Posebni primeri pripeljevanja poljubnega prostorskega sistema sil v središče. Primeri redukcije na najpreprostejšo obliko Oblike ravnotežnih enačb ravninskega sistema sil
Naj na togo telo hkrati deluje več parov sil z momenti, ki delujejo v različnih ravninah. Ali je mogoče ta sistem parov reducirati na enostavnejšo obliko? Izkaže se, da je to mogoče, odgovor pa predlaga naslednji izrek o seštevanju dveh parov.
Izrek. Dva para sil, ki delujeta v različnih ravninah, sta enakovredna enemu paru sil z momentom, ki je enak geometrijski vsoti momentov danih parov.
Naj bodo pari definirani s svojimi momenti in (slika 36,a). Konstruirajmo dve ravnini, pravokotni na te vektorje (ravnina delovanja parov) in z izbiro določenega segmenta AB na liniji presečišča ravnin za ramo, ki je skupna obema paroma, bomo zgradili ustrezne pare: (sl. 36, b).
V skladu z definicijo trenutka para lahko zapišemo
V točkah A in B imamo konvergentne sile. Z uporabo pravila paralelograma sil (aksiom 3) bomo imeli:
Dani pari se izkažejo za enakovredne dvema silama, ki prav tako tvorita par. Tako je prvi del izreka dokazan. Drugi del izreka je dokazan z neposrednim izračunom momenta nastalega para:
Če obstaja več parov, se lahko z njihovim seštevanjem v parih v skladu s tem izrekom poljubno število parov zmanjša na en par. Posledično pridemo do naslednjega zaključka: nabor (sistem) parov sil, ki delujejo na absolutno togo telo, se lahko zmanjša na en par s momentom, ki je enak geometrijski vsoti momentov vseh danih parov.
Matematično lahko to zapišemo na naslednji način:
Na sl. Slika 37 daje geometrijsko ilustracijo dobljenega zaključka.
Za ravnovesje parov sil je potrebno, da je moment nastalega para enak nič, kar vodi do enakosti
Ta pogoj je mogoče izraziti v geometrijski in analitični obliki. Geometrični pogoj za ravnotežje parov sil: da je sistem parov sil v ravnovesju, je nujno in dovolj, da je vektorski mnogokotnik, zgrajen iz momentov vseh parov, zaprt.
Analitični pogoj za ravnotežje parov sil: da je sistem parov sil v ravnovesju, je nujno in zadostno, da so algebraične vsote projekcij vektorjev momentov vseh parov na poljubno izbrane koordinatne osi Oxyz enake nič:
Če vsi pari ležijo v isti ravnini, to pomeni, da tvorijo raven sistem parov, dobimo samo en analitični ravnovesni pogoj - vsota algebrskih momentov parov je enaka nič.
Vprašanja za samotestiranje
1. Kaj je pravilo poligona sil? Za kaj se uporablja poligon moči?
2. Kako analitično najdemo rezultanto konvergentnih sil?
3. Kakšen je geometrijski pogoj za ravnotežje konvergentnih sil? Kako je ta isti pogoj analitično formuliran?
4. Navedite izrek treh sil.
5. Kateri problemi statike se imenujejo statično definirani in kateri statično nedoločeni? Navedite primer statično nedoločenega problema.
6. Kaj imenujemo par sil?
7. Kaj imenujemo moment (vektor-moment) para sil? Kakšne so smer, velikost in točka uporabe trenutka?
8. Kaj imenujemo algebraični moment para?
9. Oblikujte pravilo za seštevanje parov, ki se poljubno nahajajo v prostoru.
10. Kateri so vektorski, geometrijski in analitični pogoji za ravnovesje sistema parov sil?
Glavni izrek statike o pripeljevanju poljubnega sistema sil v dano središče: Vsak ravninski sistem sil je enakovreden eni sili, ki je enaka glavnemu vektorju sistema, ki deluje na neki točki (središče redukcije), in paru sil, katerih moment je enak glavnemu momentu sil sistema relativno do središča redukcije.
