Área de um triângulo - fórmulas e exemplos de resolução de problemas. Teorema da área de um triângulo, teoremas de senos e cossenos Área de um triângulo por cosseno e dois lados

Pode ser encontrado conhecendo a base e a altura. Toda a simplicidade do diagrama reside no fato de que a altura divide a base a em duas partes a 1 e a 2, e o próprio triângulo em dois triângulos retângulos, cuja área é e. Então a área de todo o triângulo será a soma das duas áreas indicadas, e se tirarmos um segundo da altura do colchete, na soma teremos de volta a base:

Um método de cálculo mais difícil é a fórmula de Heron, para a qual você precisa conhecer todos os três lados. Para esta fórmula, primeiro você precisa calcular o semiperímetro do triângulo: A própria fórmula de Heron implica a raiz quadrada do semiperímetro, multiplicada por sua vez por sua diferença em cada lado.

O método a seguir, também relevante para qualquer triângulo, permite encontrar a área do triângulo através de dois lados e o ângulo entre eles. A prova disso vem da fórmula com altura - traçamos a altura em qualquer um dos lados conhecidos e através do seno do ângulo α obtemos que h=a⋅sinα. Para calcular a área, multiplique metade da altura pelo segundo lado.

Outra forma é encontrar a área de um triângulo, conhecendo 2 ângulos e o lado entre eles. A prova desta fórmula é bastante simples e pode ser vista claramente no diagrama.

Baixamos a altura do vértice do terceiro ângulo para o lado conhecido e chamamos os segmentos resultantes de x de acordo. Dos triângulos retângulos pode-se ver que o primeiro segmento x é igual ao produto

Simplificando, são vegetais cozidos em água de acordo com uma receita especial. Considerarei dois componentes iniciais (salada de legumes e água) e o resultado final - borscht. Geometricamente, pode ser pensado como um retângulo, com um lado representando a alface e o outro lado representando a água. A soma desses dois lados indicará o borscht. A diagonal e a área desse retângulo “borscht” são conceitos puramente matemáticos e nunca são usados ​​​​em receitas de borscht.

Você não encontrará nada sobre funções angulares lineares em livros de matemática. Mas sem eles não pode haver matemática. As leis da matemática, assim como as leis da natureza, funcionam independentemente de sabermos ou não de sua existência.

Funções angulares lineares são leis de adição. Veja como a álgebra se transforma em geometria e a geometria se transforma em trigonometria.

É possível prescindir de funções angulares lineares? É possível, porque os matemáticos ainda conseguem viver sem eles. O truque dos matemáticos é que eles sempre nos falam apenas sobre os problemas que eles próprios sabem resolver, e nunca falam sobre os problemas que não conseguem resolver. Olhar. Se conhecermos o resultado da adição e de um termo, utilizamos a subtração para determinar o outro termo. Todos. Não conhecemos outros problemas e não sabemos como resolvê-los. O que devemos fazer se conhecermos apenas o resultado da adição e não conhecermos os dois termos? Neste caso, o resultado da adição deve ser decomposto em dois termos utilizando funções angulares lineares. A seguir, nós mesmos escolhemos o que um termo pode ser, e as funções angulares lineares mostram qual deve ser o segundo termo para que o resultado da adição seja exatamente o que precisamos. Pode haver um número infinito desses pares de termos. Na vida cotidiana, nos damos muito bem sem decompor a soma; a subtração nos basta. Mas na investigação científica sobre as leis da natureza, decompor uma soma nos seus componentes pode ser muito útil.

Outra lei da adição sobre a qual os matemáticos não gostam de falar (outro de seus truques) exige que os termos tenham as mesmas unidades de medida. Para salada, água e borscht, podem ser unidades de peso, volume, valor ou unidade de medida.

A figura mostra dois níveis de diferença para matemática. O primeiro nível são as diferenças no campo dos números, que são indicadas a, b, c. Isto é o que os matemáticos fazem. O segundo nível são as diferenças no campo das unidades de medida, que são mostradas entre colchetes e indicadas pela letra você. Isto é o que os físicos fazem. Podemos entender o terceiro nível – diferenças na área dos objetos que estão sendo descritos. Objetos diferentes podem ter o mesmo número de unidades de medida idênticas. Como isso é importante, podemos ver no exemplo da trigonometria do borscht. Se adicionarmos subscritos à mesma designação de unidade para objetos diferentes, podemos dizer exatamente qual quantidade matemática descreve um objeto específico e como ele muda ao longo do tempo ou devido às nossas ações. Carta C Vou designar a água com uma letra S Vou designar a salada com uma letra B- borscht. Esta é a aparência das funções angulares lineares para o borscht.

