Dada a distribuição de uma variável aleatória discreta, encontre. Lei da distribuição de variáveis ​​​​aleatórias

X; significado F(5); a probabilidade de que a variável aleatória X pegará valores do segmento . Construa um polígono de distribuição.

1. A função de distribuição F(x) de uma variável aleatória discreta é conhecida X:

Defina a lei de distribuição de uma variável aleatória X em forma de tabela.

1. A lei de distribuição de uma variável aleatória é dada X:

1. A probabilidade de a loja possuir certificados de qualidade para toda a gama de produtos é de 0,7. A comissão verificou a disponibilidade de certificados em quatro lojas da região. Elabore uma lei de distribuição, calcule a expectativa matemática e a dispersão do número de lojas nas quais não foram encontrados certificados de qualidade durante a inspeção.

1. Para determinar o tempo médio de queima de lâmpadas elétricas em um lote de 350 caixas idênticas, foi retirada para teste uma lâmpada elétrica de cada caixa. Estime a partir de baixo a probabilidade de que a duração média de queima das lâmpadas elétricas selecionadas difira da duração média de queima de todo o lote em valor absoluto em menos de 7 horas, se for conhecido que o desvio padrão da duração de queima das lâmpadas elétricas em cada caixa tem menos de 9 horas.

1. Em uma central telefônica, ocorre uma conexão incorreta com probabilidade de 0,002. Encontre a probabilidade de que entre 500 conexões ocorra o seguinte:

Encontre a função de distribuição de uma variável aleatória X. Construa gráficos de funções e . Calcule a expectativa matemática, variância, moda e mediana de uma variável aleatória X.

1. Uma máquina automática fabrica rolos. Acredita-se que seu diâmetro seja uma variável aleatória normalmente distribuída com valor médio de 10 mm. Qual é o desvio padrão se, com probabilidade de 0,99, o diâmetro estiver na faixa de 9,7 mm a 10,3 mm.

Amostra A: 6 9 7 6 4 4

Amostra B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Opção 17.

1. Entre as 35 peças, 7 não são padronizadas. Encontre a probabilidade de que duas partes escolhidas aleatoriamente sejam padrão.

1. Três dados são lançados. Encontre a probabilidade de que a soma dos pontos nos lados descartados seja um múltiplo de 9.

1. A palavra “AVENTURA” é composta por cartões, cada um com uma letra escrita. As cartas são embaralhadas e retiradas uma de cada vez, sem devolução. Encontre a probabilidade de que as letras retiradas na ordem de aparecimento formem a palavra: a) AVENTURA; b) PRISIONEIRO.

1. Uma urna contém 6 bolas pretas e 5 bolas brancas. 5 bolas são sorteadas aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que entre eles existam:
1. 2 bolas brancas;
2. menos de 2 bolas brancas;
3. pelo menos uma bola preta.

1. A em um teste é igual a 0,4. Encontre as probabilidades dos seguintes eventos:
1. evento A aparece 3 vezes em uma série de 7 ensaios independentes;
2. evento A aparecerá nada menos que 220 e não mais que 235 vezes em uma série de 400 tentativas.

1. A fábrica enviou 5 mil produtos de boa qualidade para a base. A probabilidade de danos a cada produto em trânsito é de 0,002. Encontre a probabilidade de que não mais do que 3 produtos sejam danificados durante a viagem.

1. A primeira urna contém 4 bolas brancas e 9 pretas, e a segunda urna contém 7 bolas brancas e 3 pretas. 3 bolas são sorteadas aleatoriamente da primeira urna e 4 da segunda urna. Encontre a probabilidade de que todas as bolas sorteadas sejam da mesma cor.

1. A lei de distribuição de uma variável aleatória é dada X:

Calcule sua expectativa matemática e variância.

1. Existem 10 lápis na caixa. 4 lápis são sorteados aleatoriamente. Valor aleatório X– o número de lápis azuis entre os selecionados. Encontre a lei de sua distribuição, os momentos inicial e central de 2ª e 3ª ordens.

1. O departamento de controle técnico verifica 475 produtos quanto a defeitos. A probabilidade de o produto estar com defeito é 0,05. Encontre, com probabilidade 0,95, os limites dentro dos quais estará contido o número de produtos defeituosos entre os testados.

1. Em uma central telefônica, ocorre uma conexão incorreta com probabilidade de 0,003. Encontre a probabilidade de que entre 1000 conexões ocorra o seguinte:
1. pelo menos 4 conexões incorretas;
2. mais de duas conexões incorretas.

1. A variável aleatória é especificada pela função de densidade de distribuição:

Encontre a função de distribuição de uma variável aleatória X. Construa gráficos de funções e . Calcule a expectativa matemática, variância, moda e mediana da variável aleatória X.

1. A variável aleatória é especificada pela função de distribuição:

1. Por amostra A resolver os seguintes problemas:
1. crie uma série de variações;

· média amostral;

· variância amostral;

Moda e mediana;

Amostra A: 0 0 2 2 1 4

1. calcular as características numéricas da série de variação:

· média amostral;

· variância amostral;

desvio padrão amostral;

· moda e mediana;

Amostra B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Opção 18.

1. Entre 10 bilhetes de loteria, 2 são vencedores. Encontre a probabilidade de que de cinco bilhetes escolhidos aleatoriamente, um seja o vencedor.

