O conjunto tecnológico geral de um elemento de produção pode ser. Descrição da produção utilizando um conjunto tecnológico

2. Conjuntos de produção e funções de produção

2.1. Conjuntos de produção e suas propriedades

Consideremos o participante mais importante nos processos econômicos - um fabricante individual. O fabricante realiza seus objetivos somente através do consumidor e, portanto, deve adivinhar, entender o que ele deseja e satisfazer suas necessidades. Assumiremos que existem n bens diferentes, a quantidade do enésimo produto é denotada por x n, então um determinado conjunto de bens é denotado por X = (x 1, ..., x n). Consideraremos apenas quantidades não negativas de bens, de modo que x i  0 para qualquer i = 1, ..., n ou X > 0. O conjunto de todos os conjuntos de bens é chamado de espaço de bens C. Um conjunto de bens os bens podem ser tratados como uma cesta na qual esses bens se encontram em quantidades apropriadas.

Deixe a economia operar no espaço de bens C = (X = (x 1, x 2, …, x n): x 1, …, x n  0). O espaço do produto consiste em vetores n-dimensionais não negativos. Consideremos agora um vetor T de dimensão n, cujos primeiros m componentes são não positivos: x 1, …, x m  0, e os últimos (n-m) componentes são não negativos: x m +1, …, x n  0. Vetor X = (x 1,…, x m ) vamos ligar vetor de custo, e vetor Y = (x m+1 , …, x n) – vetor de liberação. Vamos chamar o vetor T = (X,Y) vetor de entrada-saída ou tecnologia.

Em seu significado, tecnologia (X,Y) é uma forma de transformar recursos em produtos acabados: ao “misturar” recursos na quantidade de X, obtemos produtos na quantidade de Y. Cada fabricante específico é caracterizado por um determinado conjunto τ de tecnologias, o que é chamado conjunto de produção. Um conjunto sombreado típico é mostrado na Fig. 2.1. Este fabricante usa um produto para produzir outro.

Arroz. 2.1. Conjunto de produção

O conjunto de produção reflete a amplitude das capacidades do fabricante: quanto maior for, mais amplas serão suas capacidades. O conjunto de produção deve satisfazer as seguintes condições:

é fechado - isso significa que se o vetor de entrada-saída T for aproximado com a precisão desejada pelos vetores de τ, então T também pertence a τ (se todos os pontos do vetor T estiverem em τ, então Tτ veja a Fig. 2.1 pontos C e B);

em τ(-τ) = (0), ou seja, se Tτ, T ≠ 0, então -Tτ – custos e produção não podem ser trocados, ou seja, a produção é um processo irreversível (conjunto – τ está no quarto quadrante , onde y é 0);

o conjunto é convexo, esta suposição leva a uma diminuição do retorno dos recursos processados ​​​​com um aumento nos volumes de produção (a um aumento na taxa de gastos com produtos acabados). Então, da Fig. 2.1 é claro que y/x  diminui à medida que x  -. Em particular, o pressuposto da convexidade leva a uma diminuição da produtividade do trabalho à medida que a produção aumenta.

Freqüentemente, a convexidade simplesmente não é suficiente e, então, é necessária uma convexidade estrita do conjunto de produção (ou de parte dele).

2.2. Curva de Possibilidades de Produção

e custos de oportunidade

O conceito de conjunto de produção em consideração distingue-se por um elevado grau de abstração e, devido à sua extrema generalidade, é de pouca utilidade para a teoria económica.

Considere, por exemplo, a Fig. 2.1. Comecemos pelos pontos B e C. Os custos dessas tecnologias são os mesmos, mas o resultado é diferente. O fabricante, se não for desprovido de bom senso, nunca escolherá a tecnologia B, pois existe uma tecnologia melhor C. Neste caso (ver Fig. 2.1), encontramos para cada x  0 o ponto mais alto (x, y ) no conjunto de produção. Obviamente, ao custo x, a tecnologia (x, y) é a melhor. Nenhuma tecnologia (x, b) com função de produção b. A definição exata da função de produção:

Y = f(x)(x, y) τ, e se (x, b)  τ e b  y, então b = x .

Da Fig. 2.1 é claro que para qualquer x  0 tal ponto y = f(x) é único, o que, de fato, nos permite falar de uma função de produção. Mas a situação é muito simples se apenas um produto for produzido. No caso geral, para o vetor de custo X denotamos o conjunto M x = (Y:(X,Y)τ). Definir Mx – é o conjunto de todas as saídas possíveis a custos X. Neste conjunto, considere a “curva” de possibilidades de produção K x = (YM x: se ZM x e Z  Y, então Z = X), ou seja, K x – estes são muitos dos melhores lançamentos, não há nenhum melhor. Se dois bens são produzidos, então isto é uma curva, mas se mais de dois bens são produzidos, então isto é uma superfície, um corpo, ou um conjunto de dimensão ainda maior.

Assim, para qualquer vetor de custos X, todos os melhores resultados estão na curva de possibilidades de produção (superfície). Portanto, por questões econômicas, o fabricante deve escolher a partir daí a tecnologia. Para o caso da liberação de duas mercadorias y 1, y 2, a imagem é mostrada na Fig. 2.2.

Se operarmos apenas com indicadores físicos (toneladas, metros, etc.), então para um determinado vetor de custos X só teremos que escolher o vetor de produção Y na curva de possibilidades de produção, mas ainda não podemos decidir qual produto específico deve ser escolhido. Se o próprio conjunto de produção τ for convexo, então M x também é convexo para qualquer vetor de custo X. A seguir, precisaremos da convexidade estrita do conjunto M x. No caso da produção de dois bens, isso significa que a tangente à curva de possibilidades de produção K x tem apenas um ponto comum com esta curva.

Arroz. 2.2. Curva de possibilidade de produção

Consideremos agora a questão do chamado custos de oportunidade. Suponhamos que a saída esteja fixa no ponto A(y 1 , y 2), veja a Fig. 2.2. Agora há necessidade de aumentar a produção do 2º produto em y 2, utilizando, é claro, o mesmo conjunto de custos. Isso pode ser feito, como pode ser visto na Fig. 2.2, transferindo a tecnologia para o ponto B, para o qual, com um aumento na produção do segundo produto em y 2, será necessário reduzir a produção do primeiro produto em y 1.

Imputadocustoso primeiro produto em relação ao segundo no ponto A chamado
. Se a curva de possibilidades de produção é dada pela equação implícita F(y 1 ,y 2) = 0, então δ 1 2 (A) = (F/y 2)/(F/y 1), onde o derivadas parciais são obtidas no ponto A. Se você olhar atentamente para a figura em questão, encontrará um padrão interessante: ao descer a curva de possibilidades de produção a partir da esquerda, os custos de oportunidade diminuem de valores muito grandes para valores muito pequenos .

2.3. Funções de produção e suas propriedades

Uma função de produção é uma relação analítica que conecta valores variáveis ​​​​de custos (fatores, recursos) com a quantidade de produção. Historicamente, um dos primeiros trabalhos sobre a construção e utilização de funções de produção foi o trabalho de análise da produção agrícola nos Estados Unidos. Em 1909, Mitscherlich propôs uma função de produção não linear: fertilizantes - rendimento. Independentemente, Spillman propôs uma equação de rendimento exponencial. Com base neles, foram construídas várias outras funções de produção agrotécnica.

As funções de produção são projetadas para modelar o processo de produção de uma determinada unidade econômica: uma empresa separada, uma indústria ou toda a economia do estado como um todo. Com a ajuda das funções de produção, os seguintes problemas são resolvidos:

avaliar o retorno de recursos no processo produtivo;

previsão do crescimento económico;

desenvolver opções para um plano de desenvolvimento de produção;

otimizar o funcionamento de uma unidade de negócio sujeita a um determinado critério e limitações de recursos.

Forma geral da função de produção: Y = Y(X 1, X 2, ..., X i, ..., X n), onde Y é um indicador que caracteriza os resultados da produção; X – indicador fatorial do i-ésimo recurso de produção; n – número de indicadores de fator.

As funções de produção são determinadas por dois grupos de pressupostos: matemáticos e econômicos. Matematicamente, espera-se que a função de produção seja contínua e duplamente diferenciável. As suposições econômicas são as seguintes: na ausência de pelo menos um recurso de produção, a produção é impossível, ou seja, Y(0, X 2, ..., X i, ..., X n) =

Y(X 1 , 0, …, X eu , …, X n) = …

S(X 1, X 2, …, 0, …, X n) = …

Y(X 1, X 2, …, X i, …, 0) = 0.

