Divisão de inteiros com resto, regras, exemplos. Divisão com resto
Sinais de divisibilidade de números- são regras que permitem descobrir de forma relativamente rápida, sem dividir, se este número é divisível por um determinado número sem resto.
Alguns sinais de divisibilidade bastante simples, alguns mais complicados. Nesta página você encontrará tanto sinais de divisibilidade de números primos, como, por exemplo, 2, 3, 5, 7, 11, quanto sinais de divisibilidade de números compostos, como 6 ou 12.
Espero que esta informação seja útil para você.
Feliz aprendizado!
Teste de divisibilidade por 2
Este é um dos sinais mais simples de divisibilidade. Parece assim: se a notação de um número natural termina com um dígito par, então é par (divisível sem resto por 2), e se a notação de um número natural termina com um dígito ímpar, então este número é ímpar .
Em outras palavras, se o último dígito de um número for 2
, 4
, 6
, 8
ou 0
- o número é divisível por 2, se não, então não é divisível
Por exemplo, números: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
são divisíveis por 2 porque são pares.
Um número: 23 5
, 137
, 2303
Eles não são divisíveis por 2 porque são ímpares.
Teste de divisibilidade por 3
Este sinal de divisibilidade tem regras completamente diferentes: se a soma dos algarismos de um número for divisível por 3, então o número é divisível por 3; Se a soma dos algarismos de um número não for divisível por 3, então o número não é divisível por 3.
Isso significa que para saber se um número é divisível por 3, basta somar os números que o compõem.
Fica assim: 3987 e 141 são divisíveis por 3, porque no primeiro caso 3+9+8+7= 27
(27:3=9 - divisível por 3), e no segundo 1+4+1= 6
(6:3=2 – também divisível por 3).
Mas os números: 235 e 566 não são divisíveis por 3, porque 2+3+5= 10
e 5+6+6= 17
(e sabemos que nem 10 nem 17 são divisíveis por 3 sem resto).
Teste de divisibilidade por 4
Este sinal de divisibilidade será mais complicado. Se os 2 últimos dígitos de um número formarem um número divisível por 4 ou for 00, então o número é divisível por 4, caso contrário, o número fornecido não é divisível por 4 sem resto.
Por exemplo: 1 00
e 3 64
são divisíveis por 4 porque no primeiro caso o número termina em 00
, e no segundo em 64
, que por sua vez é divisível por 4 sem resto (64:4=16)
Números 3 57
e 8 86
não são divisíveis por 4 porque nem 57
nenhum 86
não são divisíveis por 4, o que significa que não correspondem a este critério de divisibilidade.
Teste de divisibilidade por 5
E novamente temos um sinal de divisibilidade bastante simples: se a notação de um número natural termina com o número 0 ou 5, então esse número é divisível sem resto por 5. Se a notação de um número termina com outro dígito, então o número não é divisível por 5 sem deixar resto.
Isso significa que quaisquer números que terminem em algarismos 0
E 5
, por exemplo 1235 5
e 43 0
, se enquadram na regra e são divisíveis por 5.
E, por exemplo, 1549 3
e 56 4
não terminam com o número 5 ou 0, o que significa que não podem ser divididos por 5 sem resto.
Teste de divisibilidade por 6
Temos diante de nós o número composto 6, que é o produto dos números 2 e 3. Portanto, o sinal de divisibilidade por 6 também é composto: para que um número seja divisível por 6, deve corresponder a dois sinais de divisibilidade ao mesmo tempo: o sinal de divisibilidade por 2 e o sinal de divisibilidade por 3. Observe que um número composto como 4 tem um sinal individual de divisibilidade, porque é o produto do número 2 por si mesmo. Mas voltemos ao teste da divisibilidade por 6.
Os números 138 e 474 são pares e atendem aos critérios de divisibilidade por 3 (1+3+8=12, 12:3=4 e 4+7+4=15, 15:3=5), o que significa que são divisíveis por 6. Mas 123 e 447, embora sejam divisíveis por 3 (1+2+3=6, 6:3=2 e 4+4+7=15, 15:3=5), mas são ímpares, o que significa que não correspondem ao critério de divisibilidade por 2 e, portanto, não correspondem ao critério de divisibilidade por 6.
Teste de divisibilidade por 7
Este teste de divisibilidade é mais complexo: um número é divisível por 7 se o resultado da subtração duas vezes do último dígito do número de dezenas desse número for divisível por 7 ou igual a 0.
Parece bastante confuso, mas na prática é simples. Veja você mesmo: o número 95
9 é divisível por 7 porque 95
-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 é dividido por 7 sem resto). Além disso, caso surjam dificuldades com o número obtido durante a transformação (devido ao seu tamanho é difícil saber se é divisível por 7 ou não, então este procedimento pode ser continuado quantas vezes julgar necessário).
Por exemplo, 45
5 e 4580
1 tem propriedades de divisibilidade por 7. No primeiro caso, tudo é bem simples: 45
-2*5=45-10=35, 35:7=5. No segundo caso faremos isso: 4580
-2*1=4580-2=4578. É difícil para nós entender se 457
8 por 7, então vamos repetir o processo: 457
-2*8=457-16=441. E novamente usaremos o teste de divisibilidade, pois ainda temos um número de três dígitos à nossa frente 44
1. Então, 44
-2*1=44-2=42, 42:7=6, ou seja, 42 é divisível por 7 sem resto, o que significa que 45801 é divisível por 7.
