Estudo da função y 4x x 2. Problemas da coleção de Kuznetsov L

Solucionador Kuznetsov.
III Gráficos

Tarefa 7. Realize um estudo completo da função e construa seu gráfico.

        Antes de começar a baixar suas opções, tente resolver o problema de acordo com o exemplo abaixo para a opção 3. Algumas das opções estão arquivadas no formato .rar

        7.3 Realize um estudo completo da função e plote-a

Solução.

        1) Escopo de definição:         ou        , isto é        .
.
Assim:         .

        2) Não há pontos de intersecção com o eixo do Boi. Na verdade, a equação não tem solução.
Não há pontos de intersecção com o eixo Oy, pois        .

        3) A função não é par nem ímpar. Não há simetria em relação ao eixo das ordenadas. Também não há simetria sobre a origem. Porque
.
Vemos isso         e        .

        4) A função é contínua no domínio de definição
.

; .

; .
Conseqüentemente, o ponto         é um ponto de descontinuidade do segundo tipo (descontinuidade infinita).

5) Assíntotas verticais:       

Vamos encontrar a assíntota oblíqua. Aqui

;
.
Consequentemente, temos uma assíntota horizontal: y = 0. Não há assíntotas oblíquas.

        6) Vamos encontrar a primeira derivada. Primeira derivada:
.
E é por causa disso
.
Vamos encontrar pontos estacionários onde a derivada é igual a zero, ou seja
.

        7) Vamos encontrar a segunda derivada. Segunda derivada:
.
E isso é fácil de verificar, pois

Como estudar uma função e construir seu gráfico?

Parece que estou começando a compreender o rosto espiritualmente perspicaz do líder do proletariado mundial, autor de obras reunidas em 55 volumes... A longa jornada começou com informações básicas sobre funções e gráficos, e agora o trabalho em um tópico trabalhoso termina com um resultado lógico - um artigo sobre um estudo completo da função. A tão esperada tarefa é formulada da seguinte forma:

Estude uma função usando métodos de cálculo diferencial e construa seu gráfico com base nos resultados do estudo

Ou resumindo: examine a função e construa um gráfico.

Por que explorar? Em casos simples, não será difícil compreender as funções elementares e desenhar um gráfico obtido usando transformações geométricas elementares e assim por diante. No entanto, as propriedades e representações gráficas de funções mais complexas estão longe de ser óbvias, razão pela qual é necessário todo um estudo.

As principais etapas da solução estão resumidas no material de referência Esquema de estudo de função, este é o seu guia para a seção. Os leigos precisam de uma explicação passo a passo de um tópico, alguns leitores não sabem por onde começar ou como organizar suas pesquisas e os alunos avançados podem estar interessados ​​apenas em alguns pontos. Mas seja você quem for, caro visitante, o resumo proposto com indicações para diversas lições irá rapidamente orientá-lo e orientá-lo na direção de seu interesse. Os robôs derramaram lágrimas =) O manual foi apresentado em arquivo pdf e ocupou seu devido lugar na página Fórmulas e tabelas matemáticas.

Estou acostumado a dividir a pesquisa de uma função em 5 a 6 pontos:

6) Pontos adicionais e gráfico com base nos resultados da pesquisa.

Quanto à ação final, acho que tudo está claro para todos - será muito decepcionante se em questão de segundos ela for riscada e a tarefa for devolvida para revisão. UM DESENHO CORRETO E PRECISO é o principal resultado da solução! É provável que “encobrirá” erros analíticos, enquanto um cronograma incorreto e/ou descuidado causará problemas mesmo com um estudo perfeitamente conduzido.

Deve-se notar que em outras fontes o número de pontos de pesquisa, a ordem de sua implementação e o estilo de design podem diferir significativamente do esquema que propus, mas na maioria dos casos é suficiente. A versão mais simples do problema consiste em apenas 2-3 etapas e é formulada mais ou menos assim: “investigar a função usando a derivada e construir um gráfico” ou “investigar a função usando a 1ª e 2ª derivadas, construir um gráfico”.

