Construa um círculo circunscrito usando um compasso. Construções com compasso e régua

Metas:

consolidar os conceitos de “círculo” e “círculo” entre os alunos; derivar o conceito de “raio de um círculo”; aprenda a construir círculos de um determinado raio; desenvolver a capacidade de raciocinar e analisar.

UUD pessoal:
desenvolver uma atitude positiva em relação às aulas de matemática;
interesse em atividades de pesquisa temática;

Tarefas de meta-assunto

UUD regulatório:
aceitar e salvar a tarefa de aprendizagem;
em colaboração com o professor e a turma, encontrar diversas soluções;

UUD cognitivo:
formulação e solução de problemas:
identificar e formular o problema de forma independente;
Educação geral:
encontre as informações necessárias no livro didático;
construir um círculo de um determinado raio usando uma bússola;
quebra-cabeças:
formar o conceito de “raio”;
realizar classificação, comparação;
formular conclusões de forma independente;

UUD comunicativo:
participar ativamente no trabalho em equipe, utilizando meios verbais;
argumente seu ponto de vista;

Habilidades do assunto:
identificar as características essenciais dos conceitos “raio de círculo”;
construir círculos com raios diferentes;
reconhecer raios em um desenho.

Durante as aulas

Motivação para atividades de aprendizagem

- Vamos verificar se todos estão prontos para a aula?

“Entrada emocional na aula”:

Sorria como o sol.

Franzir a testa como nuvens

Chore como a chuva

Surpreenda-se como se você visse um arco-íris

Agora repita comigo

Jogo "Eco Amigável"

2.Atualização de conhecimento

Contagem verbal

a) 60-40 36+12 10+20 58-12 90-50 31+13

Desvende o padrão. Continue a linha.

Resposta: 20, 48,30,46,40,44 50,42

b) Resolva o problema:

1. No primeiro dia a loja vendeu 42 kg de frutas e no segundo dia mais 2 kg. Quantos quilos foram vendidos no segundo dia?

O que precisa ser mudado para que o problema seja resolvido em 2 etapas.

Bolas - 16 unid.

Cordas de pular – 28 unid.

Encontre uma solução para este problema.

28-16 28+16

Mude a questão para que o problema seja resolvido por subtração.

3. Definir uma tarefa de aprendizagem

1. Nomeie as formas geométricas

Bola oval de circunferência circular

Qual figura é a estranha?

O que os números têm em comum? (Círculo, círculo, bola têm a mesma forma)

Qual é a diferença?

2.B

Quais pontos pertencem ao círculo? Quais pontos estão fora do círculo?

O que significa o ponto O? (centro do círculo)

Qual é o nome do segmento OB?

Quantos raios podem ser desenhados em um círculo?

Qual segmento não é um raio? Por que?

O que pode ser concluído?

Conclusão: todos os raios têm o mesmo comprimento .

3. Quantos círculos existem na imagem?

Como os círculos são diferentes? (tamanho)

O que determina o tamanho de um círculo?

O que pode ser concluído?

Conclusão: quanto maior o círculo, maior será o seu raio.

Determine o tema da lição.

Assunto: Construir um círculo de um determinado raio usando uma bússola.

Que tarefas podemos definir para nós mesmos nesta lição?

4. Trabalhe no tema

a) Construindo um círculo.

O que você precisa saber para desenhar um círculo de um determinado tamanho?

Desenhe um círculo com raio de 3 cm.

b) Preparação para atividades do projeto

1) Olhe a foto

Em que formas consiste uma borboleta? Círculos com o mesmo raio?

2) Trabalhe em pares.

Restaure a ordem das etapas do projeto.

Apresentação ou demonstração do projeto

Conceito (faça um esboço)

Construa números para implementar o plano

Considere qual raio as formas devem ter

c) Trabalhar no projeto.

Trabalhe em grupos de acordo com o algoritmo compilado

Esta lição é dedicada ao estudo da circunferência e do círculo. O professor também ensinará você a distinguir entre linhas fechadas e abertas. Você se familiarizará com as propriedades básicas de um círculo: centro, raio e diâmetro. Aprenda suas definições. Aprenda a determinar o raio se o diâmetro for conhecido e vice-versa.

Se você preencher o espaço dentro do círculo, por exemplo, desenhar um círculo com um compasso em papel ou papelão e recortar, você obterá um círculo (Fig. 10).

Arroz. 10. Círculo

Círculo- esta é a parte do plano limitada por um círculo.