1. Três dados são lançados. Encontre a probabilidade de que a soma dos pontos lançados seja maior que 15.

1. A palavra “PERÍMETRO” é composta por cartões, cada um com uma letra escrita. As cartas são embaralhadas e retiradas uma de cada vez, sem devolução. Encontre a probabilidade de as letras retiradas formarem a palavra: a) PERÍMETRO; b) MEDIDOR.

1. Uma urna contém 5 bolas pretas e 7 bolas brancas. 5 bolas são sorteadas aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que entre eles existam:
1. 4 bolas brancas;
2. menos de 2 bolas brancas;
3. pelo menos uma bola preta.

1. Probabilidade de um evento ocorrer A em uma tentativa é igual a 0,55. Encontre as probabilidades dos seguintes eventos:
1. evento A aparecerá 3 vezes em uma série de 5 desafios;
2. evento A aparecerá não menos que 130 e não mais que 200 vezes em uma série de 300 tentativas.

1. A probabilidade de uma lata de enlatados quebrar é 0,0005. Encontre a probabilidade de que entre 2.000 latas, duas tenham vazamento.

1. A primeira urna contém 4 bolas brancas e 8 pretas, e a segunda urna contém 7 bolas brancas e 4 pretas. Duas bolas são retiradas aleatoriamente da primeira urna e três bolas são retiradas aleatoriamente da segunda urna. Encontre a probabilidade de que todas as bolas sorteadas sejam da mesma cor.

1. Das peças que chegam para montagem, 0,1% apresentam defeito na primeira máquina, 0,2% na segunda, 0,25% na terceira e 0,5% na quarta. Os índices de produtividade da máquina são respectivamente 4:3:2:1. A parte tirada aleatoriamente acabou sendo padrão. Encontre a probabilidade de a peça ter sido feita na primeira máquina.

1. A lei de distribuição de uma variável aleatória é dada X:

Calcule sua expectativa matemática e variância.

1. Um eletricista possui três lâmpadas, cada uma delas com defeito com probabilidade de 0,1. As lâmpadas são aparafusadas no soquete e a corrente é ligada. Quando a corrente é ligada, a lâmpada defeituosa queima imediatamente e é substituída por outra. Encontre a lei de distribuição, expectativa matemática e dispersão do número de lâmpadas testadas.

1. A probabilidade de acertar um alvo é de 0,3 para cada um dos 900 tiros independentes. Usando a desigualdade de Chebyshev, estime a probabilidade de o alvo ser atingido pelo menos 240 vezes e no máximo 300 vezes.

1. Em uma central telefônica, ocorre uma conexão incorreta com probabilidade de 0,002. Encontre a probabilidade de que entre 800 conexões ocorra o seguinte:
1. pelo menos três conexões incorretas;
2. mais de quatro conexões incorretas.

1. A variável aleatória é especificada pela função de densidade de distribuição:

Encontre a função de distribuição da variável aleatória X. Desenhe gráficos das funções e . Calcule a expectativa matemática, variância, moda e mediana de uma variável aleatória X.

1. A variável aleatória é especificada pela função de distribuição:

1. Por amostra A resolver os seguintes problemas:
1. crie uma série de variações;
2. calcular frequências relativas e acumuladas;
3. compilar uma função de distribuição empírica e plotá-la;
4. calcular as características numéricas da série de variação:

· média amostral;

· variância amostral;

desvio padrão amostral;

· moda e mediana;

Amostra A: 4 7 6 3 3 4

1. Usando a amostra B, resolva os seguintes problemas:
1. crie uma série de variações agrupadas;
2. construir um histograma e um polígono de frequência;
3. calcular as características numéricas da série de variação:

· média amostral;

· variância amostral;

desvio padrão amostral;

· moda e mediana;

Amostra B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Opção 19.

1. Há 16 mulheres e 5 homens trabalhando no local. 3 pessoas foram selecionadas aleatoriamente usando seus números pessoais. Encontre a probabilidade de que todas as pessoas selecionadas sejam homens.

2. Quatro moedas são lançadas. Encontre a probabilidade de que apenas duas moedas tenham um “brasão”.

3. A palavra “PSICOLOGIA” é composta por cartões, cada um com uma letra escrita. As cartas são embaralhadas e retiradas uma de cada vez, sem devolução. Encontre a probabilidade de as letras retiradas formarem uma palavra: a) PSICOLOGIA; b) PESSOAL.

4. A urna contém 6 bolas pretas e 7 brancas. 5 bolas são sorteadas aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que entre eles existam:

a. 3 bolas brancas;

b. menos de 3 bolas brancas;

c. pelo menos uma bola branca.

5. Probabilidade de ocorrência de um evento A em uma tentativa é igual a 0,5. Encontre as probabilidades dos seguintes eventos:

a. evento A aparece 3 vezes em uma série de 5 ensaios independentes;

b. evento A aparecerá pelo menos 30 e não mais que 40 vezes em uma série de 50 tentativas.

6. São 100 máquinas de mesma potência, operando independentemente umas das outras no mesmo modo, em que seu acionamento fica ligado por 0,8 horas de trabalho. Qual é a probabilidade de que, em qualquer momento, entre 70 e 86 máquinas sejam ligadas?

7. A primeira urna contém 4 bolas brancas e 7 pretas, e a segunda urna contém 8 bolas brancas e 3 pretas. 4 bolas são sorteadas aleatoriamente da primeira urna e 1 bola da segunda. Encontre a probabilidade de que entre as bolas sorteadas existam apenas 4 bolas pretas.