Dokaz izreka poteka v naslednjem zaporedju: izberite določeno točko (na primer točko O) kot središče redukcije in vsako silo prenesemo na to točko, pri čemer po izreku o vzporednem prenosu sil dodamo ustrezne pare sil. Kot rezultat dobimo sistem konvergentnih sil, ki delujejo v točki O, kjer je , in sistem dodanih parov sil, katerih momenti so . Nato se sistem konvergentnih sil nadomesti z rezultanto, ki je enaka glavnemu vektorju sistema, sistem parov sil pa se nadomesti z enim parom sil z momentom, ki je enak glavnemu momentu sistema glede na središče zmanjšanje . Kot rezultat dobimo to ~. Zato je izrek dokazan.
Primeri redukcije prostorskega sistema sil na najpreprostejšo obliko:
1, a - sistem je reduciran na en par sil z momentom, ki je enak glavnemu momentu sistema, vrednost glavnega momenta sistema pa ni odvisna od izbire središča redukcije.
2, a – sistem sil se zmanjša na rezultanto, ki je enaka glavnemu vektorju sistema, katerega linija delovanja poteka skozi središče redukcije O.
3, in – tak sistem sil se reducira na eno rezultanto, ki je enaka glavnemu vektorju sistema, katerega linija delovanja je premaknjena od prejšnjega središča redukcije za razdaljo.
4 Če sta glavni vektor in glavni moment , bo sistem sil uravnotežen, tj. ~0.
2.1.5 Ravnotežni pogoji za ravninski sistem sil
Nujne in zadostne pogoje za ravnotežje katerega koli ravninskega sistema sil določajo enačbe:
Velikost glavnega vektorja ravninskega sistema sil je določena z odvisnostmi: , in glavni moment - z odvisnostjo .
Glavni vektor bo enak nič le, če bo hkrati . Posledično so ravnotežni pogoji izpolnjeni, ko so izpolnjene naslednje analitične enačbe:
Te enačbe so osnovne ( prvi ) oblika analitičnih pogojev za ravnotežje poljubnega ravninskega sistema sil, ki so formulirani na naslednji način: za ravnotežje poljubnega ravninskega sistema sil je nujno in zadostno, da je vsota projekcij vseh sil na vsako od obeh koordinatnih osi in algebraična vsota momentov teh sil glede na katero koli točko na ravnini delovanje sil je enako nič.
Upoštevajte, da je število enačb ravnotežja za poljuben ravninski sistem sil v splošnem primeru tri. Predstavljeni so lahko v različnih oblikah.
Obstajata še dve obliki ravnotežnih enačb za poljuben ravninski sistem sil, katerih izpolnitev izraža ravnotežne pogoje ().
drugič oblika analitičnih ravnotežnih pogojev zagotavlja: za ravnotežje poljubnega ravninskega sistema sil je potrebno in zadostno, da je vsota momentov vseh sil glede na dve točki in vsota projekcij teh sil na os, ki ni pravokotna na premico, narisano skozi te točke. točke enake nič:
(vrstica AB ni pravokotna na os Oh)
Oblikujmo tretji oblika analitičnih pogojev za ravnotežje obravnavanega sistema sil: za ravnotežje poljubnega ravninskega sistema sil je nujno in zadostno, da je vsota momentov sil sistema glede na poljubne tri točke, ki ne ležijo na isti premici, enaka nič:
V primeru ravninskega sistema vzporednih sil lahko usmerite os OU vzporedno s silami sistema. Nato projekcije vsake od sil sistema na os Oh bo enako nič. Posledično bosta za ravninski sistem vzporednih sil ostali dve obliki ravnotežnih pogojev.
Za ravnotežje ravninskega sistema vzporednih sil je potrebno in zadostno, da sta vsota projekcij vseh sil na z njimi vzporedno os in vsota momentov vseh sil glede na katero koli točko enaka nič:
Ta prva oblika analitičnih ravnotežnih pogojev za ravninski sistem vzporednih sil izhaja iz enačb ().
Drugo obliko ravnotežnih pogojev za ravninski sistem vzporednih sil dobimo iz enačb ().
