Integrais múltiplas (problemas e exercícios). Integrais múltiplas Coordenadas do centro de massa de uma figura plana

Definitivamente . Deixar ,
,

.

Um conjunto é chamado de intervalo fechado ou barra fechada em .

O conjunto é chamado de intervalo aberto

ou uma viga aberta em .

Definitivamente . Medida de intervalos E a quantidade é chamada:

(Mais precisamente
).

Definitivamente . Se
de tal modo que
então o intervalo é chamado de degenerado e
.

Propriedades da medida de lacuna:

A). Positividade:
, e
então e somente quando – degenerar.

b). Homogeneidade positiva: .

V). Aditividade:

* Para
de tal modo que
;

* Para
E

.

G). Monotonicidade da medida: .

Definitivamente . O diâmetro da viga (folga) é o valor:

Observe que
E
- Isto não é a mesma coisa. Por exemplo, se – degenerar, então
,a
(em geral).

Em que: *;

* ;*
.

Definitivamente . Totalidade
subespaços do intervalo chamada partição de intervalo , Se: *;

*
; *
; *
; *
.

Magnitude
chamado de parâmetro de partição P(em que
).

Definitivamente . Divisão chamado refinamento de partição , se todos os elementos da partição obtido particionando os elementos da partição .

Indicado por:
. Lê: menor ou maior .

Para a relação “maior – menor” o seguinte é verdadeiro:

*. transitividade – ; *.
;

*.


; *.

|
.

§. Definição de integral múltipla

Deixar
– madeira (lacuna) em ,
– particionando a lacuna EU. Em cada intervalo da partição marque o ponto
.

Nós temos
partição com pontos marcados para
.

Magnitude
é chamada de soma integral de Riemann para a função f (x) no intervalo EU por partição com pontos marcados
.

Definitivamente :
=
=
.

Designando – muitas funções integradas na viga EU vamos escrever:

Definitivamente : ε > 0 δ>0<.

Se para a função f(x) sobre EU e partições
- denotar por
– o maior e o menor valor da função f(x) sobre EU k então os valores
=
E
=
são chamadas somas de Darboux inferiores e superiores.

§. Critério de Darboux para a existência de uma integral múltipla.

T 0 . Funcionar
foi integrado na viga (aqueles.
) é necessária e suficiente para que

. Δ▲.

A integração de uma função sobre uma viga no espaço euclidiano é definida. Como integrar uma função sobre um conjunto limitado arbitrário do espaço euclidiano?

Vamos definir a integral da função f por muitos
.

Definitivamente : Deixar
E
– limitado, ou seja,
. Função
chamamos de função característica do conjunto M.

Então:
≡
.

A definição de uma integral de conjunto não depende de qual viga contém M selecionado, ou seja,

.

Isto significa que a definição da integral sobre um conjunto está correta.

Uma condição necessária para integrabilidade. Funcionar f(x) sobre M ser integrável é necessário que f(x) foi limitado a M. Δ▲.

§. Propriedades de integrais múltiplos.

1  . Linearidade: Muitos R M funções integráveis ​​em um conjunto M- linear

espaço, e
– funcional linear.

2  . Condição de normalização:
. Outra forma de entrada
essencialmente determina a medida de um conjunto arbitrário do espaço euclidiano.

3  . Se existe uma integral sobre um conjunto de medida zero de Lebesgue, então ela

igual a zero.

Observação: Um monte de Mé chamado de conjunto da medida zero de Lebesgue,

Se

de tal modo que
E
.

4  . A.;b.;

V. Se
E – separado de zero por M, Que

5  .
E f=g p.v. (quase em todos os lugares) em M, Que
.

6  . Aditividade: Se
E
Que

,

Em geral:
.

Δ. Segue-se da igualdade: ▲

7  . Monótono:
E
Que
.

8  . Integrando desigualdades: se
isso

.

9  . Deixar


. A fim de
, é necessário e suficiente que exista um ponto interior do conjunto M, em que f (x) > 0 e contínuo.

10  . Integrabilidade do módulo de função integrável:
.

11  . Teorema do valor médio:
,
sobre M preserva o sinal e
, Que

.

Se o conjunto M– coerente e f(x) – contínuo ligado
Que
de tal modo que
.

12  . Para que a integral de uma função não negativa seja igual a 0

necessário e suficiente para f(x) = 0 em quase todos os lugares M.

