O que é chamado de progressão aritmética. Como encontrar uma progressão aritmética? Exemplos de progressão aritmética com solução

Muitas pessoas já ouviram falar de progressão aritmética, mas nem todos têm uma boa ideia do que seja. Neste artigo daremos a definição correspondente e também consideraremos a questão de como encontrar a diferença de uma progressão aritmética e daremos vários exemplos.

Definição matemática

Então, se estamos falando de uma progressão aritmética ou algébrica (esses conceitos definem a mesma coisa), isso significa que existe uma certa série numérica que satisfaz a seguinte lei: cada dois números adjacentes na série diferem pelo mesmo valor. Matematicamente está escrito assim:

Aqui n significa o número do elemento a n na sequência, e o número d é a diferença da progressão (seu nome segue da fórmula apresentada).

O que significa saber a diferença d? Sobre o quão “distantes” os números vizinhos estão um do outro. No entanto, o conhecimento de d é uma condição necessária, mas não suficiente, para determinar (restaurar) toda a progressão. É necessário conhecer mais um número, que pode ser absolutamente qualquer elemento da série em questão, por exemplo, 4, a10, mas, via de regra, utilizam o primeiro número, ou seja, 1.

Fórmulas para determinar elementos de progressão

Em geral, as informações acima já são suficientes para avançar na resolução de problemas específicos. No entanto, antes de ser dada a progressão aritmética, e será necessário encontrar a sua diferença, apresentaremos algumas fórmulas úteis, facilitando assim o processo subsequente de resolução de problemas.

É fácil mostrar que qualquer elemento da sequência com número n pode ser encontrado da seguinte forma:

uma n = uma 1 + (n - 1) * d

Na verdade, qualquer pessoa pode verificar esta fórmula através de uma pesquisa simples: se substituir n = 1, obterá o primeiro elemento, se substituir n = 2, então a expressão dá a soma do primeiro número e a diferença, e assim por diante.

As condições de muitos problemas são compostas de tal forma que, dado um par conhecido de números, cujos números também são dados na sequência, é necessário reconstruir toda a série numérica (encontrar a diferença e o primeiro elemento). Agora vamos resolver este problema de forma geral.

Então, sejam dados dois elementos com números n e m. Usando a fórmula obtida acima, você pode criar um sistema de duas equações:

uma n = uma 1 + (n - 1) * d;

uma m = uma 1 + (m - 1) * d

Para encontrar quantidades desconhecidas, usaremos uma técnica simples e bem conhecida para resolver tal sistema: subtraia os lados esquerdo e direito aos pares, a igualdade permanecerá válida. Nós temos:

uma n = uma 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Assim, excluímos uma incógnita (a 1). Agora podemos escrever a expressão final para determinar d:

d = (a n - a m) / (n - m), onde n > m

Recebemos uma fórmula muito simples: para calcular a diferença d de acordo com as condições do problema, basta tomar a razão das diferenças entre os próprios elementos e seus números de série. Um ponto importante deve ser observado: as diferenças são tomadas entre os membros “sênior” e “júnior”, ou seja, n > m (“sênior” significa estar mais longe do início da sequência, seu valor absoluto pode ser tanto elemento maior ou menos mais "júnior").

A expressão para a diferença d progressão deve ser substituída em qualquer uma das equações no início da resolução do problema para obter o valor do primeiro termo.

Na nossa era de desenvolvimento da tecnologia informática, muitos alunos tentam encontrar soluções para as suas tarefas na Internet, por isso surgem frequentemente questões deste tipo: encontrar a diferença de uma progressão aritmética online. Para tal solicitação, o mecanismo de busca retornará uma série de páginas da web, nas quais você precisará inserir os dados conhecidos da condição (podem ser dois termos da progressão ou a soma de um certo número deles ) e receba instantaneamente uma resposta. No entanto, esta abordagem para resolver o problema é improdutiva em termos de desenvolvimento do aluno e compreensão da essência da tarefa que lhe é atribuída.

Solução sem usar fórmulas

Vamos resolver o primeiro problema sem usar nenhuma das fórmulas fornecidas. Sejam dados os elementos da série: a6 = 3, a9 = 18. Encontre a diferença da progressão aritmética.

Os elementos conhecidos ficam próximos uns dos outros em uma fileira. Quantas vezes a diferença d deve ser somada ao menor para obter o maior? Três vezes (a primeira vez adicionando d, obtemos o 7º elemento, a segunda vez - o oitavo, finalmente, a terceira vez - o nono). Qual número deve ser adicionado a três três vezes para obter 18? Este é o número cinco. Realmente:

Assim, a diferença desconhecida d = 5.

É claro que a solução poderia ter sido realizada usando a fórmula apropriada, mas isso não foi feito intencionalmente. Uma explicação detalhada da solução do problema deve se tornar um exemplo claro e claro do que é uma progressão aritmética.

Uma tarefa semelhante à anterior

Agora vamos resolver um problema semelhante, mas alterando os dados de entrada. Então, você deve descobrir se a3 = 2, a9 = 19.

Claro, você pode recorrer novamente ao método de solução “frontal”. Mas como são dados elementos da série que estão relativamente distantes uns dos outros, esse método não será totalmente conveniente. Mas usar a fórmula resultante nos levará rapidamente à resposta:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17/6 ≈ 2,83

Aqui arredondamos o número final. A extensão em que este arredondamento levou a um erro pode ser avaliada verificando o resultado:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Este resultado difere em apenas 0,1% do valor fornecido na condição. Portanto, o arredondamento utilizado para os centésimos mais próximos pode ser considerado uma escolha acertada.

Problemas envolvendo a aplicação da fórmula para o termo an

Vamos considerar um exemplo clássico de problema para determinar a incógnita d: encontre a diferença de uma progressão aritmética se a1 = 12, a5 = 40.

Quando dois números de uma sequência algébrica desconhecida são dados, e um deles é o elemento a 1, então você não precisa pensar muito, mas deve aplicar imediatamente a fórmula para o termo a n. Neste caso temos:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Recebemos o número exato na divisão, portanto não adianta verificar a exatidão do resultado calculado, como foi feito no parágrafo anterior.

Vamos resolver outro problema semelhante: precisamos encontrar a diferença de uma progressão aritmética se a1 = 16, a8 = 37.

