Kar imenujemo aritmetična progresija. Kako najti aritmetično progresijo? Primeri aritmetične progresije z rešitvijo

Veliko ljudi je slišalo za aritmetično napredovanje, vendar vsi nimajo dobre predstave o tem, kaj je. V tem članku bomo podali ustrezno definicijo in razmislili tudi o tem, kako najti razliko aritmetičnega napredovanja, in navedli številne primere.

Matematična definicija

Torej, če govorimo o aritmetični ali algebrski progresiji (ti koncepti definirajo isto stvar), potem to pomeni, da obstaja določena številska serija, ki ustreza naslednjemu zakonu: vsaki dve sosednji števili v seriji se razlikujeta za isto vrednost. Matematično je to zapisano takole:

Pri tem n pomeni število elementa a n v zaporedju, število d pa je razlika progresije (njegovo ime izhaja iz predstavljene formule).

Kaj pomeni poznati razliko d? O tem, kako »daleč« so sosednje številke druga od druge. Je pa poznavanje d nujen, a ne zadosten pogoj za določitev (obnovo) celotnega napredovanja. Potrebno je poznati še eno številko, ki je lahko absolutno kateri koli element obravnavane serije, na primer 4, a10, vendar praviloma uporabljajo prvo številko, to je 1.

Formule za določanje elementov napredovanja

Na splošno so zgornje informacije že dovolj za prehod na reševanje določenih težav. Kljub temu, preden je podana aritmetična progresija in bo treba najti njeno razliko, bomo predstavili nekaj uporabnih formul, s čimer bomo olajšali kasnejši postopek reševanja problemov.

Preprosto je pokazati, da lahko vsak element zaporedja s številko n najdemo na naslednji način:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Dejansko lahko vsakdo preveri to formulo s preprostim iskanjem: če zamenjate n = 1, dobite prvi element, če nadomestite n = 2, potem izraz poda vsoto prvega števila in razlike itd.

Pogoji številnih nalog so sestavljeni tako, da je treba ob znanem paru števil, katerih števila so tudi podana v zaporedju, rekonstruirati celotno številsko vrsto (poiskati razliko in prvi element). Zdaj bomo to težavo rešili na splošno.

Naj sta torej podana dva elementa s številkama n in m. Z uporabo zgornje formule lahko ustvarite sistem dveh enačb:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Za iskanje neznanih količin bomo uporabili znano preprosto tehniko reševanja takega sistema: odštejemo levo in desno stran v paru, enakost bo ostala veljavna. Imamo:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Tako smo izločili eno neznanko (a 1). Zdaj lahko zapišemo končni izraz za določitev d:

d = (a n - a m) / (n - m), kjer je n > m

Prejeli smo zelo preprosto formulo: da bi izračunali razliko d v skladu s pogoji problema, je treba vzeti le razmerje med razlikami med samimi elementi in njihovimi serijskimi številkami. Pozornost je treba nameniti eni pomembni točki: razlike se upoštevajo med »starejšimi« in »mlajšimi« člani, to je n > m (»starejši« pomeni, da stoji dlje od začetka zaporedja, njegova absolutna vrednost je lahko bodisi večji ali manj bolj "junior" element).

Izraz za razliko d progresije je treba na začetku reševanja naloge nadomestiti v katero koli od enačb, da dobimo vrednost prvega člena.

V naši dobi razvoja računalniške tehnologije mnogi šolarji poskušajo najti rešitve za svoje naloge na internetu, zato se pogosto pojavljajo tovrstna vprašanja: poiščite razliko aritmetične progresije na spletu. Za takšno zahtevo bo iskalnik vrnil več spletnih strani, na katere boste morali vnesti podatke, ki so znani iz pogoja (to sta lahko dva člena progresije ali vsota določenega števila le-teh). ) in takoj prejmete odgovor. Vendar pa je ta pristop k reševanju problema neproduktiven v smislu razvoja študenta in razumevanja bistva naloge, ki mu je dodeljena.

Rešitev brez uporabe formul

Rešimo prvo nalogo brez uporabe katere od danih formul. Podani so elementi niza: a6 = 3, a9 = 18. Poiščite razliko aritmetične progresije.

Znani elementi stojijo blizu drug drugega v vrsti. Kolikokrat je treba razliko d prišteti najmanjši, da dobimo največjo? Trikrat (prvič, ko dodamo d, dobimo sedmi element, drugič - osmi, končno, tretjič - deveti). Katero število je treba trikrat prišteti k tri, da dobimo 18? To je številka pet. res:

Tako je neznana razlika d = 5.

Seveda bi se rešitev lahko izvedla z ustrezno formulo, vendar to ni bilo storjeno namerno. Podrobna razlaga rešitve problema bi morala postati jasen in jasen primer, kaj je aritmetična progresija.

Naloga, podobna prejšnji

Zdaj pa rešimo podoben problem, vendar spremenimo vhodne podatke. Torej bi morali ugotoviti, če je a3 = 2, a9 = 19.

Seveda se lahko spet zatečete k metodi reševanja »na glavo«. Ker pa so podani elementi serije, ki so relativno daleč drug od drugega, ta metoda ne bo povsem priročna. Toda uporaba dobljene formule nas bo hitro pripeljala do odgovora:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Tukaj smo zaokrožili končno številko. V kolikšni meri je to zaokroževanje povzročilo napako, lahko ocenite s preverjanjem rezultata:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Ta rezultat se le za 0,1 % razlikuje od vrednosti, navedene v pogoju. Zato se zaokroževanje na najbližje stotinke lahko šteje za uspešno izbiro.

Težave, ki vključujejo uporabo formule za izraz

Oglejmo si klasičen primer težave za določitev neznanke d: poiščite razliko aritmetične progresije, če je a1 = 12, a5 = 40.

Ko sta podani dve števili neznanega algebrskega zaporedja in je eno od njih element a 1, potem vam ni treba dolgo razmišljati, ampak morate takoj uporabiti formulo za člen a n. V tem primeru imamo:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Pri deljenju smo dobili točno število, zato nima smisla preverjati točnosti izračunanega rezultata, kot je bilo storjeno v prejšnjem odstavku.