13  . Teorema de Fubini. Para integral dupla:

Deixe a área
- retângulo:. Então, desde que existam integrais simples internas, para encontrar a integral dupla, você pode prosseguir para a integração repetida (ver Fig. a):

, ou

E

Observação: Os limites externos de integração devem ser constantes; os limites internos de integração podem depender da variável sobre a qual a integração ainda será realizada.

A fórmula (*) pode ser obtida usando a função característica definida D.

Para integrais múltiplas:

Deixe e alguns subconjuntos de espaços euclidianos E . Vamos definir o produto cartesiano desses conjuntos, que é um subconjunto do espaço euclidiano
:.

Então o teorema de Fubini para
tem o formato:
.

O teorema também é válido para vigas X E S e para configurações mais complexas.

Exemplos:

1 0 . Calcular
, se o limite da área
dado pelas equações:

A).
;

2

–

.

Receita: Ao definir limites de integração numa integral dupla, recomenda-se começar com os limites de integração externos.

3

Passar para integrais iteradas dá:
.

Ao mesmo tempo, numa integral tripla, a colocação dos limites deve começar pelos limites internos da integração. Em seguida, projete a área V para o avião xOi

estabelecendo limites na área D– deitado em um avião xOi.

4 0 . Altere a ordem de integração na integral iterada:
.

Integral múltipla

integral de uma função especificada em alguma área do plano, em três dimensões ou n espaço -dimensional. Entre K. e. distinguir entre integrais duplas, integrais triplas, etc. n-integrais múltiplas.

Deixe a função f(x, você) é dado em alguma área D avião Oi. Vamos dividir a área D sobre náreas parciais eu, cujas áreas são iguais e eu, escolha em cada área eu apontar ( eu, eu) (cm. arroz. ) e compor a soma integral

Se, com redução ilimitada do diâmetro máximo das áreas parciais eu valores S tem um limite independente da escolha dos pontos ( eu, eu), então esse limite é chamado de integral dupla da função f(x, você) por região D e denotar

A integral tripla é definida de forma semelhante e, em geral, n-integral múltiplo.

Para a existência de uma integral dupla é suficiente, por exemplo, que a região D era uma região quadrangular fechada (ver região quadrangular), e a função f(x, você) foi contínuo em D. K. e. têm uma série de propriedades semelhantes às propriedades dos integrais simples . Para calcular K. e. geralmente leva-o a uma integral iterada (veja Integral iterada). Em casos especiais para informação de K. e. A fórmula de Green e a fórmula de Ostrogradsky podem servir como integrais de dimensão inferior. K. e. têm amplas aplicações: são usados ​​para expressar os volumes dos corpos, suas massas, momentos estáticos, momentos de inércia, etc.

Grande Enciclopédia Soviética. - M.: Enciclopédia Soviética. 1969-1978 .

Veja o que é “integral múltipla” em outros dicionários:

Integral de uma função de diversas variáveis. É determinado usando somas integrais, semelhantes à integral definida de uma função de uma variável (ver Cálculo Integral). Dependendo do número de variáveis, existem duplas, triplas, n... ... Grande Dicionário Enciclopédico

Integral definida de uma função de diversas variáveis. Existem vários conceitos de K. e. (integral de Riemann, integral de Lebesgue, integral de Lebesgue Stieltjes, etc.). A integral múltipla de Riemann é introduzida com base na medida de Jordan. Seja E o mensurável de Jordan... ... Enciclopédia Matemática

Na análise matemática, uma integral múltipla ou múltipla é um conjunto de integrais retirados de variáveis. Por exemplo: Nota: uma integral múltipla é uma integral definida; seu cálculo sempre resulta em um número. Conteúdo 1... ...Wikipédia

Integral de uma função de diversas variáveis. É determinado usando somas integrais, semelhantes à integral definida de uma função de uma variável (ver Cálculo Integral). Dependendo do número de variáveis, existem duplas, triplas, n... ... dicionário enciclopédico

Integral de uma função de diversas variáveis. Determinado usando somas integrais, definidas de forma semelhante. integral de uma função de uma variável (ver cálculo integral). Dependendo do número de variáveis, existem duplas, triplas, i... ... Ciência natural. dicionário enciclopédico

Nota: em todos os lugares deste artigo onde o sinal é usado, a integral (múltipla) de Riemann se refere, salvo indicação em contrário; Em todos os lugares deste artigo onde falamos sobre a mensurabilidade de um conjunto, queremos dizer a mensurabilidade jordaniana, se não... ... Wikipedia

