Definições de módulo. Qual é o módulo de um número em matemática

Instruções

Se um módulo for representado como uma função contínua, então o valor do seu argumento pode ser positivo ou negativo: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

O módulo é zero e o módulo de qualquer número positivo é. Se o argumento for negativo, depois de abrir os colchetes, seu sinal muda de menos para mais. Com base nisso, conclui-se que os módulos dos opostos são iguais: |-x| = |x| =x.

O módulo de um número complexo é encontrado pela fórmula: |a| = √b² + c², e |a + b| ≤ |a| + |b|. Se o argumento contiver um número positivo como multiplicador, ele poderá ser retirado do sinal de colchete, por exemplo: |4*b| = 4*|b|.

Se o argumento for apresentado como um número complexo, então, por conveniência de cálculo, é permitida a ordem dos termos da expressão entre colchetes: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 porque (2-3) é menor que zero.

O argumento elevado a uma potência está simultaneamente sob o sinal de uma raiz da mesma ordem - é resolvido usando: √a² = |a| = ±a.

Se você tiver uma tarefa em que a condição para expandir os colchetes do módulo não for especificada, não há necessidade de se livrar deles - esse será o resultado final. E se precisar abri-los, deverá indicar o sinal ±. Por exemplo, você precisa encontrar o valor da expressão √(2 * (4-b))². Sua solução é assim: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Como o sinal da expressão 4-b é desconhecido, deve ser deixado entre parênteses. Se você adicionar uma condição adicional, por exemplo, |4-b| >

O módulo de zero é igual a zero e o módulo de qualquer número positivo é igual a ele mesmo. Se o argumento for negativo, depois de abrir os colchetes, seu sinal muda de menos para mais. Com base nisso, conclui-se que os módulos de números opostos são iguais: |-x| = |x| =x.

O módulo de um número complexo é encontrado pela fórmula: |a| = √b² + c², e |a + b| ≤ |a| + |b|. Se o argumento contiver um número inteiro positivo como fator, ele poderá ser retirado do sinal de colchete, por exemplo: |4*b| = 4*|b|.

O módulo não pode ser negativo, então qualquer número negativo é convertido em positivo: |-x| =x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Se o argumento for apresentado na forma de um número complexo, então, para conveniência dos cálculos, é permitido alterar a ordem dos termos da expressão entre colchetes: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 porque (2-3) é menor que zero.

Se você tiver uma tarefa em que a condição para expandir os colchetes do módulo não for especificada, não há necessidade de se livrar deles - esse será o resultado final. E se precisar abri-los, deverá indicar o sinal ±. Por exemplo, você precisa encontrar o valor da expressão √(2 * (4-b))². Sua solução é assim: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Como o sinal da expressão 4-b é desconhecido, deve ser deixado entre parênteses. Se você adicionar uma condição adicional, por exemplo, |4-b| > 0, então o resultado será 2 * |4-b| = 2 *(4 - b). O elemento desconhecido também pode ser definido como um número específico, o que deve ser levado em consideração porque isso influenciará o sinal da expressão.

Módulo de números esse número em si é chamado se for não negativo, ou o mesmo número com sinal oposto se for negativo.

Por exemplo, o módulo do número 5 é 5, e o módulo do número –5 também é 5.

Ou seja, o módulo de um número é entendido como o valor absoluto, o valor absoluto desse número sem levar em conta o seu sinal.

Denotado da seguinte forma: |5|, | X|, |A| etc.

Regra:

Explicação:

|5| = 5
É assim: o módulo do número 5 é 5.

|–5| = –(–5) = 5
É assim: o módulo do número –5 é 5.

|0| = 0
É assim: o módulo de zero é zero.

Propriedades do módulo:

Significado geométrico do módulo.

O módulo de um número é a distância de zero até esse número.

Por exemplo, tomemos novamente o número 5. A distância de 0 a 5 é a mesma que de 0 a –5 (Fig. 1). E quando é importante sabermos apenas o comprimento do segmento, então o sinal não tem apenas significado, mas também significado. No entanto, isso não é inteiramente verdade: medimos distância apenas com números positivos – ou números não negativos. Seja o preço de divisão da nossa escala de 1 cm, então o comprimento do segmento de zero a 5 é de 5 cm, de zero a –5 também é de 5 cm.

Na prática, a distância muitas vezes não é medida apenas a partir de zero - o ponto de referência pode ser qualquer número (Fig. 2). Mas isso não muda a essência. Notação da forma |a – b| expressa a distância entre pontos A E b na reta numérica.

Exemplo 1. Resolva a equação | X – 1| = 3.

Solução.

O significado da equação é que a distância entre os pontos X e 1 é igual a 3 (Fig. 2). Portanto, a partir do ponto 1 contamos três divisões à esquerda e três divisões à direita - e vemos claramente ambos os valores X:
X 1 = –2, X 2 = 4.

Podemos calculá-lo.

│X – 1 = 3
│X – 1 = –3

│X = 3 + 1
│X = –3 + 1

│X = 4
│ X = –2.

Responder : X 1 = –2; X 2 = 4.

