O procedimento para avaliar a confiabilidade do sistema pelo método probabilístico lógico. Método lógico-probabilístico para calcular a confiabilidade de sistemas com uma estrutura monotônica

A essência dos métodos lógico-probabilísticos reside no uso de funções da álgebra da lógica (FAL) para o registro analítico das condições de operabilidade do sistema e a transição de FAL para funções probabilísticas (VF), expressando objetivamente a confiabilidade do sistema. Aqueles. por meio do método lógico-probabilístico, é possível descrever os esquemas de IC para o cálculo da confiabilidade utilizando o aparato da lógica matemática, seguido do uso da teoria da probabilidade na determinação dos indicadores de confiabilidade.

O sistema pode estar em apenas dois estados: em um estado de operabilidade total ( no= 1) e em estado de falha completa ( no= 0). Nesse caso, assume-se que a ação do sistema é determinística e depende da ação de seus elementos, ou seja, noé uma função x 1 , x 2 , ..., X i, ..., x n... Os elementos também podem estar em apenas dois estados inconsistentes: operabilidade total ( XI= 1) e falha completa ( XI = 0).

Função de álgebra lógica conectando o estado dos elementos com o estado do sistema no (x 1 , x 2 , ..., X n) são chamados função de operabilidade sistemas F(y)= 1.

Para avaliar os estados operacionais do sistema, dois conceitos são usados:

1) o caminho mais curto para o funcionamento bem-sucedido (KPUF), que é uma conjunção de seus elementos, nenhum dos componentes do qual pode ser removido sem interromper o funcionamento do sistema. Esta conjunção é escrita como o seguinte FAL:

Onde eu- pertence ao conjunto de números correspondentes ao dado
eu-m caminho.

Em outras palavras, o KPUF do sistema descreve um de seus possíveis estados operáveis, que é determinado pelo conjunto mínimo de elementos operáveis que são absolutamente necessários para executar as funções especificadas para o sistema.

2) a seção transversal mínima de falhas do sistema (MSO), que é uma conjunção de negações de seus elementos, nenhum dos componentes do qual pode ser removido sem violar as condições de inoperabilidade do sistema. Esta conjunção pode ser escrita como o seguinte FAL:

onde significa um conjunto de números correspondentes a uma determinada seção.

Em outras palavras, o MCO do sistema descreve uma das maneiras possíveis de interromper o desempenho do sistema usando um conjunto mínimo de elementos com falha.

Cada sistema redundante tem um número finito de caminhos mais curtos ( eu= 1, 2,…, m) e seções mínimas ( j = 1, 2, ..., M).

Usando esses conceitos, você pode anotar as condições de desempenho do sistema.

1) na forma de uma disjunção de todos os caminhos mais curtos disponíveis para um funcionamento bem-sucedido.

;

2) na forma de uma conjunção de negações de todos os MCOs

;

Assim, as condições de operabilidade de um sistema real podem ser representadas na forma das condições de operabilidade de algum sistema equivalente (no sentido de confiabilidade), cuja estrutura é uma conexão paralela dos caminhos mais curtos de funcionamento bem-sucedido. , ou outro sistema equivalente, cuja estrutura é uma combinação de negações de seções mínimas.

Por exemplo, para a estrutura de ponte do IC, a função de operabilidade do sistema usando o KPUF será escrita da seguinte forma:

;

a função de operabilidade do mesmo sistema por meio do MCO pode ser escrita da seguinte forma:

Com um pequeno número de elementos (não mais do que 20), um método tabular para o cálculo da confiabilidade pode ser usado, que se baseia no uso do teorema da adição para as probabilidades de eventos conjuntos.

A probabilidade de operação livre de falhas do sistema pode ser calculada pela fórmula (por meio de uma função de probabilidade do formulário):

Métodos lógico-probabilísticos (métodos: corte, tabular, ortogonalização) são amplamente utilizados em procedimentos de diagnóstico ao construir árvores de falhas e determinar os eventos básicos (iniciais) que causam uma falha do sistema.

Para a confiabilidade de um sistema de computador com uma estrutura de redundância complexa, o método de modelagem estatística pode ser usado.

A ideia por trás do método é gerar variáveis booleanas XI com uma dada probabilidade pi de ocorrência da unidade, que são substituídos na função de estrutura lógica do sistema modelado em qualquer forma e então o resultado é calculado.

O agregado x 1 , x 2 , ..., x n eventos aleatórios independentes formando um grupo completo são caracterizados pelas probabilidades de ocorrência de cada um dos eventos p(XI), e.

Para simular este conjunto de eventos aleatórios, um gerador de números aleatórios é usado, uniformemente distribuído no intervalo

Valor p ié escolhido igual à probabilidade de operação sem falhas eu-º subsistema. Neste caso, o processo de computação é repetido N 0 vezes com novos valores de argumento aleatórios independentes XI(neste caso, o número de N(t) valores unitários da função de estrutura lógica). Atitude N(t)/ N 0 é uma estimativa estatística da probabilidade de tempo de atividade

Onde N(t) - o número de trabalhos sem problemas até o momento t objetos, com seu número original.

Gerando variáveis booleanas aleatórias XI com uma dada probabilidade de ocorrência de um p ié realizado com base em valores aleatórios uniformemente distribuídos no intervalo, obtidos com a ajuda de programas padrão incluídos no suporte matemático de todos os computadores modernos.

1. Cite o método para avaliar a confiabilidade do SI, onde a probabilidade de operação livre de falhas do sistema é definida como P n ≤ P s ≤ P em.

2. Para calcular a confiabilidade de quais sistemas o método de caminhos e seções é usado?

3. Que método pode ser usado para avaliar a confiabilidade dos dispositivos do tipo ponte?

4. Quais métodos de determinação dos indicadores de confiabilidade dos sistemas restaurados são conhecidos?

5. Represente estruturalmente o circuito da ponte com um conjunto de caminhos e seções mínimas.

6. Dê a definição do caminho mínimo e da seção mínima.

7. Registre a função de saúde para o dispositivo ramificado?

8. O que é chamado de função de saúde?

9. Qual é o caminho mais curto para um funcionamento bem-sucedido (KPUF). Escreva as condições de trabalho na forma de KPUF.

10. Onde é usado o método lógico-probabilístico de avaliação de confiabilidade?

Literatura: 1, 2, 3, 5, 6, 8.

Tópico: Cálculo da confiabilidade de sistemas recuperáveis (método de equações diferenciais)

1. Métodos gerais de cálculo da confiabilidade de sistemas recuperáveis.

2. Construir um gráfico de possíveis estados do sistema para avaliar a confiabilidade dos sistemas recuperáveis.

3. Método de sistemas de equações diferenciais (SDE), regra de Kolmogorov para compilar SDE

4. Normalização e condições iniciais para resolver o SDE.

Palavras-chave

Sistema recuperável, características quantitativas de confiabilidade, gráfico de estados, estado operacional, sistema de equações diferenciais, regra de Kolmogorov, probabilidade de operação livre de falha, taxa de recuperação, taxa de falha, condições de normalização, condições iniciais, parâmetros de confiabilidade, não redundante sistema.

A principal tarefa do cálculo da confiabilidade do SI projetado é a construção de modelos matemáticos adequados aos processos probabilísticos de seu funcionamento. Esses modelos permitem avaliar o grau de satisfação dos requisitos de confiabilidade dos sistemas projetados ou operados.