Doença: Vitya Verkhoglyadkin desenhou 11 diâmetros em seu círculo (Fig. 11). E quando ele recalculou os raios, obteve 21. Ele contou corretamente?

Arroz. 11. Ilustração para o problema

Solução: Deve haver o dobro de raios que diâmetros, portanto:

Vitya contou incorretamente.

Bibliografia

1. Matemática. 3ª série. Livro didático para educação geral instituições com adj. por elétron operadora. Às 2 horas Parte 1 / [M.I. Moreau, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova e outros] - 2ª ed. - M.: Educação, 2012. - 112 p.: il. - (Escola da Rússia).
2. Rudnitskaya V.N., Yudacheva T.V. Matemática, 3º ano. - M.: VENTANA-CONTA.
3. Peterson L.G. Matemática, 3º ano. - M.: Yuventa.

1. Minhaapresentação.ru().
2. Sernam.ru().
3. School-assistant.ru().

Trabalho de casa

1. Matemática. 3ª série. Livro didático para educação geral instituições com adj. por elétron operadora. Às 2 horas Parte 1 / [M.I. Moreau, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova e outros] - 2ª ed. - M.: Educação, 2012., art. 94 nº 1, art. 95 Nº 3.

2. Resolva o enigma.

Meu irmão e eu moramos juntos,

Nós nos divertimos muito juntos

Colocaremos uma caneca na folha (Fig. 12),

Vamos traçar com um lápis.

Conseguimos o que precisávamos -

É chamado...

3. É necessário determinar o diâmetro do círculo se se sabe que o raio é de 5 m.

4. * Usando um compasso, desenhe dois círculos com raios: a) 2 cm e 5 cm; b) 10mm e 15mm.

Em problemas de construção, um compasso e uma régua são considerados ferramentas ideais, em particular, uma régua não tem divisões e tem apenas um lado de comprimento infinito, e um compasso pode ter uma abertura arbitrariamente grande ou arbitrariamente pequena.

Construções aceitáveis. As seguintes operações são permitidas em tarefas de construção:

1. Marque um ponto:

• ponto arbitrário do plano;
• um ponto arbitrário numa determinada linha;
• um ponto arbitrário em um determinado círculo;
• o ponto de intersecção de duas retas dadas;
• pontos de intersecção/tangência de uma determinada reta e de um determinado círculo;
• pontos de intersecção/tangência de dois círculos dados.

2. Usando uma régua você pode desenhar uma linha reta:

• uma linha reta arbitrária em um plano;
• uma linha reta arbitrária que passa por um determinado ponto;
• uma linha reta que passa por dois pontos dados.

3. Usando um compasso você pode construir um círculo:

• um círculo arbitrário em um plano;
• um círculo arbitrário com centro em um determinado ponto;
• um círculo arbitrário com raio igual à distância entre dois pontos dados;
• um círculo com centro em um determinado ponto e raio igual à distância entre dois pontos determinados.

Resolvendo problemas de construção. A solução para o problema da construção contém três partes essenciais:

1. Descrição do método de construção do objeto requerido.
2. Prova de que o objeto construído da forma descrita é de fato o desejado.
3. Análise do método de construção descrito quanto à sua aplicabilidade a diferentes versões das condições iniciais, bem como quanto à unicidade ou não unicidade da solução obtida pelo método descrito.

Construindo um segmento igual ao dado. Seja dado um raio com início no ponto $O$ e um segmento $AB$. Para construir um segmento $OP = AB$ em uma semirreta, você precisa construir um círculo com centro no ponto $O$ de raio $AB$. O ponto de intersecção do raio com o círculo será o ponto requerido $P$.

Construindo um ângulo igual a um dado. Seja dado um raio com origem no ponto $O$ e no ângulo $ABC$. Com centro no ponto $B$ construímos um círculo com raio arbitrário $r$. Vamos denotar os pontos de intersecção do círculo com os raios $BA$ e $BC$ como $A"$ e $C"$, respectivamente.

Vamos construir um círculo com centro no ponto $O$ de raio $r$. Vamos denotar o ponto de intersecção do círculo com o raio como $P$. Vamos construir um círculo com centro no ponto $P$ de raio $A"B"$. Denotamos o ponto de intersecção dos círculos como $Q$. Vamos desenhar o raio $OQ$.

Obtemos o ângulo $POQ$ igual ao ângulo $ABC$, pois os triângulos $POQ$ e $ABC$ são iguais em três lados.

