Definição de exemplos de espaço euclidiano. Definição de espaço euclidiano

Definição de espaço euclidiano

Definição 1. Um espaço linear real é chamado Euclidiano, Se define uma operação que associa quaisquer dois vetores x E sim disto número espacial chamado produto escalar de vetores x E sim e designado(x,y), para o qual as seguintes condições são atendidas:

1. (x,y) = (y,x);

2. (x + y,z) = (x,z) + (y,z) , onde z- qualquer vetor pertencente a um determinado espaço linear;

3. (?x,y) = ? (x,y) , onde ? - qualquer número;

4. (x,x) ? 0 e (x,x) = 0 x = 0.

Por exemplo, em um espaço linear de matrizes de coluna única, o produto escalar de vetores

pode ser determinado pela fórmula

Espaço de dimensão euclidiana n denotar En. notar que Existem espaços euclidianos de dimensão finita e de dimensão infinita.

Definição 2. Comprimento (módulo) do vetor x no espaço euclidiano Pt chamado (x,x) e denotamos assim: |x| = (x,x). Para qualquer vetor do espaço euclidianoexiste um comprimento e o vetor zero é igual a zero.

Multiplicando um vetor diferente de zero x por número , obtemos um vetor, comprimento que é igual a um. Esta operação é chamada racionamento vetor x.

Por exemplo, no espaço de matrizes de coluna única, o comprimento do vetor pode ser determinado pela fórmula:

Desigualdade de Cauchy-Bunyakovsky

Vamos x? En e você? En – quaisquer dois vetores. Vamos provar que a desigualdade vale para eles:

(Desigualdade de Cauchy-Bunyakovsky)

Prova. Deixe ser? - qualquer número real. É óbvio que (?x? y,?x? y) ? 0. Por outro lado, devido às propriedades do produto escalar podemos escrever

Percebido

O discriminante deste trinômio quadrático não pode ser positivo, ou seja, , do qual se segue:

A desigualdade está comprovada.

Desigualdade triangular

Deixar x E sim- vetores arbitrários do espaço euclidiano En, ou seja, x? En e sim? En.

Vamos provar isso . (Desigualdade triangular).

Prova. É óbvio que Por outro lado,. Levando em conta a desigualdade de Cauchy-Bunyakovsky, obtemos

A desigualdade triangular foi comprovada.

Norma do espaço euclidiano

Definição 1 . Espaço linear?chamado métrica, caso existam dois elementos deste espaço x E sim correspondente não negativonúmero? (x,y), chamada de distância entre x E sim , (? (x,y)? 0) e são executadoscondições (axiomas):

1) ? (x,y) = 0 x = sim

2) ? (x,y) = ? (s,x)(simetria);

3) para quaisquer três vetores x, sim E z esse espaço? (x,y) ? ? (x,z) + ? (z,y).

Comente. Os elementos de um espaço métrico são geralmente chamados de pontos.

O espaço euclidiano En é métrico, e como a distância entre vetores x? En e você? En pode ser levado x ? sim.

Assim, por exemplo, no espaço de matrizes de coluna única, onde

por isso

Definição 2 . Espaço linear?chamado normalizado, Se cada vetor x deste espaço está associado a um não negativo número chamou a norma x. Neste caso, os axiomas são satisfeitos:

É fácil ver que um espaço normado é um espaço métrico stvom. Na verdade, como a distância entre x E sim pode ser tomado. Em euclidianoespaço En como a norma de qualquer vetor x? En é o seu comprimento, aqueles. .

Portanto, o espaço euclidiano En é um espaço métrico e, além disso, O espaço euclidiano En é um espaço normado.

Ângulo entre vetores

Definição 1 . Ângulo entre vetores diferentes de zero a E b Espaço euclidianoqualidade E n nomeie o número para o qual

Definição 2 . Vetores x E sim Espaço euclidiano En são chamados ortogonallinho, se a igualdade vale para eles (x,y) = 0.

Se x E sim- são diferentes de zero, então segue-se da definição que o ângulo entre eles é igual

Observe que o vetor zero é, por definição, considerado ortogonal a qualquer vetor.

Exemplo . No espaço geométrico (coordenadas)?3, que é um caso especial de espaço euclidiano, vetores unitários eu, j E k mutuamente ortogonais.

