1 definicija premice, pravokotne na ravnino. Definicija pravokotnosti premice in ravnine: premica se imenuje pravokotna na ravnino, če je pravokotna na katero koli premico, ki leži v tej ravnini.

Članek razkrije pojem pravokotnosti premice in ravnine, poda definicijo premice in ravnine, grafično ponazori in prikaže oznako pravokotne premice in ravnine. Oblikujmo znak, da je premica pravokotna na ravnino. Razmislimo o pogojih, pod katerimi bosta premica in ravnina pravokotni na dane enačbe v letalu in tridimenzionalni prostor. Vse bo prikazano s primeri.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Premica je pravokotna na ravnino ko je pravokotna na katero koli premico, ki leži v tej ravnini.

Res je, da je ravnina pravokotna na premico, tako kot je premica pravokotna na ravnino.

Pravokotnost je označena z "⊥". Če pogoj določa, da je premica c pravokotna na ravnino γ, ima vnos obliko c ⊥ γ.

Na primer, če je ravna črta pravokotna na ravnino, potem je mogoče narisati samo eno ravno črto, zahvaljujoč kateri se bosta sekali dve sosednji steni prostora. Ravna črta se šteje za pravokotno na ravnino stropa. Vrv, ki se nahaja v telovadnici, se obravnava kot ravni segment, ki je pravokoten na ravnino, v tem primeru na tla.

Če je na ravnino pravokotna premica, velja, da je kot med premico in ravnino pravi, to je enak 90 stopinj.

Pravokotnost premice in ravnine - znak in pogoji pravokotnosti

Če želite najti zaznavanje pravokotnosti, morate uporabiti zadosten pogoj pravokotnost premice in ravnine. Zagotavlja pravokotnost premice in ravnine. Ta pogoj velja za zadosten in se imenuje znak pravokotnosti premice in ravnine.

1. izrek

Da sta premica in ravnina pravokotni, zadostuje, da je premica pravokotna na dve sekajoči se premici, ki ležita v tej ravnini.

Podroben dokaz je podan v učbeniku geometrije za 10. - 11. razred. Izrek se uporablja za reševanje nalog, kjer je treba ugotoviti pravokotnost premice in ravnine.

2. izrek

Če je vsaj ena od premic vzporedna z ravnino, se šteje, da je tudi druga premica pravokotna na to ravnino.

O znamenju pravokotnosti premice in ravnine velja že v šoli, ko je treba reševati naloge v geometriji. Oglejmo si podrobneje še en potreben in zadosten pogoj, pod katerim bosta ravna črta in ravnina pravokotni.

Izrek 3

Da je premica a pravokotna na ravnino γ, je nujen in zadosten pogoj kolinearnost smernega vektorja premice a in normalnega vektorja ravnine γ.

Dokaz

Če je a → = (a x, a y, a z) vektor premice a, če je n → = (n x, n y, n z) normalni vektor ravnine γ, je za izpolnitev pravokotnosti potrebno, da sta premica a in ravnini γ pripada pogoj kolinearnosti vektorjev a → = (a x , a y , a z) in n → = (n x , n y , n z) . Od tod dobimo, da a → = t · n → ⇔ a x = t · n x a y = t · n y a z = t · n z, t je realno število.

Ta dokaz temelji na nujnem in zadostnem pogoju pravokotnosti premice in ravnine, smernega vektorja premice in normalnega vektorja ravnine.

Ta pogoj je uporaben za dokazovanje pravokotnosti premice in ravnine, saj je dovolj najti koordinate usmerjevalnega vektorja premice in koordinate normalnega vektorja v tridimenzionalnem prostoru in nato izvesti izračune. Uporablja se za primere, ko je premica definirana z enačbo premice v prostoru, ravnina pa z enačbo ravnine neke vrste.

Primer 1

Dokažite, da je dana premica x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 pravokotna na ravnino x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z.

rešitev

Imenovalci kanonične enačbe so koordinate smernega vektorja te premice. Od tu imamo, da je a → = (2 - 1, 2, 2 - 7) smerni vektor premice x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7.