Usamos uma abordagem semelhante à anterior e obtemos:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

O que mais você deve saber sobre progressão aritmética?

Além dos problemas de encontrar uma diferença desconhecida ou elementos individuais, muitas vezes é necessário resolver problemas de soma dos primeiros termos de uma sequência. A consideração desses problemas está além do escopo do artigo, porém, para completar as informações, apresentamos uma fórmula geral para a soma de n números em uma série:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Qual é a essência principal da fórmula?

Esta fórmula permite que você encontre qualquer PELO SEU NÚMERO " n" .

Claro, você também precisa saber o primeiro termo um 1 e diferença de progressão d, bem, sem esses parâmetros você não pode escrever uma progressão específica.

Memorizar (ou copiar) esta fórmula não é suficiente. Você precisa entender sua essência e aplicar a fórmula em diversos problemas. E também para não esquecer na hora certa, sim...) Como não esqueça- Não sei. E aqui como lembrar Se necessário, com certeza irei aconselhá-lo. Para aqueles que completam a lição até o fim.)

Então, vejamos a fórmula do enésimo termo de uma progressão aritmética.

O que é uma fórmula em geral? A propósito, dê uma olhada se você ainda não leu. Tudo é simples aí. Resta descobrir o que é enésimo termo.

A progressão em geral pode ser escrita como uma série de números:

um 1, um 2, um 3, um 4, um 5, .....

um 1- denota o primeiro termo de uma progressão aritmética, um 3- terceiro membro, um 4- o quarto e assim por diante. Se estivermos interessados ​​no quinto termo, digamos que estamos trabalhando com um 5, se cento e vinte - s um 120.

Como podemos defini-lo em termos gerais? qualquer termo de uma progressão aritmética, com qualquer número? Muito simples! Assim:

um

É isso que é enésimo termo de uma progressão aritmética. A letra n oculta todos os números dos membros de uma vez: 1, 2, 3, 4 e assim por diante.

E o que esse registro nos dá? Pense só, em vez de um número eles escreveram uma carta...

Esta notação nos dá uma ferramenta poderosa para trabalhar com progressão aritmética. Usando a notação um, podemos encontrar rapidamente qualquer membro qualquer progressão aritmética. E resolva vários outros problemas de progressão. Você verá por si mesmo mais adiante.

Na fórmula do enésimo termo de uma progressão aritmética:

um 1- o primeiro termo de uma progressão aritmética;

n- número de membro.

A fórmula conecta os principais parâmetros de qualquer progressão: um ; um1; d E n. Todos os problemas de progressão giram em torno desses parâmetros.

A fórmula do enésimo termo também pode ser usada para escrever uma progressão específica. Por exemplo, o problema pode dizer que a progressão é especificada pela condição:

uma n = 5 + (n-1) 2.

Tal problema pode ser um beco sem saída... Não há série nem diferença... Mas, comparando a condição com a fórmula, é fácil entender que nesta progressão a 1 =5 e d=2.

E pode ser ainda pior!) Se adotarmos a mesma condição: uma n = 5 + (n-1) 2, Sim, abra os parênteses e traga outros semelhantes? Obtemos uma nova fórmula:

uma n = 3 + 2n.

Esse Apenas não geral, mas para uma progressão específica. É aqui que se esconde a armadilha. Algumas pessoas pensam que o primeiro termo é três. Embora na realidade o primeiro termo seja cinco... Um pouco mais abaixo trabalharemos com essa fórmula modificada.

Nos problemas de progressão há outra notação - umn+1. Este é, como você adivinhou, o termo “n mais primeiro” da progressão. Seu significado é simples e inofensivo.) Este é um membro da progressão cujo número é maior que o número n por um. Por exemplo, se em algum problema tomarmos um quinto mandato então umn+1 será o sexto membro. Etc.

Na maioria das vezes a designação umn+1 encontrado em fórmulas de recorrência. Não tenha medo dessa palavra assustadora!) Esta é apenas uma forma de expressar um membro de uma progressão aritmética através do anterior. Digamos que recebemos uma progressão aritmética nesta forma, usando uma fórmula recorrente:

umn+1 = umn +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

O quarto - até o terceiro, o quinto - até o quarto e assim por diante. Como podemos contar imediatamente, digamos, o vigésimo termo? um 20? Mas não tem como!) Até descobrirmos o 19º termo, não podemos contar o 20º. Esta é a diferença fundamental entre a fórmula recorrente e a fórmula do enésimo termo. Recorrente funciona apenas através anterior termo, e a fórmula do enésimo termo é através primeiro e permite imediatamente encontre qualquer membro pelo seu número. Sem calcular toda a série de números em ordem.

Em uma progressão aritmética, é fácil transformar uma fórmula recorrente em uma fórmula regular. Conte um par de termos consecutivos, calcule a diferença d, encontre, se necessário, o primeiro termo um 1, escreva a fórmula em sua forma usual e trabalhe com ela. Tais tarefas são frequentemente encontradas na Academia Estadual de Ciências.

Aplicação da fórmula do enésimo termo de uma progressão aritmética.

Primeiro, vejamos a aplicação direta da fórmula. No final da lição anterior houve um problema:

Uma progressão aritmética (an) é dada. Encontre 121 se a 1 =3 e d=1/6.

Este problema pode ser resolvido sem quaisquer fórmulas, simplesmente com base no significado de uma progressão aritmética. Adicione e adicione... Uma ou duas horas.)

E de acordo com a fórmula, a solução levará menos de um minuto. Você pode cronometrar.) Vamos decidir.

As condições fornecem todos os dados para usar a fórmula: uma 1 =3, d=1/6. Resta descobrir o que é igual n. Sem problemas! Precisamos encontrar um 121. Então escrevemos:

Por favor preste atenção! Em vez de um índice n apareceu um número específico: 121. O que é bastante lógico.) Estamos interessados ​​​​no membro da progressão aritmética número cento e vinte e um. Este será nosso n. Este é o significado n= 121 substituiremos ainda mais na fórmula, entre colchetes. Substituímos todos os números na fórmula e calculamos:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

É isso. Com a mesma rapidez seria possível encontrar o quinhentos e décimo termo, e o milésimo terceiro, qualquer um. Colocamos em vez disso n o número desejado no índice da letra " a" e entre parênteses, e contamos.

Deixe-me lembrá-lo: esta fórmula permite que você encontre qualquer termo de progressão aritmética PELO SEU NÚMERO " n" .