O tipo de modelo matemático determina a possibilidade de obtenção de fórmulas de cálculo. Para calcular a confiabilidade de sistemas redundantes e não redundantes restaurados, são usados: o método das equações integrais, o método das equações diferenciais, o método das intensidades transitórias, o método para avaliar a confiabilidade pelo gráfico de estados possíveis, etc.

Método de Equações Integrais... O método de equações integrais é o mais geral; pode ser usado para calcular a confiabilidade de qualquer sistema (recuperável e não recuperável) para qualquer distribuição de FBG e tempo de recuperação.

Neste caso, para determinar os indicadores de confiabilidade do sistema, equações integrais e integro-diferenciais são compiladas e resolvidas, conectando as características da distribuição FBG, e para sistemas restaurados, o tempo de recuperação dos elementos.

No decurso da elaboração das equações integrais, geralmente distinguem-se um ou mais intervalos de tempo infinitamente pequenos, para os quais são considerados eventos complexos, que se manifestam sob a ação conjunta de vários fatores.

No caso geral, as soluções são encontradas por métodos numéricos usando um computador. O método de equações integrais não é amplamente utilizado devido à dificuldade de resolução.

Método de Equações Diferenciais... O método é utilizado para avaliar a confiabilidade de objetos recuperáveis e é baseado na suposição de distribuições exponenciais de tempo entre as falhas (tempo de operação) e o tempo de recuperação. Neste caso, o parâmetro do fluxo de falhas w =λ = 1/ t cp. e a taxa de recuperação μ = 1 / lata Onde t cp.- tempo médio de atividade, lataÉ o tempo médio de recuperação.

Para aplicar o método, é necessário ter um modelo matemático para o conjunto de estados possíveis do sistema. S ={S 1 , S 2 ,…, S n), no qual ele pode ser localizado durante falhas e restaurações do sistema. De vez em quando, o sistema S salta de um estado para outro sob a influência de falhas e restaurações de seus elementos individuais.

Ao analisar o comportamento do sistema no tempo durante o desgaste, é conveniente usar o gráfico de estado. Um gráfico de estado é um gráfico direcionado, onde círculos ou retângulos representam os possíveis estados do sistema. Ele contém tantos vértices quanto diferentes estados possíveis para um objeto ou sistema. As bordas do gráfico refletem as transições possíveis de um determinado estado para todos os outros com parâmetros das taxas de falhas e restaurações (as intensidades das transições são mostradas perto das setas).

Cada combinação de falha e estados operacionais dos subsistemas corresponde a um estado do sistema. Número de estados do sistema n = 2k Onde k- o número de subsistemas (elementos).

A conexão entre as probabilidades de encontrar um sistema em todos os seus estados possíveis é expressa por um sistema de equações diferenciais de Kolmogorov (equações de primeira ordem).

A estrutura das equações de Kolmogorov é construída de acordo com as seguintes regras: no lado esquerdo de cada equação, a derivada da probabilidade de encontrar um objeto no estado considerado (o topo do gráfico) é escrita, e o lado direito contém tantos membros quantas forem as arestas do gráfico de estado associado a este vértice. Se uma aresta é direcionada a partir de um determinado vértice, o membro correspondente tem um sinal de menos, se para um determinado vértice, um sinal de mais. Cada termo é igual ao produto do parâmetro de intensidade de falha (recuperação) associado a uma determinada aresta pela probabilidade de estar no vértice do gráfico de onde a aresta se origina.

O sistema de equações de Kolmogorov inclui tantas equações quanto vértices no gráfico de estado do objeto.

O sistema de equações diferenciais é complementado pela condição de normalização:

Onde P j(t j-m state;

n- o número de estados possíveis do sistema.

A solução do sistema de equações sob condições específicas dá o valor das probabilidades buscadas P j(t).

Todo o conjunto de possíveis estados do sistema é dividido em duas partes: um subconjunto de estados n 1, em que o sistema está operacional e um subconjunto de estados n 2 em que o sistema está inoperante.

Função de sistema pronto:

PARA r ,

Onde P j(t) É a probabilidade de encontrar o sistema em j condição de trabalho;

n 1 - o número de estados em que o sistema está operacional.

Quando for necessário calcular a disponibilidade do sistema ou razão de tempo de inatividade (interrupções na operação do sistema são aceitáveis), considere a operação em estado estacionário em t → ∞... Neste caso, todas as derivadas e o sistema de equações diferenciais vão para um sistema de equações algébricas, que são facilmente resolvidos.

Um exemplo de um gráfico de estado de um sistema recuperável não redundante com n- os elementos são mostrados na Fig. 1.

FIG. 1. O gráfico de estado do sistema restaurado (estados inoperantes são marcados por hachuras)

Vamos considerar os possíveis estados em que o sistema pode estar. Os seguintes estados são possíveis aqui:

S 0 - todos os elementos são funcionais;

S 1 - o primeiro elemento está inoperante, os demais estão operáveis;

S 2 - o segundo elemento está inoperante; os demais estão operáveis;

S n – n-o elemento está inoperante, o resto está operável.

A probabilidade do aparecimento simultâneo de dois elementos inoperantes é desprezível. Símbolos λ 1 , λ 2 ,…, λ n denota as taxas de falha, μ 1 , µ 2 ,…, µ n a intensidade de recuperação dos elementos correspondentes;

De acordo com o gráfico de estados (Fig. 1), um sistema de equações diferenciais é formado (a equação para o estado S 0 é omitido devido ao seu peso):

Com a condição de normalização :.

Condições iniciais:

Em operação em estado estacionário (em t→ ∞) temos:

Tendo resolvido o sistema de equações algébricas resultante levando em consideração a condição de normalização, encontramos os indicadores de confiabilidade.

Ao resolver um sistema de equações, você pode usar a transformada de Laplace para probabilidades de estado ou métodos numéricos.

Perguntas e tarefas de controle

1. Quais métodos de determinação dos indicadores de confiabilidade de sistemas restaurados são conhecidos?

2. Como são determinados os estados dos elementos e dispositivos IC?

3. Como definir as áreas de estados operacionais do sistema?

4. Por que o método de equações diferenciais é amplamente difundido na avaliação da confiabilidade de sistemas recuperáveis?

5. Qual é a condição necessária para resolver sistemas de equações diferenciais?

6. Como são as equações diferenciais para determinar os parâmetros de confiabilidade do IC?

7. Qual condição deve ser adicionada ao sistema de equações diferenciais (SDE) para uma solução mais eficiente.

8. Registre as condições de saúde do sistema, consistindo em três elementos.

9. Qual é o número de estados para um dispositivo de quatro elementos?

10. Qual regra é usada na preparação do CDS?

Literatura: 1, 2, 3, 5, 6, 8.

Tópico: Modelos de Markov para avaliar a confiabilidade de sistemas de informação recuperáveis redundantes

1. O conceito de propriedade de Markov, a definição do estado do sistema.

2. Metodologia e algoritmo de construção do modelo de Markov.

3. Fórmulas de cálculo para calcular os indicadores de confiabilidade do veículo

4. Matriz de taxas de transição para avaliar os indicadores de confiabilidade de ICs redundantes recuperáveis.

Palavras-chave

Modelo de Markov, estado do sistema, operabilidade, matriz de taxas de transição, gráfico de estado, sistema restaurado, redundância, esquema sequencial, reserva constante, sistema de equações diferenciais, regra de Kolmogorov, esquema de cálculo de confiabilidade, método aproximado, algoritmos para construir SDE, condições de normalização, condições iniciais, probabilidade de operação sem falhas, taxa de falhas.