Base ortonormal

Definição 1 . Base e1,e2 ,...,en o espaço euclidiano En é chamado ortogonallinho, se os vetores desta base forem ortogonais aos pares, ou seja, Se

Definição 2 . Se todos os vetores da base ortogonal e1, e2 ,...,en são unitários, ou seja, e i = 1 (i = 1,2,...,n) , então a base é chamada ortonormal, ou seja Parabase ortonormal

Teorema. (na construção de uma base ortonormal)

Em qualquer espaço euclidiano E n existem bases ortonormais.

Prova . Vamos provar o teorema para o caso n = 3.

Seja E1, E2, E3 alguma base arbitrária do espaço euclidiano E3 Vamos construir alguma base ortonormalneste espaço.Vamos colocar onde ? - algum número real que escolhemosentão (e1, e2) = 0, então obtemos

e o que é óbvio? = 0 se E1 e E2 forem ortogonais, ou seja, neste caso e2 = E2, e , porque este é o vetor base.

Considerando que (e1, e2) = 0, obtemos

É óbvio que se e1 e e2 são ortogonais ao vetor E3, ou seja, neste caso devemos considerar e3 = E3. Vetor E3? 0 porque E1, E2 e E3 são linearmente independentes,portanto e3? 0.

Além disso, do raciocínio acima segue-se que e3 não pode ser representado na forma combinação linear dos vetores e1 e e2, portanto os vetores e1, e2, e3 são linearmente independentessims e são ortogonais aos pares, portanto, podem ser tomados como base para o euclidianoespaço E3. Resta normalizar a base construída, para a qual bastadivida cada um dos vetores construídos por seu comprimento. Então obtemos

Então construímos uma base - base ortonormal. O teorema foi provado.

O método aplicado para construir uma base ortonormal a partir de uma base arbitrária base é chamada processo de ortogonalização . Observe que no processo de provateorema, estabelecemos que os vetores ortogonais aos pares são linearmente independentes. Exceto se é uma base ortonormal em En, então para qualquer vetor x? Ptexiste apenas uma decomposição

onde x1, x2,..., xn são as coordenadas do vetor x nesta base ortonormal.

Porque

então multiplicando escalarmente a igualdade (*) por, Nós temos .

A seguir consideraremos apenas bases ortonormais e, portanto, para facilitar a escrita, os zeros estão no topo dos vetores de basevamos omitir.

Correspondente a esse espaço vetorial. Neste artigo, a primeira definição será tomada como ponto de partida.

N (\estilo de exibição n) O espaço euclidiano tridimensional é denotado por E n , (\ displaystyle \ mathbb (E) ^ (n),) a notação também é frequentemente usada (se estiver claro no contexto que o espaço tem uma estrutura euclidiana).

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✪ 04 - Álgebra linear. Espaço euclidiano

✪ Geometria não euclidiana. Parte um.

✪ Geometria não euclidiana. Parte dois

✪ 01 - Álgebra linear. Espaço linear (vetorial)

✪ 8. Espaços euclidianos

Legendas

Definição formal

Para definir o espaço euclidiano, é mais fácil tomar como conceito básico produto escalar. O espaço vetorial euclidiano é definido como dimensão finita Espaço vetorial acima campo numeros reais, em cujos vetores é dado função com valor real (⋅ , ⋅) , (\estilo de exibição (\cdot ,\cdot),) tendo as três propriedades a seguir:

Exemplo de espaço euclidiano - espaço de coordenadas R n , (\ displaystyle \ mathbb (R) ^ (n),) consistindo em todas as tuplas possíveis de números reais (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)),) produto escalar em que é determinado pela fórmula (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Comprimentos e ângulos

O produto escalar definido no espaço euclidiano é suficiente para introduzir conceitos geométricos comprimento E ângulo. Comprimento do vetor você (\estilo de exibição você) definido como (você, você) (\ displaystyle (\ sqrt ((u, você)))) e é designado | você | . (\estilo de exibição |você|.) A definição positiva do produto escalar garante que o comprimento do vetor diferente de zero é diferente de zero, e da bilinearidade segue que | você | = | um | | você | , (\displaystyle |au|=|a||u|,) isto é, os comprimentos dos vetores proporcionais são proporcionais.