Vamos resolver o problema de uma forma mais astuta. Vamos nos deparar com o seguinte problema:

Encontre o primeiro termo da progressão aritmética (an), se a 17 =-2; d=-0,5.

Se você tiver alguma dificuldade, direi o primeiro passo. Escreva a fórmula do enésimo termo de uma progressão aritmética! Sim Sim. Escreva com as mãos, direto no seu caderno:

E agora, olhando as letras da fórmula, entendemos quais dados temos e o que falta? Disponível d=-0,5, há um décimo sétimo membro... É isso? Se você acha que é isso, então você não vai resolver o problema, sim...

Ainda temos um número n! Em condição a 17 = -2 escondido dois parâmetros. Este é o valor do décimo sétimo termo (-2) e seu número (17). Aqueles. n=17. Esta “ninharia” muitas vezes passa despercebida, e sem ela (sem a “ninharia”, não a cabeça!) o problema não pode ser resolvido. Embora... e sem cabeça também.)

Agora podemos simplesmente substituir estupidamente nossos dados na fórmula:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Oh sim, um 17 sabemos que é -2. Ok, vamos substituir:

-2 = a1 + (17-1)·(-0,5)

Isso é basicamente tudo. Resta expressar o primeiro termo da progressão aritmética da fórmula e calculá-lo. A resposta será: uma 1 = 6.

Essa técnica - escrever uma fórmula e simplesmente substituir os dados conhecidos - é de grande ajuda em tarefas simples. Bem, é claro que você deve ser capaz de expressar uma variável a partir de uma fórmula, mas o que fazer!? Sem esta habilidade, a matemática pode não ser estudada...

Outro quebra-cabeça popular:

Encontre a diferença da progressão aritmética (a n), se a 1 =2; um 15 =12.

O que estamos fazendo? Você ficará surpreso, estamos escrevendo a fórmula!)

Vamos considerar o que sabemos: a1 =2; a 15 =12; e (vou destacar especialmente!) n=15. Sinta-se à vontade para substituir isso na fórmula:

12=2 + (15-1)d

Fazemos a aritmética.)

12 = 2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Essa é a resposta correta.

Então, as tarefas para um n, um 1 E d decidiu. Resta aprender como encontrar o número:

O número 99 é membro da progressão aritmética (an), onde a 1 =12; d=3. Encontre o número deste membro.

Substituímos as quantidades que conhecemos na fórmula do enésimo termo:

uma n = 12 + (n-1) 3

À primeira vista, existem duas quantidades desconhecidas aqui: um n e n. Mas um- este é algum membro da progressão com um número n...E conhecemos esse membro da progressão! É 99. Não sabemos o seu número. não, Portanto, esse número é o que você precisa encontrar. Substituímos o termo da progressão 99 na fórmula:

99 = 12 + (n-1) 3

Expressamos a partir da fórmula n, nós pensamos. Obtemos a resposta: n=30.

E agora um problema sobre o mesmo tema, mas mais criativo):

Determine se o número 117 é membro da progressão aritmética (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Vamos escrever a fórmula novamente. O quê, não há parâmetros? Hm... Por que temos olhos?) Vemos o primeiro termo da progressão? Nós vemos. Isso é -3,6. Você pode escrever com segurança: uma 1 = -3,6. Diferença d Você consegue perceber pela série? É fácil se você souber qual é a diferença de uma progressão aritmética:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Então, fizemos a coisa mais simples. Resta lidar com o número desconhecido n e o incompreensível número 117. No problema anterior, pelo menos sabia-se que era o termo da progressão que era dado. Mas aqui a gente nem sabe... O que fazer!? Bem, como ser, como ser... Ative suas habilidades criativas!)

Nós suponha que 117 é, afinal, um membro da nossa progressão. Com um número desconhecido n. E, assim como no problema anterior, vamos tentar encontrar esse número. Aqueles. escrevemos a fórmula (sim, sim!)) e substituímos nossos números:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Novamente expressamos a partir da fórmulan, contamos e obtemos:

Ops! O número acabou fracionário! Cento e um e meio. E números fracionários em progressões não pode ser. Que conclusão podemos tirar? Sim! Número 117 não é membro da nossa progressão. Está em algum lugar entre o centésimo primeiro e o centésimo segundo mandatos. Se o número fosse natural, ou seja, é um número inteiro positivo, então o número seria um membro da progressão com o número encontrado. E no nosso caso, a resposta para o problema será: Não.

Uma tarefa baseada em uma versão real do GIA:

Uma progressão aritmética é dada pela condição:

uma n = -4 + 6,8n

Encontre o primeiro e o décimo termos da progressão.

Aqui a progressão é definida de forma incomum. Algum tipo de fórmula... Acontece.) No entanto, esta fórmula (como escrevi acima) - também a fórmula para o enésimo termo de uma progressão aritmética! Ela também permite encontre qualquer membro da progressão por seu número.

Estamos procurando o primeiro membro. Aquele que pensa. que o primeiro termo seja menos quatro está fatalmente errado!) Porque a fórmula do problema foi modificada. O primeiro termo da progressão aritmética nele escondido. Está tudo bem, vamos encontrá-lo agora.)

Assim como nos problemas anteriores, substituímos n=1 nesta fórmula:

uma 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Aqui! O primeiro termo é 2,8, não -4!

Procuramos o décimo termo da mesma maneira:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

É isso.

E agora, para quem leu até estas linhas, o bônus prometido.)

Suponha que, em uma difícil situação de combate do Exame de Estado ou do Exame de Estado Unificado, você tenha esquecido a fórmula útil para o enésimo termo de uma progressão aritmética. Lembro-me de algo, mas de alguma forma incerto... Ou n lá, ou n+1, ou n-1... Como ser!?

Calma! Esta fórmula é fácil de derivar. Não é muito rigoroso, mas definitivamente é suficiente para ter confiança e tomar a decisão certa!) Para concluir, basta lembrar o significado elementar de uma progressão aritmética e ter alguns minutos de tempo. Você só precisa fazer um desenho. Para maior clareza.

Desenhe uma reta numérica e marque a primeira nela. segundo, terceiro, etc. membros. E notamos a diferença d entre os membros. Assim:

Olhamos a foto e pensamos: a que é igual o segundo termo? Segundo um d:

a 2 =a 1 + 1 d

Qual é o terceiro termo? Terceiro termo é igual ao primeiro termo mais dois d.

a 3 =a 1 + 2 d

Você entendeu? Não é à toa que destaco algumas palavras em negrito. Ok, mais um passo).