Contudo, não é possível determinar satisfatoriamente o único produto Y para determinados custos X utilizando indicadores naturais: a nossa escolha restringiu-se apenas à “curva” de possibilidades de produção K x . Por estas razões, apenas foi desenvolvida a teoria das funções de produção dos produtores, cuja produção pode ser caracterizada por um valor - seja o volume da produção, se um produto for produzido, ou o valor total de toda a produção.

O espaço de custo é m-dimensional. Cada ponto no espaço de custos X = (x 1, ..., x m) corresponde a uma única produção máxima (ver Fig. 2.1) produzida utilizando estes custos. Essa relação é chamada de função de produção. No entanto, a função de produção é geralmente entendida de forma menos restritiva e qualquer relação funcional entre insumos e produtos é considerada uma função de produção. A seguir, assumiremos que a função de produção possui as derivadas necessárias. Supõe-se que a função de produção f(X) satisfaça dois axiomas. O primeiro deles afirma que existe um subconjunto de espaço de custos denominado área econômica E, em que um aumento em qualquer tipo de insumo não leva a uma diminuição no produto. Assim, se X 1, X 2 são dois pontos desta região, então X 1  X 2 implica f(X 1)  f(X 2). Na forma diferencial, isso se expressa no fato de que nesta região todas as primeiras derivadas parciais da função são não negativas: f/x 1 ≥ 0 (para qualquer função crescente a derivada é maior que zero). Esses derivados são chamados produtos marginais, e o vetor f/X = (f/x 1 , …, f/x m) – vetor de produtos marginais (mostra quantas vezes a produção mudará quando os custos mudarem).

O segundo axioma afirma que existe um subconjunto convexo S do domínio econômico para o qual os subconjuntos (XS:f(X)  a) são convexos para todo a  0. Neste subconjunto S, a matriz Hessiana composta pelo segunda derivada da função f(X) , é definido negativo, portanto,  2 f/x 2 i

Detenhamo-nos no conteúdo económico destes axiomas. O primeiro axioma afirma que a função de produção não é uma função completamente abstrata inventada por um teórico matemático. Embora não em todo o seu domínio de definição, mas apenas em parte dele, reflete uma afirmação economicamente importante, indiscutível e ao mesmo tempo trivial: VNuma economia razoável, um aumento nos custos não pode levar a uma diminuição na produção. A partir do segundo axioma explicaremos apenas o significado econômico da exigência de que a derivada  2 f/x 2 i seja menor que zero para cada tipo de custo. Esta propriedade é chamada em economia atrásA lei dos retornos decrescentes ou retornos decrescentes: à medida que os custos aumentam, a partir de um determinado momento (ao entrar na região S!), poro produto marginal começa a diminuir. O exemplo clássico desta lei é a adição cada vez maior de mão-de-obra à produção de cereais num pedaço fixo de terra. A seguir, assume-se que a função de produção é considerada em uma região S na qual ambos os axiomas são válidos.

Você pode criar uma função de produção para uma determinada empresa, mesmo sem saber nada sobre ela. Basta colocar um contador (seja uma pessoa ou algum tipo de dispositivo automático) no portão do empreendimento, que registrará X - recursos importados e Y - a quantidade de produtos que o empreendimento produziu. Se você acumular uma quantidade suficiente dessas informações estáticas e levar em consideração o funcionamento da empresa em vários modos, poderá prever a produção, conhecendo apenas o volume de recursos importados, e isso é o conhecimento da função de produção.

2.4. Função de produção Cobb-Douglas

Vamos considerar uma das funções de produção mais comuns - a função Cobb-Douglas: Y = AK  L , onde A, ,  > 0 são constantes,  + 

Y/K = AαK α -1 L β > 0, Y/L = AβK α L β -1 > 0.

A negatividade das segundas derivadas parciais, ou seja, produtos marginais decrescentes: Y 2 /K 2 = Aα(α–1)K α -2 L β 0.

Passemos às principais características econômicas e matemáticas da função de produção Cobb-Douglas. Produtividade média do trabalhoé definido como y = Y/L – a relação entre o volume de produto produzido e a quantidade de mão de obra despendida; produtividade média de capital k = S/K – relação entre o volume do produto produzido e o valor dos fundos.

Para a função Cobb-Douglas, a produtividade média do trabalho y = AK  L  , e devido à condição , com o aumento dos custos do trabalho, a produtividade média do trabalho diminui. Esta conclusão permite uma explicação natural - uma vez que o valor do segundo factor K permanece inalterado, significa que a força de trabalho recentemente atraída não dispõe de meios de produção adicionais, o que leva a uma diminuição da produtividade do trabalho (isto também é verdade em o caso mais geral - ao nível dos conjuntos de produção).

Produtividade marginal do trabalho Y/L = AβK α L β -1 > 0, o que mostra que para a função Cobb-Douglas, a produtividade marginal do trabalho é proporcional à produtividade média e é menor que esta. A produtividade média e marginal do capital são determinadas de forma semelhante. Para eles, o índice indicado também é válido - a produtividade marginal do capital é proporcional à produtividade média do capital e é menor que ela.

Uma característica importante é como relação capital-trabalho f = K/L, mostrando o volume de recursos por funcionário (por unidade de trabalho).

Vamos agora encontrar a elasticidade-trabalho da produção:

(Y/L):(Y/L) = (Y/L)L/Y = AβK α L β -1 L/(AK α L β) = β.

Então o significado é claro parâmetro - Esse elasticidade (razão entre a produtividade marginal do trabalho e a produtividade média do trabalho) da produção por trabalho. A elasticidade do trabalho da produção significa que para aumentar a produção em 1%, é necessário aumentar o volume de recursos de trabalho em %. Tem um significado semelhante parâmetro – é a elasticidade da produção entre fundos.

E mais um significado parece interessante. Seja  +  = 1. É fácil verificar que Y = (Y/K)/K + (Y/L)L (substituindo o Y/K, Y/L calculado anteriormente em esta fórmula). Suponhamos que a sociedade seja constituída apenas por trabalhadores e empresários. Então a renda Y é dividida em duas partes - a renda dos trabalhadores e a renda dos empresários. Dado que no tamanho óptimo da empresa o valor Y/L - o produto marginal do trabalho - coincide com os salários (isto pode ser comprovado), então (Y/L)L representa o rendimento dos trabalhadores. Da mesma forma, o valor Y/K é o retorno marginal do capital, cujo significado econômico é a taxa de lucro, portanto, (Y/K)K representa a renda dos empresários.

A função Cobb-Douglas é a mais famosa entre todas as funções de produção. Na prática, ao construí-lo, algumas vezes alguns requisitos são dispensados ​​(por exemplo, a soma  +  pode ser maior que 1, etc.).

Exemplo 1. Seja a função de produção a função Cobb-Douglas. Para aumentar a produção em a = 3%, é necessário aumentar os ativos fixos em b = 6% ou o número de empregados em c = 9%. Atualmente, um trabalhador produz produtos no valor de M = 10 4 rublos por mês . , e o número total de funcionários é L = 1.000. Os ativos fixos são avaliados em K = 10 8 rublos. Encontre a função de produção.

Solução. Vamos encontrar os coeficientes , :  = a/b = 3/6 = 1/2,  = a/c = = 3/9 = 1/3, portanto, Y = AK 1/2 L 1/3. Para encontrar A, substituímos os valores K, L, M nesta fórmula, lembrando que Y = ML = 1000 . 10 4 = 10 7 – – 10 7 = A(10 8) 1/2 1000 1/3. Portanto A = 100. Assim, a função de produção tem a forma: Y = 100K 1/2 L 1/3.

2.5. Teoria da empresa

Na seção anterior, ao analisar e modelar o comportamento do fabricante, utilizamos apenas indicadores naturais e dispensamos preços, mas não conseguimos resolver definitivamente o problema do fabricante, ou seja, indicar o único curso de ação para ele no atual condições. Agora vamos considerar os preços. Seja P um vetor de preços. Se T = (X,Y) é uma tecnologia, ou seja, um vetor de entrada-saída, X é custos, Y é produção, então o produto escalar PT = PX + PY é o lucro do uso da tecnologia T (custos são quantidades negativas) . Agora formulemos uma formalização matemática do axioma que descreve o comportamento do fabricante.

Problema do fabricante: O fabricante seleciona uma tecnologia do seu conjunto de produção, visando maximizar os lucros . Assim, o fabricante resolve o seguinte problema: PT→max, Tτ. Este axioma simplifica muito a situação de escolha. Assim, se os preços forem positivos, o que é natural, então a componente “produção” da solução para este problema estará automaticamente na curva de possibilidades de produção. Na verdade, seja T = (X,Y) alguma solução para o problema do fabricante. Então existe ZK x , Z  Y, portanto, P(X, Z)  P(X, Y), o que significa que o ponto (X, Z) também é uma solução para o problema do fabricante.