Uma integral múltipla da forma onde, que é o valor médio do grau 2k do módulo de uma soma trigonométrica. O teorema de Vinogradov sobre o valor desta integral, o teorema do valor médio, fundamenta as estimativas das somas de Weyl. Literatura Vinogradova inte... Wikipedia

Integral definida como a área de uma figura Este termo possui outros significados, veja Integral (significados). Integral de uma função ... Wikipedia

Uma integral na qual a integração sobre diferentes variáveis ​​​​é realizada sequencialmente, ou seja, uma integral da forma (1) A função f(x, y) é definida no conjunto A situado no produto direto XX Y dos espaços X e Y, em que s recebem medidas finitas mx e my,… … Enciclopédia Matemática

Uma integral obtida ao longo de qualquer curva em um plano ou no espaço. Existem K. e. 1º e 2º tipos. K. e. O tipo 1 surge, por exemplo, ao considerar o problema de cálculo da massa de uma curva de densidade variável; é designado... ... Grande Enciclopédia Soviética

Cuidado: Ao calcular integrais impróprias com pontos singulares dentro do intervalo de integração, você não pode aplicar mecanicamente a fórmula de Newton-Leibniz, pois isso pode levar a erros.

Regra geral: A fórmula de Newton-Leibniz está correta se a antiderivada de f(x) no ponto singular deste último é contínuo.

Exemplo 2.11.

Consideremos uma integral imprópria com um ponto singular x = 0. A fórmula de Newton-Leibniz, aplicada formalmente, dá

Contudo, a regra geral não se aplica aqui; para f(x) = 1/x a antiderivada ln |x| não está definido em x = 0 e é infinitamente grande neste ponto, ou seja, não é contínuo neste ponto. É fácil verificar por verificação direta que a integral diverge. Realmente,

A incerteza resultante pode ser revelada de diferentes maneiras, pois e e d tendem a zero independentemente. Em particular, definindo e = d, obtemos o valor principal da integral imprópria igual a 0. Se e = 1/n, e d =1/n 2, ou seja, d tende a 0 mais rápido que e, então obtemos

quando e vice-versa,

aqueles. a integral diverge.n

Exemplo 2.12.

Consideremos uma integral imprópria com um ponto singular x = 0. A antiderivada da função tem a forma e é contínua no ponto x = 0. Portanto, podemos aplicar a fórmula de Newton-Leibniz:

Uma generalização natural do conceito de integral de Riemann definida para o caso de uma função de diversas variáveis ​​é o conceito de integral múltipla. Para o caso de duas variáveis, tais integrais são chamadas dobro.

Considere no espaço euclidiano bidimensional R'R, ou seja em um plano com sistema de coordenadas cartesianas, um conjunto Eárea final S.

Vamos denotar por ( eu = 1, …, k) definir partição E, ou seja tal sistema de seus subconjuntos E eu, eu = 1,. . ., k, que Ø para i ¹ j e (Fig. 2.5). Aqui denotamos o subconjunto E eu sem sua fronteira, ou seja, pontos internos do subconjunto E i , que, juntamente com seu limite GR E eu formo um subconjunto fechado E eu, . É claro que a área S(E e) subconjuntos E coincide com a área do seu interior, pois a área do limite GR eu é igual a zero.

Deixei d(E i) denotar definir diâmetro E eu, ou seja a distância máxima entre dois de seus pontos. A quantidade l(t) = d(E i) será chamada finura da partição t. Se a função f(x),x = (x, y), for definida em E como uma função de dois argumentos, então qualquer soma da forma

X eu О E eu , eu = 1, . . . , k, x eu = (x eu , y eu),

dependendo tanto da função f quanto da partição t, e da escolha dos pontos x i О E i М t, é chamado soma integral da função f .

Se para uma função f existe um valor que não depende nem das partições t nem da escolha dos pontos (i = 1, ..., k), então este limite é chamado integral dupla de Riemann de f(x,y) e é denotado

A própria função f é chamada neste caso Riemann integrável.

Lembre-se que no caso de uma função com um argumento como conjunto E sobre o qual a integração é realizada, o segmento geralmente é considerado , e sua partição t é considerada uma partição que consiste em segmentos. Em outros aspectos, como é fácil ver, a definição da integral dupla de Riemann repete a definição da integral definida de Riemann para uma função de um argumento.

