As equações trigonométricas mais simples. Incidente engraçado da vida No círculo unitário há dois diametralmente opostos

+ – 0;2P; 4 P. - 2 P; -4 P. P -11 P 6 P -7 P 4 P -5 P 3 2 P -4 P 3 3 P -4 P P -7 P P -5 P P -3 P P -2 P P - P P - P P - P P 2 5 P 2 P 2 9 P 2 5 P 2 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 5 P;3 P; P. -5 P;-3 P;- P. 360° 30° 60° 45° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° X y 0

0 y X 5 P,14 -P-P ± P 2P 2 ± P P k, k Z (-1) k P 4P 4 + P g, g Z P 3P 3 ± + 2 P n, n Z P 6P 6 + P 3P 3 m , m Z Encontre os pontos correspondentes aos seguintes números

0 y X - P +2 P k, k Z P 3P P n, n Z P m, m Z P (+ m), m Z 2P 32P P n, n Z P 2P 2 P P n, n Z 1 3 P (+2 l ), l Z Encontre os pontos correspondentes aos seguintes números

1. A que quarto do círculo numérico pertence o ponto A? B. Segundo. V. Terceiro. G. Quarto. 2. A que quarto do círculo numérico pertence o ponto A? B. Segundo. V. Terceiro. G. Quarto. 3. Determine os sinais dos números aeb se: A. a>0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b 0"> 0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b"> 0" title="1.Qual quarto do círculo numérico aponta A. Primeiro. B. Segundo. C. Terceiro. D. Quarto. 2. A qual quarto do círculo numérico pertence o ponto A. Primeiro. B. Segundo. C. Terceiro. D. Quarto? 3. Determine os sinais dos números a e b se : A. a>0"> title="1. A que quarto do círculo numérico pertence o ponto A? B. Segundo. V. Terceiro. G. Quarto. 2. A que quarto do círculo numérico pertence o ponto A? B. Segundo. V. Terceiro. G. Quarto. 3. Determine os sinais dos números a e b se: A. a>0"> !}

Pergunta: Em um círculo, são escolhidos pontos diametralmente opostos A e B e um ponto diferente C. A tangente desenhada ao círculo no ponto A e a linha BC se cruzam no ponto D. Prove que a tangente desenhada ao círculo no ponto C corta ao meio o segmento A.D. O círculo interno do triângulo ABC toca os lados AB e BC nos pontos M e N, respectivamente. Uma linha passa pelo ponto médio de AC paralelamente à linha. MN intercepta as linhas BA e BC nos pontos D e E, respectivamente. Prove que AD = CE.

No círculo, são escolhidos pontos diametralmente opostos A e B e um ponto diferente C. A tangente desenhada ao círculo no ponto A e a linha reta BC se cruzam no ponto D. Prove que a tangente desenhada ao círculo no ponto C corta o círculo ao meio. segmento AD. O círculo interno do triângulo ABC toca os lados AB e BC nos pontos M e N, respectivamente. Uma linha passa pelo ponto médio de AC paralelamente à linha. MN intercepta as linhas BA e BC nos pontos D e E, respectivamente. Prove que AD = CE.

Respostas:

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• Em um livro de química (parágrafo estudado), escreva 10 palavras comuns (diferentes classes gramaticais) e 10 palavras especiais (termos e combinações terminológicas).