Se pegarmos um pouco da água e um pouco da salada, juntas elas se transformarão em uma porção de borscht. Aqui sugiro que você faça uma pequena pausa no borscht e relembre sua infância distante. Lembra como fomos ensinados a juntar coelhos e patos? Era preciso saber quantos animais haveria. O que fomos ensinados a fazer então? Fomos ensinados a separar unidades de medida de números e somar números. Sim, qualquer número pode ser adicionado a qualquer outro número. Este é um caminho direto para o autismo da matemática moderna - fazemos incompreensivelmente o quê, incompreensivelmente por quê, e entendemos muito mal como isso se relaciona com a realidade, por causa dos três níveis de diferença, os matemáticos operam com apenas um. Seria mais correto aprender como passar de uma unidade de medida para outra.

Coelhos, patos e animaizinhos podem ser contados em pedaços. Uma unidade de medida comum para diferentes objetos nos permite adicioná-los. Esta é uma versão infantil do problema. Vejamos um problema semelhante para adultos. O que você ganha quando adiciona coelhos e dinheiro? Existem duas soluções possíveis aqui.

Primeira opção. Determinamos o valor de mercado dos coelhos e adicionamos ao valor disponível. Obtivemos o valor total da nossa riqueza em termos monetários.

Segunda opçao. Você pode adicionar o número de coelhos ao número de notas que temos. Receberemos o valor dos bens móveis em pedaços.

Como você pode ver, a mesma lei de adição permite obter resultados diferentes. Tudo depende do que exatamente queremos saber.

Mas voltemos ao nosso borscht. Agora podemos ver o que acontecerá com diferentes valores de ângulos de funções angulares lineares.

O ângulo é zero. Temos salada, mas não temos água. Não podemos cozinhar borscht. A quantidade de borscht também é zero. Isso não significa de forma alguma que zero borscht seja igual a zero água. Pode haver zero borscht com zero salada (ângulo reto).

Para mim, pessoalmente, esta é a principal prova matemática do fato de que . Zero não altera o número quando adicionado. Isso acontece porque a adição em si é impossível se houver apenas um termo e faltar o segundo termo. Você pode sentir isso como quiser, mas lembre-se: todas as operações matemáticas com zero foram inventadas pelos próprios matemáticos, então jogue fora sua lógica e empurre estupidamente as definições inventadas pelos matemáticos: “divisão por zero é impossível”, “qualquer número multiplicado por zero é igual a zero”, “além do ponto de punção zero” e outras bobagens. Basta lembrar uma vez que zero não é um número, e você nunca mais terá a dúvida se zero é um número natural ou não, porque tal pergunta perde todo o sentido: como pode algo que não é um número ser considerado um número ? É como perguntar em que cor uma cor invisível deve ser classificada. Adicionar zero a um número é o mesmo que pintar com tinta que não existe. Agitamos um pincel seco e dissemos a todos que “pintamos”. Mas discordo um pouco.

O ângulo é maior que zero, mas menor que quarenta e cinco graus. Temos muita alface, mas não temos água suficiente. Como resultado, obteremos um borscht espesso.

O ângulo é de quarenta e cinco graus. Temos quantidades iguais de água e salada. Este é o borscht perfeito (perdoem-me, chefs, é só matemática).

O ângulo é maior que quarenta e cinco graus, mas menor que noventa graus. Temos muita água e pouca salada. Você obterá borscht líquido.

Ângulo certo. Temos água. Da salada só restam memórias, à medida que continuamos a medir o ângulo a partir da linha que antes marcava a salada. Não podemos cozinhar borscht. A quantidade de borscht é zero. Neste caso, espere e beba água enquanto a tem)))

Aqui. Algo assim. Posso contar aqui outras histórias que seriam mais do que apropriadas aqui.

Dois amigos tinham participação em um negócio comum. Depois de matar um deles, tudo foi para o outro.

O surgimento da matemática em nosso planeta.

Todas essas histórias são contadas na linguagem da matemática usando funções angulares lineares. Em outra ocasião mostrarei o verdadeiro lugar dessas funções na estrutura da matemática. Enquanto isso, vamos voltar à trigonometria do borscht e considerar as projeções.

