Segmentos proporcionais em um triângulo retângulo. Segmentos proporcionais em um triângulo retângulo Segmentos proporcionais médios em uma prova de triângulo retângulo

Lições objetivas:

1. introduzir o conceito de média proporcional (média geométrica) de dois segmentos;
2. considere o problema dos segmentos proporcionais em um triângulo retângulo: a propriedade da altura de um triângulo retângulo desenhado a partir do vértice de um ângulo reto;
3. desenvolver nos alunos as competências na utilização do tema estudado no processo de resolução de problemas.

Tipo de aula: lição de aprender novo material.

Plano:

1. Momento organizacional.
2. Atualizando conhecimentos.
3. Estudando a propriedade da altura de um triângulo retângulo desenhado a partir do vértice de um ângulo reto:
   - fase preparatória;
   - introdução;
   – assimilação.
4. Introdução do conceito de média proporcional a dois segmentos.
5. Dominar o conceito de média proporcional de dois segmentos.
6. Prova das consequências:
   – a altura de um triângulo retângulo traçado a partir do vértice de um ângulo reto é a média proporcional entre os segmentos em que a hipotenusa é dividida por esta altura;
   – o cateto de um triângulo retângulo é a média proporcional entre a hipotenusa e o segmento da hipotenusa delimitado entre o cateto e a altitude.
7. Solução de problemas.
8. Resumindo.
9. Definindo lição de casa.

Durante as aulas

I. MOMENTO ORGANIZACIONAL

- Olá pessoal, sentem-se. Estão todos prontos para a aula?

Vamos começar a trabalhar.

II. CONHECIMENTO ATUALIZADO

– Que conceito matemático importante você aprendeu nas aulas anteriores? ( com o conceito de semelhança de triângulos)

- Vamos lembrar quais dois triângulos são chamados de semelhantes? (dois triângulos são chamados semelhantes se seus ângulos são respectivamente iguais e os lados de um triângulo são proporcionais aos lados semelhantes do outro triângulo)

– O que usamos para provar a semelhança de dois triângulos? (

– Formule esses sinais (formule três sinais de semelhança de triângulos)

III. ESTUDANDO AS PROPRIEDADES DA ALTURA DE UM TRIÂNGULO RETANGULAR, REALIZADO DO TOPO DE UM ÂNGULO RETO

a) fase preparatória

– Pessoal, por favor vejam o primeiro slide. ( Aplicativo) Aqui são mostrados dois triângulos retângulos – e . e são as alturas e respectivamente. .

Tarefa 1. a) Determine se e são semelhantes.

– O que usamos para provar a semelhança de triângulos? ( sinais de semelhança de triângulos)

(o primeiro sinal, porque no problema nada se sabe sobre os lados dos triângulos)

. (Dois pares: 1. ∟B= ∟B1 (reto), 2. ∟A= ∟A 1)

- Chegar a uma conclusão.( pelo primeiro critério de similaridade de triângulos ~)

Tarefa 1. b) Determine se e são semelhantes.

– Que sinal de semelhança usaremos e por quê? (o primeiro sinal, porque no problema nada se sabe sobre os lados dos triângulos)

– Quantos pares de ângulos iguais precisamos encontrar? Encontre esses pares (como os triângulos são retângulos, então um par de ângulos iguais é suficiente: ∟A= ∟A 1)

- Chegar a uma conclusão. (com base no primeiro critério de semelhança de triângulos, concluímos que esses triângulos são semelhantes).

Como resultado da conversa, o slide 1 fica assim:

b) descoberta do teorema

Tarefa 2.

– Determine se e são semelhantes. Como resultado da conversa, são construídas respostas que são refletidas no slide.

– A imagem indicava isso. Usamos essa medida de graduação ao responder às questões da tarefa? ( Não, nós não usamos)

– Pessoal, tirem uma conclusão: em quais triângulos um triângulo retângulo se divide pela altura traçada a partir do vértice do ângulo reto? (concluir)

– Surge a pergunta: esses dois triângulos retângulos, nos quais a altura divide o triângulo retângulo, serão semelhantes entre si? Vamos tentar encontrar pares de ângulos iguais.

