Številke za iskanje nok. Kako najti najmanjši skupni večkratnik, nok za dve ali več števil

Iskanje NOC

Da bi našli skupni imenovalec Pri seštevanju in odštevanju ulomkov z različnimi imenovalci morate znati in znati računati najmanjši skupni večkratnik (LCM).

Večkratnik a je število, ki je samo po sebi deljivo z a brez ostanka.
Števila, ki so večkratniki števila 8 (torej so ta števila deljiva z 8 brez ostanka): to so števila 16, 24, 32 ...
Večkratniki 9: 18, 27, 36, 45 ...

Obstaja neskončno veliko večkratnikov danega števila a, v nasprotju z delitelji istega števila. Obstaja končno število deliteljev.

Skupni večkratnik dveh naravnih števil je število, ki je deljivo z obema tema številoma.

Najmanjši skupni večkratnik (LCM) dveh ali več naravnih števil je najmanjše naravno število, ki je samo po sebi deljivo z vsakim od teh števil.

Kako najti NOC
LCM je mogoče najti in zapisati na dva načina.

Prvi način za iskanje LOC
Ta metoda se običajno uporablja za majhne številke.
1. V vrstico zapišite večkratnike za vsako število, dokler ne najdete večkratnika, ki je enak za obe števili.
2. Večkratnik a je označen z veliko začetnico "K".

K(a) = (...,...)
Primer. Poiščite LOC 6 in 8.
K (6) = (12, 18, 24, 30, ...)

K(8) = (8, 16, 24, 32, ...)

LCM(6, 8) = 24

Drugi način za iskanje LOC
Ta metoda je priročna za iskanje LCM za tri ali več številk.
1. Dane številke razdeli na preprosto multiplikatorji Več o pravilih za faktoriziranje na prafaktorje lahko preberete v temi, kako najti največji skupni delitelj (GCD).

2. Na črto zapiši faktorje, vključene v razširitev največji števil, pod njim pa je razčlenitev preostalih števil.

Število enakih faktorjev v razčlembah števil je lahko različno.

60 = 2 . 2 . 3 . 5

24 = 2 . 2 . 2 . 3
3. Poudari pri razčlenjevanju manjštevila (manjša števila) faktorje, ki niso bili vključeni v razširitev večjega števila (v našem primeru je to 2) in te faktorje prištejemo k razširitvi večjega števila.
LCM(24, 60) = 2. 2. 3. 5. 2
4. Dobljeni zmnožek zapiši kot odgovor.
Odgovor: LCM (24, 60) = 120

Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) lahko formalizirate tudi na naslednji način. Poiščimo LOC (12, 16, 24).

24 = 2 . 2 . 2 . 3

16 = 2 . 2 . 2 . 2

12 = 2 . 2 . 3

Kot vidimo iz razčlenitve števil, so vsi faktorji 12 vključeni v razgradnjo 24 (največjega izmed števil), zato LCM dodamo le eno 2 iz razčlenitve števila 16.
LCM(12, 16, 24) = 2. 2. 2. 3. 2 = 48
Odgovor: LCM (12, 16, 24) = 48

Posebni primeri ugotovitve NOC
1. Če je eno od števil deljivo z drugimi, potem je najmanjši skupni večkratnik teh števil enak temu številu.
Na primer, LCM (60, 15) = 60
2. Ker relativno praštevila nimajo skupnih praštevil, je njihov najmanjši skupni večkratnik enak produktu teh števil.
Primer.
LCM(8, 9) = 72

Razmislimo o rešitvi naslednjega problema. Korak fantka je 75 cm, korak deklice pa 60 cm.Treba je najti najmanjšo razdaljo, na kateri oba naredita celo število korakov.

rešitev. Celotna pot, ki jo bodo prehodili fantje, mora biti deljiva s 60 in 70, saj mora vsak narediti celo število korakov. Z drugimi besedami, odgovor mora biti večkratnik 75 in 60.

Najprej bomo zapisali vse večkratnike števila 75. Dobimo:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Zdaj pa zapišimo števila, ki bodo večkratnika 60. Dobimo:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Zdaj poiščemo številke, ki so v obeh vrsticah.

Navadni večkratniki števil bi bili 300, 600 itd.

Najmanjše med njimi je število 300. V tem primeru se bo imenovalo najmanjši skupni večkratnik števil 75 in 60.