Sábado, 26 de outubro de 2019

Assisti a um vídeo interessante sobre Série suja Um menos um mais um menos um - Numberphile. Os matemáticos mentem. Eles não realizaram uma verificação de igualdade durante o raciocínio.

Isso ecoa meus pensamentos sobre.

Vamos examinar mais de perto os sinais de que os matemáticos estão nos enganando. Logo no início do argumento, os matemáticos dizem que a soma de uma sequência DEPENDE de ela ter um número par de elementos ou não. Este é um FATO OBJETIVAMENTE ESTABELECIDO. O que acontece depois?

A seguir, os matemáticos subtraem a sequência da unidade. A que isso leva? Isso leva a uma mudança no número de elementos da sequência - um número par muda para um número ímpar, um número ímpar muda para um número par. Afinal, adicionamos um elemento igual a um à sequência. Apesar de toda a semelhança externa, a sequência antes da transformação não é igual à sequência após a transformação. Mesmo que estejamos falando de uma sequência infinita, devemos lembrar que uma sequência infinita com um número ímpar de elementos não é igual a uma sequência infinita com um número par de elementos.

Ao colocar um sinal de igual entre duas sequências com números diferentes de elementos, os matemáticos afirmam que a soma da sequência NÃO DEPENDE do número de elementos da sequência, o que contradiz um FATO OBJETIVAMENTE ESTABELECIDO. Raciocínios adicionais sobre a soma de uma sequência infinita são falsos, pois se baseiam em uma falsa igualdade.

Se você perceber que os matemáticos, no decorrer das provas, colocam colchetes, reorganizam elementos de uma expressão matemática, acrescentam ou removem algo, tenha muito cuidado, muito provavelmente eles estão tentando enganá-lo. Assim como os mágicos das cartas, os matemáticos usam várias manipulações de expressão para distrair sua atenção e, em última análise, fornecer um resultado falso. Se você não consegue repetir um truque de cartas sem conhecer o segredo do engano, então na matemática tudo é muito mais simples: você nem suspeita de nada sobre o engano, mas repetir todas as manipulações com uma expressão matemática permite convencer os outros da correção do o resultado obtido, tal como quando te convenceram.

Pergunta do público: O infinito (como o número de elementos na sequência S) é par ou ímpar? Como você pode alterar a paridade de algo que não tem paridade?

O infinito é para os matemáticos, assim como o Reino dos Céus é para os sacerdotes - ninguém nunca esteve lá, mas todos sabem exatamente como tudo funciona lá))) Concordo, após a morte você ficará absolutamente indiferente se viveu um número par ou ímpar de dias, mas... Somando apenas um dia ao início da sua vida, teremos uma pessoa completamente diferente: seu sobrenome, nome e patronímico são exatamente iguais, só que a data de nascimento é completamente diferente - ele era nascido um dia antes de você.

Agora vamos direto ao ponto))) Digamos que uma sequência finita que tem paridade perde essa paridade ao ir para o infinito. Então qualquer segmento finito de uma sequência infinita deve perder paridade. Nós não vemos isso. O fato de não podermos dizer com certeza se uma sequência infinita tem um número par ou ímpar de elementos não significa que a paridade tenha desaparecido. A paridade, se existir, não pode desaparecer sem deixar rasto no infinito, como na manga de um estilete. Há uma analogia muito boa para este caso.

Você já perguntou ao cuco sentado no relógio em que direção o ponteiro do relógio gira? Para ela, a seta gira no sentido oposto ao que chamamos de “sentido horário”. Por mais paradoxal que possa parecer, a direção da rotação depende unicamente de qual lado observamos a rotação. E assim, temos uma roda que gira. Não podemos dizer em que direção ocorre a rotação, pois podemos observá-la tanto de um lado do plano de rotação quanto do outro. Só podemos testemunhar que há rotação. Analogia completa com a paridade de uma sequência infinita S.

Agora vamos adicionar uma segunda roda giratória, cujo plano de rotação é paralelo ao plano de rotação da primeira roda giratória. Ainda não podemos dizer com certeza em que direção essas rodas giram, mas podemos dizer com certeza se ambas as rodas giram na mesma direção ou na direção oposta. Comparando duas sequências infinitas S E 1-S, mostrei com a ajuda da matemática que essas sequências têm paridades diferentes e colocar um sinal de igual entre elas é um erro. Pessoalmente, confio na matemática, não confio nos matemáticos))) Aliás, para compreender totalmente a geometria das transformações de sequências infinitas, é necessário introduzir o conceito "simultaneidade". Isso precisará ser desenhado.

