Elaboração de modelos matemáticos. Modelo matemático na prática Que tipo de modelo matemático usa algoritmos

Modelagem matemática

1. O que é modelagem matemática?

De meados do século XX. Métodos matemáticos e computadores começaram a ser amplamente utilizados em diversas áreas da atividade humana. Surgiram novas disciplinas como “economia matemática”, “química matemática”, “linguística matemática”, etc., estudando modelos matemáticos de objetos e fenômenos relevantes, bem como métodos para estudar esses modelos.

Um modelo matemático é uma descrição aproximada de qualquer classe de fenômenos ou objetos do mundo real na linguagem da matemática. O principal objetivo da modelagem é explorar esses objetos e prever os resultados de observações futuras. Porém, a modelagem também é um método de compreensão do mundo que nos rodeia, possibilitando controlá-lo.

A modelagem matemática e o experimento computacional associado são indispensáveis ​​nos casos em que um experimento em grande escala é impossível ou difícil por um motivo ou outro. Por exemplo, é impossível realizar um experimento natural na história para verificar “o que teria acontecido se...” É impossível verificar a exatidão de uma ou outra teoria cosmológica. É possível, mas pouco provável que seja razoável, fazer experiências com a propagação de uma doença, como a peste, ou realizar uma explosão nuclear para estudar as suas consequências. No entanto, tudo isso pode ser feito em um computador, construindo primeiro modelos matemáticos dos fenômenos em estudo.

2. Principais etapas da modelagem matemática

1) Construção de modelo. Nesta fase, é especificado algum objeto “não matemático” - um fenômeno natural, projeto, plano econômico, processo de produção, etc. Primeiramente, são identificadas as principais características do fenômeno e as conexões entre elas em nível qualitativo. Em seguida, as dependências qualitativas encontradas são formuladas na linguagem da matemática, ou seja, é construído um modelo matemático. Esta é a etapa mais difícil da modelagem.

2) Resolver o problema matemático ao qual o modelo leva. Nesta fase, muita atenção é dada ao desenvolvimento de algoritmos e métodos numéricos para resolver o problema em um computador, com a ajuda dos quais o resultado pode ser encontrado com a precisão necessária e em um tempo aceitável.

3) Interpretação das consequências obtidas a partir do modelo matemático. As consequências derivadas do modelo na linguagem da matemática são interpretadas na linguagem aceita na área.

4) Verificação da adequação do modelo. Nesta fase, é determinado se os resultados experimentais concordam com as consequências teóricas do modelo dentro de uma certa precisão.

5) Modificação do modelo. Nesta fase, ou o modelo é complicado para ficar mais adequado à realidade, ou é simplificado para se chegar a uma solução praticamente aceitável.

3. Classificação dos modelos

Os modelos podem ser classificados de acordo com diferentes critérios. Por exemplo, de acordo com a natureza dos problemas a serem resolvidos, os modelos podem ser divididos em funcionais e estruturais. No primeiro caso, todas as quantidades que caracterizam um fenômeno ou objeto são expressas quantitativamente. Além disso, algumas delas são consideradas variáveis ​​independentes, enquanto outras são consideradas funções dessas quantidades. Um modelo matemático é geralmente um sistema de equações de vários tipos (diferenciais, algébricas, etc.) que estabelecem relações quantitativas entre as quantidades consideradas. No segundo caso, o modelo caracteriza a estrutura de um objeto complexo constituído por partes individuais, entre as quais existem certas conexões. Normalmente, essas conexões não são quantificáveis. Para construir tais modelos, é conveniente usar a teoria dos grafos. Um gráfico é um objeto matemático que representa um conjunto de pontos (vértices) em um plano ou no espaço, alguns dos quais estão conectados por linhas (arestas).

Com base na natureza dos dados e resultados iniciais, os modelos de previsão podem ser divididos em determinísticos e estatísticos probabilísticos. Os modelos do primeiro tipo fazem previsões certas e inequívocas. Os modelos do segundo tipo baseiam-se em informações estatísticas e as previsões obtidas com a sua ajuda são de natureza probabilística.

4. Exemplos de modelos matemáticos

1) Problemas sobre o movimento de um projétil.

Considere o seguinte problema de mecânica.

O projétil é lançado da Terra com uma velocidade inicial v 0 = 30 m/s formando um ângulo a = 45° com sua superfície; é necessário encontrar a trajetória de seu movimento e a distância S entre os pontos inicial e final dessa trajetória.

Então, como é sabido no curso escolar de física, o movimento de um projétil é descrito pelas fórmulas:

onde t é o tempo, g = 10 m/s 2 é a aceleração da gravidade. Essas fórmulas fornecem um modelo matemático do problema. Expressando t através de x da primeira equação e substituindo-a na segunda, obtemos a equação da trajetória do projétil:

Esta curva (parábola) intercepta o eixo x em dois pontos: x 1 = 0 (início da trajetória) e (local onde o projétil caiu). Substituindo os valores dados de v0 e a nas fórmulas resultantes, obtemos

resposta: y = x – 90x 2, S = 90 m.

Observe que ao construir este modelo, foram utilizadas uma série de suposições: por exemplo, assume-se que a Terra é plana e que o ar e a rotação da Terra não afetam o movimento do projétil.

2) Problema sobre um tanque com a menor área superficial.

É necessário encontrar a altura h 0 e o raio r 0 de um tanque de estanho com volume V = 30 m 3, tendo a forma de um cilindro circular fechado, no qual sua área superficial S é mínima (neste caso, o mínimo quantidade de estanho será utilizada para sua produção).

Vamos escrever as seguintes fórmulas para o volume e a área superficial de um cilindro de altura h e raio r:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Expressando h através de r e V da primeira fórmula e substituindo a expressão resultante na segunda, obtemos:

Assim, do ponto de vista matemático, o problema se resume a determinar o valor de r no qual a função S(r) atinge o seu mínimo. Vamos encontrar os valores de r 0 para os quais a derivada

vai para zero: Você pode verificar que a segunda derivada da função S(r) muda de sinal de menos para mais quando o argumento r passa pelo ponto r 0 . Consequentemente, no ponto r0 a função S(r) tem um mínimo. O valor correspondente é h 0 = 2r 0 . Substituindo o valor dado V na expressão para r 0 e h 0, obtemos o raio desejado e altura

3) Problema de transporte.

A cidade possui dois armazéns de farinha e duas padarias. Todos os dias são transportadas 50 toneladas de farinha do primeiro armazém e 70 toneladas do segundo para as fábricas, sendo 40 toneladas para o primeiro e 80 toneladas para o segundo.

Vamos denotar por a ij é o custo de transporte de 1 tonelada de farinha do i-ésimo armazém para a j-ésima fábrica (i, j = 1,2). Deixar

a 11 = 1,2 rublos, a 12 = 1,6 rublos, a 21 = 0,8 esfregar., a 22 = 1 fricção.

Como o transporte deve ser planejado para que seu custo seja mínimo?

Vamos dar ao problema uma formulação matemática. Denotemos por x 1 e x 2 a quantidade de farinha que deve ser transportada do primeiro armazém para a primeira e segunda fábricas, e por x 3 e x 4 - do segundo armazém para a primeira e segunda fábricas, respectivamente. Então:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

O custo total de todo o transporte é determinado pela fórmula

f = 1,2x 1 + 1,6x 2 + 0,8x 3 + x 4.

Do ponto de vista matemático, o problema é encontrar quatro números x 1, x 2, x 3 e x 4 que satisfaçam todas as condições dadas e forneçam o mínimo da função f. Vamos resolver o sistema de equações (1) para xi (i = 1, 2, 3, 4) eliminando as incógnitas. Nós entendemos isso

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

e x 4 não pode ser determinado exclusivamente. Como x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), segue-se das equações (2) que 30Ј x 4 Ј 70. Substituindo a expressão para x 1, x 2, x 3 na fórmula para f, obtemos

f = 148 – 0,2x4.

É fácil perceber que o mínimo desta função é alcançado no valor máximo possível de x 4, ou seja, em x 4 = 70. Os valores correspondentes de outras incógnitas são determinados pelas fórmulas (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) O problema do decaimento radioativo.

Seja N(0) o número inicial de átomos de uma substância radioativa e N(t) o número de átomos não decompostos no tempo t. Foi estabelecido experimentalmente que a taxa de mudança no número desses átomos N"(t) é proporcional a N(t), ou seja, N"(t)=–l N(t), l >0 é o constante de radioatividade de uma determinada substância. No curso escolar de análise matemática é mostrado que a solução para esta equação diferencial tem a forma N(t) = N(0)e –l t. O tempo T durante o qual o número de átomos iniciais caiu pela metade é chamado de meia-vida e é uma característica importante da radioatividade de uma substância. Para determinar T, devemos colocar a fórmula Então Por exemplo, para o radônio l = 2,084 · 10 –6 e, portanto, T = 3,15 dias.

5) O problema do caixeiro viajante.

Um caixeiro viajante residente na cidade A 1 precisa visitar as cidades A 2 , A 3 e A 4 , cada cidade exatamente uma vez, e depois retornar para A 1 . Sabe-se que todas as cidades estão conectadas aos pares por estradas, e os comprimentos das estradas b ij entre as cidades A i e A j (i, j = 1, 2, 3, 4) são os seguintes:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

É necessário determinar a ordem de visita às cidades em que a extensão do caminho correspondente seja mínima.

