Simplifique expressões trigonométricas online. Transformações idênticas de expressões trigonométricas

EM transformações de identidade expressões trigonométricas podem ser utilizadas as seguintes técnicas algébricas: adição e subtração de termos idênticos; colocar o fator comum fora dos colchetes; multiplicação e divisão pela mesma quantidade; aplicação de fórmulas de multiplicação abreviadas; selecionando um quadrado completo; fatoração de um trinômio quadrático; introdução de novas variáveis ​​para simplificar as transformações.

Ao converter expressões trigonométricas que contêm frações, você pode usar as propriedades de proporção, reduzindo frações ou reduzindo frações a um denominador comum. Além disso, pode-se utilizar a seleção da parte inteira da fração, multiplicando o numerador e o denominador da fração pelo mesmo valor, e também, se possível, levar em consideração a homogeneidade do numerador ou denominador. Se necessário, você pode representar uma fração como a soma ou diferença de várias frações mais simples.

Além disso, ao aplicar todos os métodos necessários para a conversão de expressões trigonométricas, é necessário levar constantemente em consideração a faixa de valores permitidos das expressões que estão sendo convertidas.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1.

Calcule A = (sen (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos (2x – 7π /2) +
+ pecado (3π/2 – x) pecado (2x –5π/2)) 2

Solução.

Das fórmulas de redução segue-se:

sin (2x – π) = -sen 2x; cos (3π – x) = -cos x;

sen (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = sen x; cos (2x – 7π/2) = -sen 2x;

sen (3π/2 – x) = -cos x; sen (2x – 5π/2) = -cos 2x.

Daí, em virtude das fórmulas de adição de argumentos e da identidade trigonométrica principal, obtemos

A = (sen 2x cos x + cos 2x sen x) 2 + (-sen x sen 2x + cos x cos 2x) 2 = sen 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sen 2 3x + cos 2 3x = 1

Resposta 1.

Exemplo 2.

Converta a expressão M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ em um produto.

Solução.

Das fórmulas para adicionar argumentos e fórmulas para converter a soma das funções trigonométricas em um produto após o agrupamento apropriado, temos

M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α +β)/2) cos ((α + γ)/2).

Resposta: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

Exemplo 3.

Mostre que a expressão A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) leva um para todo x de R e o mesmo significado. Encontre este valor.

Solução.

Aqui estão duas maneiras de resolver esse problema. Aplicando o primeiro método, isolando um quadrado completo e usando as fórmulas trigonométricas básicas correspondentes, obtemos

A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sen 2 x sen 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sen 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Resolvendo o problema da segunda forma, considere A como uma função de x de R e calcule sua derivada. Depois das transformações obtemos

А´ = -2cos (x + π/6) sen (x + π/6) + (sen (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sen (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) sen (x – π/6) =

Sen 2(x + π/6) + sen ((x + π/6) + (x – π/6)) – sen 2(x – π/6) =

Pecado 2x – (pecado (2x + π/3) + pecado (2x – π/3)) =

Sen 2x – 2sen 2x · cos π/3 = sen 2x – sen 2x ≡ 0.

Portanto, devido ao critério de constância de uma função diferenciável em um intervalo, concluímos que

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Resposta: A = 3/4 para x € R.

As principais técnicas para provar identidades trigonométricas são:

A) redução do lado esquerdo da identidade para a direita através de transformações apropriadas;
b) redução do lado direito da identidade para a esquerda;
V) redução dos lados direito e esquerdo da identidade à mesma forma;
G) reduzindo a zero a diferença entre os lados esquerdo e direito da identidade que está sendo provada.

Exemplo 4.

Verifique se cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

Solução.

Transformando o lado direito desta identidade usando as fórmulas trigonométricas correspondentes, temos

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

O lado direito da identidade é reduzido à esquerda.

Exemplo 5.

Prove que sen 2 α + sen 2 β + sen 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2 se α, β, γ são os ângulos internos de algum triângulo.

Solução.

