Sobre o método axiomático de construção de uma teoria. Definição de número natural

Ao construir axiomaticamente qualquer teoria matemática, certos regras:

· alguns conceitos da teoria são escolhidos como básicos e aceitos sem definição;

· cada conceito da teoria que não consta da lista dos básicos recebe uma definição;

· formulam-se axiomas - proposições que em uma dada teoria são aceitas sem prova; revelam as propriedades dos conceitos básicos;

· toda proposição da teoria que não esteja contida na lista de axiomas deve ser provada; Tais proposições são chamadas de teoremas e são provadas com base em axiomas e teoremas.

Na construção axiomática de uma teoria, todas as afirmações são derivadas de axiomas por meio de prova.

Portanto, requisitos especiais se aplicam ao sistema de axiomas. requisitos:

· consistência (um sistema de axiomas é chamado de consistente se duas proposições mutuamente exclusivas não podem ser deduzidas logicamente dele);

· independência (um sistema de axiomas é denominado independente se nenhum dos axiomas deste sistema for consequência de outros axiomas).

Um conjunto com uma relação especificada nele é chamado de modelo de um determinado sistema de axiomas se todos os axiomas desse sistema forem satisfeitos nele.

Existem muitas maneiras de construir um sistema de axiomas para um conjunto de números naturais. Por exemplo, uma soma de números ou uma relação de ordem pode ser considerada um conceito básico. Em qualquer caso, é necessário definir um sistema de axiomas que descreva as propriedades dos conceitos básicos.

Damos um sistema de axiomas, aceitando o conceito básico da operação de adição.

Conjunto não vazio N chamamos-lhe um conjunto de números naturais se a operação estiver definida nele (a; b) → a + b, chamado adição e tendo as seguintes propriedades:

1. A adição é comutativa, ou seja, uma + b = b + uma.

2. A adição é associativa, ou seja, (a + b) + c = a + (b + c).

4. em qualquer conjunto A, que é um subconjunto do conjunto N, Onde A existe um número e tal que tudo Ha, são iguais a+b, Onde bn.

Os axiomas 1 a 4 são suficientes para construir toda a aritmética dos números naturais. Mas com tal construção não é mais possível confiar nas propriedades de conjuntos finitos que não estão refletidas nesses axiomas.

Tomemos como conceito básico a relação “seguir diretamente...”, definida em um conjunto não vazio N. Então a série natural de números será o conjunto N, no qual a relação “segue imediatamente” é definida, e todos os elementos de N serão chamados de números naturais, e o seguinte é válido: Axiomas de Peano:

AXIOMA 1.

Em abundânciaNexiste um elemento que não segue imediatamente nenhum elemento deste conjunto. Chamaremos isso de unidade e denotaremos pelo símbolo 1.

AXIOMA 2.

Para cada elemento a deNexiste um único elemento a imediatamente após a.

AXIOMA 3.

Para cada elemento a deNExiste no máximo um elemento imediatamente seguido por a.

AXOIMA 4.

Qualquer subconjunto M do conjuntoNcoincide comN, se possuir as seguintes propriedades: 1) 1 está contido em M; 2) do fato de a estar contido em M, segue-se que a também está contido em M.

Um monte de N, para os elementos dos quais a relação “segue diretamente...” é estabelecida, satisfazendo os axiomas 1 - 4, é chamada conjunto de números naturais , e seus elementos são números naturais.

Se como um conjunto N escolha algum conjunto específico no qual uma relação específica “segue diretamente...” é dada, satisfazendo os axiomas 1 - 4, então obtemos diferentes interpretações (modelos) dado sistemas de axiomas.

O modelo padrão do sistema de axiomas de Peano é uma série de números que surgiram no processo de desenvolvimento histórico da sociedade: 1, 2, 3, 4, 5, ...

O modelo dos axiomas de Peano pode ser qualquer conjunto contável.

Por exemplo, I, II, III, IIII, ...

ah ah ah ah ah...

um dois três quatro, …

Consideremos uma sequência de conjuntos em que o conjunto (oo) é o elemento inicial, e cada conjunto subsequente é obtido do anterior adicionando outro círculo (Fig. 15).

Então N existe um conjunto composto por conjuntos da forma descrita e é um modelo do sistema de axiomas de Peano.

Na verdade, em muitos N existe um elemento (oo) que não segue imediatamente nenhum elemento do conjunto determinado, ou seja, O axioma 1 é satisfeito para cada conjunto. A da população em consideração existe um único conjunto que é obtido a partir de A adicionando um círculo, ou seja, O axioma 2 é válido para cada conjunto. A existe no máximo um conjunto a partir do qual um conjunto é formado A adicionando um círculo, ou seja, O axioma 3 é válido. MN e sabe-se que muitos A contido em M, segue-se que um conjunto em que há um círculo a mais do que no conjunto A, também contido em M, Que M =N, e portanto o axioma 4 é satisfeito.

Na definição de um número natural, nenhum dos axiomas pode ser omitido.

Vamos estabelecer qual dos conjuntos mostrados na Fig. 16 são um modelo dos axiomas de Peano.

Solução. A Figura 16 a) mostra um conjunto no qual os axiomas 2 e 3 são satisfeitos. Na verdade, para cada elemento existe um único imediatamente após ele, e existe um elemento único que o segue. Mas neste conjunto, o axioma 1 não é satisfeito (o axioma 4 não faz sentido, uma vez que não há elemento no conjunto que não siga imediatamente qualquer outro). Portanto, este conjunto não é um modelo dos axiomas de Peano.

A Figura 16 b) mostra um conjunto no qual os axiomas 1, 3 e 4 são satisfeitos, mas atrás do elemento A dois elementos seguem imediatamente, e não um, como exigido no axioma 2. Portanto, este conjunto não é um modelo dos axiomas de Peano.

Na Fig. 16 c) mostra um conjunto no qual os axiomas 1, 2, 4 são satisfeitos, mas o elemento Com segue imediatamente dois elementos imediatamente. Portanto, este conjunto não é um modelo dos axiomas de Peano.

Na Fig. 16 d) mostra um conjunto que satisfaz os axiomas 2, 3, e se tomarmos o número 5 como elemento inicial, então este conjunto irá satisfazer os axiomas 1 e 4. Ou seja, neste conjunto para cada elemento existe um único imediatamente seguindo-o, e há um único elemento que ele segue. Há também um elemento que não segue imediatamente nenhum elemento deste conjunto, este é 5 , aqueles. O Axioma 1 é satisfeito. Assim, o Axioma 4 também será satisfeito. Portanto, este conjunto é um modelo dos axiomas de Peano.

Usando os axiomas de Peano, podemos provar uma série de afirmações. Por exemplo, provaremos que para todos os números naturais a desigualdade. x x.

Prova. Vamos denotar por A conjunto de números naturais para os quais um um. Número 1 pertence A, uma vez que não segue nenhum número de N, o que significa que não segue por si só: 1 1. Deixar aA, Então um um. Vamos denotar A através b. Em virtude do axioma 3, Ab, aqueles. b b E BA.

O dado sistema de axiomas da teoria dos inteiros não é independente, como observado no Exercício 3.1.4.

Teorema 1. A teoria axiomática dos inteiros é consistente.

Prova. Provaremos a consistência da teoria axiomática dos números inteiros, partindo do pressuposto de que a teoria axiomática dos números naturais é consistente. Para fazer isso, construiremos um modelo no qual todos os axiomas da nossa teoria sejam satisfeitos.

Primeiro, vamos construir um anel. Considere o conjunto

N´ N = {(um, b)ï um, bÎ N}.

um, b) números naturais. Por tal par entenderemos a diferença dos números naturais a-b. Mas até que seja provada a existência de um sistema de números inteiros em que tal diferença exista, não temos o direito de usar tal designação. Ao mesmo tempo, tal compreensão nos dá a oportunidade de definir as propriedades dos pares conforme necessitamos.

Sabemos que diferentes diferenças de números naturais podem ser iguais ao mesmo número inteiro. Assim, vamos apresentar no set N´ N relação de igualdade:

(um, b) = (cd) Û uma + d = b + c.

É fácil perceber que esta relação é reflexiva, simétrica e transitiva. Portanto, é uma relação de equivalência e tem o direito de ser chamada de igualdade. Fatorar conjunto de conjuntos N´ N Z. Chamaremos seus elementos de inteiros. Eles representam classes de equivalência no conjunto de pares. Classe contendo um par
(um, b), denotado por [ um, b].

Z um, b] que tal a diferença a-b

[um, b] + [cd] = [a+c, b+d];

[um, b] × [ cd] = [ac+bd, ad+bc].

Deve-se ter em mente que, a rigor, o uso de símbolos de operação aqui não é totalmente correto. O mesmo símbolo + denota a adição de números naturais e pares. Mas como sempre fica claro em qual conjunto uma determinada operação é executada, não introduziremos aqui uma notação separada para essas operações.

É necessário verificar a correcção das definições destas operações, nomeadamente, que os resultados não dependem da escolha dos elementos a E b, definindo o par [ um, b]. Na verdade, deixe

[um, b] = [a 1 , b 1 ], [SD] = [Com 1 , d 1 ].

Significa que a+b 1 = b+a 1 , c + d 1 =d + Com 1. Somando essas igualdades, obtemos

a+b 1 + c + d 1 = b+a 1 +d + Com 1Þ[ a + b, c + d] = [a 1 +Com 1 , b 1 + d 1]

Þ [ um, b] + [cd] = [a 1 , b 1 ] + [c 1 , d 1 ].

A exatidão da definição de multiplicação é determinada de forma semelhante. Mas aqui você deve primeiro verificar se [ um, b] × [ cd] = [a 1 , b 1] × [ cd].

Agora devemos verificar se a álgebra resultante é um anel, ou seja, axiomas (Z1) – (Z6).

Verifiquemos, por exemplo, a comutatividade da adição, ou seja, o axioma (Z2). Nós temos

[cd] + [um, b] = = [a+c, b+d] = [um, b] + [cd].

A comutatividade da adição para números inteiros é derivada da comutatividade da adição para números naturais, que é considerada já conhecida.

Os axiomas (Z1), (Z5), (Z6) são verificados da mesma maneira.

O papel do zero é desempenhado pelo par. Vamos denotá-lo por 0 . Realmente,

[um, b] + 0 = [um, b] + = [um+ 1,b+ 1] = [um, b].

Finalmente, -[ um, b] = [BA]. Realmente,

[um, b] + [BA] = [a+b, b+a] = = 0 .

Agora vamos verificar os axiomas de extensão. Deve-se ter em mente que no anel construído não existem números naturais propriamente ditos, uma vez que os elementos do anel são classes de pares de números naturais. Portanto, precisamos encontrar uma subálgebra isomórfica ao semianel dos números naturais. Aqui novamente a ideia de um casal [ um, b] que tal a diferença a-b. Número natural n pode ser representado como a diferença de dois naturais, por exemplo, da seguinte forma: n = (n+ 1) – 1. Daí surge a proposta de estabelecer correspondência f: N ® Z de acordo com a regra

f(n) = [n + 1, 1].

Esta correspondência é injetiva:

f(n) = f(eu) Þ [ n + 1, 1]= [eu+ 1, 1] Þ ( n + 1) + 1= 1 + (eu+ 1) Þ n = m.

Consequentemente, temos uma correspondência biunívoca entre N e algum subconjunto Z, que denotamos por N*. Vamos verificar se ele salva operações:

f(n) + f(eu) = [n + 1, 1]+ [eu + 1, 1] = [n + m+ 2, 2]= [n + eu+ 1, 1] = f(n+m);

f(n) × f(eu) = [n+ 1, 1]× [ eu + 1, 1] = [nm + n + m+ 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = f(nm).

Isto estabelece que N* formulários em Z com relação às operações de adição e multiplicação, uma subálgebra isomórfica N

Vamos denotar o par [ n+ 1, 1] de N* n, através n um, b] Nós temos

[um, b] = [a + 1, 1] + = [a + 1, 1] – [b + 1, 1] = a – b .

Isso finalmente fundamenta a ideia de um casal [ um, b] como a diferença de números naturais. Ao mesmo tempo, estabeleceu-se que cada elemento do conjunto construído Zé representado como a diferença de dois naturais. Isso ajudará a verificar o axioma da minimalidade.

Deixar M- subconjunto Z, contendo N* e junto com quaisquer elementos A E b a diferença deles uma-b. Vamos provar que neste caso M =Z. Na verdade, qualquer elemento de Zé representado como a diferença de dois números naturais, que por condição pertencem a M junto com suas diferenças.

Z

Teorema 2. A teoria axiomática dos inteiros é categórica.

Prova. Vamos provar que quaisquer dois modelos nos quais todos os axiomas desta teoria sejam satisfeitos são isomórficos.

Letá Z 1, +, ×, N 1 ñ e á Z 2 , +, ×, N 2 ñ – dois modelos da nossa teoria. A rigor, as operações neles contidas devem ser indicadas por símbolos diferentes. Afastar-nos-emos deste requisito para não confundir os cálculos: cada vez fica claro de que operação estamos falando. Os elementos pertencentes aos modelos em consideração serão fornecidos com os índices 1 ou 2 correspondentes.

Vamos definir um mapeamento isomórfico do primeiro modelo para o segundo. Porque N 1 e N 2 são semi-anéis de números naturais, então há um mapeamento isomórfico j do primeiro semianel no segundo. Vamos definir o mapeamento f: Z 1® Z 2. Cada número inteiro X 1Î Z 1 é representado como a diferença de dois naturais:
X 1 =uma 1 –b 1. Acreditamos

f (x 1) = j( a 1) – j( b 1).

Vamos provar isso f– isomorfismo. O mapeamento está definido corretamente: se X 1 = no 1 onde sim 1 = c 1 – d 1, então

a 1 –b 1 = c 1 – d 1º a 1 +d 1 = b 1 + c 1Þj( a 1 +d 1) = j( b 1 + c 1)

Þj( a 1) + j( d 1) = j( b 1) +j( c 1) Þj( a 1)–j( b 1)=j( c 1) –j( d 1) f(x 1) =f (sim 1).

Segue que f- mapeamento um para um Z 1 pol. Z 2. Mas para qualquer um X 2 de Z 2 você pode encontrar elementos naturais a 2 e b 2 tal que X 2 =uma 2 –b 2. Como j é um isomorfismo, esses elementos possuem imagens inversas a 1 e b 1. Significa, x 2 = j( a 1) – j( b 1) =
= f (a 1 –b 1), e para cada elemento de Z 2 é um protótipo. Daí a correspondência f um a um. Vamos verificar se isso salva operações.

Se X 1 =uma 1 –b 1 , sim 1 =c 1 –d 1, então

X 1 + sim 1 = (a 1 + c 1) – (b 1 +d 1),

f(X 1 + sim 1) = j( a 1 + c 1) – j( b 1 +d 1) =j( a 1)+j( c 1) – j( b 1) – j( d 1) =

J( a 1) – j( b 1)+j( c 1)– j( d 1) =f(X 1) + f(sim 1).

Da mesma forma, verifica-se que a multiplicação é preservada. Isto estabelece que fé um isomorfismo e o teorema está provado.

Exercícios

1. Prove que qualquer anel que inclua um sistema de números naturais também inclui um anel de inteiros.

2. Prove que todo anel comutativo mínimo ordenado com identidade é isomórfico ao anel de inteiros.

3. Prove que todo anel ordenado com um e nenhum divisor de zero contém apenas um subanel isomórfico ao anel dos inteiros.

4. Prove que o anel de matrizes de segunda ordem sobre o corpo dos números reais contém infinitos subanéis isomórficos ao anel dos inteiros.

Campo de números racionais

A definição e construção de um sistema de números racionais é realizada da mesma forma que para um sistema de números inteiros.

Definição. Um sistema de números racionais é um corpo mínimo que é uma extensão do anel de inteiros.

De acordo com esta definição, obtemos a seguinte construção axiomática do sistema de números racionais.

Termos primários:

P– conjunto de números racionais;

0, 1 – constantes;

+, × – operações binárias em Q;

Z– subconjunto P, conjunto de inteiros;

Å, Ä – operações binárias em Z.

Axiomas:

EU. Axiomas de campo.

(Q1) a+ (b+c) = (a+b) + c.

(Q2) uma + b = b + uma.

(Q3) (" a) a + 0 = a.

(Q4) (" a)($(–a)) a + (–a) = 0.

(Q5) a× ( b× c) = (a× b) × c.

(Q6) a× b = b× a.

(Q7) A× 1 = A.

(Q8) (" a¹ 0)($ a –1) a × a –1 = 1.

(Q9) ( a+b) × c = a × c + b× c.

II. Axiomas de extensão.

(Q10)b Z, Å, Ä, 0, 1ñ – anel de números naturais.

(Q11) Z Í P.

(Q12) (" um,bÎ Z) uma + b = umaÅ b.

(Q13) (" um,bÎ Z) a× b = umaÄ b.

III. Axioma da minimalidade.

(Q14) MÍ P, ZÍ M, ("um, bÎ M)(b ¹ 0 ® a× b–1 Ó M)Þ M = P.

Número a× b–1 é chamado de quociente de números A E b, denotado a/b ou .

Teorema 1. Todo número racional pode ser representado como o quociente de dois inteiros.

Prova. Deixar M– um conjunto de números racionais que pode ser representado como o quociente de dois inteiros. Se n- inteiro, então n = n/1 pertence M, por isso, ZÍ M. Se um, bÎ M, Que uma = k/eu, b = m/não, Onde k, eu, m, nÎ Z. Por isso, a/b=
= (sabe) / (eu)Î M. De acordo com o axioma (Q14) M= P, e o teorema está provado.

Teorema 2. O corpo dos números racionais pode ser ordenado linear e estritamente e de forma única. A ordem no campo dos números racionais é arquimediana e continua a ordem no anel dos inteiros.

Prova. Vamos denotar por P+ um conjunto de números representáveis ​​como uma fração, onde kl> 0. É fácil perceber que esta condição não depende do tipo de fração que representa o número.

Vamos verificar isso P + – parte positiva do campo P. Já que para um número inteiro kl três casos são possíveis: kl = 0, klÎ N, –kl Î N, então para a = obtemos uma das três possibilidades: a = 0, aО P+ , –aО P + . Além disso, se a =, b = pertence P+, então kl > 0, homem> 0. Então a + b = e ( kn + ml)ln = kln 2 + mnl 2 > 0. Então a + bО P + . Pode-se verificar de forma semelhante que abО P + . Por isso, P + – parte positiva do campo P.

Deixar P++ – alguma parte positiva deste campo. Nós temos

eu =.l 2 O P ++ .

Daqui NÍ P++. Pelo Teorema 2.3.4, os inversos dos números naturais também pertencem a P++. Então P + Í P++. Em virtude do Teorema 2.3.6 P + =P++. Portanto, as ordens definidas pelas partes positivas também coincidem P+ e P ++ .

Porque Z + = NÍ P+ , então a ordem é P continua a ordem em Z.

Deixe agora a => 0, b => 0. Já que a ordem no anel dos inteiros de Arquimedes, então para positivos sabe E ml há algo natural Com de tal modo que Com× sabe>ml. Daqui Com uma = Com> =b. Isso significa que a ordem no campo dos números racionais é arquimediana.

Exercícios

1. Prove que o corpo dos números racionais é denso, ou seja, para quaisquer números racionais a < b existe um racional R de tal modo que a < R < b.

2. Prove que a equação X 2 = 2 não tem soluções em P.

3. Prove que o conjunto P contável.

Teorema 3. A teoria axiomática dos números racionais é consistente.

Prova. A consistência da teoria axiomática dos números racionais é comprovada da mesma forma que para os inteiros. Para fazer isso, é construído um modelo no qual todos os axiomas da teoria são satisfeitos.

Como base tomamos o conjunto

Z´ Z* = {(um, b)ï um, bÎ Z, b ¹ 0}.

Os elementos deste conjunto são pares ( um, b) inteiros. Por tal par entenderemos o quociente de inteiros a/b. De acordo com isso, definimos as propriedades dos pares.

Vamos apresentar no set Z´ Z* relação de igualdade:

(um, b) = (cd) Û anúncio = aC.

Notamos que é uma relação de equivalência e tem o direito de ser chamada de igualdade. Fatorar conjunto de conjuntos Z´ Z* de acordo com esta relação de igualdade que denotamos por P. Chamaremos seus elementos de números racionais. Uma classe contendo um par ( um, b), denotado por [ um, b].

Vamos introduzir no conjunto construído P operações de adição e multiplicação. Isso nos ajudará a entender o elemento [ um, b] como privado a/b. De acordo com isso, assumimos por definição:

[um, b] + [cd] = [anúncio+bc, bd];

[um, b] × [ cd] = [ac, bd].

Verificamos a correcção das definições destas operações, nomeadamente, que os resultados não dependem da escolha dos elementos a E b, definindo o par [ um, b]. Isto é feito da mesma forma que na prova do Teorema 3.2.1.

O papel do zero é desempenhado pelo par. Vamos denotá-lo por 0 . Realmente,

[um, b] + 0 = [um, b] + = [uma× 1+0× b, b× 1] = [um, b].

Oposto a [ um, b] é o par –[ um, b] = [–um, b]. Realmente,

[um, b] + [–um, b]= [ab – ab, bb] = = 0 .

A unidade é o par = 1 . Inverta para o par [ um, b] - par [ BA].

Agora vamos verificar os axiomas de extensão. Vamos estabelecer correspondência
f: Z ® P de acordo com a regra

f(n) = [n, 1].

Verificamos que esta é uma correspondência um-para-um entre Z e algum subconjunto P, que denotamos por Z*. Verificamos ainda que preserva as operações, o que significa que estabelece um isomorfismo entre Z e sob o anel Z* V P. Isto significa que os axiomas de extensão foram verificados.

Vamos denotar o par [ n, 1] de Z*, correspondendo a um número natural n, através n . Então, para um par arbitrário [ um, b] Nós temos

[um, b] = [a, 1] × = [ a, 1] / [b, 1] = a /b .

Isso justifica a ideia de um par [ um, b] como um quociente de inteiros. Ao mesmo tempo, estabeleceu-se que cada elemento do conjunto construído Pé representado como o quociente de dois inteiros. Isso ajudará a verificar o axioma da minimalidade. A verificação é realizada conforme o Teorema 3.2.1.

Assim, para o sistema construído P todos os axiomas da teoria dos inteiros estão satisfeitos, ou seja, construímos um modelo desta teoria. O teorema foi provado.

Teorema 4. A teoria axiomática dos números racionais é categórica.

A prova é semelhante à do Teorema 3.2.2.

Teorema 5. Um corpo ordenado de Arquimedes é uma extensão do campo dos números racionais.

A prova é um exercício.

Teorema 6. Deixar F– Campo ordenado arquimediano, a > b, Onde um, bÎ F. Existe um número racional Î F de tal modo que a > > b.

Prova. Deixar a > b³ 0. Então a-b> 0 e ( a-b) –1 > 0. Existe um natural T de tal modo que eu×1 > ( a-b) –1 , de onde eu –1 < a-b £ A. Além disso, há uma natural k de tal modo que k× eu–1³ a. Deixar ké o menor número para o qual essa desigualdade é válida. Porque k> 1, então podemos colocar k = n + 1, n Î N. Em que
(n+1)× eu–1³ a, n× eu –1 < a. Se n× eu–1£ b, Que a = b + (a-b) > b+m–1³ n× eu –1 + eu –1 =
= (n+1)× eu-1. Contradição. Significa, a >n× eu –1 > b.

Exercícios

4. Prove que qualquer corpo que inclua o anel dos inteiros também inclui o corpo dos números racionais.

5. Prove que todo corpo mínimo ordenado é isomórfico ao corpo dos números racionais.

Numeros reais

No curso de matemática escolar, os números reais foram definidos de forma construtiva, a partir da necessidade de realização de medições. Esta definição não era rigorosa e muitas vezes levava os investigadores a becos sem saída. Por exemplo, a questão da continuidade dos números reais, ou seja, existem vazios neste conjunto. Portanto, ao realizar pesquisas matemáticas, é necessário ter uma definição estrita dos conceitos em estudo, pelo menos dentro da estrutura de alguns pressupostos intuitivos (axiomas) que sejam consistentes com a prática.

Definição: um conjunto de elementos x, y, z, …, consistindo em mais de um elemento, chamado de conjunto R números reais, se as seguintes operações e relações forem estabelecidas para esses objetos:

Eu grupo de axiomas– axiomas da operação de adição.

Em abundância R foi introduzida a operação de adição, ou seja, para qualquer par de elementos a E b quantia e designado a + b
Eu 1. a+b=b+a, um, b R .

Eu 2. a+(b+c)=(a+b)+c,a, b, c R .

I 3. Existe um elemento chamado zero e denotado por 0, que para qualquer a R condição é atendida a+0=a.

Eu 4. Para qualquer elemento a R existe um elemento chamado oposto e denotado por - a, para qual a+(-a)=0. Elemento a+(-b), a, b R , chamado diferença elementos a E b e é designado a - b.

II – grupo de axiomas - axiomas da operação de multiplicação. Em abundância R operação inserida multiplicação, isto é, para qualquer par de elementos a E b um único elemento é definido, chamado eles trabalhar e designado um b, de modo que as seguintes condições sejam satisfeitas:
II 1. ab=ba, um, b R .

II 2 a(a.C.)=(ab)c, a, b, c R .

II 3. Existe um elemento chamado unidade e denotado por 1, que para qualquer a R condição é atendida a 1=a.

II 4. Para qualquer um a 0 existe um elemento chamado reverter e denotado por ou 1/ a, para qual a=1. Elemento a , b 0, chamado privado da divisão a sobre b e é designado a:b ou ou a/b.

II 5. Relação entre operações de adição e multiplicação: para qualquer a, b, c R condição é satisfeita ( ac + b)c=ac+bc.

Uma coleção de objetos que satisfaz os axiomas dos grupos I e II é chamada de campo numérico ou simplesmente campo. E os axiomas correspondentes são chamados de axiomas de campo.

III – o terceiro grupo de axiomas – axiomas de ordem. Para elementos R relação de ordem é definida. É o seguinte. Para quaisquer dois elementos diferentes a E b um dos dois relacionamentos é válido: ou a b(lê " a menor ou igual b"), ou a b(lê " a mais ou igual b"). Presume-se que as seguintes condições sejam atendidas:

III 1. a a para cada a. De a b, b deve uma=b.

III 2. Transitividade. Se a b E b c, Que a c.

III3. Se a b, então para qualquer elemento c ocorre a+c b+c.

III 4. Se a 0, b 0, Que ab 0 .

O grupo IV de axiomas consiste em um axioma - o axioma da continuidade. Para quaisquer conjuntos não vazios X E S de R tal que para cada par de elementos x X E sim S a desigualdade se mantém x < sim, existe um elemento a R, satisfazendo a condição

x < a < sim, x X, sim S(Figura 2). As propriedades listadas definem completamente o conjunto dos números reais no sentido de que todas as suas outras propriedades decorrem dessas propriedades. Esta definição define exclusivamente o conjunto de números reais até a natureza específica de seus elementos. A ressalva de que um conjunto contém mais de um elemento é necessária porque um conjunto que consiste apenas em zero satisfaz obviamente todos os axiomas. A seguir, chamaremos os elementos do conjunto R de números.

Vamos agora definir os conceitos familiares de números naturais, racionais e irracionais. Os números 1, 2 1+1, 3 2+1, ... são chamados números naturais, e seu conjunto é denotado N . Da definição do conjunto dos números naturais segue-se que ele possui a seguinte propriedade característica: Se

1) A N ,

3) para cada elemento x A a inclusão x+ 1 A, então uma=N .

Na verdade, de acordo com a condição 2) temos 1 A, portanto, pela propriedade 3) e 2 A, e então, de acordo com a mesma propriedade, obtemos 3 A. Como qualquer número natural né obtido de 1 adicionando sucessivamente o mesmo 1 a ele, então n A, ou seja N A, e como pela condição 1 a inclusão A N , Que A=N .

O princípio da prova é baseado nesta propriedade dos números naturais por indução matemática. Se houver muitas afirmações, cada uma delas receberá um número natural (seu número) n=1, 2, ..., e se for comprovado que:

1) a afirmação número 1 é verdadeira;

2) da validade da declaração com qualquer número n N segue a validade da declaração com número n+1;

então a validade de todas as declarações é assim comprovada, ou seja, qualquer declaração com um número arbitrário n N .

Números 0, + 1, + 2, ... é chamado inteiros, seu conjunto é denotado Z .

Números do formulário m/n, Onde eu E n inteiro, e n 0, são chamados números racionais. O conjunto de todos os números racionais é denotado por P .

Os números reais que não são racionais são chamados irracional, seu conjunto é denotado EU .

Surge a questão de que talvez os números racionais esgotem todos os elementos do conjunto R? A resposta a esta questão é dada pelo axioma da continuidade. Na verdade, este axioma não se aplica aos números racionais. Por exemplo, considere dois conjuntos:

É fácil ver isso para quaisquer elementos e para a desigualdade. No entanto racional não há número separando esses dois conjuntos. Na verdade, esse número só pode ser , mas não é racional. Este fato indica que existem números irracionais no conjunto R.

Além das quatro operações aritméticas com números, você pode realizar operações de exponenciação e extração de raiz. Para qualquer número a R e naturais n grau umé definido como o produto n fatores iguais a:

Priorado A a 0 1, a>0, a-n 1/ a não, a 0, n- número natural.

Exemplo. Desigualdade de Bernoulli: ( 1+x)n> 1+nx Prove por indução.

Deixar a>0, n- número natural. Número b chamado raiz fº grau dentre a, Se b n = uma. Neste caso está escrito. Existência e singularidade de uma raiz positiva de qualquer grau n de qualquer número positivo será provado abaixo na Seção 7.3.
Mesmo raiz, a 0, tem dois significados: se b = , k N , então -b= . Na verdade, de b 2k = a segue isso

(-b)2k = ((-b) 2 )k = (b2)k = b 2k

Um valor não negativo é chamado de valor aritmético.
Se R = p/q, Onde p E q todo, q 0, ou seja Ré um número racional, então para a > 0

Assim, o grau um r definido para qualquer número racional R. Da sua definição segue-se que para qualquer racional R há igualdade

uma -r = 1/um r.

Grau um x(número x chamado expoente) para qualquer número real xé obtido usando propagação contínua do grau com um expoente racional (ver Seção 8.2 para mais informações). Para qualquer número a R número não negativo

é chamado valor absoluto ou módulo. Para valores absolutos de números, as seguintes desigualdades são válidas:

|a + b| < |a| + |b|,
||a - b|| < |a - b|, a, b R

Eles são comprovados usando as propriedades I-IV de números reais.

O papel do axioma da continuidade na construção da análise matemática

A importância do axioma da continuidade é tal que sem ele é impossível uma construção rigorosa da análise matemática. [ fonte não especificada 1351 dias] Para ilustrar, apresentamos várias afirmações fundamentais de análise, cuja prova se baseia na continuidade dos números reais:

· (Teorema de Weierstrass). Cada sequência limitada monotonicamente crescente converge

· (teorema de Bolzano-Cauchy). Uma função contínua em um segmento, assumindo valores de sinais diferentes em suas extremidades, desaparece em algum ponto interno do segmento

· (Existência de potência, exponencial, logarítmica e todas as funções trigonométricas em todo o domínio “natural” de definição). Por exemplo, está provado que para todos e para o todo existe, ou seja, uma solução para a equação. Isso permite determinar o valor da expressão para todos os racionais:

Finalmente, novamente graças à continuidade da reta numérica, é possível determinar o valor da expressão para uma expressão arbitrária. Da mesma forma, usando a propriedade da continuidade, a existência de um número é provada para qualquer.

Durante um longo período histórico, os matemáticos provaram teoremas a partir da análise, em “locais sutis” referindo-se à justificação geométrica e, mais frequentemente, ignorando-os completamente porque eram óbvios. O importantíssimo conceito de continuidade foi utilizado sem qualquer definição clara. Somente no último terço do século XIX o matemático alemão Karl Weierstrass aritmetizou a análise, construindo a primeira teoria rigorosa dos números reais como frações decimais infinitas. Ele propôs a definição clássica de limite na linguagem, provou uma série de afirmações que antes dele eram consideradas “óbvias” e, assim, completou a construção dos fundamentos da análise matemática.

Mais tarde, outras abordagens para determinar um número real foram propostas. Na abordagem axiomática, a continuidade dos números reais é explicitamente destacada como um axioma separado. Nas abordagens construtivas da teoria dos números reais, por exemplo, ao construir números reais usando seções de Dedekind, a propriedade da continuidade (de uma forma ou de outra) é provada como um teorema.

Outras formulações da propriedade de continuidade e sentenças equivalentes[editar | editar texto wiki]

Existem várias afirmações diferentes que expressam a propriedade de continuidade dos números reais. Cada um desses princípios pode ser usado como base para a construção da teoria do número real como um axioma de continuidade, e todos os outros podem ser derivados dele. Esta questão é discutida com mais detalhes na próxima seção.

Continuidade de acordo com Dedekind[editar | editar texto wiki]

Artigo principal:Teoria dos cortes no campo dos números racionais

Dedekind considera a questão da continuidade dos números reais em sua obra “Continuidade e Números Irracionais”. Nele, ele compara números racionais com pontos em uma linha reta. Como se sabe, uma correspondência pode ser estabelecida entre números racionais e pontos de uma reta quando o ponto de partida e a unidade de medida dos segmentos são escolhidos na reta. Usando este último, você pode construir um segmento correspondente para cada número racional e, colocando-o à direita ou à esquerda, dependendo se há um número positivo ou negativo, você pode obter um ponto correspondente ao número. Assim, para cada número racional corresponde um e apenas um ponto na reta.

Acontece que existem infinitos pontos na reta que não correspondem a nenhum número racional. Por exemplo, um ponto obtido traçando o comprimento da diagonal de um quadrado construído em um segmento unitário. Assim, a região dos números racionais não tem isso completude, ou continuidade, que é inerente a uma linha reta.

Para descobrir em que consiste esta continuidade, Dedekind faz a seguinte observação. Se houver um determinado ponto em uma reta, todos os pontos da reta se enquadram em duas classes: pontos localizados à esquerda e pontos localizados à direita. O ponto em si pode ser atribuído arbitrariamente à classe baixa ou alta. Dedekind vê a essência da continuidade no princípio inverso:

Geometricamente, este princípio parece óbvio, mas não podemos prová-lo. Dedekind enfatiza que, em essência, este princípio é um postulado que expressa a essência daquela propriedade atribuída ao direto, que chamamos de continuidade.

Para entender melhor a essência da continuidade da reta numérica no sentido de Dedekind, considere uma seção arbitrária do conjunto de números reais, ou seja, a divisão de todos os números reais em duas classes não vazias, de modo que todos os números de uma classe estão na reta numérica à esquerda de todos os números da segunda. Essas classes são nomeadas de acordo mais baixo E classes altas Seções. Em teoria existem 4 possibilidades:

1. A classe inferior possui um elemento máximo, a classe superior não possui um elemento mínimo

2. A classe inferior não possui elemento máximo, mas a classe superior possui elemento mínimo

3. A classe inferior tem o máximo e a classe superior tem os elementos mínimos

4. Não há elemento máximo na classe inferior e nenhum elemento mínimo na classe superior

No primeiro e segundo casos, o elemento máximo da parte inferior ou o elemento mínimo da parte superior, respectivamente, produzem esta seção. No terceiro caso temos salto, e no quarto - espaço. Assim, a continuidade da reta numérica significa que no conjunto dos números reais não há saltos ou lacunas, ou seja, falando figurativamente, não há vazios.

Se introduzirmos o conceito de seção de um conjunto de números reais, então o princípio de continuidade de Dedekind pode ser formulado da seguinte forma.

Princípio de continuidade (completude) de Dedekind. Para cada seção do conjunto de números reais, existe um número que produz esta seção.

Comente. A formulação do Axioma da Continuidade sobre a existência de um ponto que separa dois conjuntos lembra muito a formulação do princípio da continuidade de Dedekind. Na realidade, estas afirmações são equivalentes e são formulações essencialmente diferentes da mesma coisa. Portanto, ambas as declarações são chamadas Princípio de continuidade de números reais de Dedekind.

Lema sobre segmentos aninhados (princípio de Cauchy-Cantor)[editar | editar texto wiki]

Artigo principal:Lema sobre segmentos aninhados

Lema sobre segmentos aninhados (Cauchy-Cantor). Qualquer sistema de segmentos aninhados

possui uma interseção não vazia, ou seja, existe pelo menos um número que pertence a todos os segmentos de um determinado sistema.

Se, além disso, o comprimento dos segmentos de um determinado sistema tende a zero, isto é

então a intersecção dos segmentos deste sistema consiste em um ponto.

Esta propriedade é chamada continuidade do conjunto dos números reais no sentido de Cantor. Abaixo mostraremos que para campos ordenados de Arquimedes, a continuidade de Cantor é equivalente à continuidade de Dedekind.

O princípio supremo[editar | editar texto wiki]

O princípio supremo. Todo conjunto não vazio de números reais limitado acima tem um supremo.

Nos cursos de cálculo, essa proposição costuma ser um teorema e sua prova faz essencialmente uso da continuidade do conjunto dos números reais de alguma forma. Ao mesmo tempo, pode-se, pelo contrário, postular a existência de um supremo para qualquer conjunto não vazio limitado acima, e basear-se nisso para provar, por exemplo, o princípio da continuidade segundo Dedekind. Assim, o teorema do supremo é uma das formulações equivalentes da propriedade de continuidade dos números reais.

Comente. Em vez de supremo, pode-se usar o conceito duplo de ínfimo.

O princípio do ínfimo. Todo conjunto não vazio de números reais delimitado por baixo tem um ínfimo.

Esta proposta também é equivalente ao princípio da continuidade de Dedekind. Além disso, pode ser mostrado que a afirmação do teorema do supremo segue diretamente da afirmação do teorema do ínfimo, e vice-versa (veja abaixo).

Lema de cobertura finita (princípio de Heine-Borel)[editar | editar texto wiki]

Artigo principal:Lema de Heine-Borel

Lema de Cobertura Finita (Heine-Borel). Em qualquer sistema de intervalos que cubra um segmento, existe um subsistema finito que cobre esse segmento.

Lema do ponto limite (princípio de Bolzano-Weierstrass)[editar | editar texto wiki]

Artigo principal:Teorema de Bolzano-Weierstrass

Lema do ponto limite (Bolzano-Weierstrass). Todo conjunto infinito de números limitados tem pelo menos um ponto limite.

Equivalência de sentenças que expressam a continuidade do conjunto dos números reais[editar | editar texto wiki]

Façamos algumas observações preliminares. De acordo com a definição axiomática de um número real, o conjunto dos números reais satisfaz três grupos de axiomas. O primeiro grupo são os axiomas de campo. O segundo grupo expressa o fato de que o conjunto dos números reais é um conjunto ordenado linearmente e a relação de ordem é consistente com as operações básicas do campo. Assim, o primeiro e o segundo grupos de axiomas significam que o conjunto dos números reais representa um corpo ordenado. O terceiro grupo de axiomas consiste em um axioma - o axioma da continuidade (ou completude).

Para mostrar a equivalência de diferentes formulações da continuidade dos números reais, é necessário provar que se uma dessas afirmações vale para um corpo ordenado, então a validade de todas as outras decorre disso.

Teorema. Seja um conjunto arbitrário ordenado linearmente. As seguintes declarações são equivalentes:

1. Quaisquer que sejam os conjuntos não vazios e tais que para quaisquer dois elementos e a desigualdade seja válida, existe um elemento tal que para todos e a relação seja válida

2. Para cada seção existe um elemento que produz esta seção

3. Todo conjunto não vazio delimitado acima tem um supremo

4. Todo conjunto não vazio limitado por baixo tem um ínfimo

Como pode ser visto neste teorema, essas quatro sentenças usam apenas o fato de que a relação de ordem linear é introduzida, e não usam a estrutura do campo. Assim, cada um deles expressa a propriedade de ser um conjunto ordenado linearmente. Esta propriedade (de um conjunto arbitrário ordenado linearmente, não necessariamente o conjunto de números reais) é chamada continuidade ou completude, de acordo com Dedekind.

Provar a equivalência de outras sentenças já requer a presença de uma estrutura de campo.

Teorema. Seja um campo ordenado arbitrário. As seguintes frases são equivalentes:

1. (como um conjunto ordenado linearmente) é Dedekind completo

2. Para cumprir o princípio de Arquimedes E princípio dos segmentos aninhados

3. Pois o princípio Heine-Borel é satisfeito

4. O princípio Bolzano-Weierstrass é cumprido

Comente. Como pode ser visto no teorema, o próprio princípio dos segmentos aninhados não equivalente Princípio de continuidade de Dedekind. Do princípio de continuidade de Dedekind segue o princípio dos segmentos aninhados, mas, pelo contrário, é necessário exigir adicionalmente que o campo ordenado satisfaça o axioma de Arquimedes

A prova dos teoremas acima pode ser encontrada nos livros da lista de referências abaixo.

· Kudryavtsev, L.D. Curso de análise matemática. - 5ª ed. - M.: “Drofa”, 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1.

· Fikhtengolts, G.M. Fundamentos da análise matemática. - 7ª ed. - M.: “FIZMATLIT”, 2002. - T. 1. - 416 p. - ISBN 5-9221-0196-X.

· Dedekind, R. Continuidade e números irracionais = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4ª edição revisada. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 p.

· Zorich, V. A. Analise matemática. Parte I. - Ed. 4º, corrigido - M.: "MCNMO", 2002. - 657 p. - ISBN 5-94057-056-9.

· Continuidade de funções e domínios numéricos: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Cantor. - 3ª edição. - Novosibirsk: ANT, 2005. - 64 p.

4.5. Axioma da continuidade

Quaisquer que sejam os dois conjuntos não vazios de números reais A e

B , para o qual para quaisquer elementos a ∈ A e b ∈ B a desigualdade

a ≤ b, existe um número λ tal que para todo a ∈ A, b ∈ B o seguinte é válido:

igualdade a ≤ λ ≤ b.

A propriedade de continuidade dos números reais significa que em números reais

não há “vazios” na linha da veia, ou seja, os pontos que representam números preenchem

todo o eixo real.

Vamos dar outra formulação do axioma da continuidade. Para fazer isso, apresentamos

Definição 1.4.5. Chamaremos dois conjuntos A e B de seção

conjunto de números reais, se

1) os conjuntos A e B não estão vazios;

2) a união dos conjuntos A e B constitui o conjunto de todos os reais

números;

3) todo número do conjunto A é menor que um número do conjunto B.

Ou seja, todo conjunto que forma uma seção contém pelo menos um

elemento, esses conjuntos não contêm elementos comuns e, se a ∈ A e b ∈ B, então

Chamaremos o conjunto A de classe inferior e o conjunto B de classe superior.

classe de seção. Denotaremos a seção por A B.

Os exemplos mais simples de seções são as seções obtidas a seguir

soprando maneira. Vamos pegar algum número α e colocar

UMA = ( x x< α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-

são cortados e se a ∈ A e b ∈ B, então a< b , поэтому множества A и B образуют

seção. Da mesma forma, você pode formar uma seção por conjuntos

A =(x x ≤ α ) , B =(x x > α ) .

Chamaremos essas seções de seções geradas pelo número α ou

diremos que o número α produz esta seção. Isso pode ser escrito como

Seções geradas por qualquer número têm duas coisas interessantes

propriedades:

Propriedade 1. Ou a classe superior contém o menor número e a inferior

a classe não tem o maior número ou a classe inferior contém o maior número

eis que na classe alta não há menos.

Propriedade 2. O número que gera uma determinada seção é único.

Acontece que o axioma da continuidade formulado acima é equivalente a

é consistente com a afirmação chamada princípio de Dedekind:

Princípio de Dedekind. Para cada seção existe um número gerando

esta é uma seção.

Vamos provar a equivalência dessas afirmações.

Seja o axioma da continuidade verdadeiro, e algumas se-

lendo A B. Então, como as classes A e B satisfazem as condições, a fórmula

declarado no axioma, existe um número λ tal que a ≤ λ ≤ b para quaisquer números

a ∈ A e b ∈ B. Mas o número λ deve pertencer a um e apenas um dos

classes A ou B, portanto uma das desigualdades a ≤ λ será satisfeita< b или

a< λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,

ou o menor da classe alta e gera a seção determinada.

Por outro lado, deixe o princípio de Dedekind ser satisfeito e dois não-vazios

define A e B tais que para todo a ∈ A e b ∈ B a desigualdade

uma ≤ b. Denotemos por B o conjunto de números b tais que a ≤ b para qualquer

b ∈ B e todos a ∈ A. Então B ⊂ B. Para o conjunto A tomamos o conjunto de todos os números

aldeias não incluídas em B.

Vamos provar que os conjuntos A e B formam uma seção.

Na verdade, é óbvio que o conjunto B não está vazio, pois contém

conjunto não vazio B. O conjunto A também não é vazio, pois se um número a ∈ A,

então o número a − 1∉ B, já que qualquer número incluído em B deve ser pelo menos

números a, portanto, a − 1∈ A.

o conjunto de todos os números reais, devido à escolha dos conjuntos.

E finalmente, se a ∈ A e b ∈ B, então a ≤ b. Na verdade, se algum

o número c satisfará a desigualdade c > b, onde b ∈ B, então o incorreto

igualdade c > a (a é um elemento arbitrário do conjunto A) e c ∈ B.

Assim, A e B formam uma seção e, em virtude do princípio de Dedekind, existe um número

lo λ gerando esta seção, ou seja, sendo a maior da classe

Vamos provar que este número não pode pertencer à classe A. Válido

mas, se λ ∈ A, então existe um número a* ∈ A tal que λ< a* . Тогда существует

o número a′ situado entre os números λ e a*. Da desigualdade a′< a* следует, что

a′ ∈ A , então da desigualdade λ< a′ следует, что λ не является наибольшим в

classe A, o que contradiz o princípio de Dedekind. Portanto, o número λ será

é o menor da classe B e para todo a ∈ A e a desigualdade será válida

a ≤ λ ≤ b , que é o que precisava ser provado.◄

Assim, a propriedade formulada no axioma e a propriedade

formulados no princípio de Dedekind são equivalentes. No futuro estes

propriedades do conjunto dos números reais que chamaremos de continuidade

de acordo com Dedekind.

Da continuidade do conjunto dos números reais segundo Dedekind segue-se

dois teoremas importantes.

Teorema 1.4.3. (Princípio de Arquimedes) Qualquer que seja o número real

a, existe um número natural n tal que a< n .

Suponhamos que a afirmação do teorema seja falsa, ou seja, existe tal

algum número b0 tal que a desigualdade n ≤ b0 vale para todos os números naturais

n. Vamos dividir o conjunto dos números reais em duas classes: na classe B incluímos

todos os números b satisfazendo a desigualdade n ≤ b para qualquer n natural.

Esta classe não está vazia porque contém o número b0. Colocaremos tudo na classe A

os números restantes. Esta classe também não está vazia, pois qualquer número natural

incluído em A. As classes A e B não se cruzam e sua união é

o conjunto de todos os números reais.

Se tomarmos números arbitrários a ∈ A e b ∈ B, então existe um número natural

número n0 tal que< n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы

A e B satisfazem o princípio de Dedekind e existe um número α que

gera uma seção A B, ou seja, α é o maior da classe A ou

ou o menor da classe B. Se assumirmos que α está na classe A, então

pode-se encontrar um número natural n1 para o qual a desigualdade α< n1 .

Como n1 também está incluído em A, o número α não será o maior nesta classe,

portanto, nossa suposição está incorreta e α é o menor em

classe B.

Por outro lado, tomemos o número α − 1, que está incluído na classe A. Sledova-

Portanto, existe um número natural n2 tal que α − 1< n2 , откуда получим

α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства

segue-se que α ∈ A. A contradição resultante prova o teorema.◄

Consequência. Quaisquer que sejam os números a e b tais que 0< a < b , существует

um número natural n para o qual a desigualdade na > b é válida.

Para provar isso, basta aplicar o princípio de Arquimedes ao número

e usar a propriedade das desigualdades.◄

O corolário tem um significado geométrico simples: quaisquer que sejam os dois

segmento, se no maior deles, de uma de suas extremidades sucessivamente

coloque o menor, então em um número finito de etapas você pode ir além

segmento maior.

Exemplo 1. Prove que para cada número não negativo a existe

o único número real não negativo t tal que

t n = uma, n ∈ , n ≥ 2 .

Este teorema sobre a existência de uma raiz aritmética do enésimo grau

de um número não negativo em um curso de álgebra escolar é aceito sem prova

atos.

☺Se a = 0, então x = 0, então a prova da existência da aritmética

A raiz real de a é necessária apenas para a > 0.

Suponhamos que a > 0 e dividamos o conjunto de todos os números reais

para duas aulas. Na classe B incluímos todos os números positivos x que satisfazem

crie a desigualdade x n > a, na classe A, todos os outros.

De acordo com o axioma de Arquimedes, existem números naturais k e m tais que

< a < k . Тогда k 2 ≥ k >uma e 2 ≤< a , т.е. оба класса непусты, причем класс

A contém números positivos.

Obviamente, A ∪ B = e se x1 ∈ A e x2 ∈ B, então x1< x2 .

Assim, as classes A e B formam uma seção transversal. O número que compõe isso

seção, denotada por t. Então t é o maior número da classe

ce A, ou o menor da classe B.

Suponhamos que t ∈ A e t n< a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-

soberania 0< h < 1 . Тогда

(t + h)n = t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h2 + ... + Cnn hn< t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =

T n + h (Cnt n−1 + Cn t n−2 + ... + Cn + Cn t n) − hCn t n = t n + h (t + 1) − ht n =

T n + h (t + 1) − t n

Então obtemos (t + h)< a . Это означает,

Portanto, se tomarmos h<

que t + h ∈ A, o que contradiz o fato de que t é o maior elemento da classe A.

Da mesma forma, se assumirmos que t é o menor elemento da classe B,

então, tomando um número h que satisfaça as desigualdades 0< h < 1 и h < ,

obtemos (t − h) = t n − Cnt n−1h + Cn t n−2 h 2 − ... + (−1) Cn h n >

> t n − Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h = t n − h (t + 1) − t n > a .

Isso significa que t − h ∈ B e t não podem ser o menor elemento

classe B. Portanto, t n = uma.

A unicidade decorre do fato de que se t1< t2 , то t1n < t2 .☻ n

Exemplo 2. Prove que se um< b , то всегда найдется рациональное число r

tal que um< r < b .

☺Se os números aeb são racionais, então o número é racional e satisfatório

satisfaz as condições exigidas. Suponhamos que pelo menos um dos números a ou b

irracional, por exemplo, digamos que o número b é irracional. Presumivelmente

Também assumimos que a ≥ 0, então b > 0. Vamos escrever as representações dos números aeb na forma

frações decimais: a = α 0,α1α 2α 3.... e b = β 0, β1β 2 β3..., onde a segunda fração é infinita

intermitente e não periódico. Quanto à representação do número a, consideraremos

Deve-se notar que se um número a é racional, então sua notação é finita ou não é

uma fração periódica cujo período não é igual a 9.

Como b > a, então β 0 ≥ α 0; se β 0 = α 0, então β1 ≥ α1; se β1 = α1, então β 2 ≥ α 2

etc., e há um valor de i no qual pela primeira vez haverá

a desigualdade estrita βi > α i é satisfeita. Então o número β 0, β1β 2 ...βi será racional

nal e ficará entre os números a e b.

Se um< 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и

b + n, onde n é um número natural tal que n ≥ a. A existência de tal número

segue do axioma de Arquimedes. ☻

Definição 1.4.6. Seja dada uma sequência de segmentos da reta numérica

([um; bn]), um< bn . Эту последовательность будем называть системой вло-

de segmentos se para qualquer n as desigualdades an ≤ an+1 e

Para tal sistema, as inclusões são feitas

[a1; b1] ⊃ [a2; b2] ⊃ [a3; b3 ] ⊃ ... ⊃ [ uma ; bn ] ⊃ ... ,

isto é, cada segmento subsequente está contido no anterior.

Teorema 1.4.4. Para qualquer sistema de segmentos aninhados existe

pelo menos um ponto que está incluído em cada um desses segmentos.

Tomemos dois conjuntos A = (an) e B = (bn). Eles não estão vazios e por qualquer

n e m a desigualdade an< bm . Докажем это.

Se n ≥ m, então um< bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .

Assim, as classes A e B satisfazem o axioma da continuidade e,

portanto, existe um número λ tal que an ≤ λ ≤ bn para qualquer n, ou seja, Esse

o número pertence a qualquer segmento [an; bn] .◄

A seguir (Teorema 2.1.8) refinaremos este teorema.

A afirmação formulada no Teorema 1.4.4 é chamada de princípio

Cantor, e um conjunto que satisfaça esta condição será chamado não-

descontínuo de acordo com Cantor.

Provamos que se um conjunto ordenado é Dede-contínuo

kindu, então o princípio de Arquimedes se cumpre nele e é contínuo segundo Cantor.

Pode-se provar que um conjunto ordenado no qual os princípios são satisfeitos

cipes de Arquimedes e Cantor, será contínua segundo Dedekind. Prova

Este fato está contido, por exemplo, em.

O princípio de Arquimedes permite que cada segmento de linha compare não-

que é o único número positivo que satisfaz as condições:

1. segmentos iguais correspondem a números iguais;

2. Se o ponto B do segmento AC e os segmentos AB e BC correspondem aos números a e

b, então o segmento AC corresponde ao número a + b;

3. O número 1 corresponde a um determinado segmento.

O número correspondente a cada segmento e que satisfaça as condições 1-3 em-

é chamado de comprimento deste segmento.

O princípio de Cantor permite-nos provar que para cada positivo

número, você pode encontrar um segmento cujo comprimento seja igual a esse número. Por isso,

entre o conjunto dos números reais positivos e o conjunto dos segmentos

kovs, que são dispostos a partir de um determinado ponto em uma linha reta ao longo de um determinado lado

a partir deste ponto, uma correspondência um a um pode ser estabelecida.

Isso nos permite definir o eixo numérico e introduzir correspondência entre

Estou esperando por números reais e pontos em uma linha. Para fazer isso, vamos pegar alguns

primeira linha e selecione o ponto O nela, que dividirá esta linha em duas

feixe. Chamaremos um desses raios de positivo e o segundo de negativo.

não. Então diremos que escolhemos a direção nesta reta.

Definição 1.4.7. Chamaremos de eixo dos números a reta sobre a qual

a) ponto O, denominado origem ou origem das coordenadas;

b) direção;

c) um segmento de comprimento unitário.

Agora, para cada número real a associamos um ponto M a um número

uivar direto para que

a) o número 0 correspondia à origem das coordenadas;

b) OM = a - o comprimento do segmento da origem ao ponto M foi igual a

número do módulo;

c) se a for positivo, então o ponto é tomado no raio positivo e, se

Se for negativo, então é negativo.

Esta regra estabelece uma correspondência um-para-um entre

um conjunto de números reais e um conjunto de pontos em uma reta.

Também chamaremos a reta numérica (eixo) de reta real

Isto também implica o significado geométrico do módulo de um número real.

la: o módulo de um número é igual à distância da origem ao ponto representado

pressionando este número na reta numérica.

Agora podemos dar uma interpretação geométrica às propriedades 6 e 7

módulo de um número real. Para C positivo do número x, satisfaço

satisfazendo a propriedade 6, preencha o intervalo (−C, C) e os números x satisfazendo

propriedade 7, estão nos raios (−∞,C) ou (C, +∞).

Observemos mais uma propriedade geométrica notável do módulo da matéria:

número real.

O módulo da diferença entre dois números é igual à distância entre os pontos, correspondendo a

correspondente a esses números no eixo real.

ry conjuntos numéricos padrão.

Conjunto de números naturais;

Conjunto de inteiros;

Conjunto de números racionais;

Conjunto de números reais;

Conjuntos, respectivamente, de inteiros, racionais e reais

números reais não negativos;

Conjunto de números complexos.

Além disso, o conjunto de números reais é denotado como (−∞, +∞) .

Subconjuntos deste conjunto:

(uma, b) = ( x | x ∈ R, uma< x < b} - интервал;

[ a, b] = ( x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b) - segmento;

(uma, b] = ( x | x ∈ R, uma< x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-

ly ou meio-segmentos;

(uma, +∞) = ( x | x ∈ R, uma< x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[ a, +∞) = ( x | x ∈ R, a ≤ x) ou (−∞, b] = ( x | x ∈ R, x ≤ b) - raios fechados.

Finalmente, às vezes precisaremos de lacunas nas quais não nos importaremos

se suas extremidades pertencem a este intervalo ou não. Teremos esse período

denotar a, b.

§ 5 Limitação de conjuntos numéricos

Definição 1.5.1. Um conjunto numérico X é chamado limitado

de cima se houver um número M tal que x ≤ M para cada elemento x de

definir X.

Definição 1.5.2. Um conjunto numérico X é chamado limitado

abaixo, se houver um número m tal que x ≥ m para cada elemento x de

definir X.

Definição 1.5.3. Um conjunto numérico X é chamado limitado,

se for limitado acima e abaixo.

Em notação simbólica, essas definições ficariam assim:

um conjunto X é limitado por cima se ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M,

é limitado abaixo se ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m e

é limitado se ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .

Teorema 1.5.1. Um conjunto numérico X é limitado se e somente se

quando existe um número C tal que para todos os elementos x deste conjunto

A desigualdade x ≤ C é válida.

Seja o conjunto X limitado. Vamos colocar C = max (m, M) - o máximo

o maior dos números m e M. Então, usando as propriedades do módulo de reais

números, obtemos as desigualdades x ≤ M ≤ M ≤ C e x ≥ m ≥ − m ≥ −C , das quais segue

É verdade que x ≤ C.

Por outro lado, se a desigualdade x ≤ C for satisfeita, então −C ≤ x ≤ C. Este é o três

esperado se colocarmos M = C e m = −C .◄

O número M que limita o conjunto X de cima é chamado de número superior

limite do conjunto. Se M é o limite superior de um conjunto X, então qualquer

um número M ′ maior que M também será o limite superior deste conjunto.

Assim, podemos falar sobre o conjunto de limites superiores para o conjunto

X. Vamos denotar o conjunto de limites superiores por M. Então, ∀x ∈ X e ∀M ∈ M

a desigualdade x ≤ M será satisfeita, portanto, de acordo com o axioma, continuamente

Existe um número M 0 tal que x ≤ M 0 ≤ M . Este número é chamado de exato

nenhum limite superior de um conjunto numérico X ou o limite superior deste

conjunto ou o supremo de um conjunto X e é denotado por M 0 = sup X .

Assim, provamos que todo conjunto de números não vazio,

limitado acima sempre tem um limite superior exato.

É óbvio que a igualdade M 0 = sup X é equivalente a duas condições:

1) ∀x ∈ X a desigualdade x ≤ M 0 é válida, ou seja, M 0 - limite superior da multiplicidade

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X de modo que a desigualdade xε > M 0 − ε é válida, ou seja, este jogo

O preço não pode ser melhorado (reduzido).

Exemplo 1. Considere o conjunto X = ⎨1 − ⎬ . Vamos provar que sup X = 1.

☺Na verdade, em primeiro lugar, desigualdade 1 -< 1 выполняется для любого

n ∈ ; em segundo lugar, se tomarmos um número positivo arbitrário ε, então por

Usando o princípio de Arquimedes, pode-se encontrar um número natural nε tal que nε > . Que-

onde a desigualdade 1 − > 1 − ε é satisfeita, ou seja, elemento encontrado xnε multi-

de X, maior que 1 − ε, o que significa que 1 é o menor limite superior

Da mesma forma, pode-se provar que se um conjunto é limitado abaixo, então

tem um limite inferior exato, que também é chamado de limite inferior

novo ou ínfimo do conjunto X e é denotado por inf X.

A igualdade m0 = inf X é equivalente às condições:

1) ∀x ∈ X a desigualdade x ≥ m0 é válida;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X para que a desigualdade xε seja válida< m0 + ε .

Se um conjunto X tem o maior elemento x0, então o chamaremos

o elemento máximo do conjunto X e denota x0 = max X . Então

sup X = x0 . Da mesma forma, se houver o menor elemento em um conjunto, então

vamos chamá-lo de mínimo, denotaremos min X e será um in-

fimum do conjunto X.

Por exemplo, o conjunto dos números naturais possui o menor elemento -

unidade, que também é o ínfimo do conjunto. Supremo-

Este conjunto não tem muma, pois não é limitado por cima.

As definições de limites superiores e inferiores precisos podem ser estendidas para

conjuntos ilimitados acima ou abaixo, assumindo sup X = +∞ ou, correspondentemente,

Assim, inf X = −∞ .

Concluindo, formulamos várias propriedades dos limites superior e inferior.

Propriedade 1. Seja X algum conjunto de números. Vamos denotar por

− Conjunto X (− x | x ∈ X ) . Então sup (− X) = − inf X e inf (− X) = − sup X .

Propriedade 2. Seja X algum conjunto de números λ real

número. Denotemos por λ X o conjunto (λ x | x ∈ X ) . Então se λ ≥ 0, então

sup (λ X) = λ sup X , inf (λ X) = λ inf X e, se λ< 0, то

sup (λ X) = λ inf X , inf (λ X) = λ sup X .

Propriedade 3. Sejam X1 e X2 conjuntos de números. Vamos denotar por

X1 + X 2 é o conjunto ( x1 + x2 | x1 ∈ X 1, x2 ∈ X 2 ) e através de X1 − X 2 o conjunto

( x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2) . Então sup (X 1 + X 2) = sup X 1 + sup X 2 ,

inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2 , sup (X 1 − X 2) = sup X 1 − inf X 2 e

inf (X1 − X 2) = inf X1 − sup X 2 .

Propriedade 4. Sejam X1 e X2 conjuntos numéricos, todos os elementos dos quais

ryh não são negativos. Então

sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2 , inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2 .

Provemos, por exemplo, a primeira igualdade na Propriedade 3.

Seja x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2 e x = x1 + x2. Então x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X 2 e

x ≤ sup X1 + sup X 2 , de onde sup (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X 2 .

Para provar a desigualdade oposta, tome o número

sim< sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,

isso x1< sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство

sim< x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент

x = +x1 x2 ∈ X1+ X2, que é maior que o número y e

sup X1 + sup X 2 = sup (X1 + X 2) .◄

As provas das demais propriedades são realizadas de forma semelhante e fornecem

são revelados ao leitor.

§ 6 Conjuntos contáveis ​​e incontáveis

Definição 1.6.1. Considere o conjunto dos primeiros n números naturais

n = (1,2,..., n) e algum conjunto A. Se for possível estabelecer relações mútuas

correspondência biunívoca entre A e n, então o conjunto A será chamado

final.

Definição 1.6.2. Seja dado algum conjunto A. Se eu puder

estabelecer uma correspondência biunívoca entre o conjunto A e

conjunto de números naturais, então o conjunto A será chamado de contador

Definição 1.6.3. Se o conjunto A for finito ou contável, então

acredito que não é mais do que contável.

Assim, um conjunto será contável se seus elementos puderem ser contados

colocar em sequência.

Exemplo 1. O conjunto dos números pares é contável, pois o mapeamento n ↔ 2n

é uma correspondência biunívoca entre o conjunto de naturais

números e muitos números pares.

Obviamente, tal correspondência pode ser estabelecida não apenas em

zom. Por exemplo, você pode estabelecer uma correspondência entre conjunto e multi-

gestão (de números inteiros), estabelecendo correspondência desta forma

As recomendações destinam-se a estudantes de universidades pedagógicas que cursam a disciplina “Álgebra e Teoria dos Números”. No âmbito desta disciplina, de acordo com a norma estadual, no 6º semestre é estudada a secção “Sistemas Numéricos”. Estas recomendações apresentam material sobre a construção axiomática de sistemas de números naturais (sistema de axiomas de Peano), sistemas de números inteiros e racionais. Esta axiomática permite-nos compreender melhor o que é um número, que é um dos conceitos básicos de um curso escolar de matemática. Para melhor assimilação do material, são apresentados problemas sobre temas relevantes. No final das recomendações encontram-se respostas, instruções e soluções para os problemas.

Revisor: Doutor em Ciências Pedagógicas, Prof. Dalinger V.A.

(c) Mozhan N.N.

Assinado para publicação - 22/10/98

1. NÚMEROS NATURAIS.

1.1 O sistema de axiomas de Peano e as consequências mais simples.

Os conceitos iniciais na teoria axiomática de Peano são o conjunto N (que chamaremos de conjunto dos números naturais), o número especial zero (0) dele, e a relação binária "segue" em N, denotada S(a) (ou a()).
AXIOMAS:
1. ((a(N) a"(0 (Existe um número natural 0 que não segue nenhum número.)
2. a=b (a"=b" (Para cada número natural a existe um número natural a" seguindo-o, e apenas um.)
3. a"=b" (a=b (Cada número natural segue no máximo um número.)
4. (axioma da indução) Se o conjunto M(N e M satisfaz duas condições:
UMA) 0(M;
B) ((a(N) a(M ® a"(M, então M=N.
Na terminologia funcional, isso significa que o mapeamento S:N®N é injetivo. Do Axioma 1 segue-se que o mapeamento S:N®N não é sobrejetivo. O Axioma 4 é a base para provar afirmações “pelo método de indução matemática”.
Observemos algumas propriedades dos números naturais que decorrem diretamente dos axiomas.
Propriedade 1. Todo número natural a(0 segue um e somente um número.
Prova. Deixe M denotar o conjunto de números naturais contendo zero e todos esses números naturais, cada um dos quais segue algum número. Basta mostrar que M=N, a unicidade segue do axioma 3. Apliquemos o axioma de indução 4:
A) 0(M - por construção do conjunto M;
B) se a(M, então a"(M, porque a" segue a.
Isso significa, pelo axioma 4, M=N.
Propriedade 2. Se a(b, então a"(b".
A propriedade é provada por contradição usando o axioma 3. A seguinte propriedade 3 é provada de maneira semelhante usando o axioma 2.
Propriedade 3. Se a"(b", então a(b.
Propriedade 4. ((a(N)a(a". (Nenhum número natural segue a si mesmo.)
Prova. Seja M=(x (x(N, x(x")). É suficiente mostrar que M=N. Visto que de acordo com o axioma 1 ((x(N)x"(0, então em particular 0"(0 , e, portanto, a condição A) do axioma 4 0(M - é satisfeita. Se x(M, isto é, x(x", então pela propriedade 2 x"((x")", o que significa que a condição B) x ( M ® x"(M. Mas então, de acordo com o axioma 4, M=N.
Seja ( alguma propriedade dos números naturais. O fato de um número a ter a propriedade (, escreveremos ((a).
Tarefa 1.1.1. Prove que o Axioma 4 da definição do conjunto dos números naturais é equivalente à seguinte afirmação: para qualquer propriedade (, se ((0) e, então.
Tarefa 1.1.2. Em um conjunto de três elementos A=(a,b,c), a operação unária ( é definida como segue: a(=c, b(=c, c(=a. Quais dos axiomas de Peano são verdadeiros no conjunto A com a operação (?
Tarefa 1.1.3. Seja A=(a) um conjunto singleton, a(=a. Quais dos axiomas de Peano são verdadeiros no conjunto A com a operação (?
Tarefa 1.1.4. No conjunto N definimos uma operação unária, assumindo para qualquer. Descubra se as afirmações dos axiomas de Peano formuladas em termos da operação serão verdadeiras em N.
Problema 1.1.5. Deixe ser. Prove que A é fechado na operação (. Verifique a veracidade dos axiomas de Peano no conjunto A com a operação (.
Problema 1.1.6. Deixe ser, . Vamos definir uma operação unária em A, configuração. Quais dos axiomas de Peano são verdadeiros no conjunto A com a operação?

1.2. Consistência e categorização do sistema de axiomas de Peano.

Um sistema de axiomas é chamado consistente se a partir de seus axiomas é impossível provar o teorema T e sua negação (T. É claro que sistemas contraditórios de axiomas não têm significado em matemática, porque em tal teoria pode-se provar qualquer coisa e tal a teoria não reflete as leis do mundo real. Portanto, a consistência do sistema de axiomas é um requisito absolutamente necessário.
Se o teorema T e suas negações (T) não forem encontrados em uma teoria axiomática, isso não significa que o sistema de axiomas seja consistente. Tais teorias podem aparecer no futuro. A maneira mais comum de provar a consistência é o método de interpretação, baseado no fato de que se houver uma interpretação do sistema de axiomas em uma teoria S obviamente consistente, então o próprio sistema de axiomas será consistente. então os teoremas T e (T seriam demonstráveis ​​nele, mas então esses teoremas seriam válidos e em sua interpretação, e isso contradiz a consistência da teoria S. O método de interpretação permite provar apenas a consistência relativa da teoria.
Muitas interpretações diferentes podem ser construídas para o sistema de axiomas de Peano. A teoria dos conjuntos é especialmente rica em interpretações. Indiquemos uma dessas interpretações. Consideraremos os conjuntos (, ((), ((()), (((())),... como números naturais; consideraremos zero como um número especial (. A relação “segue” será ser interpretado da seguinte forma: o conjunto M é seguido pelo conjunto (M), cujo único elemento é o próprio M. Assim, ("=((), (()"=((()), etc. A viabilidade de. os axiomas 1-4 podem ser facilmente verificados. No entanto, a eficácia de tal interpretação é pequena: ela mostra que o sistema de axiomas de Peano é consistente se a teoria dos conjuntos for consistente. Mas provar a consistência do sistema de axiomas da teoria dos conjuntos é ainda mais difícil. tarefa A interpretação mais convincente do sistema de axiomas de Peano é a aritmética intuitiva, cuja consistência é confirmada por séculos de experiência em seu desenvolvimento.
Um sistema consistente de axiomas é chamado de independente se cada axioma desse sistema não puder ser provado como um teorema com base em outros axiomas. Para provar que o axioma (não depende de outros axiomas do sistema
(1, (2, ..., (n, ((1)
basta provar que o sistema de axiomas é consistente
(1, (2, ..., (n, (((2)
Na verdade, se (fosse provado com base nos restantes axiomas do sistema (1), então o sistema (2) seria contraditório, uma vez que nele o teorema (e o axioma ((.
Assim, para provar a independência do axioma (dos demais axiomas do sistema (1), basta construir uma interpretação do sistema de axiomas (2).
A independência do sistema de axiomas é um requisito opcional. Às vezes, para evitar a prova de teoremas “difíceis”, um sistema de axiomas deliberadamente redundante (dependente) é construído. No entanto, axiomas “extras” dificultam o estudo do papel dos axiomas na teoria, bem como das conexões lógicas internas entre as diferentes seções da teoria. Além disso, construir interpretações para sistemas dependentes de axiomas é muito mais difícil do que para sistemas independentes; Afinal, temos que verificar a validade dos axiomas “extras”. Por estas razões, a questão da dependência entre axiomas tem recebido importância primordial desde os tempos antigos. Ao mesmo tempo, tentativas de provar que o postulado 5 nos axiomas de Euclides “Há no máximo uma linha passando pelo ponto A paralela à linha (” é um teorema (isto é, depende dos axiomas restantes) e levou à descoberta de Lobachevsky geometria.
Um sistema consistente é chamado dedutivamente completo se qualquer proposição A de uma dada teoria pode ser provada ou refutada, ou seja, A ou (A é um teorema desta teoria. Se houver uma proposição que não pode ser provada nem refutada, então o sistema de axiomas é chamado dedutivamente incompleto. A completude dedutiva também não é um requisito obrigatório. Por exemplo, o sistema de axiomas da teoria dos grupos, teoria dos anéis e teoria dos campos são incompletos, uma vez que existem grupos, anéis e campos finitos e infinitos; , então nessas teorias é impossível provar ou refutar a proposição : "Um grupo (anel, campo) contém um número finito de elementos."
Deve-se notar que em muitas teorias axiomáticas (nomeadamente nas não formalizadas), o conjunto de proposições não pode ser considerado definido com precisão e, portanto, é impossível provar a completude dedutiva do sistema de axiomas de tal teoria. Outro sentido de completude é chamado de categorização. Um sistema de axiomas é chamado categórico se quaisquer duas de suas interpretações forem isomórficas, ou seja, existe uma correspondência um a um entre os conjuntos de objetos iniciais de uma e outra interpretação que é preservada sob todas as relações iniciais. A categorização também é uma condição opcional. Por exemplo, o sistema de axiomas da teoria dos grupos não é categórico. Isto decorre do fato de que um grupo finito não pode ser isomórfico a um grupo infinito. Porém, ao axiomatizar a teoria de qualquer sistema numérico, a categorização é obrigatória; por exemplo, a natureza categórica do sistema de axiomas que define os números naturais significa que, até o isomorfismo, existe apenas uma série natural.
Vamos provar a natureza categórica do sistema de axiomas de Peano. Sejam (N1, s1, 01) e (N2, s2, 02) quaisquer duas interpretações do sistema de axiomas de Peano. É necessário indicar um mapeamento bijetivo (um para um) f:N1®N2 para o qual as seguintes condições são satisfeitas:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) para qualquer x de N1;
b)f(01)=02
Se ambas as operações unárias s1 e s2 forem denotadas pelo mesmo primo, então a condição a) será reescrita na forma
a)f(x()=f(x)(.
Vamos definir uma relação binária f no conjunto N1(N2) pelas seguintes condições:
1)01f02;
2) se xfy, então x(fy(.
Tenhamos certeza de que esta relação é um mapeamento de N1 para N2, ou seja, para cada x de N1
(((y(N2) xfy(1)
Seja M1 o conjunto de todos os elementos x de N1 para os quais a condição (1) é satisfeita. Então
A) 01(M1 devido a 1);
B) x(M1 ® x((M1 em virtude de 2) e propriedades 1 do parágrafo 1.
A partir daqui, de acordo com o axioma 4, concluímos que M1=N1, e isso significa que a relação f é um mapeamento de N1 em N2. Além disso, de 1) segue que f(01)=02. A condição 2) é escrita na forma: se f(x)=y, então f(x()=y(. Segue-se que f(x()=f(x)(). Assim, para exibir a condição f a ) eb) são satisfeitos. Resta provar que a aplicação f é bijetiva.
Denotemos por M2 o conjunto daqueles elementos de N2, cada um dos quais é a imagem de um e apenas um elemento de N1 sob o mapeamento f.
Como f(01)=02, então 02 é uma imagem. Além disso, se x(N2 e x(01), então pela propriedade 1 do item 1 x segue algum elemento c de N1 e então f(x)=f(c()=f(c)((02. Isso significa 02 é imagem do único elemento 01, ou seja, 02(M2.
Seja ainda y(M2 e y=f(x), onde x é a única imagem inversa do elemento y. Então, pela condição a) y(=f(x)(=f(x()), ou seja, y(é a imagem do elemento x (. Seja c qualquer imagem inversa do elemento y(, ou seja, f(c)=y(. Como y((02, então c(01 e para c é o anterior elemento, que denotamos por d. Então y(=f( c)=f(d()=f(d)(), daí pelo Axioma 3 y=f(d). Mas como y(M2, então d= x, de onde c=d(=x(. Provamos que se y é a imagem de um elemento único, então y(é a imagem de um elemento único, ou seja, y(M2 ® y((M2. Ambos as condições do axioma 4 são satisfeitas e, portanto, M2=N2, o que completa a prova de categoricidade.
Toda a matemática pré-grega era de natureza empírica. Elementos individuais da teoria foram afogados na massa de métodos empíricos para resolver problemas práticos. Os gregos submeteram esse material empírico ao processamento lógico e tentaram encontrar conexões entre diversas informações empíricas. Nesse sentido, Pitágoras e sua escola (século V a.C.) desempenharam um papel importante na geometria. As ideias do método axiomático foram claramente ouvidas nas obras de Aristóteles (século IV aC). No entanto, a implementação prática destas ideias foi realizada por Euclides nos seus Elementos (século III aC).
Atualmente, três formas de teorias axiomáticas podem ser distinguidas.
1). Uma axiomática significativa, que foi a única até meados do século passado.
2). Axiomática semiformal que surgiu no último quartel do século passado.
3). Axiomática formal (ou formalizada), cuja data de nascimento pode ser considerada 1904, quando D. Hilbert publicou seu famoso programa sobre os princípios básicos da matemática formalizada.
Cada novo formulário não nega o anterior, mas é o seu desenvolvimento e esclarecimento, para que o nível de rigor de cada novo formulário seja superior ao anterior.
A axiomática intensiva é caracterizada pelo fato de que os conceitos iniciais têm um significado intuitivamente claro antes mesmo de os axiomas serem formulados. Assim, nos Elementos de Euclides, ponto significa exatamente o que intuitivamente entendemos por este conceito. Neste caso, utiliza-se a linguagem comum e a lógica intuitiva comum, que remonta a Aristóteles.
As teorias axiomáticas semiformais também usam linguagem comum e lógica intuitiva. No entanto, ao contrário da axiomática significativa, os conceitos originais não recebem nenhum significado intuitivo; são caracterizados apenas por axiomas. Isso aumenta o rigor, uma vez que a intuição interfere até certo ponto no rigor. Além disso, a generalidade é adquirida porque todo teorema comprovado em tal teoria será válido em qualquer interpretação. Um exemplo de teoria axiomática semiformal é a teoria de Hilbert, exposta em seu livro “Fundamentos da Geometria” (1899). Exemplos de teorias semiformais são também a teoria dos anéis e uma série de outras teorias apresentadas em um curso de álgebra.
Um exemplo de teoria formalizada é o cálculo proposicional, estudado em um curso de lógica matemática. Ao contrário da axiomática substantiva e semiformal, a teoria formalizada usa uma linguagem simbólica especial. Ou seja, é dado o alfabeto da teoria, ou seja, um certo conjunto de símbolos que desempenham o mesmo papel que as letras na linguagem comum. Qualquer sequência finita de caracteres é chamada de expressão ou palavra. Entre as expressões distingue-se uma classe de fórmulas e indica-se um critério exato que permite a cada expressão saber se se trata de uma fórmula. As fórmulas desempenham o mesmo papel que as sentenças na linguagem comum. Algumas das fórmulas são declaradas axiomas. Além disso, são especificadas regras de inferência lógica; Cada uma dessas regras significa que uma determinada fórmula segue diretamente de um determinado conjunto de fórmulas. A prova do teorema em si é uma cadeia finita de fórmulas, em que a última fórmula é o próprio teorema e cada fórmula é um axioma, ou um teorema previamente provado, ou segue diretamente das fórmulas anteriores da cadeia de acordo com um dos as regras de inferência. Assim, não há absolutamente nenhuma dúvida sobre o rigor da evidência: ou uma determinada cadeia é evidência ou não o é; Nesse sentido, a axiomática formalizada é utilizada em questões particularmente sutis de fundamentação de teorias matemáticas, quando a lógica intuitiva comum pode levar a conclusões errôneas, ocorrendo principalmente devido às imprecisões e ambigüidades de nossa linguagem comum.
Visto que em uma teoria formalizada se pode dizer sobre cada expressão se ela é uma fórmula, então o conjunto de sentenças de uma teoria formalizada pode ser considerado definido. A este respeito, pode-se, em princípio, levantar a questão de provar a completude dedutiva, bem como de provar a consistência, sem recorrer à interpretação. Em vários casos simples isto pode ser conseguido. Por exemplo, a consistência do cálculo proposicional é provada sem interpretação.
Nas teorias não formalizadas, muitas proposições não estão claramente definidas, por isso é inútil levantar a questão de provar a consistência sem recorrer a interpretações. O mesmo se aplica à questão de provar a completude dedutiva. No entanto, se for encontrada uma proposta de uma teoria não formalizada que não possa ser provada nem refutada, então a teoria é obviamente dedutivamente incompleta.
O método axiomático tem sido usado há muito tempo não apenas na matemática, mas também na física. As primeiras tentativas nesse sentido foram feitas por Aristóteles, mas o método axiomático recebeu sua aplicação real na física apenas nos trabalhos de Newton sobre mecânica.
Em conexão com o rápido processo de matematização das ciências, há também um processo de axiomatização. Atualmente, o método axiomático é utilizado até em algumas áreas da biologia, por exemplo, na genética.
No entanto, as possibilidades do método axiomático não são ilimitadas.
Em primeiro lugar, notamos que mesmo nas teorias formalizadas não é possível evitar completamente a intuição. A própria teoria formalizada sem interpretações não tem significado. Portanto, surgem uma série de questões sobre a relação entre uma teoria formalizada e sua interpretação. Além disso, como nas teorias formalizadas, são levantadas questões sobre a consistência, independência e integridade do sistema de axiomas. A totalidade de todas essas questões constitui o conteúdo de outra teoria, que é chamada de metateoria de uma teoria formalizada. Ao contrário de uma teoria formalizada, a linguagem da metateoria é uma linguagem comum do dia a dia, e o raciocínio lógico é realizado pelas regras da lógica intuitiva comum. Assim, a intuição, completamente expulsa da teoria formalizada, reaparece na sua metateoria.
Mas esta não é a principal fraqueza do método axiomático. Já mencionamos o programa de D. Hilbert, que lançou as bases para o método axiomático formalizado. A ideia principal de Hilbert era expressar a matemática clássica como uma teoria axiomática formalizada e depois provar a sua consistência. No entanto, este programa revelou-se utópico nos seus principais pontos. Em 1931, o matemático austríaco K. Gödel provou seus famosos teoremas, dos quais se concluiu que ambos os problemas principais colocados por Hilbert eram impossíveis. Usando seu método de codificação, ele conseguiu expressar algumas suposições verdadeiras da metateoria usando fórmulas da aritmética formal e provar que essas fórmulas não são dedutíveis na aritmética formal. Assim, a aritmética formalizada revelou-se dedutivamente incompleta. Dos resultados de Gödel concluiu-se que se esta fórmula improvável for incluída no número de axiomas, então haverá outra fórmula improvável expressando alguma proposição verdadeira. Tudo isso significava que não apenas toda a matemática, mas até mesmo a aritmética – sua parte mais simples – não poderia ser completamente formalizada. Em particular, Gödel construiu uma fórmula correspondente à frase “A aritmética formalizada é consistente” e mostrou que esta fórmula também não é derivável. Este facto significa que a consistência da aritmética formalizada não pode ser provada dentro da própria aritmética. É claro que é possível construir uma teoria formalizada mais forte e utilizar os seus meios para provar a consistência da aritmética formalizada, mas então surge uma questão mais difícil sobre a consistência desta nova teoria.
Os resultados de Gödel indicam as limitações do método axiomático. E, no entanto, não há absolutamente nenhuma base para conclusões pessimistas na teoria do conhecimento de que existem verdades incognoscíveis. O facto de existirem verdades aritméticas que não podem ser provadas na aritmética formal não significa que existam verdades incognoscíveis e não significa que o pensamento humano seja limitado. Significa apenas que as possibilidades do nosso pensamento não estão limitadas a procedimentos completamente formalizados e que a humanidade ainda tem de descobrir e inventar novos princípios de prova.

1.3.Adição de números naturais

As operações de adição e multiplicação de números naturais não são postuladas pelo sistema de axiomas de Peano, definiremos essas operações;
Definição. A adição de números naturais é uma operação algébrica binária + no conjunto N, que possui as seguintes propriedades:
1s. ((a(N) a+0=uma;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
Surge a pergunta: existe tal operação e, em caso afirmativo, é a única?
Teorema. Existe apenas uma adição de números naturais.
Prova. Uma operação algébrica binária no conjunto N é o mapeamento (:N(N®N. É necessário provar que existe um mapeamento único (:N(N®N) com propriedades: 1) ((x(N) ( (x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)(). Se para cada número natural x provarmos a existência de um mapeamento fx:N®N com propriedades 1() fx(0 )=x; 2() fx(y()=fx(y)(), então a função ((x,y), definida pela igualdade ((x ,y) (fx(y), satisfará as condições 1) e 2 ).
No conjunto N, definimos a relação binária fx pelas condições:
a) 0fxx;
b) se yfxz, então y(fxz(.
Vamos ter certeza de que esta relação é um mapeamento de N para N, ou seja, para cada y de N
(((z(N)yfxz(1)
Deixe M denotar o conjunto de números naturais y para o qual a condição (1) é satisfeita. Então da condição a) segue que 0(M, e da condição b) e da propriedade 1 da cláusula 1 segue que se y(M, então y((M. Portanto, com base no axioma 4, concluímos que M = N , e isso significa que a relação fx é um mapeamento de N para N. Para este mapeamento as seguintes condições são atendidas:
1() fx(0)=x - devido a a);
2() fx((y)=fx(y() - em virtude de b).
Assim, fica comprovada a existência de adição.
Vamos provar a singularidade. Sejam + e ( quaisquer duas operações algébricas binárias no conjunto N com propriedades 1c e 2c. Precisamos provar que
((x,y(N)x+y=x(y
Vamos fixar um número arbitrário x e denotar por S o conjunto daqueles números naturais y para os quais a igualdade
x + y = x (y (2)
realizado. Como de acordo com 1c x+0=x e x(0=x, então
UMA) 0(S
Deixe agora y(S, isto é, a igualdade (2) é satisfeita. Como x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)(e x+y=x(y), então pelo axioma 2 x+y(=x(y(, ou seja, a condição é satisfeita
B) y(S ® y((S.
Portanto, de acordo com o axioma 4, S=N, o que completa a prova do teorema.
Vamos provar algumas propriedades da adição.
1. O número 0 é um elemento neutro de adição, ou seja, a+0=0+a=a para todo número natural a.
Prova. A igualdade a+0=a segue da condição 1c. Vamos provar a igualdade 0+a=a.
Denotemos por M o conjunto de todos os números para os quais ela vale. Obviamente, 0+0=0 e, portanto, 0(M. Seja a(M, isto é, 0+a=a. Então 0+a(=(0+a)(=a(e, portanto, a((M . Isso significa M=N, que é o que precisava ser provado.
Em seguida, precisamos de um lema.
Lema. uma(+b=(uma+b)(.
Prova. Seja M o conjunto de todos os números naturais b para os quais a igualdade a(+b=(a+b) é verdadeira para qualquer valor de a. Então:
A) 0(M, já que a(+0=(a+0)(;
B) b(M ® b((M. Na verdade, do fato de que b(M e 2c, temos
uma(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b())(,
isto é, b((M. Isso significa M=N, que é o que precisava ser provado.
2. A adição de números naturais é comutativa.
Prova. Seja M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a). Basta provar que M=N. Temos:
A) 0(M - devido à propriedade 1.
B) a(M ® a((M. Na verdade, aplicando o lema e o fato de que a(M, obtemos:
uma(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
Isso significa a((M, e pelo axioma 4 M=N.
3. A adição é associativa.
Prova. Deixar
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c))
É necessário provar que M=N. Como (a+b)+0=a+b e a+(b+0)=a+b, então 0(M. Seja c(M, isto é (a+b)+c=a+(b+c ) . Então
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
Isso significa c((M e pelo axioma 4 M=N.
4. a+1=a(, onde 1=0(.
Prova. uma+1=uma+0(=(uma+0)(=uma(.
5. Se b(0, então ((a(N)a+b(a.
Prova. Seja M=(a(a(N(a+b(a). Como 0+b=b(0, então 0(M. Além disso, se a(M, isto é, a+b(a), então por propriedade 2 item 1 (a+b)((a(ou a(+b(a(. Então a((M e M=N.
6. Se b(0, então ((a(N)a+b(0.
Prova. Se a=0, então 0+b=b(0, mas se a(0 e a=c(, então a+b=c(+b=(c+b)(0. Então, em qualquer caso, a + b(0.
7. (Lei da tricotomia da adição). Para quaisquer números naturais a e b, uma e apenas uma das três relações é verdadeira:
1) uma=b;
2) b=a+u, onde u(0;
3) a=b+v, onde v(0.
Prova. Fixemos um número arbitrário a e denotamos por M o conjunto de todos os números naturais b para os quais pelo menos uma das relações 1), 2), 3) é válida. É necessário provar que M=N. Seja b = 0. Então se a=0, então a relação 1 é verdadeira), e se a(0, então a relação 3 é verdadeira), já que a=0+a. Então 0(M.
Suponhamos agora que b(M, isto é, para o a escolhido, uma das relações 1), 2), 3) é satisfeita. Se a=b, então b(=a(=a+1, isto é, para b(a relação 2 é válida). Se b=a+u, então b(=a+u(, isto é, para b( a relação 2). Se a=b+v, então dois casos são possíveis: v=1 e v(1. Se v=1, então a=b+v=b", isto é, para b" as relações 1 são satisfeito). Se for o mesmo v(1, então v=c", onde c(0 e então a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, onde c(0, isso). é para b" a relação 3 é satisfeita). Então, provamos que b(M®b"(M, e portanto M=N, ou seja, para qualquer a e b pelo menos uma das relações 1), 2), 3 está satisfeito). Vamos ter certeza de que dois deles não podem ser satisfeitos simultaneamente. De fato: se as relações 1) e 2) fossem satisfeitas, então elas teriam b=b+u, onde u(0, e isso contradiz a propriedade. 5. A impossibilidade de satisfatibilidade de 1) e 3). Finalmente, se as relações 2) e 3) fossem satisfeitas, então teríamos a=(a+u)+v = a+ +(u+v), e isso é impossível devido às propriedades 5 e 6. A propriedade 7 está completamente comprovada.
Tarefa 1.3.1. Seja 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9). Prove que 3+5=8, 2+4=6.

1.4. MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS.

1.5. ORDEM DO SISTEMA DE NÚMEROS NATURAIS.

1.6. ORDEM COMPLETA DO SISTEMA DE NÚMEROS NATURAIS.

1.7. PRINCÍPIO DA INDUÇÃO.

1.8. SUBTRAIR E DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS.

1.10. SISTEMA DE NÚMEROS NATURAIS COMO CONJUNTO DISCRETO COMPLETAMENTE ORDENADO.

2. INTEIROS E NÚMEROS RACIONAIS.

2.2. EXISTÊNCIA DE UM SISTEMA DE NÚMEROS INTEIROS.

2.3. UNICIDADE DO SISTEMA DE NÚMEROS INTEIROS.

2.4. DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES DO SISTEMA DE NÚMEROS RACIONAIS.

2.5. EXISTÊNCIA DE UM SISTEMA DE NÚMEROS RACIONAIS.

2.6. UNICIDADE DO SISTEMA DE NÚMEROS RACIONAIS.

RESPOSTAS, INSTRUÇÕES, SOLUÇÕES.

LITERATURA

Sistema inteiro

Lembremos que as séries naturais surgiram para listar objetos. Mas se quisermos realizar algumas ações com objetos, precisaremos de operações aritméticas com números. Ou seja, se quisermos empilhar maçãs ou dividir um bolo, precisamos traduzir essas ações para a linguagem dos números.

Observe que para introduzir as operações + e * na linguagem dos números naturais, é necessário adicionar axiomas que definem as propriedades dessas operações. Mas então o próprio conjunto dos números naturais também é Expandindo.

Vamos ver como o conjunto dos números naturais se expande. A operação mais simples, e uma das primeiras a ser exigida, é a adição. Se quisermos definir a operação de adição, devemos definir a sua inversa – subtração. Na verdade, se soubermos qual será o resultado da adição, por exemplo, 5 e 2, então deveremos ser capazes de resolver problemas como: o que deve ser adicionado a 4 para obter 11. Ou seja, problemas relacionados à adição certamente serão requerem habilidade para realizar a ação inversa - subtração. Mas se a adição de números naturais dá um número natural novamente, então a subtração de números naturais dá um resultado que não cabe em N. Alguns outros números foram necessários. Por analogia com a subtração compreensível de um número menor de um número maior, foi introduzida a regra de subtrair um número maior de um número menor - foi assim que surgiram os números inteiros negativos.

Suplementando a série natural com as operações + e -, chegamos ao conjunto dos inteiros.

Z=N+operações(+-)

O sistema de números racionais como linguagem da aritmética

Consideremos agora a próxima ação mais complexa - a multiplicação. Em essência, esta é uma adição repetida. E o produto dos inteiros permanece um inteiro.

Mas a operação inversa da multiplicação é a divisão. Mas nem sempre dá os melhores resultados. E novamente nos deparamos com um dilema - aceitar como dado que o resultado da divisão pode “não existir” ou apresentar números de algum tipo novo. Foi assim que surgiram os números racionais.

Vamos pegar um sistema de números inteiros e complementá-lo com axiomas que definem as operações de multiplicação e divisão. Obtemos um sistema de números racionais.

Q=Z+operações(*/)

Então, a linguagem dos números racionais nos permite produzir todas as operações aritméticas sobre os números. A linguagem dos números naturais não foi suficiente para isso.

Vamos dar uma definição axiomática do sistema de números racionais.

Definição. Um conjunto Q é chamado de conjunto de números racionais, e seus elementos são chamados de números racionais, se o seguinte conjunto de condições, chamado de axiomática dos números racionais, for satisfeito:

Axiomas da operação de adição. Para cada par ordenado x,y elementos de P algum elemento é definido x+yОQ, chamado soma X E no. Neste caso, as seguintes condições são atendidas:

1. (Existência de zero) Existe um elemento 0 (zero) tal que para qualquer X Q

X+0=0+X=X.

2. Para qualquer elemento XО Q existe um elemento - X O Q (oposto X) de tal modo que

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Comutatividade) Para qualquer x,yÓ Q

4. (Associatividade) Para qualquer x,y,zО Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Axiomas da operação de multiplicação.

Para cada par ordenado x, você elementos de Q algum elemento é definido xyО Q, chamado de produto X E você. Neste caso, as seguintes condições são atendidas:

5. (Existência de um elemento unitário) Existe um elemento 1 О Q tal que para qualquer XÓ Q

X . 1 = 1. x = x

6. Para qualquer elemento X Sobre Q , ( X≠ 0) existe um elemento inverso X-1 ≠0 tal que

X. x -1 = x -1. x = 1

7. (Associatividade) Para qualquer x, y, zÓ Q

X . (você . z) = (x . e) . z

8. (Comutatividade) Para qualquer x, vocêÓ Q

Axioma da ligação entre adição e multiplicação.

9. (Distributividade) Para qualquer x, y, zÓ Q

(x+y) . z = x . z+y . z

Axiomas de ordem.

Quaisquer dois elementos x, y,О Q entra em uma relação de comparação ≤. Neste caso, as seguintes condições são atendidas:

10. (X≤no)EU ( no≤x) ó x = y

11. (X≤e) eu ( você≤ z) => x≤z

12. Para qualquer um x, você O Q ou x< у, либо у < x .

Atitude< называется строгим неравенством,

A relação = é chamada de igualdade dos elementos de Q.

Axioma da ligação entre adição e ordem.

13. Para qualquer x, y, z ОQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

Axioma da conexão entre multiplicação e ordem.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

Axioma da continuidade de Arquimedes.

15. Para qualquer a > b > 0, existem m О N e n О Q tais que m ³ 1, n< b и a= mb+n.

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Assim, o sistema de números racionais é a linguagem da aritmética.

No entanto, esta linguagem não é suficiente para resolver problemas práticos de computação.