Naturalmente, se o seu manual descreve outro algoritmo em detalhes ou se o seu professor exige estritamente que você siga suas palestras, você terá que fazer alguns ajustes na solução. Não é mais difícil do que substituir um garfo de motosserra por uma colher.

Vamos verificar a função par/ímpar:

Isso é seguido por um modelo de resposta:
, o que significa que esta função não é par nem ímpar.

Como a função é contínua, não existem assíntotas verticais.

Também não existem assíntotas oblíquas.

Observação : Lembro que quanto maior ordem de crescimento, do que , portanto o limite final é exatamente “ mais infinidade."

Vamos descobrir como a função se comporta no infinito:

Por outras palavras, se formos para a direita, então o gráfico vai infinitamente para cima, se formos para a esquerda, ele vai infinitamente para baixo. Sim, também existem dois limites em uma única entrada. Se você tiver dificuldade em decifrar os sinais, visite a lição sobre funções infinitesimais.

Então a função não limitado de cima E não limitado por baixo. Considerando que não temos pontos de interrupção, fica claro faixa de função: – também qualquer número real.

TÉCNICA TÉCNICA ÚTIL

Cada etapa da tarefa traz novas informações sobre o gráfico da função, portanto, durante a solução é conveniente utilizar uma espécie de LAYOUT. Vamos desenhar um sistema de coordenadas cartesianas em um rascunho. O que já se sabe com certeza? Em primeiro lugar, o gráfico não possui assíntotas, portanto, não há necessidade de traçar retas. Em segundo lugar, sabemos como a função se comporta no infinito. De acordo com a análise, traçamos uma primeira aproximação:

Observe que devido a continuidade função ativada e o fato de que o gráfico deve cruzar o eixo pelo menos uma vez. Ou talvez existam vários pontos de intersecção?

3) Zeros da função e intervalos de sinal constante.

Primeiro, vamos encontrar o ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas. É simples. É necessário calcular o valor da função em:

Um ano e meio acima do nível do mar.

Para encontrar os pontos de intersecção com o eixo (zeros da função), precisamos resolver a equação, e aqui nos espera uma surpresa desagradável:

Há um membro gratuito à espreita no final, o que torna a tarefa muito mais difícil.

Tal equação tem pelo menos uma raiz real e, na maioria das vezes, essa raiz é irracional. No pior conto de fadas, os três porquinhos estão à nossa espera. A equação pode ser resolvida usando o chamado Fórmulas Cardano, mas os danos ao papel são comparáveis ​​a quase todo o estudo. Nesse sentido, é mais sensato tentar selecionar pelo menos um, seja verbalmente ou em rascunho. todo raiz. Vamos verificar se esses números são:
- não apropriado;
- Há!

Sorte aqui. Em caso de falha, você também pode testar e, se esses números não couberem, receio que haja muito pouca chance de uma solução lucrativa para a equação. Então é melhor pular completamente o ponto de pesquisa - talvez algo fique mais claro na etapa final, quando pontos adicionais serão quebrados. E se a(s) raiz(es) são claramente “ruins”, então é melhor permanecer modestamente calado sobre os intervalos de constância dos sinais e desenhar com mais cuidado.

Porém, temos uma raiz bonita, então dividimos o polinômio sem resto:

O algoritmo para dividir um polinômio por um polinômio é discutido em detalhes no primeiro exemplo da lição Limites Complexos.

Como resultado, o lado esquerdo da equação original se decompõe no produto:

E agora um pouco sobre um estilo de vida saudável. Eu, claro, entendo isso equações quadráticas precisa ser resolvido todos os dias, mas hoje abriremos uma exceção: a equação tem duas raízes reais.

Vamos traçar os valores encontrados na reta numérica E método de intervalo Vamos definir os sinais da função:


og Assim, nos intervalos a programação está localizada
abaixo do eixo x e nos intervalos – acima deste eixo.

As descobertas nos permitem refinar nosso layout, e a segunda aproximação do gráfico fica assim:

Observe que uma função deve ter pelo menos um máximo em um intervalo e pelo menos um mínimo em um intervalo. Mas ainda não sabemos quantas vezes, onde e quando a programação irá repetir. A propósito, uma função pode ter infinitos extremos.

