Qual é a linha média em um trapézio? Propriedades de um trapézio

Na resolução de problemas planimétricos, além dos lados e ângulos de uma figura, muitas vezes outras grandezas participam ativamente - medianas, alturas, diagonais, bissetoras e outras. Isso inclui a linha média.
Se o polígono original for um trapézio, qual é a sua linha média? Este segmento faz parte de uma linha reta que cruza os lados da figura no meio e está localizada paralelamente aos outros dois lados - as bases.

Como encontrar a linha média de um trapézio através da linha do meio e da base

Se os valores das bases superior e inferior forem conhecidos, a expressão ajudará a calcular a incógnita:

a, b – bases, l – linha média.

Como encontrar a linha média de um trapézio através de uma área

Se os dados iniciais contiverem a área da figura, usando esse valor você também poderá calcular o comprimento da linha no meio do trapézio. Vamos usar a fórmula S = (a+b)/2*h,
S – área,
h – altura,
a, b – bases.
Mas, como l = (a+b)/2, então S = l*h, o que significa l=S/h.

Como encontrar a linha média de um trapézio através da base e seus ângulos

Dado o comprimento da base maior da figura, sua altura, bem como as medidas conhecidas em graus dos ângulos nela, a expressão para encontrar a linha do meio do trapézio terá a seguinte forma:

eu=a – h*(ctgα+ctgβ)/2, enquanto
l é o valor desejado,
a – base maior,
α, β são os ângulos nele,
h – altura da figura.

Se o valor da base menor for conhecido (dados os mesmos outros dados), a seguinte relação ajudará a encontrar a linha média:

eu=b+h*(ctgα+ctgβ)/2,

l é o valor desejado,
b – base menor,
α, β são os ângulos nele,
h – altura da figura.

Encontre a linha média de um trapézio usando altura, diagonais e ângulos

Consideremos uma situação em que as condições do problema incluem os valores das diagonais da figura, os ângulos que elas formam quando se cruzam, bem como a altura. Você pode calcular a linha central usando as seguintes expressões:

l=(d1*d2)/2h*sinγ ou l=(d1*d2)/2h*sinφ,

eu – linha média,
d1, d2 – diagonais,
φ, γ – ângulos entre eles,
h – altura da figura.

Como encontrar a linha média de um trapézio Para uma figura isósceles

Se a figura básica for um trapézio isósceles, as fórmulas acima terão a seguinte forma.

Se os valores das bases do trapézio estiverem presentes, não haverá alterações na expressão.

l = (a+b)/2, a, b – bases, l – linha média.

Se a altura, base e ângulos adjacentes a ela forem conhecidos, então:

eu=a-h*ctgα,
eu=b+h*ctgα,

eu – linha média,
a, b – bases (b< a),
α são os ângulos nele,
h – altura da figura.

Se o lado lateral do trapézio e uma das bases forem conhecidos, então o valor desejado pode ser determinado referindo-se à expressão:

eu=a-√(c*c-h*h),
eu=b+√(c*c-h*h),
eu – linha média,
a, b – bases (b< a),
h – altura da figura.

Com valores conhecidos de altura, diagonais (e são iguais entre si) e ângulos formados a partir de sua intersecção, a linha média pode ser encontrada da seguinte forma:

l=(d*d)/2h*sinγ ou l=(d*d)/2h*sinφ,

eu – linha média,
d – diagonais,
φ, γ – ângulos entre eles,
h – altura da figura.

A área e a altura da figura são conhecidas, então:

eu=S/h,
S – área,
h – altura.

Se a altura perpendicular for desconhecida, ela pode ser determinada usando a definição da função trigonométrica.

h=c*sinα, portanto
eu=S/c*sinα,
eu – linha média,
S – área,
c – lado,
α é o ângulo na base.

A linha média de um trapézio, e especialmente suas propriedades, são frequentemente utilizadas em geometria para resolver problemas e provar certos teoremas.

é um quadrilátero com apenas 2 lados paralelos entre si. Os lados paralelos são chamados de bases (na Figura 1 - DE ANÚNCIOS E a.C.), os outros dois são laterais (na figura AB E CD).

Linha média do trapézioé um segmento que conecta os pontos médios de seus lados (na Figura 1 - KL).

Propriedades da linha média de um trapézio

Prova do teorema da linha média do trapézio

Provar que a linha média de um trapézio é igual à metade da soma de suas bases e é paralela a essas bases.

Dado um trapézio ABCD com linha média KL. Para provar as propriedades em consideração, é necessário traçar uma linha reta passando pelos pontos B E eu. Na Figura 2 esta é uma linha reta churrasco. E também continuar a fundação DE ANÚNCIOS até a intersecção com a linha churrasco.