Exemplo 2. Encontre o módulo de expressão:

Solução.

Primeiro, vamos descobrir se a expressão é positiva ou negativa. Para fazer isso, transformamos a expressão para que consista em números homogêneos. Não vamos procurar a raiz de 5 - é bastante difícil. Vamos fazer de forma mais simples: vamos elevar 3 e 10 à raiz e depois comparar o valor dos números que compõem a diferença:

3 = √9. Portanto, 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

Vemos que o primeiro número é menor que o segundo. Isso significa que a expressão é negativa, ou seja, sua resposta é menor que zero:

3√5 – 10 < 0.

Mas, de acordo com a regra, o módulo de um número negativo é o mesmo número com sinal oposto. Temos uma expressão negativa. Portanto, é necessário mudar o seu sinal para o oposto. A expressão oposta para 3√5 – 10 é –(3√5 – 10). Vamos abrir os colchetes e obter a resposta:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Responder .

O módulo é uma daquelas coisas que todo mundo parece ter ouvido falar, mas na realidade ninguém entende. Portanto, hoje haverá uma grande aula dedicada à resolução de equações com módulos.

Direi desde já: a lição não será difícil. E, em geral, os módulos são um tópico relativamente simples. “Sim, claro, não é complicado! Isso me surpreende! - dirão muitos alunos, mas todas essas quebras cerebrais ocorrem devido ao fato de a maioria das pessoas não ter conhecimento na cabeça, mas algum tipo de porcaria. E o objetivo desta lição é transformar porcaria em conhecimento. :)

Um pouco de teoria

Então vamos. Vamos começar pelo mais importante: o que é um módulo? Deixe-me lembrá-lo de que o módulo de um número é simplesmente o mesmo número, mas considerado sem o sinal de menos. Isto é, por exemplo, $\left| -5 \direito|=5$. Ou $\esquerda| -129,5 \direita|=$129,5.

É tão simples? Sim, simples. Qual é então o valor absoluto de um número positivo? É ainda mais simples aqui: o módulo de um número positivo é igual a este próprio número: $\left| 5 \direito|=5$; $\esquerda| 129,5 \direito|=$129,5, etc.

Acontece uma coisa curiosa: números diferentes podem ter o mesmo módulo. Por exemplo: $\esquerda| -5 \direita|=\esquerda| 5 \direito|=5$; $\esquerda| -129,5 \direita|=\esquerda| 129,5\direita|=$129,5. É fácil ver que tipo de números são esses, cujos módulos são iguais: esses números são opostos. Assim, notamos por nós mesmos que os módulos de números opostos são iguais:

\[\esquerda| -a \direita|=\esquerda| a\certo|\]

Outro fato importante: módulo nunca é negativo. Qualquer que seja o número que tomemos - seja ele positivo ou negativo - seu módulo sempre acaba sendo positivo (ou, em casos extremos, zero). É por isso que o módulo é frequentemente chamado de valor absoluto de um número.

Além disso, se combinarmos a definição do módulo para um número positivo e negativo, obteremos uma definição global do módulo para todos os números. A saber: o módulo de um número é igual ao próprio número se o número for positivo (ou zero), ou igual ao número oposto se o número for negativo. Você pode escrever isso como uma fórmula:

Também existe um módulo zero, mas é sempre igual a zero. Além disso, zero é o único número que não possui oposto.

Assim, se considerarmos a função $y=\left| x \right|$ e tente desenhar seu gráfico, você obterá algo assim:

Gráfico de módulo e exemplo de resolução da equação

A partir desta imagem fica imediatamente claro que $\left| -m \direita|=\esquerda| m \right|$, e o gráfico do módulo nunca fica abaixo do eixo x. Mas isso não é tudo: a linha vermelha marca a linha reta $y=a$, que, para $a$ positivo, nos dá duas raízes ao mesmo tempo: $((x)_(1))$ e $((x) _(2)) $, mas falaremos sobre isso mais tarde. :)

Além da definição puramente algébrica, existe uma geométrica. Digamos que haja dois pontos na reta numérica: $((x)_(1))$ e $((x)_(2))$. Neste caso, a expressão $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ é simplesmente a distância entre os pontos especificados. Ou, se preferir, o comprimento do segmento que liga estes pontos:

Esta definição também implica que o módulo é sempre não negativo. Mas chega de definições e teoria - vamos passar para equações reais. :)

Fórmula básica

Ok, resolvemos a definição. Mas isso não tornou tudo mais fácil. Como resolver equações contendo este mesmo módulo?

Calma, apenas calma. Vamos começar com as coisas mais simples. Considere algo assim:

\[\esquerda| x\direita|=3\]

Portanto, o módulo de $x$ é 3. A que $x$ poderia ser igual? Bem, a julgar pela definição, estamos muito felizes com $x=3$. Realmente:

\[\esquerda| 3\direita|=3\]

Existem outros números? Cap parece estar insinuando que existe. Por exemplo, $x=-3$ também é $\left| -3 \right|=3$, ou seja, a igualdade exigida é satisfeita.

