Área de figuras diferentes. Qual é a área de uma figura? Proteção de informações pessoais

Área de uma figura geométrica- uma característica numérica de uma figura geométrica mostrando o tamanho desta figura (parte da superfície limitada pelo contorno fechado desta figura). O tamanho da área é expresso pelo número de unidades quadradas nela contidas.

Fórmulas de área de triângulo

Fórmula para a área de um triângulo por lado e altura
Área de um triângulo igual à metade do produto do comprimento de um lado de um triângulo e o comprimento da altitude traçada para esse lado
Fórmula para a área de um triângulo com base em três lados e no raio do círculo circunscrito
Fórmula para a área de um triângulo baseada em três lados e no raio do círculo inscrito
Área de um triânguloé igual ao produto do semiperímetro do triângulo e o raio do círculo inscrito.

Fórmulas de área quadrada

Fórmula para a área de um quadrado pelo comprimento do lado
Área quadrada igual ao quadrado do comprimento do seu lado.
Fórmula para a área de um quadrado ao longo da diagonal
Área quadrada igual à metade do quadrado do comprimento de sua diagonal.
S = 1 2
2

Fórmula de área retangular

Área de um retângulo

Fórmulas de área do paralelogramo

Fórmula para a área de um paralelogramo com base no comprimento e altura do lado
Área de um paralelogramo
Fórmula para a área de um paralelogramo baseada em dois lados e no ângulo entre eles
Área de um paralelogramoé igual ao produto dos comprimentos de seus lados multiplicado pelo seno do ângulo entre eles.
a b sen α

Fórmulas para a área de um losango

Fórmula para a área de um losango com base no comprimento e altura do lado
Área de um losango igual ao produto do comprimento do seu lado e o comprimento da altura abaixada para este lado.
Fórmula para a área de um losango com base no comprimento e ângulo do lado
Área de um losangoé igual ao produto do quadrado do comprimento do seu lado e o seno do ângulo entre os lados do losango.
Fórmula para a área de um losango com base no comprimento de suas diagonais
Área de um losango igual à metade do produto dos comprimentos de suas diagonais.

Fórmulas de área trapezoidal

Fórmula de Heron para trapézio
Onde S é a área do trapézio,
- comprimentos das bases do trapézio,
- comprimentos dos lados do trapézio,

Como encontrar a área de uma figura?

Conhecer e saber calcular as áreas de diversas figuras é necessário não apenas para resolver problemas geométricos simples. Não se pode prescindir deste conhecimento na elaboração ou verificação de orçamentos de reparação de instalações, calculando a quantidade de consumíveis necessários. Então, vamos descobrir como encontrar áreas de diferentes formas.

A parte do plano contida em um contorno fechado é chamada de área deste plano. A área é expressa pelo número de unidades quadradas contidas nela.

Para calcular a área das formas geométricas básicas, você deve usar a fórmula correta.

Área de um triângulo

Designações:

Se h, a são conhecidos, então a área do triângulo desejado é determinada como o produto dos comprimentos do lado e a altura do triângulo baixado para este lado, dividido ao meio: S=(a h)/2
Se a, b, c são conhecidos, então a área necessária é calculada usando a fórmula de Heron: a raiz quadrada extraída do produto da metade do perímetro do triângulo e três diferenças da metade do perímetro e de cada lado do triângulo: S = √ (p (p - a) (p - b)·(p - c)).
Se a, b, γ são conhecidos, então a área do triângulo é determinada como metade do produto de 2 lados, multiplicado pelo valor do seno do ângulo entre esses lados: S=(a b sen γ)/2
Se a, b, c, R são conhecidos, então a área necessária é determinada dividindo o produto dos comprimentos de todos os lados do triângulo por quatro raios do círculo circunscrito: S=(a b c)/4R
Se p, r são conhecidos, então a área necessária do triângulo é determinada multiplicando metade do perímetro pelo raio do círculo inscrito nele: S=p·r

Área quadrada

Designações:

Se o lado for conhecido, então a área de uma determinada figura é determinada como o quadrado do comprimento de seu lado: S=uma 2
Se d for conhecido, então a área do quadrado é determinada como metade do quadrado do comprimento de sua diagonal: S=d 2/2

Área de um retângulo

Designações:

S - área determinada,
a, b - comprimentos dos lados do retângulo.