Considere os triângulos resultantes L.B.C. E LQD:

Por definição da linha média KL ponto eué o ponto médio do segmento CD. Segue-se que os segmentos CL. E LD são iguais.
∠BLC = ∠QLD, uma vez que esses ângulos são verticais.
∠BCL = ∠LDQ, uma vez que esses ângulos estão transversalmente em linhas paralelas DE ANÚNCIOS E a.C. e secante CD.

Destas 3 igualdades segue-se que os triângulos anteriormente considerados L.B.C. E LQD iguais em 1 lado e dois ângulos adjacentes (ver Fig. 3). Por isso, ∠LBC = ∠LQD, BC=DQ e o mais importante - BL=LQ => KL, que é a linha média do trapézio ABCD, também é a linha média do triângulo ABQ. De acordo com a propriedade da linha média de um triângulo ABQ Nós temos.

O conceito de linha média do trapézio

Primeiro, vamos lembrar que tipo de figura é chamada de trapézio.

Definição 1

Um trapézio é um quadrilátero em que dois lados são paralelos e os outros dois não são paralelos.

Neste caso, os lados paralelos são chamados de bases do trapézio, e os lados não paralelos são chamados de lados do trapézio.

Definição 2

A linha média de um trapézio é um segmento que conecta os pontos médios dos lados laterais do trapézio.

Teorema da linha média do trapézio

Agora apresentamos o teorema sobre a linha média de um trapézio e o provamos usando o método vetorial.

Teorema 1

A linha média do trapézio é paralela às bases e igual à sua meia soma.

Prova.

Seja-nos dado um trapézio $ABCD$ com bases $AD\ e\ BC$. E seja $MN$ a linha média deste trapézio (Fig. 1).

Figura 1. Linha média do trapézio

Vamos provar que $MN||AD\ e\MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Considere o vetor $\overrightarrow(MN)$. A seguir, usamos a regra do polígono para adicionar vetores. Por um lado, entendemos isso

Por outro lado

Vamos somar as duas últimas igualdades e obter

Como $M$ e $N$ são os pontos médios dos lados laterais do trapézio, teremos

Nós temos:

Por isso

Da mesma igualdade (já que $\overrightarrow(BC)$ e $\overrightarrow(AD)$ são codirecionais e, portanto, colineares) obtemos que $MN||AD$.

O teorema foi provado.

Exemplos de problemas sobre o conceito de linha média de um trapézio

Exemplo 1

Os lados laterais do trapézio são $15\ cm$ e $17\ cm$ respectivamente. O perímetro do trapézio é $52\cm$. Encontre o comprimento da linha média do trapézio.

Solução.

Vamos denotar a linha média do trapézio por $n$.

A soma dos lados é igual a

Portanto, como o perímetro é $52\ cm$, a soma das bases é igual a

Então, pelo Teorema 1, obtemos

Responder:$10\cm$.

Exemplo 2

As extremidades do diâmetro do círculo estão $9$ cm e $5$ cm de distância de sua tangente, respectivamente. Encontre o diâmetro deste círculo.

Solução.

Seja-nos dado um círculo com centro no ponto $O$ e diâmetro $AB$. Vamos traçar uma tangente $l$ e construir as distâncias $AD=9\ cm$ e $BC=5\ cm$. Vamos desenhar o raio $OH$ (Fig. 2).

Figura 2.

Como $AD$ e $BC$ são as distâncias à tangente, então $AD\bot l$ e $BC\bot l$ e como $OH$ é o raio, então $OH\bot l$, portanto, $OH |\esquerda|AD\direita||BC$. De tudo isso, obtemos que $ABCD$ é um trapézio e $OH$ é sua linha média. Pelo Teorema 1, obtemos

Um trapézio é um caso especial de quadrilátero em que um par de lados é paralelo. O termo “trapézio” vem da palavra grega τράπεζα, que significa “mesa”, “mesa”. Neste artigo veremos os tipos de trapézio e suas propriedades. Além disso, descobriremos como calcular elementos individuais deste Por exemplo, a diagonal de um trapézio isósceles, a linha central, área, etc. O material é apresentado no estilo da geometria popular elementar, ou seja, de uma forma facilmente acessível .

informações gerais

Primeiro, vamos descobrir o que é um quadrilátero. Esta figura é um caso especial de polígono contendo quatro lados e quatro vértices. Dois vértices de um quadrilátero que não são adjacentes são chamados de opostos. O mesmo pode ser dito de dois lados não adjacentes. Os principais tipos de quadriláteros são paralelogramo, retângulo, losango, quadrado, trapézio e deltóide.