Então, talvez se pesquisarmos e pensarmos, encontraremos mais números? Mas convenhamos: não há mais números. Equação $\esquerda| x \right|=3$ tem apenas duas raízes: $x=3$ e $x=-3$.

Agora vamos complicar um pouco a tarefa. Deixe a função $f\left(x \right)$ ficar sob o sinal de módulo em vez da variável $x$, e coloque um número arbitrário $a$ no lugar do triplo à direita. Obtemos a equação:

\[\esquerda| f\esquerda(x \direita) \direita|=a\]

Então, como podemos resolver isso? Deixe-me lembrá-lo: $f\left(x \right)$ é uma função arbitrária, $a$ é qualquer número. Aqueles. Nada mesmo! Por exemplo:

\[\esquerda| 2x+1 \direita|=5\]

\[\esquerda| 10x-5 \direita|=-65\]

Vamos prestar atenção à segunda equação. Podemos dizer imediatamente sobre ele: ele não tem raízes. Por que? Está tudo correto: porque exige que o módulo seja igual a um número negativo, o que nunca acontece, pois já sabemos que o módulo é sempre um número positivo ou, em casos extremos, zero.

Mas com a primeira equação tudo fica mais divertido. Existem duas opções: ou há uma expressão positiva sob o sinal do módulo e então $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, ou esta expressão ainda é negativa, e então $\left| 2x+1 \direita|=-\esquerda(2x+1 \direita)=-2x-1$. No primeiro caso, nossa equação será reescrita da seguinte forma:

\[\esquerda| 2x+1 \direita|=5\Setaparadireita 2x+1=5\]

E de repente acontece que a expressão submodular $2x+1$ é realmente positiva - é igual ao número 5. Isso é podemos resolver esta equação com segurança - a raiz resultante será uma parte da resposta:

Aqueles que são particularmente desconfiados podem tentar substituir a raiz encontrada na equação original e certificar-se de que realmente existe um número positivo sob o módulo.

Agora vejamos o caso de uma expressão submodular negativa:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Seta para a direita 2x+1=-5\]

Ops! Novamente, tudo está claro: assumimos que $2x+1 \lt 0$, e como resultado obtivemos que $2x+1=-5$ - na verdade, esta expressão é menor que zero. Resolvemos a equação resultante, já sabendo com certeza que a raiz encontrada nos servirá:

No total, recebemos novamente duas respostas: $x=2$ e $x=3$. Sim, a quantidade de cálculos acabou sendo um pouco maior do que na equação muito simples $\left| x \right|=3$, mas nada mudou fundamentalmente. Então, talvez exista algum tipo de algoritmo universal?

Sim, tal algoritmo existe. E agora vamos analisar isso.

Livrar-se do sinal do módulo

Seja-nos dada a equação $\left| f\left(x \right) \right|=a$, e $a\ge 0$ (caso contrário, como já sabemos, não há raízes). Então você pode se livrar do sinal do módulo usando a seguinte regra:

\[\esquerda| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Assim, nossa equação com módulo se divide em duas, mas sem módulo. Isso é tudo que a tecnologia é! Vamos tentar resolver algumas equações. Vamos começar com isso

\[\esquerda| 5x+4 \direita|=10\Seta direita 5x+4=\pm 10\]

Vamos considerar separadamente quando há dez mais à direita e separadamente quando há menos. Nós temos:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\fim(alinhar)\]

Isso é tudo! Temos duas raízes: $x=1,2$ e $x=-2,8$. A solução inteira ocupou literalmente duas linhas.

Ok, sem dúvida, vamos ver algo um pouco mais sério:

\[\esquerda| 7-5x\direita|=13\]

Novamente abrimos o módulo com mais e menos:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\fim(alinhar)\]

Mais algumas linhas - e a resposta está pronta! Como eu disse, não há nada complicado nos módulos. Você só precisa se lembrar de algumas regras. Portanto, seguimos em frente e começamos com tarefas verdadeiramente mais complexas.

O caso de uma variável do lado direito

Agora considere esta equação:

\[\esquerda| 3x-2 \direita|=2x\]

Esta equação é fundamentalmente diferente de todas as anteriores. Como? E o facto de à direita do sinal de igual estar a expressão $2x$ - e não podemos saber antecipadamente se é positivo ou negativo.

O que fazer neste caso? Primeiro, devemos entender de uma vez por todas que se o lado direito da equação for negativo, então a equação não terá raízes- já sabemos que o módulo não pode ser igual a um número negativo.

E em segundo lugar, se o lado direito ainda for positivo (ou igual a zero), então você pode agir exatamente da mesma maneira que antes: basta abrir o módulo separadamente com um sinal de mais e separadamente com um sinal de menos.

Assim, formulamos uma regra para funções arbitrárias $f\left(x \right)$ e $g\left(x \right)$ :

\[\esquerda| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Em relação à nossa equação obtemos:

\[\esquerda| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Bem, de alguma forma iremos lidar com o requisito $2x\ge 0$. No final, podemos substituir estupidamente as raízes que obtemos da primeira equação e verificar se a desigualdade é válida ou não.