Construindo a bissetriz perpendicular a um segmento. Vamos construir dois círculos que se cruzam de raio arbitrário com centros nas extremidades do segmento. Ao conectar dois pontos de sua intersecção, obtemos uma bissetriz perpendicular.

Construindo a bissetriz de um ângulo. Vamos desenhar um círculo de raio arbitrário com centro no vértice do canto. Vamos construir dois círculos que se cruzam de raio arbitrário com centros nos pontos de intersecção do primeiro círculo com os lados do ângulo. Ao conectar o vértice de um ângulo com qualquer um dos pontos de intersecção desses dois círculos, obtemos a bissetriz do ângulo.

Construindo a soma de dois segmentos. Para construir em um determinado raio um segmento igual à soma de dois segmentos dados, você precisa aplicar duas vezes o método de construção de um segmento igual a um dado.

Construindo a soma de dois ângulos. Para traçar um ângulo de um determinado raio igual à soma de dois ângulos dados, você precisa aplicar duas vezes o método de construção de um ângulo igual ao dado.

Encontrar o ponto médio de um segmento. Para marcar o meio de um determinado segmento, é necessário construir uma bissetriz perpendicular ao segmento e marcar o ponto de intersecção da perpendicular com o próprio segmento.

Construir uma linha perpendicular através de um determinado ponto. Seja necessário construir uma linha perpendicular a um determinado ponto e passando por um determinado ponto. Desenhamos um círculo de raio arbitrário com centro em um determinado ponto (independentemente de estar ou não sobre uma linha), cruzando a linha em dois pontos. Construímos uma bissetriz perpendicular a um segmento com extremidades nos pontos de intersecção do círculo e da reta. Esta será a linha perpendicular desejada.

Construir uma linha paralela através de um determinado ponto. Seja necessário construir uma linha paralela a um determinado ponto e passando por um determinado ponto fora da linha. Construímos uma linha que passa por um determinado ponto e é perpendicular a uma determinada linha. Então construímos uma linha reta passando por este ponto, perpendicular à perpendicular construída. A linha reta resultante será a necessária.

Na fabricação ou processamento de peças de madeira, em alguns casos é necessário determinar onde está localizado seu centro geométrico. Se a peça tiver formato quadrado ou retangular, isso não será difícil de fazer. Basta conectar cantos opostos com diagonais, que se cruzarão exatamente no centro da nossa figura.
Para produtos que possuem formato de círculo, esta solução não funcionará, pois não possuem cantos e, portanto, não possuem diagonais. Neste caso, é necessária alguma outra abordagem, baseada em princípios diferentes.

E eles existem, e em inúmeras variações. Alguns deles são bastante complexos e requerem diversas ferramentas, outros são fáceis de implementar e não requerem um conjunto completo de dispositivos.
Agora veremos uma das maneiras mais simples de encontrar o centro de um círculo usando apenas uma régua e um lápis comuns.

A sequência para encontrar o centro do círculo:

Uma frase que explica o significado de uma determinada expressão ou nome é chamada definição. Já encontramos definições, por exemplo, a definição de um ângulo, ângulos adjacentes, um triângulo isósceles, etc. Vamos dar uma definição de outra figura geométrica - um círculo.

Definição

Este ponto é chamado centro do círculo, e o segmento que conecta o centro a qualquer ponto do círculo é raio do círculo(Fig. 77). Da definição de círculo segue-se que todos os raios têm o mesmo comprimento.

Arroz. 77

Um segmento que conecta dois pontos em um círculo é chamado de corda. Uma corda que passa pelo centro de uma circunferência é chamada de diâmetro.

Na Figura 78, os segmentos AB e EF são cordas do círculo, o segmento CD é o diâmetro do círculo. Obviamente, o diâmetro de um círculo é o dobro do seu raio. O centro de um círculo é o ponto médio de qualquer diâmetro.

Arroz. 78

Quaisquer dois pontos em um círculo o dividem em duas partes. Cada uma dessas partes é chamada de arco de círculo. Na Figura 79, ALB e AMB são arcos delimitados pelos pontos A e B.

Arroz. 79

Para representar um círculo em um desenho, use bússola(Fig. 80).

Arroz. 80

Para desenhar um círculo no chão, você pode usar uma corda (Fig. 81).

Arroz. 81

A parte do plano delimitada por um círculo é chamada de círculo (Fig. 82).

Arroz. 82

Construções com compasso e régua

Já tratamos de construções geométricas: desenhamos retas, traçamos segmentos iguais aos dados, desenhamos ângulos, triângulos e outras figuras. Ao mesmo tempo, usamos uma régua de escala, um compasso, um transferidor e um esquadro.