Vamos representar cada cidade como um ponto no plano e marcá-la com o rótulo correspondente Ai (i = 1, 2, 3, 4). Vamos conectar esses pontos com linhas retas: eles representarão estradas entre cidades. Para cada “estrada” indicamos o seu comprimento em quilómetros (Fig. 2). O resultado é um gráfico - um objeto matemático que consiste em um certo conjunto de pontos no plano (chamados de vértices) e um certo conjunto de linhas conectando esses pontos (chamadas de arestas). Além disso, este gráfico é rotulado, uma vez que seus vértices e arestas recebem alguns rótulos - números (arestas) ou símbolos (vértices). Um ciclo em um gráfico é uma sequência de vértices V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 tal que os vértices V 1 , ..., V k são diferentes, e qualquer par de vértices V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) e o par V 1, V k estão conectados por uma aresta. Assim, o problema em consideração é encontrar um ciclo no grafo que passa por todos os quatro vértices para o qual a soma de todos os pesos das arestas é mínima. Vamos pesquisar todos os diferentes ciclos passando por quatro vértices e começando em A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

Vamos agora encontrar a duração desses ciclos (em km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Portanto, o percurso de menor comprimento é o primeiro.

Observe que se houver n vértices em um gráfico e todos os vértices estiverem conectados em pares por arestas (tal gráfico é chamado completo), então o número de ciclos que passam por todos os vértices é. Portanto, no nosso caso existem exatamente três ciclos.

6) O problema de encontrar uma ligação entre a estrutura e as propriedades das substâncias.

Vejamos vários compostos químicos chamados alcanos normais. Eles consistem em n átomos de carbono en + 2 átomos de hidrogênio (n = 1, 2 ...), interligados conforme mostrado na Figura 3 para n = 3. Sejam conhecidos os valores experimentais dos pontos de ebulição desses compostos:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

É necessário encontrar uma relação aproximada entre o ponto de ebulição e o número n para esses compostos. Suponhamos que esta dependência tenha a forma

você" a n+b,

Onde a, b - constantes a serem determinadas. Encontrar a e b substituímos nesta fórmula sequencialmente n = 3, 4, 5, 6 e os valores correspondentes dos pontos de ebulição. Nós temos:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+b.

Para determinar o melhor a eb existem muitos métodos diferentes. Vamos usar o mais simples deles. Vamos expressar b através a destas equações:

b » – 42 – 3 a, b " – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.

Tomemos a média aritmética desses valores como o b desejado, ou seja, colocamos b » 16 – 4,5 a. Vamos substituir este valor de b no sistema de equações original e, calculando a, obtemos por a os seguintes valores: a» 37, a» 28, a» 28, a" 36. Vamos considerar o necessário a o valor médio desses números, ou seja, vamos colocar a" 34. Portanto, a equação necessária tem a forma

y » 34n – 139.

Vamos verificar a precisão do modelo nos quatro compostos originais, para os quais calculamos os pontos de ebulição usando a fórmula resultante:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

Assim, o erro no cálculo desta propriedade para estes compostos não excede 5°. Usamos a equação resultante para calcular o ponto de ebulição de um composto com n = 7, que não está incluído no conjunto original, para o qual substituímos n = 7 nesta equação: y р (7) = 99°. O resultado foi bastante preciso: sabe-se que o valor experimental do ponto de ebulição y e (7) = 98°.

7) O problema de determinar a confiabilidade de um circuito elétrico.

Aqui veremos um exemplo de modelo probabilístico. Primeiro, apresentamos algumas informações da teoria das probabilidades – uma disciplina matemática que estuda os padrões de fenômenos aleatórios observados durante a repetição repetida de experimentos. Chamemos um evento aleatório A de um resultado possível de algum experimento. Os eventos A 1, ..., A k formam um grupo completo se um deles ocorrer necessariamente como resultado do experimento. Os eventos são chamados de incompatíveis se não puderem ocorrer simultaneamente em uma experiência. Deixe o evento A ocorrer m vezes durante uma repetição n vezes do experimento. A frequência do evento A é o número W = . Obviamente, o valor de W não pode ser previsto com precisão até que uma série de n experimentos seja realizada. No entanto, a natureza dos eventos aleatórios é tal que, na prática, às vezes se observa o seguinte efeito: à medida que o número de experimentos aumenta, o valor praticamente deixa de ser aleatório e se estabiliza em torno de algum número não aleatório P(A), denominado probabilidade de o evento A. Para um evento impossível (que nunca ocorre em um experimento) P(A)=0, e para um evento confiável (que sempre ocorre em uma experiência) P(A)=1. Se os eventos A 1 , ..., A k formam um grupo completo de eventos incompatíveis, então P(A 1)+...+P(A k)=1.

Deixe, por exemplo, o experimento consistir em lançar um dado e observar o número de pontos lançados X. Então podemos introduzir os seguintes eventos aleatórios A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Eles formam um grupo completo de eventos incompatíveis igualmente prováveis, portanto P(A i) = (i = 1, ..., 6).

A soma dos eventos A e B é o evento A + B, que consiste no fato de pelo menos um deles ocorrer na experiência. O produto dos eventos A e B é o evento AB, que consiste na ocorrência simultânea desses eventos. Para eventos independentes A e B, as seguintes fórmulas são verdadeiras:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Consideremos agora o seguinte tarefa. Suponhamos que três elementos estejam conectados em série a um circuito elétrico e operem independentemente um do outro. As probabilidades de falha do 1º, 2º e 3º elementos são respectivamente iguais a P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Consideraremos um circuito confiável se a probabilidade de não haver corrente no circuito não for superior a 0,4. É necessário determinar se um determinado circuito é confiável.

Como os elementos estão conectados em série, não haverá corrente no circuito (evento A) se pelo menos um dos elementos falhar. Seja A i o evento em que o i-ésimo elemento funciona (i = 1, 2, 3). Então P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Obviamente, A 1 A 2 A 3 é um evento no qual todos os três elementos trabalham simultaneamente, e

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Então P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, então P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Concluindo, notamos que os exemplos dados de modelos matemáticos (incluindo funcionais e estruturais, determinísticos e probabilísticos) são de natureza ilustrativa e, obviamente, não esgotam a variedade de modelos matemáticos que surgem nas ciências naturais e nas humanidades.

O que é um modelo matemático?

O conceito de modelo matemático.

Um modelo matemático é um conceito muito simples. E muito importante. São modelos matemáticos que conectam a matemática e a vida real.

Em termos simples, um modelo matemático é uma descrição matemática de qualquer situação. Isso é tudo. O modelo pode ser primitivo ou supercomplexo. Seja qual for a situação, esse é o modelo.)

Em qualquer (repito - em qualquer!) no caso em que você precisa contar e calcular algo - estamos engajados na modelagem matemática. Mesmo que não suspeitemos disso.)

P = 2 CB + 3 CM

Esta entrada será um modelo matemático dos custos de nossas compras. O modelo não leva em consideração cor da embalagem, prazo de validade, educação dos caixas, etc. É por isso que ela modelo, não uma compra real. Mas despesas, ou seja o que precisamos- descobriremos com certeza. Se o modelo estiver correto, é claro.

É útil imaginar o que é um modelo matemático, mas não é suficiente. O mais importante é poder construir esses modelos.

Elaboração (construção) de um modelo matemático do problema.

Criar um modelo matemático significa traduzir as condições do problema em forma matemática. Aqueles. transformar palavras em uma equação, fórmula, desigualdade, etc. Além disso, transforme-o para que esta matemática corresponda estritamente ao texto fonte. Caso contrário, acabaremos com um modelo matemático de algum outro problema desconhecido para nós.)

Mais especificamente, você precisa

Há um número infinito de tarefas no mundo. Portanto, ofereça instruções passo a passo claras para a elaboração de um modelo matemático qualquer tarefas são impossíveis.

Mas há três pontos principais aos quais você precisa prestar atenção.

1. Qualquer problema contém texto, por incrível que pareça.) Este texto, via de regra, contém informações explícitas e abertas. Números, valores, etc.

2. Qualquer problema tem informações ocultas. Este é um texto que pressupõe conhecimento adicional em sua cabeça. Não há como sem eles. Além disso, a informação matemática muitas vezes fica escondida atrás de palavras simples e... passa despercebida.

3. Qualquer tarefa deve ser dada conexão de dados entre si. Essa conexão pode ser dada em texto simples (algo é igual a alguma coisa) ou pode estar escondida atrás de palavras simples. Mas factos simples e claros são frequentemente ignorados. E o modelo não é compilado de forma alguma.

Direi desde já: para aplicar esses três pontos é preciso ler o problema (e com atenção!) várias vezes. A coisa habitual.

E agora - exemplos.

Vamos começar com um problema simples:

Petrovich voltou da pesca e orgulhosamente apresentou seu pescado à família. Após um exame mais detalhado, descobriu-se que 8 peixes vieram dos mares do norte, 20% de todos os peixes vieram dos mares do sul e nenhum veio do rio local onde Petrovich estava pescando. Quantos peixes Petrovich comprou na loja de frutos do mar?

Todas essas palavras precisam ser transformadas em algum tipo de equação. Para fazer isso você precisa, repito, estabelecer uma conexão matemática entre todos os dados do problema.

Onde começar? Primeiro, vamos extrair todos os dados da tarefa. Vamos começar em ordem:

Vamos prestar atenção ao primeiro ponto.

Qual deles está aqui? explícito informações matemáticas? 8 peixes e 20%. Não muito, mas não precisamos de muito.)

Prestemos atenção ao segundo ponto.