Então, vamos voltar aos trapézios. Como já dissemos, esta figura tem dois lados paralelos. Eles são chamados de bases. Os outros dois (não paralelos) são os lados laterais. Nos materiais de exames e provas diversas, muitas vezes é possível encontrar problemas relacionados a trapézios, cuja solução muitas vezes exige que o aluno tenha conhecimentos não previstos no programa. O curso de geometria escolar apresenta aos alunos as propriedades de ângulos e diagonais, bem como a linha média de um trapézio isósceles. Mas, além disso, a citada figura geométrica possui outras características. Mas mais sobre eles um pouco mais tarde...

Tipos de trapézio

Existem muitos tipos desta figura. No entanto, na maioria das vezes é costume considerar dois deles - isósceles e retangulares.

1. Um trapézio retangular é uma figura em que um dos lados é perpendicular às bases. Seus dois ângulos são sempre iguais a noventa graus.

2. Um trapézio isósceles é uma figura geométrica cujos lados são iguais entre si. Isso significa que os ângulos nas bases também são iguais aos pares.

Os princípios básicos da metodologia de estudo das propriedades de um trapézio

O princípio principal inclui o uso da chamada abordagem de tarefa. Na verdade, não há necessidade de introduzir novas propriedades desta figura no curso teórico da geometria. Eles podem ser descobertos e formulados no processo de resolução de vários problemas (de preferência sistêmicos). Ao mesmo tempo, é muito importante que o professor saiba quais tarefas devem ser atribuídas aos alunos em um momento ou outro do processo educacional. Além disso, cada propriedade de um trapézio pode ser representada como uma tarefa chave no sistema de tarefas.

O segundo princípio é a chamada organização espiral do estudo das propriedades “notáveis” do trapézio. Isto implica um retorno no processo de aprendizagem às características individuais de uma determinada figura geométrica. Isso torna mais fácil para os alunos lembrá-los. Por exemplo, a propriedade de quatro pontos. Isso pode ser comprovado tanto no estudo da similaridade quanto posteriormente no uso de vetores. E a equivalência de triângulos adjacentes aos lados laterais de uma figura pode ser comprovada aplicando não apenas as propriedades dos triângulos com alturas iguais traçados nos lados que estão na mesma linha reta, mas também usando a fórmula S = 1/2( ab*sinα). Além disso, você pode trabalhar em um trapézio inscrito ou em um triângulo retângulo em um trapézio inscrito, etc.

O uso de características “extracurriculares” de uma figura geométrica no conteúdo de um curso escolar é uma tecnologia baseada em tarefas para ensiná-las. A referência constante às propriedades em estudo ao longo de outros tópicos permite ao aluno um conhecimento mais profundo do trapézio e garante o sucesso na resolução dos problemas atribuídos. Então, vamos começar a estudar essa figura maravilhosa.

Elementos e propriedades de um trapézio isósceles

Como já observamos, esta figura geométrica tem lados iguais. Também é conhecido como trapézio correto. Por que é tão notável e por que recebeu esse nome? A peculiaridade desta figura é que não apenas os lados e os ângulos nas bases são iguais, mas também as diagonais. Além disso, a soma dos ângulos de um trapézio isósceles é 360 graus. Mas isso não é tudo! De todos os trapézios conhecidos, apenas um isósceles pode ser descrito como um círculo. Isso se deve ao fato de que a soma dos ângulos opostos desta figura é igual a 180 graus, e somente sob esta condição é possível descrever um círculo em torno de um quadrilátero. A próxima propriedade da figura geométrica em consideração é que a distância do vértice da base até a projeção do vértice oposto na linha reta que contém esta base será igual à linha média.

Agora vamos descobrir como encontrar os ângulos de um trapézio isósceles. Consideremos uma solução para este problema, desde que sejam conhecidas as dimensões dos lados da figura.

Solução

Normalmente, um quadrilátero é geralmente denotado pelas letras A, B, C, D, onde BS e AD são as bases. Num trapézio isósceles os lados são iguais. Assumiremos que seu tamanho é igual a X, e os tamanhos das bases são iguais a Y e Z (menores e maiores, respectivamente). Para realizar o cálculo, é necessário traçar a altura H do ângulo B. O resultado é um triângulo retângulo ABN, onde AB é a hipotenusa e BN e AN são os catetos. Calculamos o tamanho da perna AN: subtraímos o menor da base maior e dividimos o resultado por 2. Escrevemos na forma de uma fórmula: (Z-Y)/2 = F. Agora, para calcular o agudo ângulo do triângulo, usamos a função cos. Obtemos a seguinte entrada: cos(β) = X/F. Agora calculamos o ângulo: β=arcos (X/F). Além disso, conhecendo um ângulo, podemos determinar o segundo, para isso realizamos uma operação aritmética elementar: 180 - β. Todos os ângulos são definidos.

