Encontre o maior valor de uma função de diversas variáveis. Funções

Em julho de 2020, a NASA lança uma expedição a Marte. A espaçonave entregará a Marte um meio eletrônico com os nomes de todos os participantes registrados da expedição.

As inscrições dos participantes estão abertas. Adquira sua passagem para Marte usando este link.

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Mais uma véspera de Ano Novo... tempo gelado e flocos de neve no vidro da janela... Tudo isso me levou a escrever novamente sobre... fractais e o que o Wolfram Alpha sabe sobre eles. Há um artigo interessante sobre este assunto, que contém exemplos de estruturas fractais bidimensionais. Aqui veremos exemplos mais complexos de fractais tridimensionais.

Um fractal pode ser representado (descrito) visualmente como uma figura geométrica ou um corpo (ou seja, ambos são um conjunto, neste caso, um conjunto de pontos), cujos detalhes têm a mesma forma da própria figura original. Ou seja, trata-se de uma estrutura autossimilar, examinando cujos detalhes, quando ampliada, veremos a mesma forma que sem ampliação. Já no caso de uma figura geométrica comum (não um fractal), ao ampliar veremos detalhes que possuem uma forma mais simples do que a própria figura original. Por exemplo, com uma ampliação suficientemente alta, parte de uma elipse parece um segmento de linha reta. Isso não acontece com os fractais: com qualquer aumento neles, veremos novamente a mesma forma complexa, que se repetirá continuamente a cada aumento.

Benoit Mandelbrot, o fundador da ciência dos fractais, escreveu em seu artigo Fractais e Arte em Nome da Ciência: "Fractais são formas geométricas tão complexas em seus detalhes quanto em sua forma geral. Isto é, se parte do fractal será ampliado para o tamanho do todo, aparecerá como um todo, ou exatamente, ou talvez com uma ligeira deformação."

Teorema 1.5 Deixe em uma região fechada D função especificada z=z(x,y), tendo derivadas parciais contínuas de primeira ordem. Fronteira G região Dé suave por partes (ou seja, consiste em pedaços de curvas ou linhas retas “suaves ao toque”). Então na área D função z(x,y) atinge o seu maior M e o mínimo eu valores.

Nenhuma prova.

Você pode propor o seguinte plano para encontrar M E eu.
1. Construímos um desenho, selecionamos todas as partes do limite da área D e encontre todos os pontos de “canto” da fronteira.
2. Encontre pontos estacionários dentro D.
3. Encontre pontos estacionários em cada um dos limites.
4. Calculamos em todos os pontos estacionários e de canto e, a seguir, selecionamos o maior M e menos eu significados.

Exemplo 1.14 Encontre o maior M e menos eu valores de função z= 4x2-2xy+y2-8x em uma área fechada D, limitado: x= 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. Vamos construir uma área D(Fig. 1.5) em um avião Ohoo.

Pontos de canto: O (0; 0), B (0; 4), A (3; 0).

Fronteira G região D consiste em três partes:

2. Encontre pontos estacionários dentro da região D:

3. Pontos estacionários nos limites eu 1, eu 2, eu 3:

4. Calculamos seis valores:

Exemplos

Exemplo 1.

Esta função é definida para todos os valores das variáveis x E sim, exceto na origem, onde o denominador vai para zero.

Polinomial x2 +y2é contínuo em todos os lugares e, portanto, a raiz quadrada de uma função contínua é contínua.

A fração será contínua em todos os lugares, exceto nos pontos onde o denominador é zero. Ou seja, a função em consideração é contínua em todo o plano de coordenadas Ohoo, excluindo a origem.

Exemplo 2.

Examine a continuidade de uma função z=tg(x,y). A tangente é definida e contínua para todos os valores finitos do argumento, exceto para valores iguais a um número ímpar da quantidade π /2 , ou seja excluindo pontos onde

Para cada fixo "k" a equação (1.11) define uma hipérbole. Portanto, a função em consideração é uma função contínua xe você, excluindo pontos situados em curvas (1.11).

Exemplo 3.

Encontre derivadas parciais de uma função você=z -xy, z > 0.

Exemplo 4.

Mostre essa função

satisfaz a identidade:

– esta igualdade é válida para todos os pontos M(x;y;z), exceto o ponto M 0 (a;b;c).

Vamos considerar a função z=f(x,y) de duas variáveis ​​independentes e estabelecer o significado geométrico das variáveis ​​parciais z"x=f"x(x,y) E z"e =f"e(x,y).

Neste caso, a equação z=f(x,y) existe uma equação de alguma superfície (Fig. 1.3). Vamos desenhar um avião sim= const.. Em uma seção deste plano de superfície z=f(x,y) você consegue alguma linha eu 1 interseção ao longo da qual apenas as quantidades mudam X E z.

Derivativo parcial z"x(seu significado geométrico decorre diretamente do significado geométrico conhecido da derivada de uma função de uma variável) é numericamente igual à tangente do ângulo α inclinação, em relação ao eixo Oh, tangente eu 1 para a curva eu 1, resultando em uma seção da superfície z=f(x,y) avião sim= const. no ponto M(x,y,f(xy)): z" x = tanα.

Na seção da superfície z=f(x,y) avião X= const. você obtém uma linha de intersecção eu 2, ao longo do qual apenas as quantidades mudam no E z. Então a derivada parcial z" e numericamente igual à tangente do ângulo β inclinação em relação ao eixo UO, tangente L2 para a linha especificada eu 2 interseções em um ponto M(x,y,f(xy)): z" x = tanβ.

Exemplo 5.

Que ângulo ele forma com o eixo? Oh tangente à linha:

no ponto M(2,4,5)?

Usamos o significado geométrico da derivada parcial em relação a uma variável X(em constante no):

Exemplo 6.

De acordo com (1.31):

Exemplo 7.

Supondo que a equação

define implicitamente uma função

encontrar z"x, z" e.

portanto, de acordo com (1.37), obtemos a resposta.

Exemplo 8.

Explore ao extremo:

1. Encontre pontos estacionários resolvendo o sistema (1.41):

isto é, quatro pontos estacionários são encontrados.
2.

pelo Teorema 1.4 no ponto em que há um mínimo.

Além disso

4. Calculamos seis valores:

Dos seis valores obtidos, selecione o maior e o menor.

Bibliografia:

ü Belko I. V., Kuzmich K. K. Matemática superior para economistas. I semestre: curso expresso. – M.: Novos conhecimentos, 2002. – 140 p.

ü Gusak A. A.. Análise matemática e equações diferenciais. – Mn.: TetraSystems, 1998. – 416 p.

ü Gusak A. A.. Matemática superior. Um livro didático para estudantes universitários em 2 volumes. – Mn., 1998. – 544 p. (1 volume), 448 pp. (2 toneladas).

ü Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. N. Matemática superior para economistas: livro didático para universidades / Ed. prof. N. Sh. Kremer. – M.: UNITI, 2002. – 471 p.

ü Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. I. e outros Matemática superior. Curso geral: Livro didático / Geral. Ed. S. A. Samal. – Mn.: Vysh. escola, 2000. – 351 p.

Deixe a função $z=f(x,y)$ ser definida e contínua em algum domínio fechado limitado $D$. Deixe a função dada nesta região ter derivadas parciais finitas de primeira ordem (exceto, talvez, para um número finito de pontos). Para encontrar os maiores e menores valores de uma função de duas variáveis ​​​​em uma determinada região fechada, são necessárias três etapas de um algoritmo simples.

Quais são os pontos críticos? aparecer esconder

Sob Pontos críticos implicam pontos em que ambas as derivadas parciais de primeira ordem são iguais a zero (ou seja, $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ e $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) ou pelo menos uma derivada parcial não existe.

Freqüentemente, os pontos nos quais as derivadas parciais de primeira ordem são iguais a zero são chamados pontos estacionários. Assim, os pontos estacionários são um subconjunto de pontos críticos.

Exemplo nº 1

Encontre os maiores e menores valores da função $z=x^2+2xy-y^2-4x$ em uma região fechada limitada pelas linhas $x=3$, $y=0$ e $y=x +1$.

Seguiremos o acima exposto, mas primeiro trataremos do desenho de uma determinada área, que denotaremos pela letra $D$. Recebemos as equações de três retas que limitam esta área. A reta $x=3$ passa pelo ponto $(3;0)$ paralelo ao eixo das ordenadas (eixo Oy). A reta $y=0$ é a equação do eixo das abcissas (eixo Boi). Bem, para construir a reta $y=x+1$, encontraremos dois pontos através dos quais traçaremos esta reta. Você pode, é claro, substituir alguns valores arbitrários em vez de $x$. Por exemplo, substituindo $x=10$, obtemos: $y=x+1=10+1=11$. Encontramos o ponto $(10;11)$ situado na reta $y=x+1$. No entanto, é melhor encontrar os pontos em que a linha reta $y=x+1$ cruza as linhas $x=3$ e $y=0$. Por que isso é melhor? Porque mataremos alguns coelhos com uma cajadada só: obteremos dois pontos para construir a reta $y=x+1$ e ao mesmo tempo descobrir em que pontos esta reta cruza outras retas que limitam a área dada. A reta $y=x+1$ cruza a reta $x=3$ no ponto $(3;4)$, e a reta $y=0$ cruza no ponto $(-1;0)$. Para não atrapalhar o andamento da solução com explicações auxiliares, colocarei em nota a questão da obtenção desses dois pontos.

Como foram obtidos os pontos $(3;4)$ e $(-1;0)$? aparecer esconder

Vamos começar do ponto de intersecção das linhas $y=x+1$ e $x=3$. As coordenadas do ponto desejado pertencem à primeira e à segunda reta, portanto, para encontrar as coordenadas desconhecidas, é necessário resolver o sistema de equações:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

A solução para tal sistema é trivial: substituindo $x=3$ na primeira equação teremos: $y=3+1=4$. O ponto $(3;4)$ é o ponto de intersecção desejado das retas $y=x+1$ e $x=3$.

Agora vamos encontrar o ponto de intersecção das retas $y=x+1$ e $y=0$. Vamos novamente compor e resolver o sistema de equações:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Substituindo $y=0$ na primeira equação, obtemos: $0=x+1$, $x=-1$. O ponto $(-1;0)$ é o ponto de intersecção desejado das linhas $y=x+1$ e $y=0$ (eixo x).

Está tudo pronto para construir um desenho que ficará assim:

A questão da nota parece óbvia, pois tudo está visível na foto. Porém, vale lembrar que um desenho não pode servir como prova. O desenho é meramente ilustrativo.

Nossa área foi definida usando equações de reta que a delimitam. Obviamente, essas linhas definem um triângulo, certo? Ou não é totalmente óbvio? Ou talvez nos seja dada uma área diferente, delimitada pelas mesmas linhas:

Claro, a condição diz que a área está fechada, então a imagem mostrada está incorreta. Mas para evitar tais ambiguidades, é melhor definir as regiões pelas desigualdades. Estamos interessados ​​na parte do plano localizada sob a reta $y=x+1$? Ok, então $y ≤ x+1$. Nossa área deveria estar localizada acima da linha $y=0$? Ótimo, isso significa $y ≥ 0$. A propósito, as duas últimas desigualdades podem ser facilmente combinadas em uma: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Estas desigualdades definem a região $D$, e definem-na de forma inequívoca, sem permitir qualquer ambiguidade. Mas como isso nos ajuda com a questão colocada no início da nota? Também vai ajudar :) Precisamos verificar se o ponto $M_1(1;1)$ pertence à área $D$. Vamos substituir $x=1$ e $y=1$ no sistema de desigualdades que definem esta região. Se ambas as desigualdades forem satisfeitas, então o ponto está dentro da região. Se pelo menos uma das desigualdades não for satisfeita, então o ponto não pertence à região. Então:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$

Ambas as desigualdades são válidas. O ponto $M_1(1;1)$ pertence à região $D$.

Agora é hora de estudar o comportamento da função no limite da região, ou seja, vamos para . Vamos começar com a linha reta $y=0$.

A reta $y=0$ (eixo das abcissas) limita a região $D$ sob a condição $-1 ≤ x ≤ 3$. Vamos substituir $y=0$ na função dada $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Denotamos a função de uma variável $x$ obtida como resultado da substituição como $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cponto 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Agora para a função $f_1(x)$ precisamos encontrar o maior e o menor valor no intervalo $-1 ≤ x ≤ 3$. Vamos encontrar a derivada desta função e igualá-la a zero:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

O valor $x=2$ pertence ao segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, então também adicionaremos $M_2(2;0)$ à lista de pontos. Além disso, calculemos os valores da função $z$ nas extremidades do segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, ou seja, nos pontos $M_3(-1;0)$ e $M_4(3;0)$. A propósito, se o ponto $M_2$ não pertencesse ao segmento em consideração, então, é claro, não haveria necessidade de calcular o valor da função $z$ nele.

Então, vamos calcular os valores da função $z$ nos pontos $M_2$, $M_3$, $M_4$. Você pode, é claro, substituir as coordenadas desses pontos na expressão original $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Por exemplo, para o ponto $M_2$ obtemos:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Porém, os cálculos podem ser um pouco simplificados. Para isso, vale lembrar que no segmento $M_3M_4$ temos $z(x,y)=f_1(x)$. Vou escrever isso em detalhes:

\begin(alinhado) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cponto 3=-3. \fim(alinhado)

É claro que geralmente não há necessidade de tais registros detalhados e, no futuro, anotaremos brevemente todos os cálculos:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cponto 3=-3.$$

Agora vamos voltar para a reta $x=3$. Esta reta limita a região $D$ sob a condição $0 ≤ y ≤ 4$. Vamos substituir $x=3$ na função dada $z$. Como resultado desta substituição obtemos a função $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Para a função $f_2(y)$ precisamos encontrar o maior e o menor valor no intervalo $0 ≤ y ≤ 4$. Vamos encontrar a derivada desta função e igualá-la a zero:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

O valor $y=3$ pertence ao segmento $0 ≤ y ≤ 4$, portanto também adicionaremos $M_5(3;3)$ aos pontos encontrados anteriormente. Além disso, é necessário calcular o valor da função $z$ nos pontos das extremidades do segmento $0 ≤ y ≤ 4$, ou seja, nos pontos $M_4(3;0)$ e $M_6(3;4)$. No ponto $M_4(3;0)$ já calculamos o valor de $z$. Vamos calcular o valor da função $z$ nos pontos $M_5$ e $M_6$. Deixe-me lembrar que no segmento $M_4M_6$ temos $z(x,y)=f_2(y)$, portanto:

\begin(alinhado) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cponto 4-3=5. \fim(alinhado)

E finalmente, considere o último limite da região $D$, ou seja, linha reta $y=x+1$. Esta reta limita a região $D$ sob a condição $-1 ≤ x ≤ 3$. Substituindo $y=x+1$ na função $z$, teremos:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Mais uma vez temos uma função de uma variável $x$. E novamente precisamos encontrar o maior e o menor valor desta função no intervalo $-1 ≤ x ≤ 3$. Vamos encontrar a derivada da função $f_(3)(x)$ e igualá-la a zero:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

O valor $x=1$ pertence ao intervalo $-1 ≤ x ≤ 3$. Se $x=1$, então $y=x+1=2$. Vamos adicionar $M_7(1;2)$ à lista de pontos e descobrir qual é o valor da função $z$ neste ponto. Pontos nas extremidades do segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, ou seja, os pontos $M_3(-1;0)$ e $M_6(3;4)$ foram considerados anteriormente, já encontramos o valor da função neles.

$$z_7=f_3(1)=2\cponto 1^2-4\cponto 1-1=-3.$$

A segunda etapa da solução está concluída. Recebemos sete valores:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Vamos voltar para. Escolhendo o maior e o menor valor dos números obtidos no terceiro parágrafo, teremos:

$$z_(min)=-4; \; z_(máx)=6.$$

O problema está resolvido, só falta anotar a resposta.

Responder: $z_(min)=-4; \; z_(máx.)=6$.

Exemplo nº 2

Encontre os maiores e menores valores da função $z=x^2+y^2-12x+16y$ na região $x^2+y^2 ≤ 25$.

Primeiro, vamos construir um desenho. A equação $x^2+y^2=25$ (esta é a linha limite de uma determinada área) define um círculo com centro na origem (ou seja, no ponto $(0;0)$) e um raio de 5. A desigualdade $x^2 +y^2 ≤ $25 satisfaz todos os pontos dentro e no círculo mencionado.

Agiremos de acordo com. Vamos encontrar derivadas parciais e descobrir os pontos críticos.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\parcial z)(\parcial y)=2y+16. $$

Não há pontos em que as derivadas parciais encontradas não existam. Vamos descobrir em que pontos ambas as derivadas parciais são simultaneamente iguais a zero, ou seja, vamos encontrar pontos estacionários.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(aligned)\right.$$

Obtivemos um ponto estacionário $(6;-8)$. Porém, o ponto encontrado não pertence à região $D$. Isso é fácil de mostrar, mesmo sem recorrer ao desenho. Vamos verificar se a desigualdade $x^2+y^2 ≤ 25$ é válida, o que define nossa região $D$. Se $x=6$, $y=-8$, então $x^2+y^2=36+64=100$, ou seja, a desigualdade $x^2+y^2 ≤ 25$ não é válida. Conclusão: o ponto $(6;-8)$ não pertence à área $D$.

Portanto, não existem pontos críticos dentro da região $D$. Vamos passar para... Precisamos estudar o comportamento de uma função na fronteira de uma determinada região, ou seja, no círculo $x^2+y^2=25$. Podemos, é claro, expressar $y$ em termos de $x$ e então substituir a expressão resultante em nossa função $z$. Da equação de um círculo obtemos: $y=\sqrt(25-x^2)$ ou $y=-\sqrt(25-x^2)$. Substituindo, por exemplo, $y=\sqrt(25-x^2)$ na função dada, teremos:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

A solução adicional será completamente idêntica ao estudo do comportamento da função no limite da região no exemplo anterior nº 1. Contudo, parece-me mais razoável aplicar o método de Lagrange nesta situação. Estaremos interessados ​​apenas na primeira parte deste método. Após aplicar a primeira parte do método de Lagrange, obteremos pontos nos quais examinaremos a função $z$ para valores mínimos e máximos.

Compomos a função de Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Encontramos as derivadas parciais da função de Lagrange e compomos o sistema de equações correspondente:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (alinhado) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \end(alinhado) \ direita. \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( alinhado)\direita.$$

Para resolver este sistema, vamos apontar imediatamente que $\lambda\neq -1$. Por que $\lambda\neq -1$? Vamos tentar substituir $\lambda=-1$ na primeira equação:

$$ x+(-1)\cponto x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

A contradição resultante $0=6$ indica que o valor $\lambda=-1$ é inaceitável. Saída: $\lambda\neq -1$. Vamos expressar $x$ e $y$ em termos de $\lambda$:

\begin(alinhado) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \fim(alinhado)

Acredito que fica óbvio aqui porque estipulamos especificamente a condição $\lambda\neq -1$. Isso foi feito para ajustar a expressão $1+\lambda$ nos denominadores sem interferência. Ou seja, para ter certeza de que o denominador $1+\lambda\neq 0$.

Vamos substituir as expressões resultantes por $x$ e $y$ na terceira equação do sistema, ou seja, em $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Da igualdade resultante segue que $1+\lambda=2$ ou $1+\lambda=-2$. Portanto temos dois valores do parâmetro $\lambda$, a saber: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Assim, obtemos dois pares de valores $x$ e $y$:

\begin(alinhado) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \fim(alinhado)

Assim, obtivemos dois pontos de um possível extremo condicional, ou seja, $M_1(3;-4)$ e $M_2(-3;4)$. Vamos encontrar os valores da função $z$ nos pontos $M_1$ e $M_2$:

\begin(alinhado) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \fim(alinhado)

Devemos selecionar os valores maiores e menores daqueles que obtivemos na primeira e na segunda etapas. Mas neste caso a escolha é pequena :) Temos:

$$ z_(min)=-75; \; z_(máx)=125. $$

Responder: $z_(min)=-75; \; z_(máx.)=$125.

Do ponto de vista prático, o maior interesse está em utilizar a derivada para encontrar o maior e o menor valor de uma função. Com o que isso está relacionado? Maximizar lucros, minimizar custos, determinar a carga ideal de equipamentos... Ou seja, em muitas áreas da vida temos que resolver problemas de otimização de alguns parâmetros. E essas são as tarefas de encontrar os maiores e menores valores de uma função.

Deve-se notar que os maiores e menores valores de uma função geralmente são buscados em um determinado intervalo X, que é todo o domínio da função ou parte do domínio de definição. O próprio intervalo X pode ser um segmento, um intervalo aberto , um intervalo infinito.

Neste artigo falaremos sobre como encontrar o maior e o menor valor de uma função definida explicitamente de uma variável y=f(x) .

Navegação na página.

Vejamos brevemente as principais definições.

O maior valor da função isso para qualquer um a desigualdade é verdadeira.

O menor valor da função y=f(x) no intervalo X é tal valor isso para qualquer um a desigualdade é verdadeira.

Estas definições são intuitivas: o maior (menor) valor de uma função é o maior (menor) valor aceito no intervalo em consideração na abcissa.

Os pontos estacionários são os valores do argumento nos quais a derivada da função se torna zero.

Por que precisamos de pontos estacionários para encontrar os valores maiores e menores? A resposta a esta questão é dada pelo teorema de Fermat. Segue-se deste teorema que se uma função diferenciável tem um extremo (mínimo local ou máximo local) em algum ponto, então este ponto é estacionário. Assim, a função geralmente assume seu maior (menor) valor no intervalo X em um dos pontos estacionários desse intervalo.

Além disso, uma função muitas vezes pode assumir seus valores maiores e menores em pontos onde a primeira derivada dessa função não existe e a própria função é definida.

Vamos responder imediatamente a uma das perguntas mais comuns sobre este tema: “É sempre possível determinar o maior (menor) valor de uma função”? Não, nem sempre. Às vezes, os limites do intervalo X coincidem com os limites do domínio de definição da função, ou o intervalo X é infinito. E algumas funções no infinito e nos limites do domínio de definição podem assumir valores infinitamente grandes e infinitamente pequenos. Nestes casos, nada pode ser dito sobre o maior e o menor valor da função.

Para maior clareza, daremos uma ilustração gráfica. Olhe as fotos e muito ficará mais claro.

No segmento

Na primeira figura, a função assume os valores maior (max y) e menor (min y) em pontos estacionários localizados dentro do segmento [-6;6].

Considere o caso representado na segunda figura. Vamos mudar o segmento para . Neste exemplo, o menor valor da função é alcançado em um ponto estacionário, e o maior no ponto com a abcissa correspondente ao limite direito do intervalo.

Na Figura 3, os pontos limites do segmento [-3;2] são as abcissas dos pontos correspondentes ao maior e ao menor valor da função.

Em um intervalo aberto

Na quarta figura, a função assume os valores maior (max y) e menor (min y) em pontos estacionários localizados dentro do intervalo aberto (-6;6).

No intervalo, nenhuma conclusão pode ser tirada sobre o maior valor.

No infinito

No exemplo apresentado na sétima figura, a função assume o maior valor (max y) em um ponto estacionário com abcissa x=1, e o menor valor (min y) é alcançado no limite direito do intervalo. No infinito negativo, os valores da função se aproximam assintoticamente de y=3.

Durante o intervalo, a função não atinge nem o menor nem o maior valor. À medida que x=2 se aproxima pela direita, os valores da função tendem a menos infinito (a reta x=2 é uma assíntota vertical), e à medida que a abscissa tende a mais infinito, os valores da função se aproximam assintoticamente de y=3. Uma ilustração gráfica deste exemplo é mostrada na Figura 8.

Vamos escrever um algoritmo que nos permita encontrar o maior e o menor valor de uma função em um segmento.

Vamos analisar o algoritmo de resolução de um exemplo para encontrar o maior e o menor valor de uma função em um segmento.

Exemplo.

Encontre o maior e o menor valor de uma função

• no segmento;
• no segmento [-4;-1] .

Solução.

O domínio de definição de uma função é todo o conjunto dos números reais, isto é, com exceção de zero. Ambos os segmentos se enquadram no domínio de definição.

Encontre a derivada da função em relação a:

Obviamente, a derivada da função existe em todos os pontos dos segmentos e [-4;-1].

Determinamos pontos estacionários a partir da equação. A única raiz real é x=2. Este ponto estacionário cai no primeiro segmento.

Para o primeiro caso, calculamos os valores da função nas extremidades do segmento e no ponto estacionário, ou seja, para x=1, x=2 e x=4:

Portanto, o maior valor da função é alcançado em x = 1, e o menor valor – em x=2.

Para o segundo caso, calculamos os valores da função apenas nas extremidades do segmento [-4;-1] (já que não contém um único ponto estacionário):

Solução.

Vamos começar com o domínio da função. O trinômio quadrado no denominador da fração não deve desaparecer:

É fácil verificar que todos os intervalos do enunciado do problema pertencem ao domínio de definição da função.

Vamos diferenciar a função:

Obviamente, a derivada existe em todo o domínio de definição da função.

Vamos encontrar pontos estacionários. A derivada vai para zero em . Este ponto estacionário está dentro dos intervalos (-3;1] e (-3;2).

Agora você pode comparar os resultados obtidos em cada ponto com o gráfico da função. As linhas pontilhadas azuis indicam assíntotas.

Neste ponto podemos terminar encontrando o maior e o menor valor da função. Os algoritmos discutidos neste artigo permitem obter resultados com um mínimo de ações. No entanto, pode ser útil determinar primeiro os intervalos de aumento e diminuição da função e só depois tirar conclusões sobre os maiores e menores valores da função em qualquer intervalo. Isto dá uma imagem mais clara e uma justificação rigorosa dos resultados.

§ Valores extremos, máximos e mínimos de funções de diversas variáveis ​​- página nº 1/1

Ponto
chamado ponto máximo funções
, se em algum ponto

a desigualdade se mantém

.

Da mesma forma, ponto
chamado ponto mínimo funções
, se em algum ponto
de alguma vizinhança de um ponto
a desigualdade se mantém

.

Notas. 1) De acordo com as definições, a função
deve ser definido em alguma vizinhança do ponto
. Aqueles. pontos máximo e mínimo da função
só pode haver pontos internos da região
.

2) Se existe uma vizinhança de um ponto
, em que para qualquer ponto
diferente de
a desigualdade se mantém

(

), então o ponto
chamado ponto máximo estrito(respectivamente ponto mínimo estrito) funções
. A este respeito, os pontos máximos e mínimos definidos acima são por vezes chamados de pontos máximos e mínimos não estritos.

Os conceitos de extremos são de natureza local: o valor de uma função em um ponto
é comparado com os valores da função em pontos bastante próximos. Numa determinada área, uma função pode não ter nenhum extremo, ou pode ter vários mínimos, vários máximos e até um número infinito de ambos. Além disso, alguns mínimos podem ser maiores que alguns dos seus máximos. Não confunda os valores máximo e mínimo de uma função com seus valores máximo e mínimo.

Vamos encontrar a condição necessária para um extremo. Deixe, por exemplo,
– ponto máximo da função
. Então, por definição, existe um gif" align=absmiddle width="17px" height="18px">-vizinhança do ponto
de tal modo que
para qualquer ponto
desta vizinhança. Em particular,

(1)

Onde
,
, E

(2)

Onde
,
. Mas (1) significa que uma função de uma variável
tem no ponto máximo ou está no intervalo
constante. Por isso,

ou
- não existe,

⇒
ou
- não existe.

Da mesma forma de (2) obtemos que

ou
- não existe.

Assim, o seguinte teorema é válido.

TEOREMA 8.1. (condições necessárias para um extremo). Se a função
no ponto
tem um extremo, então neste ponto ambas as suas derivadas parciais de primeira ordem são iguais a zero, ou pelo menos uma destas derivadas parciais não existe.

Geometricamente, o Teorema 8.1 significa que se
– ponto extremo da função
, então o plano tangente ao gráfico desta função no ponto é paralelo ao plano
, ou não existe. Para verificar isso, basta lembrar como encontrar a equação de um plano tangente a uma superfície (ver fórmula (4.6)).

Os pontos que satisfazem as condições do Teorema 8.1 são chamados Pontos críticos funções
. Tal como para uma função de uma variável, as condições necessárias para um extremo não são suficientes. Aqueles. nem todo ponto crítico de uma função será seu ponto extremo.

EXEMPLO. Considere a função
. Ponto
é crítico para esta função, uma vez que neste ponto ambas as suas derivadas parciais de primeira ordem
E
são iguais a zero. Contudo, não será um ponto extremo. Realmente,
, mas em qualquer vizinhança do ponto
há pontos em que a função assume valores positivos e pontos em que a função assume valores negativos. Isso é fácil de verificar se você construir um gráfico da função - um parabolóide hiperbólico.

Para uma função de duas variáveis, as condições suficientes mais convenientes são dadas pelo seguinte teorema.

TEOREMA 8.2. (condições suficientes para o extremo de uma função de duas variáveis). Deixar
– ponto crítico da função
e em alguma vizinhança do ponto
a função tem derivadas parciais contínuas até e inclusive a segunda ordem. Vamos denotar

,
,
.

Então 1) se
, então aponte
não é um ponto extremo;


Se usarmos o Teorema 8.2 para investigar o ponto crítico
falhou (ou seja, se
ou a função não tem nenhum ponto na vizinhança
derivadas parciais contínuas da ordem exigida), a resposta à pergunta sobre a presença em um ponto
extremo dará o sinal do incremento da função neste ponto.

Na verdade, da definição segue-se que se a função
tem no ponto
máximo estrito então

para todos os pontos
de alguma vizinhança de um ponto
, ou então

para todos suficientemente pequenos
E
. Da mesma forma, se
é um ponto de mínimo estrito, então para todos os suficientemente pequenos
E
a desigualdade será satisfeita
.

Então, para descobrir se o ponto crítico é
ponto extremo, é necessário examinar o incremento da função neste ponto. Se para todos for pequeno o suficiente
E
preservará o sinal, então no ponto
a função tem um extremo estrito (mínimo se
, e o máximo se
).

Comente. A regra permanece verdadeira para um extremo não estrito, mas com a alteração de que para alguns valores
E
o incremento da função será zero
EXEMPLO. Encontre extremos de funções:

1)
; 2)
.

Para estudar os pontos críticos, aplicamos o Teorema 8.2. Nós temos:

,
,
.

Vamos explorar o ponto
:

,
,
,

;
.

Portanto, no ponto
esta função tem um mínimo, ou seja
.

Explorando o ponto crítico
:

,
,
,


.

Portanto, o segundo ponto crítico não é o ponto extremo da função.

Para estudar o ponto crítico, aplicamos o Teorema 8.2. Nós temos:

,
,
,

,
,
,

.

Determine a presença ou ausência de um extremo em um ponto
usar o Teorema 8.2 falhou.

Vamos examinar o sinal do incremento da função no ponto
:

Se
, Que
;

Se
, Que
.

Porque o
não preserva o sinal na vizinhança de um ponto
, então neste ponto a função não tem um extremo.

.

Da mesma forma, o valor da função no ponto
chamado o menor, se em algum ponto
da região
a desigualdade se mantém

.

Anteriormente, já dissemos que se uma função é contínua e a área
– é fechado e limitado, então a função assume seus maiores e menores valores nesta área. Ao mesmo tempo, pontos
E
pode mentir tanto dentro da área
, e em sua fronteira. Se o ponto
(ou
) fica dentro da região
, então este será o ponto máximo (mínimo) da função
, ou seja ponto crítico de uma função dentro de uma região
. Portanto, para encontrar o maior e o menor valor da função
na área
preciso:
.