Então vamos resolver a equação em si:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\fim(alinhar)\]

Bem, qual dessas duas raízes satisfaz o requisito $2x\ge 0$? Sim ambos! Portanto, a resposta será dois números: $x=(4)/(3)\;$ e $x=0$. Essa é a solução. :)

Suspeito que alguns dos alunos já estão começando a ficar entediados? Bem, vejamos uma equação ainda mais complexa:

\[\esquerda| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \direita|=x-((x)^(3))\]

Embora pareça mal, na verdade ainda é a mesma equação da forma “módulo é igual a função”:

\[\esquerda| f\esquerda(x \direita) \direita|=g\esquerda(x \direita)\]

E é resolvido exatamente da mesma maneira:

\[\esquerda| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Lidaremos com a desigualdade mais tarde - ela é de alguma forma muito má (na verdade, é simples, mas não vamos resolvê-la). Por enquanto, é melhor lidar com as equações resultantes. Consideremos o primeiro caso - é quando o módulo é expandido com um sinal de mais:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Bem, é óbvio que você precisa coletar tudo da esquerda, trazer outros semelhantes e ver o que acontece. E é isso que acontece:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\fim(alinhar)\]

Tiramos o fator comum $((x)^(2))$ dos colchetes e obtemos uma equação muito simples:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\fim(alinhar) \direita.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Aqui aproveitamos uma importante propriedade do produto, para a qual fatoramos o polinômio original: o produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero.

Agora vamos lidar com a segunda equação exatamente da mesma maneira, que é obtida expandindo o módulo com sinal menos:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\esquerda(-3x+2 \direita)=0. \\\fim(alinhar)\]

Novamente a mesma coisa: o produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero. Nós temos:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Bem, temos três raízes: $x=0$, $x=1,5$ e $x=(2)/(3)\;$. Bem, qual deste conjunto irá para a resposta final? Para fazer isso, lembre-se que temos uma restrição adicional na forma de desigualdade:

Como levar em conta esse requisito? Vamos apenas substituir as raízes encontradas e verificar se a desigualdade é válida para estes $x$ ou não. Nós temos:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Rightarrow x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\fim(alinhar)\]

Assim, a raiz $x=1,5$ não nos convém. E em resposta haverá apenas duas raízes:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Como você pode ver, mesmo neste caso não houve nada complicado - as equações com módulos são sempre resolvidas por meio de um algoritmo. Você só precisa ter um bom entendimento de polinômios e desigualdades. Portanto, passamos para tarefas mais complexas - já não haverá um, mas dois módulos.

Equações com dois módulos

Até agora, estudamos apenas as equações mais simples - havia um módulo e outra coisa. Enviamos esse “outro” para outra parte da desigualdade, longe do módulo, para que no final tudo ficasse reduzido a uma equação da forma $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ ou ainda mais simples $\left| f\esquerda(x \direita) \direita|=a$.

Mas o jardim de infância acabou - é hora de considerar algo mais sério. Vamos começar com equações como esta:

\[\esquerda| f\esquerda(x \direita) \direita|=\esquerda| g\esquerda(x \direita) \direita|\]

Esta é uma equação da forma “módulo é igual a módulo”. O ponto fundamentalmente importante é a ausência de outros termos e fatores: apenas um módulo à esquerda, mais um módulo à direita – e nada mais.

Alguém pensará agora que tais equações são mais difíceis de resolver do que as que estudamos até agora. Mas não: estas equações são ainda mais fáceis de resolver. Aqui está a fórmula:

\[\esquerda| f\esquerda(x \direita) \direita|=\esquerda| g\esquerda(x \direita) \direita|\Rightarrow f\esquerda(x \direita)=\pm g\esquerda(x \direita)\]

Todos! Simplesmente igualamos expressões submodulares colocando um sinal de mais ou de menos na frente de uma delas. E então resolvemos as duas equações resultantes - e as raízes estão prontas! Sem restrições adicionais, sem desigualdades, etc. Tudo é muito simples.

Vamos tentar resolver este problema:

\[\esquerda| 2x+3 \direita|=\esquerda| 2x-7 \direita|\]

Watson elementar! Expandindo os módulos:

\[\esquerda| 2x+3 \direita|=\esquerda| 2x-7 \direita|\Rightarrow 2x+3=\pm \esquerda(2x-7 \direita)\]

Vamos considerar cada caso separadamente:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\esquerda(2x-7 \direita)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\fim(alinhar)\]

A primeira equação não tem raízes. Porque quando é $3=-7$? Em quais valores de $x$? “O que diabos é $x$? Você esta drogado? Não há $x$ ali”, você diz. E você estará certo. Obtivemos uma igualdade que não depende da variável $x$ e, ao mesmo tempo, a própria igualdade está incorreta. É por isso que não existem raízes. :)

Com a segunda equação tudo fica um pouco mais interessante, mas também muito, muito simples:

Como você pode ver, tudo foi resolvido literalmente em algumas linhas - não esperávamos mais nada de uma equação linear. :)

Como resultado, a resposta final é: $x=1$.