Considerando que α, β, γ são os ângulos internos de algum triângulo, obtemos que

α + β + γ = π e, portanto, γ = π – α – β.

sen 2 α + sen 2 β + sen 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sen 2 α + sen 2 β + sen 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sen 2 α + sen 2 β + sen 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

Sen 2 α + sen 2 β + (sen 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

A igualdade original foi provada.

Exemplo 6.

Prove que para que um dos ângulos α, β, γ do triângulo seja igual a 60° é necessário e suficiente que sen 3α + sen 3β + sen 3γ = 0.

Solução.

A condição deste problema envolve provar a necessidade e a suficiência.

Primeiro vamos provar necessidade.

Pode-se mostrar que

sen 3α + sen 3β + sen 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Portanto, levando em consideração que cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, obtemos que se um dos ângulos α, β ou γ for igual a 60°, então

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 e, portanto, sen 3α + sen 3β + sen 3γ = 0.

Vamos provar agora adequação a condição especificada.

Se sen 3α + sen 3β + sen 3γ = 0, então cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 e, portanto,

ou cos (3α/2) = 0, ou cos (3β/2) = 0, ou cos (3γ/2) = 0.

Por isso,

ou 3α/2 = π/2 + πk, ou seja, α = π/3 + 2πk/3,

ou 3β/2 = π/2 + πk, ou seja β = π/3 + 2πk/3,

ou 3γ/2 = π/2 + πk,

aqueles. γ = π/3 + 2πk/3, onde k ϵ Z.

Do fato de que α, β, γ são os ângulos de um triângulo, temos

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Portanto, para α = π/3 + 2πk/3 ou β = π/3 + 2πk/3 ou

γ = π/3 + 2πk/3 de todos kϵZ apenas k = 0 é adequado.

Segue-se que α = π/3 = 60°, ou β = π/3 = 60°, ou γ = π/3 = 60°.

A afirmação foi comprovada.

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Seções: Matemática

Aula: 11

Lição 1

Assunto: 11º ano (preparação para o Exame Estadual Unificado)

Simplificando expressões trigonométricas.

Resolvendo equações trigonométricas simples. (2 horas)

Metas:

• Sistematizar, generalizar, ampliar os conhecimentos e habilidades dos alunos relacionados ao uso de fórmulas trigonométricas e à resolução de equações trigonométricas simples.

Equipamento para a aula:

Estrutura da aula:

1. Momento organizacional
2. Testando em laptops. A discussão dos resultados.
3. Simplificando expressões trigonométricas
4. Resolvendo equações trigonométricas simples
5. Trabalho independente.
6. Resumo da lição. Explicação da tarefa de casa.

1. Momento organizacional. (2 minutos.)

O professor cumprimenta o público, anuncia o tema da aula, lembra que anteriormente lhes foi dada a tarefa de repetir fórmulas de trigonometria e prepara os alunos para os testes.

2. Teste. (15 min + 3 min de discussão)

O objetivo é testar o conhecimento de fórmulas trigonométricas e a capacidade de aplicá-las. Cada aluno tem um laptop em sua mesa com uma versão do teste.

Pode haver inúmeras opções, darei um exemplo de uma delas:

Eu opção.

Simplifique as expressões:

a) identidades trigonométricas básicas

1. sen 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) fórmulas de adição

3. sen5x - sen3x;

c) converter um produto em uma soma

6. 2sin8y cos3y;

d) fórmulas de ângulo duplo

7. 2sin5x cos5x;

e) fórmulas para meios ângulos

f) fórmulas de ângulo triplo

g) substituição universal

h) redução de grau

16. cos 2 (3x/7);

Os alunos veem suas respostas no laptop ao lado de cada fórmula.

O trabalho é verificado instantaneamente pelo computador. Os resultados são exibidos em uma tela grande para que todos possam ver.

Além disso, após a conclusão do trabalho, as respostas corretas são mostradas nos laptops dos alunos. Cada aluno vê onde cometeu o erro e quais fórmulas precisa repetir.

3. Simplificação de expressões trigonométricas. (25 minutos)

O objetivo é repetir, praticar e consolidar o uso de fórmulas básicas de trigonometria. Resolvendo problemas B7 do Exame Estadual Unificado.

