Comece na ciência. Plano de coordenadas Plano de coordenadas como determinar as coordenadas

Se construirmos dois eixos numéricos perpendiculares entre si em um plano: BOI E OI, então eles serão chamados eixos de coordenadas. Eixo horizontal BOI chamado eixo x(eixo x), eixo vertical OI - eixo y(eixo sim).

Ponto Ó, situado na intersecção dos eixos, é chamado origem. É o ponto zero para ambos os eixos. Os números positivos são representados no eixo x com pontos à direita e no eixo y com pontos acima do ponto zero. Os números negativos são representados por pontos à esquerda e abaixo da origem (pontos Ó). O plano no qual se encontram os eixos coordenados é chamado plano coordenado.

Os eixos coordenados dividem o plano em quatro partes, chamadas em quartos ou quadrantes. Costuma-se numerar esses bairros com algarismos romanos na ordem em que são numerados no desenho.

Coordenadas de um ponto no plano

Se tomarmos um ponto arbitrário no plano coordenado A e traçar perpendiculares dele aos eixos coordenados, então as bases das perpendiculares cairão sobre dois números. O número ao qual os pontos perpendiculares verticais são chamados ponto de abscissa A. O número para o qual as perpendiculares horizontais apontam é - ordenada de um ponto A.

No desenho, a abcissa do ponto Aé igual a 3 e a ordenada é 5.

A abscissa e a ordenada são chamadas de coordenadas de um determinado ponto do plano.

As coordenadas de um ponto são escritas entre colchetes à direita da designação do ponto. A abscissa é escrita primeiro, seguida pela ordenada. Então grave A(3; 5) significa que a abcissa do ponto Aé igual a três e a ordenada é cinco.

As coordenadas de um ponto são números que determinam sua posição no plano.

Se um ponto estiver no eixo x, então sua ordenada é zero (por exemplo, um ponto B com coordenadas -2 e 0). Se um ponto estiver no eixo das ordenadas, então sua abscissa é igual a zero (por exemplo, um ponto C com coordenadas 0 e -4).

Origem - ponto Ó- tem abscissa e ordenada iguais a zero: Ó (0; 0).

Este sistema de coordenadas é chamado retangular ou cartesiano.

Tema desta videoaula: Plano de coordenadas.

Metas e objetivos da aula:

Familiarizado com sistema de coordenadas retangulares em um plano
- ensinar como navegar livremente no plano de coordenadas
- construir pontos de acordo com as coordenadas fornecidas
- determinar as coordenadas de um ponto marcado no plano de coordenadas
- entender bem as coordenadas de ouvido
- realizar construções geométricas de forma clara e precisa
- desenvolvimento de habilidades criativas
- fomentar o interesse pelo assunto

O termo " coordenadas" vem da palavra latina - "ordenado"

Para indicar a posição de um ponto no plano, tome duas retas perpendiculares X e Y.

Eixo X - eixo de abcissas
Eixo Y eixo de ordenadas
Ponto O - origem

O plano no qual o sistema de coordenadas é especificado é chamado plano coordenado.

Cada ponto M no plano coordenado corresponde a um par de números: sua abscissa e ordenada. Pelo contrário, cada par de números corresponde a um ponto do plano, para o qual esses números são coordenadas.

Exemplos considerados:

• construindo um ponto a partir de suas coordenadas
• encontrar as coordenadas de um ponto localizado no plano de coordenadas

Algumas informações adicionais:

A ideia de especificar a posição de um ponto em um plano originou-se na antiguidade, principalmente entre os astrônomos. No século II. O antigo astrônomo grego Cláudio Ptolomeu usou latitude e longitude como coordenadas. Ele deu uma descrição do uso de coordenadas no livro “Geometria” em 1637.

A descrição do uso de coordenadas foi dada no livro “Geometria” de 1637 pelo matemático francês René Descartes, portanto o sistema de coordenadas retangulares é frequentemente chamado de cartesiano.

Palavras " abscissa», « ordenar», « coordenadas"foi o primeiro a ser utilizado no final do século XVII.