Aqui estão os números 11
1 e 34
5 não é divisível por 7 porque 11
-2*1=11-2=9 (9 não é divisível por 7) e 34
-2*5=34-10=24 (24 não é divisível por 7 sem resto).
Teste de divisibilidade por 8
O teste de divisibilidade por 8 é assim: se os últimos 3 dígitos formam um número divisível por 8, ou é 000, então o número fornecido é divisível por 8.
Números 1 000
ou 1 088
divisível por 8: o primeiro termina em 000
, o segundo 88
:8=11 (divisível por 8 sem resto).
E aqui estão os números 1 100
ou 4 757
não são divisíveis por 8 porque os números 100
E 757
não são divisíveis por 8 sem resto.
Teste de divisibilidade por 9
Este sinal de divisibilidade é semelhante ao sinal de divisibilidade por 3: se a soma dos algarismos de um número for divisível por 9, então o número é divisível por 9; Se a soma dos algarismos de um número não for divisível por 9, então o número não é divisível por 9.
Por exemplo: 3987 e 144 são divisíveis por 9, porque no primeiro caso 3+9+8+7= 27
(27:9=3 - divisível por 9 sem resto), e no segundo 1+4+4= 9
(9:9=1 - também divisível por 9).
Mas os números: 235 e 141 não são divisíveis por 9, porque 2+3+5= 10
e 1+4+1= 6
(e sabemos que nem 10 nem 6 são divisíveis por 9 sem resto).
Sinais de divisibilidade por 10, 100, 1000 e outras unidades de dígitos
Combinei esses sinais de divisibilidade porque eles podem ser descritos da mesma maneira: um número é dividido por uma unidade de dígito se o número de zeros no final do número for maior ou igual ao número de zeros em uma determinada unidade de dígito .
Ou seja, por exemplo, temos os seguintes números: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
. dos quais todos são divisíveis por 1 0
; 46400
e 867 000
também são divisíveis por 1 00
; e apenas um deles é 867 000
divisível por 1 000
.
Quaisquer números que tenham menos zeros à direita do que a unidade de dígito não são divisíveis por essa unidade de dígito, por exemplo 600 30
e 7 93
não divisível 1 00
.
Teste de divisibilidade por 11
Para saber se um número é divisível por 11, é necessário obter a diferença entre as somas dos dígitos pares e ímpares desse número. Se essa diferença for igual a 0 ou for divisível por 11 sem resto, então o próprio número será divisível por 11 sem resto.
Para deixar mais claro, sugiro ver exemplos: 2
35
4 é divisível por 11 porque ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 também é divisível por 11, pois ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
Aqui está 1 1
1 ou 4
35
4 não é divisível por 11, pois no primeiro caso obtemos (1+1)- 1
=1, e no segundo ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.
Teste de divisibilidade por 12
O número 12 é composto. Seu sinal de divisibilidade é a conformidade com os sinais de divisibilidade por 3 e 4 ao mesmo tempo.
Por exemplo, 300 e 636 correspondem aos sinais de divisibilidade por 4 (os 2 últimos dígitos são zeros ou são divisíveis por 4) e aos sinais de divisibilidade por 3 (a soma dos dígitos do primeiro e do terceiro números são divisíveis por 3), mas finalmente são divisíveis por 12 sem resto.
Mas 200 ou 630 não são divisíveis por 12, porque no primeiro caso o número atende apenas ao critério de divisibilidade por 4, e no segundo - apenas ao critério de divisibilidade por 3. mas não a ambos os critérios ao mesmo tempo.
Teste de divisibilidade por 13
Um sinal de divisibilidade por 13 é que se o número de dezenas de um número somado às unidades desse número multiplicado por 4 for um múltiplo de 13 ou igual a 0, então o próprio número é divisível por 13.
Tomemos por exemplo 70
2. Então, 70
+4*2=78, 78:13=6 (78 é divisível por 13 sem resto), o que significa 70
2 é divisível por 13 sem resto. Outro exemplo é um número 114
4. 114
+4*4=130, 130:13=10. O número 130 é divisível por 13 sem resto, o que significa que o número fornecido corresponde ao critério de divisibilidade por 13.
Se pegarmos os números 12
5 ou 21
2, então obtemos 12
+4*5=32 e 21
+4*2=29, respectivamente, e nem 32 nem 29 são divisíveis por 13 sem resto, o que significa que os números fornecidos não são divisíveis por 13 sem resto.
Divisibilidade de números
Como pode ser visto acima, pode-se supor que para qualquer um dos números naturais você pode selecionar seu próprio sinal individual de divisibilidade ou um sinal “composto” se o número for um múltiplo de vários números diferentes. Mas, como mostra a prática, geralmente quanto maior o número, mais complexo é o seu sinal. É possível que o tempo gasto na verificação do critério de divisibilidade seja igual ou maior que a própria divisão. É por isso que geralmente usamos os sinais mais simples de divisibilidade.
Vejamos um exemplo simples:
15:5=3
Neste exemplo dividimos o número natural 15 completamente por 3, sem resto.
Às vezes, um número natural não pode ser completamente dividido. Por exemplo, considere o problema:
Havia 16 brinquedos no armário. Havia cinco crianças no grupo. Cada criança levou o mesmo número de brinquedos. Quantos brinquedos cada criança tem?