Rešimo še en podoben problem: najti moramo razliko aritmetične progresije, če je a1 = 16, a8 = 37.

Uporabimo pristop, podoben prejšnjemu, in dobimo:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Kaj morate še vedeti o aritmetičnem napredovanju?

Poleg problemov iskanja neznane razlike ali posameznih elementov je pogosto treba reševati probleme vsote prvih členov zaporedja. Obravnava teh problemov je izven obsega članka, vendar za popolnost informacij predstavljamo splošno formulo za vsoto n števil v seriji:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Kaj je glavno bistvo formule?

Ta formula vam omogoča iskanje kaj PO NJEGOVI ŠTEVILKI" n" .

Seveda je treba poznati tudi prvi izraz a 1 in razlika v napredovanju d, no, brez teh parametrov ne morete zapisati določenega napredovanja.

Pomnjenje (ali pisanje) te formule ni dovolj. Razumeti morate njeno bistvo in formulo uporabiti pri različnih težavah. Pa tudi da ne pozabiš v pravem trenutku, ja...) Kako ne pozabi- Nevem. In tukaj kako se spomnitiČe bo treba, vam bom zagotovo svetoval. Za tiste, ki dokončajo lekcijo do konca.)

Torej, poglejmo formulo za n-ti člen aritmetičnega napredovanja.

Kaj sploh je formula? Mimogrede, poglejte, če niste prebrali. Tam je vse preprosto. Še vedno je treba ugotoviti, kaj je n-ti izraz.

Napredovanje na splošno lahko zapišemo kot niz števil:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- označuje prvi člen aritmetične progresije, a 3- tretji član, a 4- četrti in tako naprej. Če nas zanima peti mandat, recimo, da delamo s a 5, če sto dvajseti - s a 120.

Kako ga lahko na splošno opredelimo? kajčlen aritmetičnega napredovanja, s kajštevilka? Zelo preprosto! Všečkaj to:

a n

Tako je n-ti člen aritmetične progresije.Črka n skriva vse številke članov hkrati: 1, 2, 3, 4 itd.

In kaj nam tak zapis daje? Samo pomislite, namesto številke so zapisali črko ...

Ta zapis nam daje močno orodje za delo z aritmetično progresijo. Uporaba notacije a n, lahko hitro najdemo kajčlan kaj aritmetična progresija. In rešiti kup drugih težav pri napredovanju. Dalje se boste prepričali sami.

V formuli za n-ti člen aritmetične progresije:

a 1- prvi člen aritmetične progresije;

n- članska številka.

Formula povezuje ključne parametre katerega koli napredovanja: a n ; a 1; d in n. Vse težave pri napredovanju se vrtijo okoli teh parametrov.

Formulo n-tega člena lahko uporabite tudi za zapis določenega napredovanja. Težava lahko na primer pravi, da je napredovanje določeno s pogojem:

a n = 5 + (n-1) 2.

Takšna težava je lahko slepa ulica ... Ni niti niza niti razlike ... Toda če primerjamo stanje s formulo, je enostavno razumeti, da v tem napredovanju a 1 =5 in d=2.

In lahko je še slabše!) Če vzamemo enak pogoj: a n = 5 + (n-1) 2, Da, odpreti oklepaj in prinesti podobne? Dobimo novo formulo:

a n = 3 + 2n.

to Samo ne splošno, ampak za določen napredek. Tu se skriva past. Nekateri mislijo, da je prvi člen trojka. Čeprav je v resnici prvi člen pet ... Malo nižje bomo delali s tako spremenjeno formulo.

Pri težavah z napredovanjem obstaja še en zapis - a n+1. To je, kot ste uganili, "n plus prvi" člen napredovanja. Njegov pomen je preprost in neškodljiv.) To je člen napredovanja, katerega število je za ena večje od števila n. Na primer, če v neki težavi vzamemo a n peti mandat torej a n+1 bo šesti član. itd.

Najpogosteje oznaka a n+1 najdemo v ponavljajočih se formulah. Ne bojte se te strašne besede!) To je samo način izražanja člana aritmetičnega napredovanja skozi prejšnjega. Recimo, da imamo aritmetično progresijo v tej obliki z uporabo ponavljajoče se formule:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Četrti - skozi tretji, peti - skozi četrti in tako naprej. Kako lahko takoj štejemo recimo dvajseti mandat? a 20? Ampak ni možnosti!) Dokler ne ugotovimo 19. termina, ne moremo šteti 20. To je temeljna razlika med ponavljajočo se formulo in formulo n-tega člena. Ponavljajoče deluje samo skozi prejšnjičlen, formula n-tega člena pa je skozi prvi in dovoljuje takoj poiščite katerega koli člana po njegovi številki. Brez izračuna celotnega niza števil po vrstnem redu.

V aritmetični progresiji je ponavljajočo se formulo enostavno spremeniti v navadno. Preštejte par zaporednih členov, izračunajte razliko d, poiščite, če je treba, prvi izraz a 1, zapišite formulo v njeni običajni obliki in delajte z njo. Takšne naloge se pogosto srečujejo v Državni akademiji znanosti.

Uporaba formule za n-ti člen aritmetične progresije.

Najprej si poglejmo neposredno uporabo formule. Na koncu prejšnje lekcije je prišlo do težave:

Podana je aritmetična progresija (a n). Poiščite 121, če je a 1 =3 in d=1/6.

Ta problem je mogoče rešiti brez kakršnih koli formul, preprosto na podlagi pomena aritmetičnega napredovanja. Dodaj in dodajaj ... Uro ali dve.)

In po formuli bo rešitev trajala manj kot minuto. Lahko ga merite.) Odločimo se.

Pogoji zagotavljajo vse podatke za uporabo formule: a 1 =3, d=1/6.Še vedno je treba ugotoviti, kaj je enako n. Brez problema! Moramo najti a 121. Torej pišemo:

Prosim, bodite pozorni! Namesto indeksa n pojavilo se je točno določeno število: 121. Kar je povsem logično.) Zanima nas člen aritmetične progresije. številka sto enaindvajset. To bo naše n. To je pomen n= 121 bomo nadomestili naprej v formulo, v oklepajih. V formulo nadomestimo vse številke in izračunamo:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

To je vse. Prav tako hitro bi se našel petsto deseti člen, tisoč tretjina pa katerikoli. Namesto tega smo postavili nželeno številko v indeksu črke " a" in v oklepaju, in štejemo.