Existe uma segunda solução para este problema. Primeiro, baixamos do canto até a altura H. Calculamos o valor da perna BN. Sabemos que o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados dos catetos. Obtemos: BN = √(X2-F2). A seguir usamos a função trigonométrica tg. Como resultado, temos: β = arctan (BN/F). Um ângulo agudo foi encontrado. A seguir, definimos de forma semelhante ao primeiro método.

Propriedade das diagonais de um trapézio isósceles

Primeiro, vamos escrever quatro regras. Se as diagonais de um trapézio isósceles são perpendiculares, então:

A altura da figura será igual à soma das bases dividida por dois;

Sua altura e linha média são iguais;

O centro do círculo é o ponto em que;

Se o lado lateral for dividido pelo ponto de tangência nos segmentos H e M, então é igual à raiz quadrada do produto desses segmentos;

O quadrilátero formado pelos pontos tangentes, o vértice do trapézio e o centro do círculo inscrito é um quadrado cujo lado é igual ao raio;

A área de uma figura é igual ao produto das bases pelo produto da metade da soma das bases pela sua altura.

Trapézios semelhantes

Este tópico é muito conveniente para estudar as propriedades deste. Por exemplo, as diagonais dividem um trapézio em quatro triângulos, e os adjacentes às bases são semelhantes, e os adjacentes aos lados são iguais em tamanho. Esta afirmação pode ser chamada de propriedade dos triângulos nos quais o trapézio é dividido por suas diagonais. A primeira parte desta afirmação é comprovada através do sinal de semelhança em dois ângulos. Para provar a segunda parte, é melhor usar o método abaixo.

Prova do teorema

Aceitamos que a figura ABSD (AD e BS são as bases do trapézio) é dividida pelas diagonais VD e AC. O ponto de intersecção deles é O. Obtemos quatro triângulos: AOS - na base inferior, BOS - na base superior, ABO e SOD nos lados. Os triângulos SOD e BOS têm altura comum se os segmentos BO e OD forem suas bases. Descobrimos que a diferença entre suas áreas (P) é igual à diferença entre esses segmentos: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Portanto, PSOD = PBOS/K. Da mesma forma, os triângulos BOS e AOB têm uma altura comum. Tomamos como base os segmentos CO e OA. Obtemos PBOS/PAOB = CO/OA = K e PAOB = PBOS/K. Segue-se disso que PSOD = PAOB.

Para consolidar o material, recomenda-se aos alunos que encontrem a ligação entre as áreas dos triângulos resultantes nos quais o trapézio é dividido por suas diagonais, resolvendo o seguinte problema. Sabe-se que os triângulos BOS e AOD possuem áreas iguais, é necessário encontrar a área do trapézio. Como PSOD = PAOB, significa PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Da semelhança dos triângulos BOS e AOD segue-se que BO/OD = √(PBOS/PAOD). Portanto, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Obtemos PSOD = √(PBOS*PAOD). Então PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Propriedades de similaridade

Continuando a desenvolver este tópico, podemos comprovar outras características interessantes dos trapézios. Assim, por similaridade, pode-se comprovar a propriedade de um segmento que passa pelo ponto formado pela intersecção das diagonais desta figura geométrica, paralelo às bases. Para isso, vamos resolver o seguinte problema: precisamos encontrar o comprimento do segmento RK que passa pelo ponto O. Da semelhança dos triângulos AOD e BOS segue-se que AO/OS = AD/BS. Da semelhança dos triângulos AOP e ASB segue-se que AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). A partir daqui obtemos que RO=BS*BP/(BS+BP). Da mesma forma, da semelhança dos triângulos DOC e DBS, segue que OK = BS*AD/(BS+AD). A partir daqui obtemos que RO=OK e RK=2*BS*AD/(BS+AD). Um segmento que passa pelo ponto de intersecção das diagonais, paralelo às bases e conectando dois lados laterais, é dividido ao meio pelo ponto de intersecção. Seu comprimento é a média harmônica das bases da figura.

Considere a seguinte propriedade de um trapézio, chamada propriedade dos quatro pontos. Os pontos de intersecção das diagonais (O), a intersecção da continuação dos lados (E), bem como os pontos médios das bases (T e F) estão sempre na mesma linha. Isso pode ser facilmente comprovado pelo método de similaridade. Os triângulos resultantes BES e AED são semelhantes, e em cada um deles as medianas ET e EJ dividem o ângulo do vértice E em partes iguais. Portanto, os pontos E, T e F estão na mesma linha reta. Da mesma forma, os pontos T, O e Zh estão localizados na mesma linha reta.Tudo isso decorre da semelhança dos triângulos BOS e AOD. A partir daqui concluímos que todos os quatro pontos - E, T, O e F - estarão na mesma linha reta.