Se a, b são conhecidos, então a área de um determinado retângulo é determinada pelo produto dos comprimentos de seus dois lados: S=uma b
Se os comprimentos dos lados forem desconhecidos, a área do retângulo deverá ser dividida em triângulos. Neste caso, a área de um retângulo é determinada como a soma das áreas dos seus triângulos constituintes.

Área de um paralelogramo

Designações:

S é a área necessária,
a, b - comprimentos laterais,
h é o comprimento da altura de um determinado paralelogramo,
d1, d2 - comprimentos de duas diagonais,
α é o ângulo entre os lados,
γ é o ângulo entre as diagonais.

Se a, h são conhecidos, então a área necessária é determinada multiplicando os comprimentos do lado e a altura abaixada para este lado: S=a h
Se a, b, α são conhecidos, então a área do paralelogramo é determinada multiplicando os comprimentos dos lados do paralelogramo e o seno do ângulo entre esses lados: S=a b sin α
Se d 1 , d 2 , γ são conhecidos, então a área do paralelogramo é determinada como metade do produto dos comprimentos das diagonais e o seno do ângulo entre essas diagonais: S=(d 1 d 2 sinγ) /2

Área de um losango

Designações:

S é a área necessária,
a - comprimento lateral,
h - altura comprimento,
α é o menor ângulo entre os dois lados,
d1, d2 - comprimentos de duas diagonais.

Se a, h são conhecidos, então a área do losango é determinada multiplicando o comprimento do lado pelo comprimento da altura que desce para este lado: S=uma h
Se a, α são conhecidos, então a área do losango é determinada multiplicando o quadrado do comprimento do lado pelo seno do ângulo entre os lados: S=a 2 sin α
Se d 1 e d 2 são conhecidos, então a área necessária é determinada como metade do produto dos comprimentos das diagonais do losango: S=(d 1 d 2)/2

Área do trapézio

Designações:

Se a, b, c, d são conhecidos, então a área necessária é determinada pela fórmula: S= (a+b) /2 *√.
Com a, b, h conhecidos, a área necessária é determinada como o produto da metade da soma das bases e da altura do trapézio: S=(a+b)/2 h

Área de um quadrilátero convexo

Designações:

Se d 1 , d 2 , α são conhecidos, então a área de um quadrilátero convexo é determinada como metade do produto das diagonais do quadrilátero, multiplicado pelo seno do ângulo entre essas diagonais: S=(d 1 · d 2 · sen α)/2
Para p, r conhecidos, a área de um quadrilátero convexo é determinada como o produto do semiperímetro do quadrilátero e o raio do círculo inscrito neste quadrilátero: S=p r
Se a, b, c, d, θ são conhecidos, então a área de um quadrilátero convexo é determinada como a raiz quadrada do produto da diferença no semiperímetro e o comprimento de cada lado menos o produto do comprimentos de todos os lados e o quadrado do cosseno da metade da soma de dois ângulos opostos: S 2 = (p - a )(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos 2 ((α+ β)/2)

Área de um círculo

Designações:

Se r for conhecido, então a área necessária é determinada como o produto do número π e o raio quadrado: S=π r 2

Se d for conhecido, então a área do círculo é determinada como o produto do número π pelo quadrado do diâmetro dividido por quatro: S=(π d 2)/4

Área de uma figura complexa

Os complexos podem ser divididos em formas geométricas simples. A área de uma figura complexa é definida como a soma ou diferença das áreas de seus componentes. Considere, por exemplo, um anel.

Designação:

S - área do anel,
R, r - raios do círculo externo e do círculo interno, respectivamente,
D, d são os diâmetros dos círculos externo e interno, respectivamente.

Para encontrar a área do anel, você precisa subtrair a área da área do círculo maior círculo menor. S = S1-S2 = πR 2 -πr 2 = π (R 2 -r 2).

Assim, se R e r são conhecidos, então a área do anel é determinada como a diferença nos quadrados dos raios dos círculos externo e interno, multiplicados por pi: S=π(R 2 -r 2).

Se D e d forem conhecidos, então a área do anel é determinada como um quarto da diferença nos quadrados dos diâmetros dos círculos externo e interno, multiplicados por pi: S= (1/4)(D 2 -d 2) π.