Quarta-feira, 7 de agosto de 2019

Concluindo a conversa sobre, precisamos considerar um conjunto infinito. A questão é que o conceito de “infinito” afeta os matemáticos como uma jibóia afeta um coelho. O horror trêmulo do infinito priva os matemáticos do bom senso. Aqui está um exemplo:

A fonte original está localizada. Alpha significa número real. O sinal de igual nas expressões acima indica que se você adicionar um número ou infinito ao infinito, nada mudará, o resultado será o mesmo infinito. Se tomarmos como exemplo o conjunto infinito de números naturais, então os exemplos considerados podem ser representados da seguinte forma:

Para provar claramente que estavam certos, os matemáticos criaram muitos métodos diferentes. Pessoalmente, considero todos esses métodos como xamãs dançando com pandeiros. Essencialmente, todos se resumem ao facto de alguns dos quartos estarem desocupados e novos hóspedes estarem a entrar, ou de alguns dos visitantes serem atirados para o corredor para dar lugar aos hóspedes (muito humanamente). Apresentei minha opinião sobre tais decisões na forma de uma história de fantasia sobre a Loira. Em que se baseia o meu raciocínio? A realocação de um número infinito de visitantes leva um tempo infinito. Depois de desocuparmos o primeiro quarto de um hóspede, um dos visitantes percorrerá sempre o corredor do seu quarto para o seguinte até ao fim dos tempos. É claro que o factor tempo pode ser estupidamente ignorado, mas isto estará na categoria de “nenhuma lei foi escrita para tolos”. Tudo depende do que estamos fazendo: ajustando a realidade às teorias matemáticas ou vice-versa.

O que é um “hotel sem fim”? Um hotel infinito é um hotel que tem sempre qualquer número de camas vazias, independentemente de quantos quartos estejam ocupados. Se todos os quartos do interminável corredor de “visitantes” estiverem ocupados, surge outro corredor interminável com quartos de “convidados”. Haverá um número infinito de tais corredores. Além disso, o “hotel infinito” tem um número infinito de andares num número infinito de edifícios num número infinito de planetas num número infinito de universos criados por um número infinito de Deuses. Os matemáticos não conseguem se distanciar dos problemas banais do cotidiano: sempre existe um só Deus-Alá-Buda, só existe um hotel, só existe um corredor. Assim, os matemáticos estão a tentar fazer malabarismos com os números de série dos quartos de hotel, convencendo-nos de que é possível “empurrar o impossível”.

Vou demonstrar a lógica do meu raciocínio usando o exemplo de um conjunto infinito de números naturais. Primeiro você precisa responder a uma pergunta muito simples: quantos conjuntos de números naturais existem - um ou muitos? Não existe uma resposta correta para esta pergunta, uma vez que nós mesmos inventamos os números; os números não existem na Natureza. Sim, a Natureza é ótima em contar, mas para isso utiliza outras ferramentas matemáticas que não nos são familiares. Direi o que a Natureza pensa em outra ocasião. Como inventamos os números, nós mesmos decidiremos quantos conjuntos de números naturais existem. Vamos considerar ambas as opções, como convém aos verdadeiros cientistas.

Opção um. “Deixe-nos receber” um único conjunto de números naturais, que fica serenamente na prateleira. Tiramos este conjunto da prateleira. É isso, não há outros números naturais na prateleira e nenhum lugar para levá-los. Não podemos adicionar um a este conjunto, pois já o temos. E se você realmente quiser? Sem problemas. Podemos pegar um do conjunto que já pegamos e devolvê-lo à prateleira. Depois disso, podemos tirar um da prateleira e adicionar ao que sobrou. Como resultado, obteremos novamente um conjunto infinito de números naturais. Você pode anotar todas as nossas manipulações assim:

Anotei as ações em notação algébrica e em notação de teoria dos conjuntos, com uma listagem detalhada dos elementos do conjunto. O subscrito indica que temos um único conjunto de números naturais. Acontece que o conjunto dos números naturais permanecerá inalterado somente se um for subtraído dele e a mesma unidade for adicionada.