O funcionamento do SI e de suas partes constituintes pode ser representado como um conjunto de processos de transição de um estado para outro sob a influência de quaisquer razões.

Do ponto de vista da confiabilidade dos CIs restaurados, seu estado em cada momento é caracterizado por quais elementos estão operáveis e quais são restaurados.

Se cada conjunto possível de elementos operáveis (inoperáveis) estiver associado a um conjunto de estados de objeto, as falhas e restaurações de elementos serão exibidas pela transição do objeto de um estado para outro:

Por exemplo, digamos que um objeto consiste em dois elementos. Então ele pode estar em um dos quatro estados: n = 2k = 2 2 = 4.

S 1 - ambos os elementos estão operacionais;

S 2 - apenas o primeiro elemento é inoperante;

S 3 - apenas o segundo elemento é inoperante;

S 4 - ambos os elementos estão inoperantes.

Muitos estados possíveis de um objeto: S ={S 1 , S 2 , S 3 , S 4 }.

O conjunto completo de estados do sistema em estudo pode ser discreto ou contínuo (preenchendo continuamente um ou mais intervalos do eixo numérico).

A seguir, consideraremos sistemas com um espaço de estados discreto. A sequência de estados desse sistema e o próprio processo de transição de um estado para outro são chamados de cadeia.

Dependendo do tempo de residência do sistema em cada estado, são diferenciados processos com tempo contínuo e processos com tempo discreto. Em processos com tempo contínuo, a transição do sistema de um estado para outro é realizada a qualquer momento. No segundo caso, o tempo de residência do sistema em cada estado é fixo de forma que os momentos de transição se localizem no eixo do tempo em intervalos iguais.

Atualmente, as cadeias mais estudadas são aquelas com propriedade de Markov. Probabilidades de transição são indicadas por símbolos P ij(t), e o processo P ij transições é chamada de cadeia de Markov ou cadeia de Markov.

A propriedade Markov está associada à ausência de efeito colateral. Isso significa que o comportamento do sistema no futuro depende apenas de seu estado em um determinado momento no tempo, e não depende de como ele chegou a esse estado.

Os processos de Markov permitem descrever sequências de falhas-recuperações em sistemas descritos por meio de um gráfico de estado.

Na maioria das vezes, o método de cadeias de Markov de tempo contínuo é usado para calcular a confiabilidade, com base em um sistema de equações diferenciais, que em forma de matriz podem ser escritas como:

Onde P(t)= P 0 - condições iniciais;

e Λ é a matriz de intensidade de transição (matriz do coeficiente nas probabilidades de estados):

onde λ eu j- a intensidade da transição do sistema do i-ésimo estado para o j-ésimo estado;

P jÉ a probabilidade de o sistema estar no j-ésimo estado.

Ao avaliar a confiabilidade de sistemas redundantes e recuperáveis complexos, o método da cadeia de Markov leva a decisões complexas devido ao grande número de estados. No caso de subsistemas do mesmo tipo operando nas mesmas condições, o método de ampliação é utilizado para reduzir o número de estados. Estados com o mesmo número de subsistemas são mesclados. Então, a dimensão das equações diminui.

A sequência da metodologia para avaliar a confiabilidade de sistemas recuperáveis redundantes usando o método das cadeias de Markov é a seguinte:

1. A composição do dispositivo é analisada e um diagrama estrutural de confiabilidade é desenhado. De acordo com o esquema, é construído um gráfico no qual todos os estados possíveis são levados em consideração;

2. Todos os vértices do gráfico resultantes da análise do diagrama estrutural são divididos em dois subconjuntos: os vértices correspondentes ao estado operacional do sistema e os nós correspondentes ao estado inoperante do sistema.

3. Usando o gráfico de estado, um sistema de equações diferenciais é compilado (usando a regra de Kolmogorov);

4. Selecionam-se as condições iniciais para a resolução do problema;

5. As probabilidades de encontrar o sistema em um estado de funcionamento em um momento arbitrário de tempo são determinadas;

6. A probabilidade de operação do sistema sem falhas é determinada;

7. Se necessário, outros indicadores são determinados.

Perguntas e tarefas de controle

1. O que significa uma cadeia de Markov?

2. Forneça um algoritmo para avaliar a confiabilidade de SI usando modelos de Markov.

3. Como são as equações diferenciais para determinar os parâmetros de confiabilidade do IC?

4. O valor de quais indicadores de confiabilidade podem ser obtidos usando o método de Markov?

5. Liste os principais estágios da construção de um modelo de Markov da confiabilidade de um sistema complexo.

6. Qual é um pré-requisito para resolver sistemas de equações diferenciais?

7. Como são determinados os estados dos elementos e dispositivos do COP?

8. Dê uma definição para o conceito de sistemas recuperáveis.

9. O que é uma cadeia de Markov?

10. Para avaliar quais sistemas os modelos de confiabilidade de Markov são usados?

Literatura: 1, 2, 3, 10, 11.

Tópico: Métodos aproximados para calcular a confiabilidade dos meios técnicos de IC

1. As principais premissas e limitações na avaliação da confiabilidade de estruturas paralelas seriais.

2. Métodos aproximados para calcular a confiabilidade de ICs recuperáveis, com conexão sequencial e paralela de subsistemas de IC.

3. Esquemas estruturais para o cálculo da confiabilidade de SI.

Palavras-chave

Confiabilidade, estrutura em série paralela, métodos aproximados de cálculo de confiabilidade, diagrama estrutural de cálculo de confiabilidade, taxa de falha, taxa de recuperação, fator de disponibilidade, tempo de recuperação, sistema de computador.

fonte de alimentação usando uma árvore de falhas

O método lógico-probabilístico usando uma árvore de falhas é dedutivo (do geral para o específico) e é usado nos casos em que o número de falhas de sistema diferentes é relativamente pequeno. O uso de uma árvore de falhas para descrever as causas da falha de um sistema facilita a transição de uma definição geral de uma falha para definições específicas de falhas e modos de operação de seus elementos, que são compreensíveis para especialistas-desenvolvedores tanto do próprio sistema quanto os elementos. A transição de uma árvore de falha para uma função de falha lógica abre oportunidades para analisar as causas da falha do sistema em uma base formal. A função de falha lógica permite obter fórmulas para o cálculo analítico da frequência e probabilidade de falhas do sistema com base na frequência conhecida e probabilidades de falhas dos elementos. O uso de expressões analíticas no cálculo dos indicadores de confiabilidade dá origem ao uso de fórmulas da teoria da precisão para avaliar o erro quadrático médio dos resultados.

A falha de um objeto em funcionar como um evento complexo é a soma do evento de falha e do evento , consistindo no aparecimento de influências externas críticas. A condição de falha de funcionamento do sistema é formulada por especialistas na área de sistemas específicos com base na concepção técnica do sistema e na análise do seu funcionamento em caso de eventos diversos com o auxílio de afirmações.

As declarações podem ser finais, intermediárias, primárias, simples, complexas. Uma declaração simples se refere a um evento ou estado, que por si só não é considerado como uma soma lógica de "OU", nem como um produto lógico de "E" de outros eventos ou estados. Um enunciado complexo, que é uma disjunção de vários enunciados (simples ou complexos), é denotado pelo operador "OU", conectando os enunciados do nível mais baixo com os enunciados do nível mais alto (Figura 3.15, a). Um enunciado complexo, que é uma conjunção de vários enunciados (simples ou complexos), é denotado pelo operador "I", conectando os enunciados do nível mais baixo com os enunciados do nível mais alto (Figura 3.15, b).