Como resultado da conversa, um registro é construído:

– Agora vamos tirar uma conclusão completa.( CONCLUSÃO: a altura de um triângulo retângulo desenhado a partir do vértice do ângulo reto divide o triângulo em dois semelhante

- Que. Formulamos e provamos um teorema sobre a propriedade da altura de um triângulo retângulo.

Vamos estabelecer a estrutura do teorema e fazer um desenho. O que é dado no teorema e o que precisa ser provado? Os alunos escrevem em seus cadernos:

– Vamos provar o primeiro ponto do teorema para o novo desenho. Que recurso de similaridade usaremos e por quê? (A primeira, porque no teorema nada se sabe sobre os lados dos triângulos)

– Quantos pares de ângulos iguais precisamos encontrar? Encontre esses pares. (Neste caso, um par é suficiente: ∟A-geral)

- Chegar a uma conclusão. Os triângulos são semelhantes. Como resultado, uma amostra do teorema é mostrada

– Escreva você mesmo o segundo e o terceiro pontos em casa.

c) dominar o teorema

- Então, formule o teorema novamente (A altura de um triângulo retângulo desenhado a partir do vértice de um ângulo reto divide o triângulo em dois semelhante triângulos retângulos, cada um dos quais é semelhante a este)

– Quantos pares de triângulos semelhantes na construção “em um triângulo retângulo a altitude é traçada a partir do vértice de um ângulo reto” este teorema permite encontrar? ( Três pares)

Os alunos recebem a seguinte tarefa:

4. INTRODUÇÃO DO CONCEITO DE MÉDIA PROPORCIONAL DE DOIS SEGMENTOS

– E agora estudaremos um novo conceito com vocês.

Atenção!

Definição. Segmento de linha XY chamado média proporcional (média geométrica) entre segmentos AB E CD, Se

(anote em um caderno).

V. ENTENDENDO O CONCEITO DE MÉDIA PROPORCIONAL DE DOIS SEGMENTOS

– Agora vamos para o próximo slide.

Exercício 1. Encontre o comprimento dos segmentos proporcionais médios MN e KP, se MN = 9 cm, KP = 16 cm.

– O que é dado no problema? ( Dois segmentos e seus comprimentos: MN = 9 cm, KP = 16 cm)

- O que voce precisa achar? ( O comprimento da média proporcional a esses segmentos)

– Que fórmula expressa a média proporcional e como a encontramos?

(Substitua os dados na fórmula e encontre o comprimento da prop média.)

Tarefa nº 2. Encontre o comprimento do segmento AB se a média proporcional dos segmentos AB e CD for 90 cm e CD = 100 cm

– O que é dado no problema? (o comprimento do segmento CD = 100 cm e a média proporcional dos segmentos AB e CD é 90 cm)

– O que deve ser encontrado no problema? ( Comprimento do segmento AB)

– Como vamos resolver o problema? (Vamos escrever a fórmula para os segmentos proporcionais médios AB e CD, expressar o comprimento AB a partir dela e substituir os dados no problema.)

VI. CONCLUSÃO DAS IMPLICAÇÕES

- Muito bem, rapazes. Agora voltemos à semelhança dos triângulos, que provamos no teorema. Enuncie o teorema novamente. ( A altura de um triângulo retângulo desenhado a partir do vértice de um ângulo reto divide o triângulo em dois semelhante triângulos retângulos, cada um dos quais é semelhante ao dado)

– Vamos primeiro usar a semelhança de triângulos e . O que se segue disso? ( Por definição, os lados semelhantes são proporcionais aos lados semelhantes)

– Que igualdade resultará ao usar a propriedade básica da proporção? ()

– Expressar CD e tirar uma conclusão (;.

Conclusão: a altura de um triângulo retângulo desenhado a partir do vértice de um ângulo reto é a média proporcional entre os segmentos em que a hipotenusa é dividida por esta altura)

– Agora prove por si mesmo que o cateto de um triângulo retângulo é a média proporcional entre a hipotenusa e o segmento da hipotenusa delimitado entre o cateto e a altitude. Encontraremos a partir de -... os segmentos em que a hipotenusa está dividida por esta altitude )

Uma perna de um triângulo retângulo é a média proporcional entre...(-...a hipotenusa e o segmento da hipotenusa encerrado entre esta perna e a altura )

– Onde aplicamos as afirmações que aprendemos? ( Ao resolver problemas)

IX. DEFINIÇÃO DE DEVER DE CASA

d/z: Nº 571, Nº 572 (a, d), trabalho independente em caderno, teoria.