Nesta fase, é aconselhável dividir a turma em grupos de alunos fortes (trabalhar de forma independente com testes posteriores) e alunos fracos que trabalham com o professor.

Tarefa para alunos fortes (preparada com antecedência em formato impresso). A ênfase principal está nas fórmulas de redução e duplo ângulo, de acordo com o Exame Estadual Unificado de 2011.

Simplifique expressões (para alunos fortes):

Ao mesmo tempo, o professor trabalha com alunos fracos, discutindo e resolvendo tarefas na tela sob ditado dos alunos.

Calcular:

5) sen(270º - α) + cos (270º + α)

6)

Simplificar:

Era hora de discutir os resultados do trabalho do grupo forte.

As respostas aparecem na tela e também, por meio de uma câmera de vídeo, são exibidos os trabalhos de 5 alunos diferentes (uma tarefa para cada).

O grupo fraco vê a condição e o método de solução. Discussão e análise estão em andamento. Com a utilização de meios técnicos isso acontece rapidamente.

4. Resolver equações trigonométricas simples. (30 minutos.)

O objetivo é repetir, sistematizar e generalizar a solução das equações trigonométricas mais simples e anotar suas raízes. Solução do problema B3.

Qualquer equação trigonométrica, não importa como a resolvamos, leva à mais simples.

Ao realizar a tarefa, os alunos deverão prestar atenção à escrita das raízes das equações de casos especiais e de forma geral e à seleção das raízes da última equação.

Resolva equações:

Escreva a menor raiz positiva como sua resposta.

5. Trabalho independente (10 min.)

O objetivo é testar as competências adquiridas, identificar problemas, erros e formas de eliminá-los.

O trabalho multinível é oferecido à escolha do aluno.

Opção "3"

1) Encontre o valor da expressão

2) Simplifique a expressão 1 - sen 2 3α - cos 2 3α

3) Resolva a equação

Opção para "4"

1) Encontre o valor da expressão

2) Resolva a equação Escreva a menor raiz positiva em sua resposta.

Opção "5"

1) Encontre tanα se

2) Encontre a raiz da equação Escreva a menor raiz positiva como sua resposta.

6. Resumo da lição (5 min.)

O professor resume o fato de que durante a aula repetiram e reforçaram fórmulas trigonométricas e resolveram as equações trigonométricas mais simples.

O dever de casa é atribuído (preparado com antecedência em formato impresso) com verificação aleatória na próxima aula.

Resolva equações:

9)

10) Na sua resposta, indique a menor raiz positiva.

Lição 2

Assunto: 11º ano (preparação para o Exame Estadual Unificado)

Métodos para resolver equações trigonométricas. Seleção de raiz. (2 horas)

Metas:

• Generalizar e sistematizar conhecimentos sobre resolução de equações trigonométricas de vários tipos.
• Promover o desenvolvimento do pensamento matemático dos alunos, a capacidade de observar, comparar, generalizar e classificar.
• Incentivar os alunos a superar dificuldades no processo de atividade mental, ao autocontrole e à introspecção de suas atividades.

Equipamento para a aula: KRMu, laptops para cada aluno.

Estrutura da aula:

1. Momento organizacional
2. Discussão sobre d/z e self. trabalho da última lição
3. Revisão dos métodos de resolução de equações trigonométricas.
4. Resolvendo equações trigonométricas
5. Seleção de raízes em equações trigonométricas.
6. Trabalho independente.
7. Resumo da lição. Trabalho de casa.

1. Momento organizacional (2 min.)

O professor cumprimenta o público, anuncia o tema da aula e o plano de trabalho.

2. a) Análise do trabalho de casa (5 min.)

O objetivo é verificar a execução. Um trabalho é exibido na tela por meio de uma câmera de vídeo, os demais são coletados seletivamente para verificação do professor.

b) Análise de trabalho independente (3 min.)

O objetivo é analisar os erros e indicar caminhos para superá-los.

As respostas e soluções estão na tela; os alunos têm seus trabalhos distribuídos antecipadamente. A análise prossegue rapidamente.

3. Revisão dos métodos de resolução de equações trigonométricas (5 min.)

O objetivo é relembrar métodos para resolver equações trigonométricas.