Figura 3.15. Elementos de apresentação lógica

É conveniente codificar as declarações de forma que pelo código seja possível julgar se é simples ou complexo, em que nível do final está localizado e o que é (evento, estado, falha de operação, tipo de elemento).

Na teoria dos grafos, uma árvore é um gráfico conectado que não contém contornos fechados. Uma árvore de falha é uma árvore lógica (Figura 3.16), na qual arcos representam eventos de falha no nível de um sistema, subsistemas ou elementos, e vértices representam operações lógicas conectando os eventos de falha iniciais e resultantes.

FIG. 3,16. Um exemplo de construção de uma árvore de falhas

A construção da árvore de falhas começa com a formulação da declaração final sobre a falha do sistema. Para caracterizar a confiabilidade do sistema, o enunciado final refere-se a um evento que leva a um mau funcionamento no intervalo de tempo considerado, sob determinadas condições. O mesmo para a caracterização da prontidão.

Exemplo 8... Vamos construir uma árvore de falhas para o diagrama de rede mostrado na Figura 3.17.

Figura 3.17. Diagrama de rede

Subestações DENTRO e A PARTIR DE alimentado por subestação MAS... O evento final da árvore de falhas é a falha do sistema como um todo. Esta falha é definida como um evento que

1) uma subestação DENTRO, ou subestação A PARTIR DE perder completamente a comida;

2) energia para fornecer a carga total das subestações DENTRO e A PARTIR DE você tem que transmitir em uma única linha.

Com base na definição do evento final e no diagrama esquemático do sistema, construímos uma árvore de falhas (abaixo do evento final) (Fig. 3.18). O objetivo de uma análise de árvore de falhas é determinar a probabilidade de um evento final. Uma vez que o evento final é uma falha do sistema, a análise dá a probabilidade R(F).

O método de análise é baseado em encontrar e calcular conjuntos seções transversais mínimas. Corte transversal tal conjunto de elementos é chamado, a falha total do que leva à falha do sistema. A seção mínima é um conjunto de elementos dos quais não é possível remover um único elemento, caso contrário, deixa de ser uma seção.

Movendo um nível abaixo do evento de vértice (final), passamos pelo nó "OR", que indica a existência de três seções: ( P}, {Q}, {R} (R,Q, R- eventos de falha). Cada uma dessas seções pode ser dividida em um número maior de seções, mas pode acontecer que a falha das seções seja causada por vários eventos, dependendo do tipo de nó lógico encontrado ao longo da rota.

Figura 3.18. A árvore de falhas do sistema de acordo com o diagrama da Fig. 3,17:

–Falhas de subsistemas que podem ser analisadas posteriormente;

Por exemplo, (Q) primeiro se transforma em uma seção (3, T), então Té dividido em seções ( X, Y), como resultado, em vez de uma seção (3, T) dois aparecem: (3, X}, {3,Ter}.

Em cada uma das etapas subsequentes, conjuntos de seções transversais são identificados:

As seções mínimas são as seções selecionadas (3,4,5), (2,3), (1,3), (1,2). A seção (1,2,3) não é mínima, visto que (1,2) também é uma seção. Na última etapa, os conjuntos de seções transversais são compostos exclusivamente por elementos.

Em alguns casos, um objeto ou sistema não pode ser representado como consistindo em conexões seriais paralelas. Isso é especialmente verdadeiro para sistemas de informação eletrônicos digitais, nos quais links de informações cruzadas são introduzidos para melhorar a confiabilidade. Na fig. 9.17 descreve parte da estrutura de um sistema com ligações cruzadas (as setas mostram as possíveis direções de movimento da informação no sistema). Para avaliar a confiabilidade de tais estruturas, o método lógico-probabilístico mostra-se eficaz.

FIG. 9.17 Circuito de alimentação de combustível da ponte;

1-2 - bombas, 3,4,5 - válvulas

FIG. 9.18 Diagrama de ponte do complexo de medição e computação;

1,2 - dispositivo de memória; 3.4 - processadores; 5 - bloco que fornece transmissão digital de dados em duas vias.

No método, o estado operável da estrutura é proposto para ser descrito usando o aparato de lógica matemática, seguido por uma transição formal para a probabilidade de operação livre de falhas do sistema ou dispositivo sendo avaliado. Além disso, por meio da variável booleana x j denota um evento que consiste no fato de que este eu-º elemento está operacional. O estado formalmente saudável de um sistema ou objeto inteiro é exibido por uma função lógica chamada função de integridade. Para encontrar esta função, é necessário determinar, seguindo da entrada à saída da estrutura do sistema, todos os caminhos de movimento da informação e o corpo de trabalho correspondente ao estado operacional do sistema. Por exemplo, na Fig. 9,17. Existem quatro desses caminhos: caminho 1 -, caminho 2 -, caminho 3 -, caminho 4 -.

Conhecendo todos os caminhos correspondentes ao estado operacional da estrutura, é possível escrever a função de trabalhabilidade (X) em símbolos da álgebra da lógica na forma disjuntiva - conjuntiva / Por exemplo, para a Fig. 9,17 é:

Aplicando os métodos bem conhecidos de minimização, a função lógica de operabilidade é simplificada e passada para a equação da operabilidade do sistema nos símbolos da álgebra comum. Tal transição é realizada formalmente usando as relações bem conhecidas (à esquerda está uma notação lógica, à direita está uma algébrica):

A probabilidade de operação sem problemas de um objeto (ver Fig. 9.16, 9.17) é geralmente determinada pela substituição formal na expressão algébrica da função de desempenho em vez de variáveis, o valor da probabilidade de operação sem falha de cada eu o elemento do sistema.

Exemplo. É necessário encontrar, em termos gerais, a probabilidade de operação livre de falhas dos objetos, cuja estrutura é mostrada na Fig. 9,16 e 9,17. Apesar das diferentes bases dos elementos, os elementos da estrutura desses objetos são idênticos do ponto de vista da lógica formal. A este respeito, para maior clareza, a Fig. 9.17 elementos U1, U2 - duas bombas idênticas e igualmente confiáveis com probabilidades de operação sem falhas. Elementos U3, U4 - dois processadores igualmente confiáveis com probabilidade de operação sem falhas. O elemento U5 é uma válvula de comutação que fornece um fornecimento bidirecional de um fluido de trabalho (por exemplo, combustível) na saída do objeto.

A estrutura do objeto na Fig. 9.17, onde os elementos U1, U2 são dois dispositivos de armazenamento (ZU) idênticos e igualmente confiáveis, com a probabilidade de operação livre de falhas. Elementos U3, U4 - dois processadores idênticos e igualmente confiáveis com probabilidade de operação sem falhas. O elemento U5 é um bloco que fornece transmissão de dados digital bidirecional. A probabilidade de operação sem falhas desta unidade.

Levando em consideração (9.36), (9.37), (9.38) é possível fazer uma transição formal da notação (9.35) para a forma algébrica de notação. Assim, para encontrar a função lógica do desempenho do objeto, os caminhos possíveis para a informação (corpo de trabalho) passar da entrada para a saída têm a forma.