IN splošna enačba ravnini so koeficienti pred spremenljivkami x, y, z koordinate vektorja normale dane ravnine. Iz tega sledi, da je n → = (1, 2 (2 + 1) , - (5 + 6 2)) normalni vektor ravnine x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z - 4 = 0

Treba je preveriti, ali je pogoj izpolnjen. To razumemo

2 - 1 = t 1 2 = t 2 (2 + 1) 2 = t (- (5 + 6 2)) ⇔ t = 2 - 1, potem sta vektorja a → in n → povezana z izrazom a → = ( 2 - 1) · n → .

To je kolinearnost vektorjev. sledi, da je premica x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 pravokotna na ravnino x + 2 (2 + 1) y - (5 + 6 2) z - 4 = 0.

odgovor: premica in ravnina sta pravokotni.

Primer 2

Ugotovite, ali sta premica y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 in ravnina x 1 2 + z - 1 2 = 1 pravokotni.

rešitev

Za odgovor na vprašanje pravokotnosti je potrebno, da je izpolnjen potreben in zadosten pogoj, to je, da morate najprej najti vektor dane premice in normalni vektor ravnine.

Iz premice y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 je razvidno, da je smerni vektor a → zmnožek normalnih vektorjev ravnine y - 1 = 0 in x + 4 z - 2 = 0 .

Od tod dobimo, da a → = i → j → k → 0 1 0 1 0 4 = 4 · i → - k → .

Vektorske koordinate a → = (4 , 0 , - 1) .

Enačba ravnine v segmentih x 1 2 + z - 1 2 = 1 je enakovreden enačbi ravnina 2 x - 2 z - 1 = 0, katere normalni vektor je n → = (2, 0, - 2).

Preveriti je treba kolinearnost vektorjev a → = (4, 0, - 1) in n → = (2, 0, - 2).

Če želite to narediti, napišimo:

4 = t 2 0 = t 0 - 1 = t (- 2) ⇔ t = 2 t ∈ R ⇔ t ∈ ∅ t = 1 2

Iz tega sklepamo, da usmerjevalni vektor premice ni kolinearen normalnemu vektorju ravnine. To pomeni, da je y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 ravna črta, ki ni pravokotna na ravnino x 1 2 + z - 1 2.

odgovor: premica in ravnina nista pravokotni.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Pravokotnost premice in ravnine.

Premica je pravokotna na ravnino, če je pravokotna na dve sekajoči se premici, ki ležita v tej ravnini (slika 6.3).

Če je premica pravokotna na ravnino, bo pravokotna na katero koli premico, ki leži v tej ravnini. Iz množice teh ravnin se pri konstruiranju pravokotnic na ravnino izbereta horizontala in fronta ravnine. V tem primeru z uporabo lastnosti projekcije pravi kot pri kompleksni risbi je čelna projekcija navpičnice narisana pod kotom 90 0 na čelno projekcijo fronte, vodoravna projekcija navpičnice pa narisana pod kotom 90° na vodoravno projekcijo horizontale.

Oglejmo si algoritem za konstrukcijo pravokotnice n na ravnino P(D ABC) (tabela 6.6).

Tabela 6.6

Algoritem za izdelavo pravokotnice na ravnino

n 2 ^f 2 ;

f 2 P 2 (DA 2 B 2 C 2)

§ 6. Pravokotnost dveh ravnin .

Dve ravnini bosta pravokotni druga na drugo, če ena od njiju poteka skozi premico, pravokotno na drugo ravnino (slika 6.4). AB b, torej AB pripada ravnini b in AB ^ ravnini a. Ravnina b^ravnina a Oglejmo si ta položaj na kompleksni risbi (tabela 6.7), kjer bo prikazana konstrukcija ravnine P, ki poteka skozi ravno črto l in

pravokotno na ravnino

, ki ga določa trikotnik Q(D ABC) (tabela 6.7).

Sklepi

a) nimajo skupnih točk;

b) imajo vsaj eno skupno točko;

c) imajo veliko skupnih točk.

Odvisno od tega lahko premica pripada ravnini, je z njo vzporedna, seka z dano ravnino in kot poseben primer, naj bo pravokoten nanj.

2. Dve ravnini v prostoru sta lahko med seboj vzporedni, se sekata in kot poseben primer medsebojno pravokotni.

3. Dve sekajoči se ravnini imata eno skupno premico – presečišče.

5. Če želite zgraditi pravokotno na ravnino, morate uporabiti lastnosti projiciranja pravega kota.

Opredelitev. Premica se imenuje pravokotna na ravnino, če je pravokotna na katero koli premico v tej ravnini.