Naj vas spomnim na bistvo: ta formula vam omogoča, da najdete kajčlen aritmetične progresije PO NJEGOVI ŠTEVILKI" n" .

Rešimo problem na bolj zvit način. Naj naletimo na naslednjo težavo:

Poiščite prvi člen aritmetične progresije (a n), če je a 17 =-2; d=-0,5.

Če imate kakršne koli težave, vam povem prvi korak. Zapiši formulo za n-ti člen aritmetične progresije! Da Da. Zapišite z rokami, kar v svoj zvezek:

In zdaj, ko pogledamo črke formule, razumemo, katere podatke imamo in kaj manjka? Na voljo d=-0,5, tam je sedemnajsti član... Je to to? Če mislite, da je to to, potem ne boste rešili problema, ja ...

Še vedno imamo številko n! V stanju a 17 =-2 skrit dva parametra. To je hkrati vrednost sedemnajstega člena (-2) in njegovo število (17). Tisti. n=17. Ta »malenkost« pogosto zdrsne mimo glave in brez nje (brez »malenkosti«, ne glave!) problema ni mogoče rešiti. Čeprav ... in tudi brez glave.)

Zdaj lahko svoje podatke preprosto neumno nadomestimo s formulo:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

o ja, a 17 vemo, da je -2. V redu, zamenjajmo:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

To je v bistvu vse. Iz formule je treba izraziti prvi člen aritmetičnega napredovanja in ga izračunati. Odgovor bo: a 1 = 6.

Ta tehnika – zapis formule in preprosta zamenjava znanih podatkov – je odlična pomoč pri preprostih opravilih. No, seveda moraš znati spremenljivko izraziti iz formule, a kaj storiti!? Brez te veščine se matematike morda sploh ne bo dalo učiti ...

Še ena priljubljena uganka:

Poiščite razliko aritmetične progresije (a n), če je a 1 =2; a 15 =12.

Kaj počnemo? Presenečeni boste, pišemo formulo!)

Poglejmo, kaj vemo: a 1 =2; a 15 =12; in (še posebej bom poudaril!) n=15. To lahko nadomestite s formulo:

12=2 + (15-1)d

Delamo aritmetiko.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

To je pravilen odgovor.

Torej, naloge za a n, a 1 in d odločila. Vse, kar ostane, je naučiti se najti številko:

Število 99 je člen aritmetične progresije (a n), kjer je a 1 =12; d=3. Poiščite številko tega člana.

V formulo n-tega člena nadomestimo znane količine:

a n = 12 + (n-1) 3

Na prvi pogled sta tu dve neznani količini: a n in n. Ampak a n- to je neki člen progresije s številko n... In tega člana napredovanja poznamo! 99 je. Ne vemo njegove številke. n, To številko je torej tisto, kar morate najti. V formulo nadomestimo člen progresije 99:

99 = 12 + (n-1) 3

Izražamo iz formule n, mislimo. Dobimo odgovor: n=30.

In zdaj problem na isto temo, vendar bolj ustvarjalen):

Ugotovi, ali je število 117 člen aritmetične progresije (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Ponovno zapišimo formulo. Kaj, ni nobenih parametrov? Hm ... Zakaj so nam dane oči?) Ali vidimo prvi člen napredovanja? Vidimo. To je -3,6. Lahko mirno napišete: a 1 = -3,6. Razlika d Lahko poveš iz serije? Enostavno je, če veste, kakšna je razlika aritmetičnega napredovanja:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Torej, naredili smo najpreprostejšo stvar. Ostaja še ukvarjanje z neznano številko n in nerazumljivo število 117. Pri prejšnji nalogi je bilo vsaj znano, da je bil podan člen progresije. Tukaj pa sploh ne vemo ... Kaj storiti!? No, kako biti, kako biti ... Vklopite svoje ustvarjalne sposobnosti!)

mi domnevam da je 117 navsezadnje član našega napredovanja. Z neznano številko n. In, tako kot v prejšnjem problemu, poskusimo najti to številko. Tisti. napišemo formulo (da, da!)) in nadomestimo naše številke:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Spet izražamo iz formulen, preštejemo in dobimo:

Ups! Številka se je izkazala ulomek! Sto ena in pol. In ulomkov v progresijah ne more biti. Kakšen zaključek lahko naredimo? ja! Številka 117 ničlan našega napredovanja. Je nekje med sto prvim in sto drugim terminom. Če se je številka izkazala za naravno, tj. je pozitivno celo število, potem bi bilo število član progresije z najdenim številom. In v našem primeru bo odgovor na problem: št.

Naloga, ki temelji na resnični različici GIA:

Aritmetična progresija je podana s pogojem:

a n = -4 + 6,8n

Poiščite prvi in ​​deseti člen napredovanja.

Tu je napredovanje zastavljeno na nenavaden način. Nekakšna formula ... Se zgodi.) Vendar pa ta formula (kot sem napisal zgoraj) - tudi formula za n-ti člen aritmetične progresije! Ona tudi dovoljuje poiščite katerega koli člana napredovanja po njegovem številu.

Iščemo prvega člana. Tisti, ki misli. da je prvi člen minus štiri, je usodna napaka!) Ker je formula v nalogi spremenjena. Prvi člen aritmetičnega napredovanja v njem skrit. V redu je, zdaj ga bomo našli.)

Tako kot v prejšnjih težavah zamenjamo n=1 v to formulo:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Tukaj! Prvi člen je 2,8, ne -4!

Na enak način iščemo deseti člen:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

To je vse.

In zdaj, za tiste, ki so prebrali te vrstice, obljubljeni bonus.)