MÉTODOS DE LÓGICA-PROBABILIDADE DE ANÁLISE DE CONFIABILIDADE

Qualquer método de análise de confiabilidade requer uma descrição das condições de operabilidade do sistema. Essas condições podem ser formuladas com base em:

Esquema estrutural de funcionamento do sistema (esquema de cálculo da fiabilidade);

Descrição verbal do funcionamento do sistema;

Esquemas de gráficos;

Funções da álgebra da lógica.

O método lógico-probabilístico de análise de confiabilidade permite formalizar a definição e o significado de hipóteses favoráveis. A essência deste método é a seguinte.

O estado de cada elemento é codificado por zero e um:

Nas funções da álgebra lógica, os estados dos elementos são representados da seguinte forma:

X eu- bom estado do elemento, correspondente ao código 1;

Estado de falha do elemento correspondente ao código 0.

A condição de operabilidade do sistema por meio da operabilidade (estado) de seus elementos é escrita usando as funções da álgebra da lógica. A função de operabilidade do sistema resultante é uma função binária de argumentos binários.

O FAL resultante é transformado de forma que contenha termos correspondentes a hipóteses favoráveis ao correto funcionamento do sistema.

Em FAL em vez de variáveis binárias XI e as probabilidades de operação livre de falhas são substituídas de acordo p i e a probabilidade de falha q i. Os sinais de conjunção e disjunção são substituídos por multiplicação e adição algébrica.

A expressão resultante é a probabilidade de operação livre de falhas do sistema P c (t).

Vamos considerar o método lógico-probabilístico usando exemplos.

EXEMPLO 5.10. O diagrama estrutural do sistema é a conexão principal (sequencial) dos elementos (Fig. 5.14).

No diagrama de blocos x i, i = 1, 2,..., P- Estado eu-ésimo elemento do sistema, codificado 0 se o elemento estiver em um estado de falha e 1 se estiver operacional. Nesse caso, o sistema está em bom estado de funcionamento se todos os seus elementos estiverem em bom estado de funcionamento. Então FAL é uma conjunção de variáveis lógicas, ou seja, y = x 1, x 2, ... .., x n, que é uma forma normal disjuntiva perfeita do sistema.

Substituindo em vez de variáveis lógicas as probabilidades de estados saudáveis de elementos e, substituindo a conjunção pela multiplicação algébrica, obtemos:

EXEMPLO 5.11. O diagrama estrutural do sistema é um sistema duplicado com subsistemas desigualmente confiáveis e constantemente ligados (Fig. 5.15).

Na fig. 5,15 x 1 e x 2- o estado dos elementos do sistema. Vamos compor uma tabela verdade de duas variáveis binárias (Tabela 5.2).

Tabela 0 - estado de falha do elemento, 1 - bom estado do elemento. Neste caso, o sistema está operacional se ambos os elementos (1,1) ou um deles ((0,1) ou (1,0)) estiverem operacionais. Então, o estado de funcionamento do sistema é descrito pela seguinte função da álgebra da lógica:

Esta função é a forma normal disjuntiva perfeita. Substituindo as operações de disjunção e conjunção com operações algébricas de multiplicação e adição, e variáveis lógicas com as probabilidades correspondentes do estado dos elementos, obtemos a probabilidade de operação livre de falhas do sistema:

EXEMPLO 5.12. O diagrama de blocos do sistema é mostrado na Fig. 5,16.

Vamos fazer uma tabela verdade (Tabela 53).

Neste exemplo, o sistema está operacional se todos os seus elementos estiverem operacionais ou o elemento estiver operacional. XI e um dos elementos do par duplicado (x 2, x 3) Com base na tabela verdade, SDNF será semelhante a:

Substituindo as probabilidades correspondentes em vez de variáveis binárias, e multiplicação e adição algébrica em vez de conjunções e disjunções, obtemos a probabilidade de operação livre de falhas do sistema:

A função da álgebra da lógica pode ser representada de forma mínima usando as seguintes transformações:

As operações de absorção e colagem não são aplicáveis em álgebra. Nesse sentido, é impossível minimizar o FAL obtido e, então, substituir os valores das probabilidades em vez das variáveis lógicas. As probabilidades dos estados dos elementos devem ser substituídas no SDNF e simplificadas de acordo com as regras da álgebra.

A desvantagem do método descrito é a necessidade de compilar uma tabela verdade, que requer uma enumeração de todos os estados operáveis do sistema.

5.3.2. O método dos caminhos mais curtos e das seções mínimas

Este método foi discutido anteriormente. na seita. 5.2.3. Vamos apresentá-lo do ponto de vista da álgebra da lógica.

A função de operabilidade pode ser descrita usando os caminhos mais curtos do funcionamento do pedestre do sistema e as seções mínimas de sua falha.

O caminho mais curto é chamado de conjunção mínima do viável: a posição dos elementos que formam o sistema viável.

A seção transversal mínima é a conjunção mínima dos estados inoperantes dos elementos que formam o estado inoperante do sistema.

EXEMPLO 5.13.É necessário formar uma função de operabilidade do sistema, cujo diagrama estrutural é mostrado na Fig. 5.17, usando o método de caminhos mais curtos e seções mínimas.

Decisão. Nesse caso, os caminhos mais curtos que formam um sistema viável serão: x 1 x 2, x 3 x 4, x 1 x 5 x 4, x 3 x 5 x 2. Em seguida, a função de desempenho será escrita como a seguinte função de álgebra lógica:

De acordo com este FAL, o diagrama de blocos do sistema na Fig. 5.17 pode ser representado pelo diagrama de blocos da Fig. 5,18.

As seções mínimas que formam um sistema inoperante serão: x 1 x 3, x 2 x 4, x 1 x 5 x 4, x 3 x 5 x 2. Então, a função de inoperabilidade será escrita como a seguinte função da álgebra da lógica:

De acordo com este FAL, o diagrama estrutural do sistema será apresentado na forma mostrada na Fig. 5,19.

Deve-se ter em mente que os diagramas estruturais da Fig. 5.18 e fig. 5,19 não são esquemas para calcular a confiabilidade, e as expressões para FAL de estados de trabalho e não-trabalho não são expressões para determinar a probabilidade de operação sem falha e a probabilidade de falha:

As principais vantagens dos FALs são que permitem obter formalmente, sem compilar uma tabela verdade, SDNF e SKNF (forma normal conjuntiva perfeita), que permitem obter a probabilidade de operação livre de falha (probabilidade de falha) do sistema substituindo os valores correspondentes das probabilidades de trabalho sem falhas, substituindo as operações de conjunção e disjunção com operações algébricas de multiplicação e adição.

Para obter o SDNF, é necessário multiplicar cada termo FAL disjuntivo por, onde XI- o argumento ausente e expanda os parênteses. A resposta é SDNF. Vamos considerar esse método com um exemplo.

EXEMPLO 5.14.É necessário determinar a probabilidade de operação livre de falhas do sistema, cujo diagrama estrutural é mostrado na Fig. 5,17. As probabilidades de operação livre de falhas dos elementos são iguais p 1, p 2, p 3, p 4, p 5.

Decisão. Vamos usar o método do caminho mais curto. A função da álgebra da lógica, obtida pelo método dos caminhos mais curtos, tem a forma:

Vamos pegar o SDNF do sistema. Para fazer isso, multiplicamos os termos disjuntivos pelos que faltam:

Expandindo os colchetes e realizando transformações de acordo com as regras da álgebra da lógica, obtemos SDNF:

Substituindo em SDNF em vez de x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 probabilidade de uptime p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 e usando as relações q eu = 1–p i, obtemos a seguinte expressão para a probabilidade de operação sem falhas do sistema.