Estão procurando escondido Informação. Está aqui. Estas são as palavras: "20% de todos os peixes"Aqui você precisa entender o que são os percentuais e como são calculados. Caso contrário, o problema não pode ser resolvido. Essa é exatamente a informação adicional que deve estar na sua cabeça.

Há também matemático informações completamente invisíveis. Esse pergunta da tarefa: "Quantos peixes eu comprei..." Este também é um número. E sem isso nenhum modelo será formado. Portanto, vamos denotar esse número pela letra “X”. Ainda não sabemos a que x é igual, mas esta designação será muito útil para nós. Mais detalhes sobre o que considerar X e como lidar com isso estão escritos na lição Como resolver problemas de matemática? Vamos anotar imediatamente:

x peças - número total de peixes.

No nosso problema, os peixes do sul são dados como percentagens. Precisamos convertê-los em pedaços. Para que? Então o que qualquer o problema do modelo deve ser elaborado no mesmo tipo de quantidades. Pedaços - então tudo está em pedaços. Se recebermos, digamos, horas e minutos, traduzimos tudo em uma coisa - ou apenas horas ou apenas minutos. Não importa o que seja. É importante que todos os valores eram do mesmo tipo.

Voltemos à divulgação de informações. Quem não sabe o que é uma percentagem nunca vai revelar, sim... Mas quem sabe dirá imediatamente que as percentagens aqui são baseadas no número total de peixes. E não sabemos esse número. Nada vai funcionar!

Não é à toa que escrevemos o número total de peixes (em pedaços!) "X" designada. Não será possível contar a quantidade de peixes do sul, mas podemos anotá-los? Assim:

0,2 x peças - o número de peixes dos mares do sul.

Agora baixamos todas as informações da tarefa. Tanto óbvio quanto oculto.

Prestemos atenção ao terceiro ponto.

Estão procurando conexão matemática entre os dados da tarefa. Essa conexão é tão simples que muitos não percebem... Isso acontece com frequência. Aqui é útil simplesmente anotar os dados coletados em uma pilha e ver o que acontece.

O que nós temos? Comer 8 peças peixe do norte, 0,2 x peças- peixes do sul e x peixe- montante total. É possível vincular esses dados de alguma forma? Sim, fácil! Número total de peixes é igual a a soma do sul e do norte! Bem, quem diria...) Então anotamos:

x = 8 + 0,2x

Esta é a equação modelo matemático do nosso problema.

Observe que neste problema Não somos solicitados a dobrar nada! Fomos nós mesmos, loucamente, que percebemos que a soma dos peixes do sul e do norte nos daria o número total. A coisa é tão óbvia que passa despercebida. Mas sem esta evidência, um modelo matemático não pode ser criado. Assim.

Agora você pode usar todo o poder da matemática para resolver esta equação). É precisamente por isso que o modelo matemático foi compilado. Resolvemos esta equação linear e obtemos a resposta.

Responder: x=10

Vamos criar um modelo matemático de outro problema:

Eles perguntaram a Petrovich: “Você tem muito dinheiro?” Petrovich começou a chorar e respondeu: "Sim, só um pouco. Se eu gastar metade de todo o dinheiro e metade do resto, só me sobrará um saco de dinheiro..." Quanto dinheiro Petrovich tem ?

Novamente trabalhamos ponto por ponto.

1. Procuramos informações explícitas. Você não vai encontrar imediatamente! Informações explícitas são um Bolsa de dinheiro. Existem algumas outras metades... Bem, veremos isso no segundo ponto.

2. Procuramos informações ocultas. Estas são metades. O que? Não é muito claro. Estamos olhando mais longe. Há mais uma pergunta: "Quanto dinheiro Petrovich tem?" Vamos denotar a quantidade de dinheiro pela letra "X":

X- todo o dinheiro

E novamente lemos o problema. Já sabendo que Petrovich X dinheiro. É aqui que as metades funcionarão! Nós anotamos:

0,5 x- metade de todo o dinheiro.

O restante também será a metade, ou seja, 0,5x. E metade da metade pode ser escrita assim:

0,5 0,5x = 0,25x- metade do restante.

Agora todas as informações ocultas foram reveladas e registradas.

3. Procuramos uma conexão entre os dados registrados. Aqui você pode simplesmente ler o sofrimento de Petrovich e anotá-lo matematicamente):

Se eu gastar metade de todo o dinheiro...

Vamos registrar esse processo. Todo o dinheiro - X. Metade - 0,5 x. Gastar é tirar. A frase vira uma gravação:

x-0,5x

sim, metade do resto...

Vamos subtrair outra metade do restante:

x - 0,5x - 0,25x

então só me restará um saco de dinheiro...

E aqui encontramos igualdade! Depois de todas as subtrações, resta um saco de dinheiro:

x - 0,5x - 0,25x = 1

Aqui está, um modelo matemático! Esta é novamente uma equação linear, nós a resolvemos e obtemos:

Pergunta para consideração. Quanto é quatro? Rublo, dólar, yuan? E em que unidades o dinheiro está escrito em nosso modelo matemático? Em sacos! Isso significa quatro bolsa dinheiro de Petrovich. Bom também.)

As tarefas são, obviamente, elementares. Isto é especificamente para capturar a essência da elaboração de um modelo matemático. Algumas tarefas podem conter muito mais dados, nos quais pode ser fácil se perder. Isso geralmente acontece nos chamados. tarefas de competência. Como extrair conteúdo matemático de uma pilha de palavras e números é mostrado com exemplos

Mais uma nota. Nos problemas escolares clássicos (tubos enchendo uma piscina, barcos flutuando em algum lugar, etc.), todos os dados, via de regra, são selecionados com muito cuidado. Existem duas regras:
- há informações suficientes no problema para resolvê-lo,
- Não há informações desnecessárias em um problema.

Esta é uma dica. Se houver algum valor não utilizado no modelo matemático, pense se há algum erro. Se não houver dados suficientes, muito provavelmente nem todas as informações ocultas foram identificadas e registadas.

Nas tarefas relacionadas com competências e outras tarefas da vida, estas regras não são rigorosamente observadas. Nenhuma pista. Mas tais problemas também podem ser resolvidos. Se, claro, você praticar os clássicos.)

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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Vamos aprender - com interesse!)

Você pode se familiarizar com funções e derivadas.

De acordo com o livro de Sovetov e Yakovlev: “um modelo (lat. módulo - medida) é um objeto substituto do objeto original, o que garante o estudo de algumas propriedades do original”. (p. 6) “Substituir um objeto por outro para obter informações sobre as propriedades mais importantes do objeto original usando um objeto modelo é chamado de modelagem.” (p. 6) “Por modelagem matemática entendemos o processo de estabelecimento de uma correspondência de um determinado objeto real com um determinado objeto matemático, denominado modelo matemático, e o estudo desse modelo, que nos permite obter as características do real objeto em consideração. O tipo de modelo matemático depende tanto da natureza do objeto real quanto das tarefas de estudo do objeto e da confiabilidade e precisão necessárias para resolver este problema.”

Finalmente, a definição mais concisa de um modelo matemático: "Uma equação que expressa uma ideia."

Classificação do modelo

Classificação formal de modelos

A classificação formal dos modelos é baseada na classificação das ferramentas matemáticas utilizadas. Muitas vezes construído na forma de dicotomias. Por exemplo, um dos conjuntos populares de dicotomias:

e assim por diante. Cada modelo construído é linear ou não linear, determinístico ou estocástico, ... Naturalmente, também são possíveis tipos mistos: concentrados em um aspecto (em termos de parâmetros), distribuídos em outro, etc.

Classificação de acordo com a forma como o objeto é representado

Junto com a classificação formal, os modelos diferem na forma como representam um objeto:

• Modelos estruturais ou funcionais

Os modelos estruturais representam um objeto como um sistema com estrutura e mecanismo de funcionamento próprios. Os modelos funcionais não usam tais representações e refletem apenas o comportamento (funcionamento) percebido externamente de um objeto. Em sua expressão extrema, eles também são chamados de modelos de “caixa preta”.Também são possíveis tipos combinados de modelos, às vezes chamados de modelos de “caixa cinza”.

Conteúdo e modelos formais

Quase todos os autores que descrevem o processo de modelagem matemática indicam que primeiro é construída uma estrutura ideal especial, modelo de conteúdo. Não há aqui uma terminologia estabelecida, e outros autores chamam esse objeto ideal modelo conceitual , modelo especulativo ou pré-modelo. Neste caso, a construção matemática final é chamada modelo formal ou simplesmente um modelo matemático obtido a partir da formalização de um determinado modelo significativo (pré-modelo). A construção de um modelo significativo pode ser feita utilizando um conjunto de idealizações prontas, como na mecânica, onde molas ideais, corpos rígidos, pêndulos ideais, meios elásticos, etc. fornecem elementos estruturais prontos para modelagem significativa. Contudo, em áreas do conhecimento onde não existem teorias formalizadas totalmente concluídas (a vanguarda da física, biologia, economia, sociologia, psicologia e muitas outras áreas), a criação de modelos significativos torna-se dramaticamente mais difícil.

Classificação de conteúdo de modelos

Nenhuma hipótese na ciência pode ser provada de uma vez por todas. Richard Feynman formulou isso muito claramente:

“Sempre temos a oportunidade de refutar uma teoria, mas note que nunca poderemos provar que ela está correta. Suponhamos que você apresentou uma hipótese bem-sucedida, calculou aonde ela leva e descobriu que todas as suas consequências foram confirmadas experimentalmente. Isso significa que sua teoria está correta? Não, significa simplesmente que você não conseguiu refutá-lo.”