Para uma melhor compreensão do plano coordenado, imagine que recebemos: um globo geográfico, um tabuleiro de xadrez, um ingresso de teatro.

Para determinar a posição de um ponto na superfície terrestre, você precisa saber a longitude e a latitude.
Para determinar a posição de uma peça em um tabuleiro de xadrez, você precisa conhecer duas coordenadas, por exemplo: e3.
Os assentos no auditório são determinados por duas coordenadas: fila e assento.

Tarefa adicional.

Após estudar a videoaula, para consolidar o material, sugiro que você pegue uma caneta e um pedaço de papel em uma caixa, desenhe um plano coordenado e construa figuras de acordo com as coordenadas fornecidas:

Fungo
1) (6; 0), (6; 2), (5; 1,5), (4; 3), (2; 1), (0; 2,5), (- 1,5; 1,5), (- 2; 5), (- 3; 0,5), (- 4; 2), (- 4; 0).
2) (2; 1), (2,2; 2), (2,3; 4), (2,5; 6), (2,3; 8), (2; 10), (6; 10), (4,8; 12), (3; 13,3), (1; 14),
(0; 14), (- 2; 13,3), (- 3,8; 12), (- 5; 10), (2; 10).
3) (- 1; 10), (- 1,3; 8), (- 1,5; 6), (- 1,2; 4), (- 0,8;2).
Rato 1) (3; - 4), (3; - 1), (2; 3), (2; 5), (3; 6), (3; 8), (2; 9), (1; 9), (- 1; 7), (- 1; 6),
(- 4; 4), (- 2; 3), (- 1; 3), (- 1; 1), (- 2; 1), (-2; - 1), (- 1; 0), (- 1; - 4), (- 2; - 4),
(- 2; - 6), (- 3; - 6), (- 3; - 7), (- 1; - 7), (- 1; - 5), (1; - 5), (1; - 6), (3; - 6), (3; - 7),
(4; - 7), (4; - 5), (2; - 5), (3; - 4).
2) Cauda: (3; - 3), (5; - 3), (5; 3).
3) Olho: (- 1; 5).
Cisne
1) (2; 7), (0; 5), (- 2; 7), (0; 8), (2; 7), (- 4; - 3), (4; 0), (11; - 2), (9; - 2), (11; - 3),
(9; - 3), (5; - 7), (- 4; - 3).
2) Bico: (- 4; 8), (- 2; 7), (- 4; 6).
3) Asa: (1; - 3), (4; - 2), (7; - 3), (4; - 5), (1; - 3).
4) Olho: (0; 7).
Camelo
1) (- 9; 6), (- 5; 9), (- 5; 10), (- 4; 10), (- 4; 4), (- 3; 4), (0; 7), (2; 4), (4; 7), (7; 4),
(9; 3), (9; 1), (8; - 1), (8; 1), (7; 1), (7; - 7), (6; - 7), (6; - 2), (4; - 1), (- 5; - 1), (- 5; - 7),
(- 6; - 7), (- 6; 5), (- 7;5), (- 8; 4), (- 9; 4), (- 9; 6).
2) Olho: (- 6; 7).
Elefante
1) (2; - 3), (2; - 2), (4; - 2), (4; - 1), (3; 1), (2; 1), (1; 2), (0; 0), (- 3; 2), (- 4; 5),
(0; 8), (2; 7), (6; 7), (8; 8), (10; 6), (10; 2), (7; 0), (6; 2), (6; - 2), (5; - 3), (2; - 3).
2) (4; - 3), (4; - 5), (3; - 9), (0; - 8), (1; - 5), (1; - 4), (0; - 4), (0; - 9), (- 3; - 9),
(- 3; - 3), (- 7; - 3), (- 7; - 7), (- 8; - 7), (- 8; - 8), (- 11; - 8), (- 10; - 4), (- 11; - 1),
(- 14; - 3), (- 12; - 1), (- 11;2), (- 8;4), (- 4;5).
3) Olhos: (2; 4), (6; 4).
Cavalo
1) (14; - 3), (6,5; 0), (4; 7), (2; 9), (3; 11), (3; 13), (0; 10), (- 2; 10), (- 8; 5,5),
(- 8; 3), (- 7; 2), (- 5; 3), (- 5; 4,5), (0; 4), (- 2; 0), (- 2; - 3), (- 5; - 1), (- 7; - 2),
(- 5; - 10), (- 2; - 11), (- 2; - 8,5), (- 4; - 8), (- 4; - 4), (0; - 7,5), (3; - 5).
2) Olho: (- 2; 7).