Če se vrnemo k pogoju problema, bo najmanjša razdalja, na kateri bodo fantje naredili celo število korakov, 300 cm.Fant bo to pot premagal v 4 korakih, deklica pa bo morala narediti 5 korakov.

Določanje najmanjšega skupnega večkratnika

Najmanjši skupni večkratnik dveh naravnih števil a in b je najmanjše naravno število, ki je večkratnik obeh a in b.

Da bi našli najmanjši skupni večkratnik dveh števil, ni treba zapisati vseh večkratnikov teh števil po vrsti.

Uporabite lahko naslednjo metodo.

Kako najti najmanjši skupni večkratnik

Najprej morate ta števila razdeliti na prafaktorje.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

Sedaj pa zapišimo vse faktorje, ki so v razširitvi prvega števila (2,2,3,5) in ji prištejmo vse manjkajoče faktorje iz razširitve drugega števila (5).

Kot rezultat dobimo vrsto praštevil: 2,2,3,5,5. Zmnožek teh števil bo najmanjši skupni faktor za ta števila. 2*2*3*5*5 = 300.

Splošna shema za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika

1. Razdelite števila na prafaktorje.
2. Zapišite prafaktorje, ki so del enega od njih.
3. Tem dejavnikom prištejte vse tiste, ki so v razširitvi drugih, ne pa tudi v izbranem.
4. Poišči zmnožek vseh zapisanih faktorjev.

Ta metoda je univerzalna. Uporablja se lahko za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika poljubnega števila naravnih števil.

Najmanjši skupni večkratnik dveh števil je neposredno povezan z največjim skupnim deliteljem teh števil. to povezava med GCD in NOC je določen z naslednjim izrekom.

Izrek.

Najmanjši skupni večkratnik dveh pozitivnih celih števil a in b je enak produktu a in b, deljenemu z največjim skupnim deliteljem a in b, to je LCM(a, b)=a b:NOT(a, b).

Dokaz.

Pustiti M je nekaj večkratnika števil a in b. To pomeni, da je M deljiv z a in po definiciji deljivosti obstaja neko celo število k, tako da velja enakost M=a·k. Toda M je tudi deljiv z b, potem je a·k deljiv z b.

Označimo gcd(a, b) kot d. Potem lahko zapišemo enakosti a=a 1 ·d in b=b 1 ·d, a 1 =a:d in b 1 =b:d pa bosta relativno praštevili. Posledično lahko pogoj, dobljen v prejšnjem odstavku, da je a · k deljiv z b, preoblikujemo takole: a 1 · d · k je deljeno z b 1 · d , kar je zaradi lastnosti deljivosti enakovredno pogoju da je a 1 · k deljiv z b 1 .

Zapisati morate tudi dve pomembni posledici obravnavanega izreka.

Skupni večkratniki dveh števil so enaki večkratnikom njunega najmanjšega skupnega večkratnika.

To je res tako, saj je vsak skupni večkratnik M števil a in b določen z enakostjo M=LMK(a, b)·t za neko celo vrednost t.

Najmanjši skupni večkratnik medsebojno praštevila a in b je enak njunemu zmnožku.

Utemeljitev tega dejstva je povsem očitna. Ker sta a in b relativno praštevilna, potem je gcd(a, b)=1, torej GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil

Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika treh ali več števil se lahko zmanjša na zaporedno iskanje LCM dveh števil. Kako se to naredi, je prikazano v naslednjem izreku: a 1 , a 2 , …, a k sovpadajo s skupnimi večkratniki števil m k-1 in a k torej sovpadajo s skupnimi večkratniki števila m k . In ker je najmanjši pozitivni večkratnik števila m k samo število m k, potem je najmanjši skupni večkratnik števil a 1, a 2, ..., a k m k.

Bibliografija.

Vilenkin N.Y. in drugi Matematika. 6. razred: učbenik za splošnoizobraževalne ustanove.
Vinogradov I.M. Osnove teorije števil.
Mikhelovich Sh.H. Teorija števil.
Kulikov L.Ya. in drugi Zbirka nalog iz algebre in teorije števil: Učbenik za študente fizike in matematike. specialnosti pedagoških zavodov.