Para o caso de dois tipos de produtos, o problema pode ser resolvido graficamente (Fig. 2.3). Para isso, é necessário “deslocar” uma reta perpendicular ao vetor P na direção para onde ele aponta; então o último ponto, quando esta reta ainda intercepta o conjunto de produção, será a solução (na Fig. 2.3 este é o ponto T). Como é fácil de ver, a convexidade estrita da parte necessária do conjunto de produção no segundo quadrante garante a unicidade da solução. O mesmo raciocínio se aplica no caso geral, para um maior número de tipos de insumos e produtos. Porém, não seguiremos esse caminho, mas utilizaremos o aparato das funções de produção e chamaremos o fabricante de empresa. Assim, a produção da empresa pode ser caracterizada por um valor - ou o volume da produção, se um produto for produzido, ou o valor total de toda a produção. O espaço de custo é m-dimensional, o vetor de custo X = (x 1, ..., x m). Os custos determinam exclusivamente a produção Y, e essa relação é a função de produção Y = f(X).

Arroz. 2.3. Resolvendo o problema do fabricante

Nesta situação, denotaremos por P o vetor de preços dos custos dos bens e seja v o preço de uma unidade de bens manufaturados. Portanto, o lucro W, que em última análise é uma função de X (e dos preços, mas são considerados constantes), é W(X) = vf(X) – PX→max, X  0. Equacionando as derivadas parciais da função W a zero, obtemos:

v(f/x j) = p j para j = 1, …, m ou v(f/X) = P (2.1)

Assumiremos que todos os custos são estritamente positivos (zero pode simplesmente ser excluído da consideração). Então o ponto dado pela relação (2.1) acaba sendo interno, ou seja, um ponto extremo. E como a matriz Hessiana da função de produção f(X) também é considerada definida negativamente (com base nos requisitos para funções de produção), este é o ponto máximo.

Assim, sob suposições naturais sobre funções de produção (essas suposições são atendidas para um produtor com bom senso e em uma economia razoável), a relação (2.1) dá uma solução para o problema da empresa, ou seja, determina o volume X * de recursos processados, resultando na saída Y * = f(X *) O ponto X *, ou (X *,f(X *)) será chamado de solução ótima da empresa. Detenhamo-nos no significado económico da relação (2.1). Como afirmado, (f/X) = (f/x 1 ,…,f/x m) é chamado vetor de produto marginal ou vetor de produtos marginais, e f/x i é chamado de i-ésimo produto marginal, ou liberar resposta à mudança eu -º custo do item. Portanto, vf/x i dx i é preço eu -ésimo produto marginal obtido adicionalmente de dx eu unidades eu o recurso. No entanto, o custo de dx i unidades do i-ésimo recurso é igual a р i dx i , ou seja, um equilíbrio foi obtido: é possível envolver dx i unidades adicionais do i-ésimo recurso na produção, gastando р dx i na sua compra, mas não haverá ganho, t Porque após o processamento dos produtos, receberemos exatamente o mesmo valor que gastamos. Conseqüentemente, o ponto ótimo dado pela relação (2.1) é um ponto de equilíbrio - não é mais possível extrair dos bens-recursos mais do que foi gasto em sua compra.

Obviamente, o aumento da produção da empresa ocorreu de forma gradual: no início, o custo dos produtos marginais era inferior ao preço de compra dos bens e recursos necessários à sua produção. Os volumes de produção aumentam até que a relação (2.1) comece a ser cumprida: igualdade do valor dos produtos marginais e do preço de compra dos bens e recursos necessários à sua produção.

Suponhamos que no problema da empresa W(X) = vf(X) – PX → max, X  0, a solução X * é única para v > 0 e P > 0. Assim, obtemos a função vetorial X * = X * ( v, P), ou funções x * I = x * i (v, p 1 , p m) para i = 1, …, m. Essas m funções são chamadas funções de demanda de recursos a determinados preços para produtos e recursos. Em essência, essas funções significam que se os preços P para os recursos e o preço v para os bens produzidos forem estabelecidos, um determinado fabricante (caracterizado por uma determinada função de produção) determina o volume de recursos processados ​​usando as funções x * I = x * i (v, p 1, p m) e pede esses volumes no mercado. Conhecendo os volumes de recursos processados ​​e substituindo-os na função de produção, obtemos a produção em função dos preços; vamos denotar esta função por q * = q * (v,P) = f(X(v,P)) = Y * . É chamado função de fornecimento de produto dependendo do preço v para produtos e preços P para recursos.

A-priorado, i-ésimo tipo de recurso chamado de pouco valor, se e apenas se,x * i /v ou seja, quando o preço de um produto aumenta, a demanda por um recurso de baixo valor diminui. É possível provar uma relação importante: q * /P = -X * /v ou q * /p i = -x * i /v, para i = 1, …, m. Conseqüentemente, um aumento no preço de um produto leva a um aumento (diminuição) na demanda por um determinado tipo de recurso se, e somente se, um aumento no pagamento por esse recurso levar a uma redução (aumento) na produção ótima. Isso mostra a principal propriedade dos recursos de baixo valor: um aumento no pagamento por eles leva a um aumento na produção! No entanto, é possível provar estritamente a existência de tais recursos, cujo aumento no pagamento leva a uma diminuição na produção (ou seja, todos os recursos não podem ser de baixo valor).

Também é possível provar que x * i /p i são complementares se x * i /p j são intercambiáveis ​​se x * i /p j > 0. Ou seja, para recursos complementares, um aumento no preço de um deles leva a uma queda na demanda por outro e, para recursos intercambiáveis, um aumento no preço de um deles leva a um aumento na demanda pelo outro. Exemplos de recursos complementares: computador e seus componentes, móveis e madeira, xampu e condicionador para ele. Exemplos de recursos fungíveis: açúcar e substitutos do açúcar (por exemplo, sorbitol), melancias e melões, maionese e creme de leite, manteiga e margarina, etc.

Exemplo 2. Para uma empresa com função de produção Y = 100K 1/2 L 1/3 (do exemplo 1), encontre o tamanho ideal se o período de depreciação dos ativos fixos for N = 12 meses, o salário do funcionário por mês for a = 1000 rublos .

Solução. O tamanho ideal da produção ou volume de produção é encontrado na relação (2.1). Neste caso, a produção é medida em termos monetários, então v = 1. O custo de manutenção mensal de um rublo de fundos é 1/N, ou seja, obtemos um sistema de equações

, resolvendo o que encontramos a resposta:
, eu = 8 . 10 3, K = 144. 10 6.

2.6. Tarefas

1. Seja a função de produção a função Cobb-Douglas. Para aumentar a produção em 1%, é necessário aumentar o ativo imobilizado em b = 4% ou o número de empregados em c = 3%. Atualmente, um trabalhador produz produtos no valor de M = 10 5 rublos por mês . , e o número total de trabalhadores é L = 10 4 . Os ativos fixos são avaliados em K = 10 6 rublos. Encontre a função de produção, produtividade média do capital, produtividade média do trabalho, relação capital-trabalho.

2. Um grupo de “ônibus” no valor de E decidiu se unir a N vendedores. O lucro de um dia de trabalho (receitas menos despesas, mas não salários) é expresso pela fórmula Y = 600(EN) 1/3. O salário do trabalhador do transporte é de 120 rublos. por dia, vendedor - 80 rublos. Em um dia. Encontre a composição ideal do grupo de “lançadores” e vendedores, ou seja, quantos “lançadores” deve haver e quantos vendedores.

3. Um empresário decidiu fundar uma pequena empresa de transporte rodoviário. Depois de se familiarizar com as estatísticas, viu que a dependência aproximada da receita diária do número de carros A e do número N é expressa pela fórmula Y = 900A 1/2 N 1/4. A depreciação e outras despesas diárias de uma máquina são de 400 rublos, o salário diário de um trabalhador é de 100 rublos. Encontre o número ideal de trabalhadores e veículos.

4. O empresário decidiu abrir uma cervejaria. Suponhamos que a dependência da receita Y (menos o custo da cerveja e dos salgadinhos) do número de mesas M e do número de garçons F seja expressa pela fórmula Y = 200M 2/3 F 1/4. O custo de uma mesa é de 50 rublos, o salário do garçom é de 100 rublos. Encontre o tamanho ideal do bar, ou seja, o número de garçons e mesas.