Solução:
Divida o número 16 por 5 usando uma coluna e obtemos:
Sabemos que 16 não pode ser dividido por 5. O número menor mais próximo que é divisível por 5 é 15 com resto 1. Podemos escrever o número 15 como 5⋅3. Como resultado (16 – dividendo, 5 – divisor, 3 – quociente incompleto, 1 – resto). Pegou Fórmula divisão com resto o que pode ser feito verificando a solução.
a=
b⋅
c+
d
a – divisível,
b - divisor,
c – quociente incompleto,
d - restante.
Resposta: cada criança levará 3 brinquedos e sobrará um brinquedo.
Resto da divisão
O resto deve ser sempre menor que o divisor.
Se durante a divisão o resto for zero, isso significa que o dividendo é dividido completamente ou sem resto no divisor.
Se durante a divisão o resto for maior que o divisor, isso significa que o número encontrado não é o maior. Existe um número maior que dividirá o dividendo e o resto será menor que o divisor.
Dúvidas sobre o tema “Divisão com resto”:
O resto pode ser maior que o divisor?
Resposta: não.
O resto pode ser igual ao divisor?
Resposta: não.
Como encontrar o dividendo usando o quociente incompleto, divisor e resto?
Resposta: Substituímos os valores do quociente parcial, divisor e resto na fórmula e encontramos o dividendo. Fórmula:
a=b⋅c+d
Exemplo 1:
Realize a divisão com resto e verifique: a) 258:7 b) 1873:8
Solução:
a) Divida por coluna: 
258 – dividendo,
7 – divisor,
36 – quociente incompleto,
6 – restante. O resto é menor que o divisor 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
b) Divida por coluna: 
1873 – divisível,
8 – divisor,
234 – quociente incompleto,
1 – restante. O resto é menor que o divisor 1<8.
Vamos substituí-lo na fórmula e verificar se resolvemos o exemplo corretamente:
8⋅234+1=1872+1=1873
Exemplo #2:
Que restos são obtidos na divisão dos números naturais: a) 3 b)8?
Responder:
a) O resto é menor que o divisor, portanto menor que 3. No nosso caso, o resto pode ser 0, 1 ou 2.
b) O resto é menor que o divisor, portanto menor que 8. No nosso caso, o resto pode ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou 7.
Exemplo #3:
Qual é o maior resto que pode ser obtido ao dividir números naturais: a) 9 b) 15?
Responder:
a) O resto é menor que o divisor, portanto menor que 9. Mas precisamos indicar o maior resto. Ou seja, o número mais próximo do divisor. Este é o número 8.
b) O resto é menor que o divisor, portanto, menor que 15. Mas precisamos indicar o maior resto. Ou seja, o número mais próximo do divisor. Este número é 14.
Exemplo #4:
Encontre o dividendo: a) a:6=3(rest.4) b) c:24=4(rest.11)
Solução:
a) Resolva usando a fórmula:
a=b⋅c+d
(a – dividendo, b – divisor, c – quociente parcial, d – resto.)
a:6=3(resto.4)
(a – dividendo, 6 – divisor, 3 – quociente parcial, 4 – resto.) Vamos substituir os números na fórmula:
uma=6⋅3+4=22
Resposta: a=22
b) Resolva usando a fórmula:
a=b⋅c+d
(a – dividendo, b – divisor, c – quociente parcial, d – resto.)
s:24=4(descanso.11)
(c – dividendo, 24 – divisor, 4 – quociente parcial, 11 – resto.) Vamos substituir os números na fórmula:
с=24⋅4+11=107
Resposta: c=107
Tarefa:
Fio 4m. precisa ser cortado em pedaços de 13cm. Quantas dessas peças haverá?
Solução:
Primeiro você precisa converter metros em centímetros.
4m.=400cm.
Podemos dividir por uma coluna ou mentalmente obtemos:
400:13=30(10 restantes)
Vamos checar:
13⋅30+10=390+10=400
Resposta: Você receberá 30 peças e restarão 10 cm de fio.
O artigo examina o conceito de divisão de inteiros com resto. Vamos provar o teorema da divisibilidade de inteiros com resto e observar as conexões entre dividendos e divisores, quocientes incompletos e restos. Vejamos as regras ao dividir números inteiros com restos, examinando-as detalhadamente usando exemplos. Ao final da solução faremos uma verificação.
Compreensão geral da divisão de inteiros com restos
A divisão de inteiros com resto é considerada uma divisão generalizada com resto de números naturais. Isso é feito porque os números naturais são um componente dos inteiros.
A divisão com resto de um número arbitrário diz que o inteiro a é dividido por um número b diferente de zero. Se b = 0, então não divida com resto.
Assim como na divisão de números naturais com resto, os inteiros aeb são divididos, com b diferente de zero, por c e d. Neste caso, aeb são chamados de dividendo e divisor, e d é o resto da divisão, c é um número inteiro ou quociente incompleto.
Se assumirmos que o resto é um número inteiro não negativo, então seu valor não é maior que o módulo do número b. Vamos escrever assim: 0 ≤ d ≤ b. Esta cadeia de desigualdades é usada ao comparar 3 ou mais números.
Se c é um quociente incompleto, então d é o resto da divisão do inteiro a por b, que pode ser declarado resumidamente: a: b = c (resto d).