os pontos são “registrados” - “residentes”, cada ponto tem seu próprio “número da casa” - sua coordenada. Se o ponto for feito de avião, para “registrá-lo” é necessário indicar não só o “número da casa”, mas também o “número do apartamento”. Deixe-nos lembrá-lo de como isso é feito.

Vamos desenhar duas linhas de coordenadas mutuamente perpendiculares e considerar a origem de referência em ambas as linhas como o ponto de sua intersecção - ponto O. Assim, um sistema de coordenadas retangulares é especificado no plano (Fig. 20), que transforma o usual avião coordenar. O ponto O é chamado de origem das coordenadas, as linhas de coordenadas (eixo x e eixo y) são chamadas de eixos coordenados e os ângulos retos formados pelos eixos coordenados são chamados de ângulos coordenados. Os ângulos retangulares coordenados são numerados conforme mostrado na Figura 20.

Agora vamos voltar para a Figura 21, onde um sistema de coordenadas retangular é representado e marcado o ponto M. Vamos traçar uma linha reta através dele paralela ao eixo y. A linha reta cruza o eixo x em um determinado ponto, este ponto tem uma coordenada - no eixo x. Para o ponto mostrado na Figura 21, esta coordenada é igual a -1,5, é chamada de abcissa do ponto M. A seguir, traçamos uma reta passando pelo ponto M, paralela ao eixo x. A linha reta cruza o eixo y em um determinado ponto, este ponto tem uma coordenada - no eixo y.

Para o ponto M, mostrado na Figura 21, esta coordenada é igual a 2, é chamada de ordenada do ponto M. Resumidamente escrita da seguinte forma: M (-1,5; 2). A abscissa é escrita em primeiro lugar e a ordenada em segundo. Se necessário, utilize outra forma de notação: x = -1,5; y = 2.

Nota 1 . Na prática, para encontrar as coordenadas do ponto M, geralmente em vez de retas paralelas aos eixos coordenados e passando pelo ponto M, são construídos segmentos dessas retas do ponto M aos eixos coordenados (Fig. 22).

Nota 2. No parágrafo anterior introduzimos diferentes notações para intervalos numéricos. Em particular, como concordamos, a notação (3, 5) significa que na reta coordenada consideramos um intervalo com extremidades nos pontos 3 e 5. Nesta seção, consideramos um par de números como as coordenadas de um ponto; por exemplo, (3; 5) é um ponto em plano coordenado com abscissa 3 e ordenada 5. Como determinar corretamente a partir da notação simbólica do que estamos falando: um intervalo ou as coordenadas de um ponto? Na maioria das vezes isso fica claro no texto. E se não estiver claro? Preste atenção em um detalhe: usamos vírgula para indicar o intervalo e ponto e vírgula para indicar as coordenadas. Isto, claro, não é muito significativo, mas ainda assim é uma diferença; nós vamos usá-lo.

Levando em consideração os termos e notações introduzidos, a linha de coordenadas horizontais é chamada de abcissa, ou eixo x, e a linha de coordenadas verticais é chamada de eixo de ordenadas, ou eixo y. A notação x, y é geralmente usada ao especificar um sistema de coordenadas retangulares em um plano (ver Fig. 20) e é frequentemente dita assim: dado um sistema de coordenadas xOy. Contudo, existem outras notações: por exemplo, na Figura 23 é especificado o sistema de coordenadas tOs.
Algoritmo para encontrar as coordenadas do ponto M especificado no sistema de coordenadas retangulares xOy

Isso é exatamente o que fizemos ao encontrar as coordenadas do ponto M na Figura 21. Se o ponto M 1 (x; y) pertence ao primeiro ângulo coordenado, então x > 0, y > 0; se o ponto M 2 (x; y) pertence ao segundo ângulo coordenado, então x< 0, у >0; se o ponto M 3 (x; y) pertence ao terceiro ângulo coordenado, então x< О, у < 0; если точка М 4 (х; у) принадлежит четвертому координатному углу, то х >UO< 0 (рис. 24).