Área de patch

Suponhamos que dentro de um quadrado (A) exista outro (B) (de tamanho menor), e precisamos encontrar a cavidade sombreada entre as figuras “A” e “B”. Digamos, a “moldura” de um pequeno quadrado. Por esta:

Encontre a área da figura “A” (calculada usando a fórmula para encontrar a área de um quadrado).
Da mesma forma, encontramos a área da figura “B”.
Subtraia a área “B” da área “A”. E assim obtemos a área da figura sombreada.

Agora você sabe como encontrar áreas de diferentes formas.

Aula: 5

Na minha opinião, a tarefa do professor não é apenas ensinar, mas desenvolver o interesse cognitivo no aluno. Por isso, sempre que possível, conecto os tópicos das aulas com as tarefas práticas.

Durante a aula, os alunos, sob orientação do professor, elaboram um plano de resolução de problemas para encontrar a área de uma “figura complexa” (para calcular estimativas de reparação), consolidam competências na resolução de problemas para encontrar a área; ocorre o desenvolvimento da atenção, capacidade para atividades de pesquisa, educação para a atividade e independência.

Trabalhar em dupla cria uma situação de comunicação entre quem tem conhecimento e quem o adquire; Este trabalho tem como base a melhoria da qualidade da formação na temática. Promove o desenvolvimento do interesse pelo processo de aprendizagem e uma assimilação mais profunda do material didático.

A aula não só sistematiza o conhecimento dos alunos, mas também contribui para o desenvolvimento de habilidades criativas e analíticas. A utilização de problemas com conteúdo prático em sala de aula permite mostrar a relevância do conhecimento matemático no dia a dia.

Lições objetivas:

Educacional:

consolidação do conhecimento das fórmulas da área de um retângulo, triângulo retângulo;
análise de tarefas de cálculo da área de uma figura “complexa” e métodos para realizá-las;
conclusão independente de tarefas para testar conhecimentos, habilidades e habilidades.

Educacional:

desenvolvimento de métodos de atividade mental e de pesquisa;
desenvolver a capacidade de ouvir e explicar o curso de uma decisão.

Educacional:

desenvolver as habilidades acadêmicas dos alunos;
cultivar uma cultura de discurso matemático oral e escrito;
desenvolver uma atitude amigável na sala de aula e a capacidade de trabalhar em grupos.

Tipo de aula: combinado.

Equipamento:

Matemática: livro didático para a 5ª série. Educação geral instituições/ N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov et al., M.: “Mnemosyne”, 2010.
Cartões para grupos de alunos com formas para calcular a área de uma forma complexa.
Ferramentas de desenho.

Plano de aula:

Tempo de organização.
Atualizando conhecimentos.
a) Questões teóricas (teste).
b) Declaração do problema.
Aprendeu novo material.
a) encontrar uma solução para o problema;
b) solução do problema.
Fixando o material.
a) resolução coletiva de problemas;
Minuto de educação física.
b) trabalho independente.
Trabalho de casa.
Resumo da lição. Reflexão.

Durante as aulas

I. Momento organizacional.

Começaremos a lição com estas palavras de despedida:

Matemática, amigos,
Absolutamente todo mundo precisa disso.
Trabalhe diligentemente nas aulas
E o sucesso certamente espera por você!

II. Atualizando conhecimentos.

A) Trabalho frontal com cartões sinalizadores (cada aluno possui cartões com os números 1, 2, 3, 4; ao responder uma questão da prova, o aluno levanta um cartão com o número da resposta correta).

1. Um centímetro quadrado é:

área de um quadrado com 1 cm de lado;
quadrado com lado 1 cm;
quadrado com perímetro de 1 cm.

2. A área da figura mostrada na figura é igual a:

8 dm;
8dm2;
15dm2.

3. É verdade que figuras iguais têm perímetros e áreas iguais?

4. A área de um retângulo é determinada pela fórmula:

S = a2;
S = 2 (a + b);
S = uma b.

5. A área da figura mostrada na figura é igual a:

12 cm;
8cm;
16 cm.

b) (Formulação do problema). Tarefa. Quanta tinta é necessária para pintar um piso que tem o seguinte formato (ver figura), se são consumidos 200 g de tinta por 1 m2?