O resto ao dividir os números a por b pode ser zero, então dizem que a é divisível por b completamente, ou seja, sem resto. A divisão sem resto é considerada um caso especial de divisão.
Se dividirmos zero por algum número, o resultado será zero. O restante da divisão também será zero. Isso pode ser rastreado a partir da teoria da divisão de zero por um número inteiro.
Agora vamos ver o significado de dividir números inteiros com resto.
Sabe-se que inteiros positivos são números naturais, então ao dividir com resto obter-se-á o mesmo significado que ao dividir números naturais com resto.
Dividir um número inteiro negativo a por um número inteiro positivo b faz sentido. Vejamos um exemplo. Imagine uma situação em que temos uma dívida de itens no valor de a que precisa ser quitada por b pessoa. Para conseguir isso, todos precisam contribuir igualmente. Para determinar o valor da dívida de cada um, é preciso ficar atento ao valor dos particulares. O restante d indica que o número de itens após o pagamento das dívidas é conhecido.
Vejamos o exemplo das maçãs. Se 2 pessoas devem 7 maçãs. Se calcularmos que todos devem devolver 4 maçãs, após o cálculo completo sobrará 1 maçã. Vamos escrever isso como uma igualdade: (− 7) : 2 = − 4 (de t. 1) .
Dividir qualquer número a por um número inteiro não faz sentido, mas é possível como opção.
Teorema sobre a divisibilidade de inteiros com resto
Identificamos que a é o dividendo, então b é o divisor, c é o quociente parcial e d é o resto. Eles estão conectados um ao outro. Mostraremos essa conexão usando a igualdade a = b · c + d. A conexão entre eles é caracterizada pelo teorema da divisibilidade com resto.
Teorema
Qualquer número inteiro só pode ser representado através de um número inteiro e diferente de zero b desta forma: a = b · q + r, onde q e r são alguns inteiros. Aqui temos 0 ≤ r ≤ b.
Vamos provar a possibilidade da existência de a = b · q + r.
Prova
Se existem dois números a e b, e a é divisível por b sem resto, então segue da definição que existe um número q, e a igualdade a = b · q será verdadeira. Então a igualdade pode ser considerada verdadeira: a = b · q + r para r = 0.
Então é necessário tomar q tal que dado pela desigualdade b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .
Temos que o valor da expressão a − b · q é maior que zero e não maior que o valor do número b, segue-se que r = a − b · q. Descobrimos que o número a pode ser representado na forma a = b · q + r.
Agora precisamos considerar a representação de a = b · q + r para valores negativos de b.
O módulo do número acaba sendo positivo, então obtemos a = b · q 1 + r, onde o valor q 1 é algum número inteiro, r é um número inteiro que atende à condição 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .
Prova de exclusividade
Vamos supor que a = b q + r, q e r são inteiros com a condição 0 ≤ r verdadeiro< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q1 E R 1 são alguns números onde q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b .
Quando a desigualdade é subtraída dos lados esquerdo e direito, obtemos 0 = b · (q − q 1) + r − r 1, que é equivalente a r - r 1 = b · q 1 - q. Como o módulo é utilizado, obtemos a igualdade r - r 1 = b · q 1 - q.
A condição dada diz que 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q E q1- inteiro, e q ≠ q 1, então q 1 - q ≥ 1. A partir daqui temos que b · q 1 - q ≥ b. As desigualdades resultantes r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.
Segue-se que o número a não pode ser representado de nenhuma outra maneira, exceto escrevendo a = b · q + r.
Relação entre dividendo, divisor, quociente parcial e resto
Usando a igualdade a = b · c + d, você pode encontrar o dividendo desconhecido a quando o divisor b com o quociente incompleto c e o resto d for conhecido.
Exemplo 1
Determine o dividendo se, na divisão, obtivermos -21, o quociente parcial for 5 e o restante for 12.
Solução
É necessário calcular o dividendo a com um divisor conhecido b = − 21, quociente incompleto c = 5 e resto d = 12. Precisamos nos voltar para a igualdade a = b · c + d, daqui obtemos a = (− 21) · 5 + 12. Se seguirmos a ordem das ações, multiplicamos - 21 por 5, após o que obtemos (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93.
Responder: - 93 .
A conexão entre o divisor e o quociente parcial e o resto pode ser expressa usando as igualdades: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b e d = a − b · c . Com a ajuda deles, podemos calcular o divisor, o quociente parcial e o resto. Isso se resume a encontrar constantemente o resto ao dividir um número inteiro de números inteiros a por b com um dividendo, divisor e quociente parcial conhecidos. A fórmula d = a − b · c é aplicada. Vamos considerar a solução em detalhes.
Exemplo 2
Encontre o resto ao dividir o número inteiro - 19 pelo número inteiro 3 com um quociente incompleto conhecido igual a - 7.
Solução
Para calcular o resto da divisão, aplicamos uma fórmula da forma d = a − b · c. Por condição, todos os dados estão disponíveis: a = − 19, b = 3, c = − 7. A partir daqui obtemos d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (diferença − 19 − (− 21). Este exemplo é calculado usando a regra de subtração um número inteiro negativo.
Responder: 2 .
Todos os inteiros positivos são números naturais. Segue-se que a divisão é realizada de acordo com todas as regras de divisão com resto de números naturais. A velocidade de divisão com o resto dos números naturais é importante, pois nela se baseiam não apenas a divisão de números positivos, mas também as regras de divisão de inteiros arbitrários.