Usando trapézios semelhantes, você pode pedir aos alunos que encontrem o comprimento do segmento (LS) que divide a figura em dois semelhantes. Este segmento deve ser paralelo às bases. Como os trapézios resultantes ALFD e LBSF são semelhantes, então BS/LF = LF/AD. Segue-se que LF=√(BS*AD). Descobrimos que o segmento que divide o trapézio em dois semelhantes tem comprimento igual à média geométrica dos comprimentos das bases da figura.

Considere a seguinte propriedade de similaridade. Baseia-se em um segmento que divide o trapézio em duas figuras iguais. Assumimos que o trapézio ABSD é dividido pelo segmento EH em dois semelhantes. Do vértice B é omitida uma altura, que é dividida pelo segmento EN em duas partes - B1 e B2. Obtemos: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 e PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. A seguir, compomos um sistema cuja primeira equação é (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 e a segunda (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Segue-se que B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) e BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Descobrimos que o comprimento do segmento que divide o trapézio em dois iguais é igual à raiz quadrada média dos comprimentos das bases: √((BS2+AD2)/2).

Descobertas de similaridade

Assim, provamos que:

1. O segmento que liga os pontos médios dos lados laterais de um trapézio é paralelo a AD e BS e é igual à média aritmética de BS e AD (o comprimento da base do trapézio).

2. A reta que passa pelo ponto O da intersecção das diagonais paralelas a AD e BS será igual à média harmônica dos números AD e BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. O segmento que divide o trapézio em semelhantes tem o comprimento da média geométrica das bases BS e AD.

4. Um elemento que divide uma figura em duas iguais tem o comprimento da raiz quadrada média dos números AD e BS.

Para consolidar o material e entender a ligação entre os segmentos considerados, o aluno precisa construí-los para um trapézio específico. Ele pode exibir facilmente a linha média e o segmento que passa pelo ponto O - a intersecção das diagonais da figura - paralela às bases. Mas onde estarão localizados o terceiro e o quarto? Esta resposta levará o aluno à descoberta da relação desejada entre os valores médios.

Um segmento que conecta os pontos médios das diagonais de um trapézio

Considere a seguinte propriedade desta figura. Assumimos que o segmento MH é paralelo às bases e divide as diagonais ao meio. Vamos chamar os pontos de intersecção de Ш e Ш. Este segmento será igual à metade da diferença das bases. Vejamos isso com mais detalhes. MS é a linha média do triângulo ABS, é igual a BS/2. MSH é a linha média do triângulo ABD, é igual a AD/2. Então obtemos que ShShch = MSh-MSh, portanto, ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Centro de gravidade

Vejamos como esse elemento é determinado para uma determinada figura geométrica. Para isso, é necessário estender as bases em direções opostas. O que isso significa? Você precisa adicionar a base inferior à base superior - em qualquer direção, por exemplo, para a direita. E estendemos o inferior pelo comprimento do superior à esquerda. A seguir, nós os conectamos diagonalmente. O ponto de intersecção deste segmento com a linha média da figura é o centro de gravidade do trapézio.

Trapézios inscritos e circunscritos

Listamos as características de tais figuras:

1. Um trapézio só pode ser inscrito em um círculo se for isósceles.

2. Um trapézio pode ser descrito em torno de um círculo, desde que a soma dos comprimentos de suas bases seja igual à soma dos comprimentos dos lados.

Corolários do círculo interno:

1. A altura do trapézio descrito é sempre igual a dois raios.

2. O lado do trapézio descrito é observado a partir do centro do círculo em ângulo reto.

O primeiro corolário é óbvio, mas para provar o segundo é necessário estabelecer que o ângulo SOD é correto, o que, de fato, também não é difícil. Mas o conhecimento desta propriedade permitirá que você use um triângulo retângulo na resolução de problemas.

Agora vamos especificar estas consequências para um trapézio isósceles inscrito numa circunferência. Descobrimos que a altura é a média geométrica das bases da figura: H=2R=√(BS*AD). Ao praticar a técnica básica de resolução de problemas de trapézios (princípio de desenhar duas alturas), o aluno deve resolver a seguinte tarefa. Assumimos que BT é a altura da figura isósceles ABSD. É necessário encontrar os segmentos AT e TD. Usando a fórmula descrita acima, isso não será difícil de fazer.