Aparentemente, o primeiro apelo da humanidade ao que mais tarde seria chamado de geometria esférica foi a teoria planetária do matemático grego Eudoxo (c. 408-355), um dos participantes da Academia de Platão. Foi uma tentativa de explicar o movimento dos planetas ao redor da Terra com a ajuda de quatro esferas concêntricas giratórias, cada uma das quais tinha um eixo de rotação especial com as extremidades fixadas na esfera envolvente, à qual, por sua vez, as estrelas eram “pregado.” Desta forma, foram explicadas as intrincadas trajetórias dos planetas (traduzido do grego, “planeta” significa errante). Foi graças a este modelo que os antigos cientistas gregos foram capazes de descrever e prever com bastante precisão os movimentos dos planetas. Isto foi necessário, por exemplo, na navegação, bem como em muitas outras tarefas “terrenas”, onde foi necessário ter em conta que a Terra não é uma panqueca plana apoiada em três baleias. Contribuições significativas para a geometria esférica foram feitas por Menelau de Alexandria (c. 100 DC). O trabalho dele Esféricas tornou-se o auge das conquistas gregas nesta área. EM Sferike são considerados triângulos esféricos - um assunto que não é encontrado em Euclides. Menelau transferiu a teoria euclidiana dos triângulos planos para a esfera e, entre outras coisas, obteve uma condição sob a qual três pontos nos lados de um triângulo esférico ou suas extensões estão na mesma linha reta. O teorema correspondente do plano já era amplamente conhecido naquela época, mas entrou na história da geometria justamente como o teorema de Menelau e, ao contrário de Ptolomeu (c. 150), que teve muitos cálculos em suas obras, o tratado de Menelau é geométrico estritamente no espírito da tradição euclidiana.

Princípios básicos da geometria esférica.

Qualquer plano que cruza uma esfera produz um círculo em seção transversal. Se o plano passa pelo centro da esfera, então a seção transversal resulta no chamado círculo máximo. Através de quaisquer dois pontos de uma esfera, exceto aqueles que são diametralmente opostos, um único grande círculo pode ser desenhado. (No globo, um exemplo de círculo máximo é o equador e todos os meridianos.) Um número infinito de círculos máximos passa por pontos diametralmente opostos. Arco menor AmB(Fig. 1) do grande círculo é a mais curta de todas as linhas na esfera que conecta determinados pontos. Esta linha é chamada geodésico. As linhas geodésicas desempenham em uma esfera o mesmo papel que as linhas retas na planimetria. Muitas disposições da geometria no plano também são válidas na esfera, mas, ao contrário do plano, duas linhas esféricas se cruzam em dois pontos diametralmente opostos. Assim, o conceito de paralelismo simplesmente não existe na geometria esférica. Outra diferença é que a linha esférica é fechada, ou seja, movendo-o na mesma direção, retornaremos ao ponto inicial; o ponto não divide a linha em duas partes. E outro fato surpreendente do ponto de vista da planimetria é que um triângulo sobre uma esfera pode ter todos os três ângulos retos.

Linhas, segmentos, distâncias e ângulos em uma esfera.

Os grandes círculos em uma esfera são considerados linhas retas. Se dois pontos pertencem a um círculo máximo, então o comprimento do menor dos arcos que conectam esses pontos é definido como distância esférica entre esses pontos, e o próprio arco é como um segmento esférico. Pontos diametralmente opostos são conectados por um número infinito de segmentos esféricos - grandes semicírculos. O comprimento de um segmento esférico é determinado através da medida em radianos do ângulo central a e do raio da esfera R(Fig. 2), de acordo com a fórmula do comprimento do arco é igual a R a. Qualquer ponto COM segmento esférico AB divide-o em dois, e a soma de seus comprimentos esféricos, como na planimetria, é igual ao comprimento de todo o segmento, ou seja, R COA+R CORUJA=P AOB. Para qualquer ponto D fora do segmento AB existe uma “desigualdade triangular esférica”: a soma das distâncias esféricas de D antes A e de D antes EM mais AB, ou seja R AOD+ R Data de nascimento> R AOB, – correspondência completa entre geometrias esféricas e planas. A desigualdade triangular é uma das fundamentais na geometria esférica; segue-se dela que, como na planimetria, um segmento esférico é mais curto que qualquer linha quebrada esférica e, portanto, qualquer curva na esfera que conecta suas extremidades.

