Tópico da lição: “O arranjo mútuo de dois círculos. Arranjo mútuo de dois círculos em um plano Arranjo mútuo de dois círculos

Sejam os círculos dados por um vetor da origem ao centro e o raio desse círculo.

Considere os círculos A e B com raios Ra e Rb e vetores de raio (vetor em direção ao centro) a e b. Além disso, Oa e Ob são seus centros. Sem perda de generalidade, assumiremos que Ra > Rb.

Então as seguintes condições são satisfeitas:

Pontos de intersecção de dois círculos

Suponha que A e B se cruzem em dois pontos. Vamos encontrar esses pontos de interseção.

Para fazer isso, o vetor de a ao ponto P, que está no círculo A e está em OaOb. Para fazer isso, você precisa pegar o vetor b - a, que será o vetor entre os dois centros, normalizar (substituir por um vetor unitário codirecional) e multiplicar por Ra. O vetor resultante será denotado como p. Você pode ver essa configuração na Fig. 6

Arroz. 6. Vetores a,b,pe onde vivem.

Denote i1 e i2 como vetores de a para os pontos de interseção I1 e I2 de dois círculos. Torna-se óbvio que i1 e i2 são obtidos pela rotação de p. Porque conhecemos todos os lados dos triângulos OaI1Ob e OaI2Ob (Raio e distância entre centros), podemos obter esse ângulo fi, girando o vetor p em uma direção dará I1, e na outra I2.

Pela lei dos cossenos, é igual a:

Se você girar p por fi, obterá i1 ou i2, dependendo de qual direção girar. Em seguida, o vetor i1 ou i2 deve ser adicionado a a para obter o ponto de interseção

Este método funcionará mesmo que o centro de um círculo esteja dentro do outro. Mas aí, exatamente, o vetor p terá que ser colocado na direção de a para b, que foi o que fizemos. Se você construir p com base em outro círculo, nada resultará disso

Bem, em conclusão, um fato deve ser mencionado a tudo: se os círculos se tocam, então é fácil ter certeza de que P é o ponto de contato (isso é verdade tanto para o toque interno quanto para o externo).
Aqui você pode ver a visualização (clique para executar).

Este método está funcionando, mas em vez do ângulo de rotação, você pode calcular seu cosseno e, através dele, o seno, e usá-los ao girar o vetor. Isso simplificará bastante os cálculos, salvando o código das funções trigonométricas.

Classe 7G, Z

Tema da lição: "A posição relativa de dois círculos"
Objetivo: conhecer possíveis casos de arranjo mútuo de dois círculos; aplicar conhecimentos para resolver problemas.

Objetivos: Educacional: para ajudar os alunos a criar e consolidar uma representação visual dos possíveis casos de localização de dois círculos, os alunos serão capazes de:

Estabeleça uma conexão entre o arranjo mútuo dos círculos, seus raios e a distância entre seus centros;

Analise o desenho geométrico e modifique-o mentalmente,

Desenvolver a imaginação planimétrica.

Os alunos serão capazes de aplicar os conhecimentos teóricos à resolução de problemas.

Tipo de aula: uma aula de introdução e consolidação de novos conhecimentos do material.

Equipamento: apresentação para a aula; compasso, régua, lápis e livro didático para cada aluno.

Tutorial: . "Geometria Grau 7", Almaty "Atamura" 2012

Durante as aulas.

Organizando o tempo. Verificando a lição de casa.

3. Atualização de conhecimentos básicos.

Repita as definições de círculo, círculo, raio, diâmetro, corda, distância de um ponto a uma linha.

1) 1) Que casos de localização de uma linha reta e um círculo você conhece?

2) Que reta é chamada de tangente?

3) Que reta é chamada de secante?

4) O teorema sobre o diâmetro perpendicular à corda?

5) Como a tangente passa em relação ao raio do círculo?

6) Preencha a tabela (em cartões).

Os alunos sob a orientação de um professor resolvem e analisam problemas.

1) A reta a é tangente a um círculo de centro O. Um ponto A é dado em uma reta a. O ângulo entre a tangente e o segmento OA é 300. Encontre o comprimento do segmento OA se o raio for 2,5 m .

2) Determine a posição relativa da linha e do círculo se:

1. R=16cm, d=12cm 2. R=5cm, d=4,2cm 3. R=7,2cm, d=3,7cm 4. R=8cm, d=1,2cm 5. R=5 cm, d=50mm

a) uma linha e um círculo não têm pontos comuns;

b) a reta é tangente ao círculo;

c) uma linha intercepta um círculo.

d é a distância do centro do círculo à linha reta, R é o raio do círculo.