4) Crescente, decrescente e extremos da função.

Vamos encontrar os pontos críticos:

Esta equação tem duas raízes reais. Vamos colocá-los na reta numérica e determinar os sinais da derivada:


Portanto, a função aumenta em e diminui em .
No ponto em que a função atinge seu máximo: .
No ponto em que a função atinge o mínimo: .

Os fatos estabelecidos conduzem nosso modelo a uma estrutura bastante rígida:

Escusado será dizer que o cálculo diferencial é algo poderoso. Vamos finalmente entender a forma do gráfico:

5) Convexidade, concavidade e pontos de inflexão.

Vamos encontrar os pontos críticos da segunda derivada:

Vamos definir os sinais:


O gráfico da função é convexo e côncavo. Vamos calcular a ordenada do ponto de inflexão: .

Quase tudo ficou claro.

6) Resta encontrar pontos adicionais que o ajudarão a construir um gráfico com mais precisão e realizar o autoteste. Neste caso são poucos, mas não os negligenciaremos:

Vamos fazer o desenho:

O ponto de inflexão está marcado em verde, os pontos adicionais estão marcados com cruzes. O gráfico de uma função cúbica é simétrico em relação ao seu ponto de inflexão, que está sempre localizado estritamente no meio entre o máximo e o mínimo.

À medida que a tarefa avançava, forneci três desenhos provisórios hipotéticos. Na prática, basta desenhar um sistema de coordenadas, marcar os pontos encontrados e, após cada ponto de pesquisa, estimar mentalmente como ficaria o gráfico da função. Não será difícil para alunos com bom nível de preparação realizar tal análise apenas mentalmente, sem envolver um rascunho.

Para resolver você mesmo:

Exemplo 2

Explore a função e construa um gráfico.

Tudo fica mais rápido e divertido aqui, um exemplo aproximado do desenho final no final da aula.

O estudo das funções racionais fracionárias revela muitos segredos:

Exemplo 3

Utilizar métodos de cálculo diferencial para estudar uma função e, com base nos resultados do estudo, construir seu gráfico.

Solução: a primeira etapa do estudo não se distingue por nada de notável, com exceção de um buraco na área de definição:

1) A função é definida e contínua em toda a reta numérica, exceto no ponto, domínio: .

, o que significa que esta função não é par nem ímpar.

É óbvio que a função não é periódica.

O gráfico da função representa dois ramos contínuos localizados no semiplano esquerdo e direito - esta é talvez a conclusão mais importante do ponto 1.

2) Assíntotas, o comportamento de uma função no infinito.

a) Usando limites unilaterais, examinamos o comportamento da função perto de um ponto suspeito, onde deveria haver claramente uma assíntota vertical:

Na verdade, as funções perduram lacuna sem fim no ponto
e a linha reta (eixo) é assíntota vertical Artes gráficas .

b) Vamos verificar se existem assíntotas oblíquas:

Sim, é direto assíntota oblíqua gráficos, se.

Não faz sentido analisar os limites, pois já está claro que a função abrange a sua assíntota oblíqua não limitado de cima E não limitado por baixo.

O segundo ponto de pesquisa rendeu muitas informações importantes sobre a função. Vamos fazer um esboço:

A conclusão nº 1 diz respeito a intervalos de sinal constante. Em “menos infinito” o gráfico da função está claramente localizado abaixo do eixo x, e em “mais infinito” está acima deste eixo. Além disso, os limites unilaterais disseram-nos que tanto à esquerda como à direita do ponto a função também é maior que zero. Observe que no semiplano esquerdo o gráfico deve cruzar o eixo x pelo menos uma vez. Pode não haver zeros da função no semiplano direito.

A conclusão nº 2 é que a função aumenta à esquerda do ponto (vai “de baixo para cima”). À direita deste ponto, a função diminui (vai “de cima para baixo”). O ramo direito do gráfico certamente deve ter pelo menos um mínimo. À esquerda, os extremos não são garantidos.