Qual é o quarto termo? Quarto termo é igual ao primeiro termo mais três d.

a 4 =a 1 + 3 d

É hora de perceber que o número de lacunas, ou seja, d, Sempre um a menos que o número do membro que você procura n. Ou seja, para o número n, número de espaços vai n-1. Portanto, a fórmula será (sem variações!):

Em geral, as imagens visuais são muito úteis na resolução de muitos problemas de matemática. Não negligencie as fotos. Mas se for difícil fazer um desenho, então... apenas uma fórmula!) Além disso, a fórmula do enésimo termo permite conectar todo o poderoso arsenal da matemática à solução - equações, desigualdades, sistemas, etc. Você não pode inserir uma imagem na equação...

Tarefas para solução independente.

Aquecer:

1. Na progressão aritmética (a n) a 2 =3; uma 5 =5,1. Encontre um 3.

Dica: de acordo com a foto, o problema pode ser resolvido em 20 segundos... Pela fórmula fica mais difícil. Mas para dominar a fórmula, é mais útil.) Na Seção 555, esse problema é resolvido usando tanto a imagem quanto a fórmula. Sinta a diferença!)

E isso não é mais um aquecimento.)

2. Na progressão aritmética (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Encontre a 3 .

O quê, você não quer fazer um desenho?) Claro! Melhor de acordo com a fórmula, sim...

3. A progressão aritmética é dada pela condição:a1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Encontre o centésimo vigésimo quinto termo desta progressão.

Nesta tarefa, a progressão é especificada de maneira recorrente. Mas contando até o centésimo vigésimo quinto mandato... Nem todos são capazes de tal façanha.) Mas a fórmula do enésimo termo está ao alcance de todos!

4. Dada uma progressão aritmética (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Encontre o número do menor termo positivo da progressão.

5. De acordo com as condições da tarefa 4, encontre a soma dos menores termos positivos e maiores negativos da progressão.

6. O produto do quinto e décimo segundo termos de uma progressão aritmética crescente é igual a -2,5, e a soma do terceiro e décimo primeiro termos é igual a zero. Encontre um 14.

Não é a tarefa mais fácil, sim...) O método da “ponta do dedo” não funcionará aqui. Você terá que escrever fórmulas e resolver equações.

Respostas (em desordem):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Ocorrido? É legal!)

Nem tudo dá certo? Acontece. A propósito, há um ponto sutil na última tarefa. Será necessário cuidado ao ler o problema. E lógica.

A solução para todos esses problemas é discutida em detalhes na Seção 555. E o elemento de fantasia para o quarto, e o ponto sutil para o sexto, e abordagens gerais para resolver quaisquer problemas envolvendo a fórmula do enésimo termo - tudo está descrito. Eu recomendo.

Se você gosta deste site...

A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)

Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Vamos aprender - com interesse!)

Você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Soma de uma progressão aritmética.

A soma de uma progressão aritmética é uma coisa simples. Tanto no significado quanto na fórmula. Mas existem todos os tipos de tarefas neste tópico. Do básico ao bastante sólido.

Primeiro, vamos entender o significado e a fórmula do valor. E então decidiremos. Para seu próprio prazer.) O significado da quantia é tão simples quanto um moo. Para encontrar a soma de uma progressão aritmética, basta somar cuidadosamente todos os seus termos. Se esses termos forem poucos, você poderá adicionar sem nenhuma fórmula. Mas se houver muito, ou muito... adicionar é chato.) Nesse caso, a fórmula vem em socorro.

A fórmula para o valor é simples:

Vamos descobrir que tipo de letras estão incluídas na fórmula. Isso vai esclarecer bastante as coisas.

S n - a soma de uma progressão aritmética. Resultado da adição todos membros, com primeiro Por durar.É importante. Eles somam exatamente Todos membros seguidos, sem pular ou pular. E, precisamente, a partir de primeiro. Em problemas como encontrar a soma do terceiro e do oitavo termos, ou a soma do quinto ao vigésimo termos, a aplicação direta da fórmula irá decepcionar.)

um 1 - primeiro membro da progressão. Tudo está claro aqui, é simples primeiro número da linha.

um- durar membro da progressão. O último número da série. Não é um nome muito familiar, mas quando aplicado à quantidade é muito adequado. Então você verá por si mesmo.

n - número do último membro. É importante entender que na fórmula este número coincide com o número de termos adicionados.

Vamos definir o conceito durar membro um. Pergunta complicada: qual membro será o último se dado sem fim progressão aritmética?)

Para responder com segurança, você precisa entender o significado elementar da progressão aritmética e... leia a tarefa com atenção!)

Na tarefa de encontrar a soma de uma progressão aritmética, sempre aparece o último termo (direta ou indiretamente), que deveria ser limitado. Caso contrário, um montante final e específico simplesmente não existe. Para a solução não importa se a progressão é dada: finita ou infinita. Não importa como é dado: uma série de números ou uma fórmula para o enésimo termo.

O mais importante é entender que a fórmula funciona desde o primeiro termo da progressão até o termo com número n. Na verdade, o nome completo da fórmula é assim: a soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética. O número desses primeiros membros, ou seja, n, é determinado exclusivamente pela tarefa. Em uma tarefa, muitas vezes todas essas informações valiosas são criptografadas, sim... Mas não importa, nos exemplos abaixo revelamos esses segredos.)

Exemplos de tarefas sobre a soma de uma progressão aritmética.

Em primeiro lugar, informações úteis:

A principal dificuldade em tarefas que envolvem a soma de uma progressão aritmética está na correta determinação dos elementos da fórmula.

Os redatores das tarefas criptografam esses mesmos elementos com imaginação sem limites.) O principal aqui é não ter medo. Compreendendo a essência dos elementos, basta simplesmente decifrá-los. Vejamos alguns exemplos em detalhes. Vamos começar com uma tarefa baseada em um GIA real.

1. A progressão aritmética é dada pela condição: a n = 2n-3,5. Encontre a soma de seus primeiros 10 termos.

Bom trabalho. Fácil.) Para determinar o valor pela fórmula, o que precisamos saber? Primeiro membro um 1, último termo um, sim, o número do último membro n.

