Derivada de uma função complexa x x. Derivados complexos

São dados exemplos de cálculo de derivadas usando a fórmula para a derivada de uma função complexa.

Contente

Veja também: Prova da fórmula da derivada de uma função complexa

Fórmulas básicas

Aqui damos exemplos de cálculo de derivadas das seguintes funções:
; ; ; ; .

Se uma função pode ser representada como uma função complexa da seguinte forma:
,
então sua derivada é determinada pela fórmula:
.
Nos exemplos abaixo, escreveremos esta fórmula da seguinte forma:
.
Onde .
Aqui, os subscritos ou , localizados sob o sinal de derivada, denotam as variáveis pelas quais a diferenciação é realizada.

Normalmente, em tabelas de derivadas, são fornecidas derivadas de funções da variável x. No entanto, x é um parâmetro formal. A variável x pode ser substituída por qualquer outra variável. Portanto, ao diferenciar uma função de uma variável, simplesmente trocamos, na tabela de derivadas, a variável x pela variável u.

Exemplos simples

Exemplo 1

Encontre a derivada de uma função complexa
.

Vamos escrever a função dada na forma equivalente:
.
Na tabela de derivadas encontramos:
;
.

De acordo com a fórmula da derivada de uma função complexa, temos:
.
Aqui .

Exemplo 2

Encontre a derivada
.

Tiramos a constante 5 do sinal da derivada e da tabela de derivadas encontramos:
.

.
Aqui .

Exemplo 3

Encontre a derivada
.

Tiramos uma constante -1 para o sinal da derivada e da tabela de derivadas encontramos:
;
Na tabela de derivadas encontramos:
.

Aplicamos a fórmula para a derivada de uma função complexa:
.
Aqui .

Exemplos mais complexos

Em exemplos mais complexos, aplicamos várias vezes a regra para diferenciar uma função complexa. Neste caso, calculamos a derivada do final. Ou seja, dividimos a função em suas partes componentes e encontramos as derivadas das partes mais simples usando tabela de derivadas. Nós também usamos regras para diferenciar somas, produtos e frações. Em seguida, fazemos substituições e aplicamos a fórmula da derivada de uma função complexa.

Exemplo 4

Encontre a derivada
.

Vamos selecionar a parte mais simples da fórmula e encontrar sua derivada. .

.
Aqui usamos a notação
.

Encontramos a derivada da próxima parte da função original usando os resultados obtidos. Aplicamos a regra para diferenciar a soma:
.

Mais uma vez aplicamos a regra de diferenciação de funções complexas.

.
Aqui .

Exemplo 5

Encontre a derivada da função
.

Vamos selecionar a parte mais simples da fórmula e encontrar sua derivada na tabela de derivadas. .

Aplicamos a regra de diferenciação de funções complexas.
.
Aqui
.

Vamos diferenciar a próxima parte usando os resultados obtidos.
.
Aqui
.

Vamos diferenciar a próxima parte.

.
Aqui
.

Agora encontramos a derivada da função desejada.

.
Aqui
.

Veja também:

Funções de tipo complexo nem sempre se enquadram na definição de função complexa. Se existe uma função da forma y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, então ela não pode ser considerada complexa, ao contrário de y = sin 2 x.

Este artigo mostrará o conceito de função complexa e sua identificação. Vamos trabalhar com fórmulas para encontrar a derivada com exemplos de soluções na conclusão. O uso da tabela de derivadas e das regras de diferenciação reduz significativamente o tempo para encontrar a derivada.

Definições básicas

Definição 1

Uma função complexa é aquela cujo argumento também é uma função.

É denotado desta forma: f (g (x)). Temos que a função g(x) é considerada um argumento f(g(x)).

Definição 2

Se existe uma função f e é uma função cotangente, então g(x) = ln x é a função logaritmo natural. Descobrimos que a função complexa f (g (x)) será escrita como arctg(lnx). Ou uma função f, que é uma função elevada à 4ª potência, onde g (x) = x 2 + 2 x - 3 é considerada uma função racional inteira, obtemos que f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Obviamente g(x) pode ser complexo. Do exemplo y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 fica claro que o valor de g tem a raiz cúbica da fração. Esta expressão pode ser denotada como y = f (f 1 (f 2 (x))). De onde temos que f é uma função seno, e f 1 é uma função localizada sob a raiz quadrada, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 é uma função racional fracionária.