III. Aprendendo novo material.

O que precisamos saber para resolver o último problema? (Encontre a área do piso que se parece com uma “figura complexa”.)

Os alunos formulam o tema e os objetivos da aula (se necessário, o professor ajuda).

Considere um retângulo ABCD. Vamos traçar uma linha nele KPMN, quebrando o retângulo ABCD em duas partes: ABNMPK E KPMNCD.

Qual é a área? ABCD? (15cm2)

Qual é a área da figura? ABMNPK? (7cm2)

Qual é a área da figura? KPMNCD? (8cm2)

Analise seus resultados. (15 = = 7 + 8)

Conclusão? (A área de toda a figura é igual à soma das áreas de suas partes.)

S = S 1 + S 2

Como podemos aplicar essa propriedade para resolver nosso problema? (Vamos dividir uma figura complexa em partes, encontrar as áreas das partes e depois a área da figura inteira.)

S 1 = 7 2 = 14 (m 2)
S 2 = (7 – 4) (8 – 2 – 3) = 3 3 = 9 (m 2)
S 3 = 7 3 = 21 (m 2)
S = S 1 + S 2 + S 3 = 14 + 9 + 21 = 44 (m2)

Vamos fazer as pazes planeje resolver problemas para encontrar a área de uma “figura complexa”:

Dividimos a figura em figuras simples.
Encontrar as áreas de figuras simples.

a) Tarefa 1. Quantos ladrilhos serão necessários para projetar um terreno com as seguintes dimensões:

S = S 1 + S 2
S 1 = (60 – 30) 20 = 600 (dm 2)
S 2 = 30 50 = 1500 (dm 2)
S = 600 + 1500 = 2100 (dm 2)

Existe outra maneira de resolver? (Estamos considerando as opções propostas.)

Resposta: 2100 dm 2.

Tarefa 2. (decisão coletiva no quadro e em cadernos.) Quantos m2 de linóleo são necessários para reformar uma sala que tem o seguinte formato:

S = S 1 + S 2
S 1 = 3 2 = 6 (m 2)
S 2 = ((5 – 3) 2) : 2 = 2 (m 2)
S = 6 + 2 = 8 (m2)

Resposta: 8 m2.

Minuto de educação física.

E agora, pessoal, levantem-se.
Eles rapidamente levantaram as mãos.
Para os lados, para frente, para trás.
Virou à direita, à esquerda.
Eles se sentaram em silêncio e voltaram ao trabalho.

b) Trabalho independente (educacional) .

Os alunos são divididos em grupos (os números 5 a 8 são mais fortes). Cada grupo é uma equipe de reparos.

Tarefa para as equipes: determine a quantidade de tinta necessária para pintar um piso que tenha o formato da figura mostrada no cartão, se forem necessários 200 g de tinta por 1 m2.

Você constrói essa figura em seu caderno e anota todos os dados e inicia a tarefa. Você pode discutir a solução (mas apenas no seu grupo!). Se algum grupo lidar com a tarefa rapidamente, eles receberão uma tarefa adicional (depois de verificar o trabalho independente).

Tarefas para grupos:

V. Lição de casa.

parágrafo 18, nº 718, nº 749.

Tarefa adicional. Diagrama da planta do Jardim de Verão (São Petersburgo). Calcule sua área.

VI. Resumo da lição.

Reflexão. Continue a frase:

Hoje eu descobri...
Foi interessante…
Foi difícil…
Agora eu posso…
Me deu uma lição para a vida...

Na seção anterior, dedicada à análise do significado geométrico de uma integral definida, recebemos uma série de fórmulas para calcular a área de um trapézio curvilíneo:

S (G) = ∫ a b f (x) d x para uma função contínua e não negativa y = f (x) no intervalo [ a ; b] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x para uma função contínua e não positiva y = f (x) no intervalo [ a ; b] .

Essas fórmulas são aplicáveis à resolução de problemas relativamente simples. Na realidade, muitas vezes teremos que trabalhar com números mais complexos. Nesse sentido, dedicaremos esta seção à análise de algoritmos de cálculo de área de figuras que são limitadas por funções de forma explícita, ou seja, como y = f(x) ou x = g(y).