Večkratnik je število, ki je deljivo z danim številom brez ostanka. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) skupine števil je najmanjše število, ki je deljivo z vsakim številom v skupini brez ostanka. Če želite najti najmanjši skupni večkratnik, morate najti prafaktorje danih števil. LCM je mogoče izračunati tudi z uporabo številnih drugih metod, ki veljajo za skupine dveh ali več števil.

Koraki

Serija večkratnikov

Poglej te številke. Tukaj opisano metodo je najbolje uporabiti, če imate dve števili, od katerih je vsako manjše od 10. Če so podana večja števila, uporabite drugo metodo.

Na primer, poiščite najmanjši skupni večkratnik 5 in 8. To so majhne številke, zato lahko uporabite to metodo.

Večkratnik je število, ki je deljivo z danim številom brez ostanka. Večkratnike najdete v tabeli množenja.
- Na primer, števila, ki so večkratnika števila 5, so: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
Zapišite niz števil, ki so večkratniki prvega števila. Naredite to pod večkratniki prvega števila, da primerjate dva niza števil.
- Na primer, števila, ki so večkratnika števila 8, so: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 in 64.
Poiščite najmanjše število, ki je prisotno v obeh nizih mnogokratnikov. Morda boste morali napisati dolg niz večkratnikov, da boste našli skupno število. Najmanjše število, ki je prisotno v obeh nizih večkratnikov, je najmanjši skupni večkratnik.
- Na primer, najmanjše število, ki se pojavi v nizu večkratnikov 5 in 8, je število 40. Zato je 40 najmanjši skupni večkratnik 5 in 8.
Prafaktorizacija
1. Poglej te številke. Tukaj opisano metodo je najbolje uporabiti, če imate dve števili, od katerih je vsako večje od 10. Če so podane manjše številke, uporabite drugo metodo.
  - Na primer, poiščite najmanjši skupni večkratnik števil 20 in 84. Vsako število je večje od 10, zato lahko uporabite to metodo.
2. Razštej na prafaktorje prva številka. To pomeni, da morate najti takšna praštevila, ki bodo pomnožena z danim številom. Ko najdete prafaktorje, jih zapišite kot enačbe.
  
  Drugo število razčlenite na prafaktorje. Naredite to na enak način, kot ste faktorizirali prvo število, torej poiščite taka praštevila, ki bodo pri množenju dala dano število.
  
  Zapišite faktorje, ki so skupni obema številoma. Takšne faktorje zapišite kot operacijo množenja. Ko pišete vsak faktor, ga prečrtajte v obeh izrazih (izrazih, ki opisujejo faktorizacijo števil na prafaktorje).
  
  Operaciji množenja dodajte preostale faktorje. To so faktorji, ki v obeh izrazih niso prečrtani, torej faktorji, ki obema številoma niso skupni.
  
  Izračunaj najmanjši skupni večkratnik.Če želite to narediti, pomnožite števila v operaciji pisnega množenja.
Iskanje skupnih dejavnikov
1. Poišči delitelj, ki je skupen obema številoma. Zapišite v prvo vrstico in prvi stolpec. Bolje je iskati prafaktorje, vendar to ni pogoj.
  - Na primer, 18 in 30 sta sodi števili, zato je njun skupni faktor 2. Zato zapišite 2 v prvo vrstico in prvi stolpec.
2. Vsako število delite s prvim deliteljem. Vsak količnik zapiši pod ustrezno številko. Količnik je rezultat deljenja dveh števil.
  
  Poiščite delitelj, ki je skupen obema količnikoma.Če takega delitelja ni, preskočite naslednja dva koraka. V nasprotnem primeru delitelj vpiši v drugo vrstico in prvi stolpec.
  - Na primer, 9 in 15 sta deljiva s 3, zato zapišite 3 v drugo vrstico in prvi stolpec.
3. Vsak količnik delite z njegovim drugim deliteljem. Vsak rezultat deljenja zapišite pod pripadajoči količnik.
  
  Po potrebi dodajte dodatne celice v mrežo. Ponavljaj opisane korake, dokler imata količnika skupni delitelj.
  
  Obkroži številke v prvem stolpcu in zadnji vrstici mreže. Nato izbrana števila zapiši kot operacijo množenja.
Evklidov algoritem

Nadaljujmo pogovor o najmanjšem skupnem večkratniku, ki smo ga začeli v razdelku "LCM - najmanjši skupni večkratnik, definicija, primeri." V tej temi si bomo ogledali načine, kako najti LCM za tri ali več števil, in preučili bomo vprašanje, kako najti LCM negativnega števila.