Onde posso obter o número do último membro? n? Sim, aí mesmo, com condição! Diz: encontre a soma primeiros 10 membros. Bem, com que número será? durar, décimo membro?) Você não vai acreditar, o número dele é o décimo!) Portanto, em vez de um Vamos substituir na fórmula um 10, e ao invés n- dez. Repito, o número do último membro coincide com o número de membros.

Resta determinar um 1 E um 10. Isso é facilmente calculado usando a fórmula do enésimo termo, fornecida na definição do problema. Não sabe como fazer isso? Assista a lição anterior, sem isso não tem como.

um 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

um 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Descobrimos o significado de todos os elementos da fórmula da soma de uma progressão aritmética. Resta substituí-los e contar:

É isso. Resposta: 75.

Outra tarefa baseada no GIA. Um pouco mais complicado:

2. Dada uma progressão aritmética (a n), cuja diferença é 3,7; uma 1 =2,3. Encontre a soma de seus primeiros 15 termos.

Escrevemos imediatamente a fórmula da soma:

Esta fórmula nos permite encontrar o valor de qualquer termo pelo seu número. Procuramos uma substituição simples:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Resta substituir todos os elementos na fórmula da soma de uma progressão aritmética e calcular a resposta:

Resposta: 423.

A propósito, se na fórmula da soma em vez de um Simplesmente substituímos a fórmula pelo enésimo termo e obtemos:

Vamos apresentar outros semelhantes e obter uma nova fórmula para a soma dos termos de uma progressão aritmética:

Como você pode ver, o enésimo termo não é necessário aqui um. Em alguns problemas essa fórmula ajuda muito, sim... Você pode lembrar dessa fórmula. Ou você pode simplesmente exibi-lo no momento certo, como aqui. Afinal, você sempre precisa se lembrar da fórmula da soma e da fórmula do enésimo termo.)

Agora a tarefa na forma de uma criptografia curta):

3. Encontre a soma de todos os números positivos de dois dígitos que são múltiplos de três.

Uau! Nem seu primeiro membro, nem seu último, nem progressão alguma... Como viver!?

Você terá que pensar com a cabeça e retirar todos os elementos da soma da progressão aritmética da condição. Sabemos o que são números de dois dígitos. Eles consistem em dois números.) Qual será o número de dois dígitos primeiro? 10, presumivelmente.) A última coisa número de dois dígitos? 99, claro! Os de três dígitos o seguirão...

Múltiplos de três... Hm... São números divisíveis por três, aqui! Dez não é divisível por três, 11 não é divisível... 12... é divisível! Então, algo está surgindo. Você já pode anotar uma série de acordo com as condições do problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Esta série será uma progressão aritmética? Certamente! Cada termo difere do anterior estritamente por três. Se você adicionar 2 ou 4 a um termo, digamos, o resultado, ou seja, o novo número não é mais divisível por 3. Você pode determinar imediatamente a diferença da progressão aritmética: d = 3. Ele virá a calhar!)

Portanto, podemos escrever com segurança alguns parâmetros de progressão:

Qual será o número? núltimo membro? Quem pensa que 99 está fatalmente enganado... Os números andam sempre seguidos, mas os nossos membros ultrapassam o três. Eles não combinam.

Existem duas soluções aqui. Uma maneira é para os super trabalhadores. Você pode anotar a progressão, toda a série de números e contar o número de membros com o dedo.) A segunda maneira é para os pensativos. Você precisa se lembrar da fórmula do enésimo termo. Se aplicarmos a fórmula ao nosso problema, descobrimos que 99 é o trigésimo termo da progressão. Aqueles. n = 30.

Vejamos a fórmula para a soma de uma progressão aritmética:

Olhamos e nos alegramos.) Retiramos da declaração do problema tudo o que é necessário para calcular o valor:

um 1= 12.

um 30= 99.

S n = S30.

Tudo o que resta é aritmética elementar. Substituímos os números na fórmula e calculamos:

Resposta: 1665

Outro tipo de quebra-cabeça popular:

4. Dada uma progressão aritmética:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Encontre a soma dos termos de vinte a trinta e quatro.

Olhamos a fórmula do valor e... ficamos chateados.) A fórmula, deixe-me lembrar, calcula o valor desde o primeiro membro. E no problema você precisa calcular a soma desde o século XX... A fórmula não funcionará.

Você pode, é claro, escrever toda a progressão em uma série e adicionar termos de 20 a 34. Mas... é um tanto estúpido e leva muito tempo, certo?)

Existe uma solução mais elegante. Vamos dividir nossa série em duas partes. A primeira parte será do primeiro mandato ao décimo nono. Segunda parte - dos vinte aos trinta e quatro.É claro que se calcularmos a soma dos termos da primeira parte C 1-19, vamos adicioná-lo com a soma dos termos da segunda parte C 20-34, obtemos a soma da progressão do primeiro termo ao trigésimo quarto C 1-34. Assim:

C 1-19 + C 20-34 = C 1-34

A partir disso podemos ver que encontre a soma C 20-34 pode ser feito por subtração simples

C 20-34 = C 1-34 - C 1-19

Ambos os valores do lado direito são considerados desde o primeiro membro, ou seja, a fórmula da soma padrão é bastante aplicável a eles. Vamos começar?

Extraímos os parâmetros de progressão da declaração do problema:

d = 1,5.

um 1= -21,5.

Para calcular as somas dos primeiros 19 e dos primeiros 34 termos, precisaremos do 19º e do 34º termos. Nós os calculamos usando a fórmula do enésimo termo, como no problema 2:

um 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

um 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Nada sobrou. Da soma de 34 termos, subtraia a soma de 19 termos:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Resposta: 262,5

Uma observação importante! Existe um truque muito útil para resolver esse problema. Em vez de cálculo direto o que você precisa (S 20-34), nós contamos algo que parece não ser necessário – CS 1-19. E então eles determinaram C 20-34, descartando o desnecessário do resultado completo. Esse tipo de “finta com os ouvidos” muitas vezes evita problemas graves.)

Nesta lição examinamos problemas para os quais basta compreender o significado da soma de uma progressão aritmética. Bem, você precisa conhecer algumas fórmulas.)

Conselho prático:

Ao resolver qualquer problema que envolva a soma de uma progressão aritmética, recomendo escrever imediatamente as duas fórmulas principais deste tópico.