Za ravnovesje ravninskega sistema vzporednih sil je potrebno in zadostno, da je vsota momentov vseh sil sistema glede na dve točki, ki ne ležita na premici vzporedno s silama, enaka nič:
Kot je prikazano v § 12, se katera koli v splošnem primeru zmanjša na silo, ki je enaka glavnemu vektorju R in deluje v poljubnem središču O, in na par z momentom, ki je enak glavnemu momentu (glej sliko 40, b ). Ugotovimo, na katero najenostavnejšo obliko je mogoče zreducirati prostorski sistem sil, ki ni v ravnovesju. Rezultat je odvisen od vrednosti, ki jih ima ta sistem za količine R in
1. Če je za dani sistem sil , potem se zmanjša na par sil, katerih moment je enak in se lahko izračuna z uporabo formul (50). V tem primeru, kot je prikazano v § 12, vrednost ni odvisna od izbire središča O.
2. Če za dani sistem sil, potem se zmanjša na rezultanto, ki je enaka R, katere linija delovanja poteka skozi središče O. Vrednost R je mogoče najti z uporabo formul (49).
3. Če je za dani sistem sil a potem se tudi ta sistem zmanjša na rezultanto, ki je enaka R, vendar ne poteka skozi središče O.
Dejansko, ko par, ki ga predstavlja vektor, in sila R ležita v isti ravnini (slika 91).
Nato z izbiro sil v paru, ki so enake v modulu R, in razporeditvijo, kot je prikazano na sl. 91, ugotovimo, da bodo sile medsebojno uravnotežene, sistem pa bo nadomeščen z eno rezultantno akcijsko črto, ki poteka skozi točko O (glej § 15, odstavek 2, b). Razdalja ) je določena s formulo (28), kjer je
Preprosto je preveriti, da se bo obravnavani primer zlasti vedno zgodil za kateri koli sistem vzporednih sil ali sil, ki ležijo v isti ravnini, če je glavni vektor tega sistema Če je za dani sistem sil in vektor vzporeden z R (slika 92, a) , to pomeni, da se sistem sil zmanjša na kombinacijo sile R in para P, P, ki leži v ravnini, pravokotni na silo (slika 92, b). Takšna kombinacija sile in para se imenuje dinamični vijak, premica, vzdolž katere je usmerjen vektor R, pa je os vijaka. Nadaljnja poenostavitev tega sistema sil je nemogoča. Pravzaprav, če vzamemo katero koli drugo točko C kot središče redukcije (slika 92, a), potem lahko vektor prenesemo v točko C kot prosto in ko se sila R prenese na točko C (glej § 11) , drugi par z momentom, pravokotnim na vektor R, in zato . Posledično bo moment nastalega para številčno večji, zato ima moment nastalega para v tem primeru najmanjšo vrednost, ko ga pripeljemo v središče O. Tega sistema sil ni mogoče reducirati na eno silo (rezultanto) ali na en par.
Če sili R dodamo eno od sil para, na primer P, potem lahko obravnavani sistem sil nadomestimo tudi z dvema križajočima se silama, to je s silama Q in ne ležita v isti ravnini (slika 93). Ker je nastali sistem sil enakovreden dinamičnemu vijaku, tudi nima rezultante.
5. Če za dani sistem sil in hkrati vektorji in R niso pravokotni drug na drugega in niso vzporedni, potem se tak sistem sil zmanjša tudi na dinamični vijak, vendar os vijaka ne bo poteka skozi sredino O.
Da bi to dokazali, razčlenimo vektor na komponente: usmerjeno vzdolž R in pravokotno na R (slika 94). V tem primeru sta vektorja in R. Par, ki ga predstavljata vektor in sila R, je lahko, kot je prikazano na sl. 91, se nadomesti z eno silo R, ki deluje v točki O. Nato bo ta sistem sil nadomeščen s silo in parom vzporednih navorov, vektor pa kot prosti lahko uporabimo tudi v točki O. Rezultat bo dejansko biti dinamični vijak, vendar z osjo, ki poteka skozi točko
Če sta po postavitvi prostorskega sistema sil v izbrano središče O glavni vektor in glavni moment enaka nič, tj.