Opção dois. Temos muitos conjuntos infinitos diferentes de números naturais em nossa estante. Enfatizo - DIFERENTES, apesar de serem praticamente indistinguíveis. Vamos pegar um desses conjuntos. Depois pegamos um de outro conjunto de números naturais e adicionamos ao conjunto que já pegamos. Podemos até adicionar dois conjuntos de números naturais. Isto é o que obtemos:

Os subscritos “um” e “dois” indicam que esses elementos pertenciam a conjuntos diferentes. Sim, se você adicionar um a um conjunto infinito, o resultado também será um conjunto infinito, mas não será igual ao conjunto original. Se você adicionar outro conjunto infinito a um conjunto infinito, o resultado será um novo conjunto infinito composto pelos elementos dos dois primeiros conjuntos.

O conjunto dos números naturais é usado para contar da mesma forma que uma régua é para medir. Agora imagine que você adicionou um centímetro à régua. Esta será uma linha diferente, não igual à original.

Você pode aceitar ou não meu raciocínio - é problema seu. Mas se você alguma vez encontrar problemas matemáticos, pense se você está seguindo o caminho do falso raciocínio trilhado por gerações de matemáticos. Afinal, estudar matemática, antes de tudo, forma em nós um estereótipo estável de pensamento, e só então aumenta nossas habilidades mentais (ou, inversamente, nos priva do pensamento livre).

pozg.ru

Domingo, 4 de agosto de 2019

Eu estava terminando um pós-escrito para um artigo sobre e vi este texto maravilhoso na Wikipedia:

Lemos: “... a rica base teórica da matemática da Babilônia não tinha um caráter holístico e foi reduzida a um conjunto de técnicas díspares, desprovidas de um sistema comum e de uma base de evidências”.

Uau! Quão inteligentes somos e quão bem podemos ver as deficiências dos outros. É difícil para nós olharmos para a matemática moderna no mesmo contexto? Parafraseando ligeiramente o texto acima, pessoalmente obtive o seguinte:

A rica base teórica da matemática moderna não é de natureza holística e é reduzida a um conjunto de seções díspares, desprovidas de um sistema comum e de uma base de evidências.

Não irei muito longe para confirmar as minhas palavras - tem uma linguagem e convenções que são diferentes da linguagem e das convenções de muitos outros ramos da matemática. Os mesmos nomes em diferentes ramos da matemática podem ter significados diferentes. Quero dedicar toda uma série de publicações aos erros mais óbvios da matemática moderna. Vejo você em breve.

Sábado, 3 de agosto de 2019

Como dividir um conjunto em subconjuntos? Para isso, é necessário inserir uma nova unidade de medida que esteja presente em alguns dos elementos do conjunto selecionado. Vejamos um exemplo.

Que tenhamos bastante A composto por quatro pessoas. Este conjunto é formado com base em “pessoas”. Vamos denotar os elementos deste conjunto pela letra A, o subscrito com um número indicará o número de série de cada pessoa deste conjunto. Vamos apresentar uma nova unidade de medida "gênero" e denotá-la pela letra b. Como as características sexuais são inerentes a todas as pessoas, multiplicamos cada elemento do conjunto A com base no gênero b. Observe que o nosso conjunto de “pessoas” tornou-se agora um conjunto de “pessoas com características de género”. Depois disso podemos dividir as características sexuais em masculinas bm e mulheres cara características sexuais. Agora podemos aplicar um filtro matemático: selecionamos uma dessas características sexuais, não importa qual seja - masculina ou feminina. Se uma pessoa tem, então multiplicamos por um, se não houver tal sinal, multiplicamos por zero. E então usamos a matemática escolar regular. Veja o que aconteceu.

Após multiplicação, redução e rearranjo, ficamos com dois subconjuntos: o subconjunto dos homens Bm e um subconjunto de mulheres Bw. Os matemáticos raciocinam aproximadamente da mesma maneira quando aplicam a teoria dos conjuntos na prática. Mas eles não nos contam os detalhes, mas nos dão o resultado final - “muitas pessoas consistem em um subconjunto de homens e um subconjunto de mulheres”. Naturalmente, você pode ter uma pergunta: até que ponto a matemática foi aplicada corretamente nas transformações descritas acima? Atrevo-me a garantir que, em essência, as transformações foram feitas corretamente, basta conhecer as bases matemáticas da aritmética, da álgebra booleana e de outros ramos da matemática. O que é isso? Em outra ocasião contarei a você sobre isso.

Quanto aos superconjuntos, você pode combinar dois conjuntos em um superconjunto selecionando a unidade de medida presente nos elementos desses dois conjuntos.