8. O showroom de vendas de automóveis recebe diariamente carros de três marcas em volumes: “Moskvich” – 40%; "OK" - 20%; "Volga" - 40% de todos os carros importados. Entre os carros Moskvich, 0,5% possuem dispositivo antifurto, Oka – 0,01%, Volga – 0,1%. Encontre a probabilidade de o carro levado para inspeção possuir um dispositivo antifurto.

9. Os números e são escolhidos aleatoriamente no segmento. Encontre a probabilidade de que esses números satisfaçam as desigualdades.

10. A lei da distribuição de uma variável aleatória é dada X:

Encontre a função de distribuição de uma variável aleatória X; significado F(2); a probabilidade de que a variável aleatória X pegará valores do intervalo . Construa um polígono de distribuição.

Como é sabido, variável aleatória é chamada de quantidade variável que pode assumir determinados valores dependendo do caso. Variáveis ​​​​aleatórias são denotadas por letras maiúsculas do alfabeto latino (X, Y, Z) e seus valores são denotados por letras minúsculas correspondentes (x, y, z). Variáveis ​​aleatórias são divididas em descontínuas (discretas) e contínuas.

Variável aleatória discreta é uma variável aleatória que assume apenas um conjunto finito ou infinito (contável) de valores com certas probabilidades diferentes de zero.

Lei de distribuição de uma variável aleatória discreta é uma função que conecta os valores de uma variável aleatória com suas probabilidades correspondentes. A lei de distribuição pode ser especificada de uma das seguintes maneiras.

1 . A lei de distribuição pode ser dada pela tabela:

onde λ>0, k = 0, 1, 2,….

V) usando função de distribuição F(x) , que determina para cada valor x a probabilidade de a variável aleatória X assumir um valor menor que x, ou seja, F(x) = P(X< x).

Propriedades da função F(x)

3 . A lei de distribuição pode ser especificada graficamente – polígono de distribuição (polígono) (ver problema 3).

Observe que para resolver alguns problemas não é necessário conhecer a lei de distribuição. Em alguns casos, basta conhecer um ou vários números que refletem as características mais importantes da lei de distribuição. Pode ser um número que tem o significado do “valor médio” de uma variável aleatória ou um número que mostra o tamanho médio do desvio de uma variável aleatória em relação ao seu valor médio. Números desse tipo são chamados de características numéricas de uma variável aleatória.

Características numéricas básicas de uma variável aleatória discreta :

• Expectativa matemática (valor médio) de uma variável aleatória discreta M(X)=Σ x i p i.
  Para distribuição binomial M(X)=np, para distribuição de Poisson M(X)=λ
• Dispersão variável aleatória discreta D(X)=M2 ou D(X) = M(X 2)− 2. A diferença X – M (X) é chamada de desvio de uma variável aleatória de sua expectativa matemática.
  Para distribuição binomial D(X)=npq, para distribuição de Poisson D(X)=λ
• Desvio padrão (desvio padrão) σ(X)=√D(X).

Exemplos de resolução de problemas sobre o tema “A lei da distribuição de uma variável aleatória discreta”

Tarefa 1.

Foram emitidos 1.000 bilhetes de loteria: 5 deles ganharão 500 rublos, 10 ganharão 100 rublos, 20 ganharão 50 rublos, 50 ganharão 10 rublos. Determine a lei da distribuição de probabilidade da variável aleatória X - ganhos por bilhete.

Solução. De acordo com as condições do problema, são possíveis os seguintes valores da variável aleatória X: 0, 10, 50, 100 e 500.

O número de bilhetes sem ganhar é 1000 – (5+10+20+50) = 915, então P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Da mesma forma, encontramos todas as outras probabilidades: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X =500) = 5/1000=0,005. Apresentamos a lei resultante em forma de tabela:

Vamos encontrar a expectativa matemática do valor X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Tarefa 3.

O dispositivo consiste em três elementos que operam de forma independente. A probabilidade de falha de cada elemento em um experimento é 0,1. Elabore uma lei de distribuição para o número de elementos com falha em um experimento, construa um polígono de distribuição. Encontre a função de distribuição F(x) e faça um gráfico dela. Encontre a expectativa matemática, a variância e o desvio padrão de uma variável aleatória discreta.

Solução. 1. A variável aleatória discreta X = (o número de elementos com falha em um experimento) tem os seguintes valores possíveis: x 1 = 0 (nenhum dos elementos do dispositivo falhou), x 2 = 1 (um elemento falhou), x 3 = 2 ( dois elementos falharam) e x 4 =3 (três elementos falharam).

As falhas dos elementos são independentes umas das outras, as probabilidades de falha de cada elemento são iguais, portanto é aplicável Fórmula de Bernoulli . Considerando que, de acordo com a condição n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, determinamos as probabilidades dos valores:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Verifique: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Assim, a lei de distribuição binomial desejada de X tem a forma:

Plotamos os valores possíveis de x i ao longo do eixo das abcissas e as probabilidades correspondentes pi ao longo do eixo das ordenadas. Vamos construir os pontos M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Ao conectar esses pontos com segmentos de reta, obtemos o polígono de distribuição desejado.

3. Vamos encontrar a função de distribuição F(x) = Р(Х

Gráfico da função F(x)

4. Para distribuição binomial X:
- expectativa matemática M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- variância D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- desvio padrão σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

LEI DE DISTRIBUIÇÃO E CARACTERÍSTICAS

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Variáveis ​​aleatórias, sua classificação e métodos de descrição.