Se um modelo do primeiro tipo for construído, isso significa que ele será temporariamente reconhecido como verdade e poderá se concentrar em outros problemas. No entanto, este não pode ser um ponto de investigação, mas apenas uma pausa temporária: o estatuto de um modelo do primeiro tipo só pode ser temporário.

Tipo 2: Modelo fenomenológico (nos comportamos como se…)

Um modelo fenomenológico contém um mecanismo para descrever um fenômeno. No entanto, este mecanismo não é suficientemente convincente, não pode ser suficientemente confirmado pelos dados disponíveis ou não se enquadra bem nas teorias existentes e no conhecimento acumulado sobre o objeto. Portanto, os modelos fenomenológicos têm o estatuto de soluções temporárias. Acredita-se que a resposta ainda é desconhecida e a busca pelos “verdadeiros mecanismos” deve continuar. Peierls inclui, por exemplo, o modelo calórico e o modelo quark de partículas elementares como o segundo tipo.

O papel do modelo na investigação pode mudar ao longo do tempo, e pode acontecer que novos dados e teorias confirmem modelos fenomenológicos e sejam promovidos ao estatuto de hipótese. Da mesma forma, novos conhecimentos podem gradualmente entrar em conflito com modelos-hipóteses do primeiro tipo e podem ser traduzidos no segundo. Assim, o modelo quark está gradualmente passando para a categoria de hipóteses; o atomismo na física surgiu como uma solução temporária, mas com o decorrer da história tornou-se o primeiro tipo. Mas os modelos do éter passaram do tipo 1 para o tipo 2 e agora estão fora da ciência.

A ideia de simplificação é muito popular na construção de modelos. Mas a simplificação assume diferentes formas. Peierls identifica três tipos de simplificações na modelagem.

Tipo 3: Aproximação (consideramos algo muito grande ou muito pequeno)

Se for possível construir equações que descrevam o sistema em estudo, isso não significa que possam ser resolvidas mesmo com a ajuda de um computador. Uma técnica comum neste caso é o uso de aproximações (modelos tipo 3). Entre eles modelos de resposta linear. As equações são substituídas por lineares. Um exemplo padrão é a lei de Ohm.

Aí vem o Tipo 8, que é muito difundido em modelos matemáticos de sistemas biológicos.

Tipo 8: Demonstração de recursos (o principal é mostrar a consistência interna da possibilidade)

Estas são também experiências mentais com entidades imaginárias, demonstrando que suposto fenômeno consistente com os princípios básicos e internamente consistente. Esta é a principal diferença em relação aos modelos do tipo 7, que revelam contradições ocultas.

Um dos mais famosos desses experimentos é a geometria de Lobachevsky (Lobachevsky a chamou de “geometria imaginária”). Outro exemplo é a produção em massa de modelos formalmente cinéticos de vibrações químicas e biológicas, ondas automáticas, etc. O paradoxo de Einstein-Podolsky-Rosen foi concebido como um modelo tipo 7 para demonstrar a inconsistência da mecânica quântica. De forma totalmente não planejada, acabou se transformando em um modelo tipo 8 – uma demonstração da possibilidade de teletransporte quântico de informações.

Exemplo

Considere um sistema mecânico que consiste em uma mola presa em uma extremidade e uma massa de massa eu preso à extremidade livre da mola. Assumiremos que a carga só pode se mover na direção do eixo da mola (por exemplo, o movimento ocorre ao longo da haste). Vamos construir um modelo matemático deste sistema. Descreveremos o estado do sistema pela distância x do centro da carga até sua posição de equilíbrio. Vamos descrever a interação da mola e da carga usando Lei de Hooke (F = − kx ) e então use a segunda lei de Newton para expressá-la na forma de uma equação diferencial:

onde significa a segunda derivada de x por tempo: .

A equação resultante descreve o modelo matemático do sistema físico considerado. Este modelo é denominado "oscilador harmônico".

Segundo a classificação formal, este modelo é linear, determinístico, dinâmico, concentrado, contínuo. No processo de sua construção, fizemos muitas suposições (sobre a ausência de forças externas, a ausência de atrito, a pequenez dos desvios, etc.), que na realidade podem não ser cumpridas.

Em relação à realidade, este é na maioria das vezes um modelo tipo 4 simplificação(“omitiremos alguns detalhes para maior clareza”), uma vez que algumas características universais essenciais (por exemplo, dissipação) são omitidas. Com alguma aproximação (digamos, embora o desvio da carga em relação ao equilíbrio seja pequeno, com baixo atrito, por não muito tempo e sujeito a outras condições), tal modelo descreve muito bem um sistema mecânico real, uma vez que os fatores descartados foram um efeito insignificante em seu comportamento. No entanto, o modelo pode ser refinado tendo em conta alguns destes factores. Isto conduzirá a um novo modelo, com um âmbito de aplicabilidade mais amplo (embora novamente limitado).

Porém, ao refinar o modelo, a complexidade de sua pesquisa matemática pode aumentar significativamente e tornar o modelo praticamente inútil. Muitas vezes, um modelo mais simples permite uma exploração melhor e mais profunda de um sistema real do que um modelo mais complexo (e, formalmente, “mais correto”).

Se aplicarmos o modelo do oscilador harmônico a objetos distantes da física, seu status substantivo poderá ser diferente. Por exemplo, ao aplicar este modelo a populações biológicas, provavelmente deveria ser classificado como tipo 6 analogia(“vamos levar em conta apenas algumas características”).

Modelos duros e macios

O oscilador harmônico é um exemplo do chamado modelo “hard”. É obtido como resultado de uma forte idealização de um sistema físico real. Para resolver a questão da sua aplicabilidade, é necessário compreender quão significativos são os fatores que negligenciamos. Em outras palavras, é necessário estudar o modelo “soft”, que é obtido por uma pequena perturbação do modelo “hard”. Pode ser dado, por exemplo, pela seguinte equação:

Aqui está alguma função que pode levar em consideração a força de atrito ou a dependência do coeficiente de rigidez da mola no grau de seu alongamento - algum pequeno parâmetro. Formulário de função explícita f Não estamos interessados ​​no momento. Se provarmos que o comportamento do modelo soft não é fundamentalmente diferente do comportamento do modelo hard (independentemente do tipo explícito de fatores perturbadores, se forem suficientemente pequenos), o problema será reduzido ao estudo do modelo hard. Caso contrário, a aplicação dos resultados obtidos no estudo do modelo rígido exigirá pesquisas adicionais. Por exemplo, a solução da equação de um oscilador harmônico são funções da forma , ou seja, oscilações com amplitude constante. Segue-se disso que um oscilador real oscilará indefinidamente com uma amplitude constante? Não, porque considerando um sistema com atrito arbitrariamente pequeno (sempre presente num sistema real), obtemos oscilações amortecidas. O comportamento do sistema mudou qualitativamente.

Se um sistema mantém o seu comportamento qualitativo sob pequenas perturbações, diz-se que é estruturalmente estável. Um oscilador harmônico é um exemplo de sistema estruturalmente instável (não rugoso). No entanto, este modelo pode ser usado para estudar processos durante períodos limitados de tempo.

Versatilidade de modelos

Os modelos matemáticos mais importantes geralmente têm a importante propriedade versatilidade: Fenômenos reais fundamentalmente diferentes podem ser descritos pelo mesmo modelo matemático. Por exemplo, um oscilador harmônico descreve não apenas o comportamento de uma carga em uma mola, mas também outros processos oscilatórios, muitas vezes de natureza completamente diferente: pequenas oscilações de um pêndulo, flutuações no nível de um líquido em você vaso em forma de vaso ou uma mudança na intensidade da corrente em um circuito oscilatório. Assim, ao estudar um modelo matemático, estudamos imediatamente toda uma classe de fenômenos por ele descritos. É esse isomorfismo de leis expresso por modelos matemáticos em diversos segmentos do conhecimento científico que inspirou Ludwig von Bertalanffy a criar a “Teoria Geral dos Sistemas”.

Problemas diretos e inversos de modelagem matemática

Existem muitos problemas associados à modelagem matemática. Primeiramente é necessário elaborar um diagrama básico do objeto modelado, reproduzi-lo dentro da estrutura das idealizações desta ciência. Assim, um vagão de trem se transforma em um sistema de placas e corpos mais complexos de diferentes materiais, cada material é especificado conforme sua idealização mecânica padrão (densidade, módulos elásticos, características de resistência padrão), após o que são traçadas equações, e ao longo do caminho alguns detalhes são descartados como sem importância, cálculos são feitos, comparados com medições, o modelo é refinado e assim por diante. Porém, para desenvolver tecnologias de modelagem matemática, é útil desmontar esse processo em seus componentes principais.

Tradicionalmente, existem duas classes principais de problemas associados a modelos matemáticos: diretos e inversos.

Tarefa direta: a estrutura do modelo e todos os seus parâmetros são considerados conhecidos, a principal tarefa é realizar um estudo do modelo para extrair conhecimentos úteis sobre o objeto. Que carga estática a ponte suportará? Como reagirá a uma carga dinâmica (por exemplo, à marcha de uma companhia de soldados ou à passagem de um trem em velocidades diferentes), como o avião superará a barreira do som, se desmoronará devido à vibração - estes são exemplos típicos de um problema direto. Definir o problema direto certo (fazer a pergunta certa) requer habilidade especial. Se as perguntas certas não forem feitas, uma ponte pode ruir, mesmo que tenha sido construído um bom modelo para o seu comportamento. Assim, em 1879, uma ponte metálica sobre o rio Tay desabou na Inglaterra, cujos projetistas construíram um modelo da ponte, calcularam que ela tinha um fator de segurança de 20 vezes para a ação da carga útil, mas esqueceram constantemente dos ventos soprando nesses lugares. E depois de um ano e meio entrou em colapso.