Conceitoé familiar a cada pessoa, pois nasce e vive entre um conjunto de coisas característico da cultura material de sua sociedade. Mesmo toda a teoria econômica começa com uma descrição do conjunto de assuntos, que foi dado na obra, comparando o número e a quantidade de objetos e o número de profissões (tecnologias), que determinavam a riqueza de um determinado estado. Outra coisa é que todas as teorias anteriores aceitavam esta posição axiomaticamente, mas junto com a perda de interesse pelo conceito que entendiam o significado do conjunto sujeito-tecnológico apenas em conexão com o separado.

Portanto, esta ainda é uma descoberta que PTM associado, que só às vezes pode coincidir com a economia do estado. O fenômeno do conjunto sujeito-tecnológico acabou por não ser tão simples como os economistas pensavam. Neste artigo sobre o conjunto sujeito-tecnológico o leitor encontrará não apenas descrição do conjunto sujeito-tecnológico gosto, mas também a história do reconhecimento PTM como medida de comparação do desenvolvimento dos países.

conjunto sujeito-tecnológico

As próprias pessoas são produto de um padrão de vida bastante elevado, que os hominídeos das estepes alcançaram graças ao aparecimento de alguns estáveis ​​​​em seus rebanhos. Se a coleta de primatas, como forma de obter recursos do território de um complexo natural, não exigia o esforço conjunto de vários indivíduos, então a caça aos grandes ungulados, que se tornou a principal forma de garantir a existência dos hominídeos durante o desenvolvimento de nas estepes, foi uma atividade complexamente organizada com divisão de papéis entre vários participantes.

Ao mesmo tempo, o pequeno tamanho dos hominídeos das estepes não lhes permitia matar um animal grande sem ferramentas de caça, mesmo como parte de um grupo. Porém, nas estepes, pedras de formatos adequados não estão espalhadas por toda parte e é difícil encontrar uma vara afiada, por isso os hominídeos tiveram que carregar consigo ferramentas de caça. Junto com as roupas, que surgiram junto com o andar ereto, cuja consequência foi a perda de cabelos, e simplesmente por causa do clima fresco das estepes, os Rebanhos-TRIBOS adquirem um certo conjunto, ou seja - muitos- itens cuja presença proporciona aos membros um nível de existência livre de fome.

As pessoas aparecem junto com o luxo, ou seja, objetos para os quais os hominídeos antes não tinham tempo - seja para simplesmente se apropriar dos objetos da Natureza que lhes interessavam, seja para produzi-los com trabalho, já que não havia necessidade nem oportunidade de carregar constantemente consigo. eles. Itens de luxo incluem todas as ferramentas aprimoradas, afinal, para as pessoas, como uma das espécies de mamíferos, é suficiente para a vida um conjunto de bens vitais, cuja produção era plenamente assegurada pela variedade de objetos que os hominídeos carregavam nas embalagens. Como ser biológico, o homem, já há milhões de anos, poderia e viveu acima do nível dos hominídeos com a mesma variedade de objetos, mas nos humanos é tão forte que as pessoas não pararam no nível dos hominídeos, como deveria ter sido. para uma espécie animal que atingiu um nível de prosperidade. As pessoas não tiveram a oportunidade de melhorar as condições de vida no ambiente natural, por isso começaram a criar seu próprio ambiente artificial a partir de objetos de trabalho.

Nas tribos humanas continuou a operar a influência, herdada dos hominídeos, em cujos rebanhos o primeiro consumidor de qualquer luxo (belas penas como exemplo de “encanto”) só poderia ser o líder. Quando o líder tinha muitas penas, ele as dava aos seus associados - membros de alto status. Tal prática de presentear entre os demais membros da tribo, deu origem à crença de que possuir um item de uso do líder aumenta o status do proprietário na hierarquia. O consumo de acordo com o status forçou os membros de alto escalão da sociedade a exigirem as coisas mais luxuosas.

Ao mesmo tempo, muitos membros de baixo escalão estão dispostos a sacrificar muito para conseguir coisas do uso dos hierarcas, pois a posse dessas coisas lhes permite sentir um aumento em seu status diante dos outros. Assim, as coisas que apareciam pela primeira vez no cotidiano dos hierarcas, em cópias, tornaram-se objetos de consumo de membros de alto status, e a luxúria por parte de outros membros com forte instinto hierárquico levou à produção em massa, o que baixou o preço, tornando a coisa acessível a qualquer membro da comunidade. Esta corrida por coisas de prestígio continuou por milhares de anos, aumentando a variedade de objetos, de modo que agora vivemos cercados por milhões de objetos que tornam a vida das pessoas SÓ MUITO MAIS CONFORTÁVEL do que o estilo de vida do ancestral hominídeo.

Mas biologicamente, uma pessoa ainda é o mesmo hominídeo com um instinto hierárquico, que ela realiza em um campo chamado -. Conjunto sujeito-tecnológico há outra diferença entre humanos e animais - este é um novo habitat artificial que os humanos criam graças ao progresso científico e tecnológico, cuja força motriz é. Como vemos, não há nada de sagrado no DESENVOLVIMENTO ECONÔMICO, apenas a satisfação é um dos instintos.

Podemos dizer que é familiar a cada pessoa, pois ela nasce e vive rodeada de uma infinidade de objetos, mas a ideia de um conjunto objeto-tecnológico surgiu quando decidiram comparar riqueza de diferentes estados. E aqui conjunto sujeito-tecnológico acabou por ser um indicador claro de riqueza ou grau de desenvolvimento. Em um caso, é possível uma comparação por sortimento - ou seja, pela quantidade de objetos diferentes, o que permite caracterizar o desenvolvimento de uma mesma sociedade ao longo de um determinado período de tempo (que é descrito no tema do progresso científico e tecnológico). Em outro caso, podemos dizer que uma sociedade é mais rica que outra, mas depois é preciso agregar ao parâmetro de sortimento uma característica de qualidade e excelência tecnológica dos itens comparados (isso é estudado no tópico -). Mas, via de regra, no conjunto de objetos de uma sociedade mais rica surgem objetos fundamentalmente novos, em cuja fabricação foram utilizadas novas tecnologias. A ligação entre produtos mais avançados e fundamentalmente novos e novas tecnologias é bastante óbvia, portanto, o que uma determinada sociedade possui, pressupõe não apenas uma lista de itens, mas também conjunto de tecnologias, permitindo a produção desses produtos na esfera de produção desta sociedade.

Para as antigas teorias económicas, a unidade da economia é a economia de um Estado soberano. É a população do estado que é considerada a comunidade cujo conjunto sujeito-tecnológico é determinado pela capacidade da economia de um determinado estado de produzir todos esses itens. E a conexão com a tecnologia é considerada mecânica - literalmente, se o estado possui tecnologias, nada impede a produção de produtos que lhes correspondam.

No entanto, com o advento do sistema global de divisão do trabalho, a imprecisão de identificar a economia de um país com aquela comunidade de pessoas que possui um atributo como conjunto sujeito-tecnológico. O fato é que nos países participantes da divisão internacional do trabalho, a maioria dos componentes, peças e sobressalentes a partir dos quais os produtos acabados são montados aqui podem até não ser produzido no território deste estado e, inversamente, apenas peças são produzidas, mas não são produzidos produtos finais.

Aqui deve ser dito que inconsistência A DISPONIBILIDADE da tecnologia e a POSSIBILIDADE de produzir alguns produtos baseados nela - existia ANTES da divisão internacional do trabalho, mas a velha ciência econômica inconsistência Não percebi, mais ainda - no entendimento das teorias anteriores - que as economias de todos os estados eram equivalentes (a diferença era aceita apenas no tamanho - uma poderia ser maior ou menor que a outra) e assim que a tecnologia foi dada, a POSSIBILIDADE de produzir qualquer coisa apareceu imediatamente.

O facto de a prática ter refutado estes pressupostos teóricos não impediu que a velha ciência económica fornecesse receitas para os países em desenvolvimento construírem instalações de produção de qualquer complexidade tecnológica. Um exemplo muito comum é o da Roménia, que, segundo os economistas, não tem obstáculos para atingir o nível dos Estados Unidos da América, pelo menos na esfera da produção, embora seja claro que para que a variedade sujeito-tecnológica Para que a Roménia se torne tão grande como nos EUA, é necessário ter pelo menos o mesmo número de pessoas na produção. No entanto, se a variedade da variedade temática e tecnológica dos Estados Unidos exceder o número de residentes da Roménia, então não está claro quem no território da Roménia será capaz de produzir tantos itens.