Uma quantidade aleatória é uma quantidade que, como resultado de um experimento, pode assumir um ou outro valor, mas qual não é conhecido de antemão. Para uma variável aleatória, portanto, você só pode especificar valores, um dos quais ela definitivamente assumirá como resultado do experimento. A seguir chamaremos esses valores de valores possíveis da variável aleatória. Como uma variável aleatória caracteriza quantitativamente o resultado aleatório de um experimento, ela pode ser considerada como uma característica quantitativa de um evento aleatório.

Variáveis ​​​​aleatórias são geralmente denotadas por letras maiúsculas do alfabeto latino, por exemplo, X..Y..Z, e seus valores possíveis por letras minúsculas correspondentes.

Existem três tipos de variáveis ​​aleatórias:

Discreto; Contínuo; Misturado.

Discretoé uma variável aleatória cujo número de valores possíveis forma um conjunto contável. Por sua vez, um conjunto cujos elementos podem ser numerados é denominado contável. A palavra “discreto” vem do latim discretus, que significa “descontínuo, constituído por partes separadas”.

Exemplo 1. Uma variável aleatória discreta é o número de peças defeituosas X em um lote de nprodutos. Na verdade, os valores possíveis desta variável aleatória são uma série de inteiros de 0 a n.

Exemplo 2. Uma variável aleatória discreta é o número de tiros antes do primeiro acerto no alvo. Aqui, como no Exemplo 1, os valores possíveis podem ser numerados, embora no caso limite o valor possível seja um número infinitamente grande.

Contínuoé uma variável aleatória cujos valores possíveis preenchem continuamente um determinado intervalo do eixo numérico, às vezes denominado intervalo de existência desta variável aleatória. Assim, em qualquer intervalo finito de existência, o número de valores possíveis de uma variável aleatória contínua é infinitamente grande.

Exemplo 3. Uma variável aleatória contínua é o consumo mensal de eletricidade de uma empresa.

Exemplo 4. Uma variável aleatória contínua é o erro na medição da altura usando um altímetro. Que se saiba pelo princípio de funcionamento do altímetro que o erro está na faixa de 0 a 2 m, portanto o intervalo de existência desta variável aleatória é o intervalo de 0 a 2 m.

Lei da distribuição de variáveis ​​aleatórias.

Uma variável aleatória é considerada completamente especificada se seus valores possíveis forem indicados no eixo numérico e a lei de distribuição for estabelecida.

Lei da distribuição de uma variável aleatória é uma relação que estabelece uma ligação entre os valores possíveis de uma variável aleatória e as probabilidades correspondentes.

Diz-se que uma variável aleatória está distribuída de acordo com uma determinada lei ou sujeita a uma determinada lei de distribuição. Uma série de probabilidades, função de distribuição, densidade de probabilidade e função característica são usadas como leis de distribuição.

A lei de distribuição fornece uma descrição completa e provável de uma variável aleatória. De acordo com a lei de distribuição, pode-se julgar antes do experimento quais valores possíveis de uma variável aleatória aparecerão com mais frequência e quais com menos frequência.

Para uma variável aleatória discreta, a lei de distribuição pode ser especificada na forma de uma tabela, analiticamente (na forma de uma fórmula) e graficamente.

A forma mais simples de especificar a lei de distribuição de uma variável aleatória discreta é uma tabela (matriz), que lista em ordem crescente todos os valores possíveis da variável aleatória e suas probabilidades correspondentes, ou seja,

Tal tabela é chamada de série de distribuição de uma variável aleatória discreta. 1

Eventos X 1, X 2,..., X n, consistindo no fato de que como resultado do teste, a variável aleatória X assumirá os valores x 1, x 2,... x n, respectivamente, são inconsistentes e os únicos possíveis (já que a tabela lista todos os valores possíveis de uma variável aleatória), ou seja, formar um grupo completo. Portanto, a soma de suas probabilidades é igual a 1. Assim, para qualquer variável aleatória discreta

(Esta unidade está de alguma forma distribuída entre os valores da variável aleatória, daí o termo “distribuição”).

A série de distribuição pode ser representada graficamente se os valores da variável aleatória forem plotados ao longo do eixo das abcissas e suas probabilidades correspondentes forem plotadas ao longo do eixo das ordenadas. A conexão dos pontos obtidos forma uma linha quebrada chamada polígono ou polígono da distribuição de probabilidade (Fig. 1).

Exemplo O sorteio inclui: um carro no valor de 5.000 den. unidades, 4 TVs custando 250 den. unidades, 5 gravadores de vídeo no valor de 200 den. unidades Um total de 1000 ingressos são vendidos durante 7 dias. unidades Elabore uma lei de distribuição dos ganhos líquidos recebidos por um participante da loteria que comprou um bilhete.

Solução. Os valores possíveis da variável aleatória X - os ganhos líquidos por bilhete - são iguais a 0-7 = -7 dinheiro. unidades (se o bilhete não ganhou), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. unidades (se o bilhete contiver o prêmio de videocassete, TV ou carro, respectivamente). Considerando que em 1000 bilhetes o número de não vencedores é 990, e os ganhos indicados são 5, 4 e 1, respectivamente, e utilizando a definição clássica de probabilidade, obtemos.

Uma série de distribuição de uma variável aleatória discreta é dada. Encontre a probabilidade que falta e trace a função de distribuição. Calcule a expectativa matemática e a variância dessa quantidade.

A variável aleatória X assume apenas quatro valores: -4, -3, 1 e 2. Ela assume cada um desses valores com uma certa probabilidade. Como a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1, a probabilidade faltante é igual a:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Vamos compor a função de distribuição da variável aleatória X. Sabe-se que a função de distribuição , então:

Por isso,

Vamos traçar a função F(x) .