Izračun najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) prek GCD

Razmerje med najmanjšim skupnim večkratnikom in največjim skupnim deliteljem smo že ugotovili. Zdaj pa se naučimo, kako določiti LCM prek GCD. Najprej ugotovimo, kako to narediti za pozitivna števila.

Definicija 1

Najmanjši skupni večkratnik lahko poiščete prek največjega skupnega delitelja z uporabo formule LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Primer 1

Najti morate LCM števil 126 in 70.

rešitev

Vzemimo a = 126, b = 70. Nadomestimo vrednosti v formulo za izračun najmanjšega skupnega večkratnika skozi največji skupni delitelj LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Poišče gcd števil 70 in 126. Za to potrebujemo evklidski algoritem: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, torej GCD (126 , 70) = 14 .

Izračunajmo LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

odgovor: LCM(126, 70) = 630.

Primer 2

Poišči število 68 in 34.

rešitev

GCD v tem primeru ni težko najti, saj je 68 deljivo s 34. Izračunajmo najmanjši skupni večkratnik po formuli: LCM (68, 34) = 68 34 : NTO (68, 34) = 68 34 : 34 = 68.

odgovor: LCM(68, 34) = 68.

V tem primeru smo uporabili pravilo za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika pozitivnih celih števil a in b: če je prvo število deljivo z drugim, bo LCM teh števil enak prvemu številu.

Iskanje LCM z razlaganjem števil na prafaktorje

Zdaj pa si poglejmo metodo iskanja LCM, ki temelji na faktoriziranju števil na prafaktorje.

Definicija 2

Da bi našli najmanjši skupni večkratnik, moramo opraviti nekaj preprostih korakov:

sestavimo zmnožek vseh prafaktorjev števil, za katera moramo najti LCM;
iz njihovih produktov izključimo vse prafaktorje;
zmnožek, dobljen po izločitvi skupnih prafaktorjev, bo enak LCM danih števil.

Ta metoda iskanja najmanjšega skupnega večkratnika temelji na enakosti LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Če pogledate formulo, bo postalo jasno: produkt števil a in b je enak produktu vseh faktorjev, ki sodelujejo pri razgradnji teh dveh števil. V tem primeru je gcd dveh števil enak produktu vseh prafaktorjev, ki so hkrati prisotni v faktorizacijah teh dveh števil.

Primer 3

Imamo dve številki 75 in 210. Lahko jih faktoriziramo na naslednji način: 75 = 3 5 5 in 210 = 2 3 5 7. Če sestavite produkt vseh faktorjev obeh izvirnih števil, dobite: 2 3 3 5 5 5 7.

Če izločimo faktorje, ki so skupni številkama 3 in 5, dobimo produkt naslednje oblike: 2 3 5 5 7 = 1050. Ta izdelek bo naš LCM za številki 75 in 210.

Primer 4

Poiščite LCM števil 441 in 700 , pri čemer obe števili razložimo na prafaktorje.

rešitev

Poiščimo vse prafaktorje števil, navedenih v pogoju:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Dobimo dve verigi števil: 441 = 3 3 7 7 in 700 = 2 2 5 5 7.

Produkt vseh faktorjev, ki so sodelovali pri razgradnji teh števil, bo imel obliko: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Poiščimo skupne dejavnike. To je številka 7. Izključimo ga iz celotnega izdelka: 2 2 3 3 5 5 7 7. Izkazalo se je, da NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

odgovor: LOC(441, 700) = 44.100.

Dajmo še eno formulacijo metode za iskanje LCM z razgradnjo števil na prafaktorje.

Definicija 3

Prej smo iz skupnega števila faktorjev izključili skupne obema številkama. Zdaj bomo to storili drugače:

Razložimo obe števili na prafaktorje:
zmnožku prafaktorjev prvega števila prišteti manjkajoče faktorje drugega števila;
dobimo produkt, ki bo želeni LCM dveh števil.