EXISTEM limitações objetivas ao desenvolvimento - e elas provavelmente não se resumem apenas ao tamanho do sistema de divisão do trabalho que pode ser criado no país (por exemplo, na Índia, onde a população teoricamente permite que você crie o maior do mundo , mas a partir da possibilidade teórica - a Índia não ficou mais rica) , e em . Por exemplo, a Finlândia conseguiu por pouco tempo ocupar o lugar de país mais avançado na produção de telefones celulares. Mas nem todos os telefones Nokia fabricados permaneceram dentro do conjunto temático-tecnológico da Finlândia; eles reabasteceram os conjuntos temáticos de muitos países. Portanto, devemos concluir - poder do conjunto sujeito-tecnológico Um produto específico é determinado não tanto pelo número de pessoas empregadas na produção, mas em maior medida pelo tamanho do mercado (o número de produtos depende disso) e, mais importante, pela presença de DEMANDA efetiva em massa para o produto.

Como você pode ver agora - conceito de conjunto sujeito-tecnológico não é tão simples quanto parece. Em primeiro lugar, entendemos agora que conjunto sujeito-tecnológico bastante conectado com algum sistema de divisão do trabalho, e não com o Estado (no sentido, embora historicamente conjunto sujeito-tecnológico derivamos do conjunto de objetivos, que foi o primeiro). Este sistema pode ser parte interna ou externo supersistema em relação à população. Em segundo lugar, imagine conjunto sujeito-tecnológico podemos, se tiver um sortimento contável - caso contrário, o número de objetos diferentes nele é finito, o que implica em um determinado momento no tempo contável número limitado de pessoas na comunidade. Se entendermos por comunidade ter PMT, um sistema de divisão do trabalho, então devemos falar sobre sua PROXIMIDADE, uma vez que os objetos do conjunto são produzidos e consumidos neste sistema.

Seu científico significando conjunto sujeito-tecnológico recebe com abertura novo objeto na economia, que chamou , que representa fechado, em que os itens produzidos também são consumidos nele. Um exemplo de complexo reprodutivo está disponível, mas os seguintes - como, e principalmente - poderiam ter uma combinação de vários.

O termo conjunto sujeito-tecnológico utilizado já em seus primeiros trabalhos, quando se interessou pela interação entre países desenvolvidos e em desenvolvimento. Foi quando comecei a usar termo conjunto sujeito-tecnológico, como uma certa característica da divisão dos sistemas de trabalho que se desenvolveram em diferentes países. Então não ficou muito claro com qual entidade ele estava conectado PMT, É por isso termo conjunto sujeito-tecnológico foi usado para caracterizar estados ao compará-los. Aqui segui o fundador da economia política, que no seu trabalho comparou o bem-estar dos países como uma comparação do número e volume de produtos produzidos pelo trabalho dos cidadãos.

Elegibilidade de uso Conceitos de PMT ao estado - permanece, mas o leitor deve lembrar - conjunto sujeito-tecnológico caracteriza fechado um sistema de divisão do trabalho, o que em alguns modelos pode significar economia de um estado independente.

Outra questão diretamente relacionada com a previsão do presente - A variedade disciplinar-tecnológica pode diminuir? A resposta é, claro, que pode, embora muitas pessoas pensem que o progresso científico e tecnológico só pode aumentar poder do conjunto sujeito-tecnológico, se você olhar para isso como um atributo do estado. É claro que alguns objetos desaparecem naturalmente da vida quotidiana das pessoas, outros são tão melhorados que já não se assemelham ao seu protótipo histórico. Este processo natural está associado ao surgimento de novas tecnologias, mas, como mostra a história do Império Romano - conjunto sujeito-tecnológico pode encolher juntamente com o esquecimento de todas as conquistas tecnológicas, se o sistema de divisão do trabalho que o substitui não for capaz de garantir a reprodução PTM na sua totalidade.

No início da nossa era, começa uma crise demográfica na Europa, de modo que as tribos não conseguem unir-se, e o desejo de remover o excesso de população leva à apropriação de terras. Os estados começam a se desenvolver na periferia do Império Romano, e acontece que a Roma Antiga (como a Grécia Antiga) era um ramo do império oriental no continente europeu. A Europa indígena está a entrar no estado natural do período de formação do Estado, que na Europa, devido ao pequeno número inicial da população que o desenvolveu, mudou séculos mais tarde do que no LESTE. O Império Romano não teve chance de resistir ao desejo de expansão das tribos, e a perda de territórios destruiu o sistema estabelecido de divisão do trabalho, cujo colapso levou ao desaparecimento da demanda pelos antigos produtos de uso diário dos romanos. O colapso do conjunto de assuntos foi tão grande que muitos tecnólogos romanos foram completamente esquecidos e redescobertos somente depois de um milênio, e o padrão de vida que existia nas cidades da Roma Antiga foi novamente alcançado na Europa apenas no século XIX, por exemplo , água encanada nos andares superiores de edifícios de vários andares.

Descrevi as principais nuances do conceito conjunto sujeito-tecnológico, mas deve liderar definição de conjunto sujeito-tecnológico do Glossário oficial de Neoconomia:

O CONCEITO DE MÚLTIPLO SUJEITO-TECNOLÓGICO (PTM)

Esse MÚLTIPLO ASSUNTO-TECNOLÓGICO consiste em objetos (produtos, peças, tipos de matérias-primas) que realmente existem em um determinado sistema de divisão do trabalho, ou seja, são produzidos por alguém e, consequentemente, consumidos - vendidos no mercado ou distribuídos. Quanto às peças, podem não ser mercadorias, mas fazer parte das mercadorias.

Outra parte deste conjunto é um conjunto de tecnologias, ou seja, métodos de produção de bens vendidos no mercado - a partir e/ou com - utilizando itens incluídos neste conjunto. Ou seja, conhecimento das sequências corretas de ações com os elementos materiais do conjunto.

Em cada período de tempo temos conjunto sujeito-tecnológico(PTM) diferentes em potência. À medida que a divisão do trabalho se aprofunda PTM está se expandindo.

A importância deste conceito é determinada pelo fato de que PTM determina a possibilidade de progresso científico e tecnológico. Quando pobre PTM novas invenções, mesmo que possam ser implementadas na forma de protótipos, via de regra, não têm chance de entrar em série se exigirem determinados produtos ou tecnologias que não estão disponíveis em PTM. Eles simplesmente acabam sendo muito caros.

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Na sua frente está apenas trecho do capítulo nº 8 do livro The Age of Growth, em que dá descrição do conjunto sujeito-tecnológico:

Vamos apresentar conceito de conjunto sujeito-tecnológico. Esse conjunto é composto por objetos (produtos, peças, tipos de matérias-primas) que realmente existem, ou seja, produzidos por alguém e, consequentemente, vendidos no mercado. Quanto às peças, podem não ser mercadorias, mas fazer parte das mercadorias. A segunda parte deste conjunto consiste em tecnologias, ou seja, métodos de produção de bens vendidos no mercado a partir e com a ajuda dos itens incluídos neste conjunto. Aquilo é conhecimento das sequências corretas de ações com os elementos materiais do conjunto.

Em cada período de tempo temos um poder diferente conjunto sujeito-tecnológico (PTM). Aliás, não só pode se expandir. Alguns itens deixam de ser produzidos, algumas tecnologias são perdidas. Talvez os desenhos e descrições permaneçam, mas na realidade, se de repente for necessário, a restauração de elementos PTM pode ser um projeto complexo, essencialmente uma nova invenção. Dizem que quando em nossa época tentaram reproduzir a máquina a vapor de Newcomen, tiveram que despender enormes esforços para fazê-la funcionar de alguma forma. Mas no século XVIII, centenas dessas máquinas funcionavam com bastante sucesso.

Mas em geral, PTM Por enquanto está em expansão. Vamos destacar dois casos extremos de como essa expansão pode ocorrer. A primeira é a inovação pura, ou seja, um item completamente novo criado com tecnologia até então desconhecida a partir de matérias-primas completamente novas. Não sei, suspeito que este caso nunca tenha acontecido na realidade, mas vamos supor que possa ser esse o caso.

O segundo caso extremo é quando novos elementos do conjunto são formados como combinações de elementos já existentes PTM. Tais casos não são incomuns. Schumpeter já via a inovação como novas combinações do que já existe. Tomemos os mesmos computadores pessoais. Em certo sentido, não se pode dizer que tenham sido “inventados”. Todos os seus componentes já existiam e foram simplesmente combinados de uma certa maneira.

Se podemos falar aqui de alguma descoberta é que a hipótese inicial: “eles vão comprar essa coisa” estava completamente justificada. Embora, se você pensar bem, então não era nada óbvio, e a grandeza da descoberta reside precisamente nisso.

Pelo que entendemos, a maioria dos novos itens PTM representam um caso misto: mais próximo do primeiro ou do segundo. Assim, a tendência histórica, parece-me, é que a proporção de invenções próximas do primeiro tipo esteja diminuindo e as próximas do segundo estejam aumentando.