O método de divisão mais conveniente é por coluna, pois é mais fácil e rápido obter um incompleto ou simplesmente um quociente com resto. Vejamos a solução com mais detalhes.
Exemplo 3
Divida 14671 por 54.
Solução
Esta divisão deve ser feita em uma coluna:
Ou seja, o quociente parcial é igual a 271 e o resto é 37.
Responder: 14.671: 54 = 271. (descanso 37)
A regra para dividir com resto um número inteiro positivo por um número inteiro negativo, exemplos
Para realizar a divisão com resto de um número positivo por um inteiro negativo, é necessário formular uma regra.
Definição 1
O quociente incompleto da divisão do inteiro positivo a pelo inteiro negativo b produz um número que é oposto ao quociente incompleto da divisão dos módulos dos números a por b. Então o resto é igual ao resto quando a é dividido por b.
Portanto temos que o quociente incompleto da divisão de um inteiro positivo por um inteiro negativo é considerado um inteiro não positivo.
Obtemos o algoritmo:
- dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor, então obtemos um quociente incompleto e
- restante;
- Vamos anotar o número oposto ao que obtivemos.
Vejamos o exemplo do algoritmo para dividir um número inteiro positivo por um número inteiro negativo.
Exemplo 4
Divida com resto 17 por - 5.
Solução
Vamos aplicar o algoritmo para dividir com resto um número inteiro positivo por um número inteiro negativo. É necessário dividir 17 por -5 módulo. A partir daqui, obtemos que o quociente parcial é igual a 3 e o resto é igual a 2.
Obtemos o número necessário dividindo 17 por - 5 = - 3 com um resto igual a 2.
Responder: 17: (− 5) = − 3 (2 restantes).
Exemplo 5
Você precisa dividir 45 por -15.
Solução
É necessário dividir o módulo dos números. Divida o número 45 por 15, obtemos o quociente de 3 sem resto. Isso significa que o número 45 é divisível por 15 sem resto. A resposta é - 3, pois a divisão foi realizada módulo.
45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3
Responder: 45: (− 15) = − 3 .
A formulação da regra para divisão com resto é a seguinte.
Definição 2
Para obter um quociente incompleto c ao dividir um número inteiro negativo a por um b positivo, você precisa aplicar o oposto do número fornecido e subtrair 1 dele, então o resto d será calculado pela fórmula: d = a - b·c.
Com base na regra, podemos concluir que ao dividir obtemos um número inteiro não negativo. Para garantir a precisão da solução, use o algoritmo para dividir a por b com resto:
- encontre os módulos do dividendo e do divisor;
- módulo de divisão;
- anote o oposto do número fornecido e subtraia 1;
- use a fórmula para o resto d = a − b · c.
Vejamos um exemplo de solução onde esse algoritmo é usado.
Exemplo 6
Encontre o quociente parcial e o resto da divisão - 17 por 5.
Solução
Dividimos o módulo dos números dados. Descobrimos que ao dividir, o quociente é 3 e o resto é 2. Como obtivemos 3, o oposto é 3. Você precisa subtrair 1.
− 3 − 1 = − 4 .
O valor desejado é igual a -4.
Para calcular o resto, você precisa de a = − 17, b = 5, c = − 4, então d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3.
Isso significa que o quociente de divisão incompleto é o número - 4 com resto igual a 3.
Responder:(− 17): 5 = − 4 (3 restantes).
Exemplo 7
Divida o número inteiro negativo - 1404 pelo positivo 26.
Solução
É necessário dividir por coluna e módulo.
Conseguimos a divisão dos módulos de números sem resto. Isso significa que a divisão é realizada sem resto e o quociente desejado = - 54.
Responder: (− 1 404) : 26 = − 54 .
Regra de divisão com resto para números inteiros negativos, exemplos
É necessário formular uma regra para divisão com resto de inteiros negativos.
Definição 3
Para obter um quociente incompleto c da divisão de um inteiro negativo a por um inteiro negativo b, é necessário realizar cálculos de módulo, depois adicionar 1, então podemos realizar cálculos usando a fórmula d = a − b · c.
Segue-se que o quociente incompleto da divisão de inteiros negativos será um número positivo.
Vamos formular esta regra na forma de um algoritmo:
- encontre os módulos do dividendo e do divisor;
- divida o módulo do dividendo pelo módulo do divisor para obter um quociente incompleto com
- restante;
- adicionando 1 ao quociente incompleto;
- cálculo do restante com base na fórmula d = a − b · c.
Vejamos esse algoritmo usando um exemplo.
Exemplo 8
Encontre o quociente parcial e o resto ao dividir - 17 por - 5.
Solução
Para a correção da solução, aplicamos o algoritmo de divisão com resto. Primeiro, divida o módulo dos números. Disto obtemos que o quociente incompleto = 3 e o resto é 2. De acordo com a regra, você precisa somar o quociente incompleto e 1. Obtemos que 3 + 1 = 4. A partir daqui, obtemos que o quociente parcial da divisão dos números fornecidos é igual a 4.
Para calcular o restante usaremos a fórmula. Por condição temos que a = − 17, b = − 5, c = 4, então, usando a fórmula, obtemos d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . A resposta exigida, ou seja, o resto, é igual a 3, e o quociente parcial é igual a 4.
Responder:(− 17) : (− 5) = 4 (3 restantes).