A conclusão nº 3 fornece informações confiáveis ​​sobre a concavidade do gráfico nas proximidades do ponto. Ainda não podemos dizer nada sobre convexidade/concavidade no infinito, uma vez que uma linha pode ser pressionada em direção à sua assíntota tanto de cima como de baixo. De modo geral, existe uma maneira analítica de descobrir isso agora, mas a forma do gráfico ficará mais clara posteriormente.

Por que tantas palavras? Para controlar os pontos de pesquisa subsequentes e evitar erros! Cálculos adicionais não devem contradizer as conclusões tiradas.

3) Pontos de intersecção do gráfico com os eixos coordenados, intervalos de sinal constante da função.

O gráfico da função não intercepta o eixo.

Usando o método de intervalo, determinamos os sinais:

, Se ;
, Se .

Os resultados deste ponto são totalmente consistentes com a Conclusão nº 1. Após cada etapa, observe o rascunho, verifique mentalmente a pesquisa e complete o gráfico da função.

No exemplo em consideração, o numerador é dividido termo por termo pelo denominador, o que é muito benéfico para a diferenciação:

Na verdade, isso já foi feito ao encontrar assíntotas.

- ponto crítico.

Vamos definir os sinais:

aumenta em e diminui em

No ponto em que a função atinge o mínimo: .

Também não houve discrepâncias com a Conclusão nº 2 e, muito provavelmente, estamos no caminho certo.

Isto significa que o gráfico da função é côncavo em todo o domínio de definição.

Ótimo - e você não precisa desenhar nada.

Não há pontos de inflexão.

A concavidade é consistente com a Conclusão nº 3, além disso, indica que no infinito (tanto ali como ali) o gráfico da função está localizado mais alto sua assíntota oblíqua.

6) Fixaremos conscientemente a tarefa com pontos adicionais. É aqui que teremos que trabalhar muito, pois só conhecemos dois pontos da pesquisa.

E uma imagem que provavelmente muita gente imaginou há muito tempo:

Durante a execução da tarefa, é necessário garantir cuidadosamente que não haja contradições entre as etapas da pesquisa, mas às vezes a situação é urgente ou até mesmo um beco sem saída. A análise “não bate certo” - isso é tudo. Neste caso, recomendo uma técnica de emergência: encontramos o maior número possível de pontos que pertencem ao gráfico (tanto quanto tivermos paciência), e marcamos-os no plano de coordenadas. Uma análise gráfica dos valores encontrados irá, na maioria dos casos, dizer onde está a verdade e onde é falso. Além disso, o gráfico pode ser pré-construído por meio de algum programa, por exemplo, no Excel (claro, isso requer habilidades).

Exemplo 4

Use métodos de cálculo diferencial para estudar uma função e construir seu gráfico.

Este é um exemplo para você resolver sozinho. Nele, o autocontrole é potencializado pela paridade da função - o gráfico é simétrico em relação ao eixo, e se em sua pesquisa algo contradizer esse fato, procure um erro.

Uma função par ou ímpar pode ser estudada apenas em e então usar a simetria do gráfico. Esta solução é ideal, mas, na minha opinião, parece muito incomum. Pessoalmente, olho toda a reta numérica, mas ainda encontro pontos adicionais apenas à direita:

Exemplo 5

Faça um estudo completo da função e construa seu gráfico.

Solução: as coisas ficaram difíceis:

1) A função é definida e contínua em toda a reta numérica: .

Isso significa que esta função é ímpar, seu gráfico é simétrico em relação à origem.

É óbvio que a função não é periódica.

2) Assíntotas, o comportamento de uma função no infinito.

Como a função é contínua, não existem assíntotas verticais

Para uma função contendo um expoente, é típico separado estudo do “mais” e “menos do infinito”, porém, nossa vida é facilitada pela simetria do gráfico - ou existe uma assíntota tanto à esquerda quanto à direita, ou não existe. Portanto, ambos os limites infinitos podem ser escritos em uma única entrada. Durante a solução que usamos Regra de L'Hopital:

A linha reta (eixo) é a assíntota horizontal do gráfico em.

Observe como evitei astuciosamente o algoritmo completo para encontrar a assíntota oblíqua: o limite é completamente legal e esclarece o comportamento da função no infinito, e a assíntota horizontal foi descoberta “como se fosse ao mesmo tempo”.