No caso mais simples (uma equação do oscilador, por exemplo), o problema direto é muito simples e se reduz a uma solução explícita desta equação.

Problema inverso: muitos modelos possíveis são conhecidos, um modelo específico deve ser selecionado com base em dados adicionais sobre o objeto. Na maioria das vezes, a estrutura do modelo é conhecida e alguns parâmetros desconhecidos precisam ser determinados. Informações adicionais podem consistir em dados empíricos adicionais ou requisitos para o objeto ( problema de projeto). Dados adicionais podem chegar independentemente do processo de resolução do problema inverso ( observação passiva) ou ser resultado de um experimento especialmente planejado durante a solução ( vigilância ativa).

Um dos primeiros exemplos de uma solução magistral para um problema inverso com o uso mais completo dos dados disponíveis foi o método construído por I. Newton para reconstruir as forças de atrito a partir de oscilações amortecidas observadas.

Exemplos adicionais

Onde x é- o tamanho da população de “equilíbrio”, no qual a taxa de natalidade é exatamente compensada pela taxa de mortalidade. O tamanho da população em tal modelo tende a um valor de equilíbrio x é, e esse comportamento é estruturalmente estável.

Este sistema tem um estado de equilíbrio quando o número de coelhos e raposas é constante. O desvio deste estado resulta em flutuações no número de coelhos e raposas, semelhantes às flutuações de um oscilador harmônico. Tal como acontece com o oscilador harmónico, este comportamento não é estruturalmente estável: uma pequena mudança no modelo (por exemplo, tendo em conta os recursos limitados exigidos pelos coelhos) pode levar a uma mudança qualitativa no comportamento. Por exemplo, o estado de equilíbrio pode tornar-se estável e as flutuações nos números desaparecerão. A situação inversa também é possível, quando qualquer pequeno desvio da posição de equilíbrio levará a consequências catastróficas, até a extinção total de uma das espécies. O modelo Volterra-Lotka não responde à questão de qual destes cenários está a ser concretizado: aqui é necessária investigação adicional.

Notas

1. “Uma representação matemática da realidade” (Enciclopédia Britânica)
2. Novik I. B., Sobre questões filosóficas de modelagem cibernética. M., Conhecimento, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelagem de sistemas: Proc. para universidades - 3ª ed., revisada. e adicional - M.: Mais alto. escola, 2001. - 343 p. ISBN5-06-003860-2
4. Samarsky A.A., Mikhailov A.P. Modelagem matemática. Ideias. Métodos. Exemplos. . - 2ª ed., revisada. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A. D., Elementos da teoria dos modelos matemáticos. - 3ª ed., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 com ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wikcionário: modelo matemático
7. Notas sobre penhascos
8. Abordagens de redução de modelo e granulação grossa para fenômenos multiescala, Springer, série Complexity, Berlim-Heidelberg-Nova York, 2006. XII+562 pp. ISBN3-540-35885-4
9. “Uma teoria é considerada linear ou não linear dependendo do tipo de aparato matemático – linear ou não linear – e do tipo de modelos matemáticos lineares ou não lineares que ela utiliza. ...sem negar o último. Um físico moderno, se tivesse que recriar a definição de uma entidade tão importante como a não linearidade, muito provavelmente agiria de forma diferente e, dando preferência à não linearidade como o mais importante e difundido dos dois opostos, definiria a linearidade como “não linear”. Não-linearidade." Danilov Yu.A., Aulas sobre dinâmica não linear. Introdução elementar. Série “Sinergética: do passado ao futuro”. Edição 2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
10. “Sistemas dinâmicos modelados por um número finito de equações diferenciais ordinárias são chamados de sistemas concentrados ou pontuais. Eles são descritos usando um espaço de fase de dimensão finita e são caracterizados por um número finito de graus de liberdade. O mesmo sistema sob diferentes condições pode ser considerado concentrado ou distribuído. Os modelos matemáticos de sistemas distribuídos são equações diferenciais parciais, equações integrais ou equações ordinárias de atraso. O número de graus de liberdade de um sistema distribuído é infinito e um número infinito de dados é necessário para determinar seu estado.” Anishchenko V.S., Sistemas dinâmicos, revista educacional Soros, 1997, nº 11, p. 77-84.
11. “Dependendo da natureza dos processos estudados no sistema S, todos os tipos de modelagem podem ser divididos em determinística e estocástica, estática e dinâmica, discreta, contínua e discreta-contínua. A modelagem determinística reflete processos determinísticos, ou seja, processos nos quais se assume a ausência de quaisquer influências aleatórias; a modelagem estocástica retrata processos e eventos probabilísticos. ... A modelagem estática serve para descrever o comportamento de um objeto em qualquer momento, e a modelagem dinâmica reflete o comportamento de um objeto ao longo do tempo. A modelagem discreta é usada para descrever processos que são considerados discretos, respectivamente, a modelagem contínua nos permite refletir processos contínuos em sistemas, e a modelagem discreta-contínua é usada para casos em que se deseja destacar a presença de processos discretos e contínuos. ” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelagem de sistemas: Proc. para universidades - 3ª ed., revisada. e adicional - M.: Mais alto. escola, 2001. - 343 p. ISBN5-06-003860-2
12. Normalmente, um modelo matemático reflete a estrutura (dispositivo) do objeto modelado, as propriedades e relações dos componentes desse objeto que são essenciais para fins de pesquisa; tal modelo é denominado estrutural. Se o modelo reflete apenas como o objeto funciona - por exemplo, como ele reage a influências externas - então ele é chamado de funcional ou, figurativamente, de caixa preta. Modelos combinados também são possíveis. Myshkis A. D., Elementos da teoria dos modelos matemáticos. - 3ª ed., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 com ISBN 978-5-484-00953-4
13. “O estágio inicial óbvio, mas mais importante, da construção ou seleção de um modelo matemático é obter uma imagem tão clara quanto possível sobre o objeto que está sendo modelado e refinar seu modelo significativo, com base em discussões informais. Você não deve poupar tempo e esforço nesta fase, o sucesso de todo o estudo depende muito disso. Já aconteceu mais de uma vez que um trabalho significativo gasto na resolução de um problema matemático acabou sendo ineficaz ou mesmo desperdiçado devido à atenção insuficiente a este lado da questão.” Myshkis A. D., Elementos da teoria dos modelos matemáticos. - 3ª ed., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 com ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
14. « Descrição do modelo conceitual do sistema. Nesta subetapa da construção de um modelo de sistema: a) o modelo conceitual M é descrito em termos e conceitos abstratos; b) uma descrição do modelo é dada usando esquemas matemáticos padrão; c) as hipóteses e suposições são finalmente aceitas; d) justifica-se a escolha do procedimento de aproximação de processos reais na construção de um modelo.” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelagem de sistemas: Proc. para universidades - 3ª ed., revisada. e adicional - M.: Mais alto. escola, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, pág. 93.
15. Blekhman I.I., Myshkis A.D., Panovko N.G., Matemática aplicada: Assunto, lógica, características das abordagens. Com exemplos de mecânica: Livro didático. - 3ª ed., rev. e adicional - M.: URSS, 2006. - 376 p. ISBN 5-484-00163-3, Capítulo 2.

Palestra 1.

BÁSICOS METODOLÓGICOS DE MODELAGEM

Estado atual do problema de modelagem de sistemas

Conceitos de Modelagem e Simulação

Modelagem pode ser considerada como a substituição do objeto em estudo (original) por sua imagem convencional, descrição ou outro objeto denominado modelo e proporcionar um comportamento próximo do original dentro da estrutura de certas suposições e erros aceitáveis. A modelagem geralmente é realizada com o objetivo de compreender as propriedades do original, estudando seu modelo, e não o objeto em si. É claro que a modelagem se justifica quando é mais simples do que criar o original em si, ou quando, por algum motivo, é melhor nem criar o original.

Sob modeloé entendido como um objeto físico ou abstrato, cujas propriedades são, em certo sentido, semelhantes às propriedades do objeto em estudo.Neste caso, os requisitos do modelo são determinados pelo problema a ser resolvido e pelos meios disponíveis. Existem vários requisitos gerais para modelos:

2) integridade – fornecer ao destinatário todas as informações necessárias

sobre o objeto;

3) flexibilidade - capacidade de reproduzir situações diferentes em tudo

gama de mudanças nas condições e parâmetros;

4) a complexidade do desenvolvimento deve ser aceitável para o existente

tempo e software.

Modelagemé o processo de construção de um modelo de um objeto e estudo de suas propriedades examinando o modelo.

Assim, a modelagem envolve 2 etapas principais:

1) desenvolvimento de um modelo;

2) estudo do modelo e retirada de conclusões.

Ao mesmo tempo, em cada etapa, diferentes tarefas são resolvidas e

métodos e meios essencialmente diferentes.

Na prática, vários métodos de modelagem são utilizados. Dependendo do método de implementação, todos os modelos podem ser divididos em duas grandes classes: físicos e matemáticos.

Modelagem matemática Geralmente é considerado um meio de estudar processos ou fenômenos utilizando seus modelos matemáticos.