Em geral, à luz da minha história sobre os dispositivos da série A e dispositivo B Está claro por que isso acontece. Para mais detalhes, consulte o capítulo 8 do livro clicando no botão:

Um conjunto formalizador de todos os vetores de resultados líquidos tecnologicamente viáveis.

Definição

Deixe a economia ter $N$ bom No processo de produção deles $n$ os benefícios são gastos. Vamos denotar o vetor desses benefícios (custos) $x$(dimensão vetorial $n$). Outro $m=Nn$ mercadorias são liberadas no processo de produção (a dimensão do vetor é $eu$). Vamos denotar o vetor desses benefícios $sim$. Então o vetor $z=(-x,y)$(dimensão - $N$) é chamado de vetor problemas líquidos. A totalidade de todos os vetores de resultados líquidos tecnologicamente viáveis ​​é conjunto tecnológico. Na verdade, este é algum subconjunto do espaço $R^N$.

Para leitores que têm dificuldade com conceitos vetoriais, existem muitos:

vetor - uma lista de bens, cada bem é descrito por sua quantidade, um conjunto de números;

todos os bens consumidos na produção são registrados no início do vetor de produção líquida z com sinal menos (-x), aqueles produzidos com sinal mais (y);

todas as combinações possíveis de produção formam um conjunto tecnológico (combinações de produção).

Propriedades

• Não-vazio: o conjunto tecnológico não está vazio. O não-vazio significa a possibilidade fundamental de produção.
• Aceitabilidade da inatividade: o vetor zero pertence ao conjunto tecnológico. Esta propriedade formal significa que saída zero com entrada zero é aceitável.
• Fechamento: o conjunto tecnológico contém a sua própria fronteira e o limite de qualquer sequência de vetores de resultados líquidos tecnologicamente viáveis ​​também pertence ao conjunto tecnológico.
• Liberdade para gastar: se o vetor fornecido $z$ pertence ao conjunto tecnológico, então qualquer vetor pertence a ele $z"\backslash leqslant\; z$. Isto significa que formalmente o mesmo volume de produção pode ser produzido a custos mais elevados.
• Ausência de uma "cornucópia": dos vetores não negativos do produto líquido, apenas o vetor zero pertence ao conjunto tecnológico. Isso significa que custos diferentes de zero são necessários para produzir uma quantidade positiva de produção.
• Irreversibilidade: para qualquer vetor válido $z$, vetor oposto $-z$ não pertence ao conjunto tecnológico. Ou seja, é impossível produzir recursos a partir de produtos manufaturados nas mesmas quantidades que são utilizadas para produzir esses produtos.
• Aditividade: A soma de dois vetores válidos também é um vetor válido. Ou seja, é permitida uma combinação de tecnologias.
• Propriedades relacionadas aos retornos à escala de produção:
  • Retornos não crescentes de escala: para qualquer um $\backslash lambda\backslash in\; (0;1)$ $\backslash lambdaz$
  • Retornos não decrescentes de escala: para qualquer um $\backslash lambda\; >1$ se z pertence ao conjunto tecnológico, então $\backslash lambdaz$ também pertence ao conjunto tecnológico.
  • Retornos constantes de escala: cumprimento simultâneo das duas propriedades anteriores, ou seja, para qualquer positivo $\backslash lambda$ Se $z$ pertence ao conjunto tecnológico, então $\backslash lambdaz$ também pertence ao conjunto tecnológico. A propriedade de retorno constante significa que o conjunto tecnológico é um cone.

8. Convexo: para quaisquer dois vetores válidos $z\_1,\; z\_2$ Quaisquer vetores também são válidos $\backslash alfa\; z\_1\; +(1-\backslash alfa)z\_2$, Onde . A propriedade de convexidade significa a capacidade de “misturar” tecnologias. Em particular, é cumprido se o conjunto tecnológico tiver a propriedade de aditividade e retornos de escala não crescentes. Além disso, neste caso o conjunto tecnológico é um cone convexo.

Tecnologia eficiente define limites

Tecnologia aceitável $z$ chamado eficaz, se não houver outra tecnologia aceitável diferente dela $z"\backslash geqslant\; z$. Muitas tecnologias eficazes formam fronteira eficiente conjunto tecnológico.

Se a condição de liberdade de gastos e fechamento do conjunto tecnológico for satisfeita, então é impossível aumentar indefinidamente a produção de um bem sem reduzir a produção de outros. Neste caso, para qualquer tecnologia aceitável $z$ existe tecnologia eficaz $z"\backslash geqslant\; z$. Neste caso, ao invés de todo o conjunto tecnológico, apenas o seu limite efetivo pode ser utilizado. Normalmente, a fronteira eficiente pode ser dada por alguma função de produção.

Função de produção

Vamos considerar tecnologias de produto único $(-x,y)$, Onde $sim$- vetor de dimensão $m=1$, A $x$- vetor de custo de dimensão $n$. Considere o conjunto $X$, que inclui todos os vetores de custo possíveis $x$, tal que para todos $x$ existe $sim$, de modo que os vetores de saída líquidos $(-x,y)$ pertencem ao conjunto tecnológico.

Função numérica $f(x)$ sobre $X$ chamado função de produção, se para cada vetor de custo fornecido $x$ significado $f(x)$ define o valor máximo da saída permitida $sim$(de tal forma que o vetor de produção líquida (-x,y) pertence ao conjunto tecnológico).

Qualquer ponto da fronteira efetiva do conjunto tecnológico pode ser representado na forma $(-x,f(x))$, e o oposto é verdadeiro se $f(x)$é uma função crescente (neste caso $y=f(x)$- equação do limite efetivo). Se um conjunto tecnológico tem a propriedade de liberdade de gasto e pode ser descrito por uma função de produção, então o conjunto tecnológico é determinado com base na desigualdade $y\backslash leqinclinação\; f(x)$.

Para que um conjunto tecnológico seja especificado utilizando uma função de produção, é suficiente que para qualquer $x$ um monte de $F(x)$ resultados permitidos a determinados custos $x$, foi limitado e fechado. Em particular, esta condição é satisfeita se o conjunto tecnológico tiver propriedades de fechamento, retornos de escala não crescentes e ausência de cornucópia.

Se o conjunto tecnológico for convexo, então a função de produção é côncava e contínua no interior do conjunto $X$. Se a condição de liberdade de despesas for satisfeita, então $f(x)$é uma função não decrescente (neste caso, a concavidade da função implica também a convexidade do conjunto tecnológico). Finalmente, se a condição da ausência de cornucópia e a admissibilidade da inatividade forem simultaneamente satisfeitas, então $f(0)=0$.

Se a função de produção for diferenciável, então é possível definir uma função local elasticidade de escala das seguintes maneiras equivalentes:

$e(x)=\backslash frac\; (d\; f(\backslash lambda\; x))(d\; \backslash lambda)\; \backslash cdot\; \backslash frac\; (\backslash lambda)(f(x))|\_(\backslash lambda=1)=\backslash frac\; (f"(x\; )x)(f(x))$

Onde $f"(x)$é o vetor gradiente da função de produção.

Tendo assim determinado a elasticidade de escala, pode-se mostrar que se um conjunto tecnológico tem a propriedade de rendimentos constantes de escala, então $e(x)=1$, se houver retornos decrescentes de escala, então $e(x)\backslash leqinclinação\; 1$, se houver retornos crescentes, então $e(x)\backslash geqinclinação\; 1$.

O desafio do fabricante

Se o vetor de preços for dado $p$, então o produto $pz$ representa o lucro do produtor. A tarefa do fabricante se resume a encontrar tal vetor $z$, de modo que para um determinado vetor de preços o lucro seja máximo. Denotamos o conjunto de preços de bens para os quais este problema tem solução $P$. Pode-se mostrar que para um conjunto tecnológico não vazio, fechado e com retornos de escala não crescentes, o problema do fabricante tem solução no conjunto de preços $P$, dando lucro negativo no chamado recessivo direções (estes são vetores $z$ conjunto tecnológico, para o qual, para qualquer valor não negativo $\backslash lambda$ vetores $\backslash lambdaz$ também pertencem ao conjunto tecnológico). Em particular, se o conjunto de direções recessivas coincidir com $R^N\_-$, então existe uma solução para quaisquer preços positivos.

Função lucro $\backslash pi(p)$ definido como $pz(p)$, Onde $z(p)$- resolver o problema do fabricante a determinados preços (esta é a chamada função de oferta, possivelmente com valores múltiplos). A função lucro é positivamente homogênea (de primeiro grau), ou seja $\backslash pi(\backslash lambda\; p)=\backslash lambda\; \backslash pi(p)$ e contínuo por dentro $P$. Se o conjunto tecnológico for estritamente convexo, então a função lucro também será continuamente diferenciável. Se o conjunto tecnológico for fechado, então a função lucro é convexa em qualquer subconjunto convexo de preços aceitáveis $P$.