Verificando o resultado da divisão de números inteiros com resto
Depois de dividir os números com resto, você deve realizar uma verificação. Esta verificação envolve 2 etapas. Primeiro, o resto d é verificado quanto à não negatividade, a condição 0 ≤ d é satisfeita< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.
Vejamos exemplos.
Exemplo 9
A divisão é feita – 521 por – 12. O quociente é 44, o resto é 7. Execute a verificação.
Solução
Como o resto é um número positivo, seu valor é menor que o módulo do divisor. O divisor é -12, o que significa que seu módulo é 12. Você pode passar para o próximo ponto de verificação.
Por condição, temos que a = − 521, b = − 12, c = 44, d = 7. A partir daqui calculamos b · c + d, onde b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521. Segue-se que a igualdade é verdadeira. Verificação aprovada.
Exemplo 10
Execute a verificação da divisão (− 17): 5 = − 3 (restante − 2). A igualdade é verdadeira?
Solução
A essência da primeira etapa é que é necessário verificar a divisão de inteiros com resto. A partir disso fica claro que a ação foi executada incorretamente, pois é dado um resto igual a -2. O resto não é um número negativo.
Temos que a segunda condição é atendida, mas não é suficiente para este caso.
Responder: Não.
Exemplo 11
O número -19 foi dividido por -3. O quociente parcial é 7 e o resto é 1. Verifique se este cálculo foi realizado corretamente.
Solução
Dado um resto igual a 1. Ele é positivo. O valor é menor que o módulo divisor, o que significa que a primeira etapa está sendo concluída. Vamos passar para a segunda etapa.
Vamos calcular o valor da expressão b · c + d. Por condição, temos que b = − 3, c = 7, d = 1, ou seja, substituindo os valores numéricos, obtemos b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20. Segue-se que a = b · c + d a igualdade não é válida, uma vez que a condição dá a = - 19.
Conclui-se que a divisão foi feita com erro.
Responder: Não.
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Neste artigo veremos divisão de inteiros com resto. Vamos começar com o princípio geral de divisão de inteiros com resto, formular e provar o teorema da divisibilidade de inteiros com resto e traçar as conexões entre dividendo, divisor, quociente incompleto e resto. A seguir, descreveremos as regras pelas quais os números inteiros são divididos com resto e consideraremos a aplicação dessas regras na resolução de exemplos. Depois disso, aprenderemos como verificar o resultado da divisão de inteiros com resto.
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Compreensão geral da divisão de números inteiros com resto
Consideraremos a divisão de inteiros com resto como uma generalização da divisão com resto de números naturais. Isso se deve ao fato de que os números naturais são componentes dos inteiros.
Vamos começar com os termos e designações usados na descrição.
Por analogia com a divisão de números naturais com resto, assumiremos que o resultado da divisão com resto de dois inteiros aeb (b não é igual a zero) são dois inteiros c e d. Os números a e b são chamados divisível E divisor consequentemente, o número d – o restante da divisão de a por b, e o inteiro c é chamado privado incompleto(ou simplesmente privado, se o resto for zero).
Concordemos em assumir que o resto é um número inteiro não negativo e seu valor não excede b, ou seja, (encontramos cadeias semelhantes de desigualdades quando falamos sobre comparar três ou mais números inteiros).
Se o número c for um quociente incompleto e o número d for o resto da divisão do inteiro a pelo inteiro b, então escreveremos brevemente esse fato como uma igualdade da forma a:b=c (d restante).
Observe que ao dividir um inteiro a por um inteiro b, o resto pode ser zero. Neste caso dizemos que a é divisível por b sem deixar vestígios(ou completamente). Assim, a divisão de inteiros sem resto é um caso especial de divisão de inteiros com resto.
Vale dizer também que ao dividir zero por algum inteiro, estamos sempre tratando de uma divisão sem resto, pois neste caso o quociente será igual a zero (veja a seção teórica da divisão de zero por um inteiro), e o resto também será igual a zero.
Decidimos a terminologia e a notação, agora vamos entender o significado de dividir números inteiros com resto.
Dividir um número inteiro negativo a por um número inteiro positivo b também pode ter significado. Para fazer isso, considere um número inteiro negativo como dívida. Vamos imaginar esta situação. A dívida que constitui os itens deve ser paga por b pessoas, fazendo uma contribuição igual. O valor absoluto do quociente incompleto c, neste caso, determinará o valor da dívida de cada uma dessas pessoas, e o restante d mostrará quantos itens restarão após o pagamento da dívida. Vamos dar um exemplo. Digamos que 2 pessoas devem 7 maçãs. Se assumirmos que cada um deles deve 4 maçãs, depois de pagar a dívida eles terão 1 maçã sobrando. Esta situação corresponde à igualdade (−7):2=−4 (restante 1).
Não atribuiremos nenhum significado à divisão com resto de um número inteiro arbitrário a por um número inteiro negativo, mas reservaremos seu direito de existir.
Teorema sobre a divisibilidade de inteiros com resto
Quando falamos em dividir números naturais com resto, descobrimos que o dividendo a, o divisor b, o quociente parcial c e o resto d estão relacionados pela igualdade a=b·c+d. Os inteiros a, b, c e d têm a mesma relação. Esta conexão é confirmada da seguinte forma teorema da divisibilidade com resto.
Teorema.