A expectativa matemática de uma variável aleatória discreta é igual à soma dos produtos do valor da variável aleatória e a probabilidade correspondente, ou seja,

Encontramos a variância de uma variável aleatória discreta usando a fórmula:

APLICATIVO

Elementos de combinatória Aqui: - fatorial de um número

Ações em eventos Um evento é qualquer fato que pode ou não acontecer como resultado de uma experiência. Mesclando Eventos A E EM- este evento COM que consiste em uma aparição ou evento A ou eventos EM, ou ambos os eventos simultaneamente. Designação: ; Eventos de cruzamento A E EM- este evento COM, que consiste na ocorrência simultânea de ambos os eventos. Designação: ;

Definição clássica de probabilidade Probabilidade de evento Aé a razão entre o número de experimentos , favorável para a ocorrência de um evento A, para o número total de experimentos :

Fórmula de multiplicação de probabilidade Probabilidade de evento pode ser encontrado usando a fórmula: - probabilidade de evento A, - probabilidade de evento EM, - probabilidade de evento EM desde que o evento A já aconteceu. Se os eventos A e B são independentes (a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro), então a probabilidade do evento é igual a:

Fórmula para adicionar probabilidades A probabilidade de um evento pode ser encontrada usando a fórmula: Probabilidade de evento A, Probabilidade de evento EM, - probabilidade de co-ocorrência de eventos A E EM. Se os eventos A e B são incompatíveis (não podem ocorrer simultaneamente), então a probabilidade do evento é igual a:

Fórmula de Probabilidade Total Deixe o evento A pode acontecer simultaneamente com um dos eventos , , …, - vamos chamá-los de hipóteses. Também conhecido - probabilidade de execução eu-ésima hipótese e - probabilidade de ocorrência do evento A durante a execução eu-ésima hipótese. Então a probabilidade do evento A pode ser encontrado pela fórmula:

Esquema de Bernoulli Sejam n testes independentes. Probabilidade de ocorrência (sucesso) de um evento A em cada um deles é constante e igual p, a probabilidade de falha (ou seja, o evento não ocorrer A) q = 1 - p. Então a probabilidade de ocorrência k sucesso em n os testes podem ser encontrados usando a fórmula de Bernoulli: Número mais provável de sucessos no esquema de Bernoulli, é o número de ocorrências de um determinado evento que apresenta maior probabilidade. Pode ser encontrado usando a fórmula:

Variáveis ​​aleatórias discreto contínuo (por exemplo, o número de meninas numa família com 5 filhos) (por exemplo, o tempo que a chaleira funciona corretamente) Características numéricas de variáveis ​​aleatórias discretas Deixe uma quantidade discreta ser dada por uma série de distribuição: X R , , …, - valores de uma variável aleatória X; , ,…, são os valores de probabilidade correspondentes. Função de distribuição Função de distribuição de uma variável aleatória Xé uma função definida em toda a reta numérica e igual à probabilidade de que X haverá menos X:

Perguntas para o exame

Evento. Operações em eventos aleatórios.

O conceito de probabilidade de um evento.

Regras para adicionar e multiplicar probabilidades. Probabilidades condicionais.

Fórmula de probabilidade total. Fórmula de Bayes.

Esquema de Bernoulli.

Variável aleatória, sua função de distribuição e série de distribuição.

Propriedades básicas da função de distribuição.

Valor esperado. Propriedades da expectativa matemática.

Dispersão. Propriedades de dispersão.

Densidade de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória unidimensional.

Tipos de distribuições: distribuição uniforme, exponencial, normal, binomial e de Poisson.

Teoremas locais e integrais de Moivre-Laplace.

Lei e função de distribuição de um sistema de duas variáveis ​​aleatórias.

Densidade de distribuição de um sistema de duas variáveis ​​aleatórias.

Leis condicionais de distribuição, expectativa matemática condicional.

Variáveis ​​aleatórias dependentes e independentes. Coeficiente de correlação.

Amostra. Processamento de amostra. Histograma de polígono e frequência. Função de distribuição empírica.

O conceito de estimativa de parâmetros de distribuição. Requisitos para avaliação. Intervalo de confiança. Construção de intervalos para estimativa de expectativa matemática e desvio padrão.

Hipóteses estatísticas. Critérios de consentimento.

Nas aplicações da teoria das probabilidades, as características quantitativas do experimento são de importância primordial. Chama-se uma quantidade que pode ser determinada quantitativamente e que, como resultado de um experimento, pode assumir valores diferentes dependendo do caso. variável aleatória.

Exemplos de variáveis ​​aleatórias:

1. O número de vezes que um número par de pontos aparece em dez lançamentos de um dado.

2. O número de acertos no alvo por um atirador que dispara uma série de tiros.

3. O número de fragmentos de uma bomba explodindo.

Em cada um dos exemplos dados, a variável aleatória só pode assumir valores isolados, ou seja, valores que podem ser numerados por meio de uma série natural de números.

Tal variável aleatória, cujos valores possíveis são números individuais isolados, que esta variável assume com certas probabilidades, é chamada discreto.

O número de valores possíveis de uma variável aleatória discreta pode ser finito ou infinito (contável).

Lei da distribuição Uma variável aleatória discreta é uma lista de seus valores possíveis e suas probabilidades correspondentes. A lei de distribuição de uma variável aleatória discreta pode ser especificada na forma de uma tabela (série de distribuição de probabilidade), analítica e graficamente (polígono de distribuição de probabilidade).