Sistem sil je uravnotežen. Pod vplivom takega sistema sil bo trdno telo v ravnotežju. Očitno je, da v splošnem primeru dve vektorski enačbi (4.1) ustrezata šestim skalarnim enačbam, ki odražajo enakost nič projekcij teh vektorjev na osi izbranega koordinatnega sistema (na primer kartezičnega).
Če je po postavitvi prostorskega sistema sil v izbrano središče O glavni vektor enak nič, glavni moment pa ni enak nič, tj.
Nastali par sil deluje na telo in ga teži k vrtenju. Upoštevajte, da v tem primeru izbira redukcijskega središča ne vpliva na rezultat.
Če po namestitvi prostorskega sistema sil v izbrano središče O glavni vektor ni enak nič, glavni moment pa enak nič, tj.
Na telo deluje rezultantni sistem sil, ki poteka skozi središče redukcije in teži k premikanju telesa vzdolž črte svojega delovanja. Očitno je, da razmerja (4.3.) veljajo za vse točke premice delovanja rezultante.
Upoštevajte, da se delovanje sistema konvergentnih sil zmanjša na ta primer, če se točka presečišča linij delovanja sil sistema vzame za središče redukcije (ker so momenti sil glede na to točko enaki na nič).
Če po namestitvi prostorskega sistema sil v izbrano središče O glavni vektor in glavni moment nista enaka nič, njuni smeri pa tvorita pravi kot, tj.
potem se lahko tak sistem sil reducira tudi na rezultanto, vendar skozi drugo središče redukcije - točko. Za izvedbo te operacije najprej upoštevamo sisteme enakovrednih sil, prikazane na sl. 4.2.b in sl. 4.1. Očitno je, da če spremenimo zapis (točka B se imenuje središče O, točka A se imenuje središče), naloga, ki je pred nami, zahteva izvedbo operacije, inverzne tisti, ki je bila izvedena v lemi o vzporednem prenosu sile. Ob upoštevanju zgoraj navedenega mora biti točka, prvič, nameščena v ravnini, pravokotni na vektor glavnega momenta, ki poteka skozi središče O, in, drugič, ležati na črti, ki je vzporedna s črto delovanja glavnega vektorja sile in ločena od nje na razdalji h, ki je enaka
Od dveh najdenih črt izberite tisto, za katere točke je vektor glavnega momenta enak nič (moment glavnega vektorja sil glede na novo središče mora biti enak po velikosti in v nasprotni smeri glavni moment sistema sil glede na točko O).
V splošnem primeru po tem, ko prostorski sistem sil prenesemo v izbrano središče O, glavni vektor in glavni moment, ki nista enaka nič, med seboj ne tvorita pravega kota (slika 4.5.a).
Če se glavni moment razgradi na dve komponenti - vzdolž glavnega vektorja sil in pravokotno nanj, potem lahko v skladu s (4.5) najdemo redukcijsko središče, za katerega pravokotna komponenta glavnega momenta postane enaka nič, magnitude in smeri glavnega vektorja in prvih komponent glavnega momenta pa ostanejo enake (slika 4.5.b). Zbirka vektorjev se imenuje napajalni vijak oz dinamo.
Nadaljnja poenostavitev ni mogoča.
Ker se s takšno spremembo središča redukcije spremeni le projekcija glavnega momenta v smer, pravokotno na glavni vektor sistema sil, ostane vrednost skalarnega produkta teh vektorjev nespremenjena, tj.
Ta izraz se imenuje druga invarianta
statika.
Primer 4.1. Na oglišča pravokotnega paralelepipeda s stranicami in delujejo sile in (glej sliko 4.6). Izhodišče koordinat kartezičnega koordinatnega sistema, ki je na sliki označeno kot središče redukcije sistema sil, zapišite izraze za projekcije glavnega vektorja in glavnega momenta.
Zapišimo trigonometrične relacije za določitev kotov:
Zdaj lahko zapišemo izraze za projekcije glavnega vektorja in glavnega momenta sil sistema:
Opomba: poznavanje vektorskih projekcij na koordinatne osi bo po potrebi omogočilo izračun njegove magnitude in smernih kosinusov.