Teorema

Sejam as funções y = f 1 (x) e y = f 2 (x) definidas e contínuas no intervalo [ a ; b ] , e f 1 (x) ≤ f 2 (x) para qualquer valor x de [ a ; b] . Então a fórmula para calcular a área da figura G, delimitada pelas retas x = a, x = b, y = f 1 (x) e y = f 2 (x) ficará como S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Uma fórmula semelhante será aplicável para a área de uma figura delimitada pelas linhas y = c, y = d, x = g 1 (y) e x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Prova

Vejamos três casos para os quais a fórmula será válida.

No primeiro caso, levando em consideração a propriedade de aditividade da área, a soma das áreas da figura original G e do trapézio curvilíneo G 1 é igual à área da figura G 2. Significa que

Portanto, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Podemos realizar a última transição utilizando a terceira propriedade da integral definida.

No segundo caso, a igualdade é verdadeira: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

A ilustração gráfica será semelhante a:

Se ambas as funções forem não positivas, obtemos: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . A ilustração gráfica será semelhante a:

Vamos considerar o caso geral quando y = f 1 (x) e y = f 2 (x) cruzam o eixo O x.

Denotamos os pontos de interseção como x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Esses pontos dividem o segmento [a; b ] em n partes x i - 1 ; x eu, eu = 1, 2, . . . , n, onde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Por isso,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Podemos fazer a última transição utilizando a quinta propriedade do integral definido.

Vamos ilustrar o caso geral no gráfico.

A fórmula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x pode ser considerada comprovada.

Agora vamos analisar exemplos de cálculo da área de figuras que são limitadas pelas retas y = f (x) e x = g (y).

Começaremos nossa consideração de qualquer um dos exemplos construindo um gráfico. A imagem nos permitirá representar formas complexas como uniões de formas mais simples. Se construir gráficos e figuras sobre eles for difícil para você, você pode estudar a seção sobre funções elementares básicas, transformação geométrica de gráficos de funções, bem como construir gráficos enquanto estuda uma função.

Exemplo 1

É necessário determinar a área da figura, que é limitada pela parábola y = - x 2 + 6 x - 5 e pelas retas y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Solução

Vamos desenhar as linhas do gráfico no sistema de coordenadas cartesianas.

No segmento [ 1 ; 4 ] o gráfico da parábola y = - x 2 + 6 x - 5 está localizado acima da linha reta y = - 1 3 x - 1 2. Nesse sentido, para obter a resposta utilizamos a fórmula obtida anteriormente, bem como o método de cálculo da integral definida pela fórmula de Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Resposta: S(G) = 13

Vejamos um exemplo mais complexo.

Exemplo 2

É necessário calcular a área da figura, que é limitada pelas retas y = x + 2, y = x, x = 7.

Solução

Neste caso, temos apenas uma reta localizada paralela ao eixo x. Isso é x = 7. Isto exige que nós mesmos encontremos o segundo limite da integração.

Vamos construir um gráfico e traçar nele as linhas fornecidas na definição do problema.

Tendo o gráfico diante de nossos olhos, podemos facilmente determinar que o limite inferior de integração será a abcissa do ponto de intersecção do gráfico da reta y = x e da semiparábola y = x + 2. Para encontrar a abscissa usamos as igualdades:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Acontece que a abcissa do ponto de intersecção é x = 2.

Chamamos sua atenção para o fato de que no exemplo geral do desenho, as retas y = x + 2, y = x se cruzam no ponto (2; 2), portanto tais cálculos detalhados podem parecer desnecessários. Fornecemos aqui uma solução tão detalhada apenas porque em casos mais complexos a solução pode não ser tão óbvia. Isso significa que é sempre melhor calcular analiticamente as coordenadas da intersecção das linhas.

No intervalo [ 2 ; 7] o gráfico da função y = x está localizado acima do gráfico da função y = x + 2. Vamos aplicar a fórmula para calcular a área:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Resposta: S (G) = 59 6

Exemplo 3

É necessário calcular a área da figura, que é limitada pelos gráficos das funções y = 1 x e y = - x 2 + 4 x - 2.

Solução

Vamos traçar as linhas no gráfico.