A integral dupla de Riemann de funções limitadas de duas variáveis ​​tem as propriedades usuais de uma integral definida para funções de um argumento – linearidade, aditividade em relação aos conjuntos sobre os quais a integração é realizada, preservação ao integrar desigualdades não estritas, integrabilidade do produto funções integradas, etc.

O cálculo de múltiplas integrais de Riemann se reduz ao cálculo integrais iteradas. Consideremos o caso da integral dupla de Riemann. Deixe a função f(x,y)é definido no conjunto E situado no produto cartesiano dos conjuntos X ´ Y, E М X ´ Y.

Por integral repetida da função f(x, y) é chamada de integral na qual a integração é realizada sequencialmente sobre diferentes variáveis, ou seja, integral da forma

Defina E(y) = (x: О E) М X é chamado corte transversal define E correspondente a um dado y, y О E y ; o conjunto E y é chamado – projeção defina E no eixo Y.

Para a integral iterada, a seguinte notação também é usada:

o que, como o anterior, significa que primeiro, por um período fixo y, y О E y , a função está integrada f(x, y) Por x ao longo do segmento E(sim), que é uma seção do conjunto E correspondente a este você. Como resultado, a integral interna define alguma função de uma variável - você. Esta função é então integrada como função de uma variável, conforme indicado pelo símbolo integral externo.

Ao alterar a ordem de integração, obtemos uma integral repetida da forma

onde a integração interna é realizada ao longo sim, e externo - por x. Como esta integral iterada se relaciona com a integral iterada definida acima?

Se houver uma integral dupla da função f, ou seja

então ambas as integrais repetidas existem e são idênticas em magnitude e iguais ao dobro, ou seja,

Ressaltamos que a condição formulada nesta afirmação para a possibilidade de alteração da ordem de integração em integrais iteradas é apenas suficiente, mas não é necessário.

Outras condições suficientes as possibilidades de alterar a ordem de integração em integrais iteradas são formuladas da seguinte forma:

se pelo menos uma das integrais existir

então a função f(x, y) Riemann integrável no set E, ambas as integrais repetidas existem e são iguais à integral dupla. n

Vamos especificar a notação de projeções e seções na notação de integrais iteradas.

Se o conjunto E é um retângulo

Que E x = (x: a £ x £ b), E y = (y: c £ y £ d); em que E(y) = E x para qualquer y, y О E y . , A E(x) = Ey para qualquer x , x O E x ..

Entrada formal: " y y О E yÞ E(y) = E xÙ" x x О E xÞ E(x) = Ey

Se o conjunto E tiver borda curva e permite representações

Neste caso, as integrais repetidas são escritas da seguinte forma:

Exemplo 2.13.

Calcule a integral dupla sobre uma área retangular, reduzindo-a a iterativa.

Já que a condição sen 2 (x+ y) =| sin 2 (x + y)|, verificando então a satisfatibilidade de condições suficientes para a existência da integral dupla I na forma da existência de qualquer uma das integrais repetidas

não há necessidade de fazer isso especificamente e você pode prosseguir imediatamente para o cálculo da integral repetida

Se existir, então a integral dupla também existe e I = I 1 . Porque o

Então eu = .n

Exemplo 2.14.

Calcule a integral dupla sobre a região triangular (ver Fig. 2.6), reduzindo-a a repetidas

Gr(E) = ( : x = 0, y = 0, x + y = 2).

Primeiramente, verifiquemos a existência da integral dupla I. Para isso, basta verificar a existência da integral repetida

aqueles. os integrandos são contínuos nos intervalos de integração, pois são todos funções de potência. Portanto, a integral I 1 existe. Neste caso, a integral dupla também existe e é igual a qualquer outra repetida, ou seja,

Exemplo 2.15.

Para entender melhor a conexão entre os conceitos de integrais duplas e iteradas, considere o exemplo a seguir, que pode ser omitido na primeira leitura. Uma função de duas variáveis ​​f(x, y) é dada

Observe que para x fixo esta função é ímpar em y, e para y fixo é ímpar em x. Como conjunto E sobre o qual esta função está integrada, tomamos o quadrado E = ( : -1 £ x £ 1, -1 £ e £ 1).