Qualquer inteiro a pode ser representado exclusivamente por um número inteiro e diferente de zero b na forma a=b·q+r, onde q e r são alguns inteiros, e .
Prova.
Primeiro, provamos a possibilidade de representar a=b·q+r.
Se os inteiros aeb são tais que a é divisível por b, então por definição existe um inteiro q tal que a=b·q. Neste caso, a igualdade a=b·q+r em r=0 é válida.
Agora assumiremos que b é um número inteiro positivo. Escolhamos um número inteiro q tal que o produto b·q não exceda o número a, e o produto b·(q+1) já seja maior que a. Ou seja, tomamos q tal que as desigualdades b q Resta provar a possibilidade de representar a=b·q+r para b negativo. Como o módulo do número b neste caso é um número positivo, então há uma representação onde q 1 é algum número inteiro e r é um número inteiro que satisfaz as condições. Então, tomando q=−q 1, obtemos a representação que precisamos a=b·q+r para b negativo. Vamos passar para a prova da unicidade. Suponha que além da representação a=b·q+r, q e r são inteiros e , existe outra representação a=b·q 1 +r 1, onde q 1 e r 1 são alguns inteiros, e q 1 ≠ q e . Depois de subtrair os lados esquerdo e direito da segunda igualdade dos lados esquerdo e direito da primeira igualdade, respectivamente, obtemos 0=b·(q−q 1)+r−r 1, que é equivalente à igualdade r− r 1 =b·(q 1 −q) . Então uma igualdade da forma A partir das condições podemos concluir isso. Como q e q 1 são inteiros e q≠q 1, então concluímos que A igualdade a=b·c+d permite encontrar o dividendo desconhecido a se o divisor b, o quociente parcial c e o resto d forem conhecidos. Vejamos um exemplo. Exemplo. Qual é o valor do dividendo se, quando dividido pelo número inteiro −21, o resultado for um quociente incompleto de 5 e um resto de 12? Solução. Precisamos calcular o dividendo a quando o divisor b=−21, o quociente parcial c=5 e o resto d=12 são conhecidos. Passando para a igualdade a=b·c+d, obtemos a=(−21)·5+12. Observando, primeiro multiplicamos os inteiros −21 e 5 conforme a regra de multiplicação de inteiros com sinais diferentes, após o que realizamos a adição de inteiros com sinais diferentes: (−21)·5+12=−105+12=−93 . Responder: −93
.
As conexões entre dividendo, divisor, quociente parcial e resto também são expressas por igualdades da forma b=(a−d):c, c=(a−d):b e d=a−b·c. Essas igualdades permitem calcular o divisor, o quociente parcial e o resto, respectivamente. Muitas vezes teremos que encontrar o resto ao dividir um inteiro a por um inteiro b quando o dividendo, o divisor e o quociente parcial são conhecidos, usando a fórmula d=a−b·c. Para evitar mais dúvidas, vejamos um exemplo de cálculo do restante. Exemplo. Encontre o resto ao dividir o inteiro −19 pelo inteiro 3 se você souber que o quociente parcial é igual a −7. Solução. Para calcular o resto da divisão, usamos uma fórmula da forma d=a−b·c. Da condição temos todos os dados necessários a=−19, b=3, c=−7. Obtemos d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (calculamos a diferença −19−(−21) usando a regra de subtraindo um número inteiro negativo). Responder: Como observamos mais de uma vez, os inteiros positivos são números naturais. Portanto, a divisão com resto de números inteiros positivos é realizada de acordo com todas as regras de divisão com resto de números naturais. É muito importante poder realizar facilmente a divisão com resto de números naturais, pois é isso que está na base da divisão não apenas de inteiros positivos, mas também a base de todas as regras de divisão com resto de inteiros arbitrários. Do nosso ponto de vista, é mais conveniente realizar a divisão em colunas, este método permite obter um quociente incompleto (ou simplesmente um quociente) e um resto. Vejamos um exemplo de divisão com resto de inteiros positivos. Exemplo. Divida com resto 14.671 por 54. Solução. Vamos dividir esses números inteiros positivos por uma coluna: O quociente parcial acabou sendo igual a 271 e o restante é igual a 37. Responder: 14 671:54=271 (descanso. 37) . Vamos formular uma regra que nos permita realizar a divisão com resto de um inteiro positivo por um inteiro negativo. O quociente parcial da divisão de um número inteiro positivo a por um número inteiro negativo b é o oposto do quociente parcial da divisão de a pelo módulo de b, e o restante da divisão de a por b é igual ao restante da divisão por. Desta regra segue-se que o quociente parcial da divisão de um número inteiro positivo por um número inteiro negativo é um número inteiro não positivo. Vamos transformar a regra declarada em um algoritmo para dividir com resto um número inteiro positivo por um número inteiro negativo: Vamos dar um exemplo de uso do algoritmo para dividir um número inteiro positivo por um número inteiro negativo. Exemplo. Divida com resto do inteiro positivo 17 pelo inteiro negativo −5. Solução. Vamos usar o algoritmo para dividir com resto um número inteiro positivo por um número inteiro negativo. Ao dividir O número oposto de 3 é −3. Assim, o quociente parcial necessário para dividir 17 por −5 é −3 e o resto é 2. Responder: 17 :(−5)=−3 (2 restantes). Exemplo. Dividir 45 por -15. Solução. Os módulos do dividendo e do divisor são 45 e 15, respectivamente. O número 45 é divisível por 15 sem resto e o quociente é 3. Portanto, o inteiro positivo 45 é dividido pelo inteiro negativo −15 sem resto, e o quociente é igual ao número oposto a 3, ou seja, −3. Na verdade, de acordo com a regra de divisão de inteiros com sinais diferentes, temos. Responder: 45:(−15)=−3
.