O que acontece se o ponto cujas coordenadas precisam ser encontradas estiver em um dos eixos de coordenadas? Deixe o ponto A estar no eixo x e o ponto B no eixo y (Fig. 25). Desenhar uma linha paralela ao eixo y através do ponto A e encontrar o ponto de intersecção desta linha com o eixo x não faz sentido, uma vez que tal ponto de intersecção já existe - este é o ponto A, sua coordenada (abscissa) é 3. Da mesma forma, não há necessidade de traçar o ponto E a reta paralela ao eixo x é o próprio eixo x, que cruza o eixo y no ponto O com coordenada (ordenada) 0. Como um resultado, para o ponto A obtemos A(3; 0). Da mesma forma, para o ponto B obtemos B(0; - 1,5). E para o ponto O temos O(0; 0).

Em geral, qualquer ponto no eixo x tem coordenadas (x; 0), e qualquer ponto no eixo y tem coordenadas (0; y)

Então, discutimos como encontrar as coordenadas de um ponto no plano de coordenadas. Como resolver o problema inverso, ou seja, como, dadas as coordenadas, construir o ponto correspondente? Para desenvolver um algoritmo, realizaremos dois raciocínios auxiliares, mas ao mesmo tempo importantes.

Primeiro raciocínio. Seja I desenhado no sistema de coordenadas xOy, paralelo ao eixo y e cruzando o eixo x em um ponto com coordenada (abscissa) 4

(Fig. 26). Qualquer ponto nesta linha tem uma abcissa 4. Portanto, para os pontos M 1, M 2, M 3 temos M 1 (4; 3), M 2 (4; 6), M 3 (4; - 2). Em outras palavras, a abcissa de qualquer ponto M na reta satisfaz a condição x = 4. Dizem que x = 4 - a equação a linha l ou aquela linha I satisfaz a equação x = 4.

A Figura 27 mostra linhas retas que satisfazem as equações x = - 4 (linha I 1), x = - 1
(reto I 2) x = 3,5 (reto I 3). Qual reta satisfaz a equação x = 0? Você adivinhou? Eixo Y

Segundo raciocínio. Seja desenhada uma linha I no sistema de coordenadas xOy, paralela ao eixo x e cruzando o eixo y em um ponto com coordenada (ordenada) 3 (Fig. 28). Qualquer ponto nesta linha tem uma ordenada 3. Portanto, para os pontos M 1, M 2, M 3 temos: M 1 (0; 3), M 2 (4; 3), M 3 (- 2; 3 ). Em outras palavras, a ordenada de qualquer ponto M da reta I satisfaz a condição y = 3. Dizem que y = 3 é a equação da reta I ou que a reta I satisfaz a equação y = 3.

A Figura 29 mostra retas que satisfazem as equações y = - 4 (reta l 1), y = - 1 (reta I 2), y = 3,5 (reta I 3) - E qual reta satisfaz a equação y = 01 Você adivinhou? eixo x

Observe que os matemáticos, buscando a brevidade, dizem “a reta x = 4”, e não “a reta que satisfaz a equação x = 4”. Da mesma forma, eles dizem “a reta y = 3” em vez de “a reta que satisfaz a equação y = 3”. Nós faremos o mesmo. Voltemos agora à Figura 21. Observe que o ponto M (- 1,5; 2), que está representado ali, é o ponto de intersecção da reta x = -1,5 e da reta y = 2. Agora, aparentemente, o algoritmo para construção do ponto ficará claro de acordo com as coordenadas fornecidas.

Algoritmo para construção do ponto M (a; b) em um sistema de coordenadas retangulares xOy

EXEMPLO No sistema de coordenadas xOy, construa os pontos: A (1; 3), B (- 2; 1), C (4; 0), D (0; - 3).