Definição 3

O grau de aninhamento é determinado por qualquer número natural e é escrito como y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))))) .

Definição 4

O conceito de composição de funções refere-se ao número de funções aninhadas de acordo com as condições do problema. Para resolver, use a fórmula para encontrar a derivada de uma função complexa da forma

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Exemplos

Exemplo 1

Encontre a derivada de uma função complexa da forma y = (2 x + 1) 2.

Solução

A condição mostra que f é uma função quadrada e g(x) = 2 x + 1 é considerada uma função linear.

Vamos aplicar a fórmula derivada para uma função complexa e escrever:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

É necessário encontrar a derivada com uma forma original simplificada da função. Nós temos:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

A partir daqui temos isso

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Os resultados foram os mesmos.

Ao resolver problemas deste tipo, é importante entender onde estará localizada a função da forma f e g (x).

Exemplo 2

Você deve encontrar as derivadas de funções complexas da forma y = sin 2 x e y = sin x 2.

Solução

A primeira notação de função diz que f é a função quadratura e g(x) é a função seno. Então nós entendemos isso

y "= (sen 2 x)" = 2 sen 2 - 1 x (sen x) "= 2 sen x cos x

A segunda entrada mostra que f é uma função seno e g(x) = x 2 denota uma função de potência. Segue-se que escrevemos o produto de uma função complexa como

y " = (sen x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

A fórmula para a derivada y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))))) será escrita como y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x) )) )) · . . . fn "(x)

Exemplo 3

Encontre a derivada da função y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Solução

Este exemplo mostra a dificuldade de escrever e determinar a localização das funções. Então y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) denota onde f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) é a função seno, a função de aumentar a 3 graus, função com logaritmo e base e, arco tangente e função linear.

Da fórmula para definir uma função complexa, temos que

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Nós conseguimos o que precisamos encontrar

f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) como a derivada do seno de acordo com a tabela de derivadas, então f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) como a derivada de uma função de potência, então f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
f 2 " (f 3 (f 4 (x))) como uma derivada logarítmica, então f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
f 3 " (f 4 (x)) como a derivada do arco tangente, então f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
Ao encontrar a derivada f 4 (x) = 2 x, remova 2 do sinal da derivada usando a fórmula da derivada de uma função de potência com um expoente igual a 1, então f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Combinamos os resultados intermediários e obtemos isso

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

A análise de tais funções lembra as bonecas aninhadas. As regras de diferenciação nem sempre podem ser aplicadas explicitamente usando uma tabela de derivadas. Muitas vezes você precisa usar uma fórmula para encontrar derivadas de funções complexas.

Existem algumas diferenças entre aparência complexa e funções complexas. Com uma capacidade clara de distinguir isso, encontrar derivadas será especialmente fácil.

Exemplo 4

É necessário considerar dar tal exemplo. Se houver uma função da forma y = t g 2 x + 3 t g x + 1, então ela pode ser considerada como uma função complexa da forma g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Obviamente, é necessário usar a fórmula para uma derivada complexa:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Uma função da forma y = t g x 2 + 3 t g x + 1 não é considerada complexa, pois possui a soma de t g x 2, 3 t g x e 1. Porém, t g x 2 é considerada uma função complexa, então obtemos uma função de potência da forma g (x) = x 2 e f, que é uma função tangente. Para fazer isso, diferencie por quantidade. Nós entendemos isso

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 porque 2 x

Vamos prosseguir para encontrar a derivada de uma função complexa (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Obtemos que y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funções de tipo complexo podem ser incluídas em funções complexas, e as próprias funções complexas podem ser componentes de funções de tipo complexo.

Exemplo 5

Por exemplo, considere uma função complexa da forma y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Esta função pode ser representada como y = f (g (x)), onde o valor de f é uma função do logaritmo de base 3, e g (x) é considerado a soma de duas funções da forma h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 e k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Obviamente, y = f (h (x) + k (x)).

Considere a função h(x). Esta é a razão l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 para m (x) = e x 2 + 3 3

Temos que l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) é a soma de duas funções n (x) = x 2 + 7 e p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , onde p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) é uma função complexa com coeficiente numérico 3, e p 1 é uma função cúbica, p 2 por uma função cosseno, p 3 (x) = 2 x + 1 por uma função linear.