Brez dokazov predstavljamo znano šolski tečaj stereometrični izreki, potrebni za reševanje kasnejših metričnih problemov.

1. Znak pravokotnosti premice in ravnine: če je premica pravokotna na dve sekajoči se premici, ki ležita v ravnini, potem je pravokotna na to ravnino.

2. Skozi poljubno točko v prostoru poteka ena sama premica, pravokotna na dano ravnino.

3. Skozi poljubno točko prostora poteka ena sama ravnina, pravokotna na dano premico.

Če želite zgraditi ravno črto t "E, pravokotno na ravnino Σ, je treba na podlagi znaka pravokotnosti narisati dve sekajoči se ravni črti h in f v ravnini in nato zgraditi ravno črto t glede na pogoje: t ^ h, t ^ f (slika 7.3). V splošnem primeru so premice t in h, t in f pari poševnih premic.

Naloga. Dana je ravnina Σ(ΔАВС) in točka E.

Konstruirajte ravno črto t v skladu s pogoji: t " E, t ^ Σ (slika 7.4).

Rešitev problema je lahko naslednja:

1) ravni črti h in f sta zgrajeni v ravnini Σ, kjer je h 2 // x, f 1 // x;

2) konstruiramo projekciji t 1 in t 2 želene črte t, kjer je t 2 " E 2, t 2 ^ f 2; t 1 " E 1, t 1 ^ h 1. Posledično t 1, t 2 – rešitev problema. Neposredna t križan s f in h.

Izbira nivojskih črt h in f kot sekajočih se premic v ravnini Σ narekujejo zgornji pogoji izreka o projekciji pravega kota in enostavnost konstrukcije na CN. Če je točka E v ravnini Σ, ostane zaporedje konstrukcij enako.

Naloga. Glede na premico t in točko E. Konstruirajte ravnino, ki poteka skozi točko E in je pravokotna na premico t (slika 7.5).

Rešitev problema temelji na konstrukciji dveh nivojskih črt h(h 1 ,h 2) in f(f 1 ,f 2), ki poteka skozi točko E: h 2 "E 2, h 2 // x, h 1 "E 1, h 1 ^ t 1; f 1 " E 1 , f 1 // x, f 2 " E 2 , f 2 ^ t 2 . Ravnina (h, f) je rešitev problema.

GPOU "Usinsk Polytechnic College"

Odprta lekcija v geometriji

Tema: "Pravokotnost premice in ravnine."

Izpolnila: učiteljica matematike Melnikova E.A.

Usinsk, 2016

Vrsta lekcije: Lekcija-seminar

Cilji lekcija :

Povzemite, utrdite in sistematizirajte znanje učencev o tej temi, sposobnost uporabe tega znanja pri reševanju problemov; pokazati praktični pomen preučenega materiala; preučiti povezavo med razmerji vzporednosti in pravokotnosti v prostoru; kažejo medpredmetne povezave.

Gojiti kulturo ustnega in pisanje, prispevajo k vzgoji estetskega okusa, vzbujajo zanimanje za predmet matematike.

Razviti prostorsko in logično razmišljanje.

Oprema za lekcijo: kartice z imeni Teoretiki, Praktiki, Raziskovalci, skupinske naloge, PC, projektor.

Načrt lekcije.

I. Študentska organizacija.

Učencem ponudimo kartončke z imeni Teoretiki, Praktiki, Raziskovalci in jih razdelimo v 3 skupine.

II. Določanje ciljev in ciljev lekcije.

To pravijo matematika-naravoslovje nezanimivo, da je matematika suhoparna veda, da se o njej lahko pogovarjamo samo v učilnici matematike, pri pouku. Ne, življenje dokazuje nasprotno: matematika je povsod okoli nas. Poslušajte, kaj o tem piše Roman Bukharaev v svoji pesmi »Geometrija zelišč«.

Neuresničeni matematik, potepuh,
Poglej okoli sebe, stokrat presenečen:
V travah je rez bodike - peterokotnik,
In prečni prerez origana je kvadrat.
Vse na svetu se bo zdelo novo
Pod ogljem, katerega vrh je pokrit s snegom:
Povodje je na dnu trikotno.
Na cvetočem alpskem travniku!
Kje je krog?
V bližini igle rose.
Kjer je nebeški travnik skalnat,
Vidim breze, ki se igrajo z vetrom
Trikotno-rombični list.

Se pa strinjam, da je matematika eksaktna veda, ki zahteva jasne definicije in dokaze dejstev. In tako zdaj predlagam, da preidemo od besedila k praksi.

Veliko ste študirali pomembna tema geometrija "Pravokotnost premice in ravnine." Kot rezultat preučevanja te teme bi morali:

poznati definicije pravokotnic in premice, pravokotne na ravnino.

znati oblikovati in dokazati izreke (direktne in inverzne) o vzporednih premicah, premicah, pravokotnih na ravnino, znamenje pravokotnosti premice in ravnine, izrek o premicah, pravokotnih na ravnino.

Rešite probleme, kot so 119, 121, 126, 128, 131 (študija "Geometry 10-11", avtor L.S. Atanasyan)

Učitelj predstavi cilje lekcije.

III. Utrjevanje znanja in spretnosti.

Med poukom bodo 3 skupine: "Teoretiki", "Praktiki", "Raziskovalci".

Učitelj skupinam razdeli na listih pripravljeno nalogo. Označuje vrstni red ocenjevanja.

Pred začetkom dela skupin se izvede frontalno preverjanje pripravljenosti.

Kakšna bi lahko bila relativni položaj 2 ravni črti v prostoru? (Ravne črte se lahko sekajo, križajo in so vzporedne.)

Kateri dve premici imenujemo vzporedni? (Vzporedne črte imenujemo ravne črte , ki ležijo v enemravnine in sovpadajo ali se ne sekajo.)

Kateri dve premici se imenujeta sekajoči se? ( Premice se imenujejo sekajoče se, če ena od premic leži v ravnini, druga pa v tej ravnini.ravnina seka v točki, ki ne pripada prvi premici.)

Če je kot med dvema ravnima črtama 900, kako se imenujeta? (Pravokotne črte)

Katera premica se imenuje pravokotna na ravnino? (Premica se imenuje pravokotna na ravnino, če je pravokotna na katero koli premico, ki leži v tej ravnini.

Ali trditev drži:

a) Vsaka premica, pravokotna na ravnino, seka to ravnino? (desno)
b) Vsaka premica, ki seka ravnino, je pravokotna na to ravnino? (napačno)
c) Če premica ni pravokotna na dano ravnino, potem te ravnine ne seka? (napačno)

Premica a je vzporedna s premico b in ne seka ravnine? Ali je lahko premica B pravokotna na ravnino? Svoj odgovor utemelji. (ne more biti, ker če je premica b pravokotna na ravnino, je tudi premica a pravokotna na ravnino, kar je nemogoče, saj po pogoju premica a ne seka ravnine, zato je vzporedna na letalo)

1. Naloge za skupino »Teoretiki«.

Dokažite lemo o pravokotnosti dveh vzporednih premic na tretjo premico.

Lema. Če je ena od dveh vzporednih premic pravokotna na tretjo premico, potem je druga premica pravokotna na to premico.

Podano: a ‖ b, a ⊥ c

Dokaži: b ⊥ c

Dokaz:

Skozi točko M v prostoru, ki ne leži na teh premicah, narišemo premici MA in MC, vzporedni s premicama a oziroma c. Ker je a ⊥ c, potem je ∠ AMC = 90o.

Po pogoju je b ‖ a, po konstrukciji pa a ‖ MA, torej b ‖ MA.

Torej sta premici b in c vzporedni premici MA oziroma MC, kot med njima je 90°, tj. b ‖ MA, c ‖ MC, kot med MA in MC je 90°

To pomeni, da je tudi kot med premicama b in c enak 90°, torej b ⊥ c. Lema je dokazana.

Dokažite izreke (direktne in obratne) o vzporednih premicah, premicah, pravokotnih na ravnino.

Izrek:(ravna črta) Če je ena od dveh vzporednih premic pravokotna na ravnino, potem je druga premica pravokotna na to ravnino.

Na tablo in v zvezke zapišite:

D ano: a ‖ a1, a ⊥ α

Dokaži, da je a1 ⊥ α

Dokaz:

Narišimo neko premico x v ravnini α, tj. x ∊ α. Ker je a ⊥ α, potem je a ⊥ x.

Po lemi o pravokotnosti dveh vzporednih premic na tretjo velja a1 ⊥ x.

Tako je premica a1 pravokotna na poljubno premico, ki leži v ravnini α, to je a1 ⊥ α. Izrek je dokazan.

Izrek:(obratno) Če sta dve premici pravokotni na ravnino, potem sta vzporedni.

Podano: a ⊥ α, b ⊥ α

Dokaži, da je a ‖ b

Dokaz:

Skozi točko M premice b narišemo premico b1 vzporedno s premico a.

M ∊ b, M ∊ b1, b1 ‖ a. Po prejšnjem izreku je b1 ⊥ α.

Dokažimo, da premica b1 sovpada s premico b. Tako bomo dokazali, da je a ‖ b. Predpostavimo, da premici b1 in b ne sovpadata. Nato potekata v ravnini β, ki vsebuje premici b in b1, dve premici skozi točko M, pravokotno na premico c, po kateri se sekata ravnini α in β. A to je nemogoče, torej a ‖ b, tj. b ∊ β, b1 ∊β, α β=c (nemogoče) → a ‖ b.

Ustvari in analiziraj dokaz znaka pravokotnosti premice in ravnine.

Znak pravokotnosti premice in ravnine:Če je premica pravokotna na dve sekajoči se premici, ki ležita v ravnini, potem je pravokotna na samo ravnino

Ob koncu skupine “Teoretiki” učitelj preda besedo dijaku s zgodovinske informacije"Visenje ravne črte."

Za izvedbo dolgih ravnih odsekov (pri polaganju avtoceste oz železnica, daljnovodi itd.) se uporablja metoda, imenovana ravno obešanje, ki vključuje uporabo vseh približno 2 m dolgih drogov, ki so na enem koncu koničasti, tako da jih je mogoče zatakniti v tla. Če je treba narisati ravno črto med dvema točkama A in B, katerih položaj je podan, potem se na teh točkah najprej postavijo mejniki; potem se med njima vgradi vmesni drog C, tako da pola A in C pokrivata pol B. Potrebno je, da vsi drogovi stojijo navpično. Pravilna navpična smer se preverja z navpično črto. Vodilna vrvica je vrvica, na koncu katere je pritrjena utež. Zdi se, da je v tem preprostem postopku za obešanje ravne črte vse jasno. Toda tudi tu je veliko vprašanj, o katerih je treba razmišljati, odgovore nanje pa ponuja študij našega predmeta in drugih disciplin. Prvič, zakaj vse navpične črte sveta gledajo v središče Zemlje in z vidika geometrije določajo ravno črto, pravokotno na njeno površino? Drugič, pol mora biti vzporeden z navpično črto, nato pa bo tudi pravokoten na površino Zemlje. Tako so vsi mejniki pravokotni na površino Zemlje in torej vzporedni drug z drugim.

Ta metoda se imenuje obešanje ravne črte na tla. Beseda "visi" je izpeljanka besede "mejnik".

2. Skupinske naloge "Praksa".

Pokažite uporabo teorije pri reševanju problemov št. 126, 127, 128,131 (str. 42 lekcije “Geometrija 10-11 avtor L.S. Atanasyan)

3. Skupinske naloge "Raziskovalci".

Preučite odnos med razmerji vzporednosti in pravokotnosti v prostoru. Preverite s tabelo.

Dana je premica a, pravokotna na ravnino α, in premica b. Označite relativni položaj premic a in b:

Če je b vzporeden, potem......

Če je b pravokoten, potem ......

Če je b vzporeden ali pripada , potem.....

Če je b pravokoten, potem ......

Dana je premica a, pravokotna na ravnino α, in ravnina.

Če vzporedno, potem.....

Če je pravokotno, potem ......

Če je a vzporeden ali a pripada , potem.....

Če je pravokotno, potem ......

Navedite primere okolja okoli nas, ki ponazarjajo pravokotnost premice in ravnine.

Na koncu skupinskega dela učenci podajo primere umeščanja črt v fizikalne probleme (interdisciplinarna komunikacija)

Razmislite o moči pritiska. Kako je režiran? (Nasprotno na ravnino površine).

Telo na vodoravni površini. Kako na poljubno telo deluje sila gravitacije mg? Kakšna je njegova smer?

Telo je potopljeno v tekočino. Nanj deluje vzgonska sila. Kakšna je njegova smer?

IV. Povzetek lekcije. Ocenjevanje.

V. domača naloga.

Str.15 - 16, vprašanja 1, 2 (str. 57), št. 116, 118.