Ao realizar um experimento, torna-se necessário avaliar o valor que está sendo estudado “em média”. O papel do valor médio de uma variável aleatória é desempenhado por uma característica numérica chamada expectativa matemática, que é determinado pela fórmula

Onde x 1 , x 2 ,.. , x n– valores de variáveis ​​​​aleatórias X, A p 1 ,p 2 , ... , p n– as probabilidades desses valores (observe que p 1 + p 2 +…+ p n = 1).

Exemplo. O tiro é realizado no alvo (Fig. 11).

Um acerto em I dá três pontos, em II – dois pontos, em III – um ponto. O número de pontos marcados em um arremesso por um arremessador tem uma lei de distribuição da forma

Para comparar a habilidade dos atiradores, basta comparar os valores médios dos pontos marcados, ou seja, expectativas matemáticas M(X) E M(S):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(S) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

O segundo atirador dá em média um número de pontos um pouco maior, ou seja, dará melhores resultados quando disparado repetidamente.

Observemos as propriedades da expectativa matemática:

1. A expectativa matemática de um valor constante é igual à própria constante:

M(C) =C.

2. A expectativa matemática da soma das variáveis ​​aleatórias é igual à soma das expectativas matemáticas dos termos:

M =(X 1 + X 2 +…+ X n)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X n).

3. A expectativa matemática do produto de variáveis ​​aleatórias mutuamente independentes é igual ao produto das expectativas matemáticas dos fatores

M(X 1 X 2 … X n) = M(X 1)M(X 2)… M(X n).

4. A negação matemática da distribuição binomial é igual ao produto do número de tentativas e a probabilidade de um evento ocorrer em uma tentativa (tarefa 4.6).

M(X) =pr.

Avaliar como uma variável aleatória “em média” se desvia de sua expectativa matemática, ou seja, Para caracterizar a dispersão dos valores de uma variável aleatória na teoria das probabilidades, utiliza-se o conceito de dispersão.

Variância variável aleatória Xé chamada de expectativa matemática do desvio quadrático:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

A dispersão é uma característica numérica da dispersão de uma variável aleatória. Fica claro pela definição que quanto menor a dispersão de uma variável aleatória, mais próximos seus valores possíveis estão localizados em torno da expectativa matemática, ou seja, melhor os valores da variável aleatória são caracterizados por sua expectativa matemática. .

Da definição segue-se que a variância pode ser calculada usando a fórmula

.

É conveniente calcular a variância usando outra fórmula:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

A dispersão tem as seguintes propriedades:

1. A variância da constante é zero:

D(C) = 0.

2. O fator constante pode ser retirado do sinal de dispersão elevando-o ao quadrado:

D(Experiência do cliente) = C 2 D(X).

3. A variância da soma das variáveis ​​​​aleatórias independentes é igual à soma da variância dos termos:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X n)

4. A variância da distribuição binomial é igual ao produto do número de tentativas e a probabilidade de ocorrência e não ocorrência de um evento em uma tentativa:

D(X) = npq.

Na teoria das probabilidades, uma característica numérica igual à raiz quadrada da variância de uma variável aleatória é frequentemente usada. Esta característica numérica é chamada de desvio quadrático médio e é denotada pelo símbolo

.

Caracteriza o tamanho aproximado do desvio de uma variável aleatória em relação ao seu valor médio e tem a mesma dimensão da variável aleatória.

4.1. O atirador dispara três tiros no alvo. A probabilidade de acertar o alvo a cada tiro é de 0,3.

Construa uma série de distribuição para o número de ocorrências.

Solução. O número de acertos é uma variável aleatória discreta X. Cada valor x n variável aleatória X corresponde a uma certa probabilidade P n .

A lei de distribuição de uma variável aleatória discreta, neste caso, pode ser especificada perto de distribuição.

Neste problema X assume valores 0, 1, 2, 3. De acordo com a fórmula de Bernoulli

,

Vamos encontrar as probabilidades dos valores possíveis da variável aleatória:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Organizando os valores da variável aleatória X em ordem crescente, obtemos a série de distribuição:

Observe que o montante

significa a probabilidade de que a variável aleatória X assumirá pelo menos um valor dentre os possíveis, e este evento é confiável, portanto

.

4.2 .Há quatro bolas na urna com números de 1 a 4. Duas bolas são retiradas. Valor aleatório X– a soma dos números das bolas. Construa uma série de distribuição de uma variável aleatória X.

Solução. Valores de variáveis ​​aleatórias X são 3, 4, 5, 6, 7. Vamos encontrar as probabilidades correspondentes. Valor da variável aleatória 3 X pode ser aceito no único caso em que uma das bolas selecionadas tenha o número 1 e a outra 2. O número de resultados de teste possíveis é igual ao número de combinações de quatro (o número de pares possíveis de bolas) de dois.

Usando a fórmula clássica de probabilidade, obtemos

Da mesma maneira,

R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.

A soma 5 pode aparecer em dois casos: 1 + 4 e 2 + 3, então

.

X tem o formato:

Encontre a função de distribuição F(x) variável aleatória X e plote-o. Calcular para X sua expectativa matemática e variância.

Solução. A lei de distribuição de uma variável aleatória pode ser especificada pela função de distribuição

F(x) =P(X x).

Função de distribuição F(x) é uma função contínua à esquerda não decrescente definida em toda a reta numérica, enquanto

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Para uma variável aleatória discreta, esta função é expressa pela fórmula

.