Sob modelagem física refere-se ao estudo de objetos e fenômenos em modelos físicos, quando o processo em estudo é reproduzido preservando sua natureza física ou é utilizado outro fenômeno físico semelhante ao que está sendo estudado. Em que modelos físicos Via de regra, eles assumem a personificação real das propriedades físicas do original que são significativas em situação particular... Por exemplo, ao projetar uma nova aeronave, é criado um modelo que possui as mesmas propriedades aerodinâmicas; Ao planejar um empreendimento, os arquitetos elaboram uma maquete que reflete a disposição espacial de seus elementos. Nesse sentido, a modelagem física também é chamada prototipagem.

Modelagem de meia-vidaé um estudo de sistemas controláveis ​​​​em complexos de modelagem com inclusão de equipamentos reais no modelo. Junto com equipamentos reais, o modelo fechado inclui simuladores de influências e interferências, modelos matemáticos do ambiente externo e processos para os quais não se conhece uma descrição matemática suficientemente precisa. A inclusão de equipamentos ou sistemas reais no circuito de modelagem de processos complexos permite reduzir a incerteza a priori e explorar processos para os quais não existe uma descrição matemática exata. Utilizando modelagem seminatural, a pesquisa é realizada levando em consideração pequenas constantes de tempo e linearidades inerentes a equipamentos reais. Ao estudar modelos utilizando equipamentos reais, o conceito é utilizado simulação dinâmica, ao estudar sistemas e fenômenos complexos - evolutivo, imitação E modelagem cibernética.

Obviamente, o benefício real da modelagem só pode ser obtido se duas condições forem atendidas:

1) o modelo fornece uma exibição correta (adequada) das propriedades

o original, significativo do ponto de vista da operação em estudo;

2) o modelo permite eliminar os problemas listados acima inerentes

conduzindo pesquisas em objetos reais.

2. Conceitos básicos de modelagem matemática

A resolução de problemas práticos utilizando métodos matemáticos é realizada de forma consistente através da formulação do problema (desenvolvimento de um modelo matemático), da escolha de um método de estudo do modelo matemático resultante e da análise do resultado matemático obtido. A formulação matemática do problema geralmente é apresentada na forma de imagens geométricas, funções, sistemas de equações, etc. A descrição de um objeto (fenômeno) pode ser representada por meio de formas matemáticas contínuas ou discretas, determinísticas ou estocásticas e outras.

Teoria da modelagem matemática garante a identificação de padrões de ocorrência de diversos fenômenos no mundo circundante ou de operação de sistemas e dispositivos por meio de sua descrição matemática e modelagem sem a realização de testes em escala real. Neste caso, são utilizadas disposições e leis da matemática que descrevem fenômenos, sistemas ou dispositivos simulados em algum nível de sua idealização.

Modelo matemático (MM)é uma descrição formalizada de um sistema (ou operação) em alguma linguagem abstrata, por exemplo, na forma de um conjunto de relações matemáticas ou de um diagrama de algoritmo, ou seja, isto é, uma descrição matemática que fornece simulação da operação de sistemas ou dispositivos a um nível suficientemente próximo do seu comportamento real obtido durante testes em escala real de sistemas ou dispositivos.

Qualquer MM descreve um objeto, fenômeno ou processo real com algum grau de aproximação da realidade. O tipo de MM depende tanto da natureza do objeto real quanto dos objetivos do estudo.

Modelagem matemática fenômenos sociais, econômicos, biológicos e físicos, objetos, sistemas e vários dispositivos são um dos meios mais importantes de compreender a natureza e projetar uma ampla variedade de sistemas e dispositivos. São conhecidos exemplos do uso eficaz da modelagem na criação de tecnologias nucleares, sistemas de aviação e aeroespaciais, na previsão de fenômenos atmosféricos e oceânicos, meteorológicos, etc.

No entanto, essas áreas sérias de modelagem geralmente exigem supercomputadores e anos de trabalho de grandes equipes de cientistas para preparar dados para modelagem e sua depuração. No entanto, neste caso, a modelagem matemática de sistemas e dispositivos complexos não só economiza dinheiro em pesquisas e testes, mas também pode eliminar desastres ambientais - por exemplo, permite abandonar os testes de armas nucleares e termonucleares em favor de sua modelagem matemática. ou testes de sistemas aeroespaciais antes de seus vôos reais. Entre Portanto, a modelagem matemática ao nível da resolução de problemas mais simples, por exemplo, do campo da mecânica, engenharia elétrica, eletrônica, engenharia de rádio e muitas outras áreas da ciência e tecnologia tornou-se agora disponível para execução em PCs modernos. E ao utilizar modelos generalizados, torna-se possível simular sistemas bastante complexos, por exemplo, sistemas e redes de telecomunicações, radares ou sistemas de radionavegação.

O propósito da modelagem matemáticaé a análise de processos reais (na natureza ou tecnologia) utilizando métodos matemáticos. Por sua vez, isso requer a formalização do processo MM a ser estudado. O modelo pode ser uma expressão matemática contendo variáveis ​​cujo comportamento é semelhante ao comportamento de um sistema real. O modelo pode incluir elementos de aleatoriedade que levam em conta as probabilidades de possíveis ações de dois ou mais “jogadores”, como, por exemplo, nos jogos teóricos; ou pode representar variáveis ​​reais de partes interconectadas do sistema operacional.

A modelagem matemática para estudo das características dos sistemas pode ser dividida em analítica, simulação e combinada. Por sua vez, os MMs são divididos em simulação e analíticos.

Modelagem Analítica

Para modelagem analíticaÉ característico que os processos de funcionamento do sistema sejam escritos na forma de certas relações funcionais (equações algébricas, diferenciais, integrais). O modelo analítico pode ser estudado usando os seguintes métodos:

1) analíticos, quando buscam obter, de forma geral, dependências explícitas para as características dos sistemas;

2) numérica, quando não é possível encontrar uma solução para as equações de forma geral e elas são resolvidas para dados iniciais específicos;

3) qualitativa, quando na ausência de solução são encontradas algumas de suas propriedades.

Modelos analíticos só podem ser obtidos para sistemas relativamente simples. Para sistemas complexos, muitas vezes surgem grandes problemas matemáticos. Para aplicar o método analítico, recorrem a uma simplificação significativa do modelo original. No entanto, a pesquisa que utiliza um modelo simplificado ajuda a obter resultados apenas indicativos. Os modelos analíticos refletem matematicamente corretamente a relação entre variáveis ​​e parâmetros de entrada e saída. Mas a sua estrutura não reflete a estrutura interna do objeto.

Durante a modelagem analítica, seus resultados são apresentados na forma de expressões analíticas. Por exemplo, conectando R.C.- circuito para uma fonte de tensão constante E(R, C E E- componentes deste modelo), podemos criar uma expressão analítica para a dependência da tensão no tempo você(t) no capacitor C:

Esta equação diferencial linear (DE) é o modelo analítico deste circuito linear simples. Sua solução analítica, sob a condição inicial você(0) = 0, significando um capacitor descarregado C no início da modelagem, permite encontrar a dependência desejada - na forma de uma fórmula:

você(t) = E(1− exp(- t/RC)). (2)

Contudo, mesmo neste exemplo mais simples, são necessários certos esforços para resolver DE (1) ou para aplicar sistemas matemáticos de computador(SCM) com cálculos simbólicos – sistemas de álgebra computacional. Para este caso completamente trivial, resolver o problema de modelar uma linha linear R.C.-circuit fornece a expressão analítica (2) de uma forma bastante geral - é adequada para descrever a operação do circuito para quaisquer classificações de componentes R, C E E, e descreve a carga exponencial do capacitor C através de um resistor R de uma fonte de tensão constante E.

É claro que encontrar soluções analíticas durante a modelagem analítica acaba sendo extremamente valioso para identificar padrões teóricos gerais de circuitos, sistemas e dispositivos lineares simples.No entanto, sua complexidade aumenta acentuadamente à medida que as influências no modelo se tornam mais complexas e a ordem e o número de equações de estado que descrevem o aumento do objeto modelado. Você pode obter resultados mais ou menos visíveis ao modelar objetos de segunda ou terceira ordem, mas com uma ordem superior, as expressões analíticas tornam-se excessivamente complicadas, complexas e difíceis de compreender. Por exemplo, mesmo um amplificador eletrônico simples geralmente contém dezenas de componentes. No entanto, muitos SCMs modernos, por exemplo, sistemas de matemática simbólica Bordo, Matemática ou ambiente MATLAB, são capazes de automatizar amplamente a solução de problemas complexos de modelagem analítica.

Um tipo de modelagem é modelagem numérica, que consiste em obter os dados quantitativos necessários sobre o comportamento de sistemas ou dispositivos por qualquer método numérico adequado, como os métodos de Euler ou Runge-Kutta. Na prática, a modelagem de sistemas e dispositivos não lineares usando métodos numéricos revela-se muito mais eficaz do que a modelagem analítica de circuitos, sistemas ou dispositivos lineares privados individuais. Por exemplo, para resolver sistemas DE (1) ou DE em casos mais complexos, uma solução na forma analítica não pode ser obtida, mas usando dados de simulação numérica, dados bastante completos sobre o comportamento dos sistemas e dispositivos simulados também podem ser obtidos. como construir gráficos de dependências descrevendo esse comportamento.

Modelagem de simulação

No imitação 10e modelagem, o algoritmo que implementa o modelo reproduz o processo de funcionamento do sistema ao longo do tempo. Os fenômenos elementares que compõem o processo são simulados, preservando sua estrutura lógica e sequência de eventos ao longo do tempo.

A principal vantagem dos modelos de simulação em relação aos analíticos é a capacidade de resolver problemas mais complexos.