Primeiro consideramos a integral iterada

Integral interno

é considerado para y fixo, -1 £ y £ 1. Como o integrando para y fixo é ímpar em x, e a integração sobre esta variável é realizada sobre o segmento [-1, 1], simétrico em relação ao ponto 0, então a integral interna é igual a 0. Obviamente, que a integral externa sobre a variável y da função zero também é igual a 0, ou seja,

Raciocínio semelhante para a segunda integral iterada leva ao mesmo resultado:

Portanto, para a função f(x, y) em consideração, existem integrais repetidas e são iguais entre si. No entanto, não existe integral dupla da função f(x, y). Para ver isto, voltemos ao significado geométrico do cálculo de integrais repetidas.

Para calcular a integral iterada

é utilizado um tipo especial de partição do quadrado E, bem como um cálculo especial de somas integrais. Ou seja, o quadrado E é dividido em faixas horizontais (ver Fig. 2.7), e cada faixa é dividida em pequenos retângulos. Cada faixa corresponde a um determinado valor da variável y; por exemplo, esta poderia ser a ordenada do eixo horizontal da tira.

O cálculo das somas integrais é realizado da seguinte forma: primeiro, as somas são calculadas para cada faixa separadamente, ou seja, em y fixo para x diferentes, e então essas somas intermediárias são somadas para bandas diferentes, ou seja, para diferentes y. Se a finura da partição tende a zero, então no limite obtemos a integral repetida acima mencionada.

É claro que para a segunda integral iterada

o conjunto E é dividido em listras verticais correspondentes a diferentes x. As somas intermediárias são calculadas dentro de cada faixa em pequenos retângulos, ou seja, ao longo de y, e então eles são somados para bandas diferentes, ou seja, por x. No limite, quando a finura da partição tende a zero, obtemos a integral iterada correspondente.

Para provar que não existe integral dupla, basta dar um exemplo de partição, cujo cálculo das somas integrais para a qual, no limite quando a finura da partição tende a zero, dá um resultado diferente do valor das integrais repetidas. Vamos dar um exemplo de tal partição correspondente ao sistema de coordenadas polares (r, j) (ver Fig. 2.8).

No sistema de coordenadas polares, a posição de qualquer ponto do plano M 0 (x 0 , y 0), onde x 0 , y 0 são as coordenadas cartesianas do ponto M 0, é determinada pelo comprimento r 0 do raio conectando-o à origem e ao ângulo j 0 formado por este raio com direção positiva do eixo x (o ângulo é contado no sentido anti-horário). A conexão entre as coordenadas cartesianas e polares é óbvia:

y 0 = r 0 × sinj 0 .

A partição é construída da seguinte maneira. Primeiro, o quadrado E é dividido em setores com raios que emanam do centro das coordenadas e, a seguir, cada setor é dividido em pequenos trapézios por linhas perpendiculares ao eixo do setor. O cálculo das somas integrais é realizado da seguinte forma: primeiro ao longo de pequenos trapézios dentro de cada setor ao longo de seu eixo (ao longo de r) e depois ao longo de todos os setores (ao longo de j). A posição de cada setor é caracterizada pelo ângulo de seu eixo j, e o comprimento de seu eixo r(j) depende deste ângulo:

se ou, então;

se então ;

se então

se então .

Passando ao limite das somas integrais de uma partição polar quando a finura da partição tende a zero, obtemos uma representação da integral dupla em coordenadas polares. Tal notação pode ser obtida de forma puramente formal, substituindo as coordenadas cartesianas (x, y) por polares (r, j).

De acordo com as regras de transição em integrais de coordenadas cartesianas para polares, deve-se escrever, por definição:

Em coordenadas polares, a função f(x, y) será escrita da seguinte forma:

Finalmente temos

Integral interna (imprópria) na última fórmula

onde a função r(j) é indicada acima, 0 £ j £ 2p , é igual a +¥ para qualquer j, porque

Portanto, o integrando na integral externa avaliada sobre j não está definido para qualquer j. Mas então a integral externa em si não está definida, ou seja, a integral dupla original não está definida.

Observe que a função f(x, y) não satisfaz a condição suficiente para a existência de uma integral dupla sobre o conjunto E. Mostremos que a integral

não existe. Realmente,

Da mesma forma, o mesmo resultado é estabelecido para a integral

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Aulas 5-6

Tópico2. Integrais múltiplas.

Integral dupla.

Perguntas de controle.