Então, como? Difícil? Claro que não. Vamos tentar outra coisa:

\[\esquerda| x-1 \direita|=\esquerda| ((x)^(2))-3x+2 \direita|\]

Novamente temos uma equação da forma $\left| f\esquerda(x \direita) \direita|=\esquerda| g\esquerda(x \direita) \direita|$. Portanto, reescrevemo-lo imediatamente, revelando o sinal do módulo:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \esquerda(x-1 \direita)\]

Talvez alguém pergunte agora: “Ei, que bobagem? Por que “mais-menos” aparece na expressão da direita e não na esquerda?” Calma, vou explicar tudo agora. Na verdade, no bom sentido, deveríamos ter reescrito nossa equação da seguinte forma:

Então você precisa abrir os colchetes, mover todos os termos para um lado do sinal de igual (já que a equação, obviamente, será quadrada em ambos os casos) e então encontrar as raízes. Mas você deve admitir: quando “mais-menos” aparece antes de três termos (especialmente quando um desses termos é uma expressão quadrática), de alguma forma parece mais complicado do que a situação em que “mais-menos” aparece antes de apenas dois termos.

Mas nada nos impede de reescrever a equação original da seguinte forma:

\[\esquerda| x-1 \direita|=\esquerda| ((x)^(2))-3x+2 \direita|\Rightarrow \esquerda| ((x)^(2))-3x+2 \direita|=\esquerda| x-1 \direita|\]

O que aconteceu? Nada de especial: eles apenas trocaram os lados esquerdo e direito. Uma coisinha que acabará por tornar a nossa vida um pouco mais fácil. :)

Em geral, resolvemos esta equação considerando opções com mais e menos:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\fim(alinhar)\]

A primeira equação tem raízes $x=3$ e $x=1$. O segundo é geralmente um quadrado exato:

\[((x)^(2))-2x+1=((\esquerda(x-1 \direita))^(2))\]

Portanto, possui apenas uma raiz: $x=1$. Mas já obtivemos esta raiz anteriormente. Assim, apenas dois números irão para a resposta final:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Missão completa! Você pode pegar uma torta da prateleira e comê-la. São 2, o do meio é o seu :)

Nota importante. A presença de raízes idênticas para diferentes variantes de expansão do módulo significa que os polinômios originais são fatorados, e entre esses fatores certamente haverá um comum. Realmente:

\[\begin(alinhar)& \left| x-1 \direita|=\esquerda| ((x)^(2))-3x+2 \direita|; \\& \esquerda| x-1 \direita|=\esquerda| \esquerda(x-1 \direita)\esquerda(x-2 \direita) \direita|. \\\fim(alinhar)\]

Uma das propriedades do módulo: $\left| a\cdot b \direita|=\esquerda| a \direita|\cdot \esquerda| b \right|$ (ou seja, o módulo do produto é igual ao produto dos módulos), então a equação original pode ser reescrita da seguinte forma:

\[\esquerda| x-1 \direita|=\esquerda| x-1 \direita|\cdot \esquerda| x-2 \direita|\]

Como você pode ver, realmente temos um fator comum. Agora, se você coletar todos os módulos de um lado, poderá tirar esse fator do colchete:

\[\begin(alinhar)& \left| x-1 \direita|=\esquerda| x-1 \direita|\cdot \esquerda| x-2 \direita|; \\& \esquerda| x-1 \direita|-\esquerda| x-1 \direita|\cdot \esquerda| x-2 \direita|=0; \\& \esquerda| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\fim(alinhar)\]

Bom, agora lembre-se que o produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero:

\[\esquerda[ \begin(alinhar)& \esquerda| x-1 \direita|=0, \\& \esquerda| x-2 \direita|=1. \\\fim(alinhar) \direita.\]

Assim, a equação original com dois módulos foi reduzida às duas equações mais simples de que falamos no início da lição. Essas equações podem ser resolvidas literalmente em algumas linhas. :)

Esta observação pode parecer desnecessariamente complexa e inaplicável na prática. No entanto, na realidade, você poderá encontrar problemas muito mais complexos do que aqueles que estamos analisando hoje. Neles, os módulos podem ser combinados com polinômios, raízes aritméticas, logaritmos, etc. E em tais situações, a capacidade de diminuir o grau geral da equação tirando algo dos colchetes pode ser muito, muito útil. :)

Agora gostaria de examinar outra equação, que à primeira vista pode parecer maluca. Muitos alunos ficam presos nisso, mesmo aqueles que pensam ter um bom entendimento dos módulos.

No entanto, esta equação é ainda mais fácil de resolver do que a que vimos anteriormente. E se você entender o porquê, terá outro truque para resolver rapidamente equações com módulos.