Os modelos de simulação facilitam a consideração da presença de elementos discretos ou contínuos, características não lineares, influências aleatórias, etc. Portanto, este método é amplamente utilizado na fase de projeto de sistemas complexos. O principal meio de implementação da modelagem de simulação é o computador, que permite a modelagem digital de sistemas e sinais.

A este respeito, vamos definir a frase “ modelagem computacional”, que é cada vez mais utilizado na literatura. Vamos supor que modelagem computacionalé modelagem matemática usando tecnologia de computador. Conseqüentemente, a tecnologia de modelagem computacional envolve a execução das seguintes ações:

1) determinar a finalidade da modelagem;

2) desenvolvimento de modelo conceitual;

3) formalização do modelo;

4) implementação do modelo em software;

5) planejamento de experimentos com modelos;

6) implementação do plano experimental;

7) análise e interpretação dos resultados da modelagem.

No modelagem de simulação o MM utilizado reproduz o algoritmo (“lógica”) de funcionamento do sistema em estudo ao longo do tempo para diversas combinações de valores dos parâmetros do sistema e do ambiente externo.

Um exemplo do modelo analítico mais simples é a equação do movimento retilíneo uniforme. Ao estudar tal processo usando um modelo de simulação, deve-se implementar a observação das mudanças no caminho percorrido ao longo do tempo. Obviamente, em alguns casos a modelagem analítica é mais preferível, em outros - simulação (ou uma combinação de ambas). Para fazer uma escolha bem-sucedida, você precisa responder a duas perguntas.

Qual é o propósito da modelagem?

Em que classe o fenômeno modelado pode ser classificado?

As respostas a ambas as perguntas podem ser obtidas durante as duas primeiras etapas da modelagem.

Os modelos de simulação não apenas em propriedades, mas também em estrutura correspondem ao objeto modelado. Neste caso, existe uma correspondência inequívoca e óbvia entre os processos obtidos no modelo e os processos que ocorrem no objeto. A desvantagem da simulação é que leva muito tempo para resolver o problema e obter uma boa precisão.

Os resultados da modelagem de simulação da operação de um sistema estocástico são realizações de variáveis ​​​​ou processos aleatórios. Portanto, para encontrar as características do sistema, são necessárias múltiplas repetições e posterior processamento de dados. Na maioria das vezes, neste caso, um tipo de simulação é usado - estatística

modelagem(ou método de Monte Carlo), ou seja, reprodução de fatores aleatórios, eventos, quantidades, processos, campos em modelos.

Com base nos resultados da modelagem estatística, são determinadas estimativas de critérios de qualidade probabilísticos, gerais e específicos, que caracterizam o funcionamento e a eficiência do sistema gerenciado. A modelagem estatística é amplamente utilizada para resolver problemas científicos e aplicados em diversos campos da ciência e tecnologia. Métodos de modelagem estatística são amplamente utilizados no estudo de sistemas dinâmicos complexos, avaliando seu funcionamento e eficiência.

A etapa final da modelagem estatística baseia-se no processamento matemático dos resultados obtidos. Aqui, são utilizados métodos de estatística matemática (estimativa paramétrica e não paramétrica, teste de hipóteses). Um exemplo de estimador paramétrico é a média amostral de uma medida de desempenho. Entre os métodos não paramétricos, difundidos método de histograma.

O esquema considerado é baseado em repetidos testes estatísticos do sistema e métodos de estatística de variáveis ​​​​aleatórias independentes.Este esquema nem sempre é natural na prática e ideal em termos de custos. A redução do tempo de teste do sistema pode ser alcançada através do uso de métodos de avaliação mais precisos. Como é sabido pelas estatísticas matemáticas, estimativas eficazes têm a maior precisão para um determinado tamanho de amostra. A filtragem ótima e o método de máxima verossimilhança fornecem um método geral para obter tais estimativas.Em problemas de modelagem estatística, o processamento de implementações de processos aleatórios é necessário não apenas para analisar processos de saída.

O controle das características das influências aleatórias de entrada também é muito importante. O controle consiste em verificar a conformidade das distribuições dos processos gerados com as distribuições fornecidas. Este problema é frequentemente formulado como problema de teste de hipótese.

A tendência geral na modelagem computacional de sistemas controlados complexos é o desejo de reduzir o tempo de modelagem, bem como realizar pesquisas em tempo real. É conveniente representar algoritmos computacionais de forma recorrente, permitindo sua implementação na taxa de recebimento da informação atual.

PRINCÍPIOS DE UMA ABORDAGEM DE SISTEMA NA MODELAGEM

Princípios básicos da teoria dos sistemas

Os princípios básicos da teoria de sistemas surgiram durante o estudo de sistemas dinâmicos e seus elementos funcionais. Um sistema é entendido como um grupo de elementos interligados que atuam em conjunto para realizar uma tarefa pré-determinada. A análise de sistemas permite-nos determinar as formas mais realistas de realizar uma determinada tarefa, garantindo a máxima satisfação dos requisitos declarados.

Os elementos que formam a base da teoria dos sistemas não são criados através de hipóteses, mas são descobertos experimentalmente. Para iniciar a construção de um sistema é necessário ter características gerais dos processos tecnológicos. O mesmo se aplica aos princípios de criação de critérios formulados matematicamente que um processo ou sua descrição teórica deve satisfazer. A modelagem é um dos métodos mais importantes de pesquisa e experimentação científica.

Na construção de modelos de objetos, utiliza-se uma abordagem sistêmica, que é uma metodologia de resolução de problemas complexos, que se baseia na consideração do objeto como um sistema operando em um determinado ambiente. Uma abordagem sistemática envolve revelar a integridade de um objeto, identificando e estudando sua estrutura interna, bem como as conexões com o ambiente externo. Neste caso, o objeto é apresentado como parte do mundo real, que é isolado e estudado em conexão com o problema de construção de um modelo. Além disso, a abordagem sistêmica envolve uma transição consistente do geral para o específico, quando o objetivo do projeto é a base da consideração e o objeto é considerado em relação ao meio ambiente.

Um objeto complexo pode ser dividido em subsistemas, que são partes do objeto que atendem aos seguintes requisitos:

1) um subsistema é uma parte funcionalmente independente de um objeto. Está conectado com outros subsistemas, troca informações e energia com eles;

2) para cada subsistema podem ser definidas funções ou propriedades que não coincidem com as propriedades de todo o sistema;

3) cada um dos subsistemas pode ser submetido a divisões adicionais ao nível dos elementos.

Neste caso, um elemento é entendido como um subsistema de nível inferior, cuja divisão posterior é inadequada do ponto de vista do problema a ser resolvido.

Assim, um sistema pode ser definido como a representação de um objeto na forma de um conjunto de subsistemas, elementos e conexões para fins de sua criação, pesquisa ou aprimoramento. Nesse caso, uma representação ampliada do sistema, incluindo os principais subsistemas e as conexões entre eles, é chamada de macroestrutura, e uma divulgação detalhada da estrutura interna do sistema até o nível dos elementos é chamada de microestrutura.

Junto com o sistema, geralmente existe um supersistema - um sistema de nível superior, que inclui o objeto em questão, e a função de qualquer sistema só pode ser determinada por meio do supersistema.

É necessário destacar o conceito de ambiente como um conjunto de objetos do mundo externo que influenciam significativamente a eficiência do sistema, mas não fazem parte do sistema e de seu supersistema.

Em conexão com a abordagem sistêmica para a construção de modelos, é utilizado o conceito de infraestrutura, que descreve a relação do sistema com seu ambiente (meio ambiente) Neste caso, a identificação, descrição e estudo das propriedades de um objeto que são essenciais dentro da estrutura de uma tarefa específica é chamada de estratificação do objeto, e qualquer modelo do objeto é sua descrição estratificada.

Para uma abordagem sistêmica, é importante determinar a estrutura do sistema, ou seja, um conjunto de conexões entre elementos do sistema, refletindo sua interação. Para fazer isso, primeiro consideramos as abordagens estruturais e funcionais da modelagem.

Com uma abordagem estrutural, revela-se a composição dos elementos selecionados do sistema e as ligações entre eles. O conjunto de elementos e conexões permite julgar a estrutura do sistema. A descrição mais geral de uma estrutura é uma descrição topológica. Ele permite determinar os componentes do sistema e suas conexões por meio de gráficos. Menos geral é a descrição funcional, quando são consideradas funções individuais, ou seja, algoritmos para o comportamento do sistema. Neste caso, é implementada uma abordagem funcional que define as funções que o sistema executa.

Com base na abordagem sistêmica, pode-se propor uma sequência de desenvolvimento de modelos, onde se distinguem duas etapas principais de projeto: macrodesign e microdesign.

Na fase de macrodesenho, é construído um modelo do ambiente externo, são identificados recursos e limitações, são selecionados um modelo de sistema e critérios para avaliar a adequação.

A fase de microprojeto depende em grande parte do tipo específico de modelo escolhido. Em geral, envolve a criação de sistemas de informação, matemáticos, técnicos e de modelagem de software. Nesta fase, são estabelecidas as principais características técnicas do modelo criado, estimado o tempo necessário para trabalhar com o mesmo e o custo dos recursos para obter a qualidade especificada do modelo.

Independentemente do tipo de modelo, ao construí-lo é necessário guiar-se por uma série de princípios de uma abordagem sistemática:

1) progressão consistente através dos estágios de criação de um modelo;

2) coordenação de informações, recursos, confiabilidade e outras características;

3) a correta relação entre os diferentes níveis de construção do modelo;

4) a integridade das etapas individuais do projeto do modelo.