Pergunte aos alunos quais métodos de resolução de equações trigonométricas eles conhecem. Enfatize que existem os chamados métodos básicos (frequentemente usados):

• substituição variável,
• fatoração,
• equações homogêneas,

e existem métodos aplicados:

• usar as fórmulas para converter uma soma em um produto e um produto em uma soma;
• de acordo com as fórmulas para redução do grau,
• substituição trigonométrica universal
• introdução de um ângulo auxiliar,
• multiplicação por alguma função trigonométrica.

Também deve ser lembrado que uma equação pode ser resolvida de diferentes maneiras.

4. Resolvendo equações trigonométricas (30 min.)

O objetivo é generalizar e consolidar conhecimentos e habilidades sobre o tema, para se preparar para a solução C1 do Exame Estadual Unificado.

Considero aconselhável resolver equações para cada método em conjunto com os alunos.

O aluno dita a solução, o professor anota no tablet e todo o processo é exibido na tela. Isso permitirá que você recupere de forma rápida e eficaz o material abordado anteriormente em sua memória.

Resolva equações:

1) substituindo a variável 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) fatoração 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) equações homogêneas sen 2 x + 3cos 2 x - 2sen2x = 0

4) convertendo a soma em um produto cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) convertendo o produto na soma 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) redução do grau sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) substituição trigonométrica universal sinx + 5cosx + 5 = 0.

Ao resolver esta equação, deve-se notar que a utilização deste método leva a um estreitamento do intervalo de definição, uma vez que seno e cosseno são substituídos por tg(x/2). Portanto, antes de escrever a resposta, é necessário verificar se os números do conjunto π + 2πn, n Z são cavalos desta equação.

8) introdução de um ângulo auxiliar √3sinx + cosx - √2 = 0

9) multiplicação por alguma função trigonométrica cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Seleção de raízes de equações trigonométricas (20 min.)

Como em condições de acirrada competição no ingresso nas universidades, resolver apenas a primeira parte do exame não é suficiente, a maioria dos alunos deve estar atenta às tarefas da segunda parte (C1, C2, C3).

Portanto, o objetivo desta etapa da aula é relembrar o material previamente estudado e se preparar para resolver o problema C1 do Exame Estadual Unificado 2011.

Existem equações trigonométricas nas quais você precisa selecionar raízes ao escrever a resposta. Isso se deve a algumas restrições, por exemplo: o denominador da fração não é igual a zero, a expressão sob a raiz par é não negativa, a expressão sob o sinal do logaritmo é positiva, etc.

Tais equações são consideradas equações de maior complexidade e na versão do Exame de Estado Unificado encontram-se na segunda parte, nomeadamente C1.

Resolva a equação:

Uma fração é igual a zero se então usando o círculo unitário, selecionaremos as raízes (ver Figura 1)

Imagem 1.

obtemos x = π + 2πn, n Z

Resposta: π + 2πn, n Z

Na tela, a seleção das raízes é mostrada em um círculo em uma imagem colorida.

O produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero, e o arco não perde o significado. Então

Usando o círculo unitário, selecionamos as raízes (ver Figura 2)

A videoaula “Simplificando Expressões Trigonométricas” foi desenvolvida para desenvolver as habilidades dos alunos na resolução de problemas trigonométricos usando identidades trigonométricas básicas. Durante a videoaula, são discutidos tipos de identidades trigonométricas e exemplos de resolução de problemas utilizando-as. Ao utilizar recursos visuais, é mais fácil para o professor atingir os objetivos da aula. A apresentação vívida do material ajuda a lembrar pontos importantes. A utilização de efeitos de animação e narração permite substituir completamente o professor na fase de explicação da matéria. Assim, ao utilizar esse auxílio visual nas aulas de matemática, o professor pode aumentar a eficácia do ensino.

No início da videoaula é anunciado o seu tema. Depois recordamos as identidades trigonométricas estudadas anteriormente. A tela exibe as igualdades sen 2 t+cos 2 t=1, tg t=sen t/cos t, onde t≠π/2+πk para kϵZ, ctg t=cos t/sin t, correto para t≠πk, onde kϵZ, tg t· ctg t=1, para t≠πk/2, onde kϵZ, chamadas de identidades trigonométricas básicas. Nota-se que essas identidades são frequentemente utilizadas na resolução de problemas onde é necessário provar a igualdade ou simplificar uma expressão.

