Encontre eventos confiáveis ​​e impossíveis entre os eventos de IA. Tópico da lição: “Eventos confiáveis, impossíveis e aleatórios”

Só não em um tradutor online.

A Golden Gate é um símbolo de Kiev, um dos exemplos mais antigos de arquitetura que sobreviveu até hoje. A Golden Gate de Kiev foi construída sob o comando do famoso príncipe de Kiev, Yaroslav, o Sábio, em 1164. Inicialmente eram chamados de Sul e faziam parte do sistema de fortificações defensivas da cidade, praticamente não diferente das demais portas de guarda da cidade. Foi o Portão Sul que o primeiro metropolita russo Hilarion chamou de “Grande” em seu “Sermão sobre Lei e Graça”. Depois que a majestosa Igreja de Hagia Sophia foi construída, o “Grande” Portão tornou-se a principal entrada terrestre para Kiev pelo lado sudoeste. Percebendo o seu significado, Yaroslav, o Sábio, ordenou a construção de uma pequena Igreja da Anunciação sobre os portões, a fim de prestar homenagem à religião cristã dominante na cidade e na Rússia. A partir de então, todas as fontes da crônica russa começaram a chamar o Portão Sul de Kiev de Portão Dourado. A largura do portão era de 7,5 m, a altura da passagem era de 12 m e o comprimento era de cerca de 25 m.

le sport ce não é apenas o curso de ginástica. É também sauter toujours plus haut nager jouer au ballon danser. le sport développé ton corps et aussi ton cerveau. Quando você pega a escada e não ascende ao seu esporte. Quando você faz uma cabana em uma árvore de esportes. Quando você bate com você livre de esportes. Quando você cursa, parte que você é um retardado na escola, você faz esportes.

Um evento é o resultado de um teste. O que é um evento? Uma bola é retirada aleatoriamente da urna. Recuperar uma bola de uma urna é um teste. O aparecimento de uma bola de uma determinada cor é um acontecimento. Na teoria das probabilidades, um evento é entendido como algo sobre o qual, após um certo momento, uma e apenas uma de duas coisas pode ser dita. Sim, aconteceu. Não, isso não aconteceu. Um resultado possível de um experimento é chamado de evento elementar, e um conjunto de tais resultados é simplesmente chamado de evento.

Eventos imprevisíveis são chamados de aleatórios. Um evento é denominado aleatório se, nas mesmas condições, pode ou não ocorrer. Ao lançar os dados, o resultado será seis. Eu tenho um bilhete de loteria. Depois que os resultados da loteria são publicados, o evento que me interessa - ganhar mil rublos - acontece ou não acontece. Exemplo.

Dois eventos que, sob determinadas condições, podem ocorrer simultaneamente são chamados de conjuntos, e aqueles que não podem ocorrer simultaneamente são chamados de incompatíveis. Uma moeda é lançada. O aparecimento do “brasão” exclui o aparecimento da inscrição. Os acontecimentos “apareceu um brasão” e “apareceu uma inscrição” são incompatíveis. Exemplo.

Um evento que sempre ocorre é chamado de confiável. Um evento que não pode acontecer é chamado de impossível. Por exemplo, suponha que uma bola seja retirada de uma urna contendo apenas bolas pretas. Então o aparecimento da bola preta é um evento confiável; o aparecimento de uma bola branca é um acontecimento impossível. Exemplos. Não haverá neve no próximo ano. Ao lançar os dados, o resultado será um sete. Estes são eventos impossíveis. Haverá neve no próximo ano. Ao lançar os dados, você obterá um número menor que sete. Nascer do sol diário. Estes são eventos confiáveis.

Resolução de problemas Para cada um dos eventos descritos, determine o que é: impossível, confiável ou aleatório. 1. Dos 25 alunos da turma, dois comemoram aniversário no dia a) 30 de janeiro; b) 30 de fevereiro. 2. O livro de literatura abre aleatoriamente e a segunda palavra é encontrada na página esquerda. Esta palavra começa: a) com a letra “K”; b) começando com a letra “Ъ”.

3. Hoje em Sochi o barômetro mostra pressão atmosférica normal. Neste caso: a) a água da panela ferveu à temperatura de 80º C; b) quando a temperatura caiu para -5º C, a água da poça congelou. 4. São lançados dois dados: a) o primeiro dado dá 3 pontos e o segundo - 5 pontos; b) a soma dos pontos obtidos nos dois dados é 1; c) a soma dos pontos obtidos nos dois dados é 13; d) ambos os dados obtiveram 3 pontos; e) a soma dos pontos de dois dados é menor que 15. Resolução de problemas

5. Você abriu o livro em qualquer página e leu o primeiro substantivo que encontrou. Descobriu-se que: a) a grafia da palavra selecionada contém vogal; b) a grafia da palavra selecionada contém a letra “O”; c) não há vogais na grafia da palavra selecionada; d) há sinal suave na grafia da palavra selecionada. Solução de problemas

5 ª série. Introdução à Probabilidade (4 horas)

(desenvolvimento de 4 aulas sobre este tema)

Metas de aprendizagem : - introduzir a definição de evento aleatório, confiável e impossível;

Fornecer primeiras ideias sobre a resolução de problemas combinatórios: utilizando uma árvore de opções e utilizando a regra da multiplicação.

Objetivo educacional: desenvolvimento da visão de mundo dos alunos.

Objetivo de desenvolvimento : desenvolvimento da imaginação espacial, melhoria da habilidade de trabalhar com régua.

Eventos confiáveis, impossíveis e aleatórios (2 horas)

Problemas combinatórios (2 horas)

Eventos confiáveis, impossíveis e aleatórios.

Primeira lição

Equipamento de aula: dados, moedas, gamão.

Nossa vida consiste em grande parte em acidentes. Existe uma ciência chamada “Teoria da Probabilidade”. Usando sua linguagem, você pode descrever muitos fenômenos e situações.

Até o líder primitivo entendia que uma dúzia de caçadores tinha maior “probabilidade” de acertar um bisão com uma lança do que um. É por isso que eles caçavam coletivamente naquela época.

Comandantes antigos como Alexandre, o Grande ou Dmitry Donskoy, preparando-se para a batalha, confiavam não apenas no valor e na arte dos guerreiros, mas também no acaso.

Muitas pessoas amam a matemática pelas verdades eternas: duas vezes dois é sempre quatro, a soma dos números pares é par, a área de um retângulo é igual ao produto de seus lados adjacentes, etc. obtém a mesma resposta - você só precisa não cometer erros na decisão.

A vida real não é tão simples e direta. O resultado de muitos eventos não pode ser previsto com antecedência. É impossível, por exemplo, dizer com certeza de que lado cairá uma moeda atirada ao ar, quando cairá a primeira neve no próximo ano, ou quantas pessoas na cidade quererão fazer um telefonema na próxima hora. Esses eventos imprevisíveis são chamados aleatório .

Porém, o acaso também tem suas próprias leis, que começam a se manifestar quando fenômenos aleatórios se repetem muitas vezes. Se você lançar uma moeda 1000 vezes, ela dará cara aproximadamente na metade das vezes, o que não acontece com dois ou mesmo dez lançamentos. “Aproximadamente” não significa metade. Geralmente, isso pode ou não ser o caso. A lei não estabelece nada com certeza, mas proporciona um certo grau de confiança de que algum evento aleatório ocorrerá. Tais padrões são estudados por um ramo especial da matemática - Teoria da probabilidade . Com sua ajuda, você pode prever com maior grau de confiança (mas ainda sem certeza) tanto a data da primeira nevasca quanto o número de ligações.

A teoria da probabilidade está inextricavelmente ligada à nossa vida cotidiana. Isso nos dá uma oportunidade maravilhosa de estabelecer experimentalmente muitas leis probabilísticas, repetindo experimentos aleatórios muitas vezes. Os materiais para esses experimentos serão, na maioria das vezes, uma moeda comum, um dado, um conjunto de dominó, gamão, roleta ou até mesmo um baralho de cartas. Cada um desses itens está relacionado aos jogos de uma forma ou de outra. O fato é que o caso aparece aqui na sua forma mais frequente. E as primeiras tarefas probabilísticas estavam relacionadas com a avaliação das chances de vitória dos jogadores.

A teoria moderna das probabilidades afastou-se do jogo, mas os seus adereços continuam a ser a fonte mais simples e fiável do acaso. Depois de praticar com roleta e dados, você aprenderá a calcular a probabilidade de eventos aleatórios em situações da vida real, o que lhe permitirá avaliar suas chances de sucesso, testar hipóteses e tomar decisões ideais não apenas em jogos e loterias.

Na hora de resolver problemas probabilísticos tenha muito cuidado, tente justificar cada passo que você dá, pois nenhuma outra área da matemática contém tantos paradoxos. Como a teoria da probabilidade. E talvez a principal explicação para isso seja a sua ligação com o mundo real em que vivemos.

Muitos jogos utilizam um dado com um número diferente de pontos marcados em cada lado, de 1 a 6. O jogador lança o dado, olha quantos pontos aparecem (no lado que está localizado em cima) e faz o número de movimentos correspondente. : 1,2,3 ,4,5 ou 6. O lançamento de um dado pode ser considerado uma experiência, um experimento, um teste, e o resultado obtido pode ser considerado um evento. As pessoas geralmente estão muito interessadas em adivinhar a ocorrência deste ou daquele evento e prever seu resultado. Que previsões eles podem fazer ao lançar os dados? Primeira previsão: aparecerá um dos números 1,2,3,4,5 ou 6. Você acha que o evento previsto ocorrerá ou não? Claro, isso definitivamente virá. Um evento que certamente ocorrerá em uma determinada experiência é chamado um evento confiável.

Segunda previsão : aparecerá o número 7. Você acha que o evento previsto acontecerá ou não? Claro que isso não vai acontecer, é simplesmente impossível. Um evento que não pode ocorrer em uma determinada experiência é chamado evento impossível.

Terceira previsão : aparecerá o número 1. Você acha que o evento previsto aconteceu ou não? Não podemos responder a esta questão com total certeza, uma vez que o evento previsto pode ou não ocorrer. Um evento que pode ou não ocorrer em uma determinada experiência é chamado um evento aleatório.

Exercício : Descreva os eventos discutidos nas tarefas abaixo. Como certo, impossível ou aleatório.

Vamos jogar uma moeda. Um brasão apareceu. (aleatório)

O caçador atirou no lobo e o acertou. (aleatório)

O estudante sai para passear todas as noites. Enquanto caminhava na segunda-feira, ele conheceu três conhecidos. (aleatório)

Vamos realizar mentalmente o seguinte experimento: virar um copo d'água de cabeça para baixo. Se esta experiência não for realizada no espaço, mas em casa ou na sala de aula, a água irá derramar. (confiável)

Três tiros foram disparados contra o alvo.” Foram cinco acertos" (impossível)

Jogue a pedra para cima. A pedra permanece suspensa no ar. (impossível)

Reorganizamos as letras da palavra “antagonismo” aleatoriamente. O resultado é a palavra “anacroísmo”. (impossível)

№959. Petya pensou em um número natural. O evento é o seguinte:

a) pretende-se um número par; (aleatório) b) pretende-se um número ímpar; (aleatório)

c) concebe-se um número que não é par nem ímpar; (impossível)

d) concebe-se um número par ou ímpar. (confiável)

№ 961. Petya e Tolya comparam seus aniversários. O evento é o seguinte:

a) seus aniversários não coincidem; (aleatório) b) seus aniversários são iguais; (aleatório)

d) os aniversários de ambos caem em feriados - Ano Novo (1º de janeiro) e Dia da Independência da Rússia (12 de junho). (aleatório)

№ 962. Ao jogar gamão, são usados ​​​​dois dados. O número de movimentos que um participante do jogo faz é determinado pela soma dos números nos dois lados do cubo que caem, e se um “duplo” for lançado (1 + 1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6 ), então o número de movimentos dobra. Você joga os dados e descobre quantos movimentos precisa fazer. O evento é o seguinte:

a) você deve fazer um movimento; b) você deve fazer 7 movimentos;

c) você deve fazer 24 movimentos; d) você deve fazer 13 movimentos.

a) – impossível (1 movimento pode ser feito se a combinação 1 + 0 for lançada, mas não houver número 0 nos dados).

b) – aleatório (se for lançado 1 + 6 ou 2 + 5).

c) – aleatório (se aparecer a combinação 6 +6).

d) – impossível (não existem combinações de números de 1 a 6 cuja soma seja 13; este número não pode ser obtido mesmo quando se lança um “duplo”, pois é ímpar).

Verifique você mesmo. (ditado matemático)

1) Indique quais dos seguintes eventos são impossíveis, quais são confiáveis, quais são aleatórios:

O jogo de futebol "Spartak" - "Dínamo" terminará empatado. (aleatório)

Você ganhará participando de uma loteria ganha-ganha (confiável)

A neve cairá à meia-noite e o sol brilhará 24 horas depois. (impossível)

Amanhã haverá uma prova de matemática. (aleatório)

Você será eleito Presidente dos Estados Unidos. (impossível)

Você será eleito presidente da Rússia. (aleatório)

2) Você comprou uma TV em uma loja, para a qual o fabricante oferece garantia de dois anos. Quais dos seguintes eventos são impossíveis, quais são aleatórios e quais são confiáveis:

A TV não quebrará por um ano. (aleatório)

A TV não quebrará por dois anos. (aleatório)

Você não terá que pagar por consertos de TV por dois anos. (confiável)

A TV vai quebrar no terceiro ano. (aleatório)

3) Um ônibus que transporta 15 passageiros tem que fazer 10 paradas. Quais dos seguintes eventos são impossíveis, quais são aleatórios e quais são confiáveis:

Todos os passageiros descerão do ônibus em paradas diferentes. (impossível)

Todos os passageiros descerão na mesma parada. (aleatório)

Em cada parada pelo menos alguém desce. (aleatório)

Haverá uma parada onde ninguém desce. (aleatório)

Um número par de passageiros desembarcará em todas as paradas. (impossível)

Um número ímpar de passageiros desembarcará em todas as paradas. (impossível)

Trabalho de casa : página 53 nº 960, 963, 965 (invente você mesmo dois eventos confiáveis, aleatórios e impossíveis).

Segunda lição.

Verificando o dever de casa. (oralmente)

a) Explique o que são eventos certos, aleatórios e impossíveis.

b) Indique qual dos seguintes eventos é confiável, qual é impossível, qual é aleatório:

Não haverá férias de verão. (impossível)

O sanduíche cairá com a manteiga voltada para baixo. (aleatório)

O ano letivo terminará algum dia. (confiável)

Eles vão me perguntar na aula amanhã. (aleatório)

Hoje vou conhecer um gato preto. (aleatório)

№ 960. Você abriu este livro em qualquer página e escolheu o primeiro substantivo que apareceu. O evento é o seguinte:

a) há vogal na grafia da palavra selecionada. ((confiável)

b) a grafia da palavra escolhida contém a letra “o”. (aleatório)

c) não há vogais na grafia da palavra selecionada. (impossível)

d) há sinal suave na grafia da palavra selecionada. (aleatório)

№ 963. Você está jogando gamão novamente. Descreva o seguinte evento:

a) o jogador não deve fazer mais do que dois movimentos. (impossível - com uma combinação dos menores números 1 + 1 o jogador faz 4 movimentos; uma combinação de 1 + 2 dá 3 movimentos; todas as outras combinações dão mais de 3 movimentos)

b) o jogador deve fazer mais de dois movimentos. (confiável - qualquer combinação dá 3 ou mais movimentos)

c) o jogador não deve fazer mais de 24 movimentos. (confiável - a combinação dos maiores números 6 + 6 dá 24 movimentos e todos os outros dão menos de 24 movimentos)

d) o jogador deve fazer um número de movimentos de dois dígitos. (aleatório – por exemplo, a combinação 2 + 3 fornece um número de movimentos de um dígito: 5, e lançar dois quatros fornece um número de movimentos de dois dígitos)

2. Resolução de problemas.

№ 964. Existem 10 bolas em um saco: 3 azuis, 3 brancas e 4 vermelhas. Descreva o seguinte evento:

a) Foram retiradas 4 bolas do saco, todas azuis; (impossível)

b) foram retiradas 4 bolas do saco, todas vermelhas; (aleatório)

c) Foram retiradas 4 bolas do saco e todas eram de cores diferentes; (impossível)

d) Foram retiradas 4 bolas do saco, e entre elas não havia nenhuma bola preta. (confiável)

Tarefa 1. A caixa contém 10 canetas vermelhas, 1 verde e 2 azuis. Dois objetos são retirados aleatoriamente da caixa. Quais dos seguintes eventos são impossíveis, quais são aleatórios, quais são certos:

a) duas canetas vermelhas são retiradas (aleatória)

b) são retiradas duas alças verdes; (impossível)

c) são retiradas duas canetas azuis; (aleatório)

d) são retiradas alças de duas cores diferentes; (aleatório)

e) duas alças são removidas; (confiável)

f) são retirados dois lápis. (impossível)

Tarefa 2. O Ursinho Pooh, o Leitão e todos - todos - todos se sentam à mesa redonda para comemorar seu aniversário. Em que número de todos - todos - todos o evento “O Ursinho Pooh e o Leitão sentados um ao lado do outro” é confiável e em que número é aleatório?

(se houver apenas 1 de todos - todos - todos eles, então o evento é confiável; se houver mais de 1, então é aleatório).

Tarefa 3. Entre 100 bilhetes de loteria beneficente, 20 são vencedores. Quantos bilhetes você precisa comprar para impossibilitar o evento “você não vai ganhar nada”?

Tarefa 4. Há 10 meninos e 20 meninas na turma. Quais dos seguintes eventos são impossíveis para esta classe, quais são aleatórios, quais são confiáveis

Há duas pessoas na turma que nasceram em meses diferentes. (aleatório)

Há duas pessoas na turma que nasceram no mesmo mês. (confiável)

Há dois meninos na turma que nasceram no mesmo mês. (aleatório)

Há duas meninas na turma que nasceram no mesmo mês. (confiável)

Todos os meninos nasceram em meses diferentes. (confiável)

Todas as meninas nasceram em meses diferentes. (aleatório)

Há um menino e uma menina nascidos no mesmo mês. (aleatório)

Há um menino e uma menina nascidos em meses diferentes. (aleatório)

Tarefa 5. Existem 3 bolas vermelhas, 3 amarelas e 3 verdes na caixa. Retiramos 4 bolas aleatoriamente. Considere o evento “Entre as bolas sorteadas haverá bolas exatamente de M cores”. Para cada M de 1 a 4, determine que tipo de evento é - impossível, confiável ou aleatório, e preencha a tabela:

Trabalho independente.

EUopção

a) o número de aniversário do seu amigo é menor que 32;

c) amanhã haverá prova de matemática;

d) No próximo ano, a primeira neve em Moscou cairá no domingo.

Jogando um dado. Descreva o evento:

a) o cubo, tendo caído, ficará tombado;

b) aparecerá um dos números: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

c) aparecerá o número 6;

d) será lançado um número múltiplo de 7.

Uma caixa contém 3 bolas vermelhas, 3 amarelas e 3 verdes. Descreva o evento:

a) todas as bolas sorteadas são da mesma cor;

b) todas as bolas sorteadas são de cores diferentes;

c) entre as bolas sorteadas existem bolas de cores diferentes;

c) entre as bolas sorteadas há uma bola vermelha, amarela e verde.

IIopção

Descreva o evento em questão como confiável, impossível ou acidental:

a) um sanduíche que cai da mesa cairá de bruços no chão;

b) a neve cairá em Moscou à meia-noite e depois de 24 horas o sol brilhará;

c) você ganhará participando de uma loteria ganha-ganha;

d) no próximo ano, em maio, serão ouvidos os primeiros trovões da primavera.

Todos os números de dois dígitos estão escritos nos cartões. Uma carta é escolhida aleatoriamente. Descreva o evento:

a) havia zero no cartão;

b) havia um número no cartão que era múltiplo de 5;

c) havia no cartão um número múltiplo de 100;

d) havia um número no cartão maior que 9 e menor que 100.

A caixa contém 10 canetas vermelhas, 1 verde e 2 azuis. Dois objetos são retirados aleatoriamente da caixa. Descreva o evento:

a) são retiradas duas canetas azuis;

b) são retiradas duas canetas vermelhas;

c) são retiradas duas alças verdes;

d) as alças verdes e pretas são retiradas.

Trabalho de casa: 1). Crie dois eventos confiáveis, aleatórios e impossíveis.

2). Tarefa . Existem 3 bolas vermelhas, 3 amarelas e 3 verdes na caixa. Sorteamos N bolas aleatoriamente. Considere o evento “entre as bolas sorteadas haverá bolas de exatamente três cores”. Para cada N de 1 a 9, determine que tipo de evento é - impossível, confiável ou aleatório, e preencha a tabela:

Problemas combinatórios.

Primeira lição

Verificando o dever de casa. (oralmente)

a) verificamos os problemas que os alunos encontraram.

b) uma tarefa adicional.

Estou lendo um trecho do livro “Três Dias na Karlikania” de V. Levshin.

“No início, ao som de uma valsa suave, os números formavam um grupo: 1 + 3 + 4 + 2 = 10. Depois os jovens patinadores começaram a trocar de lugar, formando cada vez mais novos grupos: 2 + 3 + 4 + 1 = 10

3 + 1 + 2 + 4 = 10

4 + 1 + 3 + 2 = 10

1 + 4 + 2 + 3 = 10, etc.

Isso continuou até que os patinadores retornaram à posição inicial.”

Quantas vezes eles trocaram de lugar?

Hoje na aula aprenderemos como resolver esses problemas. Eles são chamados combinatório.

3. Estudando novos materiais.

Tarefa 1. Quantos números de dois algarismos podem ser formados a partir dos números 1, 2, 3?

Solução: 11, 12, 13

31, 32, 33. 9 números no total.

Na hora de resolver este problema, pesquisamos todas as opções possíveis, ou, como costumam dizer nestes casos. Todas as combinações possíveis. Portanto, tais problemas são chamados combinatório. Você tem que calcular opções possíveis (ou impossíveis) na vida com bastante frequência, por isso é útil se familiarizar com problemas combinatórios.

№ 967. Vários países decidiram usar símbolos para sua bandeira nacional na forma de três listras horizontais da mesma largura em cores diferentes - branco, azul, vermelho. Quantos países podem utilizar tais símbolos, desde que cada país tenha a sua própria bandeira?

Solução. Suponhamos que a primeira faixa seja branca. Então a segunda faixa pode ser azul ou vermelha, e a terceira faixa, respectivamente, vermelha ou azul. Temos duas opções: branco, azul, vermelho ou branco, vermelho, azul.

Deixe agora a primeira faixa ser azul, então novamente teremos duas opções: branco, vermelho, azul ou azul, vermelho, branco.

Deixe a primeira faixa ser vermelha, então há mais duas opções: vermelho, branco, azul ou vermelho, azul, branco.

Havia 6 opções possíveis no total. Esta bandeira pode ser usada por 6 países.

Então, ao resolver esse problema, procurávamos uma forma de enumerar opções possíveis. Em muitos casos, é útil construir uma imagem - um diagrama de enumeração de opções. Isto, em primeiro lugar, é claro e, em segundo lugar, permite-nos levar tudo em consideração e não perder nada.

Este diagrama também é chamado de árvore de opções possíveis.

Primeira página

Segunda faixa

Terceira pista

A combinação resultante

№ 968. Quantos números de dois algarismos podem ser formados a partir dos números 1, 2, 4, 6, 8?

Solução. Para os números de dois dígitos que nos interessam, o primeiro lugar pode ser qualquer um dos dígitos fornecidos, exceto 0. Se colocarmos o número 2 em primeiro lugar, qualquer um dos dígitos fornecidos pode estar no segundo lugar. Você obterá cinco números de dois dígitos: 2.,22, 24, 26, 28. Da mesma forma, haverá cinco números de dois dígitos com o primeiro dígito 4, cinco números de dois dígitos com o primeiro dígito 6 e cinco números de dois dígitos com o primeiro dígito 6 e cinco números de dois dígitos com o primeiro dígito 6. números de dígitos com o primeiro dígito 8.

Resposta: Haverá 20 números no total.

Vamos construir uma árvore de opções possíveis para resolver este problema.

Números duplos

Primeiro dígito

Segundo dígito

Números recebidos

20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,

40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.

Resolva os seguintes problemas construindo uma árvore de opções possíveis.

№ 971. A liderança de um determinado país decidiu deixar sua bandeira nacional assim: sobre um fundo retangular monocromático, um círculo de cor diferente é colocado em um dos cantos. Decidiu-se escolher entre três cores possíveis: vermelho, amarelo, verde. Quantas variantes desta bandeira?

existe? A figura mostra algumas das opções possíveis.

Resposta: 24 opções.

№ 973. a) Quantos números de três dígitos podem ser formados a partir dos números 1,3, 5,? (27 números)

b) Quantos números de três dígitos podem ser formados a partir dos números 1,3, 5, desde que os números não sejam repetidos? (6 números)

№ 979. Os pentatletas modernos participam de competições em cinco esportes durante dois dias: hipismo, esgrima, natação, tiro e corrida.

a) Quantas opções existem para a ordem de conclusão dos tipos de competição? (120 opções)

b) Quantas opções existem para a ordem das provas da competição, caso se saiba que a última prova deverá ser realizada? (24 opções)

c) Quantas opções existem para a ordem das provas de competição se se sabe que a última prova deverá ser corrida e a primeira deverá ser de hipismo? (6 opções)

№ 981. Duas urnas contêm cinco bolas, cada uma em cinco cores diferentes: branca, azul, vermelha, amarela, verde. Uma bola é retirada de cada urna por vez.

a) quantas combinações diferentes de bolas sorteadas existem (combinações como “branco - vermelho” e “vermelho - branco” são consideradas iguais)?

(15 combinações)

b) Quantas combinações existem em que as bolas sorteadas são da mesma cor?

(5 combinações)

c) quantas combinações existem em que as bolas sorteadas são de cores diferentes?

(15 – 5 = 10 combinações)

Trabalho de casa: páginas 54, nº 969, 972, crie você mesmo um problema combinatório.

№ 969. Vários países decidiram utilizar símbolos para a sua bandeira nacional na forma de três faixas verticais da mesma largura em cores diferentes: verde, preto, amarelo. Quantos países podem utilizar tais símbolos, desde que cada país tenha a sua própria bandeira?

№ 972. a) Quantos números de dois algarismos podem ser formados a partir dos números 1, 3, 5, 7, 9?

b) Quantos números de dois algarismos podem ser formados a partir dos números 1, 3, 5, 7, 9, desde que os números não sejam repetidos?

Segunda lição

Verificando o dever de casa. a) Nº 969 e Nº 972a) e Nº 972b) - construa no quadro uma árvore de opções possíveis.

b) verificamos oralmente as tarefas concluídas.

Solução de problemas.

Então, antes disso, aprendemos como resolver problemas combinatórios usando uma árvore de opções. Este é um bom caminho? Provavelmente sim, mas muito complicado. Vamos tentar resolver o problema do dever de casa nº 972 de maneira diferente. Quem pode adivinhar como isso pode ser feito?

Responder: Para cada uma das cinco cores de camisetas existem 4 cores de calcinhas. Total: 4 * 5 = 20 opções.

№ 980. As urnas contêm cinco bolas, cada uma em cinco cores diferentes: branca, azul, vermelha, amarela, verde. Uma bola é retirada de cada urna por vez. Descreva o seguinte evento como certo, aleatório ou impossível:

a) retirar bolas de cores diferentes; (aleatório)

b) retirar bolas da mesma cor; (aleatório)

c) são sorteadas bolas pretas e brancas; (impossível)

d) são sorteadas duas bolas, ambas coloridas em uma das seguintes cores: branca, azul, vermelha, amarela, verde. (confiável)

№ 982. Um grupo de turistas planeja fazer uma caminhada pela rota Antonovo - Borisovo - Vlasovo - Gribovo. De Antonovo a Borisovo você pode fazer rafting no rio ou caminhar. De Borisovo a Vlasovo você pode caminhar ou andar de bicicleta. De Vlasovo a Gribovo você pode nadar ao longo do rio, andar de bicicleta ou caminhar. Quantas opções de trekking o turista pode escolher? Quantas opções de caminhadas o turista pode escolher, desde que utilize bicicleta em pelo menos um trecho do percurso?

(12 opções de percurso, sendo 8 delas em bicicleta)

Trabalho independente.

1 opção

a) Quantos números de três algarismos podem ser formados a partir dos algarismos: 0, 1, 3, 5, 7?

b) Quantos números de três algarismos podem ser formados a partir dos algarismos: 0, 1, 3, 5, 7, desde que os números não se repitam?

Athos, Porthos e Aramis possuem apenas uma espada, um punhal e uma pistola.

a) De quantas maneiras os mosqueteiros podem ser armados?

b) Quantas opções de armas existem se Aramis tiver que empunhar uma espada?

c) Quantas opções de armas existem se Aramis deve empunhar a espada e Porthos deve empunhar a pistola?

Em algum lugar Deus enviou a Raven um pedaço de queijo, além de queijo feta, linguiça, pão branco e preto. Empoleirada em um abeto, o corvo estava quase pronto para tomar o café da manhã, mas começou a pensar: de quantas maneiras podem ser feitos sanduíches com esses produtos?

opção 2

a) Quantos números de três algarismos podem ser formados a partir dos algarismos: 0, 2, 4, 6, 8?

b) Quantos números de três algarismos podem ser formados a partir dos algarismos: 0, 2, 4, 6, 8, desde que os algarismos não se repitam?

O Conde Monte Cristo decidiu dar à Princesa Hayde brincos, um colar e uma pulseira. Cada joia deve conter um dos seguintes tipos de pedras preciosas: diamantes, rubis ou granadas.

a) Quantas opções existem para combinar joias com pedras preciosas?

b) Quantas opções de joias existem se os brincos forem de diamante?

c) Quantas opções de joias existem se os brincos forem de diamante e a pulseira de granada?

No café da manhã você pode escolher um pãozinho, sanduíche ou pão de gengibre com café ou kefir. Quantas opções de café da manhã você pode criar?

Trabalho de casa : Nº 974, 975. (compilando uma árvore de opções e usando a regra de multiplicação)

№ 974 . a) Quantos números de três algarismos podem ser formados a partir dos números 0, 2, 4?

b) Quantos números de três algarismos podem ser formados a partir dos números 0, 2, 4, desde que os números não sejam repetidos?

№ 975 . a) Quantos números de três algarismos podem ser formados a partir dos números 1,3, 5,7?

b) Quantos números de três dígitos podem ser formados a partir dos números 1,3, 5,7 sob a condição. Quais números não devem ser repetidos?

Números de problemas retirados do livro didático

"Matemática-5", I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich, 2004.

1.1. Algumas informações da combinatória

1.1.1. Canais

Consideremos os conceitos mais simples associados à seleção e disposição de um determinado conjunto de objetos.
Contar o número de maneiras pelas quais essas ações podem ser executadas é frequentemente feito na resolução de problemas probabilísticos.
Definição. Alojamento de n elementos por k (k ≤n) é qualquer subconjunto ordenado de k elementos de um conjunto composto por n vários elementos.
Exemplo. As seguintes sequências de números são colocações de 2 elementos de 3 elementos do conjunto (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Observe que os posicionamentos diferem na ordem dos elementos incluídos neles e em sua composição. As posições 12 e 21 contêm os mesmos números, mas a ordem é diferente. Portanto, esses posicionamentos são considerados diferentes.
Número de canais diferentes de n elementos por ké designado e calculado pela fórmula:
,
Onde n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n(lê " n- fatorial").
O número de números de dois dígitos que podem ser formados a partir dos dígitos 1, 2, 3, desde que nenhum dígito seja repetido igual a: .

1.1.2. Reorganizações

Definição. Permutações de n elementos são chamados de posicionamentos de n elementos que diferem apenas na localização dos elementos.
Número de permutações de n elementos P n calculado pela fórmula: P n=n!
Exemplo. De quantas maneiras 5 pessoas podem se alinhar? O número de maneiras é igual ao número de permutações de 5 elementos, ou seja,
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Definição. Se entre n elementos k idênticos, então o rearranjo destes n elementos é chamada de permutação com repetições.
Exemplo. Sejam 2 dos 6 livros idênticos. Qualquer disposição de todos os livros numa estante é um rearranjo com repetição.
Número de diferentes permutações com repetições (de n elementos, incluindo k idêntico) é calculado usando a fórmula: .
No nosso exemplo, o número de maneiras pelas quais os livros podem ser organizados numa estante é: .

1.1.3. Combinações

Definição. Combinações de n elementos por k tais posicionamentos são chamados n elementos por k, que diferem entre si em pelo menos um elemento.
Número de combinações diferentes de n elementos por ké designado e calculado pela fórmula: .
Por definição, 0!=1.
As seguintes propriedades se aplicam a combinações:
1.
2.
3.
4.
Exemplo. Existem 5 flores de cores diferentes. 3 flores são selecionadas para o buquê. O número de buquês diferentes de 3 flores em 5 é igual a: .

1.2. Eventos Aleatórios

1.2.1. Eventos

O conhecimento da realidade nas ciências naturais ocorre como resultado de testes (experiência, observações, experiência).
Teste ou experiência é a implementação de um conjunto específico de condições que pode ser reproduzido um número arbitrariamente grande de vezes.
Aleatório é um evento que pode ou não ocorrer como resultado de algum teste (experiência).
Assim, o evento é considerado como resultado do teste.
Exemplo. Jogar uma moeda é um desafio. O aparecimento de uma águia durante um lançamento é um acontecimento.
Os eventos que observamos diferem no grau de possibilidade de sua ocorrência e na natureza de sua inter-relação.
O evento é chamado confiável , se for certo que ocorrerá como resultado deste teste.
Exemplo. Um aluno que receba uma nota positiva ou negativa num exame é um evento confiável se o exame decorrer de acordo com as regras habituais.
O evento é chamado impossível , se não puder ocorrer como resultado deste teste.
Exemplo. Remover uma bola branca de uma urna que contém apenas bolas coloridas (não brancas) é um evento impossível. Observe que sob outras condições experimentais o aparecimento de uma bola branca não está excluído; assim, este evento é impossível apenas sob as condições da nossa experiência.
A seguir, denotaremos eventos aleatórios por letras latinas maiúsculas A, B, C... Denotaremos um evento confiável pela letra Ω e um evento impossível por Ø.
Dois ou mais eventos são chamados igualmente possível num determinado teste se houver razão para acreditar que nenhum destes eventos é mais ou menos possível que os outros.
Exemplo. Com um lançamento de um dado, o aparecimento de 1, 2, 3, 4, 5 e 6 pontos são eventos igualmente possíveis. Supõe-se, é claro, que os dados sejam feitos de um material homogêneo e tenham o formato correto.
Os dois eventos são chamados incompatível em determinado teste, se a ocorrência de um deles exclui a ocorrência do outro, e articulação de outra forma.
Exemplo. A caixa contém peças padrão e não padrão. Vamos pegar um detalhe para dar sorte. A aparência de uma peça padrão elimina a aparência de uma peça não padronizada. Esses eventos são incompatíveis.
Vários eventos se formam grupo completo de eventos em um determinado teste, se pelo menos um deles ocorrer com certeza como resultado desse teste.
Exemplo. Os eventos do exemplo formam um grupo completo de eventos igualmente possíveis e incompatíveis entre pares.
Dois eventos incompatíveis que formam um grupo completo de eventos em uma determinada tentativa são chamados eventos opostos.
Se um deles for designado por A, então o outro é geralmente denotado por (leia “não A»).
Exemplo. Um acerto e um erro com um tiro no alvo são eventos opostos.

1.2.2. Definição clássica de probabilidade

Probabilidade de evento – uma medida numérica da possibilidade de sua ocorrência.
Evento A chamado favorável evento EM se sempre que um evento ocorrer A, o evento chega EM.
Eventos A 1 , A 2 , ..., An forma diagrama de caso , se eles:
1) igualmente possível;
2) pares incompatíveis;
3) formar um grupo completo.
No esquema de casos (e somente neste esquema) a definição clássica de probabilidade ocorre P(A) eventos A. Aqui, um caso é cada um dos eventos pertencentes a um grupo completo selecionado de eventos igualmente possíveis e incompatíveis entre pares.
Se né o número de todos os casos no esquema, e eu– número de casos favoráveis ​​ao evento A, Que probabilidade de um evento Aé determinado pela igualdade:

As seguintes propriedades decorrem da definição de probabilidade:
1. A probabilidade de um evento confiável é igual a um.
Na verdade, se um acontecimento for certo, então todos os casos no esquema de casos favorecem o acontecimento. Nesse caso eu = n e portanto

2. A probabilidade de um evento impossível é zero.
Na verdade, se um evento é impossível, então nenhum caso no padrão de casos favorece o evento. É por isso eu=0 e portanto

A probabilidade de um evento aleatório é um número positivo entre zero e um.
Na verdade, apenas uma fração do número total de casos no padrão de casos é favorecida por um evento aleatório. Portanto 0<eu<n, o que significa 0<eu/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Portanto, a probabilidade de qualquer evento satisfaz as desigualdades
0 ≤ P(A) ≤ 1.
Atualmente, as propriedades da probabilidade são definidas na forma de axiomas formulados por A.N. Kolmogorov.
Uma das principais vantagens da definição clássica de probabilidade é a capacidade de calcular a probabilidade de um evento diretamente, ou seja, sem recorrer a experimentos, que são substituídos pelo raciocínio lógico.

Problemas de cálculo direto de probabilidades

Problema 1.1. Qual é a probabilidade de ocorrer um número par de pontos (evento A) ao lançar um dado?
Solução. Considere os eventos Aeu- desistiu eu copos, eu= 1, 2,…,6. É óbvio que estes eventos formam um padrão de casos. Então o número de todos os casos n= 6. Os casos favorecem a rolagem de um número par de pontos A 2 , A 4 , A 6, ou seja eu= 3. Então .
Problema 1.2. Existem 5 bolas brancas e 10 bolas pretas em uma urna. As bolas são bem misturadas e então 1 bola é retirada aleatoriamente. Qual é a probabilidade de a bola sorteada ser branca?
Solução. Há um total de 15 casos que formam um padrão de caso. Além disso, o evento esperado A– o aparecimento de uma bola branca é favorecido por 5 deles, portanto .
Problema 1.3. Uma criança brinca com seis letras do alfabeto: A, A, E, K, R, T. Encontre a probabilidade de ela conseguir formar aleatoriamente a palavra CARRO (evento A).
Solução. A solução é complicada pelo fato de que entre as letras existem outras idênticas - duas letras “A”. Portanto, o número de todos os casos possíveis em um determinado teste é igual ao número de permutações com repetições de 6 letras:
.
Esses casos são igualmente possíveis, inconsistentes aos pares e formam um grupo completo de eventos, ou seja, formar um diagrama de casos. Apenas uma chance favorece o evento A. É por isso
.
Problema 1.4. Tanya e Vanya concordaram em comemorar o Ano Novo em uma companhia de 10 pessoas. Os dois realmente queriam sentar um ao lado do outro. Qual a probabilidade de seu desejo ser realizado se for costume distribuir lugares entre os amigos por sorteio?
Solução. Vamos denotar por A evento “realização dos desejos de Tanya e Vanya”. 10 pessoas podem sentar em uma mesa de 10! jeitos diferentes. Quantos destes n= 10! maneiras igualmente possíveis são favoráveis ​​​​para Tanya e Vanya? Tanya e Vanya, sentadas lado a lado, podem assumir 20 posições diferentes. Ao mesmo tempo, oito dos seus amigos podem sentar-se numa mesa de 8! de maneiras diferentes, então eu= 20∙8!. Por isso,
.
Problema 1.5. Um grupo de 5 mulheres e 20 homens seleciona três delegados. Supondo que cada pessoa presente possa ser escolhida com igual probabilidade, encontre a probabilidade de que duas mulheres e um homem sejam escolhidos.
Solução. O número total de resultados de teste igualmente possíveis é igual ao número de maneiras pelas quais três delegados podem ser selecionados entre 25 pessoas, ou seja, . Vamos agora contar o número de casos favoráveis, ou seja, o número de casos em que ocorre o evento de interesse. Um delegado masculino pode ser selecionado de vinte maneiras. Ao mesmo tempo, os dois delegados restantes devem ser mulheres e você pode escolher duas mulheres entre cinco. Por isso, . É por isso
.
Problema 1.6. Quatro bolas são espalhadas aleatoriamente em quatro buracos, cada bola cai em um ou outro buraco com igual probabilidade e independentemente das outras (não há obstáculos para que várias bolas caiam no mesmo buraco). Encontre a probabilidade de que haja três bolas em um dos buracos, uma no outro e nenhuma bola nos outros dois buracos.
Solução. Número total de casos n=4 4 . O número de maneiras pelas quais se pode escolher um buraco onde haverá três bolas, . O número de maneiras pelas quais você pode escolher um buraco onde haverá uma bola, . O número de maneiras pelas quais três das quatro bolas podem ser selecionadas para serem colocadas no primeiro buraco é . Número total de casos favoráveis. Probabilidade do evento:
Problema 1.7. Existem 10 bolas idênticas na caixa, marcadas com os números 1, 2, ..., 10. Seis bolas são sorteadas para dar sorte. Encontre a probabilidade de que entre as bolas extraídas existam: a) bola nº 1; b) bolas nº 1 e nº 2.
Solução. a) O número total de resultados elementares possíveis do teste é igual ao número de maneiras pelas quais seis bolas podem ser extraídas de dez, ou seja,
Vamos encontrar o número de resultados que favorecem o evento que nos interessa: entre as seis bolas selecionadas está a bola nº 1 e, portanto, as cinco bolas restantes têm números diferentes. O número de tais resultados é obviamente igual ao número de maneiras pelas quais cinco bolas podem ser selecionadas das nove restantes, ou seja,
A probabilidade exigida é igual à razão entre o número de resultados favoráveis ​​​​ao evento em questão e o número total de resultados elementares possíveis:
b) O número de resultados favoráveis ​​​​ao evento que nos interessa (entre as bolas selecionadas estão as bolas nº 1 e nº 2, portanto, quatro bolas têm números diferentes) é igual ao número de maneiras pelas quais quatro bolas podem ser extraído dos oito restantes, ou seja, Probabilidade necessária

1.2.3. Probabilidade estatística

A definição estatística de probabilidade é usada quando os resultados de um experimento não são igualmente possíveis.
Frequência relativa de eventos Aé determinado pela igualdade:
,
Onde eu– número de tentativas em que o evento A chegou n– número total de testes realizados.
J. Bernoulli provou que com um aumento ilimitado no número de experimentos, a frequência relativa de ocorrência de um evento diferirá quase tão pouco quanto desejado de algum número constante. Descobriu-se que esse número constante é a probabilidade de ocorrência do evento. Portanto, é natural chamar a frequência relativa de ocorrência de um evento com um número suficientemente grande de tentativas de probabilidade estatística, em contraste com a probabilidade introduzida anteriormente.
Exemplo 1.8. Como determinar aproximadamente o número de peixes no lago?
Deixe entrar no lago X peixe Lançamos uma rede e, digamos, encontramos nela n peixe Marcamos cada um deles e os liberamos de volta. Alguns dias depois, com o mesmo tempo e no mesmo local, lançamos a mesma rede. Suponhamos que nele encontremos m peixes, entre os quais k marcado. Deixe o evento A- “o peixe capturado está marcado.” Então, por definição de frequência relativa.
Mas se no lago X peixe e nós o soltamos nele n rotulado, então.
Porque R * (A) » R(A), Que .

1.2.4. Operações em eventos. Teorema da adição de probabilidade

Quantia, ou união de vários eventos, é um evento que consiste na ocorrência de pelo menos um desses eventos (no mesmo julgamento).
Soma A 1 + A 2 + … + An denotado da seguinte forma:
ou .
Exemplo. Dois dados são lançados. Deixe o evento A consiste em rolar 4 pontos em 1 dado, e o evento EM– quando 5 pontos são lançados em outro dado. Eventos A E EM articulação. Portanto o evento A +EM consiste em lançar 4 pontos no primeiro dado, ou 5 pontos no segundo dado, ou 4 pontos no primeiro dado e 5 pontos no segundo ao mesmo tempo.
Exemplo. Evento A– ganhos para 1 empréstimo, evento EM– ganhos no 2º empréstimo. Então o evento A+B– ganhar pelo menos um empréstimo (possivelmente dois de uma vez).
O trabalho ou a intersecção de vários eventos é um evento que consiste na ocorrência conjunta de todos esses eventos (no mesmo julgamento).
Trabalhar EM eventos A 1 , A 2 , …, An denotado da seguinte forma:
.
Exemplo. Eventos A E EM consistem na aprovação no primeiro e segundo turnos, respectivamente, no momento da admissão ao instituto. Então o evento A×B consiste em completar com sucesso ambas as rodadas.
Os conceitos de soma e produto de eventos têm uma interpretação geométrica clara. Deixe o evento A há um ponto entrando na área A, e o evento EM– ponto entrando na área EM. Então o evento A+B há um ponto entrando na união dessas áreas (Fig. 2.1), e o evento AEM há um ponto que atinge a intersecção dessas áreas (Fig. 2.2).

Arroz. 2.1 Fig. 2.2
Teorema. Se os eventos Um eu(eu = 1, 2, …, n) são inconsistentes aos pares, então a probabilidade da soma dos eventos é igual à soma das probabilidades desses eventos:
.
Deixar A E Ā – eventos opostos, ou seja, A + Â= Ω, onde Ω é um evento confiável. Do teorema da adição segue que
Р(Ω) = R(A) + R(Ā ) = 1, portanto
R(Ā ) = 1 – R(A).
Se os eventos A 1 e A 2 são compatíveis, então a probabilidade da soma de dois eventos simultâneos é igual a:
R(A 1 + A 2) = R(A 1) + R(A 2) –P( A 1× A 2).
Os teoremas de adição de probabilidade nos permitem passar do cálculo direto de probabilidades para a determinação das probabilidades de ocorrência de eventos complexos.
Problema 1.8. O atirador dispara um tiro no alvo. Probabilidade de marcar 10 pontos (evento A), 9 pontos (evento EM) e 8 pontos (evento COM) são iguais a 0,11, respectivamente; 0,23; 0,17. Encontre a probabilidade de que com um tiro o atirador marque menos de 8 pontos (evento D).
Solução. Vamos para o evento oposto - com um tiro o atirador marcará pelo menos 8 pontos. Um evento ocorre se acontecer A ou EM, ou COM, ou seja . Desde os eventos A, B, COM são inconsistentes aos pares, então, pelo teorema da adição,
, onde .
Problema 1.9. Da equipe da brigada, composta por 6 homens e 4 mulheres, são selecionadas duas pessoas para a conferência sindical. Qual é a probabilidade de que entre os selecionados pelo menos uma mulher (evento A).
Solução. Se ocorrer um evento A, então um dos seguintes eventos incompatíveis ocorrerá definitivamente: EM– “um homem e uma mulher são escolhidos”; COM- “duas mulheres foram escolhidas.” Portanto podemos escrever: A=B+C. Vamos encontrar a probabilidade dos eventos EM E COM. Duas em cada 10 pessoas podem ser escolhidas de maneiras diferentes. Duas mulheres em cada 4 podem ser selecionadas de maneiras diferentes. Um homem e uma mulher podem ser selecionados de maneiras 6 × 4. Então . Desde os eventos EM E COM são inconsistentes, então, pelo teorema da adição,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Problema 1.10. Existem 15 livros didáticos dispostos aleatoriamente em uma estante de biblioteca, cinco deles encadernados. O bibliotecário pega três livros aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que pelo menos um dos livros retirados seja encadernado (evento A).
Solução. Primeira maneira. O requisito - pelo menos um dos três livros encadernados retirados - será cumprido se ocorrer algum dos três eventos incompatíveis a seguir: EM– um livro encadernado, COM– dois livros encadernados, D– três livros encadernados.
Evento de nosso interesse A pode ser representado como uma soma de eventos: A=B+C+D. De acordo com o teorema da adição,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Vamos encontrar a probabilidade dos eventos B, C E D(ver esquemas combinatórios):

Representando essas probabilidades em igualdade (2.1), obtemos finalmente
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Segunda maneira. Evento A(pelo menos um dos três livros levados é encadernado) e Ā (nenhum dos livros levados é encadernado) - oposto, portanto P(A) + P(Ā) = 1 (a soma das probabilidades de dois eventos opostos é igual a 1). Daqui P(A) = 1 – P(Â). Probabilidade de ocorrência do evento Ā (nenhum dos livros levados é encadernado)
Probabilidade necessária
P(A) = 1 – P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. Probabilidade Condicional. Teorema da multiplicação de probabilidade

Probabilidade Condicional P(B/A) é a probabilidade do evento B, calculada sob a suposição de que o evento A já ocorreu.
Teorema. A probabilidade de ocorrência conjunta de dois eventos é igual ao produto das probabilidades de um deles pela probabilidade condicional do outro, calculada sob a suposição de que o primeiro evento já ocorreu:
P(A∙B) = P(UMA)∙P( EM/A). (2.2)
Dois eventos são chamados de independentes se a ocorrência de qualquer um deles não altera a probabilidade de ocorrência do outro, ou seja,
P(A) = P(A/B) ou P(B) = P(B/A). (2.3)
Se os eventos A E EM são independentes, então das fórmulas (2.2) e (2.3) segue
P(A∙B) = P(UMA)∙P(B). (2.4)
A afirmação oposta também é verdadeira, ou seja, se a igualdade (2.4) vale para dois eventos, então esses eventos são independentes. Na verdade, das fórmulas (2.4) e (2.2) segue-se
P(A∙B) = P(UMA)∙P(B) = P(A) × P(B/A), onde P(A) = P(B/A).
A fórmula (2.2) pode ser generalizada para o caso de um número finito de eventos A 1 , A 2 ,…,Um:
P(A 1 ∙A 2 ∙…∙Um)=P(A 1)∙P(A 2 /A 1)∙P(A 3 /A 1 A 2)∙…∙Frigideira/A 1 A 2 …Um -1).
Problema 1.11. De uma urna contendo 5 bolas brancas e 10 bolas pretas, são sorteadas duas bolas consecutivas. Encontre a probabilidade de ambas as bolas serem brancas (evento A).
Solução. Vamos considerar os eventos: EM– a primeira bola sorteada é branca; COM– a segunda bola sorteada é branca. Então A = BC.
O experimento pode ser realizado de duas maneiras:
1) com retorno: a bola retirada, após fixar a cor, é devolvida à urna. Neste caso os acontecimentos EM E COM independente:
P(UMA) = P(B)∙R(S) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) sem retornar: a bola retirada é posta de lado. Neste caso os acontecimentos EM E COM dependente:
P(UMA) = P(B)∙R(S/EM).
Para um evento EM as condições são as mesmas, e para COM a situação mudou. Ocorrido EM, portanto restam 14 bolas na urna, incluindo 4 brancas.
Então, .
Problema 1.12. Das 50 lâmpadas, 3 não são padronizadas. Encontre a probabilidade de que duas lâmpadas tiradas ao mesmo tempo não sejam padronizadas.
Solução. Vamos considerar os eventos: A– a primeira lâmpada não é padrão, EM– a segunda lâmpada não é padrão, COM– ambas as lâmpadas não são padronizadas. Está claro que C = UMA∙EM. Evento A 3 casos em 50 possíveis são favoráveis, ou seja, P(A) = 3/50. Se o evento A já chegou, então o evento EM dois casos entre 49 possíveis são favoráveis, ou seja, P(B/A) = 2/49. Por isso,
.
Problema 1.13. Dois atletas atiram no mesmo alvo independentemente um do outro. A probabilidade do primeiro atleta acertar o alvo é de 0,7 e do segundo é de 0,8. Qual é a probabilidade de o alvo ser atingido?
Solução. O alvo será atingido se o primeiro atirador, ou o segundo, ou ambos, o acertarem, ou seja, um evento vai acontecer A+B, onde é o evento A consiste no primeiro atleta atingir o alvo, e o evento EM- segundo. Então
P(A+EM)=P(A)+P(B)–P(A∙EM)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Problema 1.14. A sala de leitura possui seis livros didáticos sobre teoria das probabilidades, três dos quais são encadernados. O bibliotecário pegou dois livros aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que dois livros didáticos sejam encadernados.
Solução. Vamos apresentar as designações de eventos : A– o primeiro livro retirado está encadernado, EM– o segundo livro está encadernado. A probabilidade de o primeiro livro ser encadernado é
P(A) = 3/6 = 1/2.
A probabilidade de o segundo livro ser encadernado, desde que o primeiro livro retirado esteja encadernado, ou seja, probabilidade condicional de um evento EM, é como isso: P(B/A) = 2/5.
A probabilidade desejada de que ambos os livros estejam vinculados, de acordo com o teorema da multiplicação das probabilidades de eventos, é igual a
P(AB) = P(A) ∙ P(B/A)= 1/2 · ∙ 2/5 = 0,2.
Problema 1.15. Há 7 homens e 3 mulheres trabalhando na oficina. Três pessoas foram selecionadas aleatoriamente usando seus números pessoais. Encontre a probabilidade de que todas as pessoas selecionadas sejam homens.
Solução. Vamos apresentar as designações de eventos: A– o homem é selecionado primeiro, EM– o segundo selecionado é um homem, COM - O terceiro selecionado foi um homem. A probabilidade de um homem ser selecionado primeiro é P(A) = 7/10.
A probabilidade de um homem ser selecionado em segundo lugar, desde que um homem já tenha sido selecionado primeiro, ou seja, probabilidade condicional de um evento EM próximo : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
A probabilidade de um homem ser selecionado em terceiro lugar, dado que dois homens já foram selecionados, ou seja, probabilidade condicional de um evento COMé isto: P(C/AB) = 5/8.
A probabilidade desejada de que todas as três pessoas selecionadas sejam homens é P(ABC) = P(UMA) P(B/A) P(C/AB) = 7/10 · 2/3 · 5/8 = 7/24.

1.2.6. Fórmula de Probabilidade Total e Fórmula de Bayes

Deixar B 1 , B 2 ,…, Bn– eventos incompatíveis entre pares (hipóteses) e A– um evento que só pode acontecer junto com um deles.
Deixe-nos saber também P(B eu) E P(A/B eu) (eu = 1, 2, …, n).
Nestas condições as fórmulas são válidas:
(2.5)
(2.6)
A fórmula (2.5) é chamada fórmula de probabilidade total . Calcula a probabilidade de um evento A(probabilidade total).
A fórmula (2.6) é chamada Fórmula de Bayes . Permite recalcular as probabilidades das hipóteses se o evento A ocorrido.
Ao compilar exemplos, é conveniente assumir que as hipóteses formam um grupo completo.
Problema 1.16. A cesta contém maçãs de quatro árvores da mesma variedade. Da primeira - 15% de todas as maçãs, da segunda - 35%, da terceira - 20%, da quarta - 30%. Maçãs maduras têm 99%, 97%, 98%, 95%, respectivamente.
a) Qual é a probabilidade de uma maçã escolhida ao acaso estar madura (evento A).
b) Dado que uma maçã colhida ao acaso está madura, calcule a probabilidade de que seja da primeira árvore.
Solução. a) Temos 4 hipóteses:
B 1 – uma maçã retirada ao acaso é retirada da 1ª árvore;
B 2 – uma maçã retirada ao acaso é retirada da 2ª árvore;
B 3 – uma maçã retirada ao acaso é retirada da 3ª árvore;
B 4 – uma maçã retirada ao acaso é retirada da 4ª árvore.
Suas probabilidades de acordo com a condição: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Probabilidades condicionais de um evento A:
P(A/B 1) = 0,99; P(A/B 2) = 0,97; P(A/B 3) = 0,98; P(A/B 4) = 0,95.
A probabilidade de que uma maçã colhida aleatoriamente esteja madura é encontrada usando a fórmula de probabilidade total:
P(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)+P(B 4)∙P(A/B 4)=0,969.
b) A fórmula de Bayes para o nosso caso é semelhante a:
.
Problema 1.17. Uma bola branca é lançada em uma urna contendo duas bolas, após a qual uma bola é sorteada aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que a bola extraída seja branca se todas as suposições possíveis sobre a composição inicial das bolas (com base na cor) forem igualmente possíveis.
Solução. Vamos denotar por A evento – uma bola branca é sorteada. As seguintes suposições (hipóteses) sobre a composição inicial das bolas são possíveis: B1– não há bolas brancas, ÀS 2– uma bola branca, ÀS 3- duas bolas brancas.
Como existem três hipóteses no total e a soma das probabilidades das hipóteses é 1 (já que formam um grupo completo de eventos), então a probabilidade de cada uma das hipóteses é 1/3, ou seja,
P(B 1) = P(B 2)=P(B 3) = 1/3.
A probabilidade condicional de que uma bola branca seja sorteada, dado que inicialmente não havia bolas brancas na urna, P(A/B 1)=1/3. A probabilidade condicional de que uma bola branca seja sorteada, dado que inicialmente havia uma bola branca na urna, P(A/B 2)=2/3. Probabilidade condicional de que uma bola branca seja sorteada, dado que inicialmente havia duas bolas brancas na urna P(A/B 3)=3/ 3=1.
Encontramos a probabilidade necessária de que uma bola branca seja sorteada usando a fórmula de probabilidade total:
R(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Problema 1.18. Duas máquinas produzem peças idênticas que vão para um transportador comum. A produtividade da primeira máquina é o dobro da segunda. A primeira máquina produz em média 60% de peças de excelente qualidade, e a segunda - 84%. A peça retirada aleatoriamente da linha de montagem revelou-se de excelente qualidade. Encontre a probabilidade de que esta peça tenha sido produzida pela primeira máquina.
Solução. Vamos denotar por A evento - um detalhe de excelente qualidade. Duas suposições podem ser feitas: B1– a peça foi produzida pela primeira máquina, e (já que a primeira máquina produz o dobro de peças que a segunda) P(A/B 1) = 2/3; B 2 – a peça foi produzida pela segunda máquina, e P(B 2) = 1/3.
A probabilidade condicional de que a peça seja de excelente qualidade se for produzida pela primeira máquina, P(A/B 1)=0,6.
A probabilidade condicional de que a peça seja de excelente qualidade se for produzida pela segunda máquina é P(A/B 1)=0,84.
A probabilidade de que uma peça escolhida aleatoriamente seja de excelente qualidade, de acordo com a fórmula da probabilidade total, é igual a
P(A)=P(B 1) ∙P(A/B 1)+P(B 2) ∙P(A/B 2)=2/3·0,6+1/3·0,84 = 0,68.
A probabilidade exigida de que a peça excelente selecionada tenha sido produzida pela primeira máquina, de acordo com a fórmula de Bayes, é igual a

Problema 1.19. Existem três lotes de peças, cada um contendo 20 peças. O número de peças padrão no primeiro, segundo e terceiro lotes é respectivamente 20, 15, 10. Uma peça que se revelou padrão foi removida aleatoriamente do lote selecionado. As peças são devolvidas ao lote e uma peça é retirada aleatoriamente do mesmo lote, o que também acaba sendo padrão. Encontre a probabilidade de as peças terem sido removidas do terceiro lote.
Solução. Vamos denotar por A evento - em cada uma das duas tentativas (com retorno), foi recuperada uma peça padrão. Três suposições (hipóteses) podem ser feitas: B 1 – as peças são retiradas do primeiro lote, EM 2 – as peças são retiradas do segundo lote, EM 3 – são retiradas peças do terceiro lote.
As peças foram extraídas aleatoriamente de um determinado lote, portanto as probabilidades das hipóteses são as mesmas: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Vamos encontrar a probabilidade condicional P(A/B 1), ou seja a probabilidade de que duas peças padrão sejam removidas sequencialmente do primeiro lote. Este evento é confiável porque no primeiro lote todas as peças são padrão, então P(A/B 1) = 1.
Vamos encontrar a probabilidade condicional P(A/B 2), ou seja a probabilidade de que duas peças padrão sejam removidas (e devolvidas) sequencialmente do segundo lote: P(A/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Vamos encontrar a probabilidade condicional P(A/B 3), ou seja a probabilidade de que duas peças padrão sejam removidas (e devolvidas) sequencialmente do terceiro lote: P(A/B 3) = 20/10 · 20/10 = 1/4.
A probabilidade desejada de que ambas as partes padrão extraídas sejam retiradas do terceiro lote, de acordo com a fórmula de Bayes, é igual a

1.2.7. Testes repetidos

Se vários testes forem realizados e a probabilidade do evento A em cada teste não depende dos resultados de outros testes, então tais testes são chamados independente em relação ao evento A. Em diferentes ensaios independentes, o evento A podem ter probabilidades diferentes ou a mesma probabilidade. Consideraremos ainda apenas os testes independentes nos quais o evento A tem a mesma probabilidade.
Deixe ser produzido P ensaios independentes, em cada um dos quais o evento A pode ou não aparecer. Vamos concordar em assumir que a probabilidade de um evento A em cada tentativa é o mesmo, ou seja, igual R. Portanto, a probabilidade do evento não ocorrer A em cada tentativa também é constante e igual a 1– R. Este esquema probabilístico é chamado Esquema de Bernoulli. Vamos nos propor a tarefa de calcular a probabilidade de que quando P Evento teste de Bernoulli A se tornará realidade k uma vez ( k– número de sucessos) e, portanto, não se tornará realidade P- uma vez. É importante ressaltar que não é necessário que o evento A repetido exatamente k vezes em uma determinada sequência. Denotamos a probabilidade desejada R p (k). Por exemplo, o símbolo R 5(3) significa a probabilidade de que em cinco tentativas o evento apareça exatamente 3 vezes e, portanto, não ocorra 2 vezes.
O problema colocado pode ser resolvido usando o chamado Fórmulas de Bernoulli, que se parece com:
.
Problema 1.20. A probabilidade de o consumo de eletricidade durante um dia não ultrapassar a norma estabelecida é igual a R=0,75. Encontre a probabilidade de que nos próximos 6 dias o consumo de eletricidade durante 4 dias não exceda a norma.
Solução. A probabilidade de consumo normal de energia durante cada um dos 6 dias é constante e igual a R=0,75. Consequentemente, a probabilidade de consumo excessivo de energia todos os dias também é constante e igual a q= 1–R=1–0,75=0,25.
A probabilidade exigida de acordo com a fórmula de Bernoulli é igual a
.
Problema 1.21. Dois jogadores de xadrez iguais jogam xadrez. O que é mais provável: vencer dois jogos em quatro ou três jogos em seis (empates não são considerados)?
Solução. Jogadores de xadrez iguais estão jogando, então a probabilidade de ganhar R= 1/2, portanto, a probabilidade de perder q também é igual a 1/2. Porque em todos os jogos a probabilidade de vitória é constante e não importa a sequência em que os jogos são vencidos, então a fórmula de Bernoulli é aplicável.
Vamos encontrar a probabilidade de que dois jogos em quatro sejam vencidos:

Vamos encontrar a probabilidade de que três jogos em seis sejam vencidos:

Porque P 4 (2) > P 6 (3), então é mais provável vencer dois jogos em quatro do que três em seis.
Contudo, pode-se observar que usando a fórmula de Bernoulli para valores grandes n bastante difícil, pois a fórmula requer operações com grandes números e, portanto, os erros se acumulam durante o processo de cálculo; Como resultado, o resultado final pode diferir significativamente do verdadeiro.
Para resolver este problema, existem vários teoremas de limite que são utilizados para o caso de um grande número de testes.
1. Teorema de Poisson
Ao realizar um grande número de testes usando o esquema de Bernoulli (com n=> ∞) e com um pequeno número de resultados favoráveis k(presume-se que a probabilidade de sucesso p pequeno), a fórmula de Bernoulli se aproxima da fórmula de Poisson
.
Exemplo 1.22. A probabilidade de defeitos quando uma empresa produz uma unidade de produto é igual a p=0,001. Qual é a probabilidade de que, ao produzir 5.000 unidades de produto, menos de 4 delas sejam defeituosas (evento A Solução. Porque né grande, usamos o teorema local de Laplace:

Vamos calcular x:
Função – par, então φ(–1,67) = φ(1,67).
Usando a tabela do Apêndice A.1, encontramos φ(1,67) = 0,0989.
Probabilidade necessária P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Teorema integral de Laplace
Se a probabilidade R ocorrência de um evento A em cada tentativa de acordo com o esquema de Bernoulli é constante e diferente de zero e um, então com um grande número de tentativas n, probabilidade R p (k 1 , k 2) ocorrência do evento A nestes testes de k 1 para k 2 vezes aproximadamente igual
Rp(k 1 , k 2) =Φ( x"") – Φ ( x"), Onde
– Função Laplace,

A integral definida na função de Laplace não pode ser calculada na classe de funções analíticas, portanto a tabela é usada para calculá-la. Cláusula 2ª, constante do anexo.
Exemplo 1.24. A probabilidade de um evento ocorrer em cada uma das cem tentativas independentes é constante e igual a p= 0,8. Encontre a probabilidade de o evento ocorrer: a) pelo menos 75 vezes e não mais que 90 vezes; b) pelo menos 75 vezes; c) não mais que 74 vezes.
Solução. Vamos usar o teorema da integral de Laplace:
Rp(k 1 , k 2) =Φ( x"") – Φ( x"), onde Ф( x) – Função Laplace,

a) De acordo com a condição, n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Vamos calcular x"" E x" :


Considerando que a função de Laplace é ímpar, ou seja, F(- x) = –F( x), Nós temos
P 100 (75;90) = Ф (2,5) – Ф(–1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25).
De acordo com a tabela P.2. encontraremos aplicações:
F(2,5) = 0,4938; F(1,25) = 0,3944.
Probabilidade necessária
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) A exigência de que um evento apareça pelo menos 75 vezes significa que o número de ocorrências do evento pode ser 75, ou 76, ..., ou 100. Assim, no caso em consideração, deve ser aceito k 1 = 75, k 2 = 100. Então

.
De acordo com a tabela P.2. aplicação encontramos Ф(1,25) = 0,3944; F(5) = 0,5.
Probabilidade necessária
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Evento – “ A apareceu pelo menos 75 vezes" e " A apareceram no máximo 74 vezes" são opostos, então a soma das probabilidades desses eventos é igual a 1. Portanto, a probabilidade desejada
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

A teoria da probabilidade, como qualquer ramo da matemática, opera com uma certa gama de conceitos. A maioria dos conceitos da teoria das probabilidades recebe uma definição, mas alguns são considerados primários, não definidos, como um ponto, uma linha reta, um plano na geometria. O conceito principal da teoria da probabilidade é um evento. Um evento é entendido como algo sobre o qual, após um determinado momento, uma e apenas uma de duas coisas pode ser dita:

• · Sim, aconteceu.
• · Não, isso não aconteceu.

Por exemplo, tenho um bilhete de loteria. Depois que os resultados da loteria são publicados, o evento que me interessa - ganhar mil rublos - acontece ou não acontece. Qualquer evento ocorre como resultado de um teste (ou experiência). Um teste (ou experiência) refere-se às condições em que um evento ocorre. Por exemplo, lançar uma moeda é um teste, e o aparecimento de um “brasão” nela é um evento. Um evento é geralmente denotado em letras latinas maiúsculas: A,B,C,…. Os eventos no mundo material podem ser divididos em três categorias – confiáveis, impossíveis e aleatórios.

Um determinado evento é um evento que se sabe antecipadamente que ocorrerá. É denotado pela letra W. Assim, é confiável que não apareçam mais do que seis pontos ao lançar um dado comum, o aparecimento de uma bola branca ao ser retirada de uma urna contendo apenas bolas brancas, etc.

Um evento impossível é um evento conhecido de antemão que não acontecerá. É denotado pela letra E. Exemplos de eventos impossíveis são tirar mais de quatro ases de um baralho normal, tirar uma bola vermelha de uma urna contendo apenas bolas brancas e pretas, etc.

Um evento aleatório é um evento que pode ou não ocorrer como resultado de um teste. Os eventos A e B são chamados de incompatíveis se a ocorrência de um deles exclui a possibilidade da ocorrência do outro. Assim, o aparecimento de qualquer número possível de pontos no lançamento de um dado (evento A) é incompatível com o aparecimento de outro número (evento B). Rolar um número par de pontos é inconsistente com rolar um número ímpar. Pelo contrário, rolar um número par de pontos (evento A) e um número de pontos múltiplo de três (evento B) não será incompatível, porque rolar seis pontos significa a ocorrência tanto do evento A quanto do evento B, então a ocorrência de um deles não exclui a ocorrência do outro. Você pode realizar operações em eventos. A união de dois eventos C=AUB é um evento C que ocorre se e somente se ocorre pelo menos um desses eventos A e B. A interseção de dois eventos D=A?? B é um evento que ocorre se e somente se os eventos A e B ocorrerem.