Agora vamos descobrir como determinar o raio de um círculo usando a área do trapézio circunscrito. Baixamos a altura do vértice B até a base AD. Como o círculo está inscrito em um trapézio, então BS+AD = 2AB ou AB = (BS+AD)/2. Do triângulo ABN encontramos sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Obtemos PABSD = (BS+BP)*R, segue-se que R = PABSD/(BS+BP).

Todas as fórmulas para a linha média de um trapézio

Agora é hora de passar para o último elemento desta figura geométrica. Vamos descobrir a que é igual a linha média do trapézio (M):

1. Pelas bases: M = (A+B)/2.

2. Através da altura, base e cantos:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Através da altura, das diagonais e do ângulo entre elas. Por exemplo, D1 e D2 são diagonais de um trapézio; α, β - ângulos entre eles:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. Área de passagem e altura: M = P/N.

Neste artigo tentaremos refletir as propriedades de um trapézio da forma mais completa possível. Em particular, falaremos sobre as características e propriedades gerais de um trapézio, bem como as propriedades de um trapézio inscrito e de um círculo inscrito em um trapézio. Também abordaremos as propriedades de um trapézio isósceles e retangular.

Um exemplo de solução de um problema usando as propriedades discutidas o ajudará a classificá-lo em sua cabeça e a lembrar melhor o material.

Trapézio e tudo-tudo

Para começar, vamos relembrar brevemente o que é um trapézio e quais outros conceitos estão associados a ele.

Assim, um trapézio é uma figura quadrilátera, cujos dois lados são paralelos entre si (estas são as bases). E os dois não são paralelos – estes são os lados.

Em um trapézio, a altura pode ser reduzida - perpendicularmente às bases. A linha central e as diagonais são desenhadas. Também é possível traçar uma bissetriz de qualquer ângulo do trapézio.

Falaremos agora sobre as diversas propriedades associadas a todos esses elementos e suas combinações.

Propriedades das diagonais trapezoidais

Para deixar mais claro, enquanto você lê, esboce o trapézio ACME em um pedaço de papel e desenhe diagonais nele.

Se você encontrar os pontos médios de cada uma das diagonais (vamos chamar esses pontos de X e T) e conectá-los, obterá um segmento. Uma das propriedades das diagonais de um trapézio é que o segmento HT fica na linha média. E seu comprimento pode ser obtido dividindo a diferença das bases por dois: ХТ = (a – b)/2.
Diante de nós está o mesmo trapézio ACME. As diagonais se cruzam no ponto O. Vejamos os triângulos AOE e MOK, formados por segmentos das diagonais juntamente com as bases do trapézio. Esses triângulos são semelhantes. O coeficiente de similaridade k dos triângulos é expresso através da razão das bases do trapézio: k = AE/KM.
A proporção das áreas dos triângulos AOE e MOK é descrita pelo coeficiente k 2 .
O mesmo trapézio, as mesmas diagonais que se cruzam no ponto O. Só que desta vez consideraremos os triângulos que os segmentos das diagonais formaram junto com os lados do trapézio. As áreas dos triângulos AKO e EMO são iguais em tamanho - suas áreas são iguais.
Outra propriedade de um trapézio envolve a construção de diagonais. Então, se você continuar os lados de AK e ME na direção da base menor, mais cedo ou mais tarde eles se cruzarão em um determinado ponto. Em seguida, desenhe uma linha reta no meio das bases do trapézio. Ele cruza as bases nos pontos X e T.
Se agora estendermos a linha XT, ela conectará o ponto de intersecção das diagonais do trapézio O, o ponto onde as extensões dos lados e o meio das bases X e T se cruzam.
Através do ponto de intersecção das diagonais traçaremos um segmento que ligará as bases do trapézio (T está na base menor KM, X na base maior AE). O ponto de intersecção das diagonais divide este segmento na seguinte proporção: TO/OX = KM/AE.
Agora, através do ponto de intersecção das diagonais, traçaremos um segmento paralelo às bases do trapézio (a e b). O ponto de intersecção irá dividi-lo em duas partes iguais. Você pode encontrar o comprimento do segmento usando a fórmula 2ab/(a + b).

Propriedades da linha média de um trapézio

Desenhe a linha média do trapézio paralela às suas bases.

O comprimento da linha média de um trapézio pode ser calculado somando os comprimentos das bases e dividindo-os ao meio: m = (uma + b)/2.
Se você desenhar qualquer segmento (altura, por exemplo) através de ambas as bases do trapézio, a linha do meio irá dividi-lo em duas partes iguais.

Propriedade da bissetriz do trapézio

Selecione qualquer ângulo do trapézio e desenhe uma bissetriz. Tomemos, por exemplo, o ângulo KAE do nosso trapézio ACME. Depois de concluir a construção por conta própria, você pode verificar facilmente que a bissetriz corta da base (ou sua continuação em linha reta fora da própria figura) um segmento do mesmo comprimento que o lado.