Descobrimos que m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) é a soma de duas funções q (x) = e x 2 e r (x) = 3 3, onde q (x) = q 1 (q 2 (x)) é uma função complexa, q 1 é uma função com exponencial, q 2 (x) = x 2 é uma função de potência.

Isso mostra que h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Ao passar para uma expressão da forma k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), fica claro que a função é apresentada na forma de um complexo s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) com um número inteiro racional t (x) = x 2 + 1, onde s 1 é uma função quadratura e s 2 (x) = ln x é logarítmico com base e.

Segue-se que a expressão assumirá a forma k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Então nós entendemos isso

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Com base nas estruturas da função, ficou claro como e quais fórmulas devem ser utilizadas para simplificar a expressão na sua diferenciação. Para se familiarizar com tais problemas e para o conceito de sua solução, é necessário ir ao ponto de diferenciar uma função, ou seja, encontrar sua derivada.

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Se g(x) E f(você) – funções diferenciáveis de seus argumentos, respectivamente, em pontos x E você= g(x), então a função complexa também é diferenciável no ponto x e é encontrado pela fórmula

Um erro típico ao resolver problemas de derivadas é transferir mecanicamente as regras para diferenciar funções simples em funções complexas. Vamos aprender a evitar esse erro.

Exemplo 2. Encontre a derivada de uma função

Solução errada: calcule o logaritmo natural de cada termo entre parênteses e procure a soma das derivadas:

Solução correta: novamente determinamos onde está a “maçã” e onde está a “carne picada”. Aqui o logaritmo natural da expressão entre parênteses é uma “maçã”, ou seja, uma função sobre o argumento intermediário você, e a expressão entre colchetes é “carne picada”, ou seja, um argumento intermediário você por variável independente x.

Então (usando a fórmula 14 da tabela de derivadas)

Em muitos problemas da vida real, a expressão com logaritmo pode ser um pouco mais complicada, e é por isso que existe uma lição

Exemplo 3. Encontre a derivada de uma função

Solução errada:

Solução correta. Mais uma vez determinamos onde está a “maçã” e onde está o “picadinho”. Aqui, o cosseno da expressão entre colchetes (fórmula 7 na tabela de derivadas) é uma “maçã”, é preparado no modo 1, que afeta apenas ela, e a expressão entre colchetes (a derivada do grau é o número 3 na tabela de derivados) é “carne picada”, é preparada no modo 2, que afeta apenas ela. E como sempre, associamos duas derivadas ao sinal do produto. Resultado:

A derivada de uma função logarítmica complexa é uma tarefa frequente em testes, por isso recomendamos fortemente que você assista à lição “Derivada de uma função logarítmica”.

Os primeiros exemplos foram sobre funções complexas, nas quais o argumento intermediário da variável independente era uma função simples. Mas em tarefas práticas muitas vezes é necessário encontrar a derivada de uma função complexa, onde o argumento intermediário é ele próprio uma função complexa ou contém tal função. O que fazer nesses casos? Encontre derivadas de tais funções usando tabelas e regras de diferenciação. Quando a derivada do argumento intermediário é encontrada, ela é simplesmente substituída no lugar certo da fórmula. Abaixo estão dois exemplos de como isso é feito.

Além disso, é útil saber o seguinte. Se uma função complexa pode ser representada como uma cadeia de três funções

então sua derivada deve ser encontrada como o produto das derivadas de cada uma dessas funções:

Muitas de suas tarefas de casa podem exigir que você abra seus guias em novas janelas. Ações com poderes e raízes E Operações com frações .

Exemplo 4. Encontre a derivada de uma função

Aplicamos a regra de diferenciação de uma função complexa, não esquecendo que no produto resultante das derivadas existe um argumento intermediário em relação à variável independente x não muda:

Preparamos o segundo fator do produto e aplicamos a regra de diferenciação da soma:

O segundo termo é a raiz, então

Assim, descobrimos que o argumento intermediário, que é uma soma, contém uma função complexa como um dos termos: elevar a uma potência é uma função complexa, e o que está sendo elevado a uma potência é um argumento intermediário em relação ao independente variável x.