Ângulo entre vetores você (\estilo de exibição você) E v (\estilo de exibição v) determinado pela fórmula φ = arcos ⁡ ((x , y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right).) De teoremas do cosseno segue-se que para um espaço euclidiano bidimensional ( Plano euclidiano) esta definição de ângulo coincide com ordinário. Vetores ortogonais, como no espaço tridimensional, podem ser definidos como vetores cujo ângulo entre os quais é igual a π2. (\displaystyle (\frac (\pi )(2)).)

A desigualdade de Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz e a desigualdade triangular

Resta uma lacuna na definição de ângulo dada acima: para arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right)) foi definida, é necessário que a desigualdade | (x,y) | x | | você | | ⩽ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.) Esta desigualdade na verdade é válida em um espaço euclidiano arbitrário, é chamada Desigualdade de Cauchy - Bunyakovsky - Schwartz. Desta desigualdade, por sua vez, segue-se desigualdade triangular : | você + v | ⩽ | você | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.) A desigualdade triangular, juntamente com as propriedades de comprimento listadas acima, significa que o comprimento de um vetor é a norma no espaço vetorial euclidiano, e a função d(x,y) = | x − y | (\estilo de exibição d(x,y)=|x-y|) define uma estrutura no espaço euclidiano espaço métrico(esta função é chamada Métrica euclidiana). Em particular, a distância entre elementos (pontos) x (\estilo de exibição x) E y (\estilo de exibição y) espaço de coordenadas R n (\ displaystyle \ mathbb (R) ^ (n))é dado pela fórmula d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Propriedades algébricas

Bases ortonormais

Espaços conjugados e operadores

Qualquer vetor x (\estilo de exibição x) O espaço euclidiano define linear funcional x ∗ (\estilo de exibição x^(*)) neste espaço, definido como x ∗ (y) = (x , y) . (\estilo de exibição x^(*)(y)=(x,y).) Este mapeamento é um isomorfismo entre o espaço euclidiano e

Kuzma Sergeevich Petrov-Vodkin

Espaço euclidiano

Um brilhante e original artista russo, artista gráfico e teórico da arte Kuzma Sergeevich Petrov-Vodkin (1878-1939) também se tornou famoso como escritor, cuja habilidade e estilo de apresentação não são inferiores em originalidade às suas pinturas. "The Space of Euclid" é uma continuação da obra autobiográfica "My Tale" ("Khlynovsk") e pertence às melhores páginas das memórias russas. Esta prosa viva e enérgica, na qual as entonações de uma história oral podem ser ouvidas na realidade, transmite toda a riqueza de impressões e experiências de um mestre sutil e profundo.

Capítulo dois

Capítulo três

Capítulo quatro

Capítulo Cinco

Capítulo Seis

Capítulo Sete

Oitavo olhos

Capítulo Nove

Capítulo Dez

Capítulo Onze

Capítulo Doze

Capítulo Treze

Capítulo quatorze

Capítulo quinze

Capítulo dezesseis

Capítulo Dezessete

Capítulo Dezoito

Capítulo dezenove

Capítulo Vinte

Capítulo vinte e um

Capítulo vinte e dois

Capítulo primeiro

SAÍDA DO NINHO

Na época dos exames finais, nós, alunos, despercebidos por nós mesmos, havíamos amadurecido. As glândulas mamárias de todos incharam e se acalmaram. Seus rostos ficaram mais preocupados. Nossas vozes ficaram mais ásperas e falamos com mais ousadia sobre as meninas.

Eles começaram a fumar, embora às escondidas dos pais. Superados o enjôo e o nojo da fumaça do tabaco, desenvolvemos gestos de dar tragadas, segurar o cigarro entre os dedos, no canto da boca, e espremer as palavras liberadas simultaneamente com a fumaça.

As conversas tornaram-se mais razoáveis. Passamos para questões que não teríamos pensado há um ano. A questão premente eram as vantagens e o significado desta ou daquela profissão: cada um traçou o seu próprio caminho ou para quem os seus pais o traçaram, mas poucos de nós decidiram ingressar irrevogavelmente em Khlynovsk, e poucos perceberam a escassez da nossa bagagem educacional, e houve não há necessidade de reabastecê-lo muitos.