Recimo, da ste v težki bojni situaciji državnega izpita ali enotnega državnega izpita pozabili uporabno formulo za n-ti člen aritmetičnega napredovanja. Nečesa se spomnim, a nekako negotovo ... Oz n tja, oz n+1, oz n-1... Kako biti!?

umirjeno! To formulo je enostavno izpeljati. Ni zelo strogo, vendar je vsekakor dovolj za samozavest in pravilno odločitev!) Za zaključek je dovolj, da se spomnite osnovnega pomena aritmetičnega napredovanja in imate nekaj minut časa. Samo narisati morate sliko. Za jasnost.

Nariši številsko premico in na njej označi prvo. drugi, tretji itd. člani. In ugotavljamo razliko d med člani. Všečkaj to:

Pogledamo sliko in razmišljamo: čemu je enak drugi člen? drugič eno d:

a 2 =a 1 + 1 d

Kaj je tretji izraz? Tretjiččlen je enak prvemu členu plus dva d.

a 3 =a 1 + 2 d

Ali razumeš? Ni zaman, da nekatere besede poudarjam s krepkim tiskom. V redu, še en korak).

Kaj je četrti izraz? Četrtiččlen je enak prvemu členu plus tri d.

a 4 =a 1 + 3 d

Čas je, da spoznamo, da število vrzeli, tj. d, Nenehno eno manj od števila članov, ki jih iščete n. Se pravi na število n, število presledkov volja n-1. Zato bo formula (brez sprememb!):

Na splošno so vizualne slike zelo koristne pri reševanju številnih problemov v matematiki. Ne zanemarjajte slik. Če pa je težko narisati sliko, potem ... samo formula!) Poleg tega vam formula n-tega člena omogoča, da z rešitvijo povežete celoten močan arzenal matematike - enačbe, neenakosti, sisteme itd. V enačbo ne moreš vstaviti slike ...

Naloge za samostojno reševanje.

Za ogrevanje:

1. V aritmetični progresiji (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Poiščite 3.

Namig: po sliki je problem rešljiv v 20 sekundah... Po formuli izpade težje. Toda za obvladovanje formule je bolj uporabno.) V razdelku 555 je ta problem rešen z uporabo slike in formule. Občutite razliko!)

In to ni več ogrevanje.)

2. V aritmetični progresiji (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Poišči a 3 .

Kaj, ne želite risati slike?) Seveda! Bolje po formuli, ja...

3. Aritmetična progresija je podana s pogojem:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Poiščite sto petindvajseti člen tega napredovanja.

V tej nalogi je napredovanje določeno na ponavljajoč se način. Toda štetje do sto petindvajsetega člena ... Ni vsak sposoben takšnega podviga.) Toda formula n-tega člena je v moči vsakega!

4. Glede na aritmetično progresijo (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Poiščite število najmanjšega pozitivnega člena progresije.

5. Glede na pogoje naloge 4 poiščite vsoto najmanjšega pozitivnega in največjega negativnega člena progresije.

6. Zmnožek petega in dvanajstega člena naraščajoče aritmetične progresije je enak -2,5, vsota tretjega in enajstega člena pa je enaka nič. Poiščite 14.

Ni najlažja naloga, ja ...) Metoda "s prstom" tukaj ne bo delovala. Napisati boste morali formule in rešiti enačbe.

Odgovori (v neredu):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Se je zgodilo? Lepo je!)

Ne uspe vse? Se zgodi. Mimogrede, v zadnji nalogi je ena subtilna točka. Pri branju problema bo potrebna previdnost. In logika.

Rešitev vseh teh težav je podrobno obravnavana v razdelku 555. In element fantazije za četrto in subtilna točka za šesto ter splošni pristopi za reševanje kakršnih koli težav, ki vključujejo formulo n-tega člena - vse je opisano. Priporočam.

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Vsota aritmetične progresije.

Vsota aritmetične progresije je preprosta stvar. Tako po pomenu kot po formuli. Na to temo pa so najrazličnejše naloge. Od osnovnih do čisto solidnih.

Najprej razumejmo pomen in formulo zneska. In potem se bomo odločili. Za lastno veselje.) Pomen zneska je preprost kot mukanje. Če želite najti vsoto aritmetične progresije, morate samo skrbno sešteti vse njene člene. Če je teh izrazov malo, lahko dodate brez kakršnih koli formul. Če pa je veliko, ali veliko... dodajanje je moteče.) V tem primeru na pomoč priskoči formula.

Formula za znesek je preprosta:

Ugotovimo, kakšne črke so vključene v formulo. To bo marsikaj razjasnilo.

S n - vsota aritmetične progresije. Rezultat seštevanja vsičlani, z prvi Avtor: zadnji. Je pomembno. Natančno seštejejo Vsečlanov v vrsti, brez preskakovanja oz. In natančno, začenši od prvi. Pri težavah, kot je iskanje vsote tretjega in osmega člena ali vsote petega do dvajsetega člena, bo neposredna uporaba formule razočarala.)

a 1 - prvičlan napredovanja. Tukaj je vse jasno, preprosto prvištevilka vrstice.

a n- zadnjičlan napredovanja. Zadnja številka serije. Ni zelo znano ime, vendar je zelo primerno, če ga nanesemo na količino. Potem se boste prepričali sami.

n - številko zadnjega člana. Pomembno je razumeti, da je v formuli to število sovpada s številom dodanih izrazov.

Opredelimo pojem zadnjičlan a n. Kočljivo vprašanje: kateri član bo zadnjiče je dano neskončno aritmetična progresija?)

Za samozavesten odgovor morate razumeti osnovni pomen aritmetičnega napredovanja in ... natančno preberite nalogo!)

Pri nalogi iskanja vsote aritmetične progresije se vedno pojavi zadnji člen (posredno ali neposredno), ki jih je treba omejiti. Sicer pa končni, določen znesek preprosto ne obstaja. Za rešitev ni pomembno, ali je podana progresija: končna ali neskončna. Ni pomembno, kako je podano: niz števil ali formula za n-ti člen.

Najpomembneje je razumeti, da formula deluje od prvega člena napredovanja do člena s številko n. Pravzaprav je polno ime formule videti takole: vsota prvih n členov aritmetične progresije.Število teh čisto prvih članov, tj. n, določa izključno naloga. V nalogi so vse te dragocene informacije pogosto šifrirane, ja ... Ampak nič hudega, v spodnjih primerih razkrivamo te skrivnosti.)