Teste de similaridade para triângulos retângulos

Vamos primeiro introduzir o critério de similaridade para triângulos retângulos.

Teorema 1

Teste de similaridade para triângulos retângulos: dois triângulos retângulos são semelhantes quando cada um deles tem um ângulo agudo igual (Fig. 1).

Figura 1. Triângulos retângulos semelhantes

Prova.

Sejamos dados que $\angle B=\angle B_1$. Como os triângulos são retângulos, então $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Portanto, eles são semelhantes segundo o primeiro critério de semelhança de triângulos.

O teorema foi provado.

Teorema da altura no triângulo retângulo

Teorema 2

A altitude de um triângulo retângulo desenhado a partir do vértice de um ângulo reto divide o triângulo em dois triângulos retângulos semelhantes, cada um dos quais é semelhante ao triângulo dado.

Prova.

Seja-nos dado um triângulo retângulo $ABC$ com ângulo reto $C$. Vamos desenhar a altura $CD$ (Fig. 2).

Figura 2. Ilustração do Teorema 2

Vamos provar que os triângulos $ACD$ e $BCD$ são semelhantes ao triângulo $ABC$ e que os triângulos $ACD$ e $BCD$ são semelhantes entre si.

Como $\angle ADC=(90)^0$, então o triângulo $ACD$ é retângulo. Os triângulos $ACD$ e $ABC$ têm um ângulo comum $A$, portanto, pelo Teorema 1, os triângulos $ACD$ e $ABC$ são semelhantes.

Como $\angle BDC=(90)^0$, então o triângulo $BCD$ é retângulo. Os triângulos $BCD$ e $ABC$ têm um ângulo comum $B$, portanto, pelo Teorema 1, os triângulos $BCD$ e $ABC$ são semelhantes.

Consideremos agora os triângulos $ACD$ e $BCD$

\[\ângulo A=(90)^0-\ângulo ACD\] \[\ângulo BCD=(90)^0-\ângulo ACD=\ângulo A\]

Portanto, pelo Teorema 1, os triângulos $ACD$ e $BCD$ são semelhantes.

O teorema foi provado.

Média proporcional

Teorema 3

A altitude de um triângulo retângulo desenhado a partir do vértice de um ângulo reto é a média proporcional aos segmentos em que a altitude divide a hipotenusa do triângulo dado.

Prova.

Pelo Teorema 2, temos que os triângulos $ACD$ e $BCD$ são semelhantes, portanto

O teorema foi provado.

Teorema 4

O cateto de um triângulo retângulo é a média proporcional entre a hipotenusa e o segmento da hipotenusa delimitado entre o cateto e a altitude traçada a partir do vértice do ângulo.

Prova.

Na prova do teorema usaremos a notação da Figura 2.

Pelo Teorema 2, temos que os triângulos $ACD$ e $ABC$ são semelhantes, portanto

O teorema foi provado.

Lição 40. Segmentos proporcionais em um triângulo retângulo. C. b. a. h. S. bc. N. ac. A. B. A altura de um triângulo retângulo desenhado a partir do vértice de um ângulo reto divide o triângulo em 2 triângulos retângulos semelhantes, cada um dos quais é semelhante ao triângulo dado. Teste de similaridade para triângulos retângulos. Dois triângulos retângulos são semelhantes se cada um deles tiver um ângulo agudo igual. O segmento XY é chamado de média proporcional (média geométrica) para os segmentos AB e CD se Propriedade 1. A altitude de um triângulo retângulo desenhado a partir do vértice de um ângulo reto é a média proporcional entre as projeções dos catetos na hipotenusa. Propriedade 2. Um cateto de um triângulo retângulo é a média proporcional entre a hipotenusa e a projeção desse cateto na hipotenusa.