3) O que se pode dizer sobre a posição relativa da linha e do círculo, se o diâmetro do círculo é de 10,3 cm e a distância do centro do círculo à linha é de 4,15 cm; 2 dm; 103 milímetros; 5,15 cm, 1 dm 3 cm.

4) Dado um círculo com centro O e ponto A. Onde está o ponto A se o raio do círculo for 7 cm e o comprimento do segmento OA for: a) 4 cm; b) 10 cm; c) 70 milímetros.

4. Juntamente com os alunos, descubra o tema da aula, formule os objetivos da aula.

5. Introdução de novo material.

Trabalho prático em grupo.

Construir 3 círculos. Para cada círculo, construa mais um círculo, de modo que 1) 2 círculos não se cruzem, 2) 2 círculos se toquem, 3) dois círculos se cruzem. Encontre o raio de cada círculo e a distância entre os centros dos círculos, compare os resultados. Qual pode ser a conclusão?
2) Resuma e escreva em um caderno, casos de arranjo mútuo de dois círculos.

Arranjo mútuo de dois círculos em um plano.

Os círculos não têm pontos comuns (eles não se cruzam). (R1 e R2 são raios de círculo)

Se R1 + R2< d,

d - A distância entre os centros dos círculos.

c) Os círculos têm dois pontos comuns. (cruzar).

Se R1 + R2 > d,

Pergunta. Dois círculos podem ter três pontos em comum?

6. Consolidação do material estudado.

Encontre um erro nos dados ou na declaração e corrija-o justificando a sua opinião:
a) Dois círculos se tocam. Seus raios são R = 8 cm e r = 2 cm, a distância entre os centros é d = 6.
B) Dois círculos têm pelo menos dois pontos em comum.
C) R = 4, r = 3, d = 5. Os círculos não têm pontos comuns.
D) R \u003d 8, r \u003d 6, d \u003d 4. O círculo menor está localizado dentro do maior.
E) Dois círculos não podem ser localizados de modo que um fique dentro do outro.

7. Os resultados da lição. O que você aprendeu na aula? Que regra foi estabelecida?

Como podem ser localizados dois círculos? Quando os círculos têm um ponto comum? Como se chama o ponto comum de duas circunferências? Que toques você conhece? Quando os círculos se cruzam? Que círculos são chamados de concêntricos?

Tópico da lição: " Arranjo mútuo de dois círculos em um plano.

Alvo :

educacional - dominar novos conhecimentos sobre a posição relativa de dois círculos, preparando-se para o teste

Educacional - desenvolvimento de habilidades computacionais, desenvolvimento do pensamento lógico e estrutural; formação de competências para encontrar soluções racionais e alcançar resultados finais; desenvolvimento da atividade cognitiva e do pensamento criativo.

Educacional – a formação da responsabilidade dos alunos, consistência; desenvolvimento de qualidades cognitivas e estéticas; formação da cultura da informação dos alunos.

Correcional - desenvolver o pensamento espacial, memória, habilidades motoras das mãos.

Tipo de aula: estudo de novo material educativo, consolidação.

Tipo de aula: aula mista.

Método de ensino: verbais, visuais, práticos.

Forma de estudo: coletivo.

Meios de educação: quadro

DURANTE AS AULAS:

1. Estágio organizacional

- saudações;

- verificar a prontidão para a aula;

2. Atualização de conhecimentos básicos.
Quais tópicos abordamos nas lições anteriores?

Visão geral da equação do círculo?

Realize oralmente:

Enquete Blitz

3. Introdução de novo material.

O que você acha e que figura vamos considerar hoje .... E se houver dois?

Como eles podem ser localizados???

As crianças mostram com as mãos (vizinhos) como os círculos podem ser localizados ( Educação Física)

Bem, o que você acha que devemos considerar hoje?” Hoje devemos considerar a posição relativa dos dois círculos. E descubra qual é a distância entre os centros, dependendo da localização.

Tópico da lição:« Arranjo mútuo de dois círculos. Solução de problemas.»

1. Círculos concêntricos

2. Círculos que não se cruzam

3.Toque externo

4. Círculos de interseção

5. Toque interno

Então vamos concluir

4. Formação de competências e habilidades

Encontre um erro nos dados ou na declaração e corrija-o justificando a sua opinião:

a) Dois círculos se tocam. Seus raios são R = 8 cm e r = 2 cm, a distância entre os centros é d = 6.
B) Dois círculos têm pelo menos dois pontos em comum.