Da mesma forma, muitos outros conceitos de planimetria podem ser transferidos para a esfera, em particular aqueles que podem ser expressos através de distâncias. Por exemplo, círculo esférico– um conjunto de pontos na esfera equidistantes de um determinado ponto R. É fácil mostrar que o círculo está num plano perpendicular ao diâmetro da esfera RR` (Fig. 3), ou seja, este é um círculo plano comum com centro no diâmetro RR`. Mas tem dois centros esféricos: R E R`. Esses centros são geralmente chamados postes. Se nos voltarmos para o globo, podemos ver que estamos falando de círculos como paralelos, e os centros esféricos de todos os paralelos são os Pólos Norte e Sul. Se o diâmetro r de um círculo esférico for igual a p/2, então o círculo esférico se transforma em uma linha reta esférica. (No globo existe o equador). Neste caso, tal círculo é chamado polar cada um dos pontos R E P`.

Um dos conceitos mais importantes da geometria é a igualdade das figuras. As figuras são consideradas iguais se uma puder ser exibida sobre a outra de forma (por rotação e translação) que as distâncias sejam preservadas. Isto também é verdade para a geometria esférica.

Os ângulos em uma esfera são definidos como segue. Quando duas linhas esféricas se cruzam a E b Quatro bigons esféricos são formados na esfera, assim como duas linhas que se cruzam em um plano a dividem em quatro ângulos planos (Fig. 4). Cada uma das diagonais corresponde a um ângulo diédrico formado pelos planos diametrais contendo a E b. E o ângulo entre as retas esféricas é igual ao menor dos ângulos das diagonais que elas formam.

Notamos também que o ângulo P abc, formado em uma esfera por dois arcos de um círculo máximo, é medido pelo ângulo P A`a.C.` entre tangentes aos arcos correspondentes em um ponto EM(Fig. 5) ou um ângulo diédrico formado por planos diametrais contendo segmentos esféricos AB E Sol.

Da mesma forma que na estereometria, cada ponto da esfera está associado a um raio traçado do centro da esfera até este ponto, e qualquer figura da esfera está associada à união de todos os raios que a cruzam. Assim, uma reta esférica corresponde ao plano diametral que a contém, um segmento esférico corresponde a um ângulo plano, um digon corresponde a um ângulo diédrico e um círculo esférico corresponde a uma superfície cônica cujo eixo passa pelos pólos do círculo.

Um ângulo poliédrico com um vértice no centro da esfera cruza a esfera ao longo de um polígono esférico (Fig. 6). Esta é uma área de uma esfera delimitada por uma linha quebrada de segmentos esféricos. Os links da linha tracejada são os lados de um polígono esférico. Seus comprimentos são iguais aos valores dos ângulos planos correspondentes do ângulo poliédrico e ao valor do ângulo em qualquer vértice A igual ao ângulo diédrico na borda OA.

Triângulo esférico.

Entre todos os polígonos esféricos, o triângulo esférico é o de maior interesse. Três grandes círculos, que se cruzam aos pares em dois pontos, formam oito triângulos esféricos na esfera. Conhecendo os elementos (lados e ângulos) de um deles, é possível determinar os elementos de todos os outros, por isso consideramos as relações entre os elementos de um deles, aquele cujos todos os lados são menores que a metade do grande círculo. Os lados de um triângulo são medidos pelos ângulos planos do ângulo triédrico OABC, os ângulos do triângulo são ângulos diédricos do mesmo ângulo triédrico (Fig. 7).

Muitas propriedades de um triângulo esférico (e também são propriedades de ângulos triédricos) repetem quase completamente as propriedades de um triângulo comum. Entre eles está a desigualdade triangular, que, na linguagem dos ângulos triédricos, afirma que qualquer ângulo plano de um ângulo triédrico é menor que a soma dos outros dois. Ou, por exemplo, três sinais de igualdade de triângulos. Todas as consequências planimétricas dos teoremas mencionados, juntamente com suas provas, permanecem válidas na esfera. Assim, o conjunto de pontos equidistantes das extremidades do segmento também estará na esfera perpendicular a ele, uma linha reta que passa pelo seu meio, da qual segue que as bissetoras são perpendiculares aos lados de um triângulo esférico abc têm um ponto comum, ou melhor, dois pontos comuns diametralmente opostos R E R`, que são os pólos de seu único círculo circunscrito (Fig. 8). Na estereometria, isso significa que um cone pode ser descrito em torno de qualquer ângulo triédrico. É fácil transferir para a esfera o teorema de que as bissetrizes de um triângulo se cruzam no centro de seu círculo.