Da continuidade e da existência de uma assíntota horizontal segue-se que a função limitado acima E limitado abaixo.

3) Pontos de intersecção do gráfico com os eixos coordenados, intervalos de sinal constante.

Aqui também encurtamos a solução:
O gráfico passa pela origem.

Não há outros pontos de intersecção com os eixos coordenados. Além disso, os intervalos de constância do sinal são óbvios, e o eixo não precisa ser traçado: , o que significa que o sinal da função depende apenas de “x”:
, Se ;
, Se .

4) Crescentes, decrescentes, extremos da função.


- Pontos críticos.

Os pontos são simétricos em relação a zero, como deveria ser.

Vamos determinar os sinais da derivada:


A função aumenta em um intervalo e diminui em intervalos

No ponto em que a função atinge seu máximo: .

Devido à propriedade (a estranheza da função) o mínimo não precisa ser calculado:

Como a função diminui ao longo do intervalo, então, obviamente, o gráfico está localizado em “menos infinito” sob sua assíntota. Ao longo do intervalo, a função também diminui, mas aqui o oposto é verdadeiro - depois de passar pelo ponto máximo, a reta se aproxima do eixo por cima.

Do exposto segue-se também que o gráfico da função é convexo em “menos infinito” e côncavo em “mais infinito”.

Após este ponto de estudo, foi traçado o intervalo de valores da função:

Caso você tenha algum mal-entendido sobre algum ponto, peço mais uma vez que desenhe eixos coordenados em seu caderno e, com um lápis nas mãos, reanalise cada conclusão da tarefa.

5) Convexidade, concavidade, dobras do gráfico.

- Pontos críticos.

A simetria dos pontos é preservada e, muito provavelmente, não nos enganamos.

Vamos definir os sinais:


O gráfico da função é convexo em e côncavo em .

A convexidade/concavidade nos intervalos extremos foi confirmada.

Em todos os pontos críticos existem dobras no gráfico. Vamos encontrar as ordenadas dos pontos de inflexão e novamente reduzir o número de cálculos usando a estranheza da função:

Se o problema requer um estudo completo da função f (x) = x 2 4 x 2 - 1 com a construção de seu gráfico, então consideraremos este princípio em detalhes.

Para resolver um problema deste tipo, você deve usar as propriedades e gráficos de funções elementares básicas. O algoritmo de pesquisa inclui as seguintes etapas:

Encontrando o domínio de definição

Como a pesquisa é realizada no domínio de definição da função, é necessário iniciar por esta etapa.

Exemplo 1

O exemplo dado envolve encontrar os zeros do denominador para excluí-los da ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Como resultado, você pode obter raízes, logaritmos e assim por diante. Então o ODZ pode ser pesquisado para uma raiz de grau par do tipo g (x) 4 pela desigualdade g (x) ≥ 0, para o logaritmo log a g (x) pela desigualdade g (x) > 0.

Estudando os limites da ODZ e encontrando assíntotas verticais

Existem assíntotas verticais nos limites da função, quando os limites unilaterais em tais pontos são infinitos.

Exemplo 2

Por exemplo, considere os pontos de fronteira iguais a x = ± 1 2.

Então é necessário estudar a função para encontrar o limite unilateral. Então obtemos isso: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (+ 0 ) 2 = + ∞

Isso mostra que os limites unilaterais são infinitos, o que significa que as retas x = ± 1 2 são as assíntotas verticais do gráfico.

Estudo de uma função e se ela é par ou ímpar

Quando a condição y (- x) = y (x) é satisfeita, a função é considerada par. Isto sugere que o gráfico está localizado simetricamente em relação a Oy. Quando a condição y (- x) = - y (x) é satisfeita, a função é considerada ímpar. Isso significa que a simetria é relativa à origem das coordenadas. Se pelo menos uma desigualdade não for satisfeita, obtemos uma função de forma geral.

A igualdade y (- x) = y (x) indica que a função é par. Na hora de construir é preciso levar em consideração que haverá simetria em relação a Oy.