1. Integral dupla, seu significado geométrico e físico

2. Propriedades da integral dupla.

3. Cálculo da integral dupla em coordenadas cartesianas.

4. Mudança de variáveis ​​na integral dupla. Cálculo de integral dupla em coordenadas polares.

Deixe a função z = f (x , sim) definido em uma região fechada limitada D avião. Vamos dividir a área D aleatoriamente em náreas fechadas elementares  1 , … , n, tendo áreas   1 , …,   n e diâmetros d 1 , …, d n respectivamente. Vamos denotar d maior dos diâmetros de área  1 , … ,  n. Em todas as áreas  k escolha um ponto arbitrário P k (x k , sim k) e compor soma integral funções f(x,y)

S =
(1)

Definição. Integral dupla funções f(x,y) por região D chamado de limite da soma integral

, (2)

se existir.

Comente. Soma cumulativa S depende de como a área está dividida D e selecionando pontos P k (k=1, …, n). No entanto, o limite
, se existir, não depende de como a área está particionada D e selecionando pontos P k .

Condição suficiente para a existência de uma integral dupla. Integral dupla (1) existe se a função f(x,y) contínuo em D exceto por um número finito de curvas suaves por partes e é limitado em D. A seguir, assumiremos que todas as integrais duplas em consideração existem.

Significado geométrico da integral dupla.

Se f(x,y) ≥0 em área D, então a integral dupla (1) é igual ao volume do corpo “cilíndrico” mostrado na figura:

V =
(3)

O corpo cilíndrico é limitado abaixo pela região D, de cima - parte da superfície z = f (x , sim), dos lados - por segmentos retos verticais conectando os limites desta superfície e região D.

Significado físico da integral dupla. Massa de uma placa plana.

Deixe um prato plano ser dado D com uma função de densidade conhecida γ( X,no), então quebrando a placa D em partes D eu e escolhendo pontos arbitrários
, obtemos para a massa da placa
, ou, comparando com a fórmula (2):

(4)

4. Algumas propriedades da integral dupla.

Linearidade. Se COMé uma constante numérica, então

Aditividade. Se a área D “dividido” em áreas D 1 E D 2, então

3) Área da área limitada D igual a

(5)

Cálculo de integral dupla em coordenadas cartesianas.

Deixe a área ser dada

Imagem 1

D = { (x , sim ): uma ≤ x ≤ b , φ 1 (x ) ≤ y≤ φ 2 (x ) } (6)

Região D encerrado em uma faixa entre linhas retas x = a , sim = b, delimitado por baixo e por cima, respectivamente, por curvas sim = φ 1 (x ) E sim = φ 2 (x ) .

Integral dupla (1) sobre uma região D(4) é calculado passando para a integral iterada:

(7)

Esta integral iterada é calculada da seguinte forma. Primeiro, a integral interna é calculada

por variável sim, em que x considerado constante. O resultado será uma função da variável x, e então a integral “externa” desta função sobre a variável é calculada x .

Comente. O processo de transição para uma integral repetida de acordo com a fórmula (7) é freqüentemente chamado de colocação de limites de integração em uma integral dupla. Ao definir limites de integração, você precisa se lembrar de dois pontos. Em primeiro lugar, o limite inferior de integração não deve exceder o superior e, em segundo lugar, os limites da integral externa devem ser constantes, e o limite interno deve, no caso geral, depender da variável de integração da integral externa.

Deixe agora a área D parece

D = { (x , sim ) : c ≤ y ≤ d , ψ 1 (sim ) ≤ x ≤ ψ 2 (sim ) } . (8)

Então

. (9)

Suponhamos que a área D pode ser representado como (6) e (8) simultaneamente. Então a igualdade vale

(10)

A transição de uma integral iterada para outra na igualdade (10) é chamada alterando a ordem de integração em integral dupla.

Exemplos.

1) Altere a ordem de integração na integral

Solução. Usando a forma da integral iterada, encontramos a região

D = { (x , sim ): 0 ≤ x ≤ 1, 2 x ≤ y≤ 2 } .