Função de frase (exibição) $z(p)$é positivamente homogêneo de grau zero. Se o conjunto tecnológico for estritamente convexo, então a função de oferta tem valor único em P e contínua no interior $P$. Se uma função de oferta é duas vezes diferenciável, então a matriz Jacobiana desta função é simétrica e definida não negativa.

Se o conjunto tecnológico for representado por uma função de produção, então o lucro é definido como $pf(x)-wx$, Onde $c$- vetor de preços dos fatores de produção, $p$ neste caso, o preço dos produtos manufaturados. Então, para qualquer solução interna (isto é, pertencente ao interior $X$) o problema do produtor é justo: a igualdade do produto marginal de cada fator ao seu preço relativo, ou seja, na forma vetorial $f"(x)=c/p$.

Se a função lucro for dada $\backslash pi(p)$, que é uma função duas vezes continuamente diferenciável, convexa e positivamente homogênea (primeiro grau), então é possível restaurar o conjunto tecnológico como um conjunto contendo para qualquer vetor de preços não negativo $p$ vetores de liberação limpa $z$, satisfazendo a desigualdade $pz\backslash leqslant\backslash pi(p)$. Também pode ser mostrado que se a função de oferta for positivamente homogênea de grau zero e a matriz de suas primeiras derivadas for contínua, simétrica e definida não negativa, então a função de lucro correspondente satisfaz os requisitos acima (o inverso também é verdadeiro).

Veja também

Escreva uma resenha sobre o artigo "Conjunto tecnológico"

Literatura

Trecho caracterizando o Conjunto Tecnológico

De repente, o príncipe Hipólito levantou-se e, parando todos com sinais de mão e pedindo que se sentassem, falou:
-Ah! aujourd"hui on m"a raconte une anedote moscovite, charmante: il faut que je vous en regale. Vous m'excusez, visconde, il faut que je raconte en russe. Autrement on ne sentira pas le sel de l'histoire. [Hoje me contaram uma piada encantadora de Moscou; você precisa ensiná-los. Desculpe, visconde, vou contar em russo, caso contrário, todo o sentido da piada se perderá.]
E o príncipe Hipólito começou a falar russo com o sotaque que os franceses falam quando estão na Rússia há um ano. Todos fizeram uma pausa: o príncipe Hipólito exigia atenção para sua história com tanta animação e urgência.
– Há uma senhora em Moscou, une dame. E ela é muito mesquinha. Ela precisava de dois valets de pied [lacaios] para a carruagem. E muito alto. Foi do agrado dela. E ela tinha une femme de chambre [empregada doméstica], ainda muito alta. Ela disse…
Aqui o Príncipe Hippolyte começou a pensar, aparentemente tendo dificuldade em pensar direito.
“Ela disse... sim, ela disse: “menina (a la femme de chambre), vista o livree [libré] e venha comigo, atrás da carruagem, faire des visitas.” [fazer visitas.]
Aqui o Príncipe Hipólito bufou e riu muito antes de seus ouvintes, o que causou uma impressão desfavorável ao narrador. No entanto, muitos, incluindo a senhora idosa e Anna Pavlovna, sorriram.
- Ela foi. De repente, houve um vento forte. A menina perdeu o chapéu e seus longos cabelos foram penteados...
Aqui ele não aguentou mais e começou a rir abruptamente e através dessa risada disse:
- E o mundo inteiro sabia...
Esse é o fim da piada. Embora não estivesse claro por que ele estava contando isso e por que tinha que ser contado em russo, Anna Pavlovna e outros apreciaram a cortesia social do Príncipe Hippolyte, que encerrou de forma tão agradável a brincadeira desagradável e desagradável de Monsieur Pierre. A conversa depois da anedota desintegrou-se em pequenas e insignificantes conversas sobre o futuro e o baile passado, a performance, sobre quando e onde eles se veriam.

Consideremos uma economia com l bens. Para uma determinada empresa, é natural considerar alguns destes bens como factores de produção e outros como produtos finais. De referir que esta divisão é bastante arbitrária, uma vez que a empresa tem liberdade suficiente na escolha da gama de produtos produzidos e da estrutura de custos. Ao descrever a tecnologia, distinguiremos entre produção e custos, representando estes últimos como produção com um sinal negativo. Para comodidade de apresentação da tecnologia, os produtos que não são consumidos nem produzidos pela empresa serão classificados como sua produção, e o volume de produção desses produtos será considerado igual a 0. Em princípio, uma situação em que um produto produzido por uma empresa também é consumida por ela no processo de produção não pode ser excluída. Neste caso, consideraremos apenas a produção líquida deste produto, ou seja, a sua produção menos os custos.

Seja o número de fatores de produção igual a n, e o número de tipos de produção igual a m, de modo que l = m + n. Denotemos o vetor de custos (em valor absoluto) por r Rn + , e o volume de produção por y Rm + . Chamaremos o vetor (−r, yo ) vetor de problemas líquidos. O conjunto de todos os vetores tecnologicamente viáveis ​​de resultados líquidos y = (−r, yo ) é conjunto tecnológico E. Assim, no caso em consideração, qualquer conjunto tecnológico é um subconjunto de Rn − × Rm +.

Esta descrição da produção é de natureza geral. Ao mesmo tempo, é possível não aderir a uma divisão estrita de bens em produtos e fatores de produção: o mesmo bem pode ser gasto com uma tecnologia e produzido com outra. Neste caso, Y Rl.

Descrevamos as propriedades dos conjuntos tecnológicos, em termos dos quais geralmente são descritas classes específicas de tecnologias.

1. Não-vazio

O conjunto tecnológico Y não é vazio.

Esta propriedade significa a possibilidade fundamental de realização de atividades produtivas.

2. Fechamento

O conjunto tecnológico Y está fechado.

Esta propriedade é bastante técnica; significa que o conjunto tecnológico contém a sua fronteira, e o limite de qualquer sequência de vetores de produção líquida tecnologicamente viáveis ​​é também um vetor de produção líquida tecnologicamente viável.

3. Liberdade para gastar:

se y Y e y0 6 y, então y0 Y.

Esta propriedade pode ser interpretada como a capacidade de produzir a mesma quantidade de produção, mas a custos mais elevados, ou menos produção com os mesmos custos.

4. Sem “cornucópia” (“sem almoço grátis”)

se y Y e y > 0, então y = 0.

Essa propriedade significa que para produzir um produto em quantidade positiva são necessários custos em volume diferente de zero.

Arroz. 4.1. Variedade tecnológica com retornos crescentes de escala.

5. Retornos de escala não crescentes:

se y Y e y0 = λy, onde 0< λ < 1, тогда y0 Y.

Esta propriedade é às vezes chamada (de forma não muito precisa) de rendimentos decrescentes de escala. No caso de dois bens, onde um é gasto e o outro é produzido, os rendimentos decrescentes significam que a produtividade média (máxima possível) do insumo não aumenta. Se em uma hora você puder resolver, na melhor das hipóteses, 5 problemas semelhantes em microeconomia, então em duas horas, sob condições de rendimentos decrescentes, você não poderá resolver mais de 10 desses problemas.

50. Retornos não decrescentes de escala:

se y Y e y0 = λy, onde λ > 1, então y0 Y.

No caso de dois bens, onde um é gasto e o outro é produzido, os retornos crescentes significam que a produtividade média (máxima possível) do insumo não diminui.

500. Os retornos constantes de escala são uma situação em que o conjunto tecnológico satisfaz as condições 5 e 50 simultaneamente, ou seja,

se y Y e y0 = λy0 , então y0 Y λ > 0.

Geometricamente, os retornos constantes de escala significam que Y é um cone (possivelmente não contendo 0).

No caso de dois bens, onde um é um insumo e o outro é produzido, a produção constante significa que a produtividade média do insumo não muda à medida que a produção muda.

Arroz. 4.2. Tecnologia convexa definida com retornos decrescentes de escala

A propriedade de convexidade significa a capacidade de “misturar” tecnologias em qualquer proporção.

7. Irreversibilidade

se y Y e y 6= 0, então (−y) / Y.

Digamos que você possa produzir 5 rolamentos com um quilograma de aço. Irreversibilidade significa que é impossível produzir um quilograma de aço a partir de 5 rolamentos.

8. Aditividade.

se y Y e y0 Y , então y + y0 Y.

A propriedade de aditividade significa a capacidade de combinar tecnologias.

9. Aceitabilidade da inatividade:

Teorema 44:

1) Dos retornos não crescentes de escala e da aditividade do conjunto tecnológico, decorre a sua convexidade.