Os teoremas sobre a intersecção de alturas e medianas também permanecem verdadeiros, mas suas provas usuais em planimetria utilizam direta ou indiretamente o paralelismo, que não existe em uma esfera, e portanto é mais fácil prová-los novamente, na linguagem da estereometria. Arroz. A Figura 9 ilustra a prova do teorema da mediana esférica: planos contendo as medianas de um triângulo esférico abc, cruzam um triângulo plano com os mesmos vértices ao longo de suas medianas usuais, portanto, todos eles contêm o raio da esfera que passa pelo ponto de intersecção das medianas planas. O final do raio será o ponto comum das três medianas “esféricas”.

As propriedades dos triângulos esféricos diferem em muitos aspectos das propriedades dos triângulos em um plano. Assim, aos três casos conhecidos de igualdade de triângulos retilíneos, acrescenta-se um quarto: dois triângulos abc E А`В`С` são iguais se três ângulos P são iguais, respectivamente A=P A`, R EM=P EM`, R COM=P COM`. Assim, não existem triângulos semelhantes na esfera; além disso, na geometria esférica não existe o próprio conceito de similaridade, porque Não há transformações que alterem todas as distâncias pelo mesmo (diferente de 1) número de vezes. Essas características estão associadas a uma violação do axioma euclidiano das retas paralelas e também são inerentes à geometria de Lobachevsky. Triângulos que possuem elementos iguais e orientações diferentes são chamados de simétricos, como triângulos AC`COM E VSS`(Fig. 10).

A soma dos ângulos de qualquer triângulo esférico é sempre maior que 180°. Diferença P A+P EM+P COM - p = d (medido em radianos) é uma quantidade positiva e é chamado de excesso esférico de um determinado triângulo esférico. Área de um triângulo esférico: S = R 2d onde Ré o raio da esfera e d é o excesso esférico. Esta fórmula foi publicada pela primeira vez pelo holandês A. Girard em 1629 e recebeu o seu nome.

Se considerarmos uma diagonal com ângulo a, então em 226 = 2p/ n (n- inteiro) a esfera pode ser cortada exatamente em P cópias de tal diagonal, e a área da esfera é 4 nR 2 = 16h às R= 1, então a área da diagonal é 4p/ n= 2a. Esta fórmula também é verdadeira para um = 2 horas t/n e, portanto, verdadeiro para todos a. Se continuarmos os lados de um triângulo esférico abc e expresse a área da esfera através das áreas dos bigons resultantes com ângulos A,EM,COM e sua própria área, então podemos chegar à fórmula de Girard acima.

Coordenadas na esfera.

Cada ponto da esfera é completamente determinado pela especificação de dois números; esses números ( coordenadas) são determinados como segue (Fig. 11). Algum círculo grande é fixo QQ` (equador), um dos dois pontos de intersecção do diâmetro da esfera PP`, perpendicular ao plano equatorial, com a superfície de uma esfera, por exemplo R (pólo), e um dos grandes semicírculos PAP` saindo do poste ( primeiro meridiano). Grandes semicírculos saindo de P, chamados meridianos, pequenos círculos paralelos ao equador, como LL`, – paralelos. Como uma das coordenadas do ponto M na esfera o ângulo q é tomado =POM (altura do ponto), como o segundo – ângulo j = AON entre o primeiro meridiano e o meridiano que passa pelo ponto M (longitude pontos, contados no sentido anti-horário).