Kot je bilo dokazano zgoraj, lahko poljuben sistem sil, poljubno lociran v prostoru, reduciramo na eno samo silo, ki je enaka glavnemu vektorju sistema in jo uporabimo v poljubnem redukcijskem središču O, in en par z momentom, ki je enak glavnemu momentu sistema glede na isto središče. Zato lahko v prihodnosti poljuben sistem sil nadomestimo z enakovrednim nizom dveh vektorjev - sile in momenta, ki delujeta v točki. O. Pri spreminjanju položaja središča redukcije O glavni vektor bo ohranil velikost in smer, vendar se bo glavni moment spremenil. Dokažimo, da če je glavni vektor različen od nič in 
je pravokotna na glavni moment, potem se sistem sil reducira na eno silo, ki jo bomo v tem primeru imenovali rezultanta (slika 8). Glavni moment lahko predstavimo s parom sil ( , ) z ramo , takrat sile in glavni vektor tvorijo sistem dveh
sile enake nič, ki jih lahko zavržemo. Ostala bo ena sila, ki deluje vzdolž ravne črte, vzporedne z glavno
Slika 8 na vektor in poteka na daljavo
h= iz ravnine, ki jo tvorita vektorja in . Obravnavani primer kaže, da če že od samega začetka izberemo središče redukcije na premici L, potem bi sistem sil takoj pripeljal do rezultante, glavni moment bi bil enak nič. Zdaj bomo dokazali, da če je glavni vektor različen od nič in ni pravokoten na glavni moment, potem lahko takšno točko izberemo kot redukcijsko središče O* da bo glavni moment glede na to točko in glavni vektor na isti ravni črti. Da bi to dokazali, razdelimo moment na dve komponenti - eno usmerjeno vzdolž glavnega vektorja in drugo pravokotno na glavni vektor. Tako se par sil razgradi na dva para s momenti: in , in ravnina prvega para je pravokotna na , potem ravnina drugega para, pravokotna na vektor (sl. 9), vsebuje vektor . Kombinacija para z momentom in silo tvori sistem sil, ki se lahko zmanjša na eno silo (slika 8), ki poteka skozi točko O*. Tako (slika 9), kombinacija glavnega vektorja in glavnega momenta v točki O zmanjšana na silo, ki poteka skozi točko O *, in par s trenutkom, ki je vzporeden s to črto, kar je bilo treba dokazati. Kombinacija sile in para, katerega ravnina je pravokotna na linijo delovanja sile, se imenuje dinamizem (slika 10). Par sil lahko predstavimo z dvema silama ( , ) enake velikosti, ki se nahajata, kot je prikazano na sliki 10. Toda s seštevanjem obeh sil in , dobimo njuno vsoto in preostalo silo , iz katere sledi (slika 10 ), da je kombinacija glavnega vektorja in glavnega momenta v točki O, se lahko reducira na dve nesekajoči sili in .
Oglejmo si nekaj primerov redukcije sistema sil.
1. Ravni sistem sil. Za določenost naj bodo vse sile v ravnini OXY. Potem v najbolj splošnem primeru
Glavni vektor ni nič, glavni moment ni nič, njihov pikčasti produkt je dejansko nič
torej je glavni vektor pravokoten na glavni moment: ravninski sistem sil se reducira na rezultanto.
2. Sistem vzporednih sil. Za določenost naj bodo vse sile vzporedne z osjo OZ. Potem v najbolj splošnem primeru
Tudi tukaj glavni vektor ni enak nič, glavni moment ni enak nič, njihov skalarni produkt pa je enak nič.
zato je v tem primeru glavni vektor pravokoten na glavni moment: sistem vzporednih sil se reducira na rezultanto. V konkretnem primeru, če je enak nič, je glavni vektor sil enak nič, sistem sil pa se reducira na par sil, katerih momentni vektor je v ravnini OXY. Zdaj sistematizirajmo obravnavane primere. Spomnimo se: poljuben prostorski sistem sil, ki deluje na togo telo, je statično enakovreden sili, ki je enaka glavnemu vektorju, ki deluje na poljubno točko telesa (središče redukcije), in paru sil z momentom, ki je enak glavni moment sistema sil glede na določeno središče redukcije.