Vamos definir os limites da integração. Para fazer isso, determinamos as coordenadas dos pontos de intersecção das retas igualando as expressões 1 x e - x 2 + 4 x - 2. Desde que x não seja zero, a igualdade 1 x = - x 2 + 4 x - 2 torna-se equivalente à equação do terceiro grau - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 com coeficientes inteiros. Para refrescar sua memória sobre o algoritmo para resolver tais equações, podemos consultar a seção “Resolvendo equações cúbicas”.

A raiz desta equação é x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Dividindo a expressão - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 pelo binômio x - 1, obtemos: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Podemos encontrar as raízes restantes da equação x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Encontramos o intervalo x ∈ 1; 3 + 13 2, em que a figura G está contida acima da linha azul e abaixo da linha vermelha. Isso nos ajuda a determinar a área da figura:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Resposta: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Exemplo 4

É necessário calcular a área da figura, que é limitada pelas curvas y = x 3, y = - log 2 x + 1 e pelo eixo das abcissas.

Solução

Vamos traçar todas as linhas do gráfico. Podemos obter o gráfico da função y = - log 2 x + 1 do gráfico y = log 2 x se o posicionarmos simetricamente em torno do eixo x e o movermos uma unidade para cima. A equação do eixo x é y = 0.

Vamos marcar os pontos de intersecção das linhas.

Como pode ser visto na figura, os gráficos das funções y = x 3 e y = 0 se cruzam no ponto (0; 0). Isso acontece porque x = 0 é a única raiz real da equação x 3 = 0.

x = 2 é a única raiz da equação - log 2 x + 1 = 0, então os gráficos das funções y = - log 2 x + 1 e y = 0 se cruzam no ponto (2; 0).

x = 1 é a única raiz da equação x 3 = - log 2 x + 1 . A este respeito, os gráficos das funções y = x 3 e y = - log 2 x + 1 se cruzam no ponto (1; 1). A última afirmação pode não ser óbvia, mas a equação x 3 = - log 2 x + 1 não pode ter mais de uma raiz, pois a função y = x 3 é estritamente crescente, e a função y = - log 2 x + 1 é estritamente decrescente.

A solução adicional envolve várias opções.

Opção 1

Podemos imaginar a figura G como a soma de dois trapézios curvilíneos localizados acima do eixo x, o primeiro dos quais está localizado abaixo da linha média do segmento x ∈ 0; 1, e o segundo está abaixo da linha vermelha no segmento x ∈ 1; 2. Isso significa que a área será igual a S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Opção nº 2

A figura G pode ser representada como a diferença de duas figuras, a primeira das quais está localizada acima do eixo x e abaixo da linha azul no segmento x ∈ 0; 2, e a segunda entre as linhas vermelha e azul no segmento x ∈ 1; 2. Isso nos permite encontrar a área da seguinte forma:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Neste caso, para encontrar a área você terá que usar uma fórmula da forma S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Na verdade, as linhas que limitam a figura podem ser representadas como funções do argumento y.

Vamos resolver as equações y = x 3 e - log 2 x + 1 em relação a x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Obtemos a área necessária:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Resposta: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Exemplo 5

É necessário calcular a área da figura, que é limitada pelas retas y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Solução

Com uma linha vermelha traçamos a linha definida pela função y = x. Desenhamos a linha y = - 1 2 x + 4 em azul e a linha y = 2 3 x - 3 em preto.

Vamos marcar os pontos de intersecção.

Vamos encontrar os pontos de intersecção dos gráficos das funções y = x e y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Verifique: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 não É a solução para a equação x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 é a solução para a equação ⇒ (4; 2) ponto de intersecção i y = x e y = - 1 2 x + 4

Vamos encontrar o ponto de intersecção dos gráficos das funções y = x e y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Verifique: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 é a solução para a equação ⇒ (9 ; 3) ponto a s y = x e y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Não há solução para a equação

Vamos encontrar o ponto de intersecção das retas y = - 1 2 x + 4 e y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6; 1 ) ponto de intersecção y = - 1 2 x + 4 e y = 2 3 x - 3

Método número 1

Vamos imaginar a área da figura desejada como a soma das áreas das figuras individuais.

Então a área da figura é:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Método número 2

A área da figura original pode ser representada como a soma de duas outras figuras.