2) Os retornos não crescentes de escala decorrem da convexidade do conjunto tecnológico e da permissibilidade da inatividade. (O inverso nem sempre é verdadeiro: com retornos não crescentes, a tecnologia pode ser não-convexa, ver Fig. 4.3 .)

3) O conjunto tecnológico possui propriedades de aditividade e não crescente

retorna à escala se e somente se for um cone convexo.

Arroz. 4.3. Um conjunto tecnológico não convexo com retornos de escala não crescentes.

Nem todas as tecnologias elegíveis são igualmente importantes do ponto de vista económico. Entre os permitidos, destacam-se os especiais tecnologias eficientes. Uma tecnologia admissível y é geralmente chamada de eficaz se não houver outra tecnologia admissível y0 (diferente dela) tal que y0 > y. Obviamente, esta definição de eficiência implica implicitamente que todos os bens são, em certo sentido, desejáveis. Tecnologias eficazes constituem fronteira eficiente conjunto tecnológico. Sob certas condições, torna-se possível utilizar a fronteira efetiva na análise em vez de todo o conjunto tecnológico. Neste caso, é importante que para qualquer tecnologia y admissível exista uma tecnologia y0 eficaz tal que y0 > y. Para que esta condição seja satisfeita, é necessário que o conjunto tecnológico seja fechado e que dentro do conjunto tecnológico seja impossível aumentar indefinidamente a produção de um bem sem reduzir a produção de outros bens. Pode-se mostrar que se a tecnologia

Arroz. 4.4. Tecnologia eficiente define limites

conjunto tem a propriedade de liberdade de gasto, então o limite efetivo define exclusivamente o conjunto tecnológico correspondente.

Os cursos introdutórios e intermediários, ao descreverem o comportamento de um produtor, baseiam-se na representação do seu conjunto de produção através de uma função de produção. Uma questão relevante é em que condições no cenário de produção tal representação é possível. Embora seja possível dar uma definição mais ampla da função de produção, daqui em diante falaremos apenas sobre tecnologias de “produto único”, ou seja, m = 1.

Seja R a projeção do conjunto tecnológico Y no espaço dos vetores de custo, ou seja,

R = ( r Rn | yo R: (−r, yo ) Y ) .

Definição 37:

A função f(·) : R 7→R é chamada função de produção, representando a tecnologia Y, se para cada r R o valor f(r) for o valor do seguinte problema:

ei → máximo

(−r, ei) Y.

Observe que qualquer ponto na fronteira efetiva do conjunto tecnológico tem a forma (−r, f(r)). O inverso é verdadeiro se f(r) for uma função crescente. Neste caso, yo = f(r) é a equação da fronteira efetiva.

O seguinte teorema fornece as condições sob as quais um conjunto tecnológico pode ser representado??? função de produção.

Teorema 45:

Seja para um conjunto tecnológico Y R × (−R) para qualquer r R o conjunto

F (r) = ( yo | (−r, yo ) Y )

fechado e delimitado por cima. Então Y pode ser representado por uma função de produção.

Nota: O cumprimento das condições desta afirmação pode ser garantido, por exemplo, se o conjunto Y for fechado e possuir propriedades de retornos de escala não crescentes e ausência de cornucópia.

Teorema 46:

Seja o conjunto Y fechado e tenha propriedades de retornos não crescentes de escala e ausência de cornucópia. Então para qualquer r R o conjunto

F (r) = ( yo | (−r, yo ) Y )

fechado e delimitado por cima.

Prova: A proximidade dos conjuntos F (r) decorre diretamente da proximidade de Y. Vamos mostrar que F (r) são limitados por cima. Deixe que este não seja o caso e para algum r R exista

existe uma sequência infinitamente crescente (yn) tal que yn F (r). Então, devido aos retornos não crescentes de escala (−r/yn , 1) S . Portanto (devido ao fechamento), (0, 1) Y , o que contradiz a ausência de cornucópia.

Observe também que se o conjunto tecnológico Y satisfaz a hipótese de gasto livre, e existe uma função de produção f(·) representando-o, então o conjunto Y é descrito pela seguinte relação:

Y = ( (−r, yo ) | yo 6 f(r), r R ) .

Estabeleçamos agora algumas relações entre as propriedades do conjunto tecnológico e a função de produção que o representa.

Teorema 47:

Seja o conjunto tecnológico Y tal que para todo r R a função de produção f(·) esteja definida. Então o seguinte é verdadeiro.

1) Se o conjunto Y for convexo, então a função f(·) é côncava.

2) Se o conjunto Y satisfaz a hipótese de gasto livre, então o inverso também é verdadeiro, ou seja, se a função f(·) é côncava, então o conjunto Y é convexo.

3) Se Y é convexo, então f(·) é contínuo no interior do conjunto R.

4) Se o conjunto Y possui a propriedade de liberdade de gasto, então a função f(·) não diminui.

5) Se Y tem a propriedade de não ter cornucópia, então f(0) 6 0.

6) Se o conjunto Y tem a propriedade de inatividade permitida, então f(0) > 0.

Prova: (1) Seja r0 , r00 R. Então (−r0 , f(r0 )) Y e (−r00 , f(r00 )) Y , e

(−αr0 − (1 − α)r00 , αf(r0 ) + (1 − α)f(r00 )) Y α ,

já que o conjunto Y é convexo. Então, pela definição da função de produção

αf(r0 ) + (1 − α)f(r00 ) 6 f(αr0 + (1 − α)r00 ),

o que significa que f(·) é côncavo.

(2) Como o conjunto Y possui a propriedade de gasto livre, o conjunto Y (até o sinal do vetor custo) coincide com seu subgrafo. E o subgráfico de uma função côncava é um conjunto convexo.

(3) O fato a ser provado decorre do fato de que uma função côncava é contínua internamente.

o tamanho do seu domínio de definição.

(4) Seja r 00 > r0 (r0 , r00 R). Visto que (−r0 , f(r0 )) Y , então pela propriedade de liberdade de gasto (−r00 , f(r0 )) Y . Assim, pela definição da função de produção, f(r00) > f(r0), ou seja, f(·) não diminui.

(5) A desigualdade f(0) > 0 contradiz a suposição da ausência de uma cornucópia. Então f(0) 6 0.

(6) Pela suposição da admissibilidade da inatividade (0, 0) Y . Então, por definição

Assumindo a existência de uma função de produção, as propriedades de uma tecnologia podem ser descritas diretamente em termos desta função. Demonstremos isso usando o exemplo da chamada elasticidade de escala.

Deixe a função de produção ser diferenciável. No ponto r, onde f(r) > 0, definimos

elasticidade local da escala e(r) como:

Se em algum ponto e(r) for igual a 1, então considera-se que neste ponto retornos constantes de escala, se for maior que 1 então Retornos crescentes, menos - retornos decrescentes de escala. A definição acima pode ser reescrita da seguinte forma:

P ∂f(r) e(r) = eu ∂r eu r eu .

Teorema 48:

Seja o conjunto tecnológico Y descrito pela função de produção f(·) e

V no ponto r temos e(r) > 0. Então o seguinte é verdadeiro:

1) Se o conjunto tecnológico Y tem a propriedade de rendimentos decrescentes de escala, então e(r) 6 1.

2) Se o conjunto tecnológico Y tem a propriedade de rendimentos crescentes de escala, então e(r) > 1.

3) Se Y tem a propriedade de retornos constantes de escala, então e(r) = 1.

Prova: (1) Considere a sequência (λn ) (0< λn < 1), такую что λn → 1. Тогда (−λn r, λn f(r)) Y , откуда следует, что f(λn r) >λnf(r). Vamos reescrever esta desigualdade como:

Os conjuntos tecnológicos Y podem ser especificados na forma funções de produção implícitas g(·). Por definição, uma função g(·) é chamada de função de produção implícita se a tecnologia y pertence ao conjunto tecnológico Y se e somente se g(y) >

Observe que tal função sempre pode ser encontrada. Por exemplo, uma função adequada é tal que g(y) = 1 para y Y e g(y) = −1 para y / Y . Observe, entretanto, que esta função não é diferenciável. De modo geral, nem todo conjunto tecnológico pode ser descrito por uma função de produção implícita diferenciável, e tais conjuntos tecnológicos não são algo excepcional. Em particular, os conjuntos tecnológicos considerados nos cursos iniciais de microeconomia são muitas vezes tais que a sua descrição requer duas (ou mais) desigualdades com funções diferenciáveis, uma vez que é necessário ter em conta restrições adicionais à não negatividade dos factores de produção. Para explicar tais restrições, pode-se usar o vetor implícito