Primeri nalog o vsoti aritmetične progresije.

Najprej koristne informacije:

Glavna težava pri nalogah, ki vključujejo vsoto aritmetičnega napredovanja, je pravilna določitev elementov formule.

Pisci nalog šifrirajo te elemente z brezmejno domišljijo.) Glavna stvar tukaj je, da se ne bojite. Če razumemo bistvo elementov, je dovolj, da jih preprosto dešifriramo. Oglejmo si nekaj primerov podrobno. Začnimo z nalogo, ki temelji na resničnem GIA.

1. Aritmetična progresija je podana s pogojem: a n = 2n-3,5. Poiščite vsoto njegovih prvih 10 členov.

Dobro opravljeno. Enostavno.) Kaj moramo vedeti za določitev količine s formulo? Prvi član a 1, zadnji rok a n, da številka zadnjega člana n.

Kje lahko dobim številko zadnjega člana? n? Da, tam, pod pogojem! Piše: poišči vsoto prvih 10 članov. No, s katero številko bo? zadnji, deseti član?) Ne boste verjeli, njegovo število je deseti!) Zato namesto a n V formulo bomo nadomestili a 10, in namesto tega n- deset. Ponavljam, število zadnjega člana sovpada s številom članov.

Ostaja še določiti a 1 in a 10. To je enostavno izračunati s formulo za n-ti člen, ki je podana v opisu problema. Ne veste, kako to narediti? Obiščite prejšnjo lekcijo, brez tega ne gre.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Ugotovili smo pomen vseh elementov formule za vsoto aritmetične progresije. Vse kar ostane je, da jih nadomestimo in preštejemo:

To je vse. Odgovor: 75.

Še ena naloga, ki temelji na GIA. Malo bolj zapleteno:

2. Podana je aritmetična progresija (a n), katere razlika je 3,7; a 1 =2,3. Poiščite vsoto njegovih prvih 15 členov.

Takoj zapišemo formulo vsote:

Ta formula nam omogoča, da poiščemo vrednost katerega koli izraza po njegovi številki. Iščemo preprosto zamenjavo:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Vse elemente je treba nadomestiti s formulo za vsoto aritmetičnega napredovanja in izračunati odgovor:

Odgovor: 423.

Mimogrede, če v formuli vsote namesto a n Enostavno zamenjamo formulo za n-ti člen in dobimo:

Predstavimo podobne in dobimo novo formulo za vsoto členov aritmetične progresije:

Kot lahko vidite, n-ti izraz tukaj ni potreben a n. Pri nekaterih težavah ta formula zelo pomaga, ja ... Lahko se spomnite te formule. Lahko pa ga preprosto prikažete ob pravem času, kot je tukaj. Navsezadnje si morate vedno zapomniti formulo za vsoto in formulo za n-ti člen.)

Zdaj naloga v obliki kratkega šifriranja):

3. Poišči vsoto vseh pozitivnih dvomestnih števil, ki so večkratniki tri.

Vau! Niti prvi član, niti zadnji, niti napredovanje sploh ... Kako živeti!?

Misliti bo treba s svojo glavo in iz pogoja potegniti vse elemente vsote aritmetične progresije. Vemo, kaj so dvomestna števila. Sestavljeni so iz dveh števil.) Kakšno bo dvomestno število prvi? 10, verjetno.) A zadnja stvar dvomestno število? 99, seveda! Trimestne mu bodo sledile ...

Večkratniki treh ... Hm ... To so števila, ki so deljiva s tri, tukaj! Deset ni deljivo s tri, 11 ni deljivo ... 12 ... je deljivo! Torej, nekaj se pojavlja. Že zdaj lahko zapišete niz glede na pogoje problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bo ta serija aritmetična progresija? Vsekakor! Vsak izraz se od prejšnjega razlikuje za strogo tri. Če izrazu dodate 2 ali 4, recimo rezultat, tj. novo število ni več deljivo s 3. Takoj lahko določite razliko aritmetične progresije: d = 3. Prišlo bo prav!)

Tako lahko varno zapišemo nekaj parametrov napredovanja:

Kakšna bo številka? n zadnji član? Kdor misli, da je 99, se usodno moti... Številke se vedno vrstijo, naši člani pa skačejo čez tri. Ne ujemajo se.

Tukaj sta dve rešitvi. En način je za super pridne. Lahko si zapišeš napredovanje, celotno vrsto števil in s prstom prešteješ število članov.) Drugi način je za premišljene. Zapomniti si morate formulo za n-ti člen. Če uporabimo formulo za naš problem, ugotovimo, da je 99 trideseti člen napredovanja. Tisti. n = 30.

Poglejmo si formulo za vsoto aritmetične progresije:

Gledamo in se veselimo.) Iz izjave o problemu smo izvlekli vse, kar je potrebno za izračun zneska:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Vse, kar ostane, je elementarna aritmetika. Številke nadomestimo v formulo in izračunamo:

Odgovor: 1665

Druga vrsta priljubljene uganke:

4. Glede na aritmetično progresijo:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Poiščite vsoto členov od dvajsetega do štiriintridesetega.

Pogledamo formulo za znesek in ... se razburimo.) Formula, naj vas spomnim, izračuna znesek od prvegačlan. In v nalogi morate izračunati vsoto od dvajsetega ... Formula ne bo delovala.

Seveda lahko celotno napredovanje napišete v seriji in dodate člene od 20 do 34. Ampak ... to je nekako neumno in traja dolgo, kajne?)

Obstaja bolj elegantna rešitev. Razdelimo našo serijo na dva dela. Prvi del bo od prvega mandata do devetnajstega. drugi del - od dvajsetega do štiriintridesetega. Jasno je, da če izračunamo vsoto členov prvega dela S 1-19, seštejmo z vsoto členov drugega dela S 20-34, dobimo vsoto napredovanja od prvega člena do štiriintridesetega S 1-34. Všečkaj to:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Iz tega lahko vidimo, da najdemo vsoto S 20-34 lahko naredite s preprostim odštevanjem

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Upoštevana sta oba zneska na desni strani od prvegačlan, tj. standardna formula za vsoto je povsem uporabna zanje. Začnimo?