Acontece que muitas construções podem ser realizadas utilizando apenas um compasso e uma régua sem divisões de escala. Portanto, na geometria, distinguem-se especialmente aquelas tarefas de construção que podem ser resolvidas usando apenas essas duas ferramentas.

O que podes fazer com eles? É claro que a régua permite traçar uma linha reta arbitrária, bem como construir uma linha reta passando por dois pontos dados. Usando uma bússola, você pode desenhar um círculo de raio arbitrário, bem como um círculo com centro em um determinado ponto e raio igual a um determinado segmento. Ao realizar estas operações simples, podemos resolver muitos problemas interessantes de construção:

construir um ângulo igual ao dado;
através de um determinado ponto desenhe uma linha perpendicular à linha dada;
dividir este segmento ao meio e outras tarefas.

Vamos começar com uma tarefa simples.

Tarefa

Em um determinado raio, desde o seu início, trace um segmento igual ao dado.

Solução

Vamos representar as figuras fornecidas no enunciado do problema: raio OS e segmento AB (Fig. 83, a). Então, usando um compasso, construímos um círculo de raio AB com centro O (Fig. 83, b). Este círculo cruzará o raio OS em algum ponto D. O segmento OD é o necessário.

Arroz. 83

Exemplos de problemas de construção

Construindo um ângulo igual a um dado

Tarefa

Subtraia um ângulo de um determinado raio igual a um determinado.

Solução

Este ângulo com o vértice A e o raio OM é mostrado na Figura 84. É necessário construir um ângulo igual ao ângulo A, de modo que um de seus lados coincida com o raio OM.

Arroz. 84

Vamos desenhar um círculo de raio arbitrário com centro no vértice A do ângulo dado. Este círculo cruza os lados do ângulo nos pontos B e C (Fig. 85, a). Em seguida, desenhamos um círculo de mesmo raio com centro na origem deste raio OM. Ele cruza a viga no ponto D (Fig. 85, b). Depois disso, construiremos um círculo com centro D, cujo raio é igual a BC. Círculos com centros O e D se cruzam em dois pontos. Denotemos um desses pontos pela letra E. Vamos provar que o ângulo MOE é o desejado.

Arroz. 85

Considere os triângulos ABC e EDO. Os segmentos AB e AC são os raios de um círculo com centro A, e os segmentos OD e OE são os raios de um círculo com centro O (ver Fig. 85, b). Como por construção esses círculos têm raios iguais, então AB = OD, AC = OE. Também por construção BC = DE.

Portanto, Δ ABC = Δ EDO em três lados. Portanto, ∠DOE = ∠BAC, ou seja, o ângulo construído MOE é igual ao ângulo A dado.

A mesma construção pode ser feita no solo se você usar uma corda em vez de uma bússola.

Construindo uma bissetriz de ângulo

Tarefa

Construa a bissetriz do ângulo dado.

Solução

Este ângulo BAC é mostrado na Figura 86. Vamos desenhar um círculo de raio arbitrário com centro no vértice A. Ele cruzará os lados do ângulo nos pontos B e C.

Arroz. 86

Em seguida, desenhamos dois círculos com o mesmo raio BC com centros nos pontos B e C (apenas partes desses círculos são mostradas na figura). Eles se cruzarão em dois pontos, sendo que pelo menos um deles fica dentro do canto. Vamos denotá-lo pela letra E. Vamos provar que o raio AE é a bissetriz do ângulo dado BAC.

Considere os triângulos ACE e ABE. Eles são iguais em três lados. Na verdade, AE é o lado geral; AC e AB são iguais aos raios do mesmo círculo; CE = BE por construção.

Da igualdade dos triângulos ACE e ABE segue-se que ∠CAE = ∠BAE, ou seja, o raio AE é a bissetriz do ângulo dado BAC.

Comente

É possível dividir um determinado ângulo em dois ângulos iguais usando um compasso e uma régua? É claro que é possível - para fazer isso você precisa desenhar a bissetriz desse ângulo.

Este ângulo também pode ser dividido em quatro ângulos iguais. Para fazer isso, você precisa dividi-lo ao meio e depois dividir cada metade ao meio novamente.

É possível dividir um determinado ângulo em três ângulos iguais usando um compasso e uma régua? Esta tarefa, chamada problemas de trissecção angular, atraiu a atenção dos matemáticos por muitos séculos. Somente no século XIX foi comprovado que tal construção é impossível para um ângulo arbitrário.