Portanto neste caso

Gráfico de função de distribuição F(x) é uma linha escalonada (Fig. 12)

Valor esperadoM(X) é a média aritmética ponderada dos valores X 1 , X 2 ,......X n variável aleatória X com escalas ρ 1, ρ 2, …… , ρ n e é chamado de valor médio da variável aleatória X. De acordo com a fórmula

M(X)=x 1 ρ 1 +x 2 ρ 2 +……+x n ρ n

M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Dispersão caracteriza o grau de dispersão dos valores de uma variável aleatória em relação ao seu valor médio e é denotado D(X):

D(X)=M[(HM(X)) 2 ]=M(X 2) –[M(X)] 2 .

Para uma variável aleatória discreta, a variância tem a forma

ou pode ser calculado usando a fórmula

Substituindo os dados numéricos do problema na fórmula, obtemos:

M(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Dois dados são lançados duas vezes ao mesmo tempo. Escreva a lei binomial de distribuição de uma variável aleatória discreta X- o número de ocorrências de um número total par de pontos em dois dados.

Solução. Vamos apresentar um evento aleatório

A= (dois dados em um lançamento resultaram em um total par de pontos).

Usando a definição clássica de probabilidade, encontramos

R(A)= ,

Onde n - o número de resultados de teste possíveis é encontrado de acordo com a regra

multiplicação:

n = 6∙6 =36,

eu - número de pessoas favorecendo o evento A resultados - iguais

eu= 3∙6=18.

Assim, a probabilidade de sucesso em uma tentativa é

ρ =P(A)= 1/2.

O problema é resolvido usando um esquema de teste de Bernoulli. Um desafio aqui seria lançar dois dados uma vez. Número de tais testes n = 2. Variável aleatória X assume valores 0, 1, 2 com probabilidades

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

A distribuição binomial necessária de uma variável aleatória X pode ser representado como uma série de distribuição:

4.5 . Em um lote de seis peças existem quatro peças padrão. Três partes foram selecionadas aleatoriamente. Construa uma distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta X– o número de peças padrão entre as selecionadas e encontre sua expectativa matemática.

Solução. Valores de variáveis ​​aleatórias X são os números 0,1,2,3. Está claro que R(X=0)=0, pois existem apenas duas peças não padronizadas.

R(X=1) =
=1/5,

R(X = 2) =
= 3/5,

R(X=3) =
= 1/5.

Lei de distribuição de uma variável aleatória X Vamos apresentá-lo na forma de uma série de distribuição:

Valor esperado

M(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Prove que a expectativa matemática de uma variável aleatória discreta X- número de ocorrências do evento A V n ensaios independentes, em cada um dos quais a probabilidade de ocorrência de um evento é igual a ρ – igual ao produto do número de tentativas pela probabilidade de ocorrência de um evento em uma tentativa, ou seja, para provar que a expectativa matemática da distribuição binomial

M(X) =n . ρ ,

e dispersão

D(X) =n.p. .

Solução. Valor aleatório X pode assumir valores 0, 1, 2..., n. Probabilidade R(X= k) é encontrado usando a fórmula de Bernoulli:

R(X=k)= R n(k) = ρ Para (1-ρ ) n- Para

Série de distribuição de uma variável aleatória X tem o formato:

Onde q= 1- ρ .

Para a expectativa matemática temos a expressão:

M(X)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

No caso de um teste, ou seja, com n = 1 para variável aleatória X 1 – número de ocorrências do evento A- a série de distribuição tem a forma:

M(X 1)= 0∙q + 1 ∙ p = p

D(X 1) = p – p 2 = p(1- p) = pq.

Se X k – número de ocorrências do evento A em qual teste, então R(X Para)= ρ E

X=X 1 +X 2 +….+X n .

A partir daqui obtemos

M(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X n)= nρ,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X n)=npq.

4.7. O departamento de controle de qualidade verifica a padronização dos produtos. A probabilidade de o produto ser padrão é 0,9. Cada lote contém 5 produtos. Encontre a expectativa matemática de uma variável aleatória discreta X- o número de lotes, cada um dos quais conterá 4 produtos padrão - se 50 lotes estiverem sujeitos a inspeção.

Solução. A probabilidade de haver 4 produtos padrão em cada lote selecionado aleatoriamente é constante; vamos denotar isso por ρ .Então a expectativa matemática da variável aleatória Xé igual a M(X)= 50∙ρ.

Vamos encontrar a probabilidade ρ de acordo com a fórmula de Bernoulli:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Três dados são lançados. Encontre a expectativa matemática da soma dos pontos perdidos.

Solução. Você pode encontrar a distribuição de uma variável aleatória X- a soma dos pontos perdidos e depois a sua expectativa matemática. No entanto, esse caminho é muito complicado. É mais fácil usar outra técnica, representando uma variável aleatória X, cuja expectativa matemática precisa ser calculada, na forma de uma soma de várias variáveis ​​​​aleatórias mais simples, cuja expectativa matemática é mais fácil de calcular. Se a variável aleatória X eué o número de pontos rolados eu– os ossos ( eu= 1, 2, 3), então a soma dos pontos X será expresso na forma

X = X 1 +X 2 +X 3 .

Para calcular a expectativa matemática da variável aleatória original, resta apenas usar a propriedade da expectativa matemática

M(X 1 +X 2 +X 3 )=M(X 1 )+M(X 2)+M(X 3 ).