Parametre napredovanja izvlečemo iz izjave problema:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Za izračun vsote prvih 19 in prvih 34 členov bomo potrebovali 19. in 34. člen. Izračunamo jih s formulo za n-ti člen, kot v 2. nalogi:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Nič ni ostalo. Od vsote 34 členov odštej vsoto 19 členov:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odgovor: 262,5

Ena pomembna opomba! Pri reševanju te težave obstaja zelo uporaben trik. Namesto neposrednega izračuna kar potrebuješ (S 20-34), smo šteli nekaj, kar se zdi nepotrebno - S 1-19. In potem so določili S 20-34, zavrženje nepotrebnega iz celotnega rezultata. Takšna "finta z ušesi" vas pogosto reši hudih težav.)

V tej lekciji smo si ogledali probleme, za katere je dovolj, da razumemo pomen vsote aritmetične progresije. No, poznati morate nekaj formul.)

Praktični nasvet:

Pri reševanju katerega koli problema, ki vključuje vsoto aritmetičnega napredovanja, priporočam, da takoj izpišete dve glavni formuli iz te teme.

Formula za n-ti člen:

Te formule vam bodo takoj povedale, kaj iskati in v katero smer razmišljati, da bi rešili problem. Pomaga.

In zdaj naloge za samostojno rešitev.

5. Poišči vsoto vseh dvomestnih števil, ki niso deljiva s tri.

Kul?) Namig je skrit v opombi k 4. problemu. No, 3. problem bo pomagal.

6. Aritmetična progresija je podana s pogojem: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Poiščite vsoto njegovih prvih 24 členov.

Nenavadno?) To je ponavljajoča se formula. O tem si lahko preberete v prejšnji lekciji. Ne prezrite povezave, takšne težave pogosto najdemo v Državni akademiji znanosti.

7. Vasya je prihranil denar za počitnice. Kar 4550 rubljev! In odločila sem se, da svoji najljubši osebi (sebi) podarim nekaj dni sreče). Živite lepo, ne da bi si karkoli odrekali. Prvi dan porabite 500 rubljev, vsak naslednji dan pa 50 rubljev več kot prejšnji! Dokler ne zmanjka denarja. Koliko dni sreče je imel Vasja?

Ali je težko?) V pomoč vam bo dodatna formula iz naloge 2.

Odgovori (v neredu): 7, 3240, 6.

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Če za vsako naravno število n ujemati z realnim številom a n , potem pravijo, da se da številčno zaporedje :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Torej je številsko zaporedje funkcija naravnega argumenta.

številka a 1 klical prvi člen zaporedja , številka a 2 — drugi člen zaporedja , številka a 3 — tretji in tako naprej. številka a n klical n-ti člen zaporedja , in naravno število n — njegova številka .

Iz dveh sosednjih členov a n in a n +1 člen zaporedja a n +1 klical naknadno (proti a n ), A a n — prejšnji (proti a n +1 ).

Če želite definirati zaporedje, morate podati metodo, ki omogoča iskanje člana zaporedja s poljubno številko.

Pogosto je zaporedje določeno z uporabo formule n-tega člena , to je formula, ki vam omogoča, da določite člana zaporedja po njegovi številki.

na primer

zaporedje pozitivnih lihih števil lahko podamo s formulo

a n= 2n- 1,

in zaporedje menjavanja 1 in -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Zaporedje je mogoče določiti ponavljajoča se formula, to je formula, ki izraža kateri koli člen zaporedja, začenši z nekaterimi, prek prejšnjih (enega ali več) členov.

na primer

če a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

če a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , potem je prvih sedem členov številskega zaporedja določenih na naslednji način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Zaporedja so lahko dokončno in neskončno .

Zaporedje se imenuje končni , če ima končno število članov. Zaporedje se imenuje neskončno , če ima neskončno veliko članov.

na primer

zaporedje dvomestnih naravnih števil:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

dokončno.

Zaporedje praštevil:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

neskončno. ◄

Zaporedje se imenuje povečevanje , če je vsak njen član, začenši z drugim, večji od prejšnjega.

Zaporedje se imenuje zmanjševanje , če je vsak njen član, začenši z drugim, manjši od prejšnjega.

na primer

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — naraščajoče zaporedje;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — padajoče zaporedje. ◄

Imenuje se zaporedje, katerega elementi se z naraščanjem števila ne zmanjšujejo ali, nasprotno, ne povečujejo monotono zaporedje .

Monotona zaporedja so zlasti naraščajoča zaporedja in padajoča zaporedja.

Aritmetična progresija

Aritmetična progresija je zaporedje, v katerem je vsak člen, začenši z drugim, enak prejšnjemu, ki mu je dodano enako število.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetična progresija, če je za katero koli naravno število n pogoj je izpolnjen:

a n +1 = a n + d,

Kje d - določeno število.

Tako je razlika med naslednjim in prejšnjim členom dane aritmetične progresije vedno konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

številka d klical razlika aritmetične progresije.

Za določitev aritmetične progresije je dovolj, da navedete njen prvi člen in razliko.

na primer

če a 1 = 3, d = 4 , potem najdemo prvih pet členov zaporedja, kot sledi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetično napredovanje s prvim členom a 1 in razlika d njo n

a n = a 1 + (n- 1)d.

na primer

poiščite trideseti člen aritmetične progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

potem očitno

Vsak člen aritmetične progresije, začenši od drugega, je enak aritmetični sredini predhodnega in naslednjih členov.

števila a, b in c so zaporedni členi neke aritmetične progresije, če in samo če je eden od njih enak aritmetični sredini drugih dveh.

na primer

a n = 2n- 7 , je aritmetična progresija.

Uporabimo zgornjo izjavo. Imamo:

a n = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

torej

◄

Upoštevajte to n Člen aritmetičnega napredovanja je mogoče najti ne samo skozi a 1 , temveč tudi vse prejšnje a k

a n = a k + (n- k)d.

na primer

Za a 5 se da zapisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

potem očitno

kateri koli člen aritmetičnega napredovanja, začenši od drugega, je enak polovici vsote enako razmaknjenih členov tega aritmetičnega napredovanja.