Fórmula para o enésimo termo:

Essas fórmulas lhe dirão imediatamente o que procurar e em que direção pensar para resolver o problema. Ajuda.

E agora as tarefas para solução independente.

5. Encontre a soma de todos os números de dois dígitos que não são divisíveis por três.

Legal?) A dica está escondida na nota do problema 4. Bem, o problema 3 vai ajudar.

6. A progressão aritmética é dada pela condição: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Encontre a soma de seus primeiros 24 termos.

Incomum?) Esta é uma fórmula recorrente. Você pode ler sobre isso na lição anterior. Não ignore o link, tais problemas são frequentemente encontrados na Academia Estadual de Ciências.

7. Vasya economizou dinheiro para o feriado. Até 4.550 rublos! E decidi dar à minha pessoa favorita (eu) alguns dias de felicidade). Viva lindamente sem negar nada a si mesmo. Gaste 500 rublos no primeiro dia e em cada dia subsequente gaste 50 rublos a mais que no dia anterior! Até o dinheiro acabar. Quantos dias de felicidade Vasya teve?

É difícil?) A fórmula adicional da tarefa 2 ajudará.

Respostas (desordenadas): 7, 3240, 6.

Se você gosta deste site...

A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)

Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Vamos aprender - com interesse!)

Você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Se para todo número natural n corresponder a um número real um , então eles dizem que é dado sequência numérica :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , um , . . . .

Portanto, a sequência numérica é uma função do argumento natural.

Número a 1 chamado primeiro termo da sequência , número a 2 — segundo termo da sequência , número a 3 — terceiro e assim por diante. Número um chamado enésimo membro da sequência , e um número natural n — o número dele .

De dois membros adjacentes um E um +1 membro da sequência um +1 chamado subseqüente (em direção a um ), A um — anterior (em direção a um +1 ).

Para definir uma sequência, você precisa especificar um método que permita encontrar um membro da sequência com qualquer número.

Muitas vezes a sequência é especificada usando fórmulas do enésimo termo , ou seja, uma fórmula que permite determinar um membro de uma sequência por seu número.

Por exemplo,

uma sequência de números ímpares positivos pode ser dada pela fórmula

um= 2n- 1,

e a sequência de alternância 1 E -1 - Fórmula

b n = (-1)n +1 . ◄

A sequência pode ser determinada fórmula recorrente, isto é, uma fórmula que expressa qualquer membro da sequência, começando com alguns, até os membros anteriores (um ou mais).

Por exemplo,

Se a 1 = 1 , A um +1 = um + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Se um 1= 1, um 2 = 1, um +2 = um + um +1 , então os primeiros sete termos da sequência numérica são estabelecidos da seguinte forma:

um 1 = 1,

um 2 = 1,

um 3 = um 1 + um 2 = 1 + 1 = 2,

um 4 = um 2 + um 3 = 1 + 2 = 3,

um 5 = um 3 + um 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

As sequências podem ser final E sem fim .

A sequência é chamada final , se tiver um número finito de membros. A sequência é chamada sem fim , se tiver um número infinito de membros.

Por exemplo,

sequência de números naturais de dois dígitos:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Sequência de números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sem fim. ◄

A sequência é chamada aumentando , se cada um de seus membros, a partir do segundo, for maior que o anterior.

A sequência é chamada diminuindo , se cada um de seus membros, a partir do segundo, for menor que o anterior.

Por exemplo,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — sequência crescente;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — sequência decrescente. ◄

Uma sequência cujos elementos não diminuem à medida que o número aumenta, ou, inversamente, não aumentam, é chamada sequência monótona .

As sequências monotônicas, em particular, são sequências crescentes e sequências decrescentes.

Progressão aritmética

Progressão aritmética é uma sequência em que cada membro, a partir do segundo, é igual ao anterior, ao qual se soma o mesmo número.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , um, . . .

é uma progressão aritmética se para qualquer número natural n a condição é atendida:

um +1 = um + d,

Onde d - um certo número.

Assim, a diferença entre os termos subsequentes e anteriores de uma determinada progressão aritmética é sempre constante:

um 2 - a 1 = um 3 - a 2 = . . . = um +1 - um = d.

Número d chamado diferença de progressão aritmética.

Para definir uma progressão aritmética, basta indicar seu primeiro termo e sua diferença.

Por exemplo,

Se a 1 = 3, d = 4 , então encontramos os primeiros cinco termos da sequência da seguinte forma:

um 1 =3,

um 2 = um 1 + d = 3 + 4 = 7,

um 3 = um 2 + d= 7 + 4 = 11,

um 4 = um 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Para uma progressão aritmética com o primeiro termo a 1 e a diferença d dela n

um = um 1 + (n- 1)d.

Por exemplo,

encontre o trigésimo termo da progressão aritmética

1, 4, 7, 10, . . .

um 1 =1, d = 3,

um 30 = um 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

um n-1 = um 1 + (n- 2)d,

um= um 1 + (n- 1)d,

um +1 = a 1 + e,

então obviamente

Cada membro de uma progressão aritmética, começando pelo segundo, é igual à média aritmética dos membros anteriores e subsequentes.

os números a, b e c são termos sucessivos de alguma progressão aritmética se e somente se um deles for igual à média aritmética dos outros dois.

Por exemplo,

um = 2n- 7 , é uma progressão aritmética.

Vamos usar a afirmação acima. Nós temos:

um = 2n- 7,

um n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

umn+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Por isso,

◄

Observe que n O décimo termo de uma progressão aritmética pode ser encontrado não apenas através a 1 , mas também qualquer anterior um k

um = um k + (n- k)d.

Por exemplo,

Para a 5 pode ser escrito

um 5 = um 1 + 4d,

um 5 = um 2 + 3d,

um 5 = um 3 + 2d,

um 5 = um 4 + d. ◄

um = um n-k + kd,

um = um n + k - kd,

então obviamente

qualquer membro de uma progressão aritmética, a partir do segundo, é igual à metade da soma dos membros igualmente espaçados desta progressão aritmética.

Além disso, para qualquer progressão aritmética, vale a seguinte igualdade:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + eu.