C) R = 4, r = 3, d = 5. Os círculos não têm pontos comuns.

D) R \u003d 8, r \u003d 6, d \u003d 4. O círculo menor está localizado dentro do maior.

E) Dois círculos não podem ser localizados de modo que um fique dentro do outro.

5. Consolidação de competências e habilidades.

Os círculos se tocam externamente. O raio do círculo menor é 3 cm, o raio do maior é 5 cm Qual é a distância entre os centros?

Solução: 3+5=8(cm)

Os círculos se tocam internamente. O raio do círculo menor é 3 cm. O raio do círculo maior é 5 cm. Qual é a distância entre os centros dos círculos?

Solução: 5-3=2(cm)

Os círculos se tocam internamente. A distância entre os centros dos círculos é de 2,5 cm Quais são os raios dos círculos?

resposta: (5,5 cm e 3 cm), (6,5 cm e 4 cm), etc.

VERIFICANDO O ENTENDIMENTO

1) Como localizar dois círculos?

2) Quando os círculos têm um ponto comum?

3) Como se chama o ponto comum de duas circunferências?

4) Que toques você conhece?

5) Quando os círculos se cruzam?

6) Que círculos são chamados de concêntricos?

Tarefas adicionais sobre o tópico: Vetores. Método de coordenadas'(se houver tempo)

1)E(4;12), F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Encontre:

a) coordenadas dos vetores EF,GH

b) o comprimento do vetor FG

c) coordenadas do ponto O - meio de EF

coordenadas do ponto W - ponto médio GH

d) equação do círculo com diâmetro FG

e) equação da reta FH

6. Lição de casa

& 96 #1000. Quais dessas equações são equações de círculo. Localizar centro e raio

7. Resumindo a lição(3 min.)

(fazer uma avaliação qualitativa do trabalho da turma e dos alunos individualmente).

8. Estágio de reflexão(2 minutos.)

(iniciar a reflexão dos alunos sobre seu estado emocional, suas atividades, interação com o professor e colegas com a ajuda de desenhos)

Ministério da Educação e Ciência da Federação Russa

Instituição de ensino orçamentária municipal

cidade de Novosibirsk "Gymnasium No. 4"

Seção: matemática

TRABALHO DE PESQUISA

neste tópico:

PROPRIEDADES DE DOIS CÍRCULOS DE TOQUE

Alunos do 10º ano:

Khaziakhmetov Radik Ildarovich

Zubarev Evgeny Vladimirovich

Supervisor:

L.L. Barinova

Professor de matemática

Categoria de qualificação mais alta

§ 1.Introdução………..………………………….…………………………………………………… 3

§ 1.1 Arranjo mútuo de dois círculos …………………………………………………… 3

§ 2 Propriedades e suas provas…………………………………………..………………….…4

§ 2.1 Propriedade 1…………………………………………………………..……………………….…4

§ 2.2 Propriedade 2……………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

§ 2.3 Propriedade 3…………………………………………………………………………………………… 6

§ 2.4 Propriedade 4…………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………….

§ 2.5 Propriedade 5………………………………………………………………………………………8

§ 2.6 Propriedade 6……………………………………………………………………………………………… 9

§ 3 Tarefas……………………………………………………..…………………………………………11

Referências………………………………………………………………….………….13

§ 1. Introdução

Muitos problemas envolvendo dois círculos tangentes podem ser resolvidos de forma mais concisa e simples conhecendo algumas das propriedades que serão apresentadas posteriormente.

Arranjo mútuo de dois círculos

Para começar, discutiremos o possível arranjo mútuo dos dois círculos. Pode haver 4 casos diferentes.

1. Os círculos não podem se cruzar.

2. Cruz.

3. Toque em um ponto externo.

4. Toque em um ponto interno.

§ 2. Propriedades e suas provas

Passemos diretamente à prova das propriedades.

§ 2.1 Propriedade 1

Os segmentos entre os pontos de interseção das tangentes com os círculos são iguais entre si e iguais a dois raios médios geométricos desses círculos.

Prova 1. O 1 A 1 e O 2 V 1 - raios desenhados para os pontos de contato.