Propriedades dos ângulos trapezoidais

Qualquer que seja o par de ângulos adjacentes ao lado escolhido, a soma dos ângulos do par é sempre 180 0: α + β = 180 0 e γ + δ = 180 0.
Vamos conectar os pontos médios das bases do trapézio com um segmento TX. Agora vamos dar uma olhada nos ângulos nas bases do trapézio. Se a soma dos ângulos de qualquer um deles for 90 0, o comprimento do segmento TX pode ser facilmente calculado com base na diferença nos comprimentos das bases, dividido pela metade: TX = (AE – KM)/2.
Se linhas paralelas forem traçadas através dos lados de um ângulo trapézio, elas dividirão os lados do ângulo em segmentos proporcionais.

Propriedades de um trapézio isósceles (equilátero)

Em um trapézio isósceles, os ângulos em qualquer base são iguais.
Agora construa novamente um trapézio para ficar mais fácil imaginar do que estamos falando. Observe atentamente a base AE - o vértice da base oposta M é projetado em um determinado ponto da linha que contém AE. A distância do vértice A ao ponto de projeção do vértice M e a linha média do trapézio isósceles são iguais.
Algumas palavras sobre a propriedade das diagonais de um trapézio isósceles - seus comprimentos são iguais. E também os ângulos de inclinação dessas diagonais em relação à base do trapézio são os mesmos.
Somente em torno de um trapézio isósceles um círculo pode ser descrito, já que a soma dos ângulos opostos de um quadrilátero é 180 0 - um pré-requisito para isso.
A propriedade de um trapézio isósceles segue do parágrafo anterior - se um círculo pode ser descrito próximo ao trapézio, ele é isósceles.
Das características de um trapézio isósceles segue-se a propriedade da altura de um trapézio: se suas diagonais se cruzam em ângulos retos, então o comprimento da altura é igual à metade da soma das bases: h = (uma + b)/2.
Novamente, desenhe o segmento TX pelos pontos médios das bases do trapézio - em um trapézio isósceles ele é perpendicular às bases. E ao mesmo tempo TX é o eixo de simetria de um trapézio isósceles.
Desta vez, abaixe a altura do vértice oposto do trapézio até a base maior (vamos chamá-la de a). Você obterá dois segmentos. O comprimento de um pode ser encontrado se os comprimentos das bases forem somados e divididos ao meio: (a + b)/2. Obtemos o segundo quando subtraímos o menor da base maior e dividimos a diferença resultante por dois: (a – b)/2.

Propriedades de um trapézio inscrito em um círculo

Como já estamos falando de um trapézio inscrito em um círculo, detenhamo-nos neste assunto com mais detalhes. Em particular, onde está o centro do círculo em relação ao trapézio. Aqui também é recomendável que você reserve um tempo para pegar um lápis e desenhar o que será discutido a seguir. Assim você entenderá mais rápido e lembrará melhor.

A localização do centro do círculo é determinada pelo ângulo de inclinação da diagonal do trapézio em relação ao seu lado. Por exemplo, uma diagonal pode se estender do topo de um trapézio em ângulo reto com o lado. Neste caso, a base maior intercepta o centro da circunferência circunscrita exatamente no meio (R = ½AE).
A diagonal e o lado também podem se encontrar em um ângulo agudo - então o centro do círculo está dentro do trapézio.
O centro do círculo circunscrito pode estar fora do trapézio, além de sua base maior, se houver um ângulo obtuso entre a diagonal do trapézio e o lado.
O ângulo formado pela diagonal e pela base grande do trapézio ACME (ângulo inscrito) é a metade do ângulo central que lhe corresponde: MAE = ½MOE.
Resumidamente sobre duas maneiras de encontrar o raio de um círculo circunscrito. Método um: observe atentamente o seu desenho - o que você vê? Você pode notar facilmente que a diagonal divide o trapézio em dois triângulos. O raio pode ser encontrado pela razão entre o lado do triângulo e o seno do ângulo oposto, multiplicado por dois. Por exemplo, R = AE/2*sinAME. De forma semelhante, a fórmula pode ser escrita para qualquer um dos lados de ambos os triângulos.
Método dois: encontre o raio do círculo circunscrito através da área do triângulo formado pela diagonal, lado e base do trapézio: R = SOU*ME*AE/4*S AME.

Propriedades de um trapézio circunscrito a um círculo

Você pode ajustar um círculo em um trapézio se uma condição for atendida. Leia mais sobre isso abaixo. E juntas esta combinação de figuras tem uma série de propriedades interessantes.