É óbvio que

R(X eu =K)= 1/6, PARA= 1, 2, 3, 4, 5, 6, eu= 1, 2, 3.

Portanto, a expectativa matemática da variável aleatória X eu parece

M(X eu) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Determine a expectativa matemática do número de dispositivos que falharam durante o teste se:

a) a probabilidade de falha para todos os dispositivos é a mesma R, e o número de dispositivos em teste é igual a n;

b) probabilidade de falha para eu – do dispositivo é igual a p eu , eu= 1, 2, … , n.

Solução. Deixe a variável aleatória Xé o número de dispositivos com falha, então

X = X 1 +X 2 +… +X n ,

X eu =

Está claro que

R(X eu = 1)= R eu , R(X eu = 0)= 1– R eu ,eu= 1, 2, … ,n.

M(X eu)= 1∙R eu + 0∙(1-R eu)=P eu ,

M(X)=M(X 1)+M(X 2)+… +M(X n)=P 1 +P 2 +… +P n .

No caso “a” a probabilidade de falha do dispositivo é a mesma, ou seja

R eu =p,eu= 1, 2, … ,n.

M(X)= n.p..

Esta resposta poderia ser obtida imediatamente se notarmos que a variável aleatória X tem uma distribuição binomial com parâmetros ( n, p).

4.10. Dois dados são lançados simultaneamente duas vezes. Escreva a lei binomial de distribuição de uma variável aleatória discreta X - o número de lançamentos de um número par de pontos em dois dados.

Solução. Deixar

A=(lançando um número par no primeiro dado),

B =(lançando um número par no segundo dado).

Obter um número par em ambos os dados de uma só vez é expresso pelo produto AB. Então

R (AB) = R(A)∙R(EM) =
.

O resultado do segundo lançamento de dois dados não depende do primeiro, portanto a fórmula de Bernoulli se aplica quando

n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.

Valor aleatório X pode assumir valores 0, 1, 2 , cuja probabilidade pode ser encontrada usando a fórmula de Bernoulli:

R(X = 0)=P 2 (0) = q 2 = 9/16,

R(X = 1)=P 2 (1)=C ,R∙q = 6/16,

R(X = 2)=P 2 (2)=C , R 2 = 1/16.

Série de distribuição de uma variável aleatória X:

4.11. O dispositivo consiste em um grande número de elementos que operam de forma independente, com a mesma probabilidade muito pequena de falha de cada elemento ao longo do tempo. t. Encontre o número médio de recusas ao longo do tempo t elementos, se a probabilidade de pelo menos um elemento falhar durante esse tempo for 0,98.

Solução. Número de pessoas que recusaram ao longo do tempo t elementos – variável aleatória X, que é distribuído de acordo com a lei de Poisson, pois o número de elementos é grande, os elementos funcionam de forma independente e a probabilidade de falha de cada elemento é pequena. Número médio de ocorrências de um evento em n testes são iguais

M(X) = n.p..

Como a probabilidade de falha PARA elementos de n expresso pela fórmula

R n (PARA)
,

onde  = n.p., então a probabilidade de que nenhum elemento falhe durante o tempo t chegamos em K = 0:

R n (0)=e -  .

Portanto, a probabilidade do evento oposto está no tempo t pelo menos um elemento falha – igual a 1 - e -  . De acordo com as condições do problema, essa probabilidade é 0,98. Da Eq.

1 - e -  = 0,98,

e -  = 1 – 0,98 = 0,02,

daqui  = -ln 0,02  4.

Então, com o tempo t operação do dispositivo, em média 4 elementos falharão.

4.12 . Os dados são lançados até surgir um “dois”. Encontre o número médio de lançamentos.

Solução. Vamos introduzir uma variável aleatória X– a quantidade de testes que devem ser realizados até que ocorra o evento de nosso interesse. A probabilidade de que X= 1 é igual à probabilidade de que durante um lançamento de dados apareça um “dois”, ou seja,

R(X = 1) = 1/6.

Evento X= 2 significa que no primeiro teste o “dois” não apareceu, mas no segundo sim. Probabilidade de evento X=2 é encontrado pela regra de multiplicação das probabilidades de eventos independentes:

R(X = 2) = (5/6)∙(1/6)

Da mesma maneira,

R(X = 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X = 4) = (5/6) 2 ∙1/6

etc. Obtemos uma série de distribuições de probabilidade:

O número médio de lançamentos (tentativas) é a expectativa matemática

M(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + PARA (5/6) PARA -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + PARA (5/6) PARA -1 + …)

Vamos encontrar a soma da série:

PARAg PARA -1 = (g PARA) g 
.

Por isso,

M(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Assim, você precisa fazer em média 6 lançamentos de dados até sair um “dois”.

4.13. Testes independentes são realizados com a mesma probabilidade de ocorrência do evento A em todos os testes. Encontre a probabilidade de um evento ocorrer A, se a variância do número de ocorrências de um evento em três tentativas independentes for 0,63 .

Solução. O número de ocorrências de um evento em três tentativas é uma variável aleatória X, distribuído de acordo com a lei binomial. A variância do número de ocorrências de um evento em tentativas independentes (com a mesma probabilidade de ocorrência do evento em cada tentativa) é igual ao produto do número de tentativas pelas probabilidades de ocorrência e não ocorrência do evento (problema 4.6)

D(X) = npq.

Por condição n = 3, D(X) = 0,63, então você pode R encontrar a partir da equação

0,63 = 3∙R(1-R),

que tem duas soluções R 1 = 0,7 e R 2 = 0,3.