Solução. O ponto A é o ponto de intersecção das retas x = 1 e y = 3 (ver Fig. 30).

O ponto B é o ponto de intersecção das retas x = - 2 e y = 1 (Fig. 30). O ponto C pertence ao eixo x e o ponto D pertence ao eixo y (ver Fig. 30).

No final da seção, notamos que pela primeira vez o sistema de coordenadas retangulares em um plano começou a ser usado ativamente para substituir o sistema algébrico modelos filósofo geométrico francês René Descartes (1596-1650). Portanto, às vezes dizem “sistema de coordenadas cartesianas”, “coordenadas cartesianas”.

Uma lista completa de tópicos por série, plano de calendário de acordo com o currículo escolar de matemática online, material de vídeo em matemática para download da 7ª série

A. V. Pogorelov, Geometria para 7ª a 11ª séries, Livro didático para instituições educacionais

§ 1 Sistema de coordenadas: definição e método de construção

Nesta lição conheceremos os conceitos de “sistema de coordenadas”, “plano de coordenadas”, “eixos de coordenadas” e aprenderemos como construir pontos em um plano usando coordenadas.

Tomemos uma reta coordenada x com o ponto de origem O, uma direção positiva e um segmento unitário.

Através da origem das coordenadas, ponto O da reta coordenada x, traçamos outra reta coordenada y, perpendicular a x, definimos a direção positiva para cima, o segmento unitário é o mesmo. Assim, construímos um sistema de coordenadas.

Vamos dar uma definição:

Duas linhas de coordenadas mutuamente perpendiculares que se cruzam em um ponto, que é a origem das coordenadas de cada uma delas, formam um sistema de coordenadas.

§ 2 Eixo coordenado e plano coordenado

As linhas retas que formam um sistema de coordenadas são chamadas de eixos coordenados, cada um dos quais tem seu próprio nome: a linha coordenada x é o eixo das abcissas, a linha coordenada y é o eixo das ordenadas.

O plano no qual o sistema de coordenadas é selecionado é chamado de plano de coordenadas.

O sistema de coordenadas descrito é denominado retangular. É frequentemente chamado de sistema de coordenadas cartesianas em homenagem ao filósofo e matemático francês René Descartes.

Cada ponto no plano de coordenadas possui duas coordenadas, que podem ser determinadas eliminando perpendiculares do ponto no eixo de coordenadas. As coordenadas de um ponto em um plano são um par de números, dos quais o primeiro número é a abcissa e o segundo número é a ordenada. A abscissa é perpendicular ao eixo x, a ordenada é perpendicular ao eixo y.

Vamos marcar o ponto A no plano de coordenadas e traçar perpendiculares dele aos eixos do sistema de coordenadas.

Ao longo da perpendicular ao eixo das abcissas (eixo x), determinamos a abcissa do ponto A, é igual a 4, a ordenada do ponto A - ao longo da perpendicular ao eixo das ordenadas (eixo y) é 3. As coordenadas do nosso ponto são 4 e 3. A (4;3). Assim, as coordenadas podem ser encontradas para qualquer ponto no plano de coordenadas.

§ 3 Construção de um ponto num plano

Como construir um ponto em um plano com determinadas coordenadas, ou seja, Usando as coordenadas de um ponto no plano, determine sua posição? Neste caso, realizamos as etapas na ordem inversa. Nos eixos coordenados encontramos pontos correspondentes às coordenadas dadas, através dos quais traçamos retas perpendiculares aos eixos xey. O ponto de intersecção das perpendiculares será o desejado, ou seja, um ponto com coordenadas dadas.

Vamos completar a tarefa: construir o ponto M (2;-3) no plano coordenado.

Para fazer isso, encontre um ponto com coordenada 2 no eixo x e desenhe uma linha reta perpendicular ao eixo x através deste ponto. No eixo das ordenadas encontramos um ponto com coordenada -3, através dele traçamos uma reta perpendicular ao eixo y. O ponto de intersecção das retas perpendiculares será o ponto M dado.