A partir do exemplo acima, pode-se ver que o método do caminho mais curto nos livrou de identificar hipóteses favoráveis. O mesmo resultado pode ser obtido usando o método de seção mínima.

5.3.3. Algoritmo de corte

O algoritmo de corte permite obter um FAL, substituindo em que, em vez de variáveis lógicas, a probabilidade de operação livre de falha (probabilidade de falha) dos elementos, você pode encontrar a probabilidade de operação livre de falha do sistema. Não é necessário o recebimento de SDNF para esse fim.

O algoritmo de corte é baseado no seguinte teorema booleano: Função booleana y (xb x 2, ..., xn) pode ser apresentado da seguinte forma:

Vamos mostrar a aplicabilidade deste teorema usando três exemplos:

Aplicando a segunda lei distributiva da álgebra da lógica, obtemos:

EXEMPLO 5.15. Determine a probabilidade de operação livre de falhas do sistema, cujo diagrama estrutural é mostrado na Fig. 5.16 usando o algoritmo de corte.

Decisão. Usando o método do caminho mais curto, obtemos o seguinte FAL:

Vamos aplicar o algoritmo de corte:

Substituindo agora as probabilidades em vez de variáveis lógicas e substituindo as operações de conjunção e disjunção por multiplicação e adição algébrica, obtemos:

EXEMPLO 5.16. Determine a probabilidade de operação livre de falhas do sistema, cujo diagrama estrutural é mostrado na Fig. 5,17. Use o algoritmo de corte.

Decisão. A função da álgebra da lógica, obtida pelo método das seções mínimas, tem a forma:

Implementamos o algoritmo de corte em relação a x 5:

Vamos simplificar a expressão resultante usando as regras da álgebra da lógica. Vamos simplificar a expressão nos primeiros colchetes usando a regra de colchetes:

Então FAL terá o formulário:

Esta expressão corresponde ao diagrama estrutural da Fig. 5,20.

O esquema resultante também é um esquema para calcular a confiabilidade, se as variáveis lógicas forem substituídas pelas probabilidades de operação livre de falhas p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, e a variável é a probabilidade de falha q 5. FIG. 5.20 pode-se observar que o diagrama de blocos do sistema é reduzido a um circuito série-paralelo. A probabilidade de operação sem falhas é calculada usando a seguinte fórmula:

A fórmula não precisa de explicação, ela é escrita diretamente de acordo com o diagrama estrutural.

5.3.4. Algoritmo de ortogonalização

O algoritmo de ortogonalização, como o algoritmo de corte, permite que procedimentos formais formem uma função da álgebra da lógica, substituindo as probabilidades em vez de variáveis lógicas, e adição e multiplicação algébrica em vez de disjunções e conjunções, para obter a probabilidade de ausência de falhas operação do sistema. O algoritmo é baseado na transformação das funções da álgebra booleana na forma normal disjuntiva ortogonal (ODNF), que é significativamente mais curta do que SDNF. Antes de definir a metodologia, formularemos uma série de definições e daremos exemplos.

Dois conjunções são chamados ortogonal, se seu produto for idêntico a zero. Forma normal disjuntiva chamado ortogonal, se todos os seus membros forem ortogonais aos pares. SDNF é ortogonal, mas a mais longa de todas as funções ortogonais.

O DNF ortogonal pode ser obtido usando as seguintes fórmulas:

Essas fórmulas são fáceis de provar se usarmos a segunda lei de distribuição da álgebra da lógica e o teorema de Morgan. O algoritmo para obter uma forma normal disjuntiva ortogonal é o seguinte procedimento de transformação de função y (x 1, x 2, ..., x n) em ODNF:

Função y (x 1, x 2, ..., x n) convertido para DNF usando o caminho mais curto ou método de seção mínima;

Uma forma normal disjuntiva ortogonal é encontrada usando as fórmulas (5.10) e (5.11);

A função é minimizada ao igualar a zero os membros ortogonais do ODNF;

Variáveis booleanas são substituídas pelas probabilidades de operação livre de falhas (probabilidades de falhas) dos elementos do sistema;

A solução final é obtida após simplificar a expressão obtida na etapa anterior.

Vejamos a técnica usando um exemplo.

EXEMPLO 5.17. Determine a probabilidade de operação livre de falhas do sistema, cujo diagrama estrutural é mostrado na Fig. 5,17. Aplique o método de ortogonalização.

Decisão. Neste caso, o funcionamento do sistema é descrito pela seguinte função da álgebra da lógica (o método das seções mínimas):

Nós denotamos K 1= x 1 x 2, K 2= x 3 x 4, K 3= x 1 x 5 x 4, K 4 = x 3 x 5 x 2... Em seguida, ODNF será escrito da seguinte forma:

Os valores , eu= 1,2,3, com base na fórmula (5.10) terá a forma:

Substituindo essas expressões em (5.12), obtemos:

Substituindo as variáveis lógicas nesta expressão com as probabilidades correspondentes e realizando as operações algébricas de adição e multiplicação, obtemos a probabilidade de operação livre de falhas do sistema:

A resposta é a mesma do Exemplo 5.14.

O exemplo mostra que o algoritmo de ortogonalização é mais produtivo do que os métodos discutidos anteriormente. Em mais detalhes, os métodos lógico-probabilísticos de análise de confiabilidade são apresentados em. O método lógico-probabilístico, como qualquer outro, tem suas vantagens e desvantagens. Seus méritos foram mencionados anteriormente. Vamos apontar suas desvantagens.

Os dados iniciais no método lógico-probabilístico são as probabilidades de operação livre de falhas dos elementos do diagrama estrutural do sistema. No entanto, em muitos casos, esses dados não podem ser obtidos. E não porque a confiabilidade dos elementos seja desconhecida, mas porque o tempo de operação do elemento é uma variável aleatória. Isso ocorre no caso de redundância por substituição, presença de efeito colateral de falhas, operação não simultânea de elementos, presença de recuperação com diferentes disciplinas de serviço e em muitos outros casos.

Aqui estão alguns exemplos para ilustrar essas deficiências. O diagrama de blocos do sistema é mostrado na Fig. 5,21, onde as seguintes designações são adotadas: XI- variáveis lógicas com valores 0 e 1, correspondentes à falha e operação adequada do elemento, XI = 1, 2, 3.

Neste caso, a variável lógica qc 3 é 0 até o momento τ de falha do elemento principal e 1 durante o tempo (t-τ), Onde t- o tempo durante o qual a probabilidade de operação sem falhas do sistema é determinada. Tempo τ é uma quantidade aleatória, portanto, o valor p (τ) desconhecido. Nesse caso, é impossível compor FAL e mais ainda SDNF. Nenhum dos métodos lógico-probabilísticos que consideramos nos permite encontrar a probabilidade de uma operação livre de falhas do sistema.

Aqui está outro exemplo típico. O sistema de energia consiste em um regulador de tensão R ne dois geradores paralelos G 1 e G 2. O diagrama de blocos do sistema é mostrado na Fig. 5,22.