Se um círculo estiver inscrito em um trapézio, o comprimento de sua linha média pode ser facilmente encontrado somando os comprimentos dos lados e dividindo a soma resultante pela metade: m = (c + d)/2.
Para o trapézio ACME, descrito em torno de um círculo, a soma dos comprimentos das bases é igual à soma dos comprimentos dos lados: AK + ME = KM + AE.
Desta propriedade das bases de um trapézio segue-se a afirmação inversa: um círculo pode ser inscrito em um trapézio cuja soma das bases é igual à soma dos seus lados.
O ponto tangente de um círculo de raio r inscrito em um trapézio divide o lado em dois segmentos, vamos chamá-los de a e b. O raio de um círculo pode ser calculado usando a fórmula: r = √ab.
E mais um imóvel. Para evitar confusão, desenhe você também este exemplo. Temos o bom e velho trapézio ACME, descrito em torno de um círculo. Contém diagonais que se cruzam no ponto O. Os triângulos AOK e EOM formados pelos segmentos das diagonais e dos lados laterais são retangulares.
As alturas desses triângulos, abaixados até as hipotenusas (ou seja, os lados laterais do trapézio), coincidem com os raios do círculo inscrito. E a altura do trapézio coincide com o diâmetro do círculo inscrito.

Propriedades de um trapézio retangular

Um trapézio é denominado retangular se um de seus ângulos for reto. E suas propriedades decorrem dessa circunstância.

Um trapézio retangular tem um dos lados perpendicular à base.
A altura e o lado de um trapézio adjacente a um ângulo reto são iguais. Isso permite calcular a área de um trapézio retangular (fórmula geral S = (uma + b) *h/2) não apenas pela altura, mas também pelo lado adjacente ao ângulo reto.
Para um trapézio retangular, as propriedades gerais das diagonais do trapézio já descritas acima são relevantes.

Evidência de algumas propriedades do trapézio

Igualdade de ângulos na base de um trapézio isósceles:

Você provavelmente já adivinhou que aqui precisaremos do trapézio AKME novamente - desenhe um trapézio isósceles. Desenhe uma linha reta MT do vértice M, paralela ao lado de AK (MT || AK).

O quadrilátero AKMT resultante é um paralelogramo (AK || MT, KM || AT). Como ME = KA = MT, ∆ MTE é isósceles e MET = MTE.

AK || MT, portanto MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Onde AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Agora, com base na propriedade de um trapézio isósceles (igualdade de diagonais), provamos que trapézio ACME é isósceles:

Primeiro, vamos traçar uma linha reta MX – MX || KE. Obtemos um paralelogramo KMHE (base – MX || KE e KM || EX).

∆AMX é isósceles, pois AM = KE = MX e MAX = MEA.

MS || KE, KEA = MXE, portanto MAE = MXE.

Descobriu-se que os triângulos AKE e EMA são iguais entre si, pois AM = KE e AE são o lado comum dos dois triângulos. E também MAE = MXE. Podemos concluir que AK = ME, e daí segue-se que o trapézio AKME é isósceles.

Revisar tarefa

As bases do trapézio ACME têm 9 cm e 21 cm, o lado lateral KA, igual a 8 cm, forma um ângulo de 150 0 com a base menor. Você precisa encontrar a área do trapézio.

Solução: Do vértice K baixamos a altura até a base maior do trapézio. E vamos começar a observar os ângulos do trapézio.

Os ângulos AEM e KAN são unilaterais. Isso significa que no total eles dão 180 0. Portanto, KAN = 30 0 (com base na propriedade dos ângulos trapezoidais).

Consideremos agora o ∆ANC retangular (acredito que este ponto seja óbvio para os leitores sem evidências adicionais). A partir dele encontraremos a altura do trapézio KH - em um triângulo é uma perna oposta ao ângulo de 30 0. Portanto, KH = ½AB = 4 cm.

Encontramos a área do trapézio usando a fórmula: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Posfácio

Se você estudou este artigo com atenção e atenção, não teve preguiça de desenhar trapézios para todas as propriedades fornecidas com um lápis nas mãos e analisá-las na prática, você deveria ter dominado bem o material.

Claro que há muita informação aqui, variada e às vezes até confusa: não é tão difícil confundir as propriedades do trapézio descrito com as propriedades do inscrito. Mas você mesmo viu que a diferença é enorme.

Agora você tem um esboço detalhado de todas as propriedades gerais de um trapézio. Bem como propriedades e características específicas de trapézios isósceles e retangulares. É muito conveniente de usar para se preparar para testes e exames. Experimente você mesmo e compartilhe o link com seus amigos!

blog.site, ao copiar o material total ou parcialmente, é necessário um link para a fonte original.