Portanto, aplicamos novamente a regra para diferenciar uma função complexa:

Transformamos o grau do primeiro fator em raiz, e ao diferenciar o segundo fator, não esqueça que a derivada da constante é igual a zero:

Agora podemos encontrar a derivada do argumento intermediário necessária para calcular a derivada de uma função complexa exigida na definição do problema sim:

Exemplo 5. Encontre a derivada de uma função

Primeiro, usamos a regra para diferenciar a soma:

Obtivemos a soma das derivadas de duas funções complexas. Vamos encontrar o primeiro:

Aqui, elevar o seno a uma potência é uma função complexa, e o próprio seno é um argumento intermediário para a variável independente x. Portanto, usaremos a regra de diferenciação de uma função complexa, ao longo do caminho tirando o fator dos colchetes :

Agora encontramos o segundo termo das derivadas da função sim:

Aqui, elevar o cosseno a uma potência é uma função complexa f, e o próprio cosseno é um argumento intermediário na variável independente x. Vamos usar novamente a regra para diferenciar uma função complexa:

O resultado é a derivada necessária:

Tabela de derivadas de algumas funções complexas

Para funções complexas, com base na regra de diferenciação de uma função complexa, a fórmula para a derivada de uma função simples assume uma forma diferente.

1. Derivada de uma função de potência complexa, onde você x
2. Derivada da raiz da expressão
3. Derivada de uma função exponencial
4. Caso especial de função exponencial
5. Derivada de uma função logarítmica com base positiva arbitrária A
6. Derivada de uma função logarítmica complexa, onde você– função diferenciável do argumento x
7. Derivada do seno
8. Derivada do cosseno
9. Derivada da tangente
10. Derivada de cotangente
11. Derivada do arco seno
12. Derivada de arcocoseno
13. Derivada do arco tangente
14. Derivada do arco cotangente

Muito fácil de lembrar.

Bem, não vamos longe, vamos considerar imediatamente a função inversa. Qual função é o inverso da função exponencial? Logaritmo:

No nosso caso, a base é o número:

Tal logaritmo (isto é, um logaritmo com base) é chamado de “natural” e usamos uma notação especial para ele: em vez disso, escrevemos.

A que é igual? Claro, .

A derivada do logaritmo natural também é muito simples:

Exemplos:

Encontre a derivada da função.
Qual é a derivada da função?

Respostas: O logaritmo exponencial e natural são funções exclusivamente simples de uma perspectiva derivada. Funções exponenciais e logarítmicas com qualquer outra base terão uma derivada diferente, que analisaremos mais tarde, após passarmos pelas regras de diferenciação.

Regras de diferenciação

Regras de quê? De novo um novo mandato, de novo?!...

Diferenciaçãoé o processo de encontrar a derivada.

Isso é tudo. Como mais você pode chamar esse processo em uma palavra? Não derivada... Os matemáticos chamam o diferencial de o mesmo incremento de uma função em. Este termo vem do latim Differentia - diferença. Aqui.

Ao derivar todas essas regras, usaremos duas funções, por exemplo, e. Também precisaremos de fórmulas para seus incrementos:

Existem 5 regras no total.

A constante é retirada do sinal da derivada.

Se - algum número constante (constante), então.

Obviamente, essa regra também funciona para a diferença: .

Vamos provar isso. Deixe estar, ou mais simples.

Exemplos.

Encontre as derivadas das funções:

em um ponto;
em um ponto;
em um ponto;
no ponto.

Soluções:

(a derivada é igual em todos os pontos, pois é uma função linear, lembra?);

Derivado do produto

Tudo é semelhante aqui: vamos introduzir uma nova função e encontrar seu incremento:

Derivado:

Exemplos:

Encontre as derivadas das funções e;
Encontre a derivada da função em um ponto.

Soluções:

Derivada de uma função exponencial

Agora seu conhecimento é suficiente para aprender como encontrar a derivada de qualquer função exponencial, e não apenas de expoentes (já esqueceu o que é isso?).

Então, onde está algum número.

Já conhecemos a derivada da função, então vamos tentar reduzir nossa função a uma nova base:

Para fazer isso, usaremos uma regra simples: . Então:

Bem, funcionou. Agora tente encontrar a derivada e não esqueça que esta função é complexa.