Por exemplo,

em progressão aritmética

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = um 10 = um 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) um 10= 28 = (19 + 37)/2 = (um 7 + um 13)/2;

4) um 2 + um 12 = um 5 + um 9, porque

um 2 + um 12= 4 + 34 = 38,

um 5 + um 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= um 1 + um 2 + um 3 + . . .+ um,

primeiro n termos de uma progressão aritmética é igual ao produto da metade da soma dos termos extremos e do número de termos:

A partir daqui, em particular, segue-se que se você precisar somar os termos

um k, um k +1 , . . . , um,

então a fórmula anterior mantém sua estrutura:

Por exemplo,

em progressão aritmética 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Se uma progressão aritmética for dada, então as quantidades a 1 , um, d, n ES n conectado por duas fórmulas:

Portanto, se os valores de três dessas quantidades forem dados, então os valores correspondentes das outras duas quantidades serão determinados a partir dessas fórmulas, combinadas em um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Uma progressão aritmética é uma sequência monotônica. Em que:

• Se d > 0 , então está aumentando;
• Se d < 0 , então está diminuindo;
• Se d = 0 , então a sequência será estacionária.

Progressão geométrica

Progressão geométrica é uma sequência em que cada membro, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado pelo mesmo número.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

é uma progressão geométrica se para qualquer número natural n a condição é atendida:

b n +1 = b n · q,

Onde q ≠ 0 - um certo número.

Assim, a razão entre o termo subsequente de uma determinada progressão geométrica e o anterior é um número constante:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Número q chamado denominador da progressão geométrica.

Para definir uma progressão geométrica, basta indicar seu primeiro termo e denominador.

Por exemplo,

Se b 1 = 1, q = -3 , então encontramos os primeiros cinco termos da sequência da seguinte forma:

b1 = 1,

b2 = b1 · q = 1 · (-3) = -3,

b3 = b2 · q= -3 · (-3) = 9,

b4 = b3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 e denominador q dela n O décimo termo pode ser encontrado usando a fórmula:

b n = b 1 · qn -1 .

Por exemplo,

encontre o sétimo termo da progressão geométrica 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b1 · qn -2 ,

b n = b1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

então obviamente

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

cada membro da progressão geométrica, a partir do segundo, é igual à média geométrica (proporcional) dos membros anteriores e subsequentes.

Como a recíproca também é verdadeira, vale a seguinte afirmação:

os números a, b e c são termos sucessivos de alguma progressão geométrica se e somente se o quadrado de um deles for igual ao produto dos outros dois, ou seja, um dos números é a média geométrica dos outros dois.

Por exemplo,

Vamos provar que a sequência dada pela fórmula b n= -3 2 n , é uma progressão geométrica. Vamos usar a afirmação acima. Nós temos:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Por isso,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

o que prova a afirmação desejada. ◄

Observe que n O décimo termo de uma progressão geométrica pode ser encontrado não apenas através b 1 , mas também qualquer membro anterior bk , para o qual basta usar a fórmula

b n = bk · qn - k.

Por exemplo,

Para b 5 pode ser escrito

b5 = b1 · q 4 ,

b5 = b2 · q 3,

b5 = b3 · q 2,

b5 = b4 · q. ◄

b n = bk · qn - k,

b n = b n - k · qk,

então obviamente

b n 2 = b n - k· b n + k

o quadrado de qualquer termo de uma progressão geométrica, a partir do segundo, é igual ao produto dos termos desta progressão equidistantes dela.

Além disso, para qualquer progressão geométrica a igualdade é verdadeira:

bm· b n= bk· b eu,

eu+ n= k+ eu.

Por exemplo,

em progressão geométrica

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , porque

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

primeiro n membros de uma progressão geométrica com denominador q ≠ 0 calculado pela fórmula:

E quando q = 1 - de acordo com a fórmula

S n= obs. 1

Observe que se você precisar somar os termos

bk, bk +1 , . . . , b n,

então a fórmula é usada:

Por exemplo,

em progressão geométrica 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Se uma progressão geométrica for dada, então as quantidades b 1 , b n, q, n E S n conectado por duas fórmulas:

Portanto, se os valores de quaisquer três dessas quantidades forem dados, então os valores correspondentes das outras duas quantidades serão determinados a partir dessas fórmulas, combinadas em um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Para uma progressão geométrica com o primeiro termo b 1 e denominador q acontece o seguinte propriedades de monotonicidade :

• a progressão está aumentando se uma das seguintes condições for atendida:

b 1 > 0 E q> 1;

b 1 < 0 E 0 < q< 1;

• A progressão está diminuindo se uma das seguintes condições for atendida:

b 1 > 0 E 0 < q< 1;

b 1 < 0 E q> 1.

Se q< 0 , então a progressão geométrica é alternada: seus termos com números ímpares têm o mesmo sinal do primeiro termo, e os termos com números pares têm sinal oposto. É claro que uma progressão geométrica alternada não é monotônica.

Produto do primeiro n termos de uma progressão geométrica podem ser calculados usando a fórmula:

P n= b1 · b2 · b3 · . . . · b n = (b1 · b n) n / 2 .

Por exemplo,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progressão geométrica infinitamente decrescente

Progressão geométrica infinitamente decrescente chamada de progressão geométrica infinita cujo módulo denominador é menor 1 , aquilo é

|q| < 1 .

Observe que uma progressão geométrica infinitamente decrescente pode não ser uma sequência decrescente. Combina com a ocasião

1 < q< 0 .

Com tal denominador, a sequência é alternada. Por exemplo,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

A soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente nomeie o número para o qual a soma dos primeiros se aproxima sem limite n membros de uma progressão com um aumento ilimitado no número n . Este número é sempre finito e é expresso pela fórmula

Por exemplo,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relação entre progressões aritméticas e geométricas

As progressões aritméticas e geométricas estão intimamente relacionadas. Vejamos apenas dois exemplos.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Que

BA 1 , BA 2 , BA 3 , . . . bd .

Por exemplo,

1, 3, 5, . . . - progressão aritmética com diferença 2 E

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - progressão geométrica com denominador 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - progressão geométrica com denominador q , Que

registrar a b 1, registrar a b 2, registrar a b 3, . . . - progressão aritmética com diferença registrar umq .

Por exemplo,

2, 12, 72, . . . - progressão geométrica com denominador 6 E

LG 2, LG 12, LG 72, . . . - progressão aritmética com diferença LG 6 . ◄

A matemática tem sua própria beleza, assim como a pintura e a poesia.