Poleg tega za vsako aritmetično progresijo velja naslednja enakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

na primer

v aritmetični progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, Ker

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

prvi n členov aritmetične progresije je enako zmnožku polovice vsote skrajnih členov in števila členov:

Od tod zlasti sledi, da če morate sešteti izraze

a k, a k +1 , . . . , a n,

potem prejšnja formula ohrani svojo strukturo:

na primer

v aritmetični progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Če je podana aritmetična progresija, potem količine a 1 , a n, d, n inS n povezana z dvema formulama:

Torej, če so podane vrednosti treh od teh količin, potem so ustrezne vrednosti drugih dveh količin določene iz teh formul, združenih v sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Aritmetična progresija je monotono zaporedje. pri čemer:

• če d > 0 , potem se povečuje;
• če d < 0 , potem se zmanjšuje;
• če d = 0 , potem bo zaporedje stacionarno.

Geometrijsko napredovanje

Geometrijsko napredovanje je zaporedje, v katerem je vsak člen, začenši z drugim, enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijsko napredovanje, če je za vsako naravno število n pogoj je izpolnjen:

b n +1 = b n · q,

Kje q ≠ 0 - določeno število.

Tako je razmerje med naslednjim členom dane geometrijske progresije in prejšnjim konstantno število:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

številka q klical imenovalec geometrijske progresije.

Za določitev geometrijske progresije je dovolj, da navedemo njen prvi člen in imenovalec.

na primer

če b 1 = 1, q = -3 , potem najdemo prvih pet členov zaporedja, kot sledi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 in imenovalec q njo n Ti izraz je mogoče najti s formulo:

b n = b 1 · qn -1 .

na primer

poiščite sedmi člen geometrijskega napredovanja 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

potem očitno

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

vsak člen geometrijske progresije, začenši z drugim, je enak geometrični sredini (proporcionalni) predhodnega in naslednjih členov.

Ker velja tudi obratno, velja naslednja trditev:

števila a, b in c so zaporedni členi neke geometrijske progresije, če in samo če je kvadrat enega od njih enak produktu drugih dveh, to pomeni, da je eno od števil geometrična sredina drugih dveh.

na primer

Dokažimo, da zaporedje, podano s formulo b n= -3 2 n , je geometrijsko napredovanje. Uporabimo zgornjo izjavo. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

torej

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ki dokazuje želeno trditev. ◄

Upoštevajte to n Th člen geometrijskega napredovanja je mogoče najti ne samo skozi b 1 , ampak tudi kateri koli prejšnji član b k , za kar je dovolj, da uporabite formulo

b n = b k · qn - k.

na primer

Za b 5 se da zapisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

potem očitno

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat katerega koli člena geometrijske progresije, začenši od drugega, je enak zmnožku členov te progresije, ki so enako oddaljeni od njega.

Poleg tega za vsako geometrijsko progresijo velja enakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

na primer

v geometrijski progresiji

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , Ker

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n členi geometrijskega napredovanja z imenovalcem q ≠ 0 izračunano po formuli:

In kdaj q = 1 - po formuli

S n= opomba 1

Upoštevajte, da če morate izraze sešteti

b k, b k +1 , . . . , b n,

potem se uporabi formula:

na primer

v geometrijski progresiji 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Če je podana geometrijska progresija, potem količine b 1 , b n, q, n in S n povezana z dvema formulama:

Torej, če so podane vrednosti katerih koli treh od teh količin, potem so ustrezne vrednosti drugih dveh količin določene iz teh formul, združenih v sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Za geometrijsko napredovanje s prvim členom b 1 in imenovalec q se zgodi naslednje lastnosti monotonosti :

• napredovanje se povečuje, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

b 1 > 0 in q> 1;

b 1 < 0 in 0 < q< 1;

• Napredovanje se zmanjša, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

b 1 > 0 in 0 < q< 1;

b 1 < 0 in q> 1.

če q< 0 , potem je geometrijsko napredovanje izmenično: njegovi členi z lihimi števili imajo enak predznak kot prvi člen, členi s sodimi števili pa nasprotni predznak. Jasno je, da izmenična geometrijska progresija ni monotona.

Izdelek prvega n člene geometrijske progresije lahko izračunamo po formuli:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

na primer

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Neskončno padajoča geometrijska progresija

Neskončno padajoča geometrijska progresija imenujemo neskončna geometrijska progresija, katere modul imenovalca je manjši 1 , to je

|q| < 1 .

Upoštevajte, da neskončno padajoča geometrijska progresija morda ni padajoče zaporedje. Primerno je za priložnost

1 < q< 0 .

Pri takem imenovalcu je zaporedje izmenično. na primer

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Vsota neskončno padajoče geometrijske progresije poimenuj število, ki se mu vsota prvih neomejeno približuje n člani progresije z neomejenim povečevanjem števila n . To število je vedno končno in je izraženo s formulo

na primer

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Razmerje med aritmetično in geometrijsko progresijo

Aritmetična in geometrijska progresija sta tesno povezani. Poglejmo samo dva primera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , To

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

na primer

1, 3, 5, . . . - aritmetična progresija z razliko 2 in

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrijsko napredovanje z imenovalcem 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrijsko napredovanje z imenovalcem q , To

dnevnik a b 1, dnevnik a b 2, dnevnik a b 3, . . . - aritmetična progresija z razliko dnevnik aq .

na primer

2, 12, 72, . . . - geometrijsko napredovanje z imenovalcem 6 in

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetična progresija z razliko lg 6 . ◄

Matematika ima svojo lepoto, tako kot slikanje in poezija.

Ruski znanstvenik, mehanik N.E. Žukovski

Zelo pogoste težave pri sprejemnih izpitih iz matematike so težave, povezane s konceptom aritmetične progresije. Za uspešno reševanje takšnih problemov morate dobro poznati lastnosti aritmetične progresije in imeti določene veščine pri njihovi uporabi.