Agora vamos examinar alguns casos especiais.

Marquemos os pontos A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4) no plano coordenado.

As abcissas desses pontos são iguais a 0. A figura mostra que todos os pontos estão no eixo das ordenadas.

Conseqüentemente, os pontos cujas abcissas são iguais a zero estão no eixo das ordenadas.

Vamos trocar as coordenadas desses pontos.

O resultado será A (2;0), B (-3;0) C (4; 0). Neste caso, todas as ordenadas são iguais a 0 e os pontos estão no eixo x.

Isso significa que os pontos cujas ordenadas são iguais a zero estão no eixo das abcissas.

Vejamos mais dois casos.

No plano coordenado, marque os pontos M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4).

É fácil ver que todas as abcissas dos pontos são iguais. Se esses pontos estiverem conectados, você obterá uma linha reta paralela ao eixo das ordenadas e perpendicular ao eixo das abcissas.

A conclusão sugere-se: os pontos que possuem a mesma abcissa estão na mesma linha reta, que é paralela ao eixo das ordenadas e perpendicular ao eixo das abcissas.

Se você trocar as coordenadas dos pontos M, N, P, obterá M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3). As ordenadas dos pontos serão as mesmas. Neste caso, se você conectar esses pontos, obterá uma reta paralela ao eixo das abcissas e perpendicular ao eixo das ordenadas.

Assim, pontos com a mesma ordenada situam-se na mesma linha reta paralela ao eixo das abcissas e perpendicular ao eixo das ordenadas.

Nesta lição você se familiarizou com os conceitos de “sistema de coordenadas”, “plano de coordenadas”, “eixos de coordenadas - eixo de abscissas e eixo de ordenadas”. Aprendemos como encontrar as coordenadas de um ponto em um plano de coordenadas e como construir pontos no plano usando suas coordenadas.

Lista de literatura usada:

1. Matemática. 6ª série: planos de aula para o livro didático de I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-compilador L.A. Topilina. – Mnemósine, 2009.
2. Matemática. 6ª série: livro didático para alunos de instituições de ensino geral. I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Matemática. 6ª série: livro didático para instituições de ensino geral/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov e outros/editado por G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Academia Russa de Ciências, Academia Russa de Educação. - M.: “Iluminismo”, 2010
4. Manual de matemática - http://lyudmilanik.com.ua
5. Manual para alunos do ensino médio http://shkolo.ru

Compreendendo o plano de coordenadas

Cada objeto (por exemplo, uma casa, um local no auditório, um ponto no mapa) possui seu próprio endereço ordenado (coordenadas), que possui uma designação numérica ou alfabética.

Os matemáticos desenvolveram um modelo que permite determinar a posição de um objeto e é chamado plano coordenado.

Para construir um plano de coordenadas, você precisa desenhar $2$ linhas retas perpendiculares, no final das quais as direções “para a direita” e “para cima” são indicadas por setas. As divisões são aplicadas às linhas, e o ponto de intersecção das linhas é a marca zero para ambas as escalas.

Definição 1

A linha horizontal é chamada eixo x e é denotado por x, e a linha vertical é chamada eixo y e é denotado por y.

Dois eixos perpendiculares xey com divisões formam retangular, ou cartesiano, sistema de coordenadas, proposta pelo filósofo e matemático francês René Descartes.

Plano de coordenadas

Coordenadas de ponto

Um ponto em um plano de coordenadas é definido por duas coordenadas.

Para determinar as coordenadas do ponto $A$ no plano coordenado, você precisa desenhar linhas retas através dele que serão paralelas aos eixos coordenados (indicados por uma linha pontilhada na figura). A interseção da linha com o eixo x fornece a coordenada $x$ do ponto $A$, e a interseção com o eixo y fornece a coordenada y do ponto $A$. Ao escrever as coordenadas de um ponto, primeiro escreve-se a coordenada $x$ e depois a coordenada $y$.

O ponto $A$ na figura tem coordenadas $(3; 2)$ e o ponto $B (–1; 4)$.

Para traçar um ponto no plano coordenado, proceda na ordem inversa.