Estamos sentados no pátio da escola, - Pyotr Antonovich não está bem, - conhecemos o culpado de sua doença - no bufê do Suvorov, estamos sentados e discutindo nossas suposições.

Varrerei as ruas de Moscou, mas não ficarei em Khlynovsk! - declara Pozdnukhov - nosso poeta, romântico. Ele é órfão; o tio de quem Pozdnukhov era órfão, também menino, fazia móveis com gravetos; então o tio decidiu que já que havia trazido o sobrinho para a “alta ciência”, agora alimentá-lo.

“Vou partir a pé”, continua Pozdnukhov, “tenho minha bagagem pronta: um livro de Pushkin, quarenta copeques e biscoitos secos para o inverno...

E sabíamos, estava claro para o homem, que ele manteria o que disse.

Petya Sibiryakov é sombrio, ele também tem um explosivo por dentro, mas é muito mole: ele é enviado a Saratov para uma empresa comercial. Kuznetsov, filho de um carteiro, continuará a profissão de seu pai como funcionário telegráfico. Kira Tutin deve dominar as “alturas da mecânica” - esta é a decisão dele. O mais calmo de todos sobre seu destino é Vasya Serov, ele passará a vida em linha reta, sua mente é clara e tenaz, quem não atrapalhar seu caminho cairá; Com a lógica das verdades nuas, Vasya vencerá todas as suas enfermidades, amor, piedade e mistérios interplanetários, fechará as válvulas da razão para o passado e o futuro, a fim de nivelar o presente em comprimento e largura.

Três alunos deveriam ser enviados para a escola ferroviária.

E você? - eles se voltam para mim. Mas não sei, ou pelo contrário, conheço muito bem a minha inclinação, mas não tenho uma forma definida de agir, sinto os caminhos indiretos que tenho pela frente, nem sei se existe uma escola adequada para mim, e como chamá-la, o que eu gostaria de fazer - afinal, fui um pioneiro em Khlynovsk, que abriu uma nova atividade.

Nosso círculo está calejado, apresente-lhe uma tarefa clara. Ele não terá medo da escuridão da obra, não rirá dela, apenas para que não haja transmissão de longo alcance na obra e para que a sua utilidade seja justificada. Como eu poderia justificar ser um artista?

Eu também irei para a estação ferroviária! - Expresso aos meus companheiros a decisão que acabava de amadurecer em mim, - tinha que começar a vida em algum lugar e não interromper os estudos.

Tínhamos dois criadores de cavalos entre nossos graduados - Serov e Tutin.

Serov passou por toda a escola com nota máxima. Ele não tinha imaginação para jogos e brincadeiras. Ele conhecia todo o material educativo de agora em diante. Ele não recusou seus camaradas que o procuravam em busca de ajuda, mas lhe parecia tão antinatural não saber de algo que sua ajuda parecia arrogante e sempre feria levemente o orgulho daqueles que a ela recorriam.

A grande cabeça de Vasya com olhos negros, que, combinada com uma careta no canto da boca, parecia zombeteira e cruel, essa cabeça, lançando verdades escolares indubitáveis, foi para mim objeto de muitas observações. Fui frio com ele, mas não pude deixar de admirar seu cérebro, no qual as fórmulas da matemática, a vocação dos varangianos e o catecismo estavam tão compactados. Respondendo à lição em voz baixa e sonora, Serov parecia ordenar que o quadrado da hipotenusa fosse construído com pernas, Rurik, Sineus e Truvor inquestionavelmente passaram a governar a Rússia, membros do credo imprimiram a inevitabilidade com lajes de pedra.

Dentro de mim havia discordância com tal incondicionalidade tirânica, mas não pude deixar de sucumbir às suas conclusões.

Bem, esse Vaska é inteligente”, disse o engraçado Grisha Yurkin, “por Deus, ele vai caber no departamento de polícia!”

Não sei se os extremos ou a franqueza convergem, mas nosso professor de direito não poderia estar mais feliz com Serov. Ele lhe dava uma lição, e o arcipreste alisava de maneira tocante as dobras de sua batina e soprava em sua barba e suspirava, e se dissolvia na eloquência de Vasya devido à sua própria língua presa.