Em caso de falha de um dos geradores, funciona o restante em uma carga comum. Sua taxa de falha está aumentando. Se, antes do momento τ de falha de um dos geradores, a intensidade de sua falha foi igual a λ , então após a recusa λ 1 > λ 2... Desde o tempo τ é uma quantidade aleatória, então P (τ) desconhecido. Aqui, como no caso da reserva por substituição, os métodos lógico-probabilísticos são impotentes. Assim, as desvantagens indicadas dos métodos lógico-probabilísticos reduzem sua aplicação prática no cálculo da confiabilidade de sistemas complexos.

5,4 Métodos topológicos de análise de confiabilidade

Os métodos topológicos serão chamados de métodos que permitem determinar os indicadores de confiabilidade, seja pelo gráfico de estados, seja pelo diagrama estrutural do sistema, sem fazer ou resolver equações. Vários trabalhos são dedicados a métodos topológicos, que descrevem várias maneiras de sua implementação prática. Esta seção descreve os métodos para determinar os indicadores de confiabilidade do gráfico de estado.

Os métodos topológicos permitem calcular os seguintes indicadores de confiabilidade:

- P (t)- a probabilidade de operação livre de falhas por, tempo t;

- T 1, é o tempo médio de operação sem falhas;

- K g (t)- função de prontidão (a probabilidade de que o sistema esteja operacional a qualquer momento arbitrário t);

- Kg= - fator de disponibilidade;

T- MTBF do sistema restaurado.

Os métodos topológicos possuem as seguintes características:

Simplicidade de algoritmos computacionais;

Alta visibilidade dos procedimentos para determinar as características quantitativas de confiabilidade;

Possibilidade de estimativas aproximadas;

Sem restrições quanto ao tipo de diagrama estrutural (sistemas, recuperável e não recuperável, não redundante e redundante com qualquer tipo de redundância e qualquer multiplicidade).

Este capítulo irá considerar as limitações dos métodos topológicos:

As taxas de falhas e recuperação de elementos de um sistema complexo são valores constantes ”;

As métricas de confiabilidade de tempo, como a probabilidade de não falha e a função de disponibilidade, são definidas na transformada de Laplace;

Dificuldades, em alguns casos intransponíveis, na análise da confiabilidade de sistemas complexos descritos por um gráfico de estado multiplamente conectado.

A ideia por trás dos métodos topológicos é a seguinte.

Um gráfico de estado é uma das maneiras de descrever o funcionamento de um sistema. Ele determina o tipo de equações diferenciais e seu número. As taxas de transição, que caracterizam a confiabilidade dos elementos e sua recuperabilidade, determinam os coeficientes das equações diferenciais. As condições iniciais são selecionadas codificando os nós do gráfico.

O gráfico de estado contém todas as informações sobre a confiabilidade do sistema. E essa é a base para acreditar que os indicadores de confiabilidade podem ser calculados diretamente a partir do gráfico de estado.

5.4.1. Determinando as probabilidades de estados do sistema

A probabilidade de encontrar um sistema restaurado em um estado eu em um ponto fixo no tempo t na transformação de Laplace pode ser escrita da seguinte forma:

Onde Δ (s)- o principal determinante do sistema de equações diferenciais escrito nas transformadas de Laplace; Δ i (s)- determinante privado do sistema.

Da expressão (5.13) é visto que P i (s) será determinado se os graus forem encontrados no gráfico de estado um tipo polinômios do numerador e denominador, bem como os coeficientes B ij (j = 0,1,2,..., m) e A i(eu = 0,1, 2,..., n-1).

Inicialmente, consideraremos o método de determinação P i (s) o gráfico de estado de apenas aqueles sistemas no gráfico de estado dos quais não há transições através dos estados. Isso inclui todos os sistemas não redundantes, sistemas redundantes com redundância geral com multiplicidade inteira e fracionária, sistemas redundantes de qualquer estrutura com manutenção de dispositivos com falha na ordem inversa de sua chegada para reparo. Esta classe de sistemas também inclui alguns sistemas redundantes com dispositivos igualmente confiáveis com várias disciplinas de sua manutenção.

O funcionamento do sistema é descrito por equações diferenciais, cujo número é igual ao número de nós do gráfico. Isso significa que o principal determinante do sistema Δ (s) no caso geral será um polinômio n-º grau, onde n- o número de nós no estado do gráfico. É fácil mostrar que o polinômio denominador não contém um termo livre. Na verdade, desde então o denominador da função P i (s) deve conter s como um fator, caso contrário, a probabilidade final P i (∞) será zero. Uma exceção é quando o número de reparos é limitado.

Grau polinomial do numeradorΔ i é encontrado a partir da expressão:

m i = n - 1 - l i,

Onde n- o número de nós no gráfico de estado; eu eué o número de transições do estado inicial do sistema, determinado pelas condições iniciais de seu funcionamento, para o estado eu ao longo do caminho mais curto.

Se o estado inicial do sistema for um estado em que todos os dispositivos estão em boas condições de funcionamento, então eu eu- número de nível estadual eu, ou seja, eu eué igual ao número mínimo de dispositivos com falha no sistema no estado eu... Assim, o grau do polinômio do numerador de probabilidade Р i (s) permanência do sistema em eu-m estado depende do número do estado eu e das condições iniciais. Já que o número de transições eu eu talvez 0,1,2, ..., n-1, então o grau do polinômioΔ i (s) com base em (5.14) também pode assumir os valores eu = 0,1,2,..., n-1.

Aula 9

Tópico: Avaliação da confiabilidade pelo método de caminhos e seções. Métodos lógico-probabilísticos para a análise de sistemas complexos

Plano

1. O método de caminhos e seções mínimas para calcular os indicadores de confiabilidade de sistemas com uma estrutura ramificada.

2. Definições e conceitos básicos de métodos lógico-probabilísticos de análise e avaliação da confiabilidade de SI.

3. A essência do método do caminho mais curto para o funcionamento bem-sucedido e a seção transversal mínima de falhas.

4. Cálculo da função de operabilidade e da função de falha da estrutura da ponte.

5. Áreas de aplicação desses métodos. Modelagem estatística para avaliar a confiabilidade do IS.

Palavras-chave

Índices de confiabilidade, estrutura de IC ramificada, caminho mínimo, seção, método lógico-probabilístico, circuito de ponte, função de operabilidade, caminho mais curto de operação bem-sucedida, seção de falha mínima, probabilidade de operação sem falha, função de álgebra lógica, diagrama estrutural de cálculo de confiabilidade.

Existem estruturas e formas de organização do SI, quando ocorre redundância, mas ela não pode ser representada segundo o esquema de conexão serial e paralela de elementos ou subsistemas. Para analisar a confiabilidade de tais estruturas, é utilizado o método de caminhos e seções mínimas, que pertence a métodos aproximados e permite determinar as estimativas de limites de confiabilidade de cima e de baixo.

Um caminho em uma estrutura complexa é uma sequência de elementos que garantem o funcionamento (desempenho) do sistema.

Uma seção é um conjunto de elementos cujas falhas levam a uma falha do sistema.

A probabilidade de operação sem falhas de circuitos paralelos conectados em série fornece uma estimativa superior para o sistema FBG de uma determinada estrutura. A probabilidade de operação sem falhas de circuitos em série conectados em paralelo de elementos de caminho fornece uma estimativa mais baixa para o sistema FBG de uma determinada estrutura. O valor real do indicador de confiabilidade está entre os limites superior e inferior.

Considere um circuito de ponte para conectar os elementos de um sistema que consiste em cinco elementos (Fig. 1).

FIG. 1. Circuito de ponte para conectar os elementos (subsist.)