2. O 1 A 1 ┴ A 1 V 1, O2V1 ┴ A 1 V 1 → O 1 A 1 ║ O 2 V 1. (de acordo com o parágrafo 1)

1. ▲O 1 O 2 D - retangular, pois O 2 D ┴ O 2 V 1
2. O 1 O 2 \u003d R + r, O 2 D \u003d R - r

1. Pelo teorema de Pitágoras А 1 В 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (comprovado de forma semelhante)

1) Desenhe os raios para os pontos de interseção das tangentes com os círculos.

2) Esses raios serão perpendiculares às tangentes e paralelos entre si.

3) Solte a perpendicular do centro do círculo menor até o raio do círculo maior.

4) A hipotenusa do triângulo retângulo resultante é igual à soma dos raios dos círculos. A perna é igual à sua diferença.

5) Pelo teorema de Pitágoras, obtemos a relação desejada.

§ 2.2 Propriedade 2

Os pontos de intersecção de uma linha que intercepta o ponto de tangência dos círculos e não se encontra em nenhum deles, com tangentes bissetam os segmentos de tangentes externas delimitados pelos pontos de tangência, em partes, cada uma das quais é igual ao média geométrica dos raios desses círculos.

Prova 1.EM= MA 1 (como segmentos de tangentes)

2.MS = MV 1 (como segmentos de tangentes)

3.A 1 M \u003d MV 1 \u003d √Rr, A 2 N \u003d NB 2 \u003d √Rr (de acordo com o parágrafo 1 e 2 )

Declarações usadas na prova Os segmentos de tangentes desenhados de um ponto a algum círculo são iguais. Usamos esta propriedade para ambos os círculos dados.

§ 2.3 Propriedade 3

O comprimento do segmento da tangente interna entre as tangentes externas é igual ao comprimento do segmento da tangente externa entre os pontos de contato e é igual a dois raios geométricos médios desses círculos.

Prova Esta conclusão decorre da propriedade anterior.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Propriedade 4

O triângulo formado pelos centros dos círculos tangentes e o ponto médio do segmento tangente entre os raios traçados aos pontos de tangência é retangular. A razão de seus catetos é igual ao quociente das raízes dos raios desses círculos.

Prova 1.MO 1 é a bissetriz do ângulo A 1 MC, MO 2 é a bissetriz do ângulo B 1 MC, porque O centro de um círculo inscrito em um ângulo está na bissetriz desse ângulo.

2. De acordo com o parágrafo 1 РО 1 МS + РСМО 2 = 0,5 (РА1МС + РСМВ 1) = 0,5p = p/2

3.РО 1 MO 2 - reto. MS - a altura do triângulo O 1 MO 2, porque a tangente MN é perpendicular aos raios traçados para os pontos de contato → os triângulos О 1 МС e MO 2 С são semelhantes.

4.O 1 M / MO 2 \u003d O 1 C / MS \u003d r / √Rr \u003d √r / R (por semelhança)

Declarações usadas na prova 1) O centro de um círculo inscrito em um ângulo está na bissetriz desse ângulo. Os catetos de um triângulo são as bissetrizes dos ângulos.

2) Usando o fato de que os ângulos assim formados são iguais, obtemos que o ângulo que procuramos é um ângulo reto. Concluímos que este triângulo é de fato um triângulo retângulo.

3) Provamos a semelhança dos triângulos em que a altura (já que a tangente é perpendicular aos raios desenhados nos pontos de contato) divide o triângulo retângulo, e por semelhança obtemos a razão desejada.

§ 2.5 Propriedade 5

O triângulo formado pelo ponto de contato dos círculos entre si e pelos pontos de interseção dos círculos com a tangente, é um triângulo retângulo. A razão de seus catetos é igual ao quociente das raízes dos raios desses círculos.

Prova

1. ▲А 1 МС e ▲СМВ 1 são isósceles → РМА 1 С = РМСА 1 = α, РМВ 1 С = РМСВ 1 = β.

1. 2α + 2β + РА 1 MS + РСМВ 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (РА 1 МS + РСМВ 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

1. Mas RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 - direto → РВ 1 CO 2 = РSV 1 О 2 = p/2 - β = α

1. ▲A 1 MS e ▲CO 2 B 1 são semelhantes → A 1 C / SV 1 = MS / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

Declarações usadas na prova 1) Pintamos a soma dos ângulos dos triângulos, usando o fato de serem isósceles. Os triângulos isósceles são provados usando a propriedade sobre a igualdade dos segmentos tangentes.