Geometria 8º ano

“Resolvendo problemas de acordo com o teorema de Pitágoras” - O triângulo ABC é isósceles. Aplicação prática do teorema de Pitágoras. ABCD é um quadrilátero. Área de um quadrado. Encontre o sol. Prova. Bases de um trapézio isósceles. Considere o teorema de Pitágoras. Área de um quadrilátero. Triângulos retângulos. Teorema de Pitágoras. O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

“Encontrando a área de um paralelogramo” - Base. Altura. Determinando a altura de um paralelogramo. Sinais de igualdade de triângulos retângulos. Área de um paralelogramo. Encontre a área do triângulo. Propriedades das áreas. Exercícios orais. Encontre a área do paralelogramo. Alturas de um paralelogramo. Encontre o perímetro do quadrado. Área de um triângulo. Encontre a área do quadrado. Encontre a área do retângulo. Área de um quadrado.

""Quadrado" 8ª série" - Quadrado Preto. Tarefas de trabalho oral em todo o perímetro da praça. Área de um quadrado. Sinais de uma praça. A praça está entre nós. Um quadrado é um retângulo com todos os lados iguais. Quadrado. Bolsa com base quadrada. Tarefas orais. Quantos quadrados são mostrados na imagem? Propriedades de um quadrado. Comerciante rico. Trabalhos de trabalho oral sobre a área de uma praça. Perímetro de um quadrado.

“Definição de simetria axial” - Pontos situados na mesma perpendicular. Desenhe duas linhas retas. Construção. Trace os pontos. Dica. Figuras que não possuem simetria axial. Segmento de linha. Coordenadas ausentes. Figura. Figuras que possuem mais de dois eixos de simetria. Simetria. Simetria na poesia. Construa triângulos. Eixos de simetria. Construção de um segmento. Construção de um ponto. Figuras com dois eixos de simetria. Povos. Triângulos. Proporcionalidade.

“Definição de triângulos semelhantes” - Polígonos. Segmentos proporcionais. Proporção de áreas de triângulos semelhantes. Dois triângulos são chamados semelhantes. Condições. Construa um triângulo usando os dois ângulos dados e a bissetriz no vértice. Digamos que precisamos determinar a distância até o pilar. O terceiro sinal de semelhança de triângulos. Vamos construir algum tipo de triângulo. ABC. Os triângulos ABC e ABC são iguais em três lados. Determinar a altura de um objeto.

“Solução do Teorema de Pitágoras” - Partes de janelas. A prova mais simples. Hamurabi. Diagonal. Prova completa. Prova pelo método de subtração. Pitagóricos. Prova pelo método de decomposição. História do teorema. Diâmetro. Prova por método de adição. A prova de Epstein. Cantor. Triângulos. Seguidores. Aplicações do teorema de Pitágoras. Teorema de Pitágoras. Declaração do teorema. A prova de Perigal. Aplicação do teorema.

Hoje trazemos à sua atenção mais uma apresentação sobre um assunto incrível e misterioso - a geometria. Nesta apresentação apresentaremos uma nova propriedade das formas geométricas, em particular, o conceito de segmentos proporcionais em triângulos retângulos.

Primeiro, devemos lembrar o que é um triângulo? Este é o polígono mais simples, composto por três vértices conectados por três segmentos. Um triângulo em que um dos ângulos é igual a 90 graus é chamado de triângulo retângulo. Você já os conheceu com mais detalhes em nossos materiais educacionais anteriores apresentados à sua atenção.

Então, voltando ao nosso tópico de hoje, vamos denotar em ordem que a altura de um triângulo retângulo desenhado a partir de um ângulo de 90 graus o divide em dois triângulos que são semelhantes entre si e ao original. Todos os desenhos e gráficos que lhe interessam são apresentados na apresentação proposta; recomendamos que os consulte, acompanhados da explicação descrita.

Um exemplo gráfico da tese acima pode ser visto no segundo slide. Com base no primeiro sinal de semelhança dos triângulos, os triângulos são semelhantes porque possuem dois ângulos idênticos. Se especificarmos com mais detalhes, então a altura abaixada até a hipotenusa forma com ela um ângulo reto, ou seja, já existem ângulos idênticos, e cada um dos ângulos formados também tem um ângulo comum ao original. O resultado são dois ângulos iguais entre si. Ou seja, os triângulos são semelhantes.