Neste artigo, oferecemos exemplos de modelos matemáticos. Além disso, daremos atenção às etapas de criação de modelos e analisaremos alguns problemas associados à modelagem matemática.

Outra questão que temos são os modelos matemáticos em economia, cujos exemplos veremos a definição um pouco mais tarde. Propomos iniciar a nossa conversa com o próprio conceito de “modelo”, considerar brevemente a sua classificação e passar às nossas principais questões.

O conceito de "modelo"

Muitas vezes ouvimos a palavra “modelo”. O que é? Este termo tem muitas definições, aqui estão apenas três delas:

• um objeto específico que é criado para receber e armazenar informações, refletindo algumas propriedades ou características, e assim por diante, do original desse objeto (esse objeto específico pode ser expresso de diferentes formas: mental, descrição por meio de signos, e assim por diante);
• Um modelo também significa uma representação de uma situação, vida ou gestão específica;
• um modelo pode ser uma cópia reduzida de um objeto (eles são criados para estudo e análise mais detalhados, pois o modelo reflete a estrutura e os relacionamentos).

Com base em tudo o que foi dito anteriormente, podemos tirar uma pequena conclusão: o modelo permite estudar detalhadamente um sistema ou objeto complexo.

Todos os modelos podem ser classificados de acordo com uma série de características:

• por área de utilização (educacional, experimental, científica e técnica, jogos, simulação);
• por dinâmica (estática e dinâmica);
• por ramo do conhecimento (físico, químico, geográfico, histórico, sociológico, econômico, matemático);
• pelo método de apresentação (material e informativo).

Os modelos de informação, por sua vez, são divididos em simbólicos e verbais. E os simbólicos - em computadores e não computadores. Agora, vamos passar a uma consideração detalhada de exemplos do modelo matemático.

Modelo matemático

Como você pode imaginar, um modelo matemático reflete quaisquer características de um objeto ou fenômeno usando símbolos matemáticos especiais. A matemática é necessária para modelar os padrões do mundo circundante em sua linguagem específica.

O método de modelagem matemática surgiu há muito tempo, milhares de anos atrás, junto com o advento desta ciência. Porém, o impulso para o desenvolvimento deste método de modelagem foi dado pelo surgimento dos computadores (computadores eletrônicos).

Agora vamos passar para a classificação. Também pode ser realizado de acordo com alguns sinais. Eles são apresentados na tabela abaixo.

Propomos parar e olhar mais de perto a classificação mais recente, pois ela reflete os padrões gerais de modelagem e os objetivos dos modelos que estão sendo criados.

Modelos descritivos

Neste capítulo, propomos nos aprofundar mais detalhadamente nos modelos matemáticos descritivos. Para deixar tudo bem claro, será dado um exemplo.

Comecemos pelo fato de que esse tipo pode ser chamado de descritivo. Isso se deve ao fato de que simplesmente fazemos cálculos e previsões, mas não podemos de forma alguma influenciar o resultado do evento.

Um exemplo notável de modelo matemático descritivo é o cálculo da trajetória de voo, velocidade e distância da Terra de um cometa que invadiu a vastidão do nosso sistema solar. Este modelo é descritivo, pois todos os resultados obtidos apenas nos alertam para qualquer perigo. Infelizmente, não podemos influenciar o resultado do evento. Porém, com base nos cálculos obtidos, é possível tomar medidas para preservar a vida na Terra.

Modelos de otimização

Agora falaremos um pouco sobre modelos econômicos e matemáticos, cujos exemplos podem servir para diversas situações atuais. Neste caso, estamos falando de modelos que ajudam a encontrar a resposta correta sob determinadas condições. Eles definitivamente têm alguns parâmetros. Para deixar tudo bem claro, vejamos um exemplo do setor agrícola.

Temos um celeiro, mas os cereais estragam muito rapidamente. Neste caso, precisamos escolher as condições de temperatura adequadas e otimizar o processo de armazenamento.

Assim, podemos definir o conceito de “modelo de otimização”. No sentido matemático, é um sistema de equações (lineares e não), cuja solução ajuda a encontrar a solução óptima numa situação económica específica. Vimos um exemplo de modelo matemático (otimização), mas gostaria de acrescentar: este tipo pertence à classe dos problemas extremos, ajudam a descrever o funcionamento do sistema econômico.

Observemos mais uma nuance: os modelos podem ser de natureza diferente (ver tabela abaixo).

Modelos multicritério

Agora convidamos você a falar um pouco sobre o modelo matemático de otimização multicritério. Antes disso, demos um exemplo de modelo matemático para otimizar um processo de acordo com qualquer critério, mas e se houver muitos deles?

Um exemplo notável de tarefa multicritério é a organização de uma nutrição adequada, saudável e ao mesmo tempo económica para grandes grupos de pessoas. Essas tarefas são frequentemente encontradas no exército, em cantinas escolares, em acampamentos de verão, em hospitais e assim por diante.

Que critérios nos são dados nesta tarefa?

1. A nutrição deve ser saudável.
2. As despesas com alimentação devem ser mínimas.

Como você pode ver, esses objetivos não coincidem em nada. Isso significa que na hora de resolver um problema é preciso buscar uma solução ótima, um equilíbrio entre dois critérios.

Modelos de jogo

Ao falar em modelos de jogos, é necessário compreender o conceito de “teoria dos jogos”. Simplificando, estes modelos reflectem modelos matemáticos de conflitos reais. Basta entender que, diferentemente de um conflito real, o modelo matemático do jogo possui regras específicas.

Agora forneceremos um mínimo de informações da teoria dos jogos que o ajudarão a entender o que é um modelo de jogo. E assim, o modelo contém necessariamente partes (duas ou mais), que normalmente são chamadas de jogadores.

Todos os modelos possuem certas características.

O modelo de jogo pode ser emparelhado ou múltiplo. Se tivermos dois sujeitos, então o conflito é pareado; se houver mais, é múltiplo. Você também pode distinguir um jogo antagônico, também chamado de jogo de soma zero. Este é um modelo em que o ganho de um dos participantes é igual à perda do outro.

Modelos de simulação

Nesta seção daremos atenção aos modelos matemáticos de simulação. Exemplos de tarefas incluem:

• modelo de dinâmica populacional de microrganismos;
• modelo de movimento molecular e assim por diante.

Neste caso, estamos falando de modelos o mais próximos possível dos processos reais. Em geral, eles imitam alguma manifestação da natureza. No primeiro caso, por exemplo, podemos simular a dinâmica do número de formigas em uma colônia. Ao mesmo tempo, você pode observar o destino de cada indivíduo. Neste caso, uma descrição matemática raramente é usada; as condições escritas estão mais frequentemente presentes:

• após cinco dias a fêmea põe ovos;
• depois de vinte dias a formiga morre e assim por diante.

Assim, eles são usados ​​para descrever um grande sistema. Uma conclusão matemática é o processamento dos dados estatísticos obtidos.

Requisitos

É muito importante saber que esse tipo de modelo possui alguns requisitos, inclusive os listados na tabela abaixo.

Estágios de modelagem

No total, a modelagem matemática costuma ser dividida em quatro etapas.

1. Formulação de leis que conectam partes do modelo.
2. Estudo de problemas matemáticos.
3. Determinação da coincidência de resultados práticos e teóricos.
4. Análise e modernização do modelo.

Modelo econômico e matemático

Nesta seção destacaremos brevemente o problema. Exemplos de tarefas incluem:

• formação de um programa de produção para a produção de produtos cárneos que garanta o máximo lucro da produção;
• maximizar o lucro da organização calculando a quantidade ideal de mesas e cadeiras produzidas em uma fábrica de móveis e assim por diante.

O modelo econômico-matemático apresenta abstração econômica, que é expressa por meio de termos e símbolos matemáticos.

Modelo matemático computacional

Exemplos de um modelo matemático computacional são:

• problemas hidráulicos através de fluxogramas, diagramas, tabelas, etc.;
• problemas de mecânica dos sólidos, e assim por diante.

Um modelo de computador é uma imagem de um objeto ou sistema, apresentada na forma:

• mesas;
• diagramas de blocos;
• diagramas;
• gráficos e assim por diante.

Além disso, este modelo reflecte a estrutura e as interligações do sistema.

Construção de um modelo econômico e matemático

Já falamos sobre o que é um modelo econômico-matemático. Um exemplo de solução do problema será considerado agora. Precisamos analisar o programa de produção para identificar uma reserva para aumentar os lucros com uma mudança no sortimento.

Não consideraremos o problema completamente, mas apenas construiremos um modelo econômico e matemático. O critério da nossa tarefa é a maximização do lucro. Então a função tem a forma: А=р1*х1+р2*х2..., tendendo ao máximo. Neste modelo, p é o lucro por unidade e x é o número de unidades produzidas. A seguir, com base no modelo construído, é necessário fazer cálculos e resumir.

Um exemplo de construção de um modelo matemático simples

Tarefa. O pescador voltou com a seguinte captura:

• 8 peixes - habitantes dos mares do norte;
• 20% da captura são habitantes dos mares do sul;
• Nem um único peixe foi encontrado no rio local.

Quantos peixes ele comprou na loja?

Portanto, um exemplo de construção de um modelo matemático deste problema é assim. Denotamos o número total de peixes por x. Seguindo a condição, 0,2x é o número de peixes que vivem nas latitudes meridionais. Agora combinamos todas as informações disponíveis e obtemos um modelo matemático do problema: x=0,2x+8. Resolvemos a equação e obtemos a resposta à questão principal: ele comprou 10 peixes na loja.