2) Tendo pintado a soma dos ângulos dessa forma, obtemos que no triângulo considerado existe um ângulo reto, portanto é retangular. A primeira parte da afirmação está provada.

3) Pela semelhança de triângulos (ao justificá-la, usamos o sinal de semelhança em dois ângulos) encontramos a razão dos catetos de um triângulo retângulo.

§ 2.6 Propriedade 6

O quadrilátero formado pelos pontos de interseção dos círculos com a tangente é um trapézio no qual o círculo pode ser inscrito.

Prova 1.▲A 1 RA 2 e ▲B 1 RV 2 são isósceles porque A 1 P \u003d RA 2 e B 1 P \u003d PB 2 como segmentos de tangentes → ▲A 1 RA 2 e ▲B 1 PB 2 são semelhantes.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, porque os ângulos correspondentes formados na intersecção da secante A 1 B 1 são iguais.

1. MN - linha do meio por propriedade 2 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

1. A 1 B 1 + A 2 B 2 \u003d 2 √ Rr + 2 √ Rr \u003d 4 √ Rr \u003d A 1 A 2 + B 1 B 2 → em um trapézio A 2 A 1 B 1 B 2 a soma dos bases é igual à soma dos lados, e esta é uma condição necessária e suficiente para a existência de um círculo inscrito.

Declarações usadas na prova 1) Vamos usar novamente a propriedade dos segmentos tangentes. Com sua ajuda, provaremos os triângulos isósceles formados pelo ponto de interseção das tangentes e dos pontos tangentes.

2) A partir disso, seguir-se-á a semelhança desses triângulos e o paralelismo de suas bases. Com base nisso, concluímos que esse quadrilátero é um trapézio.

3) De acordo com a propriedade (2) que provamos anteriormente, encontramos a linha mediana do trapézio. É igual a dois raios geométricos médios de círculos. No trapézio resultante, a soma das bases é igual à soma dos lados, e esta é uma condição necessária e suficiente para a existência de um círculo inscrito.

§ 3. Tarefas

Considere, usando um exemplo prático, como a solução do problema pode ser simplificada usando as propriedades acima.

Tarefa 1

No triângulo ABC, lado AC = 15 cm, um círculo está inscrito no triângulo. O segundo círculo toca o primeiro e os lados AB e BC. O ponto F é escolhido no lado AB e o ponto M é escolhido no lado BC de modo que o segmento FM seja uma tangente comum aos círculos. Encontre a razão entre as áreas do triângulo BFM e do quadrilátero AFMC se FM for 4 cm e o ponto M estiver duas vezes mais distante do centro de um círculo do que do centro do outro.

Dado: FM tangente comum AC = 15cm FM = 4cm O 2 M = 2O 1 M

Encontre S BFM /S AFMC

Solução:

1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2)2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1,R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P e ▲BO 2 Q são semelhantes → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25;BP = 4/3

4)FM+BP=16/3, S FBM=r*P FBM=1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5) S ABC \u003d R * R ABC \u003d 4 * (61/3) \u003d 244/3 → S BFM / S AFMC \u003d (16/3): (244/3) \u003d 4/61

Tarefa 2

Dois círculos tangentes com seu ponto comum D e uma tangente comum FK passando por este ponto estão inscritos em um triângulo isósceles ABC. Encontre a distância entre os centros desses círculos se a base do triângulo AC = 9 cm e o segmento do lado lateral do triângulo entre os pontos de contato dos círculos é de 4 cm.

Dado: ABC é um triângulo isósceles; FK é a tangente comum dos círculos inscritos. CA = 9 cm; NE = 4 cm

Solução:

Deixe as linhas AB e CD se cruzarem no ponto O. Então OA = OD, OB = OC, então CD = AB = 2√Rr

Os pontos O 1 e O 2 estão na bissetriz do ângulo AOD. A bissetriz de um triângulo isósceles AOD é sua altura, então AD ┴ O 1 O 2 e BC ┴ O 1 O 2, então

AD ║ BC e ABCD é um trapézio isósceles.

O segmento MN é sua linha média, então AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Portanto, um círculo pode ser inscrito neste trapézio.

Seja AP a altura do trapézio, os triângulos retângulos АРВ e О 1 FO 2 são semelhantes, portanto АР/О 1 F = АВ/О 1 О 2 .

A partir daqui encontramos que

Bibliografia

• Suplemento do jornal "Primeiro de Setembro" "Matemática" Nº 43, 2003
• USE 2010. Matemática. Tarefa C4. Gordin R. K.