Aqui, o conjunto de elementos forma o caminho mínimo se a exclusão de qualquer elemento do conjunto resultar em uma rejeição do caminho. Segue-se disso que, na redistribuição de um caminho, os elementos estão na conexão principal e os próprios caminhos são incluídos em paralelo. Conjunto de caminhos mínimos de ponte apresentado na fig. 2. Os caminhos formam o elemento 1, 3; 2, 4; 1, 5, 4; 2, 5, 3.

FIG. 2. Um conjunto de caminhos mínimos.

FBGs são conhecidos por todos os elementos do circuito R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , R 5 e as probabilidades de falha correspondentes do tipo "quebra"Q 1 h Q 5 , é necessário determinar a probabilidade da presença de uma cadeia entre os pontos mas e dentro... Uma vez que um e o mesmo elemento está incluído em dois caminhos paralelos, o cálculo resulta em uma estimativa de confiabilidade superior.

P in = 1- Q 13 ∙ Q 24 ∙ Q 154 ∙ Q 253 = 1- (1-R 1 R 3)(1-R 2 R 4)(1-R 1 R 5 R 4)(1-R 2 R 5 R 3)

Ao determinar as seções mínimas, a seleção do número mínimo de elementos é realizada, a transferência dos quais de um estado operacional para um inoperante causa uma falha do sistema.

Com a seleção correta dos elementos seccionais, o retorno de qualquer um dos elementos ao estado operacional restaura o estado operacional do sistema.

Uma vez que a falha de cada uma das seções causa uma falha no sistema, as primeiras são conectadas em série. Na redistribuição de cada trecho, os elementos são conectados em paralelo, pois para o sistema funcionar basta que haja um estado operável de qualquer um dos elementos do trecho.

Um diagrama das seções transversais mínimas para um circuito em ponte é mostrado na Fig. 3. Uma vez que um e o mesmo elemento está incluído em duas seções, a estimativa resultante é uma estimativa mais baixa.

Pn = P 12 ∙ P 34 ∙ P 154 ∙ P 253 = (1- q 1 q 2 )∙ (1- q 3 q 4 )∙ (1- q 1 q 5 q 4 )∙ (1- q 2 q 5 q 3 )

FIG. 3. Conjunto de seções mínimas

Probabilidade de tempo de atividade do sistema P comé então estimado pela dupla desigualdade

P n ≤ P s ≤ P em

Assim, este método permite representar um sistema com uma estrutura arbitrária na forma de circuitos paralelos e sequenciais. (Ao traçar os percursos e seções mínimas, qualquer sistema se transforma em uma estrutura com conexão serial-paralela ou serial-paralela de elementos). O método é simples, mas requer a determinação precisa de todos os caminhos e seções. Tem sido amplamente utilizado no cálculo da confiabilidade de subsistemas de sistemas de controle, principalmente em relação a sistemas de proteção e controle lógico. É utilizado em sistemas de controle de potência de reator, possibilitando a transição de um circuito de controle defeituoso para outro, que está em estado de espera.

Métodos lógico-probabilísticos para analisar a confiabilidade dos sistemas

O sistema pode estar em apenas dois estados: em um estado de operabilidade total ( no= 1) e em estado de falha completa ( no= 0). Nesse caso, assume-se que a ação do sistema é determinística e depende da ação de seus elementos, ou seja, noé uma função x 1 , x 2 , … , XI, … , x n... Os itens podem também estar em apenas dois estados inconsistentes: plena capacidade de trabalho (XI = 1) e falha completa (XI = 0).

Função de álgebra lógica conectando o estado dos elementos com o estado do sistema no (x 1 , x 2 ,…, x n) são chamados função de operabilidade sistemasF(y) = 1.

Para avaliar os estados operacionais do sistema, dois conceitos são usados:

Onde eu- pertence a muitos números correspondendo a isso
eu-m caminho.

2) a seção transversal mínima de falhas do sistema (MSO), que é uma conjunção de negações de seus elementos, nenhum dos componentes dos quais pode ser removido sem violar as condições de inoperabilidade do sistema. Esta conjunção pode ser escrita como o seguinte FAL:

Onde significa um conjunto de números correspondentes a uma determinada seção.

Em outras palavras, o MCO do sistema descreve uma das maneiras possíveis de interromper o desempenho do sistema usando um conjunto mínimo de elementos com falha.

Cada sistema redundante tem um número finito de caminhos mais curtos (eu= 1, 2,…, m ) e seções mínimas (j= 1, 2,…, m).

Usando esses conceitos, você pode anotar as condições de desempenho do sistema.

1) na forma de uma disjunção de todos os caminhos mais curtos disponíveis para um funcionamento bem-sucedido.

;

2) como uma conjunção de negações de todos os MCOs

;

Por exemplo, para a estrutura de ponte do IC, a função de operabilidade do sistema usando o KPUF será escrita da seguinte forma:

;

a função de operabilidade do mesmo sistema por meio do MCO pode ser escrita da seguinte forma:

A probabilidade de operação livre de falhas do sistema pode ser calculada pela fórmula (por meio de uma função de probabilidade do formulário):

Para a confiabilidade de um sistema de computador com uma estrutura de redundância complexa, o método de modelagem estatística pode ser usado.

A ideia por trás do método é gerar variáveis booleanasXI c dada probabilidade pi ocorrência de uma unidade, que são substituídas na função estrutural lógica do sistema modelado em qualquer forma e então o resultado é calculado.

O agregado x 1 , x 2 , ..., x neventos aleatórios independentes formando um grupo completo são caracterizados pelas probabilidades de ocorrência de cada um dos eventosp(XI), e.

Para simular este conjunto de eventos aleatórios, um gerador de números aleatórios é usado, uniformemente distribuído no intervalo

Valor p i é escolhido igual à probabilidade de operação sem falhaseu-º subsistema. Neste caso, o processo de computação é repetidoN 0 vezes com novos valores de argumento aleatórios independentesXI(neste caso, o número deN(t) valores unitários da função de estrutura lógica). AtitudeN(t)/ N 0 é uma estimativa estatística da probabilidade de operação sem falha

Onde N(t) - o número de trabalhos sem problemas até o momentotobjetos, com seu número original.

Gerando variáveis booleanas aleatóriasXIcom uma dada probabilidade de ocorrência de um R eué realizado com base em valores aleatórios uniformemente distribuídos no intervalo, obtidos com a ajuda de programas padrão incluídos no suporte matemático de todos os computadores modernos.

Perguntas e tarefas de controle

1. Cite um método para avaliar a confiabilidade de um IS, onde a probabilidade de tempo de atividade de um sistema é definida como P n ≤ P s ≤ P em.

2. Para calcular a confiabilidade de quais sistemas o método de caminhos e seções é usado?

3. Que método pode ser usado para avaliar a confiabilidade dos dispositivos do tipo ponte?

4. Quais métodos de determinação dos indicadores de confiabilidade de sistemas restaurados são conhecidos?

5. Estruturalmente representa um circuito de ponte com um conjunto de caminhos mínimos e seções transversais.

6. Dê a definição do caminho mínimo e da seção mínima.

7. Escreva a função de saúde para um dispositivo ramificado?

8. O que é chamado de função de saúde?

9. Qual é o caminho mais curto para um funcionamento bem-sucedido (KPUF). Escreva as condições de trabalho na forma de KPUF.

10. Onde é usado o método lógico-probabilístico de avaliação da confiabilidade?

Literatura: 1, 2, 3, 5, 6, 8.