Como você pode ver, as unidades de medida e a matemática comum fazem da teoria dos conjuntos uma relíquia do passado. Um sinal de que nem tudo está bem com a teoria dos conjuntos é que os matemáticos criaram sua própria linguagem e notação para a teoria dos conjuntos. Os matemáticos agiram como antes os xamãs. Somente os xamãs sabem como aplicar “corretamente” seu “conhecimento”. Eles nos ensinam esse “conhecimento”.

Concluindo, quero mostrar como os matemáticos manipulam
Digamos que Aquiles corra dez vezes mais rápido que a tartaruga e esteja mil passos atrás dela. Durante o tempo que Aquiles leva para percorrer essa distância, a tartaruga rastejará cem passos na mesma direção. Quando Aquiles dá cem passos, a tartaruga rasteja mais dez passos e assim por diante. O processo continuará ad infinitum, Aquiles nunca alcançará a tartaruga.

Esse raciocínio tornou-se um choque lógico para todas as gerações subsequentes. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert... Todos consideraram a aporia de Zenão de uma forma ou de outra. O choque foi tão forte que " ... as discussões continuam até hoje; a comunidade científica ainda não foi capaz de chegar a uma opinião comum sobre a essência dos paradoxos ... análise matemática, teoria dos conjuntos, novas abordagens físicas e filosóficas estiveram envolvidas no estudo da questão ; nenhum deles se tornou uma solução geralmente aceita para o problema..."[Wikipedia, "Aporia de Zenão". Todos entendem que estão sendo enganados, mas ninguém entende em que consiste o engano.

Do ponto de vista matemático, Zenão, em sua aporia, demonstrou claramente a transição da quantidade para. Esta transição implica aplicação em vez de permanente. Pelo que entendi, o aparato matemático para usar unidades de medida variáveis ​​ou ainda não foi desenvolvido ou não foi aplicado à aporia de Zenão. Aplicar nossa lógica usual nos leva a uma armadilha. Nós, devido à inércia do pensamento, aplicamos unidades constantes de tempo ao valor recíproco. Do ponto de vista físico, parece que o tempo está desacelerando até parar completamente no momento em que Aquiles alcança a tartaruga. Se o tempo parar, Aquiles não poderá mais fugir da tartaruga.

Se invertermos a nossa lógica habitual, tudo se encaixará. Aquiles corre com velocidade constante. Cada segmento subsequente de seu caminho é dez vezes mais curto que o anterior. Assim, o tempo gasto para superá-lo é dez vezes menor que o anterior. Se aplicarmos o conceito de “infinito” nesta situação, então seria correto dizer “Aquiles alcançará a tartaruga infinitamente rápido”.

Como evitar esta armadilha lógica? Permaneça em unidades de tempo constantes e não mude para unidades recíprocas. Na linguagem de Zenão é assim:

No tempo que Aquiles leva para correr mil passos, a tartaruga rastejará cem passos na mesma direção. Durante o próximo intervalo de tempo igual ao primeiro, Aquiles dará mais mil passos e a tartaruga rastejará cem passos. Agora Aquiles está oitocentos passos à frente da tartaruga.

Esta abordagem descreve adequadamente a realidade sem quaisquer paradoxos lógicos. Mas esta não é uma solução completa para o problema. A afirmação de Einstein sobre a irresistibilidade da velocidade da luz é muito semelhante à aporia de Zenão “Aquiles e a Tartaruga”. Ainda temos que estudar, repensar e resolver esse problema. E a solução não deve ser procurada em números infinitamente grandes, mas em unidades de medida.

Outra aporia interessante de Zenão fala de uma flecha voadora:

Uma flecha voadora está imóvel, pois em cada momento está em repouso, e como está em repouso em todos os momentos, está sempre em repouso.

Nesta aporia, o paradoxo lógico é superado de forma muito simples - basta esclarecer que a cada momento uma flecha voadora está em repouso em diferentes pontos do espaço, o que, na verdade, é movimento. Outro ponto precisa ser observado aqui. A partir de uma fotografia de um carro na estrada, é impossível determinar o fato de seu movimento ou a distância até ele. Para determinar se um carro está se movendo, você precisa de duas fotografias tiradas do mesmo ponto em momentos diferentes, mas não pode determinar a distância delas. Para determinar a distância até um carro, você precisa de duas fotografias tiradas de diferentes pontos do espaço em um momento, mas a partir delas você não pode determinar o fato do movimento (é claro, você ainda precisa de dados adicionais para cálculos, a trigonometria irá ajudá-lo ). O que quero chamar especial atenção é que dois pontos no tempo e dois pontos no espaço são coisas diferentes que não devem ser confundidas, porque proporcionam oportunidades diferentes de investigação.
Vou mostrar o processo com um exemplo. Selecionamos o “sólido vermelho em uma espinha” - este é o nosso “todo”. Ao mesmo tempo, vemos que essas coisas estão com arco e outras sem arco. Depois disso, selecionamos parte do “todo” e formamos um conjunto “com laço”. É assim que os xamãs obtêm seu alimento, vinculando sua teoria dos conjuntos à realidade.

