pregleda 50 serij.

rešitev. Verjetnost, da bodo v vsaki naključno izbrani seriji 4 standardni izdelki, je konstantna; označimo z ρ .Nato matematično pričakovanje naključne spremenljivke X enako M(X)= 50∙ρ.

Poiščimo verjetnost ρ po Bernoullijevi formuli:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Vržene so tri kocke. Poiščite matematično pričakovanje vsote izpadlih točk.

rešitev. Najdete lahko porazdelitev naključne spremenljivke X- vsota padlih točk in nato njeno matematično pričakovanje. Vendar je ta pot preveč okorna. Lažje je uporabiti drugo tehniko, ki predstavlja naključno spremenljivko X, katerega matematično pričakovanje je treba izračunati, v obliki vsote več enostavnejših naključnih spremenljivk, katerih matematično pričakovanje je lažje izračunati. Če je naključna spremenljivka X jaz je število osvojenih točk jaz– kosti ( jaz= 1, 2, 3), nato pa vsota točk X bo izraženo v obliki

X = X 1 + X 2 + X 3 .

Za izračun matematičnega pričakovanja prvotne naključne spremenljivke ostane le še uporaba lastnosti matematičnega pričakovanja

M(X 1 + X 2 + X 3 )= M(X 1 )+ M(X 2)+ M(X 3 ).

To je očitno

R(X jaz = K)= 1/6, TO= 1, 2, 3, 4, 5, 6, jaz= 1, 2, 3.

Zato je matematično pričakovanje naključne spremenljivke X jaz izgleda kot

M(X jaz) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Določite matematično pričakovanje števila naprav, ki med testiranjem niso uspele, če:

a) je verjetnost okvare za vse naprave enaka R, število testiranih naprav pa je enako n;

b) verjetnost neuspeha za jaz – naprave je enako str jaz , jaz= 1, 2, … , n.

rešitev. Naj naključna spremenljivka X je torej število okvarjenih naprav

X = X 1 + X 2 + … + X n ,

X jaz =

Jasno je, da

R(X jaz = 1)= R jaz , R(X jaz = 0)= 1– R jaz ,i= 1, 2, … ,n.

M(X jaz)= 1∙R jaz + 0∙(1-R jaz)=P jaz ,

M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … + M(X n)=P 1 +P 2 + … + P n .

V primeru "a" je verjetnost okvare naprave enaka, tj

R jaz =str,i= 1, 2, … ,n.

M(X)= n.p..

Ta odgovor bi lahko dobili takoj, če opazimo, da je naključna spremenljivka X ima binomsko porazdelitev s parametri ( n, str).

4.10. Dve kocki se vržeta hkrati dvakrat. Zapišite binomski zakon porazdelitve diskretne naključne spremenljivke X -število metov sodega števila točk na dveh kockah.

rešitev. Pustiti

A=(metanje sodega števila na prvi kocki),

B =(metanje sodega števila na drugi kocki).

Dobiti sodo število na obeh kockah v enem metu je izraženo z zmnožkom AB. Potem

R (AB) = R(A)∙R(IN) =
.

Rezultat drugega meta dveh kock ni odvisen od prvega, zato Bernoullijeva formula velja, ko

n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.

Naključna vrednost X lahko sprejme vrednosti 0, 1, 2 , katerih verjetnost je mogoče najti z uporabo Bernoullijeve formule:

R(X= 0)= P 2 (0) = q 2 = 9/16,

R(X= 1)= P 2 (1)= C ,R∙q = 6/16,

R(X= 2)= P 2 (2)= C , R 2 = 1/16.

Porazdelitveni nizi naključne spremenljivke X:

4.11. Naprava je sestavljena iz velikega števila neodvisno delujočih elementov z enako zelo majhno verjetnostjo okvare vsakega elementa skozi čas t. Poiščite povprečno število zavrnitev v določenem času t elementov, če je verjetnost, da v tem času odpove vsaj en element, 0,98.

rešitev. Število ljudi, ki so sčasoma zavrnili t elementi – naključna spremenljivka X, ki je porazdeljen po Poissonovem zakonu, saj je število elementov veliko, elementi delujejo neodvisno in je verjetnost odpovedi vsakega elementa majhna. Povprečno število ponovitev dogodka v n testi enaki

M(X) = n.p..

Ker je verjetnost neuspeha TO elementi iz n izraženo s formulo

R n (TO)
,

kjer  = n.p., potem verjetnost, da v tem času ne bo odpovedal niti en element t dobimo K = 0:

R n (0)= e -  .

Zato je verjetnost nasprotnega dogodka v času t vsaj en element ne uspe – enako 1 - e -  . Glede na pogoje problema je ta verjetnost 0,98. Iz enačbe

1 - e -  = 0,98,

e -  = 1 – 0,98 = 0,02,

od tukaj  = -ln 0,02  4.

Torej, pravočasno t delovanja naprave bodo v povprečju odpovedali 4 elementi.

4.12 . Kocke se mečejo, dokler se ne pojavi "dvojka". Poiščite povprečno število metov.

rešitev. Predstavimo naključno spremenljivko X– število testov, ki jih je treba izvesti, dokler se ne zgodi dogodek, ki nas zanima. Verjetnost, da X= 1 je enaka verjetnosti, da se pri enem metu kocke pojavi »dvojka«, tj.

R(X= 1) = 1/6.

Dogodek X= 2 pomeni, da se pri prvem preizkusu »dvojka« ni pojavila, pri drugem pa se je. Verjetnost dogodka X= 2 se najde po pravilu množenja verjetnosti neodvisnih dogodkov:

R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

prav tako

R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

itd. Dobimo vrsto verjetnostnih porazdelitev:

Povprečno število metov (poskusov) je matematično pričakovanje

M(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + TO (5/6) TO -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + TO (5/6) TO -1 + …)

Poiščimo vsoto serije:

TOg TO -1 = (g TO) g 
.

torej

M(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Tako morate narediti povprečno 6 metov kocke, dokler se ne pojavi "dvojka".

4.13. Neodvisni testi se izvajajo z enako verjetnostjo pojava dogodka A v vsakem testu. Poiščite verjetnost, da se dogodek zgodi A, če je varianca števila pojavov dogodka v treh neodvisnih poskusih 0,63 .

rešitev.Število pojavitev dogodka v treh poskusih je naključna spremenljivka X, porazdeljeno po binomskem zakonu. Varianca števila pojavitev dogodka v neodvisnih poskusih (z enako verjetnostjo pojava dogodka v vsakem poskusu) je enaka zmnožku števila poskusov z verjetnostmi pojava in nepojavitve dogodka (problem 4.6)

D(X) = npq.

Po stanju n = 3, D(X) = 0,63, torej lahko R poiščite iz enačbe

0,63 = 3∙R(1-R),

ki ima dve rešitvi R 1 = 0,7 in R 2 = 0,3.