Então a equação é:

\[\esquerda| x-((x)^(3)) \direita|+\esquerda| ((x)^(2))+x-2 \direita|=0\]

Não, isso não é um erro de digitação: é uma vantagem entre os módulos. E precisamos descobrir em que $x$ a soma de dois módulos é igual a zero. :)

Qual é o problema, afinal? Mas o problema é que cada módulo é um número positivo ou, em casos extremos, zero. O que acontece se você adicionar dois números positivos? Obviamente, um número positivo novamente:

\[\begin(alinhar)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\fim(alinhar)\]

A última linha pode lhe dar uma ideia: a única vez que a soma dos módulos é zero é se cada módulo for zero:

\[\esquerda| x-((x)^(3)) \direita|+\esquerda| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(align) \right.\]

E quando o módulo é igual a zero? Apenas em um caso - quando a expressão submodular é igual a zero:

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

Assim, temos três pontos em que o primeiro módulo é zerado: 0, 1 e −1; bem como dois pontos nos quais o segundo módulo é zerado: −2 e 1. No entanto, precisamos que ambos os módulos sejam zerados ao mesmo tempo, portanto, entre os números encontrados, precisamos escolher aqueles que estão incluídos em ambos os conjuntos. Obviamente, existe apenas um número: $x=1$ - esta será a resposta final.

Método de clivagem

Bem, já cobrimos vários problemas e aprendemos muitas técnicas. Você acha que isso é tudo? Mas não! Agora veremos a técnica final - e ao mesmo tempo a mais importante. Falaremos sobre divisão de equações com módulo. Sobre o que vamos conversar? Vamos voltar um pouco e ver algumas equações simples. Por exemplo isto:

\[\esquerda| 3x-5 \direita|=5-3x\]

Em princípio, já sabemos como resolver tal equação, porque é uma construção padrão da forma $\left| f\esquerda(x \direita) \direita|=g\esquerda(x \direita)$. Mas vamos tentar olhar para esta equação de um ângulo ligeiramente diferente. Mais precisamente, considere a expressão sob o sinal do módulo. Deixe-me lembrá-lo de que o módulo de qualquer número pode ser igual ao próprio número ou pode ser oposto a este número:

\[\esquerda| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Na verdade, essa ambigüidade é todo o problema: como o número sob o módulo muda (depende da variável), não está claro para nós se é positivo ou negativo.

Mas e se você inicialmente exigir que esse número seja positivo? Por exemplo, exigimos que $3x-5 \gt 0$ - neste caso, temos a garantia de obter um número positivo sob o sinal do módulo e podemos nos livrar completamente desse mesmo módulo:

Assim, nossa equação se tornará linear, que pode ser facilmente resolvida:

É verdade que todos esses pensamentos só fazem sentido sob a condição $3x-5 \gt 0$ - nós mesmos introduzimos esse requisito para revelar o módulo de forma inequívoca. Portanto, vamos substituir o $x=\frac(5)(3)$ encontrado nesta condição e verificar:

Acontece que para o valor especificado de $x$ nosso requisito não é atendido, porque a expressão acabou sendo igual a zero e precisamos que seja estritamente maior que zero. Triste. :(

Mas está tudo bem! Afinal, existe outra opção $3x-5 \lt 0$. Além disso: há também o caso $3x-5=0$ - isso também precisa ser considerado, caso contrário a solução ficará incompleta. Então, considere o caso $3x-5 \lt 0$:

Obviamente, o módulo abrirá com um sinal de menos. Mas então surge uma situação estranha: tanto à esquerda quanto à direita na equação original a mesma expressão se destacará:

Eu me pergunto em que $x$ a expressão $5-3x$ será igual à expressão $5-3x$? Até o Capitão Obviedade engasgaria com a saliva com tais equações, mas sabemos: esta equação é uma identidade, ou seja, é verdade para qualquer valor da variável!

Isso significa que qualquer $x$ nos servirá. No entanto, temos uma limitação:

Em outras palavras, a resposta não será um único número, mas um intervalo inteiro:

Finalmente, resta mais um caso a considerar: $3x-5=0$. Tudo é simples aqui: haverá zero sob o módulo, e o módulo de zero também é igual a zero (isso segue diretamente da definição):

Mas então a equação original $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ será reescrito da seguinte forma:

Já obtivemos essa raiz acima quando consideramos o caso de $3x-5 \gt 0$. Além disso, esta raiz é uma solução para a equação $3x-5=0$ - esta é a limitação que nós mesmos introduzimos para redefinir o módulo. :)

Assim, além do intervalo, também ficaremos satisfeitos com o número que fica bem no final desse intervalo:

Resposta final total: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Não é muito comum ver tal porcaria na resposta a uma equação bastante simples (essencialmente linear) com módulo , Bem, acostume-se: a dificuldade do módulo é que as respostas em tais equações podem ser completamente imprevisíveis.

Outra coisa é muito mais importante: acabamos de analisar um algoritmo universal para resolver uma equação com módulo! E este algoritmo consiste nas seguintes etapas:

1. Iguale cada módulo na equação a zero. Obtemos várias equações;
2. Resolva todas essas equações e marque as raízes na reta numérica. Como resultado, a linha reta será dividida em vários intervalos, em cada um dos quais todos os módulos são revelados de forma única;
3. Resolva a equação original para cada intervalo e combine suas respostas.