Cientista russo, mecânico N.E. Jukovsky

Problemas muito comuns em vestibulares de matemática são problemas relacionados ao conceito de progressão aritmética. Para resolver esses problemas com sucesso, você deve ter um bom conhecimento das propriedades da progressão aritmética e certas habilidades em sua aplicação.

Vamos primeiro relembrar as propriedades básicas de uma progressão aritmética e apresentar as fórmulas mais importantes, relacionado a este conceito.

Definição. Sequência numérica, em que cada termo subsequente difere do anterior pelo mesmo número, chamada de progressão aritmética. Neste caso o númerochamada de diferença de progressão.

Para uma progressão aritmética, as seguintes fórmulas são válidas:

, (1)

Onde . A fórmula (1) é chamada de fórmula do termo geral de uma progressão aritmética, e a fórmula (2) representa a propriedade principal de uma progressão aritmética: cada termo da progressão coincide com a média aritmética de seus termos vizinhos e .

Observe que é justamente por causa dessa propriedade que a progressão em consideração é chamada de “aritmética”.

As fórmulas (1) e (2) acima são generalizadas da seguinte forma:

(3)

Para calcular o valor primeiro termos de uma progressão aritméticaa fórmula é geralmente usada

(5) onde e .

Se levarmos em conta a fórmula (1), então da fórmula (5) segue

Se denotarmos , então

Onde . Visto que, as fórmulas (7) e (8) são uma generalização das fórmulas correspondentes (5) e (6).

Em particular , da fórmula (5) segue, O que

Pouco conhecida pela maioria dos estudantes é a propriedade da progressão aritmética, formulada através do seguinte teorema.

Teorema. Se então

Prova. Se então

O teorema foi provado.

Por exemplo , usando o teorema, pode-se mostrar que

Passemos a considerar exemplos típicos de resolução de problemas sobre o tema “Progressão aritmética”.

Exemplo 1. Deixe estar. Encontrar .

Solução. Aplicando a fórmula (6), obtemos. Desde e, então ou.

Exemplo 2. Seja três vezes maior, e quando dividido pelo quociente, o resultado é 2 e o resto é 8. Determine e .

Solução. Das condições do exemplo, o sistema de equações segue

Desde , , e , então a partir do sistema de equações (10) obtemos

A solução para este sistema de equações é e .

Exemplo 3. Encontre se e .

Solução. De acordo com a fórmula (5) temos ou. Porém, usando a propriedade (9), obtemos.

Desde e , então da igualdade a equação segue ou .

Exemplo 4. Descubra se.

Solução.De acordo com a fórmula (5) temos

No entanto, usando o teorema, podemos escrever

A partir daqui e da fórmula (11) obtemos.

Exemplo 5. Dado: . Encontrar .

Solução. Desde então. No entanto, portanto.

Exemplo 6. Deixe, e. Encontrar .

Solução. Usando a fórmula (9), obtemos. Portanto, se , então ou .

Desde e então aqui temos um sistema de equações

Resolvendo isso, obtemos e .

Raiz natural da equaçãoé .

Exemplo 7. Encontre se e .

Solução. Como de acordo com a fórmula (3) temos isso , então o sistema de equações segue das condições do problema

Se substituirmos a expressãona segunda equação do sistema, então obtemos ou .

As raízes de uma equação quadrática são E .

Vamos considerar dois casos.

1. Vamos, então. Desde e, então.

Neste caso, de acordo com a fórmula (6), temos

2. Se, então, e

Resposta: e.

Exemplo 8. Sabe-se que e. Encontrar .

Solução. Levando em consideração a fórmula (5) e a condição do exemplo, escrevemos e .

Isso implica o sistema de equações

Se multiplicarmos a primeira equação do sistema por 2 e depois adicioná-la à segunda equação, obtemos

De acordo com a fórmula (9) temos. A este respeito, resulta de (12) ou .

Desde e, então.

Responder: .

Exemplo 9. Encontre se e .

Solução. Desde , e por condição , então ou .

Da fórmula (5) é conhecido, O que . Desde então.

Por isso , aqui temos um sistema de equações lineares

A partir daqui obtemos e . Levando em conta a fórmula (8), escrevemos.

Exemplo 10. Resolva a equação.

Solução. Da equação dada segue-se que. Suponhamos que , , e . Nesse caso .

De acordo com a fórmula (1), podemos escrever ou.

Desde então, a equação (13) tem a única raiz adequada.

Exemplo 11. Encontre o valor máximo desde que e .

Solução. Desde então, a progressão aritmética em consideração é decrescente. Nesse sentido, a expressão assume seu valor máximo quando é o número do termo positivo mínimo da progressão.

Vamos usar a fórmula (1) e o fato, isso e . Então nós conseguimos isso ou .

Desde então, então ou . Porém, nesta desigualdademaior número natural, É por isso .

Se os valores de e forem substituídos na fórmula (6), obtemos.

Responder: .

Exemplo 12. Determine a soma de todos os números naturais de dois algarismos que, quando divididos pelo número 6, deixam resto 5.

Solução. Vamos denotar pelo conjunto de todos os números naturais de dois dígitos, ou seja, . A seguir, construiremos um subconjunto composto pelos elementos (números) do conjunto que, quando divididos pelo número 6, dão resto 5.

Fácil de instalar, O que . Obviamente , que os elementos do conjuntoformar uma progressão aritmética, em que e .

Para estabelecer a cardinalidade (número de elementos) do conjunto, assumimos que. Desde e, segue da fórmula (1) ou. Levando em consideração a fórmula (5), obtemos.

Os exemplos acima de resolução de problemas não podem de forma alguma pretender ser exaustivos. Este artigo foi escrito com base na análise de métodos modernos para resolver problemas típicos de um determinado tópico. Para um estudo mais aprofundado dos métodos de resolução de problemas relacionados à progressão aritmética, é aconselhável consultar a lista de literatura recomendada.

1. Coleção de problemas de matemática para candidatos a faculdades / Ed. MI. Scanavi. – M.: Paz e Educação, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matemática para alunos do ensino médio: seções adicionais do currículo escolar. – M.: Lenand/URSS, 2014. – 216 p.

3. Medynsky M.M. Um curso completo de matemática elementar em problemas e exercícios. Livro 2: Sequências numéricas e progressões. – M.: Editus, 2015. – 208 p.

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