A seguir resolvemos a equação da reta em relação a x, e só depois aplicamos a fórmula de cálculo da área da figura.

y = x ⇒ x = y 2 linha vermelha y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 linha preta y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Então a área é:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Como você pode ver, os valores são os mesmos.

Resposta: S (G) = 11 3

Resultados

Para encontrar a área de uma figura limitada por determinadas retas, precisamos construir retas em um plano, encontrar seus pontos de interseção e aplicar a fórmula para encontrar a área. Nesta seção, examinamos as variantes mais comuns de tarefas.

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Existe um número infinito de figuras planas de vários formatos, regulares e irregulares. A propriedade comum de todas as figuras é que cada uma delas possui uma área. As áreas das figuras são as dimensões da parte do plano ocupada por essas figuras, expressas em determinadas unidades. Este valor é sempre expresso como um número positivo. A unidade de medida é a área de um quadrado cujo lado é igual a uma unidade de comprimento (por exemplo, um metro ou um centímetro). A área aproximada de qualquer figura pode ser calculada multiplicando o número de quadrados unitários em que ela é dividida pela área de um quadrado.

Outras definições deste conceito são as seguintes:

1. As áreas das figuras simples são quantidades escalares positivas que satisfazem as condições:

Figuras iguais têm áreas iguais;

Se uma figura for dividida em partes (figuras simples), então sua área é a soma das áreas dessas figuras;

Um quadrado com um lado de uma unidade de medida serve como unidade de área.

2. As áreas de figuras de formas complexas (polígonos) são quantidades positivas com as seguintes propriedades:

Polígonos iguais têm os mesmos tamanhos de área;

Se um polígono for composto por vários outros polígonos, sua área é igual à soma das áreas destes últimos. Esta regra é válida para polígonos não sobrepostos.

É aceito como axioma que as áreas das figuras (polígonos) são quantidades positivas.

A definição da área de um círculo é dada separadamente como o valor para o qual tende a área de um determinado círculo inscrito em um círculo - apesar de o número de seus lados tender ao infinito.

As áreas das figuras de formato irregular (figuras arbitrárias) não têm definição, apenas são determinados os métodos de cálculo.

Já na antiguidade, o cálculo de áreas era uma tarefa prática importante na determinação do tamanho dos terrenos. As regras para calcular áreas ao longo de várias centenas de anos foram formuladas por cientistas gregos e apresentadas nos Elementos de Euclides como teoremas. É interessante que as regras para determinar as áreas de figuras simples nelas sejam as mesmas que atualmente. As áreas com contorno curvo foram calculadas utilizando a passagem até o limite.

Calcular as áreas de um retângulo ou quadrado simples), familiar a todos na escola, é bastante simples. Nem é necessário memorizar as fórmulas das áreas das figuras que contêm símbolos alfabéticos. Basta lembrar algumas regras simples:

2. A área de um retângulo é calculada multiplicando seu comprimento pela largura. É necessário que o comprimento e a largura sejam expressos nas mesmas unidades de medida.

3. Calculamos a área de uma figura complexa dividindo-a em várias figuras simples e somando as áreas resultantes.

4. A diagonal de um retângulo o divide em dois triângulos cujas áreas são iguais e iguais à metade de sua área.

5. A área de um triângulo é calculada como metade do produto de sua altura e base.

6. A área de um círculo é igual ao produto do quadrado do raio pelo conhecido número “π”.

7. Calculamos a área de um paralelogramo como o produto dos lados adjacentes e o seno do ângulo entre eles.

8. A área de um losango é ½ do resultado da multiplicação das diagonais pelo seno do ângulo interno.

9. Encontramos a área de um trapézio multiplicando sua altura pelo comprimento da linha média, que é igual à média aritmética das bases. Outra opção para determinar a área de um trapézio é multiplicar suas diagonais e o seno do ângulo entre elas.

Para maior clareza, as crianças do ensino fundamental geralmente recebem tarefas: encontrar a área de uma figura desenhada no papel usando uma paleta ou uma folha de papel transparente dividida em quadrados. Tal folha de papel é colocada sobre a figura que está sendo medida, conta-se o número de células completas (unidades de área) que cabem em seu contorno e, em seguida, o número de células incompletas, que é dividido pela metade.