Agora vamos fazer um pequeno truque. Vamos pegar “sólido com espinha com laço” e combinar esses “todos” de acordo com a cor, selecionando os elementos vermelhos. Temos muito "vermelho". Agora a questão final: os conjuntos resultantes “com laço” e “vermelho” são o mesmo conjunto ou dois conjuntos diferentes? Somente os xamãs sabem a resposta. Mais precisamente, eles próprios não sabem de nada, mas como dizem, assim será.

Este exemplo simples mostra que a teoria dos conjuntos é completamente inútil quando se trata da realidade. Qual é o segredo? Formamos um conjunto de “sólido vermelho com uma espinha e um laço”. A formação ocorreu em quatro unidades de medida diferentes: cor (vermelho), resistência (sólida), rugosidade (espinhosa), decoração (com laço). Somente um conjunto de unidades de medida nos permite descrever adequadamente objetos reais na linguagem da matemática. Isto é o que parece.

A letra “a” com índices diferentes indica diferentes unidades de medida. As unidades de medida pelas quais o “todo” é distinguido na fase preliminar são destacadas entre parênteses. A unidade de medida pela qual o conjunto é formado é retirada dos colchetes. A última linha mostra o resultado final - um elemento do conjunto. Como você pode ver, se usarmos unidades de medida para formar um conjunto, o resultado não dependerá da ordem de nossas ações. E isso é matemática, e não a dança dos xamãs com pandeiros. Os xamãs podem “intuitivamente” chegar ao mesmo resultado, argumentando que é “óbvio”, porque as unidades de medida não fazem parte do seu arsenal “científico”.

Usando unidades de medida, é muito fácil dividir um conjunto ou combinar vários conjuntos em um superconjunto. Vamos dar uma olhada mais de perto na álgebra desse processo.

Teorema da área do triângulo

Teorema 1

A área de um triângulo é igual à metade do produto dos dois lados pelo seno do ângulo entre esses lados.

Prova.

Seja-nos dado um triângulo arbitrário $ABC$. Vamos denotar os comprimentos dos lados deste triângulo como $BC=a$, $AC=b$. Vamos introduzir um sistema de coordenadas cartesianas, de modo que o ponto $C=(0,0)$, o ponto $B$ esteja no semieixo direito $Ox$ e o ponto $A$ esteja no primeiro quadrante de coordenadas. Vamos desenhar a altura $h$ do ponto $A$ (Fig. 1).

Figura 1. Ilustração do Teorema 1

A altura $h$ é igual à ordenada do ponto $A$, portanto

Teorema dos senos

Teorema 2

Os lados de um triângulo são proporcionais aos senos dos ângulos opostos.

Prova.

Seja-nos dado um triângulo arbitrário $ABC$. Vamos denotar os comprimentos dos lados deste triângulo como $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (Fig. 2).

Figura 2.

Vamos provar isso

Pelo Teorema 1, temos

Igualando-os em pares, obtemos que

Teorema do cosseno

Teorema 3

O quadrado de um lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados do triângulo, sem o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo entre esses lados.

Prova.

Seja-nos dado um triângulo arbitrário $ABC$. Vamos denotar os comprimentos de seus lados como $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. Vamos introduzir um sistema de coordenadas cartesianas, de modo que o ponto $A=(0,0)$, o ponto $B$ esteja no semieixo positivo $Ox$ e o ponto $C$ esteja no primeiro quadrante de coordenadas (Fig. 3).

Figura 3.

Vamos provar isso

Neste sistema de coordenadas, obtemos que

Encontre o comprimento do lado $BC$ usando a fórmula da distância entre os pontos

Um exemplo de problema usando esses teoremas

Exemplo 1

Prove que o diâmetro do círculo circunscrito de um triângulo arbitrário é igual à razão entre qualquer lado do triângulo e o seno do ângulo oposto a esse lado.

Solução.