Primer 5

Vrnimo se k številkama 75 in 210, za katera smo LCM iskali že v enem od prejšnjih primerov. Razčlenimo jih na preproste dejavnike: 75 = 3 5 5 in 210 = 2 3 5 7. Zmnožku faktorjev 3, 5 in 5 številki 75 seštejte manjkajoče faktorje 2 in 7 številke 210. Dobimo: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . To je LCM števil 75 in 210.

Primer 6

Izračunati je treba LCM števil 84 in 648.

rešitev

Razložimo števila iz pogoja na preproste faktorje: 84 = 2 2 3 7 in 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Zmnožku prištejmo faktorje 2, 2, 3 in 7 števila 84 manjkajoči faktorji 2, 3, 3 in
3 številke 648. Dobimo izdelek 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. To je najmanjši skupni večkratnik 84 in 648.

odgovor: LCM(84, 648) = 4,536.

Iskanje LCM treh ali več števil

Ne glede na to, s koliko številkami imamo opravka, bo algoritem naših dejanj vedno enak: zaporedno bomo našli LCM dveh števil. Za ta primer obstaja izrek.

1. izrek

Predpostavimo, da imamo cela števila a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k ta števila se najdejo z zaporednim izračunom m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Zdaj pa poglejmo, kako lahko izrek uporabimo za reševanje specifičnih problemov.

Primer 7

Izračunati morate najmanjši skupni večkratnik štirih števil 140, 9, 54 in 250 .

rešitev

Uvedemo zapis: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Začnimo z izračunom m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Uporabimo evklidski algoritem za izračun GCD števil 140 in 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Dobimo: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Zato je m 2 = 1,260.

Zdaj pa izračunajmo z istim algoritmom m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Med izračuni dobimo m 3 = 3 780.

Izračunati moramo le m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Delujemo po istem algoritmu. Dobimo m 4 = 94 500.

LCM štirih števil iz vzorčnega pogoja je 94500.

odgovor: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Kot lahko vidite, so izračuni preprosti, a precej delovno intenzivni. Če želite prihraniti čas, lahko greste drugače.

Definicija 4

Ponujamo vam naslednji algoritem dejanj:

vsa števila razstavimo na prafaktorje;
zmnožku faktorjev prvega števila prištejemo manjkajoče faktorje iz zmnožka drugega števila;
produktu, dobljenemu na prejšnji stopnji, dodamo manjkajoče faktorje tretje številke itd.;
dobljeni produkt bo najmanjši skupni večkratnik vseh števil iz pogoja.

Primer 8

Najti morate LCM petih števil 84, 6, 48, 7, 143.

rešitev

Razštejmo vseh pet števil na prafaktorje: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Praštevil, ki je število 7, ni mogoče razložiti na praštevila. Takšna števila sovpadajo z njihovo razgradnjo na prafaktorje.

Zdaj pa vzemimo produkt prafaktorjev 2, 2, 3 in 7 števila 84 in jim prištejmo manjkajoče faktorje drugega števila. Število 6 smo razstavili na 2 in 3. Ti faktorji so že v produktu prve številke. Zato jih izpuščamo.

Nadaljujemo z dodajanjem manjkajočih množiteljev. Pojdimo k številu 48, od produkta prafaktorjev katerega vzamemo 2 in 2. Nato dodamo prafaktor 7 iz četrtega števila ter faktorja 11 in 13 iz petega. Dobimo: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. To je najmanjši skupni večkratnik prvotnih petih števil.

odgovor: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika negativnih števil

Da bi našli najmanjši skupni večkratnik negativnih števil, je treba ta števila najprej zamenjati s števili z nasprotnim predznakom, nato pa izvesti izračune z zgornjimi algoritmi.

Primer 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) in LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Takšna dejanja so dopustna zaradi dejstva, da če to sprejmemo a in − a– nasprotna števila,
nato množica večkratnikov števila a se ujema z množico večkratnikov števila − a.

Primer 10

Izračunati je treba LCM negativnih števil − 145 in − 45 .

rešitev

Zamenjajmo številke − 145 in − 45 nasprotnim številkam 145 in 45 . Sedaj z uporabo algoritma izračunamo NKT (145, 45) = 145 · 45: NKT (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, pri čemer smo predhodno določili NKT z evklidskim algoritmom.

Dobimo, da je LCM števil − 145 in − 45 enako 1 305 .

odgovor: LCM (− 145, − 45) = 1,305.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter