Função linear e seus. Função linear

Uma função linear é uma função da forma y=kx+b, onde x é a variável independente, k e b são quaisquer números.
O gráfico de uma função linear é uma linha reta.

1. Para traçar um gráfico de função, precisamos das coordenadas de dois pontos pertencentes ao gráfico da função. Para encontrá-los, você precisa pegar dois valores de x, substituí-los na equação da função e usá-los para calcular os valores de y correspondentes.

Por exemplo, para traçar a função y= x+2, é conveniente tomar x=0 e x=3, então as ordenadas desses pontos serão iguais a y=2 e y=3. Obtemos os pontos A(0;2) e B(3;3). Vamos conectá-los e obter um gráfico da função y= x+2:

2. Na fórmula y=kx+b, o número k é chamado de coeficiente de proporcionalidade:
se k>0, então a função y=kx+b aumenta
se k
O coeficiente b mostra o deslocamento do gráfico da função ao longo do eixo OY:
se b>0, então o gráfico da função y=kx+b é obtido a partir do gráfico da função y=kx deslocando b unidades para cima ao longo do eixo OY
se b
A figura abaixo mostra os gráficos das funções y=2x+3; y = ½x+3; y=x+3

Observe que em todas essas funções o coeficiente k Acima de zero, e as funções são aumentando. Além disso, quanto maior o valor de k, maior será o ângulo de inclinação da reta em relação ao sentido positivo do eixo OX.

Em todas as funções b=3 - e vemos que todos os gráficos interceptam o eixo OY no ponto (0;3)

Agora considere os gráficos das funções y=-2x+3; y=- ½x+3; y=-x+3

Desta vez em todas as funções o coeficiente k menos que zero e funções estão diminuindo. Coeficiente b=3, e os gráficos, como no caso anterior, interceptam o eixo OY no ponto (0;3)

Considere os gráficos das funções y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Agora, em todas as equações de função, os coeficientes k são iguais a 2. E obtivemos três retas paralelas.

Mas os coeficientes b são diferentes e esses gráficos cruzam o eixo OY em pontos diferentes:
O gráfico da função y=2x+3 (b=3) intercepta o eixo OY no ponto (0;3)
O gráfico da função y=2x (b=0) intercepta o eixo OY no ponto (0;0) - a origem.
O gráfico da função y=2x-3 (b=-3) cruza o eixo OY no ponto (0;-3)

Portanto, se conhecermos os sinais dos coeficientes k e b, podemos imediatamente imaginar como é o gráfico da função y=kx+b.
Se k 0

Se k>0 e b>0, então o gráfico da função y=kx+b se parece com:

Se k>0 e b, então o gráfico da função y=kx+b se parece com:

Se k, então o gráfico da função y=kx+b se parece com:

Se k=0, então a função y=kx+b se transforma na função y=b e seu gráfico se parece com:

As ordenadas de todos os pontos no gráfico da função y=b são iguais a b Se b=0, então o gráfico da função y=kx (proporcionalidade direta) passa pela origem:

3. Observemos separadamente o gráfico da equação x=a. O gráfico desta equação é uma reta paralela ao eixo OY, cujos pontos possuem uma abcissa x=a.

Por exemplo, o gráfico da equação x=3 é assim:
Atenção! A equação x=a não é uma função, portanto um valor do argumento corresponde a diferentes valores da função, o que não corresponde à definição de uma função.

4. Condição para paralelismo de duas linhas:

O gráfico da função y=k 1 x+b 1 é paralelo ao gráfico da função y=k 2 x+b 2 se k 1 =k 2

5. A condição para que duas retas sejam perpendiculares:

O gráfico da função y=k 1 x+b 1 é perpendicular ao gráfico da função y=k 2 x+b 2 se k 1 *k 2 =-1 ou k 1 =-1/k 2

6. Pontos de intersecção do gráfico da função y=kx+b com os eixos coordenados.

Com eixo OY. A abscissa de qualquer ponto pertencente ao eixo OY é igual a zero. Portanto, para encontrar o ponto de intersecção com o eixo OY, é necessário substituir zero na equação da função em vez de x. Obtemos y = b. Ou seja, o ponto de intersecção com o eixo OY possui coordenadas (0; b).

Com eixo OX: A ordenada de qualquer ponto pertencente ao eixo OX é zero. Portanto, para encontrar o ponto de intersecção com o eixo OX, é necessário substituir zero na equação da função em vez de y. Obtemos 0=kx+b. Portanto, x=-b/k. Ou seja, o ponto de intersecção com o eixo OX possui coordenadas (-b/k;0):

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Função linear chamada de função da forma y = kx + b, definido no conjunto de todos os números reais. Aqui k– inclinação (número real), b – termo livre (número real), x- variável independente.

No caso especial, se k = 0, obtemos uma função constante y = b, cujo gráfico é uma reta paralela ao eixo do Boi passando pelo ponto com coordenadas (0;b).

Se b = 0, então obtemos a função y = kx, qual é proporcionalidade direta.

b – comprimento do segmento, que é cortado por uma reta ao longo do eixo Oy, contando a partir da origem.

Significado geométrico do coeficiente k – ângulo de inclinaçao direto ao sentido positivo do eixo do Boi, considerado no sentido anti-horário.

Propriedades de uma função linear:

1) O domínio de definição de uma função linear é todo o eixo real;

2) Se k ≠ 0, então o intervalo de valores da função linear é todo o eixo real. Se k = 0, então o intervalo de valores da função linear consiste no número b;

3) A paridade e a estranheza de uma função linear dependem dos valores dos coeficientes k E b.

a) b ≠ 0, k = 0, por isso, y = b – par;

b) b = 0, k ≠ 0, por isso y = kx – ímpar;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, por isso y = kx + b – função de forma geral;

e) b = 0, k = 0, por isso y = 0 – funções pares e ímpares.

4) Uma função linear não possui a propriedade de periodicidade;

5) Pontos de interseção com eixos coordenados:

Boi: y = kx + b = 0, x = -b/k, por isso (-b/k; 0)– ponto de intersecção com o eixo das abcissas.

Olá: y = 0k + b = b, por isso (0;b)– ponto de intersecção com o eixo das ordenadas.

Nota: Se b = 0 E k = 0, então a função y = 0 vai para zero para qualquer valor da variável X. Se b ≠ 0 E k = 0, então a função y = b não desaparece para nenhum valor da variável X.

6) Os intervalos de constância de sinal dependem do coeficiente k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b– positivo quando x de (-b/k; +∞),

y = kx + b– negativo quando x de (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b– positivo quando x de (-∞; -b/k),

y = kx + b– negativo quando x de (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b positivo em toda a faixa de definição,

k = 0, b< 0; y = kx + b negativo em toda a faixa de definição.

7) Os intervalos de monotonicidade de uma função linear dependem do coeficiente k.

k > 0, por isso y = kx + b aumenta em todo o domínio de definição,

k< 0 , por isso y = kx + b diminui em todo o domínio de definição.

8) O gráfico de uma função linear é uma linha reta. Para construir uma linha reta basta conhecer dois pontos. A posição da linha reta no plano coordenado depende dos valores dos coeficientes k E b. Abaixo está uma tabela que ilustra isso claramente.

Definição de uma função linear

Vamos apresentar a definição de uma função linear

Definição

Uma função da forma $y=kx+b$, onde $k$ é diferente de zero, é chamada de função linear.

O gráfico de uma função linear é uma linha reta. O número $k$ é chamado de inclinação da reta.

Quando $b=0$ a função linear é chamada de função de proporcionalidade direta $y=kx$.

Considere a Figura 1.

Arroz. 1. Significado geométrico da inclinação de uma linha

Considere o triângulo ABC. Vemos que $ВС=kx_0+b$. Vamos encontrar o ponto de intersecção da reta $y=kx+b$ com o eixo $Ox$:

\ \

Então $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Vamos encontrar a proporção desses lados:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Por outro lado, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Assim, podemos tirar a seguinte conclusão:

Conclusão

Significado geométrico do coeficiente $k$. O coeficiente angular da reta $k$ é igual à tangente do ângulo de inclinação desta reta ao eixo $Ox$.

Estudo da função linear $f\left(x\right)=kx+b$ e seu gráfico

Primeiro, considere a função $f\left(x\right)=kx+b$, onde $k > 0$.

1. $f"\esquerda(x\direita)=(\esquerda(kx+b\direita))"=k>0$. Consequentemente, esta função aumenta em todo o domínio de definição. Não há pontos extremos.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Gráfico (Fig. 2).

Arroz. 2. Gráficos da função $y=kx+b$, para $k > 0$.

Agora considere a função $f\left(x\right)=kx$, onde $k

1. O domínio de definição são todos os números.
2. O intervalo de valores é composto por todos os números.
3. $f\esquerda(-x\direita)=-kx+b$. A função não é par nem ímpar.
4. Para $x=0,f\esquerda(0\direita)=b$. Quando $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Pontos de intersecção com eixos coordenados: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ e $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\esquerda(x\direita)=(\esquerda(kx\direita))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Portanto, a função não possui pontos de inflexão.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Gráfico (Fig. 3).

O conceito de função numérica. Métodos para especificar uma função. Propriedades das funções.

Uma função numérica é uma função que atua de um espaço numérico (conjunto) para outro espaço numérico (conjunto).

Três formas principais de definir uma função: analítica, tabular e gráfica.

1. Analítico.

O método de especificar uma função usando uma fórmula é chamado analítico. Este método é o principal do tapete. análise, mas na prática não é conveniente.

2. Método tabular para especificar uma função.

Uma função pode ser especificada usando uma tabela contendo os valores dos argumentos e seus valores de função correspondentes.

3. Método gráfico de especificação de uma função.

Diz-se que uma função y=f(x) é dada graficamente se seu gráfico for construído. Este método de especificação de uma função permite determinar os valores da função apenas aproximadamente, uma vez que construir um gráfico e encontrar os valores da função nele está associado a erros.

Propriedades de uma função que devem ser levadas em consideração na construção de seu gráfico:

1) O domínio de definição da função.

Domínio da função, isto é, aqueles valores que o argumento x da função F =y (x) pode assumir.

2) Intervalos de funções crescentes e decrescentes.

A função é chamada crescente no intervalo em consideração, se um valor maior do argumento corresponder a um valor maior da função y(x). Isso significa que se dois argumentos arbitrários x 1 e x 2 forem retirados do intervalo em consideração, e x 1 > x 2, então y(x 1) > y(x 2).

A função é chamada decrescente no intervalo em consideração, se um valor maior do argumento corresponder a um valor menor da função y(x). Isso significa que se dois argumentos arbitrários x 1 e x 2 forem retirados do intervalo em consideração, e x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Zeros de função.

Os pontos nos quais a função F = y (x) intercepta o eixo das abcissas (são obtidos resolvendo a equação y(x) = 0) são chamados de zeros da função.

4) Funções pares e ímpares.

A função é chamada par, if para todos os valores de argumentos do escopo

y(-x) = y(x).

O gráfico de uma função par é simétrico em relação à ordenada.

A função é chamada ímpar, se para todos os valores do argumento do domínio de definição

y(-x) = -y(x).

O gráfico de uma função par é simétrico em relação à origem.

Muitas funções não são pares nem ímpares.

5) Periodicidade da função.

A função é chamada periódica, se existe um número P tal que para todos os valores do argumento do domínio de definição

y(x + P) = y(x).

Função linear, suas propriedades e gráfico.

Uma função linear é uma função da forma y = kx + b, definido no conjunto de todos os números reais.

k– inclinação (número real)

b– termo fictício (número real)

x- variável independente.

· No caso especial, se k = 0, obtemos uma função constante y = b, cujo gráfico é uma reta paralela ao eixo do Boi que passa pelo ponto de coordenadas (0; b).

· Se b = 0, então obtemos a função y = kx, que é proporcionalidade direta.

o O significado geométrico do coeficiente b é o comprimento do segmento que a reta corta ao longo do eixo Oy, contando a partir da origem.

o O significado geométrico do coeficiente k é o ângulo de inclinação da reta em relação ao sentido positivo do eixo do Boi, calculado no sentido anti-horário.

Propriedades de uma função linear:

1) O domínio de definição de uma função linear é todo o eixo real;

2) Se k ≠ 0, então o intervalo de valores da função linear é todo o eixo real.

Se k = 0, então o intervalo de valores da função linear consiste no número b;

3) A paridade e a estranheza de uma função linear dependem dos valores dos coeficientes k e b.

a) b ≠ 0, k = 0, portanto, y = b – par;

b) b = 0, k ≠ 0, portanto y = kx – ímpar;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, portanto y = kx + b é uma função de forma geral;

d) b = 0, k = 0, portanto y = 0 é uma função par e ímpar.

4) Uma função linear não possui propriedade de periodicidade;

5) Pontos de intersecção com eixos coordenados:

Boi: y = kx + b = 0, x = -b/k, portanto (-b/k; 0) é o ponto de intersecção com o eixo x.

Oy: y = 0k + b = b, portanto (0; b) é o ponto de intersecção com a ordenada.

Comente. Se b = 0 e k = 0, então a função y = 0 desaparece para qualquer valor da variável x. Se b ≠ 0 e k = 0, então a função y = b não desaparece para nenhum valor da variável x.

6) Os intervalos de sinal constante dependem do coeficiente k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – positivo em x de (-b/k; +∞),

y = kx + b – negativo para x de (-∞; -b/k).

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – positivo em x de (-∞; -b/k),

y = kx + b – negativo para x de (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b é positivo em todo o domínio de definição,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Os intervalos de monotonicidade de uma função linear dependem do coeficiente k.

k > 0, portanto y = kx + b aumenta em todo o domínio de definição,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Função y = ax 2 + bx + c, suas propriedades e gráfico.

A função y = ax 2 + bx + c (a, b, c são constantes, a ≠ 0) é chamada quadrático No caso mais simples, y = ax 2 (b = c = 0) o gráfico é uma linha curva que passa pela origem. A curva que serve de gráfico da função y = ax 2 é uma parábola. Toda parábola tem um eixo de simetria chamado o eixo da parábola. O ponto O da intersecção de uma parábola com seu eixo é chamado o vértice da parábola.

O gráfico pode ser construído conforme o seguinte esquema: 1) Encontre as coordenadas do vértice da parábola x 0 = -b/2a; y 0 = y(x 0). 2) Construímos vários outros pontos que pertencem à parábola, ao construir podemos usar as simetrias da parábola em relação à reta x = -b/2a. 3) Conecte os pontos indicados com uma linha suave. Exemplo. Faça um gráfico da função b = x 2 + 2x - 3. Soluções. O gráfico da função é uma parábola cujos ramos estão direcionados para cima. A abcissa do vértice da parábola x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, suas ordenadas y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Portanto, o vértice da parábola é o ponto (-1; -4). Vamos compilar uma tabela de valores para vários pontos que estão localizados à direita do eixo de simetria da parábola - reta x = -1. Propriedades da função.