Se ao menos o bispo fosse um dos seus, o padre aparentemente sonhou.

E aconteceu que depois da aula o professor de direito chamou Vasya à solidão e convenceu o jovem a escolher uma carreira adequada.

Ele me chamou para o espiritual novamente”, Serov respondeu às nossas perguntas.

Grisha Yurkin dormia e se via como sacerdote.

Oh você, aqueles, oh você!... - Yurkin engasgou seriamente com seu sonho. - Por que o de crina longa não me convida? Afinal, Vaska conhece a igreja de cor, e com toda a consciência eu conheço a igreja... Espere, vou lhe dar uma lição... A diversão de Serov é inútil, mas estou tentando cuidar do meu órfão sem raízes ... Oh, eu gostaria de poder alimentar minha mãe espiã com creme de leite!...

É preciso dizer que o desajeitado Grisha conhecia muito bem o calendário e o catecismo, mas seu infortúnio foi o constante eclipse mental; ele confundiu as palavras de acordo com a consonância - seus espiões amadureceram em esterco, seus cogumelos traíram sua terra natal. E assim, quando logo na primeira aula aquele que sonhava com um clero se ofereceu para responder de acordo com o serviço divino, ouvimos com prazer a apresentação de Grishin. Ele até conseguiu evitar palavras que o confundissem. O arcipreste também ficou cauteloso no bom sentido e fez a última pergunta sobre a “proskomedia de presentes previamente consagrados”, e Yurkin começou a responder claramente, sem hesitação, que seu Serov:

A microscopia da letargia e dos presentes saciados está acontecendo...

O professor da lei avançou com os punhos cerrados sobre o pobre jovem:

Besteira diabólica! Cale sua garganta escurecida! Rindo, Grisha estava prestes a bufar com o tremor da barba de Protopop, mas depois ficou muito indignado.

Então, por despeito, vou te provar, que pop rude!... - ameaçou após a partida.

E bem, Yurkin, no entanto, tornou-se padre na aldeia de Levitin. Os homens, dizem, adoravam o padre simples e alegre, e se não fosse pela vodca que Grisha bebia imensamente, talvez ele tivesse se tornado o arcipreste. Mas um dia, durante a missa, apareceu-lhe uma serpente verde vinda do coro. Yurkin jogou o incensário na boca da cobra e praguejou obscenamente contra a multidão horrorizada de paroquianos.

Espaço euclidiano

Espaço euclidiano(Também Espaço euclidiano) - no sentido original, um espaço cujas propriedades são descritas pelos axiomas da geometria euclidiana. Neste caso, assume-se que o espaço tem dimensão 3.

No sentido moderno, num sentido mais geral, pode designar um dos objetos semelhantes e intimamente relacionados definidos abaixo. Normalmente, o espaço euclidiano -dimensional é denotado por, embora a notação não totalmente aceitável seja frequentemente usada.

no caso mais simples ( Norma euclidiana):

onde (no espaço euclidiano você sempre pode escolher uma base em que esta versão mais simples seja verdadeira).

2. Espaço métrico, correspondente ao espaço descrito acima. Ou seja, com a métrica inserida conforme a fórmula:

Definições relacionadas

• Sob Métrica euclidiana pode ser entendida como a métrica descrita acima, bem como a métrica Riemanniana correspondente.

• Por euclidiana local geralmente queremos dizer que cada espaço tangente de uma variedade Riemanniana é um espaço euclidiano com todas as propriedades resultantes, por exemplo, a capacidade (devido à suavidade da métrica) de introduzir coordenadas em uma pequena vizinhança de um ponto em que a distância é expressa (até alguma ordem de grandeza) conforme descrito acima.

• Um espaço métrico também é chamado localmente euclidiano se for possível introduzir nele coordenadas nas quais a métrica será euclidiana (no sentido da segunda definição) em todos os lugares (ou pelo menos em um domínio finito) - o que, por exemplo, é uma variedade Riemanniana de curvatura zero.

Exemplos

Exemplos ilustrativos de espaços euclidianos são os seguintes espaços:

Exemplo mais abstrato:

Variações e generalizações

Veja também

Ligações

Fundação Wikimedia. 2010.

• Espaço linear
• Convexo funcional

Veja o que é “espaço euclidiano” em outros dicionários:

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