Isso é tudo! Resta apenas uma pergunta: o que fazer com as raízes obtidas no passo 1? Digamos que temos duas raízes: $x=1$ e $x=5$. Eles dividirão a reta numérica em 3 partes:

Então, quais são os intervalos? É claro que existem três deles:

1. O mais à esquerda: $x \lt 1$ — a unidade em si não está incluída no intervalo;
2. Central: $1\le x \lt 5$ - aqui um está incluído no intervalo, mas cinco não está incluído;
3. Mais à direita: $x\ge 5$ - cinco só está incluído aqui!

Acho que você já entendeu o padrão. Cada intervalo inclui a extremidade esquerda e não inclui a direita.

À primeira vista, tal entrada pode parecer inconveniente, ilógica e geralmente meio maluca. Mas acredite: depois de um pouco de prática, você descobrirá que essa abordagem é a mais confiável e não interfere na abertura inequívoca dos módulos. É melhor usar esse esquema do que pensar sempre: dar o extremo esquerdo/direito ao intervalo atual ou “jogá-lo” no próximo.

Isso conclui a lição. Baixe problemas para resolver sozinho, pratique, compare com as respostas - e nos vemos na próxima lição, que será dedicada às desigualdades com módulos. :)

Primeiro definimos o sinal da expressão sob o sinal do módulo e depois expandimos o módulo:

• se o valor da expressão for maior que zero, simplesmente o removemos do sinal do módulo,
• se a expressão for menor que zero, então a removemos do sinal do módulo, alterando o sinal, como fizemos anteriormente nos exemplos.

Bem, vamos tentar? Vamos avaliar:

(Esqueci, repita.)

Se sim, que sinal tem? Bem, claro, !

E, portanto, expandimos o sinal do módulo alterando o sinal da expressão:

Entendi? Então experimente você mesmo:

Respostas:

Que outras propriedades o módulo possui?

Se precisarmos multiplicar números dentro do sinal do módulo, podemos facilmente multiplicar os módulos desses números!!!

Em termos matemáticos, O módulo do produto dos números é igual ao produto dos módulos desses números.

Por exemplo:

E se precisarmos dividir dois números (expressões) sob o sinal de módulo?

Sim, o mesmo que com a multiplicação! Vamos dividi-lo em dois números separados (expressões) sob o sinal de módulo:

desde que (já que você não pode dividir por zero).

Vale lembrar mais uma propriedade do módulo:

O módulo da soma dos números é sempre menor ou igual à soma dos módulos desses números:

Por que é que? Tudo é muito simples!

Como lembramos, o módulo é sempre positivo. Mas sob o sinal do módulo pode haver qualquer número: positivo e negativo. Vamos supor que os números e sejam positivos. Então a expressão da esquerda será igual à expressão da direita.

Vejamos um exemplo:

Se sob o sinal de módulo um número for negativo e o outro for positivo, a expressão da esquerda será sempre menor que a da direita:

Tudo parece claro com esta propriedade, vejamos mais algumas propriedades úteis do módulo.

E se tivermos esta expressão:

O que podemos fazer com esta expressão? O valor de x é desconhecido para nós, mas já sabemos o que significa.

O número é maior que zero, o que significa que você pode simplesmente escrever:

Chegamos então a outra propriedade, que em geral pode ser representada da seguinte forma:

O que esta expressão é igual:

Então, precisamos definir o sinal sob o módulo. É necessário definir um sinal aqui?

Claro que não, se você lembrar que qualquer número ao quadrado é sempre maior que zero! Se não lembra, veja o tópico. Então o que acontece? Aqui está o que:

Ótimo, certo? Bastante conveniente. E agora um exemplo específico para reforçar:

Bem, por que as dúvidas? Vamos agir com ousadia!

Você já descobriu tudo? Então vá em frente e pratique com exemplos!

1. Encontre o valor da expressão se.

2. Quais números têm o mesmo módulo?

3. Encontre o significado das expressões:

Se ainda não está tudo claro e há dificuldades nas soluções, então vamos descobrir:

Solução 1:

Então, vamos substituir os valores e na expressão

Solução 2:

Como lembramos, os números opostos são iguais em módulo. Isso significa que o valor do módulo é igual a dois números: e.

Solução 3:

A)
b)
V)
G)

Você pegou tudo? Então é hora de passar para algo mais complexo!

Vamos tentar simplificar a expressão

Solução:

Então, lembramos que o valor do módulo não pode ser menor que zero. Se o sinal do módulo tiver um número positivo, então podemos simplesmente descartar o sinal: o módulo do número será igual a este número.

Mas se houver um número negativo sob o sinal do módulo, então o valor do módulo é igual ao número oposto (ou seja, o número obtido com o sinal “-”).

Para encontrar o módulo de qualquer expressão, primeiro você precisa descobrir se ela assume um valor positivo ou negativo.

Acontece que o valor da primeira expressão no módulo.

Portanto, a expressão sob o sinal do módulo é negativa. A segunda expressão sob o sinal do módulo é sempre positiva, pois estamos somando dois números positivos.