Construindo um ponto em coordenadas especificadas

Exemplo 1

No plano de coordenadas, construa os pontos $A(2;5)$ e $B(3; –1).$

Solução.

Construção do ponto $A$:

• coloque o número $2$ no eixo $x$ e desenhe uma linha perpendicular;
• No eixo y traçamos o número $5$ e traçamos uma linha reta perpendicular ao eixo $y$. Na intersecção das retas perpendiculares obtemos o ponto $A$ com coordenadas $(2; 5)$.

Construção do ponto $B$:

• Vamos traçar o número $3$ no eixo $x$ e desenhar uma linha reta perpendicular ao eixo x;
• No eixo $y$ traçamos o número $(–1)$ e traçamos uma linha reta perpendicular ao eixo $y$. Na intersecção das retas perpendiculares obtemos o ponto $B$ com coordenadas $(3; –1)$.

Exemplo 2

Construa pontos no plano de coordenadas com determinadas coordenadas $C (3; 0)$ e $D(0; 2)$.

Solução.

Construção do ponto $C$:

• coloque o número $3$ no eixo $x$;
• a coordenada $y$ é igual a zero, o que significa que o ponto $C$ ficará no eixo $x$.

Construção do ponto $D$:

• coloque o número $2$ no eixo $y$;
• a coordenada $x$ é igual a zero, o que significa que o ponto $D$ ficará no eixo $y$.

Nota 1

Portanto, na coordenada $x=0$ o ponto estará no eixo $y$, e na coordenada $y=0$ o ponto estará no eixo $x$.

Exemplo 3

Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D.$

Solução.

Vamos determinar as coordenadas do ponto $A$. Para fazer isso, traçamos linhas retas através deste ponto $2$ que serão paralelas aos eixos coordenados. A interseção da reta com o eixo x dá a coordenada $x$, a interseção da reta com o eixo y dá a coordenada $y$. Assim, obtemos que o ponto $A(1;3).$

Vamos determinar as coordenadas do ponto $B$. Para fazer isso, traçamos linhas retas através deste ponto $2$ que serão paralelas aos eixos coordenados. A interseção da reta com o eixo x dá a coordenada $x$, a interseção da reta com o eixo y dá a coordenada $y$. Encontramos esse ponto $B (–2; 4).$

Vamos determinar as coordenadas do ponto $C$. Porque ele está localizado no eixo $y$, então a coordenada $x$ deste ponto é zero. A coordenada y é $–2$. Assim, ponto $C (0; –2)$.

Vamos determinar as coordenadas do ponto $D$. Porque está no eixo $x$, então a coordenada $y$ é zero. A coordenada $x$ deste ponto é $–5$. Assim, ponto $D (5; 0).$

Exemplo 4

Construa pontos $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$

Solução.

Construção do ponto $E$:

• coloque o número $(–3)$ no eixo $x$ e desenhe uma linha perpendicular;
• no eixo $y$ traçamos o número $(–2)$ e traçamos uma linha perpendicular ao eixo $y$;
• na intersecção das retas perpendiculares obtemos o ponto $E (–3; –2).$

Construção do ponto $F$:

• coordenada $y=0$, o que significa que o ponto está no eixo $x$;
• Vamos traçar o número $5$ no eixo $x$ e obter o ponto $F(5; 0).$

Construção do ponto $G$:

• coloque o número $3$ no eixo $x$ e desenhe uma linha perpendicular ao eixo $x$;
• no eixo $y$ traçamos o número $4$ e traçamos uma linha perpendicular ao eixo $y$;
• na intersecção das retas perpendiculares obtemos o ponto $G(3; 4).$

Construção do ponto $H$:

• coordenada $x=0$, o que significa que o ponto está no eixo $y$;
• Vamos representar graficamente o número $(–4)$ no eixo $y$ e obter o ponto $H(0;–4).$

Construção do ponto $O$:

• ambas as coordenadas do ponto são iguais a zero, o que significa que o ponto está simultaneamente no eixo $y$ e no eixo $x$, portanto é o ponto de intersecção de ambos os eixos (a origem das coordenadas).