Na geografia (no globo), costuma-se usar o meridiano de Greenwich como primeiro meridiano, passando pelo salão principal do Observatório de Greenwich (Greenwich é um bairro londrino), ele divide a Terra nos hemisférios Oriental e Ocidental, respectivamente , e a longitude é leste ou oeste e medida de 0 a 180° em ambas as direções de Greenwich. E em vez da altura de um ponto na geografia, costuma-se usar a latitude no, ou seja canto NOM = 90°-q, medido a partir do equador. Porque Como o equador divide a Terra nos hemisférios Norte e Sul, a latitude é norte ou sul e varia de 0 a 90°.

Marina Fedosova

Trabalho final em MATEMÁTICA
10ª série
28 de abril de 2017
Opção MA00602
(um nível básico de)
Preenchido por: Nome completo_______________________________________ turma ______
Instruções para execução do trabalho
Você tem 90 minutos para concluir o trabalho final de matemática. Trabalho
inclui 15 tarefas e consiste em duas partes.
A resposta nas tarefas da primeira parte (1-10) é um número inteiro,
fração decimal ou sequência de números. Escreva sua resposta no campo
responda no texto do trabalho.
Na tarefa 11 da segunda parte você precisa anotar a resposta em um especial
o campo alocado para isso.
Nas tarefas 12-14 da segunda parte você precisa anotar a solução e a resposta
no campo previsto para esse fim. A resposta para a tarefa 15 é
gráfico de função.
Cada uma das tarefas 5 e 11 é apresentada em duas versões, das quais
Você só precisa selecionar e executar um.
Ao realizar o trabalho, você não pode usar livros didáticos, trabalho
cadernos, livros de referência, calculadora.
Se necessário, você pode usar um rascunho. As inscrições em rascunho não serão revisadas ou avaliadas.
Você pode realizar tarefas em qualquer ordem, o principal é fazê-lo corretamente
resolver tantas tarefas quanto possível. Aconselhamos você a economizar tempo
pule uma tarefa que não pode ser concluída imediatamente e siga em frente
para o próximo. Se depois de concluir todo o trabalho você ainda tiver tempo,
Você poderá retornar às tarefas perdidas.
Desejamos-lhe sucesso!

Parte 1
Nas tarefas 1 a 10, dê sua resposta como um número inteiro, fração decimal ou
sequências de números. Escreva sua resposta no campo de resposta no texto
trabalhar.
1

O preço de uma chaleira eléctrica aumentou 10% e ascendeu a
1980 rublos. Quantos rublos custava a chaleira antes do aumento de preço?

Oleg e Tolya deixaram a escola ao mesmo tempo e voltaram para casa na mesma direção.
Caro. Os meninos moram na mesma casa. A figura mostra um gráfico
os movimentos de cada um: Oleg - com linha sólida, Tolya - com linha pontilhada. Por
o eixo vertical mostra a distância (em metros), o eixo horizontal mostra a distância
tempo de viagem para cada um em minutos.

Usando o gráfico, escolha as afirmações corretas.
1)
2)
3)

Oleg voltou para casa antes de Tolya.
Três minutos depois de sair da escola, Oleg alcançou Tolya.
Durante toda a viagem, a distância entre os meninos foi menor
100 metros.
4) Nos primeiros seis minutos os meninos percorreram a mesma distância.


Responder: ___________________________

Encontre o significado da expressão

π
π
- 2 pecado 2.
8
8

Responder: ___________________________
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Matemática. 10ª série. Opção 00602 (nível básico)

Existem dois marcados no círculo unitário
pontos diametralmente opostos Pα e
Pβ correspondente a rotações através dos ângulos α e
β (ver figura).
É possível dizer que:
1) α  β = 0
2) cosα  cosβ
3) α - β = 2π
4) sen α  sen β = 0

Na sua resposta, indique os números das afirmações corretas sem espaços, vírgulas e
outros caracteres adicionais.
Responder: ___________________________
Selecione e complete apenas UMA das tarefas 5.1 ou 5.2.
5.1

A figura mostra um gráfico
função y = f (x) definida no intervalo   3;11 .
Encontre o menor valor
funções no segmento  ​​1; 5.