Construção de linhas perpendiculares

Tarefa

Dada uma linha reta e um ponto nela. Construa uma linha que passe por um determinado ponto e seja perpendicular a uma determinada linha.

Solução

Uma dada reta a e um dado ponto M pertencente a esta reta são mostrados na Figura 87.

Arroz. 87

Nos raios da reta a, emanados do ponto M, traçamos segmentos iguais MA e MB. Então construímos dois círculos com centros A e B de raio AB. Eles se cruzam em dois pontos: P e Q.

Vamos traçar uma reta passando pelo ponto M e um desses pontos, por exemplo, a reta MR (ver Fig. 87), e provar que esta reta é a desejada, ou seja, que é perpendicular à reta dada a .

Na verdade, como a mediana PM do triângulo isósceles RAB também é a altura, então PM ⊥ a.

Construindo o ponto médio de um segmento

Tarefa

Construa o ponto médio deste segmento.

Solução

Seja AB o segmento dado. Vamos construir dois círculos com centros A e B de raio AB. Eles se cruzam nos pontos P e Q. Vamos traçar uma linha reta PQ. O ponto O da intersecção desta reta com o segmento AB é o ponto médio desejado do segmento AB.

Na verdade, os triângulos APQ e BPQ são iguais em três lados, portanto ∠1 =∠2 (Fig. 89).

Arroz. 89

Consequentemente, o segmento PO é a bissetriz do triângulo isósceles ARB e, portanto, a mediana, ou seja, o ponto O é o meio do segmento AB.

Tarefas

143. Quais dos segmentos mostrados na Figura 90 são: a) cordas do círculo; b) diâmetros de um círculo; c) raios do círculo?

Arroz. 90

144. Os segmentos AB e CD são os diâmetros de um círculo. Prove que: a) os acordes BD e AC são iguais; b) os acordes AD e BC são iguais; c) ∠BAD = ∠BCD.

145. O segmento MK é o diâmetro de um círculo com centro O, e MR e RK são cordas iguais deste círculo. Encontre ∠POM.

146. Os segmentos AB e CD são os diâmetros de um círculo com centro O. Encontre o perímetro do triângulo AOD se for conhecido que CB = 13 cm, AB = 16 cm.

147. Em um círculo com centro O, os pontos A e B são marcados de modo que o ângulo AOB seja reto. O segmento BC é o diâmetro de um círculo. Prove que os acordes AB e AC são iguais.

148. Dois pontos A e B são dados em uma linha reta. Na continuação do raio BA A, coloque um segmento BC de modo que BC = 2AB.

149. Dada uma reta a, um ponto B que não está sobre ela e um segmento PQ. Construa o ponto M na linha a de modo que BM = PQ. Um problema sempre tem solução?

150. Dado um círculo, um ponto A que não está sobre ele e um segmento PQ. Construa um ponto M na circunferência tal que AM = PQ. Um problema sempre tem solução?

151. Dado um ângulo agudo BAC e um raio XY. Construa o ângulo YXZ de modo que ∠YXZ = 2∠BAC.

152. O ângulo obtuso AOB é dado. Construa o raio OX de modo que os ângulos HOA e HOB sejam ângulos obtusos iguais.

153. Dada uma linha a e um ponto M que não está nela. Construa uma linha passando pelo ponto M e perpendicular à linha a.

Solução

Vamos construir um círculo com centro em um determinado ponto M, cruzando uma determinada reta a em dois pontos, que denotamos pelas letras A e B (Fig. 91). A seguir construiremos dois círculos com centros A e B passando pelo ponto M. Esses círculos se cruzam no ponto M e em outro ponto, que denotaremos pela letra N. Vamos traçar uma reta MN e provar que esta reta é a desejada um, ou seja, é perpendicular à linha reta a.

Arroz. 91

Na verdade, os triângulos AMN e BMN são iguais em três lados, então ∠1 = ∠2. Segue-se que o segmento MC (C é o ponto de intersecção das retas a e MN) é a bissetriz do triângulo isósceles AMB e, portanto, sua altura. Assim, MN ⊥ AB, ou seja, MN ⊥ a.

154. Dado um triângulo ABC. Construir: a) bissetriz AK; b) VM mediana; c) altura CH do triângulo. 155. Usando compasso e régua, construa um ângulo igual a: a) 45°; b) 22°30".

Respostas para problemas

152. Instrução. Primeiro, construa a bissetriz do ângulo AOB.