Designemos também o que significa o conceito de “média proporcional” ou “média geométrica”? Este é um determinado segmento XY para os segmentos AB e CD, quando é igual à raiz quadrada do produto de seus comprimentos.

Daí resulta também que o cateto de um triângulo retângulo é a média geométrica entre a hipotenusa e a projeção desse cateto na hipotenusa, ou seja, outro cateto.

Outra propriedade de um triângulo retângulo é que sua altura, traçada a partir de um ângulo de 90°, é a média proporcional entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Se você consultar a apresentação e demais materiais oferecidos ao seu conhecimento, verá que há evidências desta tese de uma forma muito simples e acessível. Anteriormente, já provamos que os triângulos resultantes são semelhantes entre si e ao triângulo original. Então, usando a razão dos catetos dessas figuras geométricas, chegamos à conclusão de que a altura de um triângulo retângulo é diretamente proporcional à raiz quadrada do produto dos segmentos que se formaram como resultado do abaixamento da altura do ângulo reto do triângulo original.

A última coisa na apresentação é que o cateto de um triângulo retângulo é a média geométrica da hipotenusa e seu segmento localizado entre o cateto e a altura traçada a partir de um ângulo igual a 90 graus. Este caso deve ser considerado do ponto de vista de que os triângulos indicados são semelhantes entre si, e o cateto de um deles acaba sendo a hipotenusa do outro. Mas você ficará mais familiarizado com isso estudando os materiais propostos.

Teste de similaridade para triângulos retângulos

Vamos primeiro introduzir o critério de similaridade para triângulos retângulos.

Teorema 1

Teste de similaridade para triângulos retângulos: dois triângulos retângulos são semelhantes quando cada um deles tem um ângulo agudo igual (Fig. 1).

Figura 1. Triângulos retângulos semelhantes

Prova.

Sejamos dados que $\angle B=\angle B_1$. Como os triângulos são retângulos, então $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Portanto, eles são semelhantes segundo o primeiro critério de semelhança de triângulos.

O teorema foi provado.

Teorema da altura no triângulo retângulo

Teorema 2

A altitude de um triângulo retângulo desenhado a partir do vértice de um ângulo reto divide o triângulo em dois triângulos retângulos semelhantes, cada um dos quais é semelhante ao triângulo dado.

Prova.

Seja-nos dado um triângulo retângulo $ABC$ com ângulo reto $C$. Vamos desenhar a altura $CD$ (Fig. 2).

Figura 2. Ilustração do Teorema 2

Vamos provar que os triângulos $ACD$ e $BCD$ são semelhantes ao triângulo $ABC$ e que os triângulos $ACD$ e $BCD$ são semelhantes entre si.

Como $\angle ADC=(90)^0$, então o triângulo $ACD$ é retângulo. Os triângulos $ACD$ e $ABC$ têm um ângulo comum $A$, portanto, pelo Teorema 1, os triângulos $ACD$ e $ABC$ são semelhantes.

Como $\angle BDC=(90)^0$, então o triângulo $BCD$ é retângulo. Os triângulos $BCD$ e $ABC$ têm um ângulo comum $B$, portanto, pelo Teorema 1, os triângulos $BCD$ e $ABC$ são semelhantes.

Consideremos agora os triângulos $ACD$ e $BCD$

\[\ângulo A=(90)^0-\ângulo ACD\] \[\ângulo BCD=(90)^0-\ângulo ACD=\ângulo A\]

Portanto, pelo Teorema 1, os triângulos $ACD$ e $BCD$ são semelhantes.

O teorema foi provado.

Média proporcional

Teorema 3

A altitude de um triângulo retângulo desenhado a partir do vértice de um ângulo reto é a média proporcional aos segmentos em que a altitude divide a hipotenusa do triângulo dado.

Prova.

Pelo Teorema 2, temos que os triângulos $ACD$ e $BCD$ são semelhantes, portanto

O teorema foi provado.

Teorema 4

O cateto de um triângulo retângulo é a média proporcional entre a hipotenusa e o segmento da hipotenusa delimitado entre o cateto e a altitude traçada a partir do vértice do ângulo.

Prova.

Na prova do teorema usaremos a notação da Figura 2.

Pelo Teorema 2, temos que os triângulos $ACD$ e $ABC$ são semelhantes, portanto

O teorema foi provado.