Responder: ___________________________
5.2

Resolva a equação log 2 4 x5 = 6.

Responder: ___________________________

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Matemática. 10ª série. Opção 00602 (nível básico)

Um plano passando pelos pontos A, B e C (ver.
figura), divide o cubo em dois poliedros. Um de
tem quatro lados. Quantas faces tem o segundo?

Responder: ___________________________
7

Escolha os números das afirmações corretas.
1)
2)
3)
4)

No espaço, através de um ponto que não está em uma determinada linha, você pode
desenhe um plano que não cruze uma determinada linha e, além disso, apenas
um.
Uma linha inclinada traçada em um plano forma o mesmo ângulo com
todas as linhas retas situadas neste plano.
Um plano pode ser traçado através de quaisquer duas linhas que se cruzam.
Através de um ponto no espaço que não pertence a uma determinada linha, pode-se
Desenhe duas linhas retas que não cruzem uma determinada linha.

Na sua resposta, indique os números das afirmações corretas sem espaços, vírgulas e
outros caracteres adicionais.
Responder: ___________________________
8

Na granja só existem galinhas e patos, e há 7 vezes mais galinhas do que
patos Encontre a probabilidade de que uma fazenda selecionada aleatoriamente
o pássaro é um pato.
Responder: ___________________________

O telhado do dossel está localizado em um ângulo de 14
para a horizontal. Distância entre dois suportes
é 400 centímetros. Usando a tabela,
determinar quantos centímetros tem um suporte
mais longo que o outro.
α
13
14
15
16
17
18
19

Pecado α
0,225
0,241
0,258
0,275
0,292
0,309
0,325

Porque α
0,974
0,970
0,965
0,961
0,956
0,951
0,945

Tgα
0,230
0,249
0,267
0,286
0,305
0,324
0,344

Responder: ___________________________
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Matemática. 10ª série. Opção 00602 (nível básico)

Encontre o menor número natural de sete dígitos que seja divisível por 3,
mas não divisível por 6 e cada dígito, a partir do segundo, é menor
o anterior.
Responder: ___________________________
Parte 2
Na tarefa 11, escreva sua resposta no espaço fornecido. Em tarefas
12-14 você precisa anotar a solução e a resposta no espaço especialmente designado
para este campo. A resposta à tarefa 15 é o gráfico da função.
Selecione e conclua apenas UMA das tarefas: 11.1 ou 11.2.

2
. Escreva três valores possíveis diferentes
2
tais ângulos. Dê sua resposta em radianos.

Encontre o menor número natural maior que log 7 80.

O cosseno do ângulo é 

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Matemática. 10ª série. Opção 00602 (nível básico)

No triângulo ABC, os lados AB e BC estão marcados
pontos M e K, respectivamente, de modo que BM: AB = 1: 2, e
BK:BC = 2:3. Quantas vezes a área do triângulo ABC?
maior que a área do triângulo MVK?

Escolha algum par de números aeb de modo que a inequação ax  b  0
satisfez exatamente três dos cinco pontos marcados na figura.
-1

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Matemática. 10ª série. Opção 00602 (nível básico)

O preço do ferro aumentou duas vezes na mesma percentagem. Sobre
quantos por cento o preço do ferro aumentou cada vez que
o custo inicial é de 2.000 rublos e o custo final é de 3.380 rublos?

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Matemática. 10ª série. Opção 00602 (nível básico)

A função y = f (x) tem as seguintes propriedades:
1) f (x) = 3 x  4 em 2  x  1;
2) f (x) = x  2 em 1  x  0;
3) f(x) = 2  2 x em 0  x  2;
4) a função y = f (x) é periódica com período 4.
Desenhe um gráfico desta função no segmento  ​​6;4.
sim

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