Ocorrido?

Aqui, verifique você mesmo:

A fórmula acabou sendo muito parecida com a derivada de um expoente: como estava, continua a mesma, apareceu apenas um fator, que é apenas um número, mas não uma variável.

Exemplos:
Encontre as derivadas das funções:

Respostas:

Este é apenas um número que não pode ser calculado sem calculadora, ou seja, não pode ser anotado de uma forma mais simples. Portanto, deixamos desta forma na resposta.

Observe que aqui está o quociente de duas funções, então aplicamos a regra de diferenciação correspondente:

Neste exemplo, o produto de duas funções:

Derivada de uma função logarítmica

É semelhante aqui: você já conhece a derivada do logaritmo natural:

Portanto, para encontrar um logaritmo arbitrário com base diferente, por exemplo:

Precisamos reduzir este logaritmo à base. Como você muda a base de um logaritmo? Espero que você se lembre desta fórmula:

Só agora escreveremos:

O denominador é simplesmente uma constante (um número constante, sem variável). A derivada é obtida de forma muito simples:

Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas quase nunca são encontradas no Exame de Estado Unificado, mas não será supérfluo conhecê-las.

Derivada de uma função complexa.

O que é uma “função complexa”? Não, isso não é um logaritmo e nem um arco tangente. Essas funções podem ser difíceis de entender (embora se você achar o logaritmo difícil, leia o tópico “Logaritmos” e você ficará bem), mas do ponto de vista matemático, a palavra “complexo” não significa “difícil”.

Imagine uma pequena esteira rolante: duas pessoas estão sentadas e realizando algumas ações com alguns objetos. Por exemplo, o primeiro embrulha uma barra de chocolate em uma embalagem e o segundo a amarra com uma fita. O resultado é um objeto composto: uma barra de chocolate embrulhada e amarrada com uma fita. Para comer uma barra de chocolate, você precisa fazer os passos inversos na ordem inversa.

Vamos criar um pipeline matemático semelhante: primeiro encontraremos o cosseno de um número e depois elevaremos ao quadrado o número resultante. Então, nos é dado um número (chocolate), eu encontro seu cosseno (invólucro), e então você eleva ao quadrado o que consegui (amarre com uma fita). O que aconteceu? Função. Este é um exemplo de função complexa: quando, para encontrar seu valor, realizamos a primeira ação diretamente com a variável, e depois uma segunda ação com o que resultou da primeira.

Em outras palavras, uma função complexa é uma função cujo argumento é outra função: .

Para nosso exemplo, .

Podemos facilmente fazer os mesmos passos na ordem inversa: primeiro você eleva ao quadrado e depois procuro o cosseno do número resultante: . É fácil adivinhar que o resultado quase sempre será diferente. Uma característica importante das funções complexas: quando a ordem das ações muda, a função muda.

Segundo exemplo: (mesma coisa). .

A ação que realizarmos por último será chamada função "externa", e a ação executada primeiro - respectivamente função "interna"(são nomes informais, utilizo-os apenas para explicar o material em linguagem simples).

Tente determinar por si mesmo qual função é externa e qual é interna:

Respostas: Separar funções internas e externas é muito semelhante a alterar variáveis: por exemplo, em uma função

Que ação realizaremos primeiro? Primeiro vamos calcular o seno e só depois elevá-lo ao cubo. Isso significa que é uma função interna, mas externa.
E a função original é a sua composição: .
Interno: ; externo: .
Exame: .
Interno: ; externo: .
Exame: .
Interno: ; externo: .
Exame: .
Interno: ; externo: .
Exame: .

Mudamos variáveis e obtemos uma função.

Bom, agora vamos extrair nossa barra de chocolate e procurar a derivada. O procedimento é sempre inverso: primeiro procuramos a derivada da função externa, depois multiplicamos o resultado pela derivada da função interna. Em relação ao exemplo original, fica assim:

Outro exemplo:

Então, vamos finalmente formular a regra oficial:

Algoritmo para encontrar a derivada de uma função complexa:

Parece simples, certo?

Vamos verificar com exemplos:

Soluções:

1) Interno: ;

Externo: ;

2) Interno: ;

(Só não tente cortar agora! Não sai nada do cosseno, lembra?)