Seja-nos dado um triângulo arbitrário $ABC$. $R$ é o raio do círculo circunscrito. Vamos desenhar o diâmetro $BD$ (Fig. 4).

A área de um triângulo é igual à metade do produto de seus lados pelo seno do ângulo entre eles.

Prova:

Considere um triângulo arbitrário ABC. Seja o lado BC = a, o lado CA = b e S a área deste triângulo. É necessário provar que S = (1/2)*a*b*sin(C).

Para começar, vamos introduzir um sistema de coordenadas retangulares e colocar a origem das coordenadas no ponto C. Vamos posicionar nosso sistema de coordenadas de forma que o ponto B esteja na direção positiva do eixo Cx e o ponto A tenha uma ordenada positiva.

Se tudo for feito corretamente, você deverá obter o seguinte desenho.

A área de um determinado triângulo pode ser calculada usando a seguinte fórmula: S = (1/2)*a*h, onde h é a altura do triângulo. No nosso caso, a altura do triângulo h é igual à ordenada do ponto A, ou seja, h = b*sin(C).

Levando em consideração os resultados obtidos, a fórmula da área de um triângulo pode ser reescrita da seguinte forma: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.

Solução de problemas

Tarefa 1. Encontre a área do triângulo ABC, se a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, ângulo A = 60 graus b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, ângulo B = 45 graus c) AC = 14 cm, CB = 7 cm, ângulo C = 48 graus.

De acordo com o teorema provado acima, a área S do triângulo ABC é igual a:

S = (1/2)*AB*AC*sen(A).

Vamos fazer os cálculos:

a) S = ((1/2) *6*√8*4*sen(60˚)) = 12*√6 cm^2.

b) S = (1/2)*BC*BA*sen(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.

c) S = (1/2)*CA*CB*sen(C) = ½*14*7*sen48˚ cm^2.

Calculamos o valor do seno de um ângulo em uma calculadora ou usamos os valores da tabela de valores dos ângulos trigonométricos. Responder:

a) 12*√6cm^2.

c) aproximadamente 36,41 cm^2.

Problema 2. A área do triângulo ABC é 60 cm^2. Encontre o lado AB se AC = 15 cm, ângulo A = 30˚.

Seja S a área do triângulo ABC. Pelo teorema da área de um triângulo temos:

S = (1/2)*AB*AC*sen(A).

Vamos substituir nele os valores que temos:

60 = (1/2)*AB*15*sen30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

A partir daqui expressamos o comprimento do lado AB: AB = (60*4)/15 = 16.

Se o problema fornecer os comprimentos de dois lados de um triângulo e o ângulo entre eles, você poderá aplicar a fórmula da área de um triângulo através do seno.

Um exemplo de cálculo da área de um triângulo usando seno. Os lados dados são a = 3, b = 4 e o ângulo γ = 30°. O seno de um ângulo de 30° é 0,5

A área do triângulo será de 3 metros quadrados. cm.

A área será igual à metade do quadrado do lado multiplicado pela fração. Seu numerador é o produto dos senos dos ângulos adjacentes e seu denominador é o seno do ângulo oposto. Agora calculamos a área usando as seguintes fórmulas:

Por exemplo, dado um triângulo com lado a=3 e ângulos γ=60°, β=60°. Calcule o terceiro ângulo:
Substituindo os dados na fórmula
Descobrimos que a área do triângulo é 3,87 metros quadrados. cm.

II. Área de um triângulo através do cosseno

Para encontrar a área de um triângulo, você precisa saber os comprimentos de todos os lados. Usando o teorema do cosseno, você pode encontrar lados desconhecidos e só então usá-los.
De acordo com o teorema do cosseno, o quadrado do lado desconhecido de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos lados restantes menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo entre eles.

Do teorema derivamos fórmulas para encontrar o comprimento do lado desconhecido:

Sabendo encontrar o lado que falta, tendo dois lados e o ângulo entre eles, você pode calcular facilmente a área. A fórmula da área de um triângulo através do cosseno ajuda a encontrar soluções para vários problemas de forma rápida e fácil.

Um exemplo de cálculo da fórmula da área de um triângulo usando cosseno
Dado um triângulo com lados conhecidos a = 3, b = 4 e ângulo γ = 45°. Primeiro, vamos encontrar o lado que falta Com. Cosseno 45°=0,7. Para fazer isso, substituímos os dados na equação derivada do teorema do cosseno.
Agora usando a fórmula, encontramos