Vamos representar a área D. Pela figura vemos que esta área está localizada em uma faixa horizontal entre as retas sim =0, sim=2 e entre linhas x =0 E x=D

Às vezes, para simplificar os cálculos, é feita uma mudança de variáveis:

,
(11)

Se as funções (11) são continuamente diferenciáveis ​​e o determinante (jacobiano) é diferente de zero no domínio em consideração:

(12)

Ministério da Educação e Ciência da Federação Russa

Trabalho do curso

Disciplina: Matemática Superior

(Fundamentos de Programação Linear)

Sobre o tema: MÚLTIPLOS INTEGRAIS

Completado por: ______________

Professor:___________

Data ___________________

Nota _________________

Assinatura ________________

VORONEZH 2008

1 Integrais múltiplas

1.1 Integral dupla

1.2 Integral triplo

1.3 Integrais múltiplas em coordenadas curvilíneas

1.4 Aplicações geométricas e físicas de integrais múltiplas

2 Integrais curvilíneas e de superfície

2.1 Integrais curvilíneas

2.2 Integrais de superfície

2.3 Aplicações geométricas e físicas

Bibliografia

1 Integrais múltiplas

1.1 Integral dupla

Consideremos uma região fechada D no plano Oxy, delimitada pela linha L. Vamos dividir esta região em n partes por algumas linhas

Seja uma função z = f(x, y) dada no domínio D. Vamos denotar por f(P 1), f(P 2),…, f(P n) os valores desta função em pontos selecionados e compor uma soma de produtos da forma f(P i)ΔS i:

chamada de soma integral da função f(x, y) no domínio D.

Se houver o mesmo limite de somas integrais (1) para

Cálculo da integral dupla sobre a região D delimitada por linhas

1.2 Integral triplo

O conceito de integral tripla é introduzido por analogia com uma integral dupla.

Seja dada uma determinada região V no espaço, limitada por uma superfície fechada S. Definamos uma função contínua f(x, y, z) nesta região fechada. Em seguida, dividimos a região V em partes arbitrárias Δv i, considerando o volume de cada parte igual a Δv i, e compomos uma soma integral da forma

Limite em

A integral tripla da função f(x,y,z) sobre a região V é igual à integral tripla sobre a mesma região:

1.3 Integrais múltiplas em coordenadas curvilíneas

Vamos introduzir coordenadas curvilíneas no plano, chamadas polares. Selecionemos o ponto O (pólo) e o raio que dele emana (eixo polar).

Arroz. 2 Fig. 3

As coordenadas do ponto M (Fig. 2) serão o comprimento do segmento MO - o raio polar ρ e o ângulo φ entre o MO e o eixo polar: M(ρ,φ). Observe que para todos os pontos do plano, exceto o pólo, ρ > 0, e o ângulo polar φ será considerado positivo quando medido no sentido anti-horário e negativo quando medido no sentido oposto.

A relação entre as coordenadas polares e cartesianas do ponto M pode ser definida alinhando a origem do sistema de coordenadas cartesianas com o pólo, e o semieixo positivo Boi com o eixo polar (Fig. 3). Então x=ρcosφ, y=ρsinφ. Daqui

Definamos na região D delimitada pelas curvas ρ=Φ 1 (φ) e ρ=Φ 2 (φ), onde φ 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).

No espaço tridimensional, são introduzidas coordenadas cilíndricas e esféricas.

As coordenadas cilíndricas do ponto P(ρ,φ,z) são as coordenadas polares ρ, φ da projeção deste ponto no plano Oxy e a aplicação deste ponto z (Fig. 5).

Fig.5 Fig.6

As fórmulas para a transição de coordenadas cilíndricas para cartesianas podem ser especificadas da seguinte forma:

x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (8)

Em coordenadas esféricas, a posição de um ponto no espaço é determinada pela coordenada linear r - a distância do ponto à origem do sistema de coordenadas cartesianas (ou o pólo do sistema esférico), φ - o ângulo polar entre o positivo semieixo Boi e a projeção do ponto no plano Boi, e θ - o ângulo entre o semieixo positivo do eixo Oz e o segmento OP (Fig. 6). Em que

Vamos definir as fórmulas para a transição das coordenadas esféricas para as cartesianas:

x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (9)

Então as fórmulas para transição para coordenadas cilíndricas ou esféricas na integral tripla ficarão assim:

onde F 1 e F 2 são funções obtidas substituindo suas expressões por meio de coordenadas cilíndricas (8) ou esféricas (9) na função f em vez de x, y, z.

1.4 Aplicações geométricas e físicas de integrais múltiplas

1) Área da região plana S:

Exemplo 1.

Encontre a área da figura D delimitada por linhas

É conveniente calcular esta área contando y como variável externa. Então os limites da região são dados pelas equações