3) Interno: ;

Externo: ;

Fica imediatamente claro que se trata de uma função complexa de três níveis: afinal, esta já é uma função complexa em si, e dela também extraímos a raiz, ou seja, realizamos a terceira ação (colocar o chocolate em uma embalagem e com uma fita na pasta). Mas não há motivo para ter medo: ainda iremos “descompactar” esta função na mesma ordem de sempre: a partir do final.

Ou seja, primeiro diferenciamos a raiz, depois o cosseno e só depois a expressão entre colchetes. E então multiplicamos tudo.

Nesses casos, é conveniente numerar as ações. Ou seja, vamos imaginar o que sabemos. Em que ordem realizaremos ações para calcular o valor desta expressão? Vejamos um exemplo:

Quanto mais tarde a ação for executada, mais “externa” será a função correspondente. A sequência de ações é a mesma de antes:

Aqui o aninhamento é geralmente de 4 níveis. Vamos determinar o curso de ação.

1. Expressão radical. .

2. Raiz. .

3. Seno. .

4. Quadrado. .

5. Juntando tudo:

DERIVADO. BREVEMENTE SOBRE AS COISAS PRINCIPAIS

Derivada de uma função- a razão entre o incremento da função e o incremento do argumento para um incremento infinitesimal do argumento:

Derivados básicos:

Regras de diferenciação:

A constante é retirada do sinal de derivada:

Derivada da soma:

Derivado do produto:

Derivada do quociente:

Derivada de uma função complexa:

Algoritmo para encontrar a derivada de uma função complexa:

Definimos a função “interna” e encontramos sua derivada.
Definimos a função “externa” e encontramos sua derivada.
Multiplicamos os resultados do primeiro e do segundo pontos.

Nos livros “antigos” também é chamada de regra da “cadeia”. Então se y = f (u) e u = φ (x), aquilo é

y =f(φ(x))

complexo - função composta (composição de funções) então

Onde , após o cálculo ser considerado em você =φ(x).

Observe que aqui pegamos composições “diferentes” das mesmas funções, e o resultado da diferenciação acabou naturalmente dependendo da ordem de “mistura”.

A regra da cadeia estende-se naturalmente a composições de três ou mais funções. Neste caso, existirão três ou mais “elos” na “cadeia” que compõe a derivada. Aqui está uma analogia com a multiplicação: “temos” uma tabela de derivadas; “lá” - tabuada; “conosco” é a regra da cadeia e “lá” é a regra de multiplicação da “coluna”. Ao calcular tais derivadas “complexas”, nenhum argumento auxiliar (u¸v, etc.), é claro, é introduzido, mas, tendo anotado por si mesmo o número e a sequência de funções envolvidas na composição, os links correspondentes são “amarrados” na ordem indicada.

. Aqui, com o “x” para obter o valor do “y”, são realizadas cinco operações, ou seja, há uma composição de cinco funções: “externa” (a última delas) – exponencial – e ; então, na ordem inversa, potência. (♦) 2; sen trigonométrico(); calmo. () 3 e finalmente logarítmico ln.(). É por isso

Com os exemplos a seguir iremos “matar alguns coelhos com uma cajadada só”: praticaremos a diferenciação de funções complexas e adicionaremos à tabela de derivadas de funções elementares. Então:

4. Para uma função de potência - y = x α - reescrevendo-a usando a conhecida “identidade logarítmica básica” - b=e ln b - na forma x α = x α ln x obtemos

5. Para uma função exponencial arbitrária, usando a mesma técnica teremos

6. Para uma função logarítmica arbitrária, usando a conhecida fórmula de transição para uma nova base, obtemos consistentemente

7. Para diferenciar a tangente (cotangente), usamos a regra de diferenciação de quocientes:

Para obter as derivadas das funções trigonométricas inversas, utilizamos a relação que é satisfeita pelas derivadas de duas funções mutuamente inversas, ou seja, as funções φ (x) e f (x) relacionadas pelas relações:

Esta é a proporção

É a partir desta fórmula para funções mutuamente inversas

E
,

Por fim, vamos resumir essas e algumas outras derivadas que também são facilmente obtidas na tabela a seguir.