Para resolver a desigualdade, são utilizados intervalos de aumento e diminuição com as condições f " (x) ≥ 0 e f " (x) ≤ 0, respectivamente.

Definição 1

Pontos estacionários- estes são os pontos que tornam a derivada zero.

Pontos críticos- são pontos internos do domínio de definição onde a derivada da função é igual a zero ou não existe.

Ao tomar uma decisão, as seguintes notas devem ser levadas em consideração:

• para intervalos existentes de desigualdades crescentes e decrescentes da forma f " (x) > 0, os pontos críticos não são incluídos na solução;
• os pontos em que a função é definida sem uma derivada finita devem ser incluídos nos intervalos de aumento e diminuição (por exemplo, y = x 3, onde o ponto x = 0 torna a função definida, a derivada tem o valor do infinito neste ponto, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 está incluído no intervalo crescente);
• Para evitar divergências, recomenda-se a utilização da literatura matemática recomendada pelo Ministério da Educação.

Inclusão de pontos críticos em intervalos crescentes e decrescentes se satisfizerem o domínio de definição da função.

Definição 2

Para determinando os intervalos de aumento e diminuição de uma função, é necessário encontrar:

• derivado;
• Pontos críticos;
• dividir o domínio de definição em intervalos usando pontos críticos;
• determine o sinal da derivada em cada um dos intervalos, onde + é um aumento e - é uma diminuição.

Exemplo 3

Encontre a derivada no domínio de definição f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

Solução

Para resolver você precisa de:

• encontre pontos estacionários, este exemplo tem x = 0;
• encontre os zeros do denominador, o exemplo assume o valor zero em x = ± 1 2.

Colocamos pontos na reta numérica para determinar a derivada em cada intervalo. Para isso, basta pegar qualquer ponto do intervalo e fazer um cálculo. Se o resultado for positivo, representamos + no gráfico, o que significa que a função está aumentando, e - significa que está diminuindo.

Por exemplo, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, o que significa que o primeiro intervalo à esquerda tem um sinal +. Considere na reta numérica.

Responder:

• a função aumenta no intervalo - ∞; - 1 2 e (- 1 2 ; 0 ] ;
• há uma diminuição no intervalo [ 0 ; 12) e 12; + ∞ .

No diagrama, usando + e -, são representadas a positividade e a negatividade da função, e as setas indicam diminuição e aumento.

Os pontos extremos de uma função são pontos onde a função é definida e através dos quais a derivada muda de sinal.

Exemplo 4

Se considerarmos um exemplo onde x = 0, então o valor da função nele é igual a f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Quando o sinal da derivada muda de + para - e passa pelo ponto x = 0, então o ponto com coordenadas (0; 0) é considerado o ponto máximo. Quando o sinal muda de - para +, obtemos um ponto mínimo.

A convexidade e a concavidade são determinadas resolvendo desigualdades da forma f "" (x) ≥ 0 e f "" (x) ≤ 0. Menos comumente usado é o nome convexidade para baixo em vez de concavidade, e convexidade para cima em vez de convexidade.

Definição 3

Para determinação dos intervalos de concavidade e convexidade necessário:

• encontre a segunda derivada;
• encontre os zeros da segunda função derivada;
• divida a área de definição em intervalos com os pontos que aparecem;
• determine o sinal do intervalo.

Exemplo 5

Encontre a segunda derivada do domínio de definição.

Solução

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Encontramos os zeros do numerador e denominador, onde no nosso exemplo temos que os zeros do denominador x = ± 1 2

Agora você precisa traçar os pontos na reta numérica e determinar o sinal da segunda derivada de cada intervalo. Nós entendemos isso

Responder:

• a função é convexa no intervalo - 1 2 ; 12;
• a função é côncava nos intervalos - ∞ ; - 1 2 e 1 2; + ∞ .

Definição 4

Ponto de inflexão– este é um ponto da forma x 0 ; f(x0) . Quando tem uma tangente ao gráfico da função, então ao passar por x 0 a função muda de sinal para o oposto.