Abaixo consideramos exemplos da aplicação dessas identidades na resolução de problemas. Em primeiro lugar, propõe-se considerar a resolução de problemas de simplificação de expressões. No exemplo 1, é necessário simplificar a expressão cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Para resolver o exemplo, primeiro retire o fator comum cos 2 t entre colchetes. Como resultado desta transformação entre parênteses, obtém-se a expressão 1- cos 2 t, cujo valor da identidade principal da trigonometria é igual a sen 2 t. Depois de transformar a expressão, é óbvio que mais um fator comum sen 2 t pode ser retirado dos colchetes, após o qual a expressão assume a forma sen 2 t(sen 2 t+cos 2 t). Da mesma identidade básica derivamos o valor da expressão entre colchetes igual a 1. Como resultado da simplificação, obtemos cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

No exemplo 2, a expressão custo/(1- sint)+ custo/(1+ sint) precisa ser simplificada. Como os numeradores de ambas as frações contêm a expressão custo, ela pode ser retirada dos colchetes como um fator comum. Em seguida, as frações entre colchetes são reduzidas a um denominador comum multiplicando (1-sint)(1+ sint). Depois de trazer termos semelhantes, o numerador permanece 2, e o denominador 1 - sen 2 t. No lado direito da tela, a identidade trigonométrica básica sen 2 t+cos 2 t=1 é recuperada. Usando-o, encontramos o denominador da fração cos 2 t. Após a redução da fração, obtemos uma forma simplificada da expressão custo/(1- sint)+ custo/(1+ sint)=2/custo.

A seguir, consideramos exemplos de provas de identidades que utilizam o conhecimento adquirido sobre as identidades básicas da trigonometria. No exemplo 3, é necessário comprovar a identidade (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. O lado direito da tela exibe três identidades que serão necessárias para a prova - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t e tg t=sin t/cos t com restrições. Para comprovar a identidade, primeiro abrem-se os colchetes, após o que se forma um produto que reflete a expressão da identidade trigonométrica principal tg t·ctg t=1. Então, de acordo com a identidade da definição de cotangente, ctg 2 t é transformado. Como resultado das transformações, obtém-se a expressão 1-cos 2 t. Usando a identidade principal, encontramos o significado da expressão. Assim, ficou provado que (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

No exemplo 4, você precisa encontrar o valor da expressão tg 2 t+ctg 2 t se tg t+ctg t=6. Para calcular a expressão, primeiro eleve ao quadrado os lados direito e esquerdo da igualdade (tg t+ctg t) 2 =6 2. A fórmula de multiplicação abreviada é recuperada no lado direito da tela. Após abrir os colchetes do lado esquerdo da expressão, forma-se a soma tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, para transformá-la pode-se aplicar uma das identidades trigonométricas tg t·ctg t=1 , cuja forma é recuperada no lado direito da tela. Após a transformação, obtém-se a igualdade tg 2 t+ctg 2 t=34. O lado esquerdo da igualdade coincide com a condição do problema, então a resposta é 34. O problema está resolvido.

A videoaula “Simplificação de expressões trigonométricas” é recomendada para uso em uma aula tradicional de matemática escolar. O material também será útil para professores que oferecem ensino a distância. Com o objetivo de desenvolver competências na resolução de problemas trigonométricos.

DECODIFICAÇÃO DE TEXTO:

"Simplificação de expressões trigonométricas."

Igualdades

1) sen 2 t + cos 2 t = 1 (seno quadrado te mais cosseno quadrado te é igual a um)

2)tgt =, para t ≠ + πk, kϵZ (tangente te é igual à razão entre seno te e cosseno te com te diferente de pi por dois mais pi ka, ka pertence a zet)

3)ctgt = , para t ≠ πk, kϵZ (cotangente te é igual à razão entre cosseno te e seno te com te diferente de pi ka, ka pertence a zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 para t ≠ , kϵZ (o produto da tangente te pela cotangente te é igual a um quando te não é igual ao pico ka, dividido por dois, ka pertence a zet)

são chamadas de identidades trigonométricas básicas.