Najprej si opomnimo osnovne lastnosti aritmetične progresije in predstavimo najpomembnejše formule, povezanih s tem pojmom.

Opredelitev. Zaporedje številk, pri katerem se vsak naslednji člen razlikuje od prejšnjega za isto številko, imenujemo aritmetična progresija. V tem primeru številkaimenovana progresijska razlika.

Za aritmetično progresijo veljajo naslednje formule:

, (1)

Kje . Formula (1) se imenuje formula splošnega člena aritmetičnega napredovanja, formula (2) pa predstavlja glavno lastnost aritmetičnega napredovanja: vsak člen napredovanja sovpada z aritmetično sredino sosednjih členov in .

Upoštevajte, da se prav zaradi te lastnosti obravnavana progresija imenuje "aritmetika".

Zgornji formuli (1) in (2) sta posplošeni na naslednji način:

(3)

Za izračun zneska prvi členi aritmetične progresijeobičajno se uporablja formula

(5) kjer in .

Če upoštevamo formulo (1), potem iz formule (5) sledi

Če označimo , potem

Kje . Ker sta formuli (7) in (8) posplošitvi ustreznih formul (5) in (6).

Še posebej , iz formule (5) sledi, Kaj

Večini študentov je malo znana lastnost aritmetične progresije, formulirana z naslednjim izrekom.

Izrek.Če, potem

Dokaz.Če, potem

Izrek je dokazan.

Na primer, z uporabo izreka, se lahko pokaže, da

Preidimo na tipične primere reševanja problemov na temo "Aritmetična progresija".

Primer 1. Naj bo. Najti .

rešitev. Z uporabo formule (6) dobimo . Ker in , potem ali .

Primer 2. Naj bo trikrat večja in če jo delimo s količnikom, je rezultat 2, ostanek pa 8. Določite in .

rešitev. Iz pogojev primera sledi sistem enačb

Ker , , in , potem iz sistema enačb (10) dobimo

Rešitev tega sistema enačb je in .

Primer 3. Ugotovite, če in .

rešitev. Po formuli (5) imamo oz. Vendar z uporabo lastnosti (9) dobimo .

Ker in , Potem iz enakosti sledi enačba ali .

Primer 4. Poiščite, če.

rešitev.Po formuli (5) imamo

Vendar lahko z uporabo izreka zapišemo

Od tu in iz formule (11) dobimo .

Primer 5. Podano: . Najti .

rešitev. Od takrat. Vendar pa zato.

Primer 6. Naj , in . Najti .

rešitev. Z uporabo formule (9) dobimo . Torej, če , potem ali .

Ker in potem imamo tukaj sistem enačb

Reševanje katerega, dobimo in .

Naravni koren enačbe je .

Primer 7. Ugotovite, če in .

rešitev. Ker imamo po formuli (3) to , potem sistem enačb sledi iz pogojev problema

Če zamenjamo izrazv drugo enačbo sistema, potem dobimo ali .

Koreni kvadratne enačbe so In .

Razmislimo o dveh primerih.

1. Naj , nato . Ker in , potem .

V tem primeru imamo po formuli (6).

2. Če , potem , in

Odgovor: in.

Primer 8. Znano je, da in. Najti .

rešitev. Ob upoštevanju formule (5) in pogoja primera zapišemo in .

To pomeni sistem enačb

Če prvo enačbo sistema pomnožimo z 2 in jo nato dodamo drugi enačbi, dobimo

Po formuli (9) imamo. V zvezi s tem izhaja iz (12) ali .

Ker in , potem .

Odgovor: .

Primer 9. Ugotovite, če in .

rešitev. Ker , in po pogoju , potem ali .

Iz formule (5) je znano, Kaj . Od takrat.

torej tukaj imamo sistem linearnih enačb

Od tu dobimo in . Ob upoštevanju formule (8) zapišemo .

Primer 10. Reši enačbo.

rešitev. Iz podane enačbe sledi, da . Predpostavimo, da , , in . V tem primeru .

Po formuli (1) lahko zapišemo ali .

Ker ima enačba (13) edini primeren koren .

Primer 11. Poiščite največjo vrednost pod pogojem, da in .

rešitev. Ker je , potem je obravnavana aritmetična progresija padajoča. V zvezi s tem dobi izraz največjo vrednost, ko je število najmanjšega pozitivnega člena napredovanja.

Uporabimo formulo (1) in dejstvo, to in . Potem dobimo to oz.

Od , torej oz . Vendar pa v tej neenakostinajvečje naravno število, Zato .

Če vrednosti , in nadomestimo v formulo (6), dobimo .

Odgovor: .

Primer 12. Določi vsoto vseh dvomestnih naravnih števil, ki jim pri deljenju s številom 6 ostane ostanek 5.

rešitev. Označimo z množico vseh dvomestnih naravnih števil, tj. . Nato bomo zgradili podmnožico, sestavljeno iz tistih elementov (števil) množice, ki pri deljenju s številom 6 dajo ostanek 5.

Enostaven za namestitev, Kaj . očitno, da elementi sklopatvorijo aritmetično progresijo, v katerem in .

Za določitev kardinalnosti (števila elementov) množice predpostavimo, da . Ker in , sledi iz formule (1) ali . Ob upoštevanju formule (5) dobimo .

Zgornji primeri reševanja problemov nikakor ne morejo trditi, da so izčrpni. Ta članek je napisan na podlagi analize sodobnih metod za reševanje tipičnih problemov na dano temo. Za bolj poglobljeno študijo metod za reševanje problemov, povezanih z aritmetično progresijo, je priporočljivo, da se sklicujete na seznam priporočene literature.

1. Zbirka nalog iz matematike za kandidate na visokih šolah / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir in izobraževanje, 2013. – 608 str.

2. Suprun V.P. Matematika za srednješolce: dodatni sklopi šolskega kurikuluma. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 str.

3. Medynsky M.M. Celoten tečaj osnovne matematike v nalogah in nalogah. 2. knjiga: Številska zaporedja in napredovanja. – M.: Editus, 2015. – 208 str.

Imate še vprašanja?

Če želite dobiti pomoč mentorja, se registrirajte.

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.