Vamos dar a formulação da regra para dividir com resto um inteiro negativo por um inteiro positivo. Para obter um quociente incompleto c da divisão de um inteiro negativo a por um inteiro positivo b, você precisa pegar o número oposto ao quociente incompleto da divisão dos módulos dos números originais e subtrair um dele, após o qual o resto d é calculado usando a fórmula d=a−b·c. Desta regra de divisão com resto segue-se que o quociente parcial da divisão de um número inteiro negativo por um número inteiro positivo é um número inteiro negativo. Da regra declarada segue um algoritmo para dividir com resto um inteiro negativo a por um inteiro positivo b: Vamos analisar a solução do exemplo, em que utilizamos o algoritmo de divisão escrita com resto. Exemplo. Encontre o quociente parcial e o resto ao dividir o número inteiro negativo −17 pelo número inteiro positivo 5. Solução. O módulo do dividendo −17 é igual a 17, e o módulo do divisor 5 é igual a 5. Ao dividir 17 por 5, obtemos o quociente parcial 3 e o resto 2. O oposto de 3 é −3. Subtraia um de −3: −3−1=−4. Portanto, o quociente parcial necessário é igual a −4. Resta apenas calcular o restante. Em nosso exemplo a=−17 , b=5 , c=−4 , então d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 . Assim, o quociente parcial da divisão do inteiro negativo −17 pelo inteiro positivo 5 é −4, e o resto é 3. Responder: (−17):5=−4 (3 restantes) . Exemplo. Divida o número inteiro negativo −1.404 pelo número inteiro positivo 26. Solução. O módulo do dividendo é 1404, o módulo do divisor é 26. Divida 1.404 por 26 usando uma coluna: Como o módulo do dividendo é dividido pelo módulo do divisor sem resto, os inteiros originais são divididos sem resto, e o quociente desejado é igual ao número oposto a 54, ou seja, −54. Responder: (−1 404):26=−54
.
Vamos formular a regra de divisão com resto de inteiros negativos. Para obter um quociente incompleto c da divisão de um número inteiro negativo a por um número inteiro negativo b, você precisa calcular o quociente incompleto da divisão dos módulos dos números originais e adicionar um a ele, após o qual o resto d é calculado usando a fórmula d =a−b·c. Desta regra segue-se que o quociente parcial da divisão de números inteiros negativos é um número inteiro positivo. Vamos reescrever a regra declarada na forma de um algoritmo para divisão de inteiros negativos: Consideremos o uso do algoritmo para divisão de números inteiros negativos ao resolver um exemplo. Exemplo. Encontre o quociente parcial e o resto ao dividir um número inteiro negativo −17 por um número inteiro negativo −5. Solução. Vamos usar o algoritmo de divisão apropriado com resto. O módulo do dividendo é 17, o módulo do divisor é 5. Divisão 17 sobre 5 dá o quociente parcial 3 e o resto 2. Ao quociente incompleto 3 adicionamos um: 3+1=4. Portanto, o quociente parcial necessário para dividir −17 por −5 é igual a 4. Resta apenas calcular o restante. Neste exemplo a=−17 , b=−5 , c=4 , então d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3 . Portanto, o quociente parcial da divisão de um número inteiro negativo −17 por um número inteiro negativo −5 é 4 e o resto é 3. Responder: (−17):(−5)=4 (3 restantes). Depois de dividir inteiros com resto, é útil verificar o resultado. A verificação é realizada em duas etapas. Na primeira etapa, verifica-se se o resto d é um número não negativo e também se a condição é satisfeita. Se todas as condições da primeira etapa de verificação forem atendidas, você poderá prosseguir para a segunda etapa de verificação, caso contrário, pode-se argumentar que foi cometido um erro em algum lugar ao dividir com o resto. Na segunda etapa, verifica-se a validade da igualdade a=b·c+d. Se esta igualdade for verdadeira, então a divisão com resto foi realizada corretamente, caso contrário foi cometido um erro em algum lugar. Vejamos soluções para exemplos em que o resultado da divisão de inteiros com resto é verificado. Exemplo. Ao dividir o número −521 por −12, o quociente parcial foi 44 e o restante foi 7, confira o resultado. Solução. −2 para b=−3, c=7, d=1. Nós temos b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Assim, a igualdade a=b·c+d está incorreta (no nosso exemplo a=−19). Portanto, a divisão com resto foi realizada incorretamente.
, e devido às propriedades do módulo dos números, a igualdade 
.
. Das desigualdades obtidas e segue-se que uma igualdade da forma impossível sob nossa suposição. Portanto, não há outra representação do número a além de a=b·q+r.Relações entre dividendo, divisor, quociente parcial e resto
Divisão com resto de inteiros positivos, exemplos
A regra para dividir com resto um número inteiro positivo por um número inteiro negativo, exemplos
Divisão com resto de um inteiro negativo por um inteiro positivo, exemplos
Regra de divisão com resto para números inteiros negativos, exemplos
Verificando o resultado da divisão de números inteiros com resto