Em outras palavras, este é um ponto por onde passa a segunda derivada e muda de sinal, e nos próprios pontos é igual a zero ou não existe. Todos os pontos são considerados domínio da função.

No exemplo ficou claro que não existem pontos de inflexão, pois a segunda derivada muda de sinal ao passar pelos pontos x = ± 1 2. Eles, por sua vez, não estão incluídos no escopo da definição.

Encontrando assíntotas horizontais e oblíquas

Ao definir uma função no infinito, você precisa procurar assíntotas horizontais e oblíquas.

Definição 5

Assíntotas oblíquas são representados usando linhas retas dadas pela equação y = k x + b, onde k = lim x → ∞ f (x) x e b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Para k = 0 e b diferente do infinito, descobrimos que a assíntota oblíqua se torna horizontal.

Em outras palavras, as assíntotas são consideradas retas para as quais o gráfico de uma função se aproxima do infinito. Isso facilita a construção rápida de um gráfico de função.

Se não houver assíntotas, mas a função estiver definida em ambos os infinitos, é necessário calcular o limite da função nesses infinitos para entender como se comportará o gráfico da função.

Exemplo 6

Vamos considerar como exemplo que

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

é uma assíntota horizontal. Depois de examinar a função, você pode começar a construí-la.

Calculando o valor de uma função em pontos intermediários

Para tornar o gráfico mais preciso, é recomendado encontrar vários valores de função em pontos intermediários.

Exemplo 7

A partir do exemplo que consideramos, é necessário encontrar os valores da função nos pontos x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Como a função é par, obtemos que os valores coincidem com os valores nesses pontos, ou seja, obtemos x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Vamos escrever e resolver:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Para determinar os máximos e mínimos da função, pontos de inflexão e pontos intermediários, é necessário construir assíntotas. Para uma designação conveniente, são registrados intervalos de aumento, diminuição, convexidade e concavidade. Vejamos a imagem abaixo.

É necessário traçar linhas gráficas através dos pontos marcados, o que permitirá aproximar-se das assíntotas seguindo as setas.

Isso conclui a exploração completa da função. Há casos de construção de algumas funções elementares para as quais são utilizadas transformações geométricas.

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Já há algum tempo, o banco de dados de certificados SSL integrado do TheBat parou de funcionar corretamente (não está claro por que motivo).

Ao verificar a postagem, aparece um erro:

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Solução

Neste caso, você precisa substituir o padrão de implementação S/MIME e TLS pelo Microsoft CryptoAPI nas configurações do TheBat!

Como eu precisava combinar todos os arquivos em um, primeiro converti todos os arquivos doc em um único arquivo pdf (usando o programa Acrobat) e depois o transferi para fb2 por meio de um conversor online. Você também pode converter arquivos individualmente. Os formatos podem ser absolutamente qualquer (fonte) - doc, jpg e até mesmo um arquivo zip!

O nome do site corresponde à essência :) Photoshop online.

Atualização de maio de 2015

Encontrei outro ótimo site! Ainda mais conveniente e funcional para criar uma colagem totalmente personalizada! Este é o site http://www.fotor.com/ru/collage/. Aproveite para sua saúde. E eu mesmo vou usar.

Na minha vida me deparei com o problema de consertar um fogão elétrico. Já fiz muitas coisas, aprendi muito, mas de alguma forma tive pouco a ver com azulejos. Foi necessário substituir os contatos dos reguladores e queimadores. Surgiu a questão - como determinar o diâmetro do queimador de um fogão elétrico?

A resposta acabou sendo simples. Você não precisa medir nada, você pode determinar facilmente a olho nu o tamanho necessário.

Menor queimador- isto é 145 milímetros (14,5 centímetros)

Queimador médio- isto é 180 milímetros (18 centímetros).

E por fim, o mais queimador grande- isto é 225 milímetros (22,5 centímetros).

Basta determinar o tamanho a olho nu e entender qual diâmetro você precisa do queimador. Quando eu não sabia disso, ficava preocupado com essas dimensões, não sabia como medir, em qual aresta navegar, etc. Agora sou sábio :) Espero ter ajudado você também!

Na minha vida enfrentei esse problema. Acho que não sou o único.