Assim, o valor da primeira expressão sob o sinal do módulo é negativo, o segundo é positivo:

Isso significa que ao expandir o sinal do módulo da primeira expressão, devemos tomar esta expressão com o sinal “-”. Assim:

No segundo caso, simplesmente descartamos o sinal do módulo:

Vamos simplificar esta expressão na sua totalidade:

Módulo de número e suas propriedades (definições e provas rigorosas)

Definição:

O módulo (valor absoluto) de um número é o próprio número, se, e o número, se:

Por exemplo:

Exemplo:

Simplifique a expressão.

Solução:

Propriedades básicas do módulo

Para todos:

Exemplo:

Prove a propriedade nº 5.

Prova:

Suponhamos que existam tais que

Vamos elevar ao quadrado os lados esquerdo e direito da desigualdade (isso pode ser feito, pois ambos os lados da desigualdade são sempre não negativos):

e isso contradiz a definição de módulo.

Consequentemente, tais pessoas não existem, o que significa que a desigualdade vale para todos

Exemplos de soluções independentes:

1) Prove a propriedade nº 6.

2) Simplifique a expressão.

Respostas:

1) Vamos usar a propriedade nº 3: , e desde então

Para simplificar, é necessário expandir os módulos. E para expandir os módulos, você precisa descobrir se as expressões do módulo são positivas ou negativas?

a. Vamos comparar os números e e:

b. Agora vamos comparar:

Somamos os valores dos módulos:

O valor absoluto de um número. Resumidamente sobre o principal.

O módulo (valor absoluto) de um número é o próprio número, se, e o número, se:

Propriedades do módulo:

1. O módulo de um número é um número não negativo:;
2. Os módulos de números opostos são iguais: ;
3. O módulo do produto de dois (ou mais) números é igual ao produto dos seus módulos: ;
4. O módulo do quociente de dois números é igual ao quociente dos seus módulos: ;
5. O módulo da soma dos números é sempre menor ou igual à soma dos módulos destes números: ;
6. Um multiplicador positivo constante pode ser retirado do sinal do módulo: at;

Módulo de número é um novo conceito em matemática. Vamos dar uma olhada mais de perto no que é um módulo numérico e como trabalhar com ele?

Vejamos um exemplo:

Saímos de casa para ir à loja. Caminhamos 300 m, matematicamente esta expressão pode ser escrita como +300, o significado do número 300 do sinal “+” não mudará. A distância ou módulo de um número em matemática é a mesma coisa e pode ser escrito assim: |300|=300. O sinal do módulo de um número é indicado por duas linhas verticais.

E então caminhamos 200m na ​​direção oposta. Matematicamente, podemos escrever o caminho de retorno como -200. Mas não dizemos “fomos menos duzentos metros”, embora tenhamos voltado, porque a distância como quantidade permanece positiva. Para tanto, o conceito de módulo foi introduzido na matemática. Você pode escrever a distância ou módulo do número -200 assim: |-200|=200.

Propriedades do módulo.

Definição:
Módulo de um número ou valor absoluto de um númeroé a distância do ponto de partida ao ponto de destino.

O módulo de um número inteiro diferente de zero é sempre um número positivo.

O módulo está escrito assim:

1. O módulo de um número positivo é igual ao próprio número.
| uma|=a

2. O módulo de um número negativo é igual ao número oposto.
|- uma|=a

3. O módulo de zero é igual a zero.
|0|=0

4. Os módulos de números opostos são iguais.
| uma|=|-uma|=a

Perguntas relacionadas:
Qual é o módulo de um número?
Resposta: Módulo é a distância do ponto inicial ao ponto de destino.

Se você colocar um sinal “+” na frente de um número inteiro, o que acontece?
Resposta: o número não mudará seu significado, por exemplo, 4=+4.

Se você colocar um sinal “-” antes de um número inteiro, o que acontece?
Resposta: o número mudará para, por exemplo, 4 e -4.

Quais números têm o mesmo módulo?
Resposta: números positivos e zero terão o mesmo módulo. Por exemplo, 15=|15|.

Quais números têm um módulo do número oposto?
Resposta: para números negativos, o módulo será igual ao número oposto. Por exemplo, |-6|=6.

Exemplo 1:
Encontre o módulo dos números: a) 0 b) 5 c) -7?

Solução:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

Exemplo #2:
Existem dois números diferentes cujos módulos são iguais?

Solução:
|10|=10
|-10|=10

Os módulos de números opostos são iguais.

Exemplo #3:
Quais são os dois números opostos que têm módulo 9?

Solução:
|9|=9
|-9|=9

Resposta: 9 e -9.

Exemplo #4:
Siga estas etapas: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Solução:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

Exemplo #5:
Encontre: a) o módulo do número 2 b) o módulo do número 6 c) o módulo do número 8 d) o módulo do número 1 e) o módulo do número 0.
Solução:

a) o módulo do número 2 é denotado como |2| ou |+2| É o mesmo.
|2|=2

b) o módulo do número 6 é denotado como |6| ou |+6| É o mesmo.
|6|=6

c) o módulo do número 8 é denotado como |8| ou |+8| É o mesmo.
|8|=8

d) o módulo do número 1 é denotado como |1| ou |+1| É o mesmo.
|1|=1

e) o módulo do número 0 é denotado como |0|, |+0| ou |-0| É o mesmo.
|0|=0