Eles são frequentemente usados ​​para simplificar e provar expressões trigonométricas.

Vejamos exemplos de uso dessas fórmulas para simplificar expressões trigonométricas.

EXEMPLO 1. Simplifique a expressão: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (expressão a cosseno ao quadrado te menos cosseno do quarto grau te mais seno do quarto grau te).

Solução. cos 2 t - cos 4 t + sen 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sen 4 t =cos 2 t ∙ sen 2 t + sen 4 t = sen 2 t (cos 2 t + sen 2 t) = sen 2 t 1= sen 2 t

(tiramos o fator comum cosseno quadrado te, entre colchetes obtemos a diferença entre a unidade e o cosseno te quadrado, que é igual ao seno te quadrado pela primeira identidade. Obtemos a soma da quarta potência seno te do produto cosseno quadrado te e seno quadrado te. Retiramos o fator comum seno quadrado te fora dos colchetes, entre colchetes obtemos a soma dos quadrados do cosseno e do seno, que, de acordo com a identidade trigonométrica básica, é igual a 1 Como resultado, obtemos o quadrado do seno te).

EXEMPLO 2. Simplifique a expressão: + .

(a expressão é a soma de duas frações no numerador do primeiro cosseno te no denominador um menos seno te, no numerador do segundo cosseno te no denominador do segundo mais seno te).

(Vamos tirar o fator comum cosseno te dos colchetes e, entre parênteses, trazê-lo para um denominador comum, que é o produto de um menos o seno te por um mais o seno te.

No numerador obtemos: um mais seno te mais um menos seno te, damos os semelhantes, o numerador é igual a dois depois de trazer os semelhantes.

No denominador, pode-se aplicar a fórmula abreviada de multiplicação (diferença de quadrados) e obter a diferença entre a unidade e o quadrado do seno te, que, de acordo com a identidade trigonométrica básica

igual ao quadrado do cosseno te. Depois de reduzir pelo cosseno te obtemos a resposta final: dois dividido pelo cosseno te).

Vejamos exemplos de uso dessas fórmulas ao provar expressões trigonométricas.

EXEMPLO 3. Prove a identidade (tg 2 t - sen 2 t) ∙ ctg 2 t = sen 2 t (o produto da diferença entre os quadrados da tangente te e do seno te pelo quadrado da cotangente te é igual ao quadrado de seno te).

Prova.

Vamos transformar o lado esquerdo da igualdade:

(tg 2 t - sen 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sen 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sen 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sen 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = sen 2 t

(Vamos abrir os parênteses; pela relação obtida anteriormente sabe-se que o produto dos quadrados da tangente te pela cotangente te é igual a um. Lembremos que a cotangente te é igual à razão do cosseno te pelo seno te, que significa que o quadrado da cotangente é a razão entre o quadrado do cosseno te e o quadrado do seno te.

Após a redução pelo seno quadrado te obtemos a diferença entre a unidade e o cosseno quadrado te, que é igual ao seno quadrado te). Q.E.D.

EXEMPLO 4. Encontre o valor da expressão tg 2 t + ctg 2 t se tgt + ctgt = 6.

(a soma dos quadrados da tangente te e da cotangente te, se a soma da tangente e da cotangente for seis).

Solução. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Vamos elevar ao quadrado ambos os lados da igualdade original:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (o quadrado da soma da tangente te e cotangente te é igual a seis ao quadrado). Lembremos a fórmula da multiplicação abreviada: O quadrado da soma de duas quantidades é igual ao quadrado da primeira mais duas vezes o produto da primeira pela segunda mais o quadrado da segunda. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Obtemos tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (tangente ao quadrado te mais o dobro do produto da tangente te pela cotangente te mais cotangente ao quadrado te é igual trinta e seis) .

Como o produto da tangente te e da cotangente te é igual a um, então tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (a soma dos quadrados da